Exemplos de resolução de problemas sobre o tema "Variáveis ​​aleatórias".

Uma tarefa 1 . Existem 100 bilhetes emitidos na loteria. Uma vitória de 50 USD foi disputada. e dez vitórias de $ 10 cada. Encontre a lei de distribuição do valor X - o custo de um ganho possível.

Solução. Possíveis valores de X: x 1 = 0; x 2 = 10 e x 3 = 50. Como existem 89 bilhetes “vazios”, então p 1 = 0,89, a probabilidade de ganhar é de 10 u. (10 bilhetes) – p 2 = 0,10 e para uma vitória de 50 c.u. –p 3 = 0,01. Nesse caminho:

	0,89	0,10	0,01

Fácil de controlar: .

Uma tarefa 2. A probabilidade de o comprador ter se familiarizado com a propaganda do produto com antecedência é de 0,6 (p = 0,6). O controle de qualidade seletivo da publicidade é realizado por meio de pesquisas de compradores antes do primeiro que estudou o anúncio com antecedência. Faça uma série de distribuição do número de compradores entrevistados.

Solução. De acordo com a condição do problema p = 0,6. De: q=1 -p = 0,4. Substituindo esses valores, obtemos: e construa uma série de distribuição:

pi		0,24

Uma tarefa 3. Um computador consiste em três elementos operacionais independentes: uma unidade de sistema, um monitor e um teclado. Com um único aumento acentuado na tensão, a probabilidade de falha de cada elemento é de 0,1. Com base na distribuição de Bernoulli, elabore a lei de distribuição para o número de elementos com falha durante uma oscilação de energia na rede.

Solução. Considerar distribuição de Bernoulli(ou binômio): a probabilidade de que em n testes, o evento A aparecerá exatamente k uma vez: , ou:

	q n					p n

NO vamos voltar à tarefa.

Possíveis valores de X (número de falhas):

x 0 =0 - nenhum dos elementos falhou;

x 1 =1 - falha de um elemento;

x 2 =2 - falha de dois elementos;

x 3 =3 - falha de todos os elementos.

Visto que, por condição, p = 0,1, então q = 1 – p = 0,9. Usando a fórmula de Bernoulli, obtemos

, ,

, .

Ao controle: .

Portanto, a lei de distribuição desejada:

	0,729	0,243	0,027	0,001

Tarefa 4. Produziu 5.000 rodadas. A probabilidade de um cartucho estar com defeito . Qual é a probabilidade de haver exatamente 3 cartuchos defeituosos em todo o lote?

Solução. Aplicável Distribuição de veneno: esta distribuição é usada para determinar a probabilidade de que, dada uma grande

número de tentativas (provas em massa), em cada uma das quais a probabilidade do evento A é muito pequena, o evento A ocorrerá k vezes: , Onde .

Aqui n \u003d 5000, p \u003d 0,0002, k \u003d 3. Encontramos , então a probabilidade desejada: .

Tarefa 5. Ao atirar antes do primeiro acerto com a probabilidade de acertar p = 0,6 para um tiro, você precisa encontrar a probabilidade de que o acerto ocorra no terceiro tiro.

Solução. Apliquemos a distribuição geométrica: sejam feitas tentativas independentes, em cada uma das quais o evento A tenha probabilidade de ocorrência p (e de não ocorrência q = 1 - p). As tentativas terminam assim que o evento A ocorre.

Nessas condições, a probabilidade de ocorrência do evento A no k-ésimo teste é determinada pela fórmula: . Aqui p = 0,6; q \u003d 1 - 0,6 \u003d 0,4; k \u003d 3. Portanto, .

Tarefa 6. Seja dada a lei de distribuição de uma variável aleatória X:

Encontre a esperança matemática.

Solução. .

Observe que o significado probabilístico da expectativa matemática é o valor médio de uma variável aleatória.

Tarefa 7. Encontre a variância de uma variável aleatória X com a seguinte lei de distribuição:

Solução. Aqui .

A lei da distribuição do quadrado de X 2 :

x 2

Variância necessária: .

A dispersão caracteriza o grau de desvio (dispersão) de uma variável aleatória de sua expectativa matemática.

Tarefa 8. Seja a variável aleatória dada pela distribuição:

			10m

Encontre suas características numéricas.

Solução: m, m 2 ,

M 2 , m.

Sobre uma variável aleatória X, pode-se dizer - sua expectativa matemática é de 6,4 m com uma variância de 13,04 m 2 , ou - sua expectativa matemática é de 6,4 m com um desvio de m. A segunda formulação é obviamente mais clara.

Uma tarefa 9. valor aleatório x dada pela função de distribuição:
.

Encontre a probabilidade de que, como resultado do teste, o valor X assuma um valor contido no intervalo .

Solução. A probabilidade de X assumir um valor em um determinado intervalo é igual ao incremento da função integral nesse intervalo, ou seja, . No nosso caso e , portanto

.

Uma tarefa 10. Variável aleatória discreta x dada pela lei da distribuição:

Encontrar função de distribuição F(x ) e construa seu gráfico.

Solução. Como a função de distribuição

por , então

no ;

no ;

no ;

no ;

Gráfico relevante:

Tarefa 11. Variável aleatória contínua x dada pela função de distribuição diferencial: .

Encontre a probabilidade de acertar X para intervalo

Solução. Observe que este é um caso especial da lei de distribuição exponencial.

Vamos usar a fórmula: .

Uma tarefa 12. Encontre as características numéricas de uma variável aleatória discreta X dada pela lei de distribuição:

	–5
	X 2 : x2 . , Onde é a função de Laplace. Os valores desta função são encontrados por meio de uma tabela. No nosso caso: . De acordo com a tabela encontramos:, portanto:

Definição.Dispersão (espalhamento) A variável aleatória discreta é chamada de expectativa matemática do desvio quadrado da variável aleatória de sua expectativa matemática:

Exemplo. Para o exemplo acima, encontramos

A expectativa matemática de uma variável aleatória é:

Possíveis valores do desvio quadrado:

; ;

A dispersão é:

Porém, na prática, esse método de cálculo da variância é inconveniente, pois leva a cálculos complicados para um grande número de valores de uma variável aleatória. Portanto, outro método é usado.

Cálculo de Variância

Teorema. A variância é igual à diferença entre a expectativa matemática do quadrado da variável aleatória X e o quadrado de sua expectativa matemática:

Prova. Levando em conta que a expectativa matemática e o quadrado da expectativa matemática são valores constantes, podemos escrever:

Vamos aplicar esta fórmula ao exemplo acima:

x
x2
p	0,0778	0,2592	0,3456	0,2304	0,0768	0,0102

Propriedades de dispersão

1) A dispersão de um valor constante é zero:

2) O fator constante pode ser retirado do sinal de dispersão elevando-o ao quadrado:

.

3) A variância da soma de duas variáveis ​​aleatórias independentes é igual à soma das variâncias dessas variáveis:

4) A variância da diferença de duas variáveis ​​aleatórias independentes é igual à soma das variâncias dessas variáveis:

A validade dessa igualdade decorre da propriedade 2.

Teorema. A variância do número de ocorrências do evento A em n tentativas independentes, em cada uma das quais a probabilidade de ocorrência do evento é constante, é igual ao produto do número de tentativas pela probabilidade de ocorrência e pela probabilidade do evento não ocorrendo em cada tentativa:

Exemplo. A fábrica produz 96% de produtos de primeira qualidade e 4% de produtos de segunda qualidade. 1000 itens são escolhidos aleatoriamente. Deixar x- o número de produtos do primeiro grau nesta amostra. Encontre a lei de distribuição, expectativa matemática e variância de uma variável aleatória.

Assim, a lei de distribuição pode ser considerada binomial.

Exemplo. Encontre a variância de uma variável aleatória discreta x– número de ocorrências do evento MAS em duas tentativas independentes, se as probabilidades de ocorrência desse evento em cada tentativa forem iguais e se souber que

Porque valor aleatório x distribuído de acordo com a lei binomial, então

Exemplo. Testes independentes são realizados com a mesma probabilidade de ocorrência do evento MAS em cada teste. Encontre a probabilidade de um evento ocorrer MAS se a variância do número de ocorrências do evento em três tentativas independentes for 0,63.

De acordo com a fórmula de dispersão da lei binomial, obtemos:

;

Exemplo. Um dispositivo que consiste em quatro dispositivos de operação independente está sendo testado. As probabilidades de falha de cada um dos dispositivos são iguais, respectivamente ; ; . Encontre a expectativa matemática e a variação do número de dispositivos com falha.

Tomando o número de dispositivos com falha como variável aleatória, vemos que essa variável aleatória pode assumir os valores 0, 1, 2, 3 ou 4.

Para traçar uma lei de distribuição para esta variável aleatória, é necessário determinar as probabilidades correspondentes. Vamos aceitar.

1) Nem um único dispositivo falhou:

2) Um dos dispositivos falhou.

Variável aleatória Chama-se quantidade aquela que, como resultado de testes realizados nas mesmas condições, assume valores diferentes, em geral, dependendo de fatores aleatórios que não são levados em consideração. Exemplos de variáveis ​​aleatórias: o número de pontos perdidos em um dado, o número de itens defeituosos em um lote, o desvio do ponto de impacto do projétil do alvo, o tempo de atividade do dispositivo, etc. Distinguir entre discreto e contínuo variáveis ​​aleatórias. Discreto Chama-se uma variável aleatória, cujos valores possíveis formam um conjunto contável, finito ou infinito (isto é, um conjunto cujos elementos podem ser numerados).

contínuo Uma variável aleatória é chamada, cujos valores possíveis preenchem continuamente algum intervalo finito ou infinito do eixo numérico. O número de valores de uma variável aleatória contínua é sempre infinito.

As variáveis ​​aleatórias serão denotadas por letras maiúsculas no final do alfabeto latino: x, Y, . ; valores de uma variável aleatória - em letras minúsculas: X,y. . Nesse caminho, x Denota todo o conjunto de valores possíveis de uma variável aleatória e X- Algum significado específico.

lei de distribuição Uma variável aleatória discreta é uma correspondência dada de qualquer forma entre os valores possíveis de uma variável aleatória e suas probabilidades.

Deixe os valores possíveis da variável aleatória x São . Como resultado do teste, a variável aleatória assumirá um desses valores, ou seja, Ocorrerá um evento de um grupo completo de eventos incompatíveis aos pares.

Sejam também conhecidas as probabilidades desses eventos:

Lei de distribuição de uma variável aleatória x Pode ser escrito na forma de uma tabela chamada Distribuição próxima Variável aleatória discreta:

variáveis ​​aleatórias. Variável aleatória discreta.
Valor esperado

A segunda seção sobre teoria da probabilidade dedicada variáveis ​​aleatórias , que nos acompanhou invisivelmente literalmente em todos os artigos sobre o tema. E chegou a hora de articular claramente o que é:

Aleatório chamado valor, que como resultado do teste levará um e somente um um valor numérico que depende de fatores aleatórios e não é previsível com antecedência.

Variáveis ​​aleatórias são geralmente designar Através dos * , e seus valores nas letras minúsculas correspondentes com subscritos, por exemplo, .

* Às vezes usado, bem como letras gregas

Encontramos um exemplo em primeira aula de teoria da probabilidade, onde na verdade consideramos a seguinte variável aleatória:

- o número de pontos que cairão depois de jogar um dado.

Este teste resultará em primeira e única a linha, qual não é previsível (truques não são considerados); neste caso, a variável aleatória pode assumir um dos seguintes valores:

- o número de meninos entre 10 recém-nascidos.

É bastante claro que esse número não é conhecido de antemão, e nas próximas dez crianças nascidas pode haver:

Ou meninos - um e somente um das opções listadas.

E, para manter a forma, um pouco de educação física:

- distância de salto longo (em algumas unidades).

Mesmo o mestre dos esportes não é capaz de prever isso 🙂

No entanto, quais são as suas hipóteses?

Assim que conjunto de números reais infinito, então a variável aleatória pode levar infinitamente muitos valores de algum intervalo. E esta é a sua diferença fundamental dos exemplos anteriores.

Nesse caminho, é aconselhável dividir as variáveis ​​aleatórias em 2 grandes grupos:

1) Discreto (intermitente) variável aleatória - toma separadamente, valores isolados. O número desses valores certamente ou infinito mas contável.

... termos incompreensíveis foram desenhados? repita com urgência noções básicas de álgebra!

2) Variável aleatória contínua - leva tudo valores numéricos de algum intervalo finito ou infinito.

Observação : abreviaturas DSV e NSV são populares na literatura educacional

Primeiro, vamos analisar uma variável aleatória discreta, então - contínuo.

Lei de distribuição de uma variável aleatória discreta

- isto é conformidade entre os valores possíveis dessa quantidade e suas probabilidades. Na maioria das vezes, a lei é escrita em uma tabela:

O termo é bastante comum fileira distribuição, mas em algumas situações soa ambíguo e, portanto, vou aderir à "lei".

E agora ponto muito importante: desde que a variável aleatória necessariamente vai aceitar um dos valores, então os eventos correspondentes formam grupo completo e a soma das probabilidades de sua ocorrência é igual a um:

ou, se escrito dobrado:

Assim, por exemplo, a lei da distribuição de probabilidades de pontos em um dado tem a seguinte forma:

Você pode ter a impressão de que uma variável aleatória discreta só pode assumir valores inteiros "bons". Vamos dissipar a ilusão - eles podem ser qualquer coisa:

Alguns jogos têm a seguinte lei de distribuição de recompensas:

…provavelmente você sonha com essas tarefas há muito tempo 🙂 Vou lhe contar um segredo - eu também. Especialmente depois de terminar o trabalho em teoria de campo.

Solução: como uma variável aleatória pode assumir apenas um dos três valores, os eventos correspondentes formam grupo completo, o que significa que a soma de suas probabilidades é igual a um:

Nós expomos o "partidário":

– assim, a probabilidade de ganhar unidades convencionais é de 0,4.

Controle: o que você precisa ter certeza.

Responda:

Não é incomum quando a lei de distribuição precisa ser compilada de forma independente. Para este uso definição clássica de probabilidade, teoremas de multiplicação/adição para probabilidades de eventos e outras fichas tervera:

Existem 50 bilhetes de loteria na caixa, 12 dos quais são vencedores, e 2 deles ganham 1.000 rublos cada, e o restante - 100 rublos cada. Desenhe uma lei de distribuição de uma variável aleatória - o tamanho dos ganhos, se um bilhete for retirado aleatoriamente da caixa.

Solução: como você notou, é costume colocar os valores de uma variável aleatória em Ordem ascendente. Portanto, começamos com os menores ganhos, ou seja, rublos.

No total, existem 50 - 12 = 38 desses bilhetes e, de acordo com definição clássica:
é a probabilidade de que um bilhete sorteado aleatoriamente não ganhe.

Os demais casos são simples. A probabilidade de ganhar rublos é:

E para :

Verificando: - e este é um momento particularmente agradável de tais tarefas!

Responda: a lei de distribuição de payoff necessária:

A seguinte tarefa para uma decisão independente:

A probabilidade de o atirador acertar o alvo é . Faça uma lei de distribuição para uma variável aleatória - o número de acertos após 2 tiros.

... Eu sabia que você sentia falta dele 🙂 Nós lembramos teoremas de multiplicação e adição. Solução e resposta no final da lição.

A lei de distribuição descreve completamente uma variável aleatória, mas na prática é útil (e às vezes mais útil) conhecer apenas parte dela. características numéricas .

Expectativa matemática de uma variável aleatória discreta

Em termos simples, isso valor médio esperado com testes repetidos. Deixe uma variável aleatória assumir valores com probabilidades, respectivamente. Então a expectativa matemática dessa variável aleatória é igual a soma de trabalhos todos os seus valores pelas probabilidades correspondentes:

ou em forma dobrada:

Vamos calcular, por exemplo, a expectativa matemática de uma variável aleatória - o número de pontos perdidos em um dado:

Qual é o significado probabilístico do resultado obtido? Se você rolar o dado várias vezes, então significa os pontos perdidos serão próximos de 3,5 - e quanto mais testes você fizer, mais perto. Na verdade, já falei sobre esse efeito em detalhes na aula sobre probabilidade estatística.

Agora vamos relembrar nosso jogo hipotético:

Surge a pergunta: é mesmo lucrativo jogar este jogo? ... quem tem alguma impressão? Então você não pode dizer "de improviso"! Mas esta questão pode ser facilmente respondida calculando a expectativa matemática, em essência - média ponderada probabilidades de ganhar:

Assim, a expectativa matemática deste jogo perdendo.

Não confie em impressões - confie em números!

Sim, aqui você pode ganhar 10 ou até 20-30 vezes seguidas, mas a longo prazo estaremos inevitavelmente arruinados. E eu não aconselharia você a jogar esses jogos 🙂 Bem, talvez apenas para se divertir.

De tudo o que foi dito acima, segue-se que a expectativa matemática NÃO é um valor ALEATÓRIO.

Tarefa criativa para pesquisa independente:

O Sr. X joga roleta européia de acordo com o seguinte sistema: ele aposta constantemente 100 rublos no vermelho. Componha a lei de distribuição de uma variável aleatória - seu payoff. Calcule a expectativa matemática de ganhos e arredonde para copeques. Quão média o jogador perde para cada aposta de cem?

Referência : A roleta européia contém 18 setores vermelhos, 18 pretos e 1 verde ("zero"). No caso de cair um "vermelho", o jogador recebe uma aposta dupla, caso contrário, vai para a receita do cassino

Existem muitos outros sistemas de roleta para os quais você pode criar suas próprias tabelas de probabilidade. Mas este é o caso quando não precisamos de nenhuma lei e tabela de distribuição, porque está estabelecido com certeza que a expectativa matemática do jogador será exatamente a mesma. Só muda de sistema para sistema dispersão, sobre o qual aprenderemos na parte 2 da lição.

Mas antes disso, será útil esticar os dedos nas teclas da calculadora:

A variável aleatória é dada por sua própria lei de distribuição de probabilidade:

Descubra se é conhecido que . Execute uma verificação.

Então nos voltamos para o estudo dispersão de uma variável aleatória discreta, e se possível, AGORA MESMO!!- para não perder o fio da meada.

Soluções e respostas:

Exemplo 3 Solução: por condição - a probabilidade de acertar o alvo. Então:
é a probabilidade de erro.

Vamos fazer - a lei de distribuição de acertos em dois tiros:

- nem um único golpe. Por o teorema da multiplicação de probabilidades de eventos independentes:

- um golpe. Por teoremas de adição de probabilidades de eventos incompatíveis e multiplicação de eventos independentes:

- dois toques. De acordo com o teorema da multiplicação de probabilidades de eventos independentes:

Verifique: 0,09 + 0,42 + 0,49 = 1

Responda :

Observação : foi possível usar designações - isso não é importante.

Exemplo 4 Solução: o jogador ganha 100 rublos em 18 casos de 37 e, portanto, a lei de distribuição de seus ganhos tem a seguinte forma:

Vamos calcular a expectativa matemática:

Assim, para cada cem apostados, o jogador perde em média 2,7 rublos.

Exemplo 5 Solução: por definição de expectativa matemática:

Vamos trocar as peças e fazer simplificações:

portanto:

Vamos checar:

, o que deveria ser verificado.

Responda :

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Variáveis ​​aleatórias discretas

Variável aleatóriaé chamada uma variável que, como resultado de cada teste, assume um valor previamente desconhecido, dependendo de causas aleatórias. As variáveis ​​aleatórias são indicadas por letras latinas maiúsculas: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Por seu tipo, as variáveis ​​aleatórias podem ser discreto e contínuo.

Variável aleatória discreta- esta é uma variável aleatória, cujos valores não podem ser mais do que contáveis, isto é, finitos ou contáveis. Contabilidade significa que os valores de uma variável aleatória podem ser enumerados.

Exemplo 1 . Vamos dar exemplos de variáveis ​​aleatórias discretas:

a) o número de acertos no alvo com $n$ tiros, aqui os valores possíveis são $0,\ 1,\ \pontos ,\ n$.

b) o número de brasões que caíram ao jogar uma moeda, aqui os valores possíveis são $0,\ 1,\\pontos,\n$.

c) o número de navios que chegaram a bordo (um conjunto contável de valores).

d) o número de chamadas que chegam à central (um conjunto contável de valores).

1. Lei da distribuição de probabilidade de uma variável aleatória discreta.

Uma variável aleatória discreta $X$ pode assumir os valores $x_1,\dots ,\ x_n$ com probabilidades $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. A correspondência entre esses valores e suas probabilidades é chamada lei de distribuição de uma variável aleatória discreta. Via de regra, essa correspondência é especificada por meio de uma tabela, na primeira linha da qual são indicados os valores $x_1,\dots ,\ x_n$, e na segunda linha as probabilidades correspondentes a esses valores são $ p_1,\pontos ,\ p_n$.

$\begin
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \pontos & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\fim$

Exemplo 2 . Seja a variável aleatória $X$ o número de pontos obtidos quando um dado é lançado. Essa variável aleatória $X$ pode assumir os seguintes valores $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. As probabilidades de todos esses valores são iguais a $1/6$. Então a lei de distribuição de probabilidade para a variável aleatória $X$:

$\begin
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\fim$

Comente. Como os eventos $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ formam um grupo completo de eventos na lei de distribuição da variável aleatória discreta $X$, a soma das probabilidades deve ser igual a um, ou seja, $\soma

2. Expectativa matemática de uma variável aleatória discreta.

Expectativa matemática de uma variável aleatória especifica seu valor "central". Para uma variável aleatória discreta, a esperança matemática é calculada como a soma dos produtos dos valores $x_1,\dots ,\ x_n$ e das probabilidades $p_1,\dots ,\ p_n$ correspondentes a esses valores, ou seja: $M\esquerda(X\direita)=\soma ^n_ $. Na literatura inglesa, outra notação $E\left(X\right)$ é usada.

Propriedades de expectativa$M\esquerda(X\direita)$:

1. $M\left(X\right)$ está entre o menor e o maior valor da variável aleatória $X$.
2. A expectativa matemática de uma constante é igual à própria constante, ou seja, $M\esquerda(C\direita)=C$.
3. O fator constante pode ser retirado do sinal de expectativa: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. A expectativa matemática da soma de variáveis ​​aleatórias é igual à soma de suas expectativas matemáticas: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. A expectativa matemática do produto de variáveis ​​aleatórias independentes é igual ao produto de suas expectativas matemáticas: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Exemplo 3 . Vamos encontrar a expectativa matemática da variável aleatória $X$ do exemplo $2$.

Podemos notar que $M\left(X\right)$ está entre o menor ($1$) e o maior ($6$) valores da variável aleatória $X$.

Exemplo 4 . Sabe-se que a esperança matemática da variável aleatória $X$ é igual a $M\left(X\right)=2$. Encontre a expectativa matemática da variável aleatória $3X+5$.

Usando as propriedades acima, obtemos $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cponto 2 +5=11$.

Exemplo 5 . Sabe-se que a esperança matemática da variável aleatória $X$ é igual a $M\left(X\right)=4$. Encontre a expectativa matemática da variável aleatória $2X-9$.

Usando as propriedades acima, obtemos $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cponto 4 -9=-1$.

3. Dispersão de uma variável aleatória discreta.

Valores possíveis de variáveis ​​aleatórias com expectativas matemáticas iguais podem se espalhar de maneira diferente em torno de seus valores médios. Por exemplo, em dois grupos de alunos, a nota média para o exame de teoria da probabilidade acabou sendo 4, mas em um grupo todos acabaram sendo bons alunos, e no outro grupo - apenas alunos C e alunos excelentes. Portanto, há a necessidade de tal característica numérica de uma variável aleatória, que mostraria a dispersão dos valores de uma variável aleatória em torno de sua expectativa matemática. Essa característica é a dispersão.

Dispersão de uma variável aleatória discreta$X$ é:

Na literatura inglesa, a notação $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ é usada. Muitas vezes, a variação $D\left(X\right)$ é calculada pela fórmula $D\left(X\right)=\sum^n_ —^2$.

Propriedades de dispersão$D\esquerda(X\direita)$:

1. A dispersão é sempre maior ou igual a zero, ou seja, $D\esquerda(X\direita)\ge 0$.
2. A dispersão de uma constante é igual a zero, ou seja, $D\esquerda(C\direita)=0$.
3. O fator constante pode ser retirado do sinal de dispersão, desde que seja elevado ao quadrado, ou seja, $D\esquerda(CX\direita)=C^2D\esquerda(X\direita)$.
4. A variância da soma das variáveis ​​aleatórias independentes é igual à soma de suas variâncias, ou seja, $D\esquerda(X+Y\direita)=D\esquerda(X\direita)+D\esquerda(Y\direita)$.
5. A variância da diferença de variáveis ​​aleatórias independentes é igual à soma de suas variâncias, ou seja, $D\esquerda(X-Y\direita)=D\esquerda(X\direita)+D\esquerda(Y\direita)$.

Exemplo 6 . Vamos calcular a variância da variável aleatória $X$ do exemplo $2$.

Exemplo 7 . Sabe-se que a variância da variável aleatória $X$ é igual a $D\left(X\right)=2$. Encontre a variância da variável aleatória $4X+1$.

Usando as propriedades acima, encontramos $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ esquerda(X\direita)=16\cdot 2=32$.

Exemplo 8 . Sabe-se que a variância de $X$ é igual a $D\left(X\right)=3$. Encontre a variância da variável aleatória $3-2X$.

Usando as propriedades acima, encontramos $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ esquerda(X\direita)=4\cdot 3=12$.

4. Função de distribuição de uma variável aleatória discreta.

O método de representar uma variável aleatória discreta na forma de uma série de distribuição não é o único e, mais importante, não é universal, pois uma variável aleatória contínua não pode ser especificada usando uma série de distribuição. Existe outra maneira de representar uma variável aleatória - a função de distribuição.

função de distribuição variável aleatória $X$ é uma função $F\left(x\right)$, que determina a probabilidade de que a variável aleatória $X$ assuma um valor menor que algum valor fixo $x$, ou seja, $F\left(x\ direita)$ )=P\esquerda(X 6$, então $F\esquerda(x\direita)=P\esquerda(X=1\direita)+P\esquerda(X=2\direita)+P\esquerda( X=3 \direita)+P\esquerda(X=4\direita)+P\esquerda(X=5\direita)+P\esquerda(X=6\direita)=1/6+1/6+1/ 6+1 /6+1/6+1/6=1$.

Gráfico da função de distribuição $F\left(x\right)$:

Leis básicas de distribuição

1. Lei da distribuição binomial.

A lei da distribuição binomial descreve a probabilidade de ocorrência do evento A m vezes em n tentativas independentes, desde que a probabilidade p de ocorrência do evento A em cada tentativa seja constante.

Por exemplo, o departamento de vendas de uma loja de ferragens recebe, em média, um pedido de compra de televisores a cada 10 atendimentos. Escreva uma lei de distribuição de probabilidade para a compra de m TVs. Construa um polígono da distribuição de probabilidade.

Na tabela, m é o número de pedidos recebidos pela empresa para a compra de um aparelho de TV. C n m é o número de combinações de m TVs por n, p é a probabilidade de ocorrência do evento A, ou seja, encomendar uma TV, q é a probabilidade de que o evento A não ocorra, ou seja, não encomendar uma TV, P m,n é a probabilidade de encomendar m TVs de n. A Figura 1 mostra o polígono da distribuição de probabilidade.

2.Distribuição geométrica.

A distribuição geométrica de uma variável aleatória tem a seguinte forma:

P m é a probabilidade de ocorrência do evento A na tentativa número m.
p é a probabilidade de ocorrência do evento A em uma tentativa.
q = 1 - p

Exemplo. Uma empresa de conserto de eletrodomésticos recebeu um lote de 10 unidades de reposição para máquinas de lavar. Há casos em que um lote contém 1 bloco defeituoso. Uma verificação é realizada até que um bloco defeituoso seja encontrado. É necessário elaborar uma lei de distribuição para o número de blocos verificados. A probabilidade de um bloco ser defeituoso é 0,1. Construa um polígono da distribuição de probabilidade.

Pode-se ver na tabela que, com o aumento do número m, a probabilidade de detectar um bloco defeituoso diminui. A última linha (m=10) combina duas probabilidades: 1 - que o décimo bloco estava com defeito - 0,038742049, 2 - que todos os blocos verificados estavam em serviço - 0,34867844. Como a probabilidade de falha de um bloco é relativamente baixa (p=0,1), a probabilidade do último evento P m (10 blocos testados) é relativamente alta. Figura 2.

3. Distribuição hipergeométrica.

A distribuição hipergeométrica de uma variável aleatória tem a seguinte forma:

Por exemplo, para elaborar uma lei de distribuição de 7 números adivinhados em 49. Neste exemplo, os números totais N = 49, n = 7 números foram removidos, M é o número total que possui uma determinada propriedade, ou seja, números adivinhados corretamente, m é o número de números adivinhados corretamente entre os retirados.

A tabela mostra que a probabilidade de adivinhar um número m=1 é maior do que quando m=0. No entanto, a probabilidade começa a diminuir rapidamente. Assim, a probabilidade de adivinhar 4 números já é menor que 0,005 e 5 é insignificante.

4. Lei de distribuição de Poisson.

Uma variável aleatória X tem uma distribuição de Poisson se sua lei de distribuição tem a forma:

Np = const
n é o número de tentativas tendendo ao infinito
p é a probabilidade do evento ocorrer, tendendo a zero
m é o número de ocorrências do evento A

Por exemplo, uma empresa de TV recebe em média cerca de 100 ligações por dia. A probabilidade de encomendar uma TV da marca A é de 0,08; B - 0,06 e C - 0,04. Elabore a lei de distribuição de pedidos de compra de aparelhos de TV das marcas A, B e C. Construa um polígono de distribuição de probabilidade.

Da condição temos: m=100, ? 1=8, ? 2=6, ? 3 =4 (?10)

(a tabela não está completa)

Se n for grande o suficiente para ir para o infinito, e o valor de p vai para zero, de modo que o produto np vai para um número constante, então esta lei é uma aproximação da lei de distribuição binomial. Pode-se ver no gráfico que quanto maior a probabilidade p, mais próxima a curva está do eixo m, ou seja, mais gentil. (Fig.4)

Deve-se notar que as leis de distribuição binomial, geométrica, hipergeométrica e de Poisson expressam a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória discreta.

5. Lei da distribuição uniforme.

Se a densidade de probabilidade? (x) é um valor constante em um determinado intervalo, então a lei de distribuição é chamada de uniforme. A Figura 5 mostra os gráficos da função de distribuição de probabilidade e a densidade de probabilidade da lei de distribuição uniforme.

6. Lei da distribuição normal (lei de Gauss).

Dentre as leis de distribuição de variáveis ​​aleatórias contínuas, a mais comum é a lei de distribuição normal. Uma variável aleatória é distribuída de acordo com a lei de distribuição normal se sua densidade de probabilidade tem a forma:

Onde
a é a expectativa matemática de uma variável aleatória
? - desvio padrão

O gráfico da densidade de probabilidade de uma variável aleatória com uma lei de distribuição normal é simétrico em relação à reta x=a, ou seja, x igual à expectativa matemática. Assim, se x=a, então a curva tem um máximo igual a:

Quando o valor da expectativa matemática muda, a curva se desloca ao longo do eixo Ox. O gráfico (Fig. 6) mostra que em x=3 a curva tem um máximo, porque a expectativa matemática é 3. Se a expectativa matemática assumir um valor diferente, por exemplo, a=6, então a curva terá um máximo em x=6. Falando em desvio padrão, como você pode ver no gráfico, quanto maior o desvio padrão, menor o valor máximo da densidade de probabilidade de uma variável aleatória.

Uma função que expressa a distribuição de uma variável aleatória no intervalo (-?, x), e tendo uma lei de distribuição normal, é expressa através da função de Laplace de acordo com a seguinte fórmula:

Aqueles. a probabilidade de uma variável aleatória X consiste em duas partes: a probabilidade onde x assume valores de menos infinito a a, igual a 0,5, e a segunda parte é de a a x. (Fig.7)

Aprendendo Juntos

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Lição: a lei da distribuição de uma variável aleatória discreta

A lei de distribuição de uma variável aleatória discretaé a correspondência entre valores possíveis e suas probabilidades. Pode ser especificado tabularmente, graficamente e analiticamente.

O que é uma variável aleatória é discutido nesta lição.

Com a configuração tabular, a primeira linha da tabela contém os valores possíveis e a segunda suas probabilidades, ou seja

Essa quantidade é chamada de série de distribuição. variável aleatória discreta.

X=x1, X=x2, X=xn formam um grupo completo, pois em uma tentativa a variável aleatória assumirá um e apenas um valor possível. Portanto, a soma de suas probabilidades é igual a um, ou seja, p1 + p2 + pn = 1 ou

Se o conjunto de valores de X é infinito, então Exemplo 1. Existem 100 bilhetes emitidos em uma loteria em dinheiro. Uma vitória de 1.000 rublos e 10 de 100 rublos são jogadas. Encontre a lei de distribuição de uma variável aleatória X - o custo de uma possível vitória para o dono de um bilhete de loteria.

A lei de distribuição desejada tem a forma:

Ao controle; 0,01+0,1+0,89=1.
Com um método gráfico de definir a lei de distribuição, os pontos são construídos no plano de coordenadas (Xi: Pi) e, em seguida, são conectados por segmentos de linha reta. A linha quebrada resultante é chamada polígono de distribuição. Por exemplo 1, o polígono de distribuição é mostrado na Figura 1.

No método analítico de fixação da lei de distribuição, indica-se uma fórmula que relaciona as probabilidades de uma variável aleatória com seus possíveis valores.

Exemplos de distribuições discretas

Distribuição binomial

Sejam feitas n tentativas, em cada uma das quais o evento A ocorre com uma probabilidade constante p, portanto, não ocorre com uma probabilidade constante q = 1- p. Considere uma variável aleatória X- o número de ocorrências do evento A nessas n tentativas. Os valores possíveis de X são x1 = 0 , x2 = 1,…, xn+1 = n . A probabilidade desses possíveis

A lei de distribuição de uma variável aleatória discreta é chamada Windows XP Word 2003 Excel 2003 Leis de distribuição de variáveis ​​aleatórias discretas A lei de distribuição de uma variável aleatória discreta é qualquer relação que estabelece uma relação entre os valores possíveis de uma variável aleatória e […]

Organization LLC "HOUSING AND CONSTRUCTION EXPERTIZA" Incluída no registro de pequenas e médias empresas: a partir de 08/01/2016 como microempresa Endereço legal: 150047, YAROSLAVSKAYA REGION, YAROSLAVL G, BELINSKOGO UL, DOM 29, OFFICE 51 OKFS: 16 - Propriedade privada de OKOGU: 4210014 - Organizações estabelecidas […]

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Herança monogênica de traços. Herança autossômica e ligada ao sexo Devido ao cariótipo de um organismo ser um conjunto diplóide de cromossomos, a maioria dos genes nas células somáticas é representada por pares alélicos. Genes alélicos localizados nas regiões correspondentes de cromossomos homólogos, interagindo […]

Prova Tipos de evidência Disputa Algoritmo para análise lógica da argumentação 1. Destaque a tese no texto 2. Destaque os argumentos, estabeleça sua confiabilidade 3. Destaque a forma de argumentação, estabeleça o rigor da conexão lógica dos argumentos e da tese 4 . Dê uma conclusão sobre a natureza da argumentação, […]

Ordem do Ministério dos Transportes da Federação Russa N 124, do Ministério da Justiça da Federação Russa N 315, do Ministério de Assuntos Internos da Federação Russa N 817, do Ministério da Saúde e Desenvolvimento Social da Federação Russa N 714 datada 10.10.2006 "Ao aprovar as condições e procedimento para a certificação profissional de peritos-técnicos que efectuam exame técnico autónomo de viaturas, incluindo os requisitos para peritos TÉCNICOS" Registo […]

Base legislativa da Federação Russa Consulta gratuita Legislação federal …]

Organização OJSC "NEFTEL" Endereço: G SAMARA, STR. VENTSEKA, D 81 Endereço legal: 443020, G SAMARA, STR. VENTSEKA, D 81 OKFS: 42 - Propriedade russa mista com participação na propriedade das entidades constituintes da Rússia Federação OKOGU: 4210014 - Organizações constituídas por pessoas jurídicas ou cidadãos, ou pessoas jurídicas e […]

Como é sabido, variável aleatória é chamada de variável que pode assumir determinados valores dependendo do caso. As variáveis ​​​​aleatórias são indicadas por letras maiúsculas do alfabeto latino (X, Y, Z) e seus valores - pelas letras minúsculas correspondentes (x, y, z). As variáveis ​​aleatórias são divididas em descontínuas (discretas) e contínuas.

Variável aleatória discreta é chamada de variável aleatória que leva apenas um conjunto finito ou infinito (contável) de valores com certas probabilidades diferentes de zero.

A lei de distribuição de uma variável aleatória discreta é uma função que conecta os valores de uma variável aleatória com suas probabilidades correspondentes. A lei de distribuição pode ser especificada de uma das seguintes maneiras.

1 . A lei de distribuição pode ser dada pela tabela:

onde λ>0, k = 0, 1, 2, … .

dentro) usando função de distribuição F(x) , que determina para cada valor x a probabilidade de que a variável aleatória X assuma um valor menor que x, ou seja, F(x) = P(X< x).

Propriedades da função F(x)

3 . A lei de distribuição pode ser definida graficamente – polígono de distribuição (polígono) (ver problema 3).

Observe que, para resolver alguns problemas, não é necessário conhecer a lei de distribuição. Em alguns casos, basta conhecer um ou mais números que refletem as características mais importantes da lei de distribuição. Pode ser um número que tem o significado de "valor médio" de uma variável aleatória ou um número que mostra o tamanho médio do desvio de uma variável aleatória de seu valor médio. Números desse tipo são chamados de características numéricas de uma variável aleatória.

Características numéricas básicas de uma variável aleatória discreta :

• Expectativa matemática (valor médio) de uma variável aleatória discreta M(X)=Σ x i p i.
  Para distribuição binomial M(X)=np, para distribuição de Poisson M(X)=λ
• Dispersão variável aleatória discreta D(X)=M2 ou D(X) = M(X 2) − 2. A diferença X–M(X) é chamada de desvio de uma variável aleatória de sua expectativa matemática.
  Para distribuição binomial D(X)=npq, para distribuição de Poisson D(X)=λ
• Desvio padrão (desvio padrão) σ(X)=√D(X).

Exemplos de resolução de problemas sobre o tema "A lei da distribuição de uma variável aleatória discreta"

Tarefa 1.

1.000 bilhetes de loteria foram emitidos: 5 deles ganharão 500 rublos, 10 ganharão 100 rublos, 20 ganharão 50 rublos e 50 ganharão 10 rublos. Determine a lei da distribuição de probabilidade da variável aleatória X - ganhos por bilhete.

Solução. De acordo com a condição do problema, são possíveis os seguintes valores da variável aleatória X: 0, 10, 50, 100 e 500.

O número de bilhetes sem ganhar é 1000 - (5+10+20+50) = 915, então P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Da mesma forma, encontramos todas as outras probabilidades: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Apresentamos a lei resultante na forma de uma tabela:

Encontre a expectativa matemática de X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Tarefa 3.

O dispositivo consiste em três elementos de operação independente. A probabilidade de falha de cada elemento em um experimento é 0,1. Desenhe uma lei de distribuição para o número de elementos com falha em um experimento, construa um polígono de distribuição. Encontre a função de distribuição F(x) e desenhe-a. Encontre a expectativa matemática, variância e desvio padrão de uma variável aleatória discreta.

Solução. 1. A variável aleatória discreta X=(número de elementos com falha em um experimento) tem os seguintes valores possíveis: x 1 =0 (nenhum dos elementos do dispositivo falhou), x 2 =1 (um elemento falhou), x 3 =2 ( dois elementos falharam ) e x 4 \u003d 3 (três elementos falharam).

As falhas dos elementos são independentes umas das outras, as probabilidades de falha de cada elemento são iguais entre si, portanto, é aplicável fórmula de Bernoulli . Dado que, por condição, n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, determinamos as probabilidades dos valores:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0,9 3 \u003d 0,729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0,1 * 0,9 2 \u003d 0,243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0,1 2 * 0,9 \u003d 0,027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0,1 3 \u003d 0,001;
Verifique: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Assim, a lei de distribuição binomial desejada X tem a forma:

No eixo das abcissas, traçamos os valores possíveis x i, e no eixo das ordenadas, as probabilidades correspondentes р i . Vamos construir os pontos M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Conectando esses pontos com segmentos de reta, obtemos o polígono de distribuição desejado.

3. Encontre a função de distribuição F(x) = P(X

Para x ≤ 0 temos F(x) = P(X<0) = 0;
para 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
por 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
para 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
para x > 3 será F(x) = 1, porque o evento é certo.

Gráfico da função F(x)

4. Para a distribuição binomial X:
- expectativa matemática M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- dispersão D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- desvio padrão σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.