>>Matemática: desigualdades racionais

Uma desigualdade racional com uma variável x é uma desigualdade da forma - expressões racionais, ou seja, expressões algébricas compostas de números e a variável x usando as operações de adição, subtração, multiplicação, divisão e elevação a uma potência natural. Claro, a variável pode ser denotada por qualquer outra letra, mas em matemática, a letra x é mais frequentemente preferida.

Ao resolver desigualdades racionais, são usadas as três regras formuladas acima no § 1. Com a ajuda dessas regras, uma dada desigualdade racional é geralmente convertida na forma / (x) > 0, onde / (x) é uma equação algébrica fração (ou polinômio). Em seguida, decomponha o numerador e o denominador da fração f (x) em fatores da forma x - a (se, claro, isso for possível) e aplique o método do intervalo, que já mencionamos acima (veja o exemplo 3 no anterior parágrafo).

Exemplo 1 Resolva a desigualdade (x - 1) (x + 1) (x - 2) > 0.

Solução. Considere a expressão f(x) = (x-1)(x + 1)(x-2).

Passa para 0 nos pontos 1,-1,2; marque esses pontos na reta numérica. A linha numérica é dividida pelos pontos indicados em quatro intervalos (Fig. 6), em cada um dos quais a expressão f (x) mantém um sinal constante. Para verificar isso, realizaremos quatro argumentos (para cada um desses intervalos separadamente).

Pegue qualquer ponto x do intervalo (2, Este ponto está localizado na linha numérica à direita do ponto -1, à direita do ponto 1 e à direita do ponto 2. Isso significa que x> -1, x> 1, x> 2 (Fig. 7). Mas então x-1>0, x+1>0, x - 2> 0 e, portanto, f (x)> 0 (como o produto de uma desigualdade racional de três números). Então, a desigualdade f (x ) > 0.

Tome qualquer ponto x do intervalo (1,2). Este ponto está localizado na reta numérica à direita do ponto 1, à direita do ponto 1, mas à esquerda do ponto 2. Portanto, x\u003e -1, x\u003e 1, mas x< 2 (рис. 8), а потому x + 1>0.x-1>0.x-2<0. Но тогда f(x) <0 (как произведение двух положительных и одного отрицательного числа). Итак, на промежутке (1,2) выполняется неравенство f (x) < 0.

Tome qualquer ponto x do intervalo (-1,1). Este ponto está localizado na reta numérica à direita do ponto -1, à esquerda do ponto 1 e à esquerda do ponto 2. Então x > -1, mas x< 1, х <2 (рис. 9), а потому х + 1 >0, x -1<0, х - 2 < 0. Но тогда f (x) >0 (como o produto de dois números negativos e um número positivo). Assim, no intervalo (-1,1) vale a desigualdade f(x)> 0.

Finalmente, pegue qualquer ponto x do raio aberto (-oo, -1). Este ponto está localizado na reta numérica à esquerda do ponto -1, à esquerda do ponto 1 e à esquerda do ponto 2. Isso significa que x<-1, х< 1, х<2 (рис. 10). Но тогда x - 1 < 0, x + 1 < 0, х - 2 < 0, а значит, и f (x) < 0 (как произведение трех отрицательных чисел). Итак, на всем промежутке (-оо, -1) выполняется неравенство f (x) < 0.

Vamos resumir. Os sinais da expressão f (x) nos intervalos selecionados são mostrados na Fig. 11. Estamos interessados ​​naqueles em que a desigualdade f(x) > 0 é satisfeita.Usando o modelo geométrico apresentado na fig. 11, estabelecemos que a desigualdade f (x) > 0 é satisfeita no intervalo (-1, 1) ou na viga aberta
Responder: -1 < х < 1; х > 2.

Exemplo 2 Resolva a desigualdade
Solução. Como no exemplo anterior, extrairemos as informações necessárias da Fig. 11, mas com duas mudanças em relação ao exemplo 1. Primeiro, já que estamos interessados ​​em saber quais valores de x satisfazem a desigualdade f(x)< 0, нам придется выбрать промежутки Em segundo lugar, também estamos satisfeitos com os pontos em que é satisfeita a igualdade f (x) = 0. Esses são os pontos -1, 1, 2, nós os marcamos na figura com círculos escuros e os incluímos na resposta. Na fig. 12 mostra um modelo geométrico da resposta, do qual não é difícil passar para um registro analítico.
Responder:
EXEMPLO 3. Resolva a desigualdade
Solução. Vamos fatorar o numerador e o denominador da fração algébrica fx contida no lado esquerdo da desigualdade. No numerador, temos x 2 - x \u003d x (x - 1).

Para fatorar o trinômio quadrado x 2 - bx ~ 6 contido no denominador da fração, encontramos suas raízes. Da equação x 2 - 5x - 6 \u003d 0 encontramos x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 6. Portanto, (usamos a fórmula para fatorar um trinômio quadrado: ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1 - x 2)).
Assim, transformamos a desigualdade dada na forma

Considere a expressão:

O numerador desta fração passa para 0 nos pontos 0 e 1, e vira para 0 nos pontos -1 e 6. Vamos marcar esses pontos na reta numérica (Fig. 13). A linha numérica é dividida pelos pontos indicados em cinco intervalos, e em cada intervalo a expressão fx) mantém um sinal constante. Argumentando da mesma forma que no Exemplo 1, chegamos à conclusão de que os sinais da expressão fx) nos intervalos selecionados são os mostrados na Fig. 13. Estamos interessados ​​em onde a desigualdade f (x)< 0. С помощью геометрической модели, представленной на рис. 13, устанавливаем, что f (х) < 0 на интервале (-1, 0) или на интервале (1, 6).

0 resposta: -1

Exemplo 4 Resolva a desigualdade

Solução. Ao resolver inequações racionais, via de regra, eles preferem deixar apenas o número 0 no lado direito da inequação. Portanto, transformamos a inequação para a forma

Avançar:

Como mostra a experiência, se o lado direito da inequação contém apenas o número 0, é mais conveniente raciocinar quando tanto o numerador quanto o denominador do lado esquerdo têm um coeficiente sênior positivo. E o que temos? Temos tudo no denominador da fração neste sentido em ordem (o coeficiente principal, ou seja, o coeficiente em x 2, é 6 - um número positivo), mas nem tudo está em ordem no numerador - o coeficiente sênior (o coeficiente em x) é - 4 (número negativo) Multiplicando ambos os lados da desigualdade por -1 e mudando o sinal da desigualdade para o oposto, obtemos uma desigualdade equivalente

Vamos fatorar o numerador e o denominador de uma fração algébrica. No numerador, tudo é simples:
Para fatorar o trinômio quadrado contido no denominador de uma fração

(novamente usamos a fórmula para fatorar um trinômio quadrado).
Assim, reduzimos a desigualdade dada à forma

Considere a expressão

O numerador desta fração passa a 0 no ponto e o denominador - nos pontos. Notamos esses pontos na reta numérica (Fig. 14), que é dividida pelos pontos indicados em quatro intervalos, e em cada intervalo a expressão f(x) mantém um sinal constante (esses sinais são indicados na Fig. 14). Estamos interessados ​​nos intervalos em que a desigualdade fх< 0; эти промежутки выделены штриховкой на рис. 15. По условию, нас интересуют и те точки х, в которых выполняется равенство f (х) = 0. Такая точка только одна - это точка поскольку лишь при этом значении числитель дроби f (х) обращается в нуль. Точка отмечена на рис. 15 темным кружочком. Таким образом, на рис. 15 представлена геометрическая модель решения заданного неравенства, от которой нетрудно перейти к аналитической записи.

Em todos os exemplos considerados, transformamos a desigualdade dada em uma desigualdade equivalente da forma f (x) > 0 ou f (x)<0,где
Nesse caso, o número de fatores no numerador e no denominador de uma fração pode ser qualquer. Em seguida, os pontos a, b, c, e foram marcados na reta numérica. e determinou os sinais da expressão f (x) nos intervalos selecionados. Notamos que bem à direita dos intervalos selecionados, a desigualdade f(x) > 0 é satisfeita, e então os sinais da expressão f(x) se alternam ao longo dos intervalos (ver Fig. 16a). Esta alternância é convenientemente ilustrada com a ajuda de uma curva ondulada, desenhada da direita para a esquerda e de cima para baixo (Fig. 166). Nos intervalos em que essa curva (às vezes chamada de curva dos sinais) está localizada acima do eixo x, a desigualdade f(x) > 0 é satisfeita; onde esta curva está localizada abaixo do eixo x, a desigualdade f (x)< 0.

Exemplo 5 Resolva a desigualdade

Solução. Nós temos

(ambas as partes da desigualdade anterior foram multiplicadas por 6).
Para usar o método do intervalo, marque os pontos na reta numérica (nesses pontos desaparece o numerador da fração contida no lado esquerdo da desigualdade) e pontos (nesses pontos desaparece o denominador da fração indicada). Normalmente, os pontos são marcados esquematicamente, levando em consideração a ordem em que seguem (que é para a direita, que é para a esquerda) e não prestando muita atenção à escala. Está claro que A situação é mais complicada com números: a primeira estimativa mostra que ambos os números são ligeiramente maiores que 2,6, a partir dos quais é impossível concluir qual dos números indicados é maior e qual é menor. Suponha (ao acaso) que Então
Descobriu-se a desigualdade correta, o que significa que nosso palpite foi confirmado: de fato
Então,

Marcamos os 5 pontos indicados na ordem indicada na linha numérica (Fig. 17a). Organize os sinais da expressão
nos intervalos obtidos: à direita - um sinal de + e, em seguida, os sinais se alternam (Fig. 176). Desenhemos uma curva de sinais e selecionemos (sombreando) os intervalos nos quais a desigualdade f(x) > 0 que nos interessa é satisfeita (Fig. 17c). Finalmente, levamos em consideração que estamos falando de uma desigualdade não estrita f (x) > 0, o que significa que também estamos interessados ​​naqueles pontos em que a expressão f (x) se anula. Estas são as raízes do numerador da fração f (x), ou seja, pontos nós os marcamos na Fig. 17 em olheiras (e, claro, inclua na resposta). Agora aqui está a foto. 17c fornece um modelo geométrico completo para soluções para a desigualdade dada.

Informação preliminar

Definição 1

Uma desigualdade da forma $f(x) >(≥)g(x)$, na qual $f(x)$ e $g(x)$ são expressões racionais inteiras, é chamada de desigualdade racional inteira.

Exemplos de desigualdades racionais inteiras são desigualdades lineares, quadráticas e cúbicas com duas variáveis.

Definição 2

O valor $x$ para o qual a desigualdade da definição de $1$ é satisfeita é chamado de raiz da equação.

Um exemplo de resolução de tais desigualdades:

Exemplo 1

Resolva a desigualdade inteira $4x+3 >38-x$.

Solução.

Vamos simplificar essa desigualdade:

Temos uma desigualdade linear. Vamos encontrar sua solução:

Resposta: $(7,∞)$.

Neste artigo, consideraremos os seguintes métodos para resolver desigualdades racionais inteiras.

Método de fatoração

Este método será o seguinte: Uma equação da forma $f(x)=g(x)$ é escrita. Esta equação é reduzida à forma $φ(x)=0$ (onde $φ(x)=f(x)-g(x)$). Então a função $φ(x)$ é fatorada com as menores potências possíveis. A regra se aplica: O produto de polinômios é zero quando um deles é zero. Além disso, as raízes encontradas são marcadas na reta numérica e uma curva de sinais é construída. Dependendo do sinal da desigualdade inicial, a resposta é escrita.

Aqui estão exemplos de soluções dessa maneira:

Exemplo 2

Resolva por fatoração. $y^2-9

Solução.

Resolva a equação $y^2-9

Usando a fórmula da diferença de quadrados, temos

Usando a regra da igualdade a zero do produto dos fatores, obtemos as seguintes raízes: $3$ e $-3$.

Vamos desenhar uma curva de sinais:

Como o sinal é “menor que” na desigualdade inicial, obtemos

Responder: $(-3,3)$.

Exemplo 3

Resolva por fatoração.

$x^3+3x+2x^2+6 ≥0$

Solução.

Vamos resolver a seguinte equação:

$x^3+3x+2x^2+6=0$

Tiramos dos colchetes os fatores comuns dos dois primeiros termos e dos dois últimos

$x(x^2+3)+2(x^2+3)=0$

Retire o fator comum $(x^2+3)$

$(x^2+3)(x+2)=0$

Usando a regra da igualdade a zero do produto dos fatores, obtemos:

$x+2=0 \ e \x^2+3=0$

$x=-2$ e "sem raízes"

Vamos desenhar uma curva de sinais:

Como na desigualdade inicial o sinal é "maior que ou igual a", obtemos

Responder: $(-∞,-2]$.

Como introduzir uma nova variável

Este método é o seguinte: Uma equação da forma $f(x)=g(x)$ é escrita. Resolvemos da seguinte forma: introduzimos essa nova variável para obter uma equação cuja solução já é conhecida. Posteriormente, resolvemos e retornamos à substituição. A partir dele encontramos a solução da primeira equação. Além disso, as raízes encontradas são marcadas na reta numérica e uma curva de sinais é construída. Dependendo do sinal da desigualdade inicial, a resposta é escrita.

Damos um exemplo da aplicação deste método usando o exemplo de uma desigualdade de quarto grau:

Exemplo 4

Vamos resolver a desigualdade.

$x^4+4x^2-21 >0$

Solução.

Vamos resolver a equação:

Vamos fazer a seguinte substituição:

Seja $x^2=u (onde \ u >0)$, obtemos:

Vamos resolver este sistema usando o discriminante:

$D=16+84=100=10^2$

A equação tem duas raízes:

$x=\frac(-4-10)(2)=-7$ e $x=\frac(-4+10)(2)=3$

De volta à substituição:

$x^2=-7$ e $x^2=3$

A primeira equação não tem soluções, e a partir da segunda $x=\sqrt(3)$ e $x=-\sqrt(3)$

Vamos desenhar uma curva de sinais:

Como o sinal de “maior que” na desigualdade inicial, obtemos

Responder:$(-∞,-\sqrt(3))∪(\sqrt(3),∞)$

Com a ajuda desta lição, você aprenderá sobre desigualdades racionais e seus sistemas. O sistema de desigualdades racionais é resolvido com a ajuda de transformações equivalentes. Considera-se a definição de equivalência, o método de substituição de uma desigualdade fracionário-racional por uma quadrada, e também entende qual é a diferença entre uma desigualdade e uma equação e como são realizadas as transformações equivalentes.

Álgebra 9ª série

Repetição final do curso de álgebra do 9º ano

Desigualdades racionais e seus sistemas. Sistemas de desigualdades racionais.

1.1 Abstrato.

1. Transformações equivalentes de desigualdades racionais.

Decidir desigualdade racional significa encontrar todas as suas soluções. Ao contrário de uma equação, ao resolver uma inequação, via de regra, há um número infinito de soluções. Um número infinito de soluções não pode ser verificado por substituição. Portanto, é necessário transformar a desigualdade original de forma que a cada linha seguinte seja obtida uma desigualdade com o mesmo conjunto de soluções.

Desigualdades racionais resolvido apenas com equivalente ou transformações equivalentes. Tais transformações não distorcem o conjunto de soluções.

Definição. Desigualdades racionais chamado equivalente se os conjuntos de suas soluções forem iguais.

Para designar equivalência usar sinal

2. Solução do sistema de inequações

A primeira e a segunda desigualdades são desigualdades racionais fracionárias. Os métodos para resolvê-los são uma continuação natural dos métodos para resolver desigualdades lineares e quadráticas.

Vamos mover os números do lado direito para a esquerda com o sinal oposto.

Como resultado, ficará do lado direito 0. Esta transformação é equivalente. Isso é indicado pelo sinal

Vamos realizar as ações que a álgebra prescreve. Subtraia "1" na primeira desigualdade e "2" na segunda.

3. Resolvendo a inequação pelo método do intervalo

1) Vamos introduzir uma função. Precisamos saber quando esta função é menor que 0.

2) Encontre o domínio da função: o denominador não deve ser 0. "2" é o ponto de quebra. Para x=2 a função é indefinida.

3) Encontre as raízes da função. A função é 0 se o numerador for 0.

Os pontos de ajuste dividem o eixo numérico em três intervalos - estes são intervalos de constância. Em cada intervalo, a função mantém seu sinal. Vamos determinar o sinal no primeiro intervalo. Substituir algum valor. Por exemplo, 100. É claro que tanto o numerador quanto o denominador são maiores que 0. Isso significa que a fração inteira é positiva.

Vamos determinar os sinais nos intervalos restantes. Ao passar pelo ponto x=2, apenas o denominador muda de sinal. Isso significa que a fração inteira mudará de sinal e será negativa. Vamos fazer uma discussão semelhante. Ao passar pelo ponto x=-3, apenas o numerador muda de sinal. Isso significa que a fração mudará de sinal e será positiva.

Escolhemos um intervalo correspondente à condição de desigualdade. Sombreie-o e escreva-o como uma desigualdade

4. Resolvendo a desigualdade usando uma desigualdade quadrática

Um fato importante.

Quando comparada com 0 (no caso de desigualdade estrita), a fração pode ser substituída pelo produto do numerador e do denominador, ou o numerador ou o denominador podem ser trocados.

Isso ocorre porque todas as três desigualdades são satisfeitas desde que u e v tenham sinais diferentes. Essas três desigualdades são equivalentes.

Usamos esse fato e substituímos a desigualdade racional fracionária por uma quadrada.

Vamos resolver a desigualdade quadrática.

Introduzimos uma função quadrática. Vamos encontrar suas raízes e construir um esboço de seu gráfico.

Então os ramos da parábola estão para cima. Dentro do intervalo de raízes, a função preserva o sinal. Ela é negativa.

Fora do intervalo das raízes, a função é positiva.

Solução da primeira desigualdade:

5. Solução da inequação

Vamos introduzir uma função:

Vamos encontrar seus intervalos de constância:

Para fazer isso, encontramos as raízes e os pontos de descontinuidade do domínio da função. Sempre cortamos pontos de interrupção. (x \u003d 3/2) Cortamos as raízes dependendo do sinal de desigualdade. Nossa desigualdade é estrita. Portanto, cortamos a raiz.

Vamos colocar os sinais:

Vamos escrever a solução:

Vamos terminar a solução do sistema. Vamos encontrar a interseção do conjunto de soluções da primeira desigualdade e o conjunto de soluções da segunda desigualdade.

Resolver um sistema de inequações significa encontrar a interseção do conjunto de soluções da primeira inequação e o conjunto de soluções da segunda inequação. Portanto, tendo resolvido a primeira e a segunda desigualdades separadamente, é necessário escrever os resultados obtidos em um sistema.

Vamos representar a solução da primeira desigualdade sobre o eixo x.

Desigualdades racionais e seus sistemas. Sistemas de desigualdades racionais
Repetição final do curso de álgebra do 9º ano

Com a ajuda desta lição, você aprenderá sobre desigualdades racionais e seus sistemas. O sistema de desigualdades racionais é resolvido com a ajuda de transformações equivalentes. Considera-se a definição de equivalência, o método de substituição de uma desigualdade fracionário-racional por uma quadrada, e também entende qual é a diferença entre uma desigualdade e uma equação e como são realizadas as transformações equivalentes.

Álgebra 9ª série

Repetição final do curso de álgebra do 9º ano

Desigualdades racionais e seus sistemas. Sistemas de desigualdades racionais.

1.1 Abstrato.

1. Transformações equivalentes de desigualdades racionais.

Decidir desigualdade racional significa encontrar todas as suas soluções. Ao contrário de uma equação, ao resolver uma inequação, via de regra, há um número infinito de soluções. Um número infinito de soluções não pode ser verificado por substituição. Portanto, é necessário transformar a desigualdade original de forma que a cada linha seguinte seja obtida uma desigualdade com o mesmo conjunto de soluções.

Desigualdades racionais resolvido apenas com equivalente ou transformações equivalentes. Tais transformações não distorcem o conjunto de soluções.

Definição. Desigualdades racionais chamado equivalente se os conjuntos de suas soluções forem iguais.

Para designar equivalência usar sinal

2. Solução do sistema de inequações

A primeira e a segunda desigualdades são desigualdades racionais fracionárias. Os métodos para resolvê-los são uma continuação natural dos métodos para resolver desigualdades lineares e quadráticas.

Vamos mover os números do lado direito para a esquerda com o sinal oposto.

Como resultado, ficará do lado direito 0. Esta transformação é equivalente. Isso é indicado pelo sinal

Vamos realizar as ações que a álgebra prescreve. Subtraia "1" na primeira desigualdade e "2" na segunda.

3. Resolvendo a inequação pelo método do intervalo

1) Vamos introduzir uma função. Precisamos saber quando esta função é menor que 0.

2) Encontre o domínio da função: o denominador não deve ser 0. "2" é o ponto de quebra. Para x=2 a função é indefinida.

3) Encontre as raízes da função. A função é 0 se o numerador for 0.

Os pontos de ajuste dividem o eixo numérico em três intervalos - estes são intervalos de constância. Em cada intervalo, a função mantém seu sinal. Vamos determinar o sinal no primeiro intervalo. Substituir algum valor. Por exemplo, 100. É claro que tanto o numerador quanto o denominador são maiores que 0. Isso significa que a fração inteira é positiva.

Vamos determinar os sinais nos intervalos restantes. Ao passar pelo ponto x=2, apenas o denominador muda de sinal. Isso significa que a fração inteira mudará de sinal e será negativa. Vamos fazer uma discussão semelhante. Ao passar pelo ponto x=-3, apenas o numerador muda de sinal. Isso significa que a fração mudará de sinal e será positiva.

Escolhemos um intervalo correspondente à condição de desigualdade. Sombreie-o e escreva-o como uma desigualdade

4. Resolvendo a desigualdade usando uma desigualdade quadrática

Um fato importante.

Quando comparada com 0 (no caso de desigualdade estrita), a fração pode ser substituída pelo produto do numerador e do denominador, ou o numerador ou o denominador podem ser trocados.

Isso ocorre porque todas as três desigualdades são satisfeitas desde que u e v tenham sinais diferentes. Essas três desigualdades são equivalentes.

Usamos esse fato e substituímos a desigualdade racional fracionária por uma quadrada.

Vamos resolver a desigualdade quadrática.

Introduzimos uma função quadrática. Vamos encontrar suas raízes e construir um esboço de seu gráfico.

Então os ramos da parábola estão para cima. Dentro do intervalo de raízes, a função preserva o sinal. Ela é negativa.

Fora do intervalo das raízes, a função é positiva.

Solução da primeira desigualdade:

5. Solução da inequação

Vamos introduzir uma função:

Vamos encontrar seus intervalos de constância:

Para fazer isso, encontramos as raízes e os pontos de descontinuidade do domínio da função. Sempre cortamos pontos de interrupção. (x \u003d 3/2) Cortamos as raízes dependendo do sinal de desigualdade. Nossa desigualdade é estrita. Portanto, cortamos a raiz.

Vamos colocar os sinais:

Vamos escrever a solução:

Vamos terminar a solução do sistema. Vamos encontrar a interseção do conjunto de soluções da primeira desigualdade e o conjunto de soluções da segunda desigualdade.

Resolver um sistema de inequações significa encontrar a interseção do conjunto de soluções da primeira inequação e o conjunto de soluções da segunda inequação. Portanto, tendo resolvido a primeira e a segunda desigualdades separadamente, é necessário escrever os resultados obtidos em um sistema.

Vamos representar a solução da primeira desigualdade sobre o eixo x.

Vamos representar a solução da segunda desigualdade sob o eixo.

Método de espaçamento- esta é uma maneira universal de resolver quase todas as desigualdades que ocorrem em um curso de álgebra escolar. É baseado nas seguintes propriedades de funções:

1. A função contínua g(x) pode mudar de sinal apenas no ponto em que é igual a 0. Graficamente, isso significa que o gráfico de uma função contínua pode se mover de um semiplano para outro somente se cruzar o x- eixo (lembramos que a ordenada de qualquer ponto situado no eixo OX (eixo das abcissas) é igual a zero, ou seja, o valor da função neste ponto é 0):

Vemos que a função y=g(x) mostrada no gráfico cruza o eixo OX nos pontos x= -8, x=-2, x=4, x=8. Esses pontos são chamados de zeros da função. E nos mesmos pontos a função g(x) muda de sinal.

2. A função também pode alterar o sinal nos zeros do denominador - o exemplo mais simples de uma função bem conhecida:

Vemos que a função muda de sinal na raiz do denominador, no ponto , mas não desaparece em nenhum ponto. Assim, se a função contém uma fração, ela pode mudar o sinal nas raízes do denominador.

2. No entanto, a função nem sempre muda de sinal na raiz do numerador ou na raiz do denominador. Por exemplo, a função y=x 2 não muda de sinal no ponto x=0:

Porque a equação x 2 \u003d 0 tem duas raízes iguais x \u003d 0, no ponto x \u003d 0, a função, por assim dizer, volta duas vezes para 0. Essa raiz é chamada de raiz da segunda multiplicidade.

Função muda de sinal no zero do numerador, mas não muda de sinal no zero do denominador: , pois a raiz é a raiz da segunda multiplicidade, ou seja, da multiplicidade par:

Importante! Nas raízes de multiplicidade par, a função não muda de sinal.

Observação! Qualquer não linear a desigualdade do curso escolar de álgebra, via de regra, é resolvida pelo método dos intervalos.

Eu ofereço a você um detalhado, seguindo o qual você pode evitar erros ao resolvendo desigualdades não lineares.

1. Primeiro você precisa trazer a desigualdade para a forma

P(x)V0,

onde V é o sinal de desigualdade:<,>,≤ ou ≥. Para isso você precisa:

a) mova todos os termos para o lado esquerdo da desigualdade,

b) encontre as raízes da expressão resultante,

c) fatorize o lado esquerdo da inequação

d) escreva os mesmos fatores como um grau.

Atenção! A última ação deve ser feita para não se enganar com a multiplicidade das raízes - se o resultado for um multiplicador em grau par, então a raiz correspondente tem uma multiplicidade par.

2. Coloque as raízes encontradas na reta numérica.

3. Se a desigualdade for estrita, os círculos que denotam as raízes no eixo numérico ficam "vazios", se a desigualdade não for estrita, os círculos são pintados.

4. Selecionamos as raízes da multiplicidade par - nelas P(x) o sinal não muda.

5. Determine o sinal P(x) no lado direito da lacuna. Para fazer isso, pegue um valor arbitrário x 0, que é maior que a maior raiz e substitua em P(x).

Se P(x 0)>0 (ou ≥0), então no intervalo mais à direita colocamos o sinal "+".

Se P(x0)<0 (или ≤0), то в самом правом промежутке ставим знак "-".

Ao passar por um ponto que denota uma raiz de multiplicidade par, o sinal NÃO muda.

7. Mais uma vez, olhamos para o sinal da desigualdade original e selecionamos os intervalos do sinal de que precisamos.

8. Atenção! Se nossa desigualdade NÃO for ESTRITA, verificamos a condição de igualdade a zero separadamente.

9. Escreva a resposta.

Se o original a desigualdade contém uma incógnita no denominador, então também transferimos todos os termos para a esquerda e reduzimos o lado esquerdo da desigualdade para a forma

(onde V é o sinal de desigualdade:< или >)

Uma desigualdade estrita desse tipo é equivalente à desigualdade

NÃO estrito uma desigualdade da forma

é equivalente a sistema:

Na prática, se a função tiver a forma , procedemos da seguinte forma:

1. Encontre as raízes do numerador e do denominador.
2. Nós os colocamos no eixo. Todos os círculos são deixados vazios. Então, se a desigualdade não for estrita, pintamos sobre as raízes do numerador e sempre deixamos as raízes do denominador vazias.
3. Em seguida, seguimos o algoritmo geral:
4. Selecionamos as raízes da multiplicidade par (se o numerador e o denominador contiverem as mesmas raízes, contamos quantas vezes as mesmas raízes ocorrem). Não há mudança de sinal em raízes de multiplicidade par.
5. Descobrimos o sinal no intervalo mais à direita.
6. Nós colocamos sinais.
7. No caso de uma desigualdade não estrita, a condição de igualdade, a condição de igualdade a zero, é verificada separadamente.
8. Selecionamos os intervalos necessários e as raízes em pé separadamente.
9. Nós escrevemos a resposta.

Para entender melhor algoritmo para resolver desigualdades pelo método do intervalo, assista a VÍDEO AULA em que o exemplo é analisado em detalhes solução da desigualdade pelo método dos intervalos.