Por exemplo, a sequência \(2\); \(5\); \(oito\); \(onze\); \(14\)… é uma progressão aritmética, pois cada elemento seguinte difere do anterior por três (pode ser obtido do anterior somando três):
Nesta progressão, a diferença \(d\) é positiva (igual a \(3\)) e, portanto, cada termo seguinte é maior que o anterior. Essas progressões são chamadas aumentando.
No entanto, \(d\) também pode ser um número negativo. Por exemplo, em progressão aritmética \(16\); \(dez\); \(quatro\); \(-2\); \(-8\)… a diferença de progressão \(d\) é igual a menos seis.
E neste caso, cada próximo elemento será menor que o anterior. Essas progressões são chamadas diminuindo.
Notação de progressão aritmética
A progressão é indicada por uma pequena letra latina.
Os números que formam uma progressão são chamados membros(ou elementos).
Eles são denotados pela mesma letra que a progressão aritmética, mas com um índice numérico igual ao número do elemento em ordem.
Por exemplo, a progressão aritmética \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) consiste nos elementos \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) e assim por diante.
Em outras palavras, para a progressão \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)
Resolvendo problemas em uma progressão aritmética
Em princípio, as informações acima já são suficientes para resolver praticamente qualquer problema de progressão aritmética (incluindo os oferecidos no OGE).
Exemplo (OGE).
A progressão aritmética é dada pelas condições \(b_1=7; d=4\). Encontre \(b_5\).
Solução:
Responda: \(b_5=23\)
Exemplo (OGE).
Os três primeiros termos de uma progressão aritmética são dados: \(62; 49; 36…\) Encontre o valor do primeiro termo negativo dessa progressão.
Solução:
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Recebemos os primeiros elementos da sequência e sabemos que é uma progressão aritmética. Ou seja, cada elemento difere do vizinho pelo mesmo número. Descubra qual subtraindo o anterior do próximo elemento: \(d=49-62=-13\). |
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Agora podemos restaurar nossa progressão para o elemento desejado (primeiro negativo). |
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Preparar. Você pode escrever uma resposta. |
Responda: \(-3\)
Exemplo (OGE).
Vários elementos sucessivos de uma progressão aritmética são dados: \(...5; x; 10; 12,5...\) Encontre o valor do elemento denotado pela letra \(x\).
Solução:
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Para encontrar \(x\), precisamos saber o quanto o próximo elemento difere do anterior, ou seja, a diferença de progressão. Vamos encontrá-lo a partir de dois elementos vizinhos conhecidos: \(d=12.5-10=2.5\). |
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E agora encontramos o que procuramos sem problemas: \(x=5+2.5=7.5\). |
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Preparar. Você pode escrever uma resposta. |
Responda: \(7,5\).
Exemplo (OGE).
A progressão aritmética é dada pelas seguintes condições: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Encontre a soma dos seis primeiros termos desta progressão.
Solução:
|
Precisamos encontrar a soma dos seis primeiros termos da progressão. Mas não sabemos seus significados, recebemos apenas o primeiro elemento. Portanto, primeiro calculamos os valores por sua vez, usando o que nos foi dado: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) |
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\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
O valor solicitado foi encontrado. |
Responda: \(S_6=9\).
Exemplo (OGE).
Em progressão aritmética \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Encontre a diferença dessa progressão.
Solução:
Responda: \(d=7\).
Fórmulas importantes de progressão aritmética
Como você pode ver, muitos problemas de progressão aritmética podem ser resolvidos simplesmente entendendo o principal - que uma progressão aritmética é uma cadeia de números, e cada próximo elemento nesta cadeia é obtido adicionando o mesmo número ao anterior (a diferença da progressão).
No entanto, às vezes há situações em que é muito inconveniente resolver "na testa". Por exemplo, imagine que no primeiro exemplo, precisamos encontrar não o quinto elemento \(b_5\), mas o tricentésimo octogésimo sexto \(b_(386)\). O que é isso, nós \ (385 \) vezes para adicionar quatro? Ou imagine que no penúltimo exemplo você precisa encontrar a soma dos primeiros setenta e três elementos. Contar é confuso...
Portanto, nesses casos, eles não resolvem “na testa”, mas usam fórmulas especiais derivadas de progressão aritmética. E as principais são a fórmula do enésimo termo da progressão e a fórmula da soma \(n\) dos primeiros termos.
Fórmula para o \(n\)º membro: \(a_n=a_1+(n-1)d\), onde \(a_1\) é o primeiro membro da progressão;
\(n\) – número do elemento requerido;
\(a_n\) é um membro da progressão com o número \(n\).
Essa fórmula nos permite encontrar rapidamente pelo menos o tricentésimo, até mesmo o milionésimo elemento, conhecendo apenas o primeiro e a diferença de progressão.
Exemplo.
A progressão aritmética é dada pelas condições: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Encontre \(b_(246)\).
Solução:
Responda: \(b_(246)=1850\).
A fórmula para a soma dos primeiros n termos é: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), onde
\(a_n\) é o último termo somado;
Exemplo (OGE).
A progressão aritmética é dada pelas condições \(a_n=3.4n-0.6\). Encontre a soma dos primeiros \(25\) termos dessa progressão.
Solução:
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\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\) |
Para calcular a soma dos primeiros vinte e cinco elementos, precisamos saber o valor do primeiro e do vigésimo quinto termo. |
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\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\) |
Agora vamos encontrar o vigésimo quinto termo substituindo vinte e cinco em vez de \(n\). |
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\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\) |
Bem, agora calculamos a quantidade necessária sem problemas. |
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\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) |
A resposta está pronta. |
Responda: \(S_(25)=1090\).
Para a soma \(n\) dos primeiros termos, você pode obter outra fórmula: você só precisa \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) em vez de \(a_n\) substitua pela fórmula \(a_n=a_1+(n-1)d\). Nós temos:
A fórmula para a soma dos primeiros n termos é: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), onde
\(S_n\) – a soma necessária \(n\) dos primeiros elementos;
\(a_1\) é o primeiro termo a ser somado;
\(d\) – diferença de progressão;
\(n\) - o número de elementos na soma.
Exemplo.
Encontre a soma dos primeiros termos \(33\)-ex da progressão aritmética: \(17\); \(15,5\); \(quatorze\)…
Solução:
Responda: \(S_(33)=-231\).
Problemas de progressão aritmética mais complexos
Agora você tem todas as informações necessárias para resolver quase qualquer problema de progressão aritmética. Vamos terminar o tópico considerando problemas nos quais você precisa não apenas aplicar fórmulas, mas também pensar um pouco (em matemática, isso pode ser útil ☺)
Exemplo (OGE).
Encontre a soma de todos os termos negativos da progressão: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Solução:
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\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) |
A tarefa é muito semelhante à anterior. Começamos a resolver da mesma maneira: primeiro encontramos \(d\). |
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\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\) |
Agora substituiríamos \(d\) na fórmula da soma ... e aqui aparece uma pequena nuance - não sabemos \(n\). Em outras palavras, não sabemos quantos termos precisarão ser adicionados. Como descobrir? Vamos pensar. Pararemos de adicionar elementos quando chegarmos ao primeiro elemento positivo. Ou seja, você precisa descobrir o número desse elemento. Como? Vamos escrever a fórmula para calcular qualquer elemento de uma progressão aritmética: \(a_n=a_1+(n-1)d\) para o nosso caso. |
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|
\(a_n=a_1+(n-1)d\) |
||
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\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\) |
Precisamos que \(a_n\) seja maior que zero. Vamos descobrir para que \(n\) isso vai acontecer. |
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\(-19,3+(n-1) 0,3>0\) |
||
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\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\) |
Dividimos ambos os lados da desigualdade por \(0,3\). |
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\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) |
Transferimos menos um, não esquecendo de mudar os sinais |
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\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\) |
Informática... |
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\(n>65.333…\) |
…e acontece que o primeiro elemento positivo terá o número \(66\). Assim, o último negativo tem \(n=65\). Apenas no caso, vamos verificar isso. |
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\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) |
Assim, precisamos adicionar os primeiros elementos \(65\). |
|
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\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) |
A resposta está pronta. |
Responda: \(S_(65)=-630,5\).
Exemplo (OGE).
A progressão aritmética é dada pelas condições: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Encontre a soma do elemento \(26\)th ao \(42\) inclusive.
Solução:
|
\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\) |
Neste problema, você também precisa encontrar a soma dos elementos, mas começando não do primeiro, mas do \(26\)th. Não temos uma fórmula para isso. Como decidir? |
|
|
Para nossa progressão \(a_1=-33\), e a diferença \(d=4\) (afinal, adicionamos quatro ao elemento anterior para encontrar o próximo). Sabendo disso, encontramos a soma dos primeiros \(42\)-uh elementos. |
|
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) |
Agora a soma dos primeiros \(25\)-ésimos elementos. |
|
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) |
E, finalmente, calculamos a resposta. |
|
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\) |
Responda: \(S=1683\).
Para uma progressão aritmética, existem várias outras fórmulas que não consideramos neste artigo devido à sua baixa utilidade prática. No entanto, você pode encontrá-los facilmente.
Atenção!
Existem adicionais
material na Seção Especial 555.
Para aqueles que fortemente "não muito..."
E para aqueles que "muito...")
Uma progressão aritmética é uma série de números em que cada número é maior (ou menor) que o anterior na mesma quantidade.
Este tópico é muitas vezes difícil e incompreensível. Índices de letras, o enésimo membro da progressão, a diferença da progressão - tudo isso é um pouco confuso, sim ... Vamos descobrir o significado da progressão aritmética e tudo funcionará imediatamente.)
O conceito de progressão aritmética.
A progressão aritmética é um conceito muito simples e claro. Dúvida? Em vão.) Veja por si mesmo.
Vou escrever uma série inacabada de números:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Você pode estender esta linha? Quais serão os próximos números, depois dos cinco? Todo mundo... uh..., resumindo, todo mundo vai descobrir que os números 6, 7, 8, 9, etc. vão mais longe.
Vamos complicar a tarefa. Eu dou uma série inacabada de números:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Você pode pegar o padrão, estender a série e nomear sétimo número da linha?
Se você descobriu que esse número é 20 - parabenizo você! Você não só sentiu pontos-chave de uma progressão aritmética, mas também os usou com sucesso nos negócios! Se você não entendeu, continue lendo.
Agora vamos traduzir os pontos-chave das sensações para a matemática.)
Primeiro ponto chave.
A progressão aritmética lida com séries de números. Isso é confuso no início. Estamos acostumados a resolver equações, construir gráficos e tudo mais... E depois estender a série, encontrar o número da série...
Tudo bem. É só que as progressões são o primeiro contato com um novo ramo da matemática. A seção se chama "Série" e trabalha com séries de números e expressões. Acostume-se.)
Segundo ponto chave.
Em uma progressão aritmética, qualquer número difere do anterior pela mesma quantidade.
No primeiro exemplo, essa diferença é uma. Qualquer que seja o número escolhido, é um a mais que o anterior. No segundo - três. Qualquer número é três vezes maior que o anterior. Na verdade, é este momento que nos dá a oportunidade de pegar o padrão e calcular os números subsequentes.
Terceiro ponto chave.
Esse momento não é marcante, sim... Mas muito, muito importante. Aqui está ele: cada número de progressão está em seu lugar. Há o primeiro número, há o sétimo, há o quadragésimo quinto, e assim por diante. Se você confundi-los ao acaso, o padrão desaparecerá. A progressão aritmética também desaparecerá. É apenas uma série de números.
Esse é o ponto.
É claro que novos termos e notações aparecem no novo tópico. Eles precisam saber. Caso contrário, você não entenderá a tarefa. Por exemplo, você tem que decidir algo como:
Escreva os primeiros seis termos da progressão aritmética (a n) se a 2 = 5, d = -2,5.
Inspira?) Cartas, alguns índices... E a tarefa, aliás, não poderia ser mais fácil. Você só precisa entender o significado dos termos e notação. Agora vamos dominar este assunto e retornar à tarefa.
Termos e designações.
Progressão aritméticaé uma série de números em que cada número é diferente do anterior pela mesma quantidade.
Esse valor é chamado . Vamos lidar com esse conceito com mais detalhes.
Diferença de progressão aritmética.
Diferença de progressão aritméticaé a quantidade pela qual qualquer número de progressão mais o anterior.
Um ponto importante. Por favor, preste atenção na palavra "mais". Matematicamente, isso significa que cada número de progressão é obtido adicionando a diferença de uma progressão aritmética para o número anterior.
Para calcular, digamos segundo números da linha, é necessário primeiro número adicionar esta mesma diferença de uma progressão aritmética. Para cálculo quinto- a diferença é necessária adicionar para quarto bem, etc
Diferença de progressão aritmética talvez positivo então cada número da série será real mais do que o anterior. Essa progressão é chamada aumentando. Por exemplo:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Aqui cada número é adicionando número positivo, +5 ao anterior.
A diferença pode ser negativo então cada número da série será menor que o anterior. Essa progressão é chamada (você não vai acreditar!) diminuindo.
Por exemplo:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Aqui cada número é obtido também adicionando ao número anterior, mas já negativo, -5.
A propósito, ao trabalhar com uma progressão, é muito útil determinar imediatamente sua natureza - se está aumentando ou diminuindo. Ajuda muito encontrar seu rumo na decisão, detectar seus erros e corrigi-los antes que seja tarde demais.
Diferença de progressão aritmética geralmente indicado pela letra d.
Como encontrar d? Muito simples. É necessário subtrair de qualquer número da série anterior número. Subtrair. By the way, o resultado da subtração é chamado de "diferença".)
Vamos definir, por exemplo, d para uma progressão aritmética crescente:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Pegamos qualquer número da linha que queremos, por exemplo, 11. Subtrai dela o número anterior Essa. oito:
Essa é a resposta correta. Para esta progressão aritmética, a diferença é três.
Você pode simplesmente pegar qualquer número de progressões, Porque para uma progressão específica d-sempre o mesmo. Pelo menos em algum lugar no início da linha, pelo menos no meio, pelo menos em qualquer lugar. Você não pode pegar apenas o primeiro número. Só porque o primeiro número nenhum anterior.)
Aliás, sabendo disso d=3, encontrar o sétimo número desta progressão é muito simples. Adicionamos 3 ao quinto número - obtemos o sexto, será 17. Adicionamos três ao sexto número, obtemos o sétimo número - vinte.
Vamos definir d para uma progressão aritmética decrescente:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Relembro que, independentemente dos sinais, para determinar d necessário de qualquer número tirar o anterior. Escolhemos qualquer número de progressão, por exemplo -7. Seu número anterior é -2. Então:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
A diferença de uma progressão aritmética pode ser qualquer número: inteiro, fracionário, irracional, qualquer.
Outros termos e designações.
Cada número da série é chamado membro de uma progressão aritmética.
Cada membro da progressão tem o seu número. Os números estão estritamente em ordem, sem nenhum truque. Primeiro, segundo, terceiro, quarto, etc. Por exemplo, na progressão 2, 5, 8, 11, 14, ... dois é o primeiro membro, cinco é o segundo, onze é o quarto, bem, você entende ...) Por favor, entenda claramente - os próprios números pode ser absolutamente qualquer, inteiro, fracionário, negativo, o que for, mas numeração- estritamente em ordem!
Como escrever uma progressão na forma geral? Sem problemas! Cada número da série é escrito como uma letra. Para denotar uma progressão aritmética, como regra, a letra é usada uma. O número do membro é indicado pelo índice no canto inferior direito. Os membros são escritos separados por vírgulas (ou ponto e vírgula), assim:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....
um 1é o primeiro número um 3- terceiro, etc Nada complicado. Você pode escrever esta série brevemente assim: (um).
Existem progressões finito e infinito.
final a progressão tem um número limitado de membros. Cinco, trinta e oito, tanto faz. Mas é um número finito.
Sem fim progressão - tem um número infinito de membros, como você pode imaginar.)
Você pode escrever uma progressão final através de uma série como esta, todos os membros e um ponto no final:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .
Ou assim, se houver muitos membros:
a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .
Em uma entrada curta, você terá que indicar adicionalmente o número de membros. Por exemplo (para vinte membros), assim:
(a n), n = 20
Uma progressão infinita pode ser reconhecida pelas reticências no final da linha, como nos exemplos desta lição.
Agora você pode resolver tarefas. As tarefas são simples, puramente para entender o significado da progressão aritmética.
Exemplos de tarefas para progressão aritmética.
Vamos dar uma olhada na tarefa acima:
1. Escreva os primeiros seis membros da progressão aritmética (a n), se a 2 = 5, d = -2,5.
Traduzimos a tarefa em linguagem compreensível. Dada uma progressão aritmética infinita. O segundo número desta progressão é conhecido: a 2 = 5. Diferença de progressão conhecida: d = -2,5. Precisamos encontrar o primeiro, terceiro, quarto, quinto e sexto membros desta progressão.
Para maior clareza, vou escrever uma série de acordo com a condição do problema. Os primeiros seis membros, onde o segundo membro é cinco:
a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,....
um 3 = um 2 + d
Substituímos na expressão a 2 = 5 e d=-2,5. Não se esqueça do menos!
um 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
O terceiro termo é menor que o segundo. Tudo é lógico. Se o número for maior que o anterior negativo valor, então o próprio número será menor que o anterior. A progressão está diminuindo. Ok, vamos levar isso em consideração.) Consideramos o quarto membro da nossa série:
um 4 = um 3 + d
um 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
um 5 = um 4 + d
um 5=0+(-2,5)= - 2,5
um 6 = um 5 + d
um 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Assim, os termos do terceiro ao sexto foram calculados. Isso resultou em uma série:
a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....
Resta encontrar o primeiro termo um 1 segundo o conhecido segundo. Este é um passo na outra direção, para a esquerda.) Daí, a diferença da progressão aritmética d não deve ser adicionado um 2, uma Leve embora:
um 1 = um 2 - d
um 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Isso é tudo o que há para isso. Resposta da tarefa:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
De passagem, observo que resolvemos essa tarefa recorrente caminho. Esta palavra terrível significa, apenas, a busca de um membro da progressão pelo número anterior (adjacente). Outras maneiras de trabalhar com progressão serão discutidas posteriormente.
Uma conclusão importante pode ser tirada dessa tarefa simples.
Lembrar:
Se conhecermos pelo menos um membro e a diferença de uma progressão aritmética, podemos encontrar qualquer membro dessa progressão.
Lembrar? Esta simples conclusão permite-nos resolver a maioria dos problemas do curso escolar sobre este tema. Todas as tarefas giram em torno de três parâmetros principais: membro de uma progressão aritmética, diferença de uma progressão, número de um membro de uma progressão. Tudo.
É claro que toda álgebra anterior não é cancelada.) Desigualdades, equações e outras coisas são anexadas à progressão. Mas de acordo com a progressão- tudo gira em torno de três parâmetros.
Por exemplo, considere algumas tarefas populares sobre este tópico.
2. Escreva a progressão aritmética final como uma série se n=5, d=0,4 e a 1=3,6.
Tudo é simples aqui. Tudo já está dado. Você precisa se lembrar de como os membros de uma progressão aritmética são calculados, contados e anotados. É aconselhável não pular as palavras na condição de tarefa: "final" e " n=5". Para não contar até ficar completamente azul de cara.) Existem apenas 5 (cinco) membros nesta progressão:
a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4
a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4
um 4 = um 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
um 5 = um 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Resta anotar a resposta:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Outra tarefa:
3. Determine se o número 7 será membro de uma progressão aritmética (a n) se a 1 \u003d 4,1; d = 1,2.
Hum... Quem sabe? Como definir algo?
Como-como... Sim, anote a progressão em forma de série e veja se haverá um sete ou não! Nós acreditamos:
a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4,1 + 1,2 \u003d 5,3
a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5,3 + 1,2 \u003d 6,5
um 4 = um 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Agora é visto claramente que somos apenas sete escorregou entre 6,5 e 7,7! O sete não entrou em nossa série de números e, portanto, o sete não será membro da progressão dada.
Resposta: não.
E aqui está uma tarefa baseada em uma versão real do GIA:
4. Vários membros consecutivos da progressão aritmética são escritos:
...; quinze; X; 9; 6; ...
Aqui está uma série sem fim e sem começo. Sem números de membros, sem diferença d. Tudo bem. Para resolver o problema, basta entender o significado de uma progressão aritmética. Vamos ver e ver o que podemos saber desta linha? Quais são os parâmetros dos três principais?
Números de membros? Não há um único número aqui.
Mas há três números e - atenção! - palavra "consecutivo" em condição. Isso significa que os números estão estritamente em ordem, sem lacunas. Há dois nesta fileira? vizinho números conhecidos? Sim existe! Estes são 9 e 6. Assim podemos calcular a diferença de uma progressão aritmética! Subtraia dos seis anterior número, ou seja nove:
Restam espaços vazios. Qual será o número anterior para x? Quinze. Então x pode ser facilmente encontrado por simples adição. Para 15 adicione a diferença de uma progressão aritmética:
Isso é tudo. Responda: x=12
Nós mesmos resolvemos os seguintes problemas. Nota: estes quebra-cabeças não são para fórmulas. Puramente para entender o significado de uma progressão aritmética.) Nós apenas escrevemos uma série com números-letras, olhamos e pensamos.
5. Encontre o primeiro termo positivo da progressão aritmética se a 5 = -3; d = 1,1.
6. Sabe-se que o número 5,5 é um membro da progressão aritmética (a n), onde a 1 = 1,6; d = 1,3. Determine o número n desse membro.
7. Sabe-se que em uma progressão aritmética a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. Encontre um 3 .
8. Vários membros consecutivos da progressão aritmética são escritos:
...; 15,6; X; 3,4; ...
Encontre o termo da progressão, denotado pela letra x.
9. O trem começou a se mover da estação, aumentando gradativamente sua velocidade em 30 metros por minuto. Qual será a velocidade do trem em cinco minutos? Dê sua resposta em km/h.
10. Sabe-se que em uma progressão aritmética a 2 = 5; a 6 = -5. Encontre um 1.
Respostas (desordenadas): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; quatro.
Deu tudo certo? Maravilhoso! Você pode aprender progressão aritmética em um nível superior nas lições a seguir.
Não deu tudo certo? Sem problemas. Na Seção Especial 555, todos esses quebra-cabeças são divididos peça por peça.) E, claro, é descrita uma técnica prática simples que destaca imediatamente a solução de tais tarefas de forma clara, clara, como na palma da sua mão!
A propósito, no quebra-cabeça sobre o trem, existem dois problemas nos quais as pessoas costumam tropeçar. Um - puramente por progressão, e o segundo - comum a qualquer tarefa em matemática e física também. Esta é uma tradução de dimensões de uma para outra. Mostra como esses problemas devem ser resolvidos.
Nesta lição, examinamos o significado elementar de uma progressão aritmética e seus principais parâmetros. Isso é suficiente para resolver quase todos os problemas sobre este tópico. Adicionar d aos números, escreva uma série, tudo será decidido.
A solução do dedo funciona bem para peças muito curtas da série, como nos exemplos desta lição. Se a série for mais longa, os cálculos se tornam mais difíceis. Por exemplo, se estiver no problema 9 da pergunta, substitua "cinco minutos" no "trinta e cinco minutos" o problema se tornará muito pior.)
E também há tarefas que são simples em sua essência, mas totalmente absurdas em termos de cálculos, por exemplo:
Dada uma progressão aritmética (a n). Encontre um 121 se a 1 = 3 e d = 1/6.
E o que, vamos adicionar 1/6 muitas, muitas vezes?! É possível se matar!?
Você pode.) Se você não conhece uma fórmula simples pela qual você pode resolver essas tarefas em um minuto. Esta fórmula estará na próxima lição. E esse problema está resolvido lá. Em um minuto.)
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A propósito, tenho mais alguns sites interessantes para você.)
Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Testes com verificação instantânea. Aprendendo - com interesse!)
você pode se familiarizar com funções e derivadas.
Ao estudar álgebra em uma escola secundária (9ª série), um dos tópicos importantes é o estudo de sequências numéricas, que incluem progressões - geométricas e aritméticas. Neste artigo, consideraremos uma progressão aritmética e exemplos com soluções.
O que é uma progressão aritmética?
Para entender isso, é necessário definir a progressão em consideração, bem como fornecer as fórmulas básicas que serão usadas posteriormente na resolução de problemas.
Sabe-se que em alguma progressão algébrica o 1º termo é igual a 6, e o 7º termo é igual a 18. É necessário encontrar a diferença e restaurar esta sequência ao 7º termo.
Vamos usar a fórmula para determinar o termo desconhecido: a n = (n - 1) * d + a 1 . Substituímos os dados conhecidos da condição, ou seja, os números a 1 e a 7, temos: 18 \u003d 6 + 6 * d. A partir desta expressão, você pode calcular facilmente a diferença: d = (18 - 6) / 6 = 2. Assim, a primeira parte do problema foi respondida.
Para restaurar a sequência para o 7º membro, você deve usar a definição de uma progressão algébrica, ou seja, a 2 \u003d a 1 + d, a 3 \u003d a 2 + d e assim por diante. Como resultado, restauramos a sequência inteira: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 e 7 = 18.
Exemplo #3: fazendo uma progressão
Vamos complicar ainda mais a condição do problema. Agora você precisa responder à pergunta de como encontrar uma progressão aritmética. O exemplo a seguir pode ser dado: dois números são dados, por exemplo, 4 e 5. É necessário fazer uma progressão algébrica para que mais três termos sejam colocados entre eles.
Antes de começar a resolver este problema, é necessário entender que lugar os números dados ocuparão na progressão futura. Como haverá mais três termos entre eles, então 1 \u003d -4 e 5 \u003d 5. Tendo estabelecido isso, passamos a uma tarefa semelhante à anterior. Novamente, para o enésimo termo, usamos a fórmula, obtemos: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. De: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Aqui a diferença não é um valor inteiro, mas é um número racional, então as fórmulas para a progressão algébrica permanecem as mesmas.
Agora vamos adicionar a diferença encontrada a 1 e restaurar os membros ausentes da progressão. Obtemos: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u003d 5, que coincidiu com a condição do problema.
Exemplo #4: O primeiro membro da progressão
Continuamos a dar exemplos de uma progressão aritmética com uma solução. Em todos os problemas anteriores, o primeiro número da progressão algébrica era conhecido. Agora considere um problema de um tipo diferente: sejam dados dois números, onde a 15 = 50 e a 43 = 37. É necessário descobrir de qual número essa sequência começa.
As fórmulas que foram usadas até agora pressupõem o conhecimento de a 1 e d. Nada se sabe sobre esses números na condição do problema. No entanto, vamos escrever as expressões para cada membro sobre o qual temos informações: a 15 = a 1 + 14 * d e a 43 = a 1 + 42 * d. Temos duas equações nas quais existem 2 incógnitas (a 1 e d). Isso significa que o problema é reduzido a resolver um sistema de equações lineares.
O sistema especificado é mais fácil de resolver se você expressar um 1 em cada equação e depois comparar as expressões resultantes. Primeira equação: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; segunda equação: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Igualando essas expressões, obtemos: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, onde a diferença é d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (apenas 3 casas decimais são fornecidas).
Conhecendo d, você pode usar qualquer uma das 2 expressões acima para a 1 . Por exemplo, primeiro: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.
Se houver dúvidas sobre o resultado, você pode verificá-lo, por exemplo, determinar o 43º membro da progressão, especificado na condição. Obtemos: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Um pequeno erro se deve ao fato de ter sido utilizado arredondamento para milésimos nos cálculos.
Exemplo #5: Soma
Agora vamos ver alguns exemplos com soluções para a soma de uma progressão aritmética.
Seja uma progressão numérica da seguinte forma: 1, 2, 3, 4, ...,. Como calcular a soma de 100 desses números?
Graças ao desenvolvimento da tecnologia da computação, esse problema pode ser resolvido, ou seja, somar sequencialmente todos os números, o que o computador fará imediatamente, assim que uma pessoa pressionar a tecla Enter. No entanto, o problema pode ser resolvido mentalmente se você prestar atenção que a série de números apresentada é uma progressão algébrica, e sua diferença é 1. Aplicando a fórmula da soma, temos: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
É curioso notar que esse problema é chamado de "Gaussiano", pois no início do século XVIII o famoso alemão, ainda com apenas 10 anos de idade, conseguiu resolvê-lo em sua mente em poucos segundos. O menino não conhecia a fórmula da soma de uma progressão algébrica, mas notou que se somarmos pares de números localizados nas bordas da sequência, obteremos sempre o mesmo resultado, ou seja, 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., e como essas somas serão exatamente 50 (100 / 2), para obter a resposta correta, basta multiplicar 50 por 101.
Exemplo #6: soma dos termos de n a m
Outro exemplo típico da soma de uma progressão aritmética é o seguinte: dada uma série de números: 3, 7, 11, 15, ..., você precisa descobrir qual será a soma de seus membros de 8 a 14.
O problema é resolvido de duas maneiras. O primeiro deles envolve encontrar termos desconhecidos de 8 a 14 e, em seguida, resumi-los sequencialmente. Como existem poucos termos, esse método não é trabalhoso o suficiente. No entanto, propõe-se resolver este problema pelo segundo método, que é mais universal.
A ideia é obter uma fórmula para a soma de uma progressão algébrica entre os termos m e n, onde n > m são inteiros. Vamos escrever duas expressões para a soma para ambos os casos:
- S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
- S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.
Como n > m, é óbvio que a soma 2 inclui o primeiro. A última conclusão significa que, se pegarmos a diferença entre essas somas e adicionarmos o termo a m a ela (no caso de tirar a diferença, ela é subtraída da soma S n), obteremos a resposta necessária para o problema. Temos: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). É necessário substituir fórmulas para a n e a m nesta expressão. Então temos: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.
A fórmula resultante é um pouco complicada, no entanto, a soma S mn depende apenas de n, m, a 1 e d. No nosso caso, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Substituindo esses números, obtemos: S mn = 301.
Como pode ser visto nas soluções acima, todos os problemas são baseados no conhecimento da expressão para o enésimo termo e a fórmula para a soma do conjunto dos primeiros termos. Antes de começar a resolver qualquer um desses problemas, é recomendável que você leia atentamente a condição, entenda claramente o que deseja encontrar e só então prossiga com a solução.
Outra dica é buscar a simplicidade, ou seja, se você conseguir responder a pergunta sem usar cálculos matemáticos complexos, é preciso fazer exatamente isso, pois nesse caso a probabilidade de errar é menor. Por exemplo, no exemplo de uma progressão aritmética com a solução nº 6, pode-se parar na fórmula S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, e divida a tarefa geral em subtarefas separadas (neste caso, primeiro encontre os termos a n e a m).
Se houver dúvidas sobre o resultado, é recomendável verificar, como foi feito em alguns dos exemplos dados. Como encontrar uma progressão aritmética, descobri. Depois de descobrir, não é tão difícil.
Progressão aritmética nomear uma sequência de números (membros de uma progressão)
Em que cada termo subsequente difere do anterior por um termo de aço, que também é chamado diferença de passo ou progressão.
Assim, definindo o passo da progressão e seu primeiro termo, você pode encontrar qualquer um de seus elementos usando a fórmula
Propriedades de uma progressão aritmética
1) Cada membro da progressão aritmética, a partir do segundo número, é a média aritmética do membro anterior e seguinte da progressão
A recíproca também é verdadeira. Se a média aritmética dos membros ímpares (pares) vizinhos da progressão é igual ao membro que está entre eles, então esta sequência de números é uma progressão aritmética. Por esta asserção é muito fácil verificar qualquer sequência.
Também pela propriedade da progressão aritmética, a fórmula acima pode ser generalizada para a seguinte
Isso é fácil de verificar se escrevermos os termos à direita do sinal de igual
É frequentemente usado na prática para simplificar cálculos em problemas.
2) A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é calculada pela fórmula
Lembre-se bem da fórmula para a soma de uma progressão aritmética, ela é indispensável nos cálculos e é bastante comum em situações simples da vida.
3) Se você precisar encontrar não a soma inteira, mas uma parte da sequência a partir de seu k -th membro, a seguinte fórmula de soma será útil para você
4) É de interesse prático encontrar a soma de n membros de uma progressão aritmética a partir do k-ésimo número. Para isso, use a fórmula
É aqui que termina o material teórico e passamos à resolução de problemas que são comuns na prática.
Exemplo 1. Encontre o quadragésimo termo da progressão aritmética 4;7;...
Solução:
De acordo com a condição, temos
Vamos definir a etapa de progressão
De acordo com a conhecida fórmula, encontramos o quadragésimo termo da progressão
Exemplo2. A progressão aritmética é dada por seu terceiro e sétimo membros. Encontre o primeiro termo da progressão e a soma de dez.
Solução:
Escrevemos os elementos dados da progressão de acordo com as fórmulas
Subtraímos a primeira equação da segunda equação, como resultado encontramos o passo de progressão
O valor encontrado é substituído em qualquer uma das equações para encontrar o primeiro termo da progressão aritmética
Calcule a soma dos dez primeiros termos da progressão
Sem aplicar cálculos complexos, encontramos todos os valores necessários.
Exemplo 3. Uma progressão aritmética é dada pelo denominador e um de seus membros. Encontre o primeiro termo da progressão, a soma de seus 50 termos a partir de 50 e a soma dos primeiros 100.
Solução:
Vamos escrever a fórmula para o centésimo elemento da progressão
e encontre o primeiro
Com base no primeiro, encontramos o 50º termo da progressão
Encontrando a soma da parte da progressão
e a soma dos 100 primeiros
A soma da progressão é 250.
Exemplo 4
Encontre o número de membros de uma progressão aritmética se:
a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.
Solução:
Escrevemos as equações em termos do primeiro termo e do passo da progressão e as definimos
Substituímos os valores obtidos na fórmula da soma para determinar o número de termos na soma
Fazendo simplificações
e resolva a equação do segundo grau
Dos dois valores encontrados, apenas o número 8 é adequado para a condição do problema. Assim, a soma dos primeiros oito termos da progressão é 111.
Exemplo 5
resolva a equação
1+3+5+...+x=307.
Solução: Esta equação é a soma de uma progressão aritmética. Escrevemos seu primeiro termo e encontramos a diferença da progressão
Antes de começarmos a decidir problemas de progressão aritmética, considere o que é uma sequência numérica, já que uma progressão aritmética é um caso especial de uma sequência numérica.
Uma sequência numérica é um conjunto numérico, cada elemento do qual tem seu próprio número de série. Os elementos deste conjunto são chamados membros da sequência. O número ordinal de um elemento de sequência é indicado por um índice:
O primeiro elemento da sequência;
O quinto elemento da sequência;
- "nésimo" elemento da sequência, i.e. o elemento "em pé na fila" no número n.
Existe uma relação entre o valor de um elemento de sequência e seu número ordinal. Portanto, podemos considerar uma sequência como uma função cujo argumento é o número ordinal de um elemento da sequência. Em outras palavras, pode-se dizer que a sequência é uma função do argumento natural:
A sequência pode ser especificada de três maneiras:
1 . A sequência pode ser especificada usando uma tabela. Nesse caso, simplesmente definimos o valor de cada membro da sequência.
Por exemplo, Alguém decidiu assumir o gerenciamento pessoal do tempo e, para começar, contar durante a semana quanto tempo ele gasta no VKontakte. Ao escrever a hora em uma tabela, ele obterá uma sequência composta por sete elementos:
A primeira linha da tabela contém o número do dia da semana, a segunda - o tempo em minutos. Vemos isso, ou seja, na segunda-feira Alguém passou 125 minutos no VKontakte, ou seja, na quinta-feira - 248 minutos e, ou seja, na sexta-feira, apenas 15.
2 . A sequência pode ser especificada usando a enésima fórmula de membro.
Nesse caso, a dependência do valor de um elemento de sequência em seu número é expressa diretamente como uma fórmula.
Por exemplo, se , então
Para encontrar o valor de um elemento de sequência com um determinado número, substituímos o número do elemento na fórmula do enésimo membro.
Fazemos o mesmo se precisarmos encontrar o valor de uma função se o valor do argumento for conhecido. Substituímos o valor do argumento na equação da função:
Se, por exemplo, 
, então
Mais uma vez, observo que em uma sequência, ao contrário de uma função numérica arbitrária, apenas um número natural pode ser um argumento.
3 . A sequência pode ser especificada usando uma fórmula que expressa a dependência do valor do membro da sequência com o número n do valor dos membros anteriores. Nesse caso, não basta saber apenas o número de um membro da sequência para encontrar seu valor. Precisamos especificar o primeiro membro ou os primeiros membros da sequência.
Por exemplo, considere a sequência 
, 
Podemos encontrar os valores dos membros de uma sequência em sequência, a partir do terceiro:
Ou seja, cada vez que encontrarmos o valor do enésimo membro da sequência, voltamos aos dois anteriores. Essa forma de sequenciamento é chamada recorrente, da palavra latina recorrente- volte.
Agora podemos definir uma progressão aritmética. Uma progressão aritmética é um caso especial simples de uma sequência numérica.
Progressão aritmética chamada de sequência numérica, cada membro do qual, a partir do segundo, é igual ao anterior, somado com o mesmo número.
O número é chamado a diferença de uma progressão aritmética. A diferença de uma progressão aritmética pode ser positiva, negativa ou zero.
If title="(!LANG:d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} aumentando.
Por exemplo, 2; 5; oito; onze;...
Se , então cada termo da progressão aritmética é menor que o anterior, e a progressão é minguante.
Por exemplo, 2; -1; -quatro; -7;...
Se , então todos os membros da progressão são iguais ao mesmo número, e a progressão é estacionário.
Por exemplo, 2;2;2;2;...
A principal propriedade de uma progressão aritmética:
Vamos olhar para a imagem.
Nós vemos que
, e ao mesmo tempo
Somando essas duas igualdades, obtemos:
.
Divida os dois lados da equação por 2:
Assim, cada membro da progressão aritmética, a partir do segundo, é igual à média aritmética de dois vizinhos:
Além disso, porque
, e ao mesmo tempo
, então
, e, portanto
Cada membro da progressão aritmética começando com title="(!LANG:k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих.
!}
ª fórmula do membro.
Vemos que para os membros da progressão aritmética, as seguintes relações são válidas:
e finalmente
Obtemos fórmula do enésimo termo.
IMPORTANTE! Qualquer membro de uma progressão aritmética pode ser expresso em termos de e . Conhecendo o primeiro termo e a diferença de uma progressão aritmética, você pode encontrar qualquer um de seus membros.
A soma de n membros de uma progressão aritmética.
Em uma progressão aritmética arbitrária, as somas dos termos igualmente espaçados dos extremos são iguais entre si:
Considere uma progressão aritmética com n membros. Deixe a soma de n membros desta progressão ser igual a .
Organize os termos da progressão primeiro em ordem crescente de números e depois em ordem decrescente:
Vamos emparelhar:
A soma em cada parêntese é , o número de pares é n.
Nós temos:
Então, a soma de n membros de uma progressão aritmética pode ser encontrada usando as fórmulas:
Considerar Resolvendo problemas de progressão aritmética.
1 . A sequência é dada pela fórmula do enésimo membro: . Prove que esta sequência é uma progressão aritmética.
Vamos provar que a diferença entre dois membros adjacentes da sequência é igual ao mesmo número.
Obtivemos que a diferença de dois membros adjacentes da sequência não depende de seu número e é uma constante. Portanto, por definição, essa sequência é uma progressão aritmética.
2 . Dada uma progressão aritmética -31; -27;...
a) Encontre os 31 termos da progressão.
b) Determine se o número 41 está incluído nesta progressão.
a) Nós vemos que ;
Vamos escrever a fórmula para o enésimo termo da nossa progressão.
No geral 
No nosso caso 
, é por isso 
