Uma progressão geométrica é um novo tipo de sequência numérica que temos que nos familiarizar. Para um conhecido bem-sucedido, não custa pelo menos conhecer e entender. Então não haverá problema com progressão geométrica.)

O que é uma progressão geométrica? O conceito de progressão geométrica.

Começamos o passeio, como de costume, com o elementar. Escrevo uma sequência inacabada de números:

1, 10, 100, 1000, 10000, …

Você pode pegar um padrão e dizer quais números serão os próximos? A pimenta é clara, os números 100000, 1000000 e assim por diante vão mais longe. Mesmo sem muito estresse mental, tudo fica claro, certo?)

OK. Outro exemplo. Escrevo a seguinte sequência:

1, 2, 4, 8, 16, …

Você pode dizer quais números serão os próximos, seguindo o número 16 e o ​​nome oitavo membro da sequência? Se você descobriu que seria o número 128, então muito bem. Então, metade da batalha está na compreensão significado e pontos chave progressão geométrica já feita. Você pode crescer ainda mais.)

E agora voltamos novamente das sensações para a matemática rigorosa.

Momentos chave de uma progressão geométrica.

Momento chave #1

A progressão geométrica é sequência de números. Assim como a progressão. Nada complicado. Apenas organizou esta sequência diferente. Daí, claro, tem outro nome, sim...

Momento chave #2

Com o segundo ponto-chave, a questão será mais complicada. Vamos voltar um pouco e lembrar a propriedade chave de uma progressão aritmética. Aqui está: cada membro é diferente do anterior pela mesma quantidade.

É possível formular uma propriedade chave semelhante para uma progressão geométrica? Pense um pouco... Dê uma olhada nos exemplos dados. Adivinhou? Sim! Em uma progressão geométrica (qualquer!) cada um de seus membros difere do anterior no mesmo número de vezes.É sempre!

No primeiro exemplo, esse número é dez. Qualquer que seja o termo da sequência que você tomar, é maior que o anterior dez vezes.

No segundo exemplo, este é um dois: cada membro é maior que o anterior. duas vezes.

É neste ponto chave que a progressão geométrica difere da aritmética. Em uma progressão aritmética, cada próximo termo é obtido adicionando de mesmo valor ao termo anterior. E aqui - multiplicação o mandato anterior pelo mesmo valor. Essa é a diferença.)

Momento chave #3

Este ponto chave é completamente idêntico ao de uma progressão aritmética. Nomeadamente: cada membro da progressão geométrica está em seu lugar. Tudo é exatamente o mesmo que na progressão aritmética e os comentários, eu acho, são desnecessários. Há o primeiro termo, há o centésimo primeiro, e assim por diante. Vamos reorganizar pelo menos dois membros - o padrão (e com ele a progressão geométrica) desaparecerá. O que resta é apenas uma sequência de números sem qualquer lógica.

Isso é tudo. Esse é o ponto principal da progressão geométrica.

Termos e designações.

E agora, tendo lidado com o significado e os pontos-chave da progressão geométrica, podemos passar para a teoria. Caso contrário, o que é uma teoria sem entender o significado, certo?

O que é uma progressão geométrica?

Como se escreve uma progressão geométrica em termos gerais? Sem problemas! Cada membro da progressão também é escrito como uma letra. Apenas para progressão aritmética, a letra é geralmente usada "uma", para geométrica - letra "b". Número de membro, como de costume, é indicado índice inferior direito. Os próprios membros da progressão são simplesmente listados separados por vírgulas ou ponto e vírgula.

Assim:

b1,b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 , …

Resumidamente, tal progressão é escrita da seguinte forma: (b n) .

Ou assim, para progressões finitas:

b1, b2, b3, b4, b5, b6.

b 1 , b 2 , ..., b 29 , b 30 .

Ou, em resumo:

(b n), n=30 .

Isso, na verdade, é todas as designações. Tudo é igual, só a letra é diferente, sim.) E agora vamos direto para a definição.

Definição de uma progressão geométrica.

Uma progressão geométrica é uma sequência numérica, cujo primeiro termo é diferente de zero, e cada termo subsequente é igual ao termo anterior multiplicado pelo mesmo número diferente de zero.

Essa é toda a definição. A maioria das palavras e frases são claras e familiares para você. A menos, é claro, que você entenda o significado de uma progressão geométrica "nos dedos" e em geral. Mas há também algumas frases novas para as quais gostaria de chamar atenção especial.

Primeiro, as palavras: "cujo primeiro termo diferente de zero".

Esta restrição ao primeiro mandato não foi introduzida por acaso. O que você acha que acontecerá se o primeiro mandato b 1 acaba por ser zero? Qual será o segundo termo se cada termo for maior que o anterior o mesmo número de vezes? Vamos dizer três vezes? Vamos ver... Multiplique o primeiro termo (ou seja, 0) por 3 e obtenha... zero! E o terceiro membro? Zero também! E o quarto termo também é zero! E assim por diante…

Obtemos apenas um saco de bagels uma sequência de zeros:

0, 0, 0, 0, …

É claro que tal sequência tem direito à vida, mas não tem interesse prático. Tudo é tão claro. Qualquer um de seus membros é zero. A soma de qualquer número de membros também é zero... Que coisas interessantes você pode fazer com isso? Nada…

As seguintes palavras-chave: "multiplicado pelo mesmo número diferente de zero".

Este mesmo número também tem seu próprio nome especial - denominador de uma progressão geométrica. Vamos começar a namorar.)

O denominador de uma progressão geométrica.

Tudo é simples.

O denominador de uma progressão geométrica é um número (ou valor) diferente de zero que indica quantas vezescada membro da progressão mais do que o anterior.

Novamente, por analogia com a progressão aritmética, a palavra-chave para prestar atenção nesta definição é a palavra "mais". Isso significa que cada termo de uma progressão geométrica é obtido multiplicação a este mesmo denominador membro anterior.

Eu explico.

Para calcular, digamos segundo membro para tomar o primeiro membro e multiplicar isso ao denominador. Para cálculo décimo membro para tomar nono membro e multiplicar isso ao denominador.

O denominador da progressão geométrica em si pode ser qualquer coisa. Absolutamente qualquer um! Inteiro, fracionário, positivo, negativo, irracional - todos. Exceto zero. É sobre isso que a palavra "não-zero" na definição nos diz. Por que esta palavra é necessária aqui - mais sobre isso mais tarde.

Denominador de uma progressão geométrica geralmente indicado por uma letra q.

Como encontrar este q? Sem problemas! Devemos tomar qualquer termo da progressão e dividir pelo termo anterior. A divisão é fração. Daí o nome - "o denominador da progressão". O denominador, geralmente fica em uma fração, sim ...) Embora, logicamente, o valor q deve ser chamado privado progressão geométrica, semelhante a diferença para uma progressão aritmética. Mas concordou em ligar denominador. E também não vamos reinventar a roda.)

Vamos definir, por exemplo, o valor q para esta progressão geométrica:

2, 6, 18, 54, …

Tudo é elementar. Nós levamos algum número sequencial. O que queremos é o que levamos. Exceto o primeiro. Por exemplo, 18. E divida por número anterior. Ou seja, às 6.

Nós temos:

q = 18/6 = 3

Isso é tudo. Essa é a resposta correta. Para uma dada progressão geométrica, o denominador é três.

Vamos encontrar o denominador q para outra progressão geométrica. Por exemplo, assim:

1, -2, 4, -8, 16, …

Tudo o mesmo. Quaisquer que sejam os sinais que os próprios membros tenham, ainda tomamos algum número de sequência (por exemplo, 16) e dividir por número anterior(ou seja, -8).

Nós temos:

d = 16/(-8) = -2

E pronto.) Desta vez o denominador da progressão acabou sendo negativo. Menos dois. Acontece.)

Vamos fazer esta progressão:

1, 1/3, 1/9, 1/27, …

E, novamente, independentemente do tipo de números na sequência (inteiros pares, fracionários, mesmo negativos, irracionais), pegamos qualquer número (por exemplo, 1/9) e dividimos pelo número anterior (1/3). De acordo com as regras de operações com frações, é claro.

Nós temos:

Isso é tudo.) Aqui o denominador acabou sendo fracionário: q = 1/3.

Mas tal "progressão" como você?

3, 3, 3, 3, 3, …

Obviamente aqui q = 1 . Formalmente, esta também é uma progressão geométrica, apenas com mesmos membros.) Mas tais progressões não são interessantes para estudo e aplicação prática. Assim como progressões com zeros sólidos. Portanto, não os consideraremos.

Como você pode ver, o denominador da progressão pode ser qualquer coisa - inteiro, fracionário, positivo, negativo - qualquer coisa! Não pode ser apenas zero. Não adivinhou por quê?

Bem, vejamos um exemplo específico, o que acontecerá se tomarmos como denominador q zero.) Vamos, por exemplo, ter b 1 = 2 , uma q = 0 . Qual será o segundo mandato então?

Nós acreditamos:

b 2 = b 1 · q= 2 0 = 0

E o terceiro membro?

b 3 = b 2 · q= 0 0 = 0

Tipos e comportamento das progressões geométricas.

Com tudo ficou mais ou menos claro: se a diferença na progressão dé positivo, a progressão é crescente. Se a diferença for negativa, a progressão diminui. Existem apenas duas opções. Não há terceiro.)

Mas com o comportamento de uma progressão geométrica, tudo ficará muito mais interessante e diversificado!)

Assim que os membros se comportam aqui: eles aumentam e diminuem, e se aproximam indefinidamente de zero, e até mudam de sinal, alternadamente correndo para "mais" ou "menos"! E em toda essa diversidade deve-se entender bem, sim...

Entendemos?) Vamos começar com o caso mais simples.

O denominador é positivo ( q >0)

Com um denominador positivo, em primeiro lugar, os membros de uma progressão geométrica podem entrar em mais infinito(ou seja, aumentar indefinidamente) e pode entrar em menos infinito(ou seja, diminuir indefinidamente). Já nos acostumamos com esse comportamento de progressões.

Por exemplo:

(b n): 1, 2, 4, 8, 16, …

Tudo é simples aqui. Cada membro da progressão é mais do que o anterior. E cada membro recebe multiplicação membro anterior em positivo número +2 (ou seja, q = 2 ). O comportamento de tal progressão é óbvio: todos os membros da progressão crescem indefinidamente, indo para o espaço. Além do infinito...

Agora vamos a progressão:

(b n): -1, -2, -4, -8, -16, …

Aqui, também, cada termo da progressão é obtido multiplicação membro anterior em positivo número +2. Mas o comportamento de tal progressão já é diretamente oposto: cada membro da progressão é obtido menos que anterior, e todos os seus termos diminuem indefinidamente, indo para menos infinito.

Agora vamos pensar: o que essas duas progressões têm em comum? Isso mesmo, denominador! Aqui e alí q = +2 . Número positivo. Deu. Mas comportamento Essas duas progressões são fundamentalmente diferentes! Não adivinhou por quê? Sim! É tudo sobre primeiro membro!É ele, como dizem, quem manda a música.) Veja você mesmo.

No primeiro caso, o primeiro termo da progressão positivo(+1) e, portanto, todos os termos subsequentes obtidos pela multiplicação por positivo denominador q = +2 , vou também positivo.

Mas no segundo caso, o primeiro termo negativo(-1). Portanto, todos os membros subsequentes da progressão obtidos pela multiplicação por positivo q = +2 , também será obtido negativo. Para "menos" a "mais" sempre dá "menos", sim.)

Como você pode ver, ao contrário de uma progressão aritmética, uma progressão geométrica pode se comportar de maneiras completamente diferentes, não apenas dependendo do denominadorq, mas também dependendo do primeiro membro, Sim.)

Lembre-se: o comportamento de uma progressão geométrica é determinado exclusivamente pelo seu primeiro membro b 1 e denominadorq .

E agora começamos a análise de casos menos familiares, mas muito mais interessantes!

Tomemos, por exemplo, a seguinte sequência:

(b n): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

Essa sequência também é uma progressão geométrica! Cada membro desta progressão também é obtido multiplicação o termo anterior, pelo mesmo número. Apenas o número é fracionário: q = +1/2 . Ou +0,5 . E (importante!) número, menor:q = 1/2<1.

O que há de interessante nessa progressão geométrica? Para onde vão seus membros? Vamos ver:

1/2 = 0,5;

1/4 = 0,25;

1/8 = 0,125;

1/16 = 0,0625;

…….

O que é interessante aqui? Em primeiro lugar, a diminuição dos membros da progressão é imediatamente notável: cada um dos seus membros menos exatamente o anterior 2 vezes. Ou, de acordo com a definição de progressão geométrica, cada termo mais anterior 1/2 vezes, Porque denominador de progressão q = 1/2 . E de multiplicar por um número positivo menor que um, o resultado costuma diminuir, sim...

o que ainda pode ser visto no comportamento dessa progressão? Seus membros desaparecem? ilimitado, indo para menos infinito? Não! Eles desaparecem de uma maneira especial. No início, eles diminuem muito rapidamente, e depois cada vez mais lentamente. E o tempo todo ficar positivo. Embora muito, muito pequeno. E pelo que eles estão lutando? Não adivinhou? Sim! Eles tendem a zero!) E, preste atenção, os membros da nossa progressão nunca alcance! Apenas infinitamente perto dele. É muito importante.)

Uma situação semelhante estará em tal progressão:

(b n): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …

Aqui b 1 = -1 , uma q = 1/2 . Tudo é o mesmo, só que agora os membros se aproximarão de zero do outro lado, de baixo. Ficando o tempo todo negativo.)

Tal progressão geométrica, cujos membros aproximando de zero indefinidamente.(não importa, no lado positivo ou negativo), em matemática tem um nome especial - progressão geométrica infinitamente decrescente. Esta progressão é tão interessante e invulgar que será mesmo aula separada .)

Assim, consideramos todas as possibilidades positivo denominadores são grandes e menores. Não consideramos o próprio como denominador pelas razões expostas acima (lembre-se do exemplo com a sequência de triplos ...)

Para resumir:

positivoe mais de um (q>1), então os membros da progressão:

uma) aumentar indefinidamente (seb 1 >0);

b) diminuir indefinidamente (seb 1 <0).

Se o denominador de uma progressão geométrica positivo e menos de um (0< q<1), то члены прогрессии:

a) infinitamente próximo de zero acima de(E seb 1 >0);

b) infinitamente próximo de zero de baixo(E seb 1 <0).

Resta agora analisar o caso denominador negativo.

O denominador é negativo ( q <0)

Não iremos muito longe para dar um exemplo. Por que, de fato, avó desgrenhada?!) Seja, por exemplo, o primeiro membro da progressão b 1 = 1 , e tome o denominador q = -2.

Obtemos a seguinte sequência:

(b n): 1, -2, 4, -8, 16, …

E assim por diante.) Cada termo da progressão é obtido multiplicação membro anterior em um número negativo-2. Neste caso, todos os membros em posições ímpares (primeiro, terceiro, quinto, etc.) positivo, e em lugares pares (segundo, quarto, etc.) - negativo. Os sinais são estritamente intercalados. Mais-menos-mais-menos ... Essa progressão geométrica é chamada - sinal crescente alternado.

Para onde vão seus membros? E em nenhum lugar.) Sim, em valor absoluto (ou seja, módulo) os termos de nossa progressão aumentam indefinidamente (daí o nome "aumentar"). Mas, ao mesmo tempo, cada membro da progressão lança-o alternadamente no calor e depois no frio. Ou mais ou menos. Nossa progressão flutua... Além disso, a gama de flutuações cresce rapidamente a cada passo, sim.) Portanto, as aspirações dos membros da progressão de ir a algum lugar especificamente aqui não. Nem para mais infinito, nem para menos infinito, nem para zero - em nenhum lugar.

Considere agora algum denominador fracionário entre zero e menos um.

Por exemplo, seja b 1 = 1 , uma q = -1/2.

Então obtemos a progressão:

(b n): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …

E novamente temos uma alternância de sinais! Mas, ao contrário do exemplo anterior, aqui já existe uma clara tendência de os termos se aproximarem de zero.) Só que desta vez nossos termos se aproximam de zero não estritamente de cima ou de baixo, mas novamente hesitante. Tomando alternadamente valores positivos ou negativos. Mas ao mesmo tempo eles módulos estão se aproximando cada vez mais do zero querido.)

Essa progressão geométrica é chamada sinal alternado infinitamente decrescente.

Por que esses dois exemplos são interessantes? E o fato de que em ambos os casos ocorre personagens alternados! Essa ficha é típica apenas para progressões com denominador negativo, sim.) Portanto, se em alguma tarefa você vir uma progressão geométrica com membros alternados, você já saberá firmemente que seu denominador é 100% negativo e você não se enganará no signo.)

A propósito, no caso de um denominador negativo, o sinal do primeiro termo não afeta em nada o comportamento da progressão em si. Seja qual for o sinal do primeiro membro da progressão, em qualquer caso, observar-se-á o sinal da alternância de membros. A questão toda é apenas em que lugares(par ou ímpar) haverá membros com sinais específicos.

Lembrar:

Se o denominador de uma progressão geométrica negativo , então os sinais dos termos da progressão são sempre alternar.

Ao mesmo tempo, os próprios membros:

a) aumentar indefinidamentemódulo, E seq<-1;

b) aproximar-se de zero infinitamente se -1< q<0 (прогрессия бесконечно убывающая).

Isso é tudo. Todos os casos típicos são analisados.)

No processo de análise de uma variedade de exemplos de progressões geométricas, usei periodicamente as palavras: "tende a zero", "tende a mais infinito", tende a menos infinito... Está tudo bem.) Esses turnos de fala (e exemplos específicos) são apenas um conhecimento inicial com comportamento várias sequências numéricas. Exemplo de progressão geométrica.

Por que precisamos conhecer o comportamento de progressão? Que diferença faz onde ela vai? Para zero, para mais infinito, para menos infinito... O que nos importa com isso?

O fato é que já na universidade, no curso de matemática superior, você precisará da capacidade de trabalhar com uma variedade de sequências numéricas (com qualquer, não apenas progressões!) E a capacidade de imaginar exatamente como essa ou aquela sequência se comporta - se aumenta é ilimitado, se diminui, se tende a um número específico (e não necessariamente a zero), ou mesmo não tende a nada ... analise matemática - teoria do limite. Um pouco mais especificamente, o conceito limite da sequência numérica. Muito interessante o tema! Faz sentido ir para a faculdade e descobrir isso.)

Alguns exemplos desta seção (sequências que têm um limite) e, em particular, progressão geométrica infinitamente decrescente começar a aprender na escola. Se acostumando.)

Além disso, a capacidade de estudar bem o comportamento de sequências no futuro será muito útil e será muito útil em pesquisa de função. O mais variado. Mas a capacidade de trabalhar com competência com funções (calcular derivadas, explorá-las por completo, construir seus gráficos) já aumenta drasticamente seu nível matemático! Dúvida? Não há necessidade. Lembre-se também de minhas palavras.)

Vamos olhar para uma progressão geométrica na vida?

Na vida ao nosso redor, encontramos progressão exponencial com muita frequência. Mesmo sem saber.)

Por exemplo, vários microorganismos que nos cercam por toda parte em grandes quantidades e que nem sequer vemos sem um microscópio se multiplicam precisamente em progressão geométrica.

Digamos que uma bactéria se reproduz dividindo-se ao meio, dando descendência em 2 bactérias. Por sua vez, cada um deles, multiplicando-se, também se divide ao meio, dando uma descendência comum de 4 bactérias. A próxima geração dará 8 bactérias, depois 16 bactérias, 32, 64 e assim por diante. A cada geração sucessiva, o número de bactérias dobra. Um exemplo típico de progressão geométrica.)

Além disso, alguns insetos - pulgões, moscas - se multiplicam exponencialmente. E coelhos às vezes, aliás, também.)

Outro exemplo de progressão geométrica, mais próxima da vida cotidiana, é a chamada juros compostos. Um fenômeno tão interessante é frequentemente encontrado em depósitos bancários e é chamado de capitalização de juros. O que é isso?

Você mesmo ainda é, é claro, jovem. Você estuda na escola, não se candidata a bancos. Mas seus pais são adultos e pessoas independentes. Eles vão trabalhar, ganham dinheiro para o pão de cada dia e colocam parte do dinheiro no banco, fazendo economias.)

Digamos que seu pai queira economizar uma certa quantia de dinheiro para férias em família na Turquia e coloque 50.000 rublos no banco a 10% ao ano por um período de três anos com capitalização de juros anual. Além disso, nada pode ser feito com o depósito durante todo esse período. Você não pode reabastecer o depósito nem retirar dinheiro da conta. Que lucro ele terá nesses três anos?

Bem, em primeiro lugar, você precisa descobrir o que é 10% ao ano. Significa que em um ano 10% será adicionado ao valor do depósito inicial pelo banco. De que? Claro, de valor do depósito inicial.

Calcule o valor da conta em um ano. Se o valor inicial do depósito foi de 50.000 rublos (ou seja, 100%), então em um ano quanto juros haverá na conta? Isso mesmo, 110%! A partir de 50.000 rublos.

Portanto, consideramos 110% de 50.000 rublos:

50.000 1,1 \u003d 55.000 rublos.

Espero que você entenda que encontrar 110% do valor significa multiplicar esse valor pelo número 1,1? Se você não entende por que isso acontece, lembre-se da quinta e sexta séries. Nomeadamente - a relação de porcentagens com frações e partes.)

Assim, o aumento para o primeiro ano será de 5.000 rublos.

Quanto dinheiro estará na conta depois de dois anos? 60.000 rublos? Infelizmente (ou melhor, felizmente), não é tão simples. Todo o truque da capitalização de juros é que a cada nova acumulação de juros, esses mesmos juros já serão considerados do novo valor! Daquele que jáé por conta Atualmente. E os juros acumulados do prazo anterior são adicionados ao valor inicial do depósito e, assim, eles próprios participam do cálculo dos novos juros! Ou seja, eles se tornam parte integral da conta total. ou geral capital. Daí o nome - capitalização de juros.

Está na economia. E na matemática, essas porcentagens são chamadas juros compostos. Ou por cento de por cento.) O truque deles é que, no cálculo sequencial, as porcentagens são calculadas a cada vez do novo valor. Não do original...

Portanto, para calcular a soma através de dois anos, precisamos calcular 110% do valor que ficará na conta em um ano. Ou seja, já a partir de 55.000 rublos.

Consideramos 110% de 55.000 rublos:

55.000 1.1 \u003d 60.500 rublos.

Isso significa que o aumento percentual para o segundo ano já será de 5.500 rublos e por dois anos - 10.500 rublos.

Agora você já pode adivinhar que em três anos o valor na conta será de 110% de 60.500 rublos. Isso é novamente 110% do anterior (ano passado) quantidades.

Aqui consideramos:

60500 1.1 \u003d 66550 rublos.

E agora construímos nossos valores monetários por anos em sequência:

50000;

55.000 = 50.000 1,1;

60.500 = 55.000 1,1 = (50.000 1,1) 1,1;

66550 = 60500 1,1 = ((50000 1,1) 1,1) 1,1

Então, como é? Por que não uma progressão geométrica? Primeiro Membro b 1 = 50000 , e o denominador q = 1,1 . Cada termo é estritamente 1,1 vezes maior que o anterior. Tudo está em estrita conformidade com a definição.)

E quantos bônus percentuais adicionais seu pai "cairá" enquanto seus 50.000 rublos estiverem na conta bancária por três anos?

Nós acreditamos:

66550 - 50000 = 16550 rublos

É ruim, claro. Mas isso se o valor inicial da contribuição for pequeno. E se houver mais? Diga, não 50, mas 200 mil rublos? Então o aumento por três anos já será de 66.200 rublos (se você contar). O que já é muito bom.) E se a contribuição for ainda maior? É isso que é...

Conclusão: quanto maior a contribuição inicial, mais lucrativa se torna a capitalização de juros. É por isso que os depósitos com capitalização de juros são fornecidos pelos bancos por longos períodos. Digamos cinco anos.

Além disso, todos os tipos de doenças ruins como gripe, sarampo e doenças ainda mais terríveis (a mesma SARS no início dos anos 2000 ou peste na Idade Média) gostam de se espalhar exponencialmente. Daí a escala das epidemias, sim...) E tudo pelo fato de uma progressão geométrica com denominador positivo inteiro (q>1) - uma coisa que cresce muito rápido! Lembre-se da reprodução das bactérias: de uma bactéria são obtidas duas, de duas - quatro, de quatro - oito e assim por diante ... Com a propagação de qualquer infecção, tudo é o mesmo.)

Os problemas mais simples em progressão geométrica.

Vamos começar, como sempre, com um problema simples. Puramente para entender o significado.

1. Sabe-se que o segundo termo de uma progressão geométrica é 6 e o ​​denominador é -0,5. Encontre o primeiro, terceiro e quarto termos.

Então nos é dado sem fim progressão geométrica, bem conhecida segundo membro esta progressão:

b2 = 6

Além disso, também sabemos denominador de progressão:

q = -0,5

E você precisa encontrar primeiro, terceiro e quarto membros desta progressão.

Aqui estamos atuando. Escrevemos a sequência de acordo com a condição do problema. Diretamente em termos gerais, onde o segundo membro são os seis:

b1,6,b 3 , b 4 , …

Agora vamos começar a pesquisar. Começamos, como sempre, pelo mais simples. Você pode calcular, por exemplo, o terceiro termo b 3? Posso! Já sabemos (diretamente no sentido de progressão geométrica) que o terceiro termo (b3) mais de um segundo (b 2 ) dentro "q" uma vez!

Então escrevemos:

b 3 =b 2 · q

Substituímos o seis nesta expressão em vez de b 2 e -0,5 em vez disso q e pensamos. E o menos também não é ignorado, é claro ...

b 3 \u003d 6 (-0,5) \u003d -3

Assim. O terceiro termo acabou sendo negativo. Não é à toa: nosso denominador q- negativo. E mais multiplicado por menos, será, é claro, menos.)

Consideramos agora o próximo quarto termo da progressão:

b 4 =b 3 · q

b 4 \u003d -3 (-0,5) \u003d 1,5

O quarto termo é novamente com um plus. O quinto termo será novamente com menos, o sexto com mais e assim por diante. Sinais - alternativos!

Assim, o terceiro e quarto membros foram encontrados. O resultado é a seguinte sequência:

b1; 6; -3; 1,5; …

Resta agora encontrar o primeiro termo b 1 segundo o conhecido segundo. Para fazer isso, damos um passo na outra direção, para a esquerda. Isso significa que, neste caso, não precisamos multiplicar o segundo termo da progressão pelo denominador, mas compartilhar.

Dividimos e obtemos:

Isso é tudo.) A resposta para o problema será a seguinte:

-12; 6; -3; 1,5; …

Como você pode ver, o princípio da solução é o mesmo do . Nós sabemos algum membro e denominador progressão geométrica - podemos encontrar qualquer outro termo. O que quisermos, encontraremos um.) A única diferença é que a adição/subtração é substituída por multiplicação/divisão.

Lembre-se: se conhecemos pelo menos um membro e denominador de uma progressão geométrica, sempre podemos encontrar qualquer outro membro dessa progressão.

A seguinte tarefa, segundo a tradição, é da versão real do OGE:

2.

…; 150; X; 6; 1,2; …

Então, como é? Desta vez não há primeiro termo, sem denominador q, apenas uma sequência de números é dada... Algo já familiar, certo? Sim! Um problema semelhante já foi tratado na progressão aritmética!

Aqui não temos medo. Tudo o mesmo. Vire a cabeça e lembre-se do significado elementar de uma progressão geométrica. Observamos cuidadosamente nossa sequência e descobrimos quais parâmetros da progressão geométrica dos três principais (o primeiro membro, denominador, número do membro) estão ocultos nela.

Números de membros? Não há números de membros, sim... Mas há quatro sucessivo números. O que essa palavra significa, não vejo sentido em explicar neste estágio.) Existem dois números conhecidos vizinhos? Há! Estes são 6 e 1.2. Assim podemos encontrar denominador de progressão. Então pegamos o número 1,2 e dividimos ao número anterior. Para seis.

Nós temos:

Nós temos:

x= 150 0,2 = 30

Responda: x = 30 .

Como você pode ver, tudo é muito simples. A principal dificuldade está apenas nos cálculos. É especialmente difícil no caso de denominadores negativos e fracionários. Então quem tiver problemas, repita a aritmética! Como trabalhar com frações, como trabalhar com números negativos e assim por diante... Caso contrário, você vai desacelerar impiedosamente aqui.

Agora vamos mudar um pouco o problema. Agora vai ficar interessante! Vamos remover o último número 1.2 nele. Vamos resolver este problema agora:

3. Vários termos consecutivos de uma progressão geométrica são escritos:

…; 150; X; 6; …

Encontre o termo da progressão, denotado pela letra x.

Tudo é o mesmo, apenas dois vizinhos famoso não temos mais membros da progressão. Este é o principal problema. Porque a grandeza q através de dois termos vizinhos, já podemos determinar facilmente não podemos. Temos chance de enfrentar o desafio? É claro!

Vamos escrever o termo desconhecido " x"Diretamente no sentido de uma progressão geométrica! Em termos gerais.

Sim Sim! Diretamente com um denominador desconhecido!

Por um lado, para x podemos escrever a seguinte razão:

x= 150q

Por outro lado, temos todo o direito de pintar o mesmo X através próximo membro, através dos seis! Divida seis pelo denominador.

Assim:

x = 6/ q

Obviamente, agora podemos igualar essas duas razões. Já que estamos expressando o mesmo valor (x), mas dois jeitos diferentes.

Obtemos a equação:

Multiplicando tudo por q, simplificando, reduzindo, obtemos a equação:

q 2 \u003d 1/25

Resolvemos e obtemos:

q = ±1/5 = ±0,2

Ops! O denominador é o dobro! +0,2 e -0,2. E qual escolher? Fim da linha?

Calma! Sim, o problema realmente tem duas soluções! Nada de errado com isso. Isso acontece.) Você não fica surpreso quando, por exemplo, obtém duas raízes resolvendo o usual? É a mesma história aqui.)

Por q = +0,2 nós conseguiremos:

X \u003d 150 0,2 \u003d 30

E para q = -0,2 vai ser:

X = 150 (-0,2) = -30

Obtemos uma resposta dupla: x = 30; x = -30.

O que esse fato interessante significa? E o que existe duas progressões, satisfazendo a condição do problema!

Como estes:

…; 150; 30; 6; …

…; 150; -30; 6; …

Ambos são adequados.) Qual você acha que é a razão para a bifurcação das respostas? Justamente pela eliminação de um membro específico da progressão (1,2), vindo depois do seis. E conhecendo apenas o (n-1)-ésimo membro anterior e subsequente (n+1)-ésimo membro da progressão geométrica, não podemos mais dizer nada inequivocamente sobre o n-ésimo membro entre eles. Existem duas opções - mais e menos.

Mas não importa. Via de regra, em tarefas para uma progressão geométrica há informações adicionais que dão uma resposta inequívoca. Vamos dizer as palavras: "progressão alternada de sinais" ou "progressão com denominador positivo" e assim por diante... São essas palavras que devem servir de pista, qual sinal, mais ou menos, deve ser escolhido na hora da resposta final. Se não houver tal informação, então - sim, a tarefa terá duas soluções.)

E agora decidimos por conta própria.

4. Determine se o número 20 será membro de uma progressão geométrica:

4 ; 6; 9; …

5. Uma progressão geométrica alternada é dada:

…; 5; x ; 45; …

Encontre o termo da progressão indicada pela letra x .

6. Encontre o quarto termo positivo da progressão geométrica:

625; -250; 100; …

7. O segundo termo da progressão geométrica é -360, e seu quinto termo é 23,04. Encontre o primeiro termo dessa progressão.

Respostas (em desordem): -15; 900; Não; 2,56.

Parabéns se deu tudo certo!

Algo não se encaixa? Existe uma resposta dupla em algum lugar? Lemos com atenção as condições da atribuição!

O último quebra-cabeça não funciona? Nada complicado aí.) Trabalhamos diretamente de acordo com o significado de uma progressão geométrica. Bem, você pode fazer um desenho. Isso ajuda.)

Como você pode ver, tudo é elementar. Se a progressão for curta. E se for longo? Ou o número do membro desejado é muito grande? Eu gostaria, por analogia com uma progressão aritmética, de obter de alguma forma uma fórmula conveniente que tornasse fácil encontrar algum membro de qualquer progressão geométrica pelo seu número. Sem multiplicar muitas, muitas vezes por q. E existe essa fórmula!) Detalhes - na próxima lição.

SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS VI

§ 148. A soma de uma progressão geométrica infinitamente decrescente

Até agora, falando de somas, sempre assumimos que o número de termos nessas somas é finito (por exemplo, 2, 15, 1000 etc.). Mas ao resolver alguns problemas (especialmente matemática superior), é preciso lidar com as somas de um número infinito de termos

S= uma 1 + uma 2 + ... + uma n + ... . (1)

Quais são esses montantes? Por definição a soma de um número infinito de termos uma 1 , uma 2 , ..., uma n , ... é chamado de limite da soma S n primeiro P números quando P -> ∞ :

S=S n = (uma 1 + uma 2 + ... + uma n ). (2)

O limite (2), é claro, pode ou não existir. Assim, diz-se que a soma (1) existe ou não existe.

Como descobrir se a soma (1) existe em cada caso particular? Uma solução geral para esta questão vai muito além do escopo do nosso programa. No entanto, há um caso especial importante que temos que considerar agora. Falaremos sobre a soma dos termos de uma progressão geométrica infinitamente decrescente.

Deixar uma 1 , uma 1 q , uma 1 q 2, ... é uma progressão geométrica infinitamente decrescente. Isso significa que | q |< 1. Сумма первых P membros desta progressão é igual a

Dos teoremas básicos sobre os limites das variáveis ​​(ver § 136) obtemos:

Mas 1 = 1, um q n = 0. Portanto

Assim, a soma de uma progressão geométrica infinitamente decrescente é igual ao primeiro termo desse progresso dividido por um menos o denominador dessa progressão.

1) A soma da progressão geométrica 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... é

e a soma de uma progressão geométrica é 12; -6; 3; - 3/2, ... igual

2) Uma fração periódica simples 0,454545... se transforma em uma fração ordinária.

Para resolver este problema, representamos esta fração como uma soma infinita:

O lado direito dessa igualdade é a soma de uma progressão geométrica infinitamente decrescente, cujo primeiro termo é 45/100 e o denominador é 1/100. É por isso

Da forma descrita, também pode ser obtida a regra geral para a conversão de frações periódicas simples em frações ordinárias (ver Capítulo II, § 38):

Para converter uma fração periódica simples em uma ordinária, você precisa proceder da seguinte forma: coloque o período da fração decimal no numerador e no denominador - um número composto por noves tomado quantas vezes houver dígitos no período da fração decimal.

3) Fração periódica mista 0,58333 .... transforma-se em fração ordinária.

Vamos representar esta fração como uma soma infinita:

No lado direito desta igualdade, todos os termos, a partir de 3/1000, formam uma progressão geométrica infinitamente decrescente, cujo primeiro termo é 3/1000 e o denominador é 1/10. É por isso

Da forma descrita, também pode ser obtida a regra geral para a conversão de frações periódicas mistas em frações ordinárias (ver Capítulo II, § 38). Nós deliberadamente não o incluímos aqui. Não há necessidade de memorizar esta regra complicada. É muito mais útil saber que qualquer fração periódica mista pode ser representada como a soma de uma progressão geométrica infinitamente decrescente e algum número. E a fórmula

para a soma de uma progressão geométrica infinitamente decrescente, é preciso, é claro, lembrar.

Como exercício, convidamos você, além dos problemas nº 995-1000 abaixo, a se voltar novamente para o problema nº 301 § 38.

Exercícios

995. Como se chama a soma de uma progressão geométrica infinitamente decrescente?

996. Encontre somas de progressões geométricas infinitamente decrescentes:

997. Para que valores X progressão

está diminuindo infinitamente? Encontre a soma de tal progressão.

998. Em um triângulo equilátero com um lado uma um novo triângulo é inscrito ligando os pontos médios de seus lados; um novo triângulo é inscrito nesse triângulo da mesma maneira, e assim por diante até o infinito.

a) a soma dos perímetros de todos esses triângulos;

b) a soma de suas áreas.

999. Em um quadrado com um lado uma um novo quadrado é inscrito ligando os pontos médios de seus lados; um quadrado se inscreve nesse quadrado da mesma maneira, e assim por diante até o infinito. Encontre a soma dos perímetros de todos esses quadrados e a soma de suas áreas.

1000. Faça uma progressão geométrica infinitamente decrescente, tal que sua soma seja igual a 25/4, e a soma dos quadrados de seus termos seja igual a 625/24.

Por exemplo, sequência \(3\); \(6\); \(12\); \(24\); \(48\)… é uma progressão geométrica, pois cada elemento seguinte difere do anterior por um fator de dois (ou seja, pode ser obtido do anterior multiplicando-o por dois):

Como qualquer sequência, uma progressão geométrica é denotada por uma pequena letra latina. Os números que formam uma progressão são chamados membros(ou elementos). Eles são denotados pela mesma letra da progressão geométrica, mas com um índice numérico igual ao número do elemento em ordem.

Por exemplo, a progressão geométrica \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48…\)\) é composta pelos elementos \(b_1=3\); \(b_2=6\); \(b_3=12\) e assim por diante. Em outras palavras:

Se você entender as informações acima, já poderá resolver a maioria dos problemas deste tópico.

Exemplo (OGE):
Solução:

Responda : \(-686\).

Exemplo (OGE): Dados os três primeiros termos da progressão \(324\); \(-108\); \(36\)…. Encontre \(b_5\).
Solução:

	Para continuar a sequência, precisamos saber o denominador. Vamos encontrá-lo a partir de dois elementos vizinhos: o que deve ser multiplicado por \(324\) para obter \(-108\)?
\(324 q=-108\)	A partir daqui podemos calcular facilmente o denominador.
\(q=-\) \(\frac(108)(324)\) \(=-\) \(\frac(1)(3)\)	Agora podemos encontrar facilmente o elemento que precisamos.
	Resposta pronta.

Responda : \(4\).

Exemplo: A progressão é dada pela condição \(b_n=0.8 5^n\). Qual número é membro desta progressão:

a) \(-5\) b) \(100\) c) \(25\) d) \(0,8\) ?

Solução: Pela redação da tarefa, é óbvio que um desses números está definitivamente em nossa progressão. Portanto, podemos simplesmente calcular seus membros um por um até encontrarmos o valor que precisamos. Como nossa progressão é dada pela fórmula , calculamos os valores dos elementos substituindo diferentes \(n\):
\(n=1\); \(b_1=0.8 5^1=0.8 5=4\) – não existe tal número na lista. Nós continuamos.
\(n=2\); \(b_2=0.8 5^2=0.8 25=20\) - e isso também não existe.
\(n=3\); \(b_3=0.8 5^3=0.8 125=100\) – e aqui está o nosso campeão!

Responda: \(100\).

Exemplo (OGE): Vários membros sucessivos da progressão geométrica …\(8\) são dados; \(x\); \(cinquenta\); \(-125\)…. Encontre o valor do elemento indicado pela letra \(x\).

Solução:

Responda: \(-20\).

Exemplo (OGE): A progressão é dada pelas condições \(b_1=7\), \(b_(n+1)=2b_n\). Encontre a soma dos primeiros \(4\) termos dessa progressão.

Solução:

Responda: \(105\).

Exemplo (OGE): Sabe-se que exponencialmente \(b_6=-11\),\(b_9=704\). Encontre o denominador \(q\).

Solução:

	Pode-se ver no diagrama à esquerda que, para “obter” de \ (b_6 \) para \ (b_9 \) - damos três “passos”, ou seja, multiplicamos \ (b_6 \) três vezes por o denominador da progressão. Em outras palavras, \(b_9=b_6 q q q=b_6 q^3\).
\(b_9=b_6 q^3\)	Substitua os valores que conhecemos.
\(704=(-11)q^3\)	“Inverta” a equação e divida-a por \((-11)\).
\(q^3=\) \(\frac(704)(-11)\) \(\:\:\: ⇔ \:\:\: \)\(q^3=-\) \(64 \)	Que número ao cubo dá \(-64\)? Claro, \(-4\)!
	Resposta encontrada. Isso pode ser verificado restaurando a cadeia de números de \(-11\) a \(704\).
	Todos concordaram - a resposta está correta.

Responda: \(-4\).

As fórmulas mais importantes

Como você pode ver, a maioria dos problemas de progressão geométrica podem ser resolvidos com lógica pura, simplesmente entendendo a essência (isso geralmente é característico da matemática). Mas às vezes o conhecimento de certas fórmulas e padrões acelera e facilita muito a decisão. Estudaremos duas dessas fórmulas.

A fórmula para o \(n\)ésimo membro é: \(b_n=b_1 q^(n-1)\), onde \(b_1\) é o primeiro membro da progressão; \(n\) – número do elemento requerido; \(q\) é o denominador da progressão; \(b_n\) é um membro da progressão com o número \(n\).

Usando esta fórmula, você pode, por exemplo, resolver o problema desde o primeiro exemplo em apenas uma etapa.

Exemplo (OGE): A progressão geométrica é dada pelas condições \(b_1=-2\); \(q=7\). Encontre \(b_4\).
Solução:

Responda: \(-686\).

Este exemplo era simples, então a fórmula não facilitou muito os cálculos para nós. Vejamos o problema um pouco mais complicado.

Exemplo: A progressão geométrica é dada pelas condições \(b_1=20480\); \(q=\frac(1)(2)\). Encontre \(b_(12)\).
Solução:

Responda: \(10\).

Claro, elevar \(\frac(1)(2)\) à \(11\)ésima potência não é muito agradável, mas ainda mais fácil do que \(11\) dividir \(20480\) em dois.

A soma \(n\) dos primeiros termos: \(S_n=\)\(\frac(b_1 (q^n-1))(q-1)\) , onde \(b_1\) é o primeiro termo da progressão; \(n\) – o número de elementos somados; \(q\) é o denominador da progressão; \(S_n\) é a soma \(n\) dos primeiros membros da progressão.

Exemplo (OGE): Dada uma progressão geométrica \(b_n\), cujo denominador é \(5\), e o primeiro termo \(b_1=\frac(2)(5)\). Encontre a soma dos seis primeiros termos desta progressão.
Solução:

Responda: \(1562,4\).

E, novamente, poderíamos resolver o problema “na testa” - encontre todos os seis elementos e adicione os resultados. No entanto, o número de cálculos e, portanto, a chance de um erro aleatório, aumentaria drasticamente.

Para uma progressão geométrica, existem várias outras fórmulas que não consideramos aqui devido ao seu baixo uso prático. Você pode encontrar essas fórmulas.

Progressões geométricas crescentes e decrescentes

A progressão \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48…\)\) considerada no início do artigo tem um denominador \(q\) maior que um e, portanto, cada termo seguinte é maior que o anterior. Essas progressões são chamadas aumentando.

Se \(q\) for menor que um, mas for positivo (isto é, estiver entre zero e um), então cada próximo elemento será menor que o anterior. Por exemplo, na progressão \(4\); \(2\); \(1\); \(0,5\); \(0,25\)… o denominador de \(q\) é \(\frac(1)(2)\).

Essas progressões são chamadas diminuindo. Observe que nenhum dos elementos dessa progressão será negativo, eles apenas ficam cada vez menores a cada passo. Ou seja, gradualmente nos aproximaremos do zero, mas nunca o alcançaremos e não iremos além dele. Os matemáticos em tais casos dizem "tendência a zero".

Observe que, com denominador negativo, os elementos de uma progressão geométrica necessariamente mudam de sinal. Por exemplo, a progressão \(5\); \(-quinze\); \(45\); \(-135\); \(675\)... o denominador de \(q\) é \(-3\), e por isso os sinais dos elementos "piscam".

Vamos considerar uma série.

7 28 112 448 1792...

É absolutamente claro que o valor de qualquer um de seus elementos é exatamente quatro vezes maior que o anterior. Portanto, esta série é uma progressão.

Uma progressão geométrica é uma sequência infinita de números, cuja principal característica é que o próximo número é obtido do anterior multiplicando por algum número específico. Isso é expresso pela fórmula a seguir.

a z +1 =a z q, onde z é o número do elemento selecionado.

Assim, z ∈ N.

O período em que uma progressão geométrica é estudada na escola é o 9º ano. Exemplos ajudarão você a entender o conceito:

0.25 0.125 0.0625...

Com base nesta fórmula, o denominador da progressão pode ser encontrado da seguinte forma:

Nem q nem b z podem ser zero. Além disso, cada um dos elementos da progressão não deve ser igual a zero.

Assim, para descobrir o próximo número da série, você precisa multiplicar o último por q.

Para especificar essa progressão, você deve especificar seu primeiro elemento e denominador. Depois disso, é possível encontrar qualquer um dos termos subsequentes e sua soma.

Variedades

Dependendo de q e a 1, essa progressão é dividida em vários tipos:

• Se tanto a 1 quanto q são maiores que um, então tal sequência é uma progressão geométrica crescente com cada elemento seguinte. Um exemplo disso é apresentado a seguir.

Exemplo: a 1 =3, q=2 - ambos os parâmetros são maiores que um.

Então a sequência numérica pode ser escrita assim:

3 6 12 24 48 ...

• Se |q| menos de um, ou seja, a multiplicação por ele equivale à divisão, então uma progressão com condições semelhantes é uma progressão geométrica decrescente. Um exemplo disso é apresentado a seguir.

Exemplo: a 1 =6, q=1/3 - a 1 é maior que um, q é menor.

Então a sequência numérica pode ser escrita da seguinte forma:

6 2 2/3 ... - qualquer elemento é 3 vezes maior que o elemento que o segue.

• Variável de sinal. Se q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Exemplo: a 1 = -3 , q = -2 - ambos os parâmetros são menores que zero.

Então a sequência pode ser escrita assim:

3, 6, -12, 24,...

Fórmulas

Para uso conveniente de progressões geométricas, existem muitas fórmulas:

• Fórmula do membro z-ésimo. Permite calcular o elemento sob um número específico sem calcular os números anteriores.

Exemplo:q = 3, uma 1 = 4. É necessário calcular o quarto elemento da progressão.

Solução:uma 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• A soma dos primeiros elementos cujo número é z. Permite calcular a soma de todos os elementos de uma sequência atéazinclusivo.

Desde (1-q) está no denominador, então (1 - q)≠ 0, portanto q não é igual a 1.

Nota: se q=1, então a progressão seria uma série de um número infinitamente repetido.

A soma de uma progressão geométrica, exemplos:uma 1 = 2, q= -2. Calcule S 5 .

Solução:S 5 = 22 - cálculo por fórmula.

• Montante se |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Exemplo:uma 1 = 2 , q= 0,5. Encontre a quantidade.

Solução:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Algumas propriedades:

• propriedade característica. Se a seguinte condição realizado para qualquerz, então a série numérica dada é uma progressão geométrica:

az 2 = az -1 · umaz+1

• Além disso, o quadrado de qualquer número de uma progressão geométrica é encontrado pela soma dos quadrados de quaisquer outros dois números em uma determinada série, se eles forem equidistantes desse elemento.

az 2 = az - t 2 + az + t 2 , Ondeté a distância entre esses números.

• Elementosdiferem em quma vez.
• Os logaritmos dos elementos de progressão também formam uma progressão, mas já aritmética, ou seja, cada um deles é maior que o anterior por um determinado número.

Exemplos de alguns problemas clássicos

Para entender melhor o que é uma progressão geométrica, exemplos com uma solução para o 9º ano podem ajudar.

• Termos:uma 1 = 3, uma 3 = 48. Encontrarq.

Solução: cada elemento subsequente é maior que o anterior emq uma vez.É necessário expressar alguns elementos por meio de outros usando um denominador.

Consequentemente,uma 3 = q 2 · uma 1

Ao substituirq= 4

• Termos:uma 2 = 6, uma 3 = 12. Calcule S 6 .

Solução:Para fazer isso, basta encontrar q, o primeiro elemento e substituí-lo na fórmula.

uma 3 = q· uma 2 , Consequentemente,q= 2

a 2 = q um 1,é por isso um 1 = 3

S 6 = 189

• · uma 1 = 10, q= -2. Encontre o quarto elemento da progressão.

Solução: para isso, basta expressar o quarto elemento pelo primeiro e pelo denominador.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Exemplo de aplicação:

• O cliente do banco fez um depósito no valor de 10.000 rublos, nos termos dos quais a cada ano o cliente adicionará 6% ao valor principal. Quanto dinheiro estará na conta após 4 anos?

Solução: O valor inicial é de 10 mil rublos. Assim, um ano após o investimento, a conta terá um valor igual a 10.000 + 10.000 · 0,06 = 10.000 1,06

Assim, o valor na conta após mais um ano será expresso da seguinte forma:

(10.000 1,06) 0,06 + 10.000 1,06 = 1,06 1,06 10.000

Ou seja, a cada ano o valor aumenta em 1,06 vezes. Isso significa que, para encontrar a quantidade de fundos na conta após 4 anos, basta encontrar o quarto elemento da progressão, que é dado pelo primeiro elemento igual a 10 mil e o denominador igual a 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Exemplos de tarefas para calcular a soma:

Em vários problemas, uma progressão geométrica é usada. Um exemplo para encontrar a soma pode ser dado da seguinte forma:

uma 1 = 4, q= 2, calculeS5.

Solução: todos os dados necessários para o cálculo são conhecidos, basta substituí-los na fórmula.

S 5 = 124

• uma 2 = 6, uma 3 = 18. Calcule a soma dos seis primeiros elementos.

Solução:

Geom. progressão, cada próximo elemento é q vezes maior que o anterior, ou seja, para calcular a soma, você precisa conhecer o elementouma 1 e denominadorq.

uma 2 · q = uma 3

q = 3

Da mesma forma, precisamos encontraruma 1 , sabendouma 2 eq.

uma 1 · q = uma 2

um 1 =2

S 6 = 728.

Considere agora a questão da soma de uma progressão geométrica infinita. Vamos chamar a soma parcial de uma progressão infinita dada a soma de seus primeiros termos. Denote a soma parcial pelo símbolo

Para cada progressão infinita

pode-se compor uma sequência (também infinita) de suas somas parciais

Deixe uma sequência com aumento ilimitado ter um limite

Nesse caso, o número S, ou seja, o limite das somas parciais da progressão, é chamado de soma de uma progressão infinita. Vamos provar que uma progressão geométrica infinita decrescente sempre tem uma soma, e derivar uma fórmula para essa soma (podemos também mostrar que para uma progressão infinita não tem soma, não existe).

Escrevemos a expressão para a soma parcial como a soma dos membros da progressão de acordo com a fórmula (91.1) e consideramos o limite da soma parcial em

Do teorema do item 89 sabe-se que para uma progressão decrescente ; portanto, aplicando o teorema do limite da diferença, encontramos

(a regra também é usada aqui: o fator constante é retirado do sinal do limite). A existência é provada e, ao mesmo tempo, a fórmula para a soma de uma progressão geométrica infinitamente decrescente é obtida:

A igualdade (92.1) também pode ser escrita como

Aqui pode parecer paradoxal que um valor finito bem definido seja atribuído à soma de um conjunto infinito de termos.

Uma ilustração clara pode ser dada para explicar esta situação. Considere um quadrado com um lado igual a um (Fig. 72). Vamos dividir este quadrado por uma linha horizontal em duas partes iguais e aplicar a parte superior à inferior para que se forme um retângulo com lados 2 e . Depois disso, dividimos novamente a metade direita desse retângulo ao meio por uma linha horizontal e anexamos a parte superior à inferior (como mostrado na Fig. 72). Continuando esse processo, estamos constantemente transformando o quadrado original com área igual a 1 em figuras de igual tamanho (assumindo a forma de uma escada com degraus delgados).

Com uma continuação infinita desse processo, toda a área do quadrado é decomposta em um número infinito de termos - as áreas dos retângulos com bases iguais a 1 e alturas. As áreas dos retângulos apenas formam uma progressão infinita decrescente , sua soma

ou seja, como esperado, é igual à área do quadrado.

Exemplo. Encontre as somas das seguintes progressões infinitas:

Solução, a) Notamos que esta progressão Portanto, pela fórmula (92.2) encontramos

b) Aqui significa que pela mesma fórmula (92.2) temos

c) Descobrimos que essa progressão Portanto, essa progressão não tem soma.

Na Seção 5, foi mostrada a aplicação da fórmula da soma dos termos de uma progressão infinitamente decrescente para a conversão de uma fração decimal periódica em uma fração ordinária.

Exercícios

1. A soma de uma progressão geométrica infinitamente decrescente é 3/5, e a soma de seus quatro primeiros termos é 13/27. Encontre o primeiro termo e o denominador da progressão.

2. Encontre quatro números que formam uma progressão geométrica alternada, na qual o segundo termo é menor que o primeiro em 35 e o terceiro é maior que o quarto em 560.

3. Mostre a sequência hipotética

forma uma progressão geométrica infinitamente decrescente, então a sequência

para qualquer forma uma progressão geométrica infinitamente decrescente. Essa afirmação vale para

Deduza uma fórmula para o produto dos termos de uma progressão geométrica.