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Fórmulas de potência usado no processo de redução e simplificação de expressões complexas, na resolução de equações e desigualdades.

Número cé n-ésima potência de um número uma quando:

Operações com graus.

1. Multiplicando graus com a mesma base, seus indicadores somam:

soua n = a m + n .

2. Na divisão de graus com a mesma base, seus indicadores são subtraídos:

3. O grau do produto de 2 ou mais fatores é igual ao produto dos graus desses fatores:

(abc…) n = a n b n c n…

4. O grau de uma fração é igual à razão dos graus do dividendo e do divisor:

(a/b) n = a n / b n .

5. Elevando uma potência a uma potência, os expoentes são multiplicados:

(am) n = a m n .

Cada fórmula acima está correta nas direções da esquerda para a direita e vice-versa.

Por exemplo. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operações com raízes.

1. A raiz do produto de vários fatores é igual ao produto das raízes desses fatores:

2. A raiz da razão é igual à razão entre o dividendo e o divisor das raízes:

3. Ao elevar uma raiz a uma potência, basta elevar o número da raiz a esta potência:

4. Se aumentarmos o grau da raiz em n uma vez e ao mesmo tempo elevar para nª potência é um número raiz, então o valor da raiz não mudará:

5. Se diminuirmos o grau da raiz em n raiz ao mesmo tempo nº grau do número radical, então o valor da raiz não mudará:

Grau com expoente negativo. O grau de um número com um expoente não positivo (inteiro) é definido como um dividido pelo grau do mesmo número com um expoente igual ao valor absoluto do expoente não positivo:

Fórmula sou:a n = a m - n pode ser usado não só para m> n, mas também em m< n.

Por exemplo. uma4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Para formular sou:a n = a m - n tornou-se justo em m=n, você precisa da presença do grau zero.

Grau com expoente zero. A potência de qualquer número diferente de zero com um expoente zero é igual a um.

Por exemplo. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Um grau com um expoente fracionário. Para aumentar um número real uma até certo ponto s/n, você precisa extrair a raiz nº grau de mª potência deste número uma.

Neste artigo, vamos entender o que é grau de. Aqui daremos definições do grau de um número, considerando em detalhes todos os possíveis expoentes do grau, começando com um expoente natural, terminando com um irracional. No material você encontrará muitos exemplos de graus que cobrem todas as sutilezas que surgem.

Navegação da página.

Grau com expoente natural, quadrado de um número, cubo de um número

Vamos começar com . Olhando adiante, digamos que a definição do grau de a com expoente natural n seja dada para a , que chamaremos base de grau, e n , que chamaremos de expoente. Observamos também que o grau com um indicador natural é determinado através do produto, portanto, para entender o material abaixo, você precisa ter uma ideia sobre a multiplicação de números.

Definição.

Potência do número a com expoente natural né uma expressão da forma a n , cujo valor é igual ao produto de n fatores, cada um dos quais é igual a a , ou seja, .
Em particular, o grau de um número a com expoente 1 é o próprio número a, ou seja, a 1 = a.

Imediatamente vale a pena mencionar as regras para a leitura de graus. A maneira universal de ler a entrada a n é: "a elevado a n". Em alguns casos, essas opções também são aceitáveis: "a elevado à enésima potência" e "nésima potência do número a". Por exemplo, vamos pegar a potência de 8 12, isto é "oito à potência de doze", ou "oito à décima segunda potência", ou "décima segunda potência de oito".

A segunda potência de um número, assim como a terceira potência de um número, têm seus próprios nomes. A segunda potência de um número chama-se o quadrado de um número, por exemplo, 7 2 é lido como "sete ao quadrado" ou "quadrado do número sete". A terceira potência de um número chama-se número do cubo, por exemplo, 5 3 pode ser lido como "cinco ao cubo" ou dizer "cubo do número 5".

É hora de trazer exemplos de graus com indicadores físicos. Vamos começar com a potência de 5 7 , onde 5 é a base da potência e 7 é o expoente. Vamos dar outro exemplo: 4,32 é a base, e o número natural 9 é o expoente (4,32) 9 .

Observe que no último exemplo, a base do grau 4,32 está escrita entre parênteses: para evitar discrepâncias, colocaremos entre parênteses todas as bases do grau que são diferentes dos números naturais. Como exemplo, damos os seguintes graus com indicadores naturais , suas bases não são números naturais, então eles são escritos entre parênteses. Bem, para total clareza neste ponto, mostraremos a diferença contida nos registros da forma (−2) 3 e −2 3 . A expressão (−2) 3 é a potência de −2 com expoente natural 3, e a expressão −2 3 (pode ser escrita como −(2 3) ) corresponde ao número, o valor da potência 2 3 .

Observe que há uma notação para o grau de a com um expoente n da forma a^n . Além disso, se n é um número natural multivalorado, então o expoente é tomado entre parênteses. Por exemplo, 4^9 é outra notação para a potência de 4 9 . E aqui estão mais exemplos de como escrever graus usando o símbolo “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . No que segue, usaremos principalmente a notação do grau da forma a n .

Um dos problemas, o inverso da exponenciação com um expoente natural, é o problema de encontrar a base do grau a partir de um valor conhecido do grau e de um expoente conhecido. Esta tarefa leva a .

Sabe-se que o conjunto dos números racionais é composto por números inteiros e fracionários, e cada número fracionário pode ser representado como uma fração ordinária positiva ou negativa. Definimos o grau com um expoente inteiro no parágrafo anterior, portanto, para completar a definição do grau com um expoente racional, precisamos dar o significado do grau do número a com um expoente fracionário m / n, onde m é um número inteiro e n é um número natural. Vamos fazer isso.

Considere um grau com um expoente fracionário da forma . Para que a propriedade de grau em um grau permaneça válida, a igualdade deve valer . Se levarmos em conta a igualdade resultante e a forma como definimos , então é lógico aceitar, desde que para dados m, n e a, a expressão faça sentido.

É fácil verificar que todas as propriedades de um grau com expoente inteiro são válidas para as (isso é feito na seção sobre propriedades de um grau com expoente racional).

O raciocínio acima nos permite fazer o seguinte conclusão: se para dados m, n e a a expressão fizer sentido, então a potência do número a com um expoente fracionário m / n é a raiz do enésimo grau de a elevado à potência m.

Esta afirmação nos aproxima da definição de um grau com um expoente fracionário. Resta apenas descrever para quais m, n e a a expressão faz sentido. Dependendo das restrições impostas a m , n e a, existem duas abordagens principais.

A maneira mais fácil de restringir a é assumir a≥0 para m positivo e a>0 para m negativo (porque m≤0 não tem potência de 0 m). Então obtemos a seguinte definição do grau com um expoente fracionário.

Definição.

Potência de um número positivo a com expoente fracionário m/n, onde m é um número inteiro e n é um número natural, é chamado de raiz da n-ésima parte do número a elevado à potência de m, ou seja, .

O grau fracionário de zero também é definido com a única ressalva de que o expoente deve ser positivo.

Definição.

Potência de zero com expoente positivo fracionário m/n, onde m é um número inteiro positivo e n é um número natural, é definido como .
Quando o grau não está definido, ou seja, o grau do número zero com um expoente negativo fracionário não faz sentido.

Deve-se notar que com tal definição do grau com um expoente fracionário, há uma nuance: para alguns a negativos e alguns m e n, a expressão faz sentido, e descartamos esses casos introduzindo a condição a≥0 . Por exemplo, faz sentido escrever ou , e a definição acima nos obriga a dizer que graus com um expoente fracionário da forma não têm sentido, pois a base não deve ser negativa.

Outra abordagem para determinar o grau com um expoente fracionário m / n é considerar separadamente os expoentes pares e ímpares da raiz. Esta abordagem requer uma condição adicional: o grau do número a, cujo expoente é , é considerado o grau do número a, cujo expoente é a fração irredutível correspondente (a importância desta condição será explicada abaixo). Ou seja, se m/n é uma fração irredutível, então para qualquer número natural k o grau é primeiro substituído por .

Para n par e m positivo, a expressão faz sentido para qualquer a não negativo (a raiz de um grau par de um número negativo não faz sentido), para m negativo, o número a ainda deve ser diferente de zero (caso contrário, será uma divisão por zero). E para n ímpar e m positivo, o número a pode ser qualquer coisa (a raiz de um grau ímpar é definida para qualquer número real), e para m negativo, o número a deve ser diferente de zero (para que não haja divisão por zero).

O raciocínio acima nos leva a tal definição do grau com um expoente fracionário.

Definição.

Seja m/n uma fração irredutível, m um número inteiro e n um número natural. Para qualquer fração ordinária redutível, o grau é substituído por . A potência de a com um expoente fracionário irredutível m / n é para



Vamos explicar por que um grau com um expoente fracionário redutível é primeiro substituído por um grau com um expoente irredutível. Se simplesmente definissemos o grau como , e não fizéssemos uma ressalva sobre a irredutibilidade da fração m / n , encontraríamos situações semelhantes às seguintes: desde 6/10=3/5 , então a igualdade , mas , uma .

Descobrimos qual é o grau de um número em geral. Agora precisamos entender como calculá-lo corretamente, ou seja, elevar os números a potências. Neste material, analisaremos as regras básicas para calcular o grau no caso de um expoente inteiro, natural, fracionário, racional e irracional. Todas as definições serão ilustradas com exemplos.

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O conceito de exponenciação

Vamos começar com a formulação de definições básicas.

Definição 1

Exponenciaçãoé o cálculo do valor da potência de algum número.

Ou seja, as palavras "cálculo do valor do grau" e "exponenciação" significam a mesma coisa. Assim, se a tarefa for "Elevar o número 0 , 5 à quinta potência", isso deve ser entendido como "calcular o valor da potência (0 , 5) 5 .

Agora damos as regras básicas que devem ser seguidas em tais cálculos.

Lembre-se do que é uma potência de um número com um expoente natural. Para uma potência com base a e expoente n, este será o produto do enésimo número de fatores, cada um dos quais é igual a a. Isso pode ser escrito assim:

Para calcular o valor do grau, você precisa realizar a operação de multiplicação, ou seja, multiplicar as bases do grau pelo número especificado de vezes. O próprio conceito de um diploma com um indicador natural é baseado na capacidade de se multiplicar rapidamente. Vamos dar exemplos.

Exemplo 1

Condição: Eleve - 2 à potência de 4 .

Solução

Usando a definição acima, escrevemos: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . Em seguida, basta seguir estes passos e obter 16 .

Vamos a um exemplo mais complicado.

Exemplo 2

Calcular o valor 3 2 7 2

Solução

Esta entrada pode ser reescrita como 3 2 7 · 3 2 7 . Anteriormente, vimos como multiplicar corretamente os números mistos mencionados na condição.

Execute estes passos e obtenha a resposta: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Se a tarefa indicar a necessidade de elevar números irracionais a uma potência natural, precisaremos primeiro arredondar suas bases para um dígito que nos permita obter uma resposta com a precisão desejada. Vamos dar um exemplo.

Exemplo 3

Efetue o quadrado do número π .

Solução

Vamos arredondar para centésimos primeiro. Então π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Se π ≈ 3 . 14159, obteremos um resultado mais preciso: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Observe que a necessidade de calcular as potências dos números irracionais na prática surge relativamente raramente. Podemos então escrever a resposta como a própria potência (ln 6) 3 ou converter se possível: 5 7 = 125 5 .

Separadamente, deve ser indicado qual é a primeira potência de um número. Aqui você pode apenas lembrar que qualquer número elevado à primeira potência permanecerá ele mesmo:

Isso fica claro no registro. .

Não depende da base do grau.

Exemplo 4

Assim, (− 9) 1 = − 9 , e 7 3 elevado à primeira potência permanece igual a 7 3 .

Por conveniência, analisaremos três casos separadamente: se o expoente for um inteiro positivo, se for zero e se for um inteiro negativo.

No primeiro caso, isso é o mesmo que elevar a uma potência natural: afinal, os inteiros positivos pertencem ao conjunto dos números naturais. Já descrevemos como trabalhar com esses graus acima.

Agora vamos ver como aumentar corretamente para a potência zero. Com uma base diferente de zero, esse cálculo sempre produz uma saída de 1 . Já explicamos anteriormente que a potência 0 de a pode ser definida para qualquer número real diferente de 0 e a 0 = 1.

Exemplo 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - não definido.

Resta-nos apenas o caso de um grau com um expoente inteiro negativo. Já discutimos que tais graus podem ser escritos como uma fração 1 a z, onde a é qualquer número e z é um inteiro negativo. Vemos que o denominador dessa fração nada mais é do que um grau ordinário com um inteiro positivo, e já aprendemos a calculá-lo. Vamos dar exemplos de tarefas.

Exemplo 6

Eleve 3 à potência de -2.

Solução

Usando a definição acima, escrevemos: 2 - 3 = 1 2 3

Calculamos o denominador dessa fração e obtemos 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

Então a resposta é: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Exemplo 7

Eleve 1, 43 à potência -2.

Solução

Reformule: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

Calculamos o quadrado no denominador: 1,43 1,43. Os decimais podem ser multiplicados desta forma:

Como resultado, temos (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2 , 0449 . Resta-nos escrever esse resultado na forma de uma fração ordinária, para a qual é necessário multiplicá-lo por 10 mil (veja o material sobre a conversão de frações).

Resposta: (1, 43) - 2 = 10.000 20.449

Um caso separado é elevar um número à primeira potência menos. O valor de tal grau é igual ao número oposto ao valor original da base: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

Exemplo 8

Exemplo: 3 − 1 = 1/3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Como elevar um número a uma potência fracionária

Para realizar tal operação, precisamos lembrar a definição básica de um grau com um expoente fracionário: a m n \u003d a m n para qualquer a positivo, inteiro m e n natural.

Definição 2

Assim, o cálculo de um grau fracionário deve ser realizado em duas etapas: elevando a uma potência inteira e encontrando a raiz do enésimo grau.

Temos a igualdade a m n = a m n , que, dadas as propriedades das raízes, costuma ser usada para resolver problemas na forma a m n = a n m . Isso significa que, se elevarmos o número a a uma potência fracionária m / n, primeiro extraímos a raiz do enésimo grau de a, depois elevamos o resultado a uma potência com um expoente inteiro m.

Vamos ilustrar com um exemplo.

Exemplo 9

Calcule 8 - 2 3 .

Solução

Método 1. De acordo com a definição básica, podemos representar isso como: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

Agora vamos calcular o grau sob a raiz e extrair a terceira raiz do resultado: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Método 2. Vamos transformar a igualdade básica: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

Depois disso, extraímos a raiz 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 e elevamos o resultado ao quadrado: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Vemos que as soluções são idênticas. Você pode usar da maneira que quiser.

Há casos em que o grau tem um indicador expresso em número misto ou fração decimal. Para facilitar o cálculo, é melhor substituí-lo por uma fração ordinária e contar conforme indicado acima.

Exemplo 10

Eleve 44,89 à potência de 2,5.

Solução

Vamos converter o valor do indicador em uma fração comum - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

E agora realizamos todas as ações indicadas acima na ordem: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501, 25107

Resposta: 13501, 25107.

Se houver grandes números no numerador e denominador de um expoente fracionário, calcular esses expoentes com expoentes racionais é um trabalho bastante difícil. Geralmente requer tecnologia de computador.

Separadamente, nos debruçamos sobre o grau com base zero e um expoente fracionário. Uma expressão da forma 0 m n pode ter o seguinte significado: se m n > 0, então 0 m n = 0 m n = 0 ; se m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Como elevar um número a uma potência irracional

A necessidade de calcular o valor do grau, no indicador do qual existe um número irracional, não surge com tanta frequência. Na prática, a tarefa geralmente se limita a calcular um valor aproximado (até um certo número de casas decimais). Isso geralmente é calculado em um computador devido à complexidade de tais cálculos; portanto, não nos aprofundaremos nisso, indicaremos apenas as principais disposições.

Se precisarmos calcular o valor do grau a com um expoente irracional a , pegamos a aproximação decimal do expoente e contamos a partir dela. O resultado será uma resposta aproximada. Quanto mais precisa for a aproximação decimal tomada, mais precisa será a resposta. Vamos mostrar com um exemplo:

Exemplo 11

Calcule um valor aproximado de 21 , 174367 ....

Solução

Restringimo-nos à aproximação decimal a n = 1 , 17 . Vamos fazer os cálculos usando este número: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Se tomarmos, por exemplo, a aproximação a n = 1 , 1743 , então a resposta será um pouco mais precisa: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1. 1743 ≈ 2. 256833.

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Continuando a conversa sobre o grau de um número, é lógico lidar com a descoberta do valor do grau. Este processo foi nomeado exponenciação. Neste artigo, estudaremos apenas como a exponenciação é realizada, enquanto abordaremos todos os expoentes possíveis - naturais, inteiros, racionais e irracionais. E, por tradição, consideraremos em detalhes as soluções para exemplos de aumento de números em vários graus.

Navegação da página.

O que significa "exponenciação"?

Vamos começar explicando o que é chamado de exponenciação. Aqui está a definição relevante.

Definição.

Exponenciaçãoé encontrar o valor da potência de um número.

Assim, encontrar o valor da potência de a com o expoente r e elevar o número a à potência de r é a mesma coisa. Por exemplo, se a tarefa for “calcular o valor da potência (0,5) 5”, ela pode ser reformulada da seguinte forma: “Eleve o número 0,5 à potência de 5”.

Agora você pode ir diretamente para as regras pelas quais a exponenciação é realizada.

Elevando um número a uma potência natural

Na prática, a igualdade baseada em é geralmente aplicada na forma . Ou seja, ao elevar o número a a uma potência fracionária m / n, a raiz do enésimo grau do número a é extraída primeiro, após o que o resultado é elevado a uma potência inteira m.

Considere soluções para exemplos de elevação a uma potência fracionária.

Exemplo.

Calcule o valor do grau.

Solução.

Mostramos duas soluções.

Primeira maneira. Por definição de grau com um expoente fracionário. Calculamos o valor do grau sob o sinal da raiz, após o que extraímos a raiz cúbica: .

A segunda maneira. Por definição de grau com expoente fracionário e com base nas propriedades das raízes, as igualdades são verdadeiras . Agora extraia a raiz Finalmente, elevamos a uma potência inteira .

Obviamente, os resultados obtidos ao elevar a uma potência fracionária coincidem.

Responda:

Observe que o expoente fracionário pode ser escrito como uma fração decimal ou como um número misto, nestes casos deve ser substituído pela fração ordinária correspondente e, em seguida, deve ser realizada a exponenciação.

Exemplo.

Calcule (44,89) 2,5 .

Solução.

Escrevemos o expoente na forma de uma fração ordinária (se necessário, consulte o artigo): . Agora realizamos a elevação a uma potência fracionária:

Responda:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Deve-se dizer também que elevar números a potências racionais é um processo bastante trabalhoso (especialmente quando o numerador e o denominador do expoente fracionário são números bastante grandes), o que geralmente é realizado usando tecnologia de computador.

Na conclusão deste parágrafo, vamos nos deter na construção do número zero para uma potência fracionária. Demos o seguinte significado ao grau fracionário de zero da forma: pois temos , enquanto zero elevado à potência m/n não é definido. Então, zero a uma potência fracionária positiva é zero, por exemplo, . E zero em uma potência negativa fracionária não faz sentido, por exemplo, as expressões e 0 -4,3 não fazem sentido.

Elevando a um poder irracional

Às vezes torna-se necessário descobrir o valor do grau de um número com um expoente irracional. Neste caso, para fins práticos, geralmente é suficiente obter o valor do grau até um determinado sinal. Observamos imediatamente que na prática esse valor é calculado usando tecnologia de computação eletrônica, pois a elevação manual a uma potência irracional requer um grande número de cálculos complicados. Mas, no entanto, descreveremos em termos gerais a essência das ações.

Para obter um valor aproximado do expoente de a com um expoente irracional, é feita alguma aproximação decimal do expoente e o valor do expoente é calculado. Este valor é o valor aproximado do grau do número a com um expoente irracional. Quanto mais precisa for a aproximação decimal do número inicialmente, mais preciso será o valor do grau no final.

Como exemplo, vamos calcular o valor aproximado da potência de 2 1,174367... . Vamos fazer a seguinte aproximação decimal de um indicador irracional: . Agora elevamos 2 a uma potência racional de 1,17 (descrevemos a essência desse processo no parágrafo anterior), obtemos 2 1,17 ≈ 2,250116. Nesse caminho, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Se tomarmos uma aproximação decimal mais precisa de um expoente irracional, por exemplo, , obteremos um valor mais preciso do grau original: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

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