À primeira vista, pode parecer para você que um elétron com pouca energia está se espremendo através de um cristal sólido com grande dificuldade. Os átomos nele são empilhados de modo que seus centros estejam a apenas alguns angstroms de distância um do outro, e o diâmetro efetivo de um átomo ao espalhar elétrons é aproximadamente isso. Em outras palavras, os átomos, quando comparados com os espaços entre eles, são muito grandes, de modo que se pode esperar que o caminho livre médio entre colisões seja da ordem de alguns angstroms, que é praticamente zero. Deve-se esperar que o elétron voe quase imediatamente para um ou outro átomo. No entanto, temos diante de nós o fenômeno mais comum da natureza: quando a rede é ideal, não custa nada para um elétron varrer suavemente o cristal, quase como no vácuo. Esse estranho fato é a razão pela qual os metais conduzem eletricidade tão facilmente; além disso, ele permitiu a invenção de muitos dispositivos muito úteis. Por exemplo, graças a ele, o transistor é capaz de imitar um tubo de rádio. Em um tubo de rádio, os elétrons se movem livremente no vácuo; em um transistor, eles também se movem livremente, mas apenas através de uma rede cristalina. O mecanismo do que acontece em um transistor será descrito neste capítulo; o próximo capítulo é dedicado às aplicações desses princípios em vários dispositivos práticos.

A condução de elétrons em um cristal é um exemplo de um fenômeno muito geral. Não apenas os elétrons, mas também outros "objetos" podem viajar através dos cristais. Assim, as excitações atômicas também podem viajar de maneira semelhante. O fenômeno sobre o qual falaremos de vez em quando surge no estudo da física do estado sólido.

Analisamos repetidamente exemplos de sistemas com dois estados. Imagine desta vez um elétron que pode estar em uma das duas posições, e em cada uma delas se encontra no mesmo ambiente. Suponhamos também que haja uma certa amplitude para a transição de um elétron de uma posição para outra e, claro, a mesma amplitude para a transição de volta, exatamente como no Cap. 8, § 1 (edição 8) para o íon hidrogênio molecular. Então as leis da mecânica quântica levam aos seguintes resultados. O elétron terá dois estados possíveis com uma determinada energia, e cada estado pode ser descrito pela amplitude que o elétron se encontra em uma das duas posições básicas. Em cada um dos estados de uma certa energia, as magnitudes dessas duas amplitudes são constantes no tempo e as fases mudam no tempo com a mesma frequência. Por outro lado, se o elétron estava primeiro em uma posição, com o tempo ele se moverá para outra e ainda mais tarde retornará à primeira posição. As mudanças de amplitude são semelhantes ao movimento de dois pêndulos acoplados.

Vamos agora considerar uma rede cristalina ideal e imaginar que um elétron nela pode estar localizado em um certo "buraco" próximo a um certo átomo, tendo uma certa energia. Vamos supor também que o elétron tem alguma amplitude que irá pular para outro buraco, que está localizado próximo, próximo a outro átomo. Isso lembra um pouco um sistema de dois estados, mas com complicações adicionais. Uma vez que um elétron atinge um átomo vizinho, ele pode se mover para um local completamente novo ou retornar à sua posição original. Tudo isso não se parece tanto com um par de pêndulos conectados, mas com um número infinito de pêndulos conectados entre si. Isso lembra um pouco uma daquelas máquinas (compostas por uma longa fileira de hastes presas a um fio torcido) com as quais a propagação da onda foi demonstrada no primeiro curso.

Se você tiver um oscilador harmônico conectado a outro oscilador harmônico, que por sua vez está conectado ao próximo oscilador, que etc., e se você criar algum tipo de irregularidade em um lugar, ele começará a se espalhar como uma onda por fio . A mesma coisa acontece se você colocar um elétron perto de um dos átomos em uma longa cadeia deles.

Via de regra, os problemas em mecânica são mais fáceis de resolver na linguagem das ondas estacionárias; isso é mais fácil do que analisar as consequências de um único empurrão. Então aparece algum tipo de padrão de deslocamento, que se propaga através do cristal como uma onda com uma determinada frequência fixa. A mesma coisa acontece com o elétron, e pela mesma razão, porque o elétron é descrito na mecânica quântica por equações semelhantes.

Mas uma coisa a lembrar é que a amplitude para um elétron estar em um determinado local é uma amplitude, não uma probabilidade. Se o elétron estivesse simplesmente vazando de um lugar para outro, como água por um buraco, seu comportamento seria completamente diferente. Se, digamos, conectássemos dois tanques com água com um tubo fino, através do qual a água de um tanque fluísse gota a gota para outro, os níveis de água se igualariam exponencialmente. Com o elétron, porém, há vazamento de amplitude, e não uma transfusão monótona de probabilidades. E uma das propriedades do termo imaginário (um fator nas equações diferenciais da mecânica quântica) é que ele muda a solução exponencial para uma oscilatória. E o que acontece depois disso não é como a água flui de um tanque para outro.

Agora queremos analisar quantitativamente o caso da mecânica quântica. Seja um sistema unidimensional constituído por uma longa cadeia de átomos (Fig. 11.1, a). (Um cristal é, obviamente, tridimensional, mas a física é muito semelhante em ambos os casos; se você entende o caso unidimensional, você também pode entender o que acontece em três dimensões.) Queremos saber o que acontece se você coloque um indivíduo nesta linha de átomos, elétron. Claro, em um cristal real existem miríades de tais elétrons. Mas a maioria deles (quase todos em um cristal não condutor) ocupa seu lugar na imagem geral do movimento, cada um gira em torno de seu próprio átomo, e tudo acaba por ser completamente estabelecido. E queremos falar sobre o que acontecerá se um elétron extra for colocado dentro. Não vamos pensar no que os outros elétrons estão fazendo, porque vamos supor que é preciso muita energia de excitação para mudar sua energia. Vamos adicionar um elétron e criar, tipo, um novo íon negativo fracamente ligado. Observando o que esse elétron extra está fazendo, fazemos uma aproximação, enquanto negligenciamos o mecanismo interno dos átomos.

FIG. 11.1. Estados básicos de um elétron em uma rede unidimensional.

É claro que esse elétron poderá se deslocar para outro átomo, transferindo um íon negativo para um novo local. Vamos supor que (exatamente como no caso de um elétron "saltando" de próton para próton), um elétron pode "saltar" com alguma amplitude de um átomo para seus vizinhos de qualquer lado.

Como descrever tal sistema? O que são estados básicos razoáveis? Se você se lembrar do que fizemos quando o elétron tinha apenas duas posições possíveis, você pode adivinhar. Sejam todas as distâncias entre os átomos de nossa cadeia iguais e numerá-las em ordem, como na Fig. 11.1, a. Um estado básico - quando o elétron está próximo ao átomo nº 6; outro estado básico é quando o elétron está próximo de #7, ou próximo de #8, etc.; O º estado básico pode ser descrito dizendo que o elétron está localizado próximo ao átomo No. Vamos denotar este estado básico como . Da FIG. 11.1 fica claro o que se entende por três estados básicos:

Usando esses nossos estados básicos, podemos descrever qualquer estado de nosso cristal unidimensional definindo todas as amplitudes do fato de que o estado está em um dos estados básicos, ou seja, a amplitude do fato de o elétron estar localizado próximo determinado átomo. Então o estado pode ser escrito como uma superposição de estados básicos:

. (11.1)

Além disso, também queremos supor que quando um elétron está próximo a um dos átomos, há alguma amplitude que ele vazará para o átomo da esquerda ou para o da direita. Tomemos o caso mais simples, quando se acredita que só pode alcançar os vizinhos mais próximos, e pode alcançar o próximo vizinho em duas etapas. Suponhamos que as amplitudes do fato de um elétron saltar de um átomo para um átomo vizinho sejam iguais (por unidade de tempo).

Vamos mudar a notação para o tempo e denotar a amplitude associada ao -ésimo átomo por . Então (11.1) terá a forma

Se você conhecesse cada uma das amplitudes em um determinado momento, então, tomando os quadrados de seus módulos, você poderia obter a probabilidade de ver um elétron quando olhar para o átomo do i-ésimo buraco naquele momento. Como de costume, é considerado constante (não dependente de ).

Para uma descrição completa do comportamento de qualquer estado, é necessário ter uma equação do tipo (11.3) para cada uma das amplitudes. Como vamos considerar um cristal com um número muito grande de átomos, vamos supor que existem infinitos estados, os átomos se estendem infinitamente em ambas as direções. (Com um número finito de átomos, você deve prestar atenção especial ao que acontece nas extremidades.) E se o número de nossos estados de base for infinitamente grande, então todo o sistema de nossas equações hamiltonianas é infinito! Vamos escrever apenas parte dela:

(11.4)

TEORIA DA ZONA DE CORPOS SÓLIDOS

O primeiro capítulo discutiu a descrição da mecânica quântica de micropartículas ou partículas livres em um campo de força externo. No entanto, os principais sucessos da mecânica quântica estão associados ao estudo de sistemas de micropartículas interativas (elétrons, núcleos, átomos, moléculas) que compõem a matéria. Neste capítulo, aplicaremos a mecânica quântica para descrever o comportamento dos elétrons em sólidos cristalinos, considerando um cristal como um sistema de micropartículas.

No caso geral, este problema requer a resolução da equação de Schrödinger para um sistema de partículas (elétrons e núcleos) que formam um cristal. Nesta equação, é necessário levar em conta a energia cinética de todos os elétrons e núcleos, a energia potencial de interação dos elétrons entre si, os núcleos entre si, os elétrons com os núcleos. É claro que na forma geral a solução de tal equação não é possível, pois contém cerca de 10 22 variáveis. Portanto, problemas relacionados ao comportamento dos elétrons em um cristal são resolvidos sob certas suposições simplificadoras (aproximações), cuja validade é determinada pelas propriedades específicas do cristal. Vamos considerar a principal dessas suposições.

aproximação adiabática. Nesta aproximação, assume-se que os elétrons se movem em um campo imóvel núcleos. Por núcleos aqui queremos dizer os núcleos reais de átomos com todos os elétrons, excluindo os de valência. A legitimidade dessa suposição é determinada pelo fato de que as velocidades dos elétrons são aproximadamente duas ordens de grandeza maiores que as velocidades dos núcleos, portanto, para qualquer configuração de núcleos, mesmo fora de equilíbrio, o equilíbrio eletrônico correspondente sempre terá tempo a ser estabelecido. Nesta representação exclui-se a troca de energia entre os sistemas eletrônico e nuclear, portanto essa aproximação é chamada de adiabática. Naturalmente, na aproximação adiabática não se pode considerar fenômenos como difusão, condutividade iônica, etc., associados ao movimento de átomos ou íons.

Aproximação de um elétron. Nesta aproximação, em vez da interação de um determinado elétron com outros elétrons e núcleos, seu movimento é considerado separadamente em algum campo médio resultante dos demais elétrons e núcleos. Tal campo é chamado auto-consistente. Na aproximação de um elétron, portanto, o problema se reduz a uma descrição independente de cada elétron em um campo externo médio com energia potencial você(r). Tipo de função você(r) é determinado pelas propriedades de simetria do cristal. A principal propriedade de um campo autoconsistente é que ele tem o mesmo período que o campo dos núcleos.

Assim, a aproximação adiabática e de um elétron leva ao problema do movimento do elétron em um certo campo de potencial periódico com um período igual à constante da rede cristalina. A equação de Schrödinger neste caso terá a forma

Aqui ( r) é a função de onda do elétron, é o operador de Laplace, Eué a massa do elétron, Eé a energia de um elétron em um cristal.

As duas suposições a seguir estão relacionadas à impossibilidade de determinar com precisão o tipo de função você(r). Portanto, ao descrever as propriedades dos elétrons em um cristal, geralmente são considerados dois casos limites da interação dos elétrons com a rede.

Aproximação de conexão fraca. Nesta aproximação, os elétrons em um cristal são considerados como partículas quase livres, cujo movimento é submetido a uma ligeira perturbação pelo campo da rede cristalina. Esta suposição é aplicável quando a energia potencial de interação de um elétron com uma rede é muito menor que sua energia cinética. Essa abordagem, às vezes chamada de " aproximação de elétrons quase livres", nos permite resolver alguns problemas relacionados ao comportamento dos elétrons de valência em metais.

Em semicondutores, é mais aceitável analisar suas propriedades físicas aproximação de acoplamento apertado. Nesta aproximação, o estado de um elétron em um cristal difere pouco de seu estado em um átomo isolado. A aproximação de ligação forte é aplicável quando a energia potencial de um elétron é muito maior que sua energia cinética.

Característica para ambas as aproximações de acoplamento fraco e forte é que ambos levam a uma propriedade fundamental da distribuição de energia dos elétrons em um cristal - o surgimento de zonas de energia permitidas e proibidas.

Aula 15. Elétrons em cristais

15.1. Condutividade elétrica de metais

Um cálculo da mecânica quântica mostra que, no caso de uma rede cristalina ideal, os elétrons de condução não experimentariam nenhuma resistência durante seu movimento e a condutividade elétrica dos metais seria infinita . De acordo com o dualismo de onda corpuscular, o movimento de um elétron está associado a um processo de onda. A rede cristalina ideal de um metal (há partículas imóveis em seus nós e não há violações de periodicidade nela) se comporta como um meio opticamente homogêneo - não espalha "ondas eletrônicas". Isso corresponde ao fato de o metal não fornecer nenhuma resistência à corrente elétrica - o movimento ordenado dos elétrons. As "ondas eletrônicas" que se propagam na rede cristalina ideal de um metal, por assim dizer, circundam os nós da rede e percorrem distâncias consideráveis.

Em uma rede cristalina real de um metal, sempre há heterogeneidades, que podem ser, por exemplo, impurezas, vagas; as heterogeneidades também são causadas por flutuações térmicas. Em uma rede cristalina real, as "ondas eletrônicas" são espalhadas por heterogeneidades, que é a razão da resistência elétrica dos metais. O espalhamento de "ondas eletrônicas" por não homogeneidades associadas a vibrações térmicas pode ser considerado como colisões de elétrons com fônons.

Resistência elétrica específica ( ρ ) de metais pode ser representado como

Onde ρ flutuações - resistência devido a flutuações térmicas da rede, ρ prim é a resistência devido ao espalhamento de elétrons por átomos de impureza. prazo ρ flutuações diminui com a diminuição da temperatura e desaparece em T= 0 K. Prazo ρ prim em baixa concentração de impurezas não depende da temperatura e forma o chamado residual resistência televisão metal, ou seja, a resistência que o metal tem perto de 0 K.

O cálculo da condutividade elétrica dos metais, realizado com base na teoria quântica, leva a uma expressão para a condutividade elétrica do metal

que na aparência se assemelha à fórmula clássica para σ , mas tem um conteúdo físico completamente diferente. Aqui P- a concentração de elétrons de condução no metal;<ℓ F> é o caminho livre médio de um elétron com energia de Fermi, é a velocidade média do movimento térmico de tal elétron, m* - massa efetiva dos elétrons. As conclusões obtidas com base na fórmula (15.1) correspondem totalmente aos dados experimentais. A teoria quântica dos metais, em particular, explica a dependência da condutividade da temperatura: σ ~ 1/T(a teoria clássica dá que σ ~ 1/√T), bem como valores anormalmente grandes (da ordem de centenas de períodos de rede) do caminho livre médio dos elétrons<ℓ F> em metal.

De acordo com a teoria clássica, a velocidade média do movimento térmico dos elétrons<você> ~ √ T, portanto, ela não conseguiu explicar a verdadeira dependência da condutividade elétrica σ da temperatura. Na teoria quântica, a velocidade média<você F> praticamente não depende da temperatura, pois está provado que o nível de Fermi permanece praticamente inalterado com a mudança de temperatura (ver (14.53)). No entanto, à medida que a temperatura aumenta, aumenta o espalhamento de "ondas de elétrons" por vibrações térmicas da rede (por fônons), o que corresponde a uma diminuição no caminho livre médio dos elétrons. Na área de temperatura ambiente<ℓ F>~ T-1, então dada a independência na temperatura, obtemos que a resistência dos metais ( R~ 1/σ ) de acordo com os dados experimentais aumenta proporcionalmente T.

A diferença entre a interpretação clássica do movimento dos elétrons de condução em um metal e a interpretação da mecânica quântica é a seguinte. Na visão clássica, supõe-se que todos os elétrons perturbado por um campo elétrico externo. Na interpretação da mecânica quântica, deve-se levar em conta que, embora todos os elétrons também sejam perturbados pelo campo elétrico, seus coletivo movimento é percebido na experiência como uma perturbação pelo campo apenas elétrons ocupando estados próximos ao nível de Fermi . Além disso, na interpretação clássica, o denominador da fórmula (15.1) deve conter a massa do elétron usual t. Com uma interpretação mecânica quântica em vez da massa usual, a massa efetiva do elétron deve ser tomada m *. Esta circunstância é uma manifestação da regra geral, segundo a qual as relações obtidas na aproximação de elétrons livres são válidas para elétrons que se movem no campo periódico da rede, se substituirmos a massa verdadeira neles m massa efetiva do elétron m*.

15.2. Condutividade elétrica de semicondutores

Os semicondutores são substâncias cristalinas nas quais em 0 K a banda de valência está completamente preenchida com elétrons (veja a Fig. 14.14, b), e o band gap é pequeno. Os semicondutores devem seu nome ao fato de que, em termos de condutividade elétrica, ocupam uma posição intermediária entre metais e dielétricos. No entanto, não é o valor de condutividade que é característico deles, mas o fato de que sua condutividade aumenta com o aumento da temperatura (para metais, diminui).

15.2.1. Condutividade intrínseca de semicondutores

Os semicondutores intrínsecos são semicondutores quimicamente puros e sua condutividade é chamada de condutividade intrínseca. Ge, Si quimicamente puros, assim como muitos compostos químicos: InSb, GaAs, CdS, etc., podem servir como exemplo de semicondutores intrínsecos.

A 0 K e na ausência de outros fatores externos, os semicondutores intrínsecos se comportam como dielétricos. Com o aumento da temperatura, os elétrons dos níveis superiores da banda de valência I podem ser transferidos para os níveis inferiores da banda de condução I I (Fig. 15.1). Quando um campo elétrico é aplicado a um cristal, eles se movem contra o campo e criam uma corrente elétrica. Assim, a zona I I devido ao seu "staffing" parcial com elétrons torna-se a banda de condução. A condutividade dos semicondutores intrínsecos devido aos elétrons é chamada de condutividade eletrônica ou condutividade n -modelo.

Como resultado da ejeção térmica de elétrons da banda I para a banda I I, surgem estados vagos na banda de valência, que são chamados de furos . Em um campo elétrico externo, um elétron de um nível vizinho pode se mover para um local livre de um elétron, uma lacuna e uma lacuna aparecerá no local onde o elétron saiu, etc. Esse processo de preenchimento de lacunas com elétrons é equivalente mover um buraco na direção oposta ao movimento do elétron, como se o buraco tivesse uma carga positiva igual em magnitude à carga do elétron.

Arroz. 15.1 Fig. 15.2

A condutividade de semicondutores intrínsecos, devido a quasipartículas - buracos, é chamada de condutividade do furo ou condutividade tipo p .

Assim, dois mecanismos de condução são observados em semicondutores intrínsecos - eletrônico e buraco. O número de elétrons na banda de condução é igual ao número de buracos na banda de valência, pois estes últimos correspondem aos elétrons excitados na banda de condução. Portanto, se as concentrações de elétrons de condução e lacunas são denotadas, respectivamente, n e e n p, então

n e = n R.

A condutividade dos semicondutores é sempre excitada, ou seja, aparece apenas sob a influência de fatores externos (temperatura, irradiação, campos elétricos fortes, etc.).

Em um semicondutor intrínseco, o nível de Fermi está no meio do band gap (Fig. 15.2). De fato, para transferir um elétron do nível superior da banda de valência para o nível inferior da banda de condução, é necessário energia ativação , igual à largura da zona solicitada ∆E. Quando um elétron aparece na banda de condução, necessariamente aparece um buraco na banda de valência. Portanto, a energia gasta na formação de um par de portadores de corrente deve ser dividida em duas partes iguais. Como a energia correspondente à metade do band gap vai para a transferência de um elétron e a mesma energia é gasta na formação de um buraco, o ponto de referência para cada um desses processos deve estar no meio do band gap. Energia Fermi em seu próprio semicondutor está a energia da qual ocorre a excitação de elétrons e buracos.

A conclusão sobre a localização do nível de Fermi no meio do band gap do semicondutor intrínseco pode ser confirmada por cálculos matemáticos. Na física do estado sólido, está provado que a concentração de elétrons na banda de condução

Onde E2- energia correspondente ao fundo da banda de condução (Fig. 15.2); E F é a energia de Fermi; T- temperatura termodinâmica; A PARTIR DE 1 - constante dependendo da temperatura e da massa efetiva do elétron de condução.

Massa efetiva - uma quantidade que tem a dimensão da massa e caracteriza as propriedades dinâmicas das quasipartículas - elétrons de condução e buracos. A introdução da massa efetiva do elétron de condução na teoria de bandas permite, por um lado, levar em conta a ação sobre os elétrons de condução não apenas do campo externo, mas também do campo periódico interno do cristal, e por outro lado, abstraindo da interação dos elétrons de condução com a rede, considerar seu movimento em um campo externo como o movimento de partes livres.

Concentração de buracos na banda de valência

Onde A PARTIR DE 2 é uma constante dependendo da temperatura e da massa efetiva do furo; E 1 - energia correspondente ao limite superior da banda de valência.

A energia de excitação neste caso é contada a partir do nível de Fermi (Fig. 15.2), então os valores no multiplicador exponencial têm o sinal oposto do multiplicador exponencial em (15.3). Uma vez que para o seu próprio semicondutor n e = n p (15,2), então

ou seja, o nível de Fermi no semicondutor intrínseco está de fato localizado no meio do intervalo de banda. Uma vez que para semicondutores intrínsecos ∆E >> kT, então a distribuição de Fermi-Dirac (14.42) se transforma na distribuição de Maxwell-Boltzmann (14.15). Colocando (14.42) E - E F≈ ∆E/2, obtemos

Onde σ 0 é uma característica constante de um determinado semicondutor.

Um aumento na condutividade dos semicondutores com o aumento da temperatura é sua característica (nos metais, com o aumento da temperatura, a condutividade diminui). Do ponto de vista da teoria da banda, essa circunstância pode ser explicada de maneira bastante simples: com o aumento da temperatura, aumentam os elétrons puros, que, devido à excitação térmica, passam para a banda de condução e participam da condução. Portanto, a condutividade específica dos semicondutores intrínsecos aumenta com o aumento da temperatura.

Se representarmos a dependência da temperatura da condutividade específica ln σ em 1/ T, então para semicondutores intrínsecos - uma linha reta (Fig. 15.3), cuja inclinação você pode determinar o intervalo de banda ΔЕ e por sua continuação - σ 0 (a linha reta corta no eixo y um segmento igual a ln σ 0. Um dos elementos semicondutores mais usados ​​é o germânio, que tem uma rede tipo diamante na qual cada átomo está covalentemente ligado aos seus quatro vizinhos mais próximos. Um arranjo plano simplificado de átomos em um cristal de Ge é mostrado na Fig. . 15.4,

onde cada traço denota uma ligação realizada por um elétron. Em um cristal ideal em T= 0 K, tal estrutura é um dielétrico, pois todos os elétrons de valência participam da formação de ligações e, portanto, não participam da condução. Quando a temperatura aumenta (ou sob a influência de outros fatores externos)

vibrações térmicas da rede podem levar à quebra de algumas ligações de valência, como resultado, alguns dos elétrons são separados e ficam livres. No lugar deixado pelo elétron, aparece um buraco (representado por um círculo branco), que pode ser preenchido por elétrons de um par vizinho.

Arroz. 15.3. Arroz. 15.4.

Como resultado, o buraco, assim como o elétron liberado, se moverá através do cristal. O movimento de elétrons e buracos de condução na ausência de um campo elétrico é caótico. Se um campo elétrico for aplicado ao cristal, os elétrons começarão a se mover contra o campo, buracos - ao longo do campo, o que levará ao aparecimento da própria condutividade do germânio, devido a elétrons e buracos.

Nos semicondutores, junto com o processo de geração de elétrons e buracos, existe um processo recombinação ; os elétrons se movem da banda de condução para a banda de valência, dando energia à rede e emitindo quanta de radiação eletromagnética. Como resultado, para cada temperatura, estabelece-se uma certa concentração de equilíbrio de elétrons e lacunas, que varia com a temperatura, conforme expressão (15.5).

15.2.2. Condutividade de impurezas de semicondutores

A condutividade dos semicondutores devido às impurezas é chamada de impureza condutividade , e os próprios semicondutores - semicondutores dopados. A condutividade da impureza é devida a impurezas (átomos de elementos estranhos), bem como defeitos como excesso de átomos (em comparação com a composição estequiométrica), defeitos térmicos (nós vazios ou átomos em interstícios) e mecânicos (trincas, deslocamentos, etc.). A presença de impurezas em um semicondutor altera significativamente sua condutividade. Por exemplo, quando introduzido em silício cerca de 0,001 at. % de boro, sua condutividade aumenta cerca de 106 vezes.

Consideremos a condutividade de impurezas de semicondutores usando o exemplo de Ge e Si, nos quais são introduzidos átomos com uma valência que difere da valência dos átomos principais por unidade. Por exemplo, quando um átomo de germânio é substituído por um átomo de arsênico pentavalente (Fig. 15.5, uma) um elétron não pode formar uma ligação covalente, acaba sendo supérfluo e pode ser facilmente separado do átomo durante as vibrações térmicas da rede, ou seja, tornar-se livre. A formação de um elétron livre não é acompanhada pela quebra da ligação covalente; portanto, em contraste com o caso considerado acima, não surge um buraco. O excesso de carga positiva que surge próximo ao átomo de impureza está ligado ao átomo de impureza e, portanto, não pode se mover ao longo da rede.

Do ponto de vista da teoria da zona, o processo considerado pode ser representado da seguinte forma (Fig. 15.5, b). A introdução de uma impureza distorce o campo de rede, o que leva ao aparecimento de um nível de energia no intervalo de banda D elétrons de valência do arsênio, chamados nível de impureza . Quando

Alemanha com uma mistura de arsênico, este nível está localizado a uma distância da parte inferior da banda de condução ΔED= 0,013 eV. Porque ΔED < kT, então já em temperaturas comuns a energia do movimento térmico é suficiente para transferir elétrons do nível de impureza para a banda de condução; as cargas positivas formadas neste caso estão localizadas em átomos de arsênico imóveis e não participam da condução.

Assim, em semicondutores com uma impureza cuja valência é unidade mais do que a valência dos átomos principais, os portadores de corrente são elétrons; surge uheletrônico condutividade de impureza (condutividade n -modelo ). Semicondutores uheletrônico(ou semicondutores n -modelo ). As impurezas que são a fonte de elétrons são chamadas de doadores níveis de doadores .

Suponha que um átomo de impureza com três elétrons de valência, como o boro, seja introduzido na rede de silício (Fig. 15.6, uma). Para formar ligações com quatro vizinhos mais próximos, o átomo de boro não possui um elétron, uma das ligações permanece incompleta e o quarto elétron pode ser capturado do átomo vizinho da substância principal, onde um buraco é formado de acordo. O preenchimento sucessivo das lacunas resultantes com elétrons é equivalente ao movimento das lacunas em um semicondutor, ou seja, as lacunas não permanecem localizadas, mas se movem na rede de silício como cargas positivas livres. O excesso de carga negativa que surge próximo ao átomo de impureza está ligado ao átomo de impureza e não pode se mover ao longo da rede.

De acordo com a teoria das bandas, a introdução de uma impureza trivalente na rede de silício leva ao aparecimento de um nível de energia de impureza no intervalo da banda. MAS, não ocupado por elétrons. No caso do silício dopado com boro, este nível está localizado acima da borda superior da banda de valência a uma distância ΔEA= 0,08 eV (Fig. 15.6. 6 ). A proximidade destes níveis com a banda de valência leva ao facto de já na

em temperaturas comparativamente baixas, os elétrons da banda de valência passam para níveis de impureza e, ligando-se aos átomos de boro, perdem a capacidade de se mover ao longo da rede de silício, ou seja, não participam da condução. Os portadores de corrente são apenas buracos que aparecem na banda de valência.

Assim, em semicondutores dopados, cuja valência é um a menos que a valência dos átomos principais, os portadores de corrente são buracos; surge condução do furo (condutividade R-modelo). Semicondutores com tal condutividade são chamados drico (ou semicondutores tipo p ). As impurezas que capturam elétrons da banda de valência de um semicondutor são chamadas de aceitadores , e os níveis de energia dessas impurezas são níveis de aceitadores.

Em contraste com a condutividade intrínseca, que é realizada simultaneamente por elétrons e lacunas, a condutividade de impureza dos semicondutores se deve principalmente a portadores do mesmo sinal: elétrons - no caso de uma impureza doadora, lacunas - no caso de um aceptor impureza. Esses operadoras atuais chamado a Principal . Além dos portadores majoritários em um semicondutor, existem também portadores minoritários: em semicondutores n-type - furos, em semicondutores R-tipo - elétrons.

A presença de níveis de impurezas em semicondutores altera significativamente a posição do nível de Fermi E F. Os cálculos mostram que, no caso de semicondutores do tipo n, o nível de Fermi E Fo em 0 K está localizado no meio entre a parte inferior da banda de condução e o nível doador (Fig. 15.7).

À medida que a temperatura aumenta, um número crescente de elétrons passa dos estados doadores para a banda de condução, mas, além disso, aumenta o número de flutuações térmicas que podem excitar os elétrons da banda de valência e transferi-los através da banda de energia. Portanto, em altas temperaturas, o nível de Fermi tende a se deslocar para baixo (curva sólida) até sua posição limite no centro do band gap, que é característico de um semicondutor intrínseco.

Nível de Fermi em semicondutores R- digite em T= 0K E Fo está localizado no meio entre o topo da banda de valência e o nível aceitador (Fig. 15.8). A curva sólida mostra novamente seu deslocamento com a temperatura. Em temperaturas nas quais os átomos de impureza estão completamente esgotados e a densidade de portadores aumenta devido à excitação de portadores intrínsecos, o nível de Fermi está localizado no meio do band gap, como em um semicondutor intrínseco.

A condutividade de um semicondutor impuro, como a condutividade de qualquer condutor, é determinada pela concentração de portadores e sua mobilidade. Com uma mudança na temperatura, a mobilidade dos portadores muda de acordo com uma lei de potência relativamente fraca, e a concentração de portadores - de acordo com uma lei exponencial muito forte, então a condutividade dos semicondutores de impureza na temperatura é determinada principalmente pela dependência da temperatura do concentração de portadores de corrente nele. Na fig. 15.9 é dado um gráfico aproximado de ln σ a partir de 1/ T para semicondutores dopados. Enredo AB descreve condutividade de impureza do semicondutor. Um aumento na condutividade de impureza de um semicondutor com o aumento da temperatura é principalmente devido a um aumento na concentração de portadores de impureza. Enredo Sol corresponde à região de depleção de impurezas, a área CD descreve a condutividade intrínseca de um semicondutor.

15.2.3. Fotocondutividade de semicondutores. Excitons

Um aumento na condutividade elétrica dos semicondutores pode ser devido não apenas à excitação térmica dos portadores de corrente, mas também sob a ação da radiação eletromagnética. Neste caso, fala-se de fotocondutividade de semicondutores . A fotocondutividade dos semicondutores pode estar relacionada às propriedades tanto da substância de base quanto das impurezas que ela contém. No primeiro caso, na absorção dos fótons correspondentes à banda de absorção intrínseca do semicondutor, ou seja, quando a energia do fóton é igual ou maior que o band gap ( hν ≥ ∆E), os elétrons podem ser transferidos da banda de valência para a banda de condução (Fig. 15.10, uma), o que levará ao aparecimento de elétrons adicionais (não em equilíbrio) (na banda de condução) e lacunas (na banda de valência). Como resultado, há fotocondutividade intrínseca devido a elétrons e buracos.

Se o semicondutor contém impurezas, então a fotocondutividade pode

ocorrer em hν < ∆E: para semicondutores com impureza doadora, um fóton deve ter a energia hν ≥ ∆ED, e para semicondutores com uma impureza aceitadora hν ≥ ∆EA. Quando a luz é absorvida pelos centros de impurezas, a transição dos elétrons dos níveis doadores para a banda de condução ocorre no caso de um semicondutor n-tipo (Fig. 15.10, b) ou da banda de valência para níveis aceitadores no caso de um semicondutor R-tipo (Fig. 15.10, dentro). Como resultado, há fotocondutividade de impureza , que é puramente eletrônico para semicondutores n-tipo e furo puro para semicondutores R-modelo.

Da condição hν = hc/λ pode ser definido borda vermelha de fotocondutividade é o comprimento de onda máximo no qual a fotocondutividade ainda é excitada:

para semicondutores proprietários

para semicondutores dopados

(∆E n - no caso geral, a energia de ativação dos átomos de impureza).

Levando em conta os valores ∆ E e ∆ E n para semicondutores específicos, pode-se mostrar que o limite vermelho de fotocondutividade para semicondutores intrínsecos cai na região visível do espectro, enquanto para semicondutores impuros - no infravermelho.

A excitação térmica ou eletromagnética de elétrons e buracos pode não ser acompanhada por um aumento na condutividade elétrica. Um desses mecanismos pode ser o mecanismo do aparecimento de excitons. Excitons são quasipartículas - estados ligados eletricamente neutros de um elétron e um buraco, formados no caso de excitação com uma energia menor que o band gap. Os níveis de energia do éxciton estão localizados na parte inferior da banda de condução. Como os excitons são eletricamente neutros, seu aparecimento em um semicondutor não leva ao aparecimento de portadores de corrente adicionais, como resultado do qual a absorção de luz do éxciton não é acompanhada por um aumento na fotocondutividade.

15.3. Contato de semicondutores eletrônicos e de furo

A fronteira de contato entre dois semicondutores, um dos quais tem condutividade eletrônica e o outro tem condutividade de furo, é chamado de transição elétron-buraco (ou p- n -transição) . Essas transições são de grande importância prática, sendo a base para o funcionamento de muitos dispositivos semicondutores. R-n- A transição não pode ser feita simplesmente conectando mecanicamente dois semicondutores. Normalmente, regiões de condutividade diferente são criadas durante o crescimento do cristal ou pelo processamento apropriado dos cristais.

15.3.1. Diodos semicondutores (p- n-transição)

Deixe o semicondutor doador (função de trabalho - MASn nível de Fermi - E Fn) é colocado em contato (Fig. 15.11, a, b) com um semicondutor aceitador (função trabalho - UMA p, nível de Fermi - E fp). Elétrons de n-semicondutor, onde sua concentração é maior, difundi-se-á R-semicondutor, onde sua concentração é menor. A difusão dos orifícios ocorre na direção oposta - na direção R → n.

NO n-semicondutor, devido ao escape de elétrons, uma carga espacial positiva não compensada de átomos doadores ionizados imóveis permanece próximo ao limite.

NO p-semicondutor, devido à saída de buracos, uma carga espacial negativa de aceitadores ionizados imóveis é formada perto do limite (Fig. 15.11, uma). Essas cargas espaciais formam uma camada elétrica dupla perto do limite, cujo campo, dirigido de n- área para R-região, impede a transição adicional de elétrons na direção n →R e furos na direção R→ n. Se as concentrações de doadores e aceitadores em semicondutores n- e R-tipo são os mesmos, então as espessuras das camadas d 1 e d2(Fig. 15.11, dentro), em que o fixo

os encargos são iguais (d 1 = d 2).

Em uma certa espessura R-n-transição, ocorre um estado de equilíbrio, caracterizado pelo alinhamento dos níveis de Fermi para ambos os semicondutores (Fig. 15.11, dentro). Na área de R-n-transição, as bandas de energia são dobradas, resultando no surgimento de barreiras de potencial para elétrons e lacunas. Altura potencial da barreira eφé determinado pela diferença inicial nas posições do nível de Fermi em ambos os semicondutores. Todos os níveis de energia do semicondutor aceitador são elevados em relação aos níveis do semicondutor doador a uma altura igual a eφ, e o aumento ocorre na espessura da camada dupla d.

Espessura d camada R-n- a transição em semicondutores é de aproximadamente 10-b - 10-7 m, e a diferença de potencial de contato é de décimos de volt. Os portadores de corrente são capazes de superar tal diferença de potencial apenas a uma temperatura de vários milhares de graus, ou seja, em temperaturas normais, o equilíbrio camada de contato é haspirante (caracterizado pela alta resistência).

A resistência da camada de barreira pode ser alterada usando um campo elétrico externo. Se anexado a R-n- campo elétrico externo de transição dirigido de n- semicondutor para R- semicondutor (Fig. 15.12, uma), ou seja, coincide com o campo da camada de contato, então provoca o movimento de elétrons em n-semicondutor e furos em R-semicondutor da fronteira R-n- mover-se em direções opostas. Como resultado, a camada de barreira se expandirá e sua resistência aumentará.

Direção de campo externo, expandindo a camada de barreira, é chamado travamento (reverso ). Nesse sentido, a corrente elétrica através r-p- transição é praticamente inexistente. A corrente na camada de bloqueio na direção de bloqueio é formada apenas devido a portadores de corrente menores (elétrons em R-semicondutor e furos em P- semicondutor).

Se anexado a r-p- campo elétrico externo de transição é direcionado

oposto ao campo da camada de contato (Fig. 15.12, b), então ele causa o movimento de elétrons em P-semicondutor e furos em R-semicondutor para o limite r-p-transição

um em direção ao outro. Nesta região, eles se recombinam, a espessura da camada de contato e sua resistência diminuem. Portanto, neste instruções e a corrente elétrica passa r-p- transição na direção de R- semicondutor para P- semicondutor; é chamado rendimento (direto ).

Nesse caminho, r-p transição (semelhante a um contato de metal para semicondutor)

tem um lado válvula) condutividade.

A Figura 15.13 mostra a característica corrente-tensão r-p-transição. Como já mencionado, com uma tensão direta, um campo elétrico externo contribui para o movimento dos principais portadores de corrente para o limite r-p-transição (ver Fig. 15.12, b). Como resultado, a espessura da camada de contato diminui. Assim, a resistência de transição também diminui (quanto mais forte, maior a tensão), e a intensidade da corrente se torna grande (ramo direito na Fig. 15.13). este a direção da corrente é chamada direta. Com uma tensão de bloqueio (reversa), um campo elétrico externo impede o movimento dos principais portadores de corrente para o limite r-p-transição (ver Fig. 15.12, uma) e promove a circulação de portadores de corrente minoritários, cuja concentração em semicondutores é baixa. Isso leva a um aumento na espessura da camada de contato esgotada em

operadoras atuais. Assim, a resistência de transição também aumenta. Portanto, neste caso, por meio de r-p A junção transporta apenas uma pequena quantidade de corrente (é chamada marcha ré ), completamente devido a portadores de corrente menores (ramo esquerdo da Fig. 15.13). Um rápido aumento nesta corrente significa a quebra da camada de contato e sua destruição. Quando conectado ao circuito AC r-p junções atuam como retificadores.

15.3.2. Triodos semicondutores (transistores)

A condução unilateral de contatos de dois semicondutores (ou metal com um semicondutor) é usada para retificar e converter correntes alternadas. Se houver uma transição elétron-buraco, sua ação é semelhante à ação de uma lâmpada de diodo de dois eletrodos. Portanto, um dispositivo semicondutor contendo um r-p-transição é chamada semicondutor(cristalino) diodo.

r-p As transições não têm apenas excelentes propriedades de retificação, mas também podem ser usadas para amplificação e, se o feedback for introduzido no circuito, para gerar oscilações elétricas. Dispositivos projetados para este fim são chamados de triodos semicondutores , ou transistores . Podem ser do tipo r-p-r e digite p-r-p dependendo da alternância de regiões com diferentes condutividades.

Por exemplo, considere o princípio de operação de um triodo planar r-p-r, ou seja, baseado em triodo P- semicondutor (Fig. 15.14). Os "eletrodos" de trabalho do triodo, que são base (parte central do transistor), emissor e colecionador R(adjacentes à base em ambos os lados da área com um tipo diferente de condutividade), são incluídos no circuito usando contatos não retificadores - condutores metálicos.

Uma tensão de polarização direta DC é aplicada entre o emissor e a base, e uma tensão de polarização reversa DC é aplicada entre a base e o coletor. Voltagem CA amplificada

aplicado à impedância de entrada R entrada e reforçado - é removido da resistência de saída R Fora. O fluxo de corrente no circuito do emissor é principalmente devido ao movimento dos orifícios (eles são os principais portadores de corrente) e é acompanhado por sua "injeção" - injeção - para a área de base. Os orifícios que penetraram na base se difundem em direção ao coletor e, com uma pequena espessura de base, uma parte significativa dos orifícios injetados chega ao coletor. Aqui, os buracos são capturados pelo campo que atua dentro da junção (atraído por um coletor carregado negativamente), como resultado da mudança da corrente do coletor. Portanto, qualquer mudança na corrente no valor do emissor causa uma mudança na corrente no circuito coletor.

Aplicando uma tensão alternada entre o emissor e a base, obtemos uma corrente alternada no circuito coletor e uma tensão alternada na resistência de saída. A quantidade de ganho depende das propriedades r-p-transições, resistências de carga e tensão da bateria Bq. Usualmente R saída >> R v, portanto Uout muito maior do que a tensão de entrada você em (o ganho pode chegar a 10.000). Como a energia CA dissipada em R fora, talvez mais do que o valor do emissor, então o transistor também dá amplificação de potência. Esta potência amplificada vem de uma fonte de corrente incluída no circuito coletor.

Segue-se do exposto que o transistor, como um tubo de vácuo, fornece amplificação de tensão e potência. Se em uma lâmpada anódico a corrente é controlada pela tensão na rede, então no transistor a corrente do coletor correspondente à corrente do ânodo da lâmpada é controlada pela tensão na base.

O princípio de funcionamento do transistor p-r-p-type é semelhante ao discutido acima, mas o papel das lacunas é desempenhado pelos elétrons. Existem outros tipos de transistores, bem como outros circuitos para ligá-los. Devido às suas vantagens sobre as lâmpadas eletrônicas (pequenas dimensões gerais, alta eficiência e vida útil, ausência de cátodo incandescente (e, portanto, menor consumo de energia), não há necessidade de vácuo etc.) o transistor revolucionou o campo das comunicações eletrônicas e garantiu a criação de computadores de alta velocidade com grande quantidade de memória.

15.4. Fenômenos de contato e termoelétricos de acordo com a teoria das zonas

15.4.1. Função trabalho e emissão termiônica

A superfície do metal só pode deixar os elétrons de condução cuja energia seja suficiente para superar a barreira de potencial presente na superfície. A remoção de um elétron da camada externa de íons da rede leva ao aparecimento de um excesso de carga positiva no local que o elétron deixou. A interação de Coulomb com essa carga faz com que o elétron, cuja velocidade não é muito alta, retorne. Como resultado, o metal é cercado por uma fina nuvem de elétrons. Essa nuvem, juntamente com a camada externa de íons, forma uma dupla camada elétrica. As forças que atuam em um elétron em tal camada são direcionadas para dentro do metal. O trabalho realizado contra essas forças ao transferir um elétron do metal para o exterior aumenta a energia potencial do elétron.

A energia total de um elétron em um metal é a soma das energias potencial e cinética. No zero absoluto, os valores da energia cinética dos elétrons de condução variam de zero à energia coincidente com o nível de Fermi E máx. Na fig. 15.15 os níveis de energia da banda de condução estão "inscritos" no poço de potencial. Para sair do metal, diferentes elétrons devem receber energias diferentes. Assim, um elétron localizado no nível mais baixo da banda de condução deve receber energia E P0; para um elétron no nível de Fermi, a energia é suficiente E P0 - E max= E P0 - E F.

A menor energia que precisa ser transmitida a um elétron para removê-lo de um corpo sólido ou líquido para o vácuo é chamada de função no trabalho . A função trabalho é geralmente denotada por eφ, Onde φ - uma quantidade chamada potencial saída . A função trabalho de um elétron de um metal é determinada pela expressão

eφ = E P0 - E F

À medida que a temperatura aumenta, alguns dos elétrons de condução têm energia suficiente para superar a barreira de potencial na fronteira do metal. A emissão de elétrons de um metal aquecido é chamada de emissão termionica .

Este efeito é usado em tubos de elétrons, onde o cátodo é aquecido a altas temperaturas. Ao medir a característica de corrente-tensão de uma lâmpada de dois eletrodos (cátodo, ânodo) em diferentes temperaturas da tensão do cátodo e do ânodo, pode-se investigar a emissão termiônica.

Baseado em conceitos quânticos, Dashman obteve (1923) para a corrente de saturação a fórmula

J nós = NO 2exp(- eφ/kT)

Aqui eφé a função trabalho, MAS-constante. Isto transfere o curso da temperatura da corrente de saturação de forma bastante satisfatória. A fórmula (15.10) é chamada Fórmula de Richardson-Dashman .

15.4.2. Diferença de potencial de contato

Se dois metais diferentes são colocados em contato, surge uma diferença de potencial entre eles, que é chamada de contato. Como resultado, um campo elétrico aparece no espaço ao redor dos metais.

A diferença de potencial de contato se deve ao fato de que, quando os metais entram em contato, parte dos elétrons de um metal passa para outro. Na parte superior da Fig. 15.16 dois metais são mostrados antes de serem colocados em contato e seus gráficos da energia potencial de um elétron são dados. O nível de Fermi no primeiro metal é considerado mais alto do que no segundo. . Na parte inferior da Fig. 15.16 dois metais são mostrados após serem colocados em contato e seus gráficos da energia potencial de um elétron são dados. Naturalmente, quando ocorre o contato entre os metais, os elétrons dos níveis mais altos do primeiro metal começam a se mover para os níveis livres mais baixos do segundo metal. Como resultado, o potencial do primeiro metal aumentará e o segundo - diminuirá. Assim, a energia potencial de um elétron no primeiro metal diminuirá, e no segundo

aumentará (lembre-se de que o potencial do metal e a energia potencial do elétron nele têm sinais diferentes). Em física estatística, está provado que a condição para o equilíbrio entre metais tocantes (e também entre semicondutores ou um metal e um semicondutor) é a igualdade das energias totais correspondentes aos níveis de Fermi. Sob esta condição, os níveis de Fermi de ambos os metais estão localizados no diagrama na mesma altura. Na fig. 15.16 pode-se ver que neste caso a energia potencial de um elétron próximo à superfície do primeiro metal (pontos A e B na Fig. 15.16, b) será ativado eφ 2 - eφ 1 é menor do que próximo ao segundo metal. Portanto, entre os pontos A e B, é estabelecida uma diferença de potencial, que, como segue da figura, é igual a

∆φ " = (eφ 2 – eφ 1)/e = φ 2 - φ 1

A diferença de potencial (15.11), devido à diferença nas funções trabalho dos metais em contato, é chamada diferença de potencial de contato externo . Mais frequentemente eles apenas falam sobre diferença de potencial de contato, significando por ele o externo .

Se os níveis de Fermi para dois metais em contato não são os mesmos, então entre os pontos internos dos metais existe diferença de potencial de contato interno que, como segue da figura, é igual a

∆φ "" = (EF 1 – EF 2)/e.

Na teoria quântica, está provado que a causa da diferença de potencial de contato interno é a diferença nas concentrações de elétrons nos metais em contato. ∆ φ "" depende da temperatura T contato de metais (uma vez que existe uma dependência EF a partir de T), causando fenômenos termoelétricos . Usualmente , ∆φ "" << ∆φ "Se, por exemplo, três condutores diferentes com a mesma temperatura são colocados em contato, então a diferença de potencial entre as extremidades de um circuito aberto é igual à soma algébrica dos saltos de potencial em todos os contatos. natureza dos condutores intermediários O mesmo vale para qualquer número de elos intermediários: a diferença de potencial entre as extremidades da cadeia é determinada pela diferença nas funções de trabalho dos metais que formam os elos extremos da cadeia.

Os valores da diferença de potencial de contato externo variam para diferentes pares de metais de vários décimos de volt a vários volts. Consideramos o contato de dois metais. No entanto, uma diferença de potencial de contato também ocorre na interface entre o metal e o semicondutor, bem como na interface entre dois semicondutores.

Para um circuito fechado, composto por um número arbitrário de metais dissimilares e semicondutores, com a mesma temperatura de todas as junções, a soma dos saltos de potencial será zero. Portanto, EMF não pode ocorrer no circuito.

15.4.3. Fenômenos termoelétricos

Os fenômenos termoelétricos são chamados de fenômenos nos quais se manifesta uma relação específica entre processos térmicos e elétricos em metais e semicondutores.

Fenômeno Seebeck. Seebeck (1821) descobriu que se as junções são 1 e 2 dois metais diferentes formando um circuito fechado (Fig. 15.17) não têm a mesma temperatura, então uma corrente elétrica flui no circuito. A mudança no sinal da diferença de temperatura das junções é acompanhada por uma mudança na direção da corrente.

Em um circuito fechado para muitos pares de metais, a força eletromotriz é diretamente proporcional à diferença de temperatura nos contatos

E termo = α AB ( T 2 – T 1)

Esta fem é chamada força termoeletromotriz . A razão para a ocorrência de fem termoeletromotriz pode ser entendida usando a fórmula (15.12), que determina a diferença de potencial de contato interno na fronteira de dois metais. Como a posição do nível de Fermi depende da temperatura, as diferenças de potencial de contato interno também serão diferentes em diferentes temperaturas de contato. Portanto, a soma dos saltos de potencial nos contatos será diferente de zero, o que leva ao aparecimento de uma corrente termoelétrica. Com um gradiente de temperatura, há também difusão elétrons, o que também causa termo-EMF.

O fenômeno Seebeck é usado:

1) para medição de temperatura usando par termoelétrico - sensores de temperatura, constituídos por dois condutores metálicos dissimilares interligados. Pode haver várias dessas junções em um termopar;

2) para criar geradores de corrente com conversão direta energia térmica em elétrica. Eles são usados, em particular, em naves espaciais e satélites como fontes de eletricidade a bordo;

3) para medir o poder da radiação infravermelha, visível e ultravioleta.

Fenômeno Peltier. Este fenômeno (1834) pode ser considerado o oposto da termoeletricidade. Se uma corrente elétrica passar pelo termopar de uma fonte externa (Fig. 15.18 ), então uma das junções vai aquecer e a outra vai esfriar. O calor liberado em uma junção (+Q) será igual ao calor absorvido na outra (- Q). Quando a direção da corrente muda, o papel das junções muda.

A quantidade de calor liberada ou absorvida é proporcional à carga q, fluindo pela junção:

Q= P q

onde P- Coeficiente de Peltier , dependendo dos materiais em contato e sua temperatura.

A regularidade (15.14) nos permite determinar Quantidade de calor Peltier , que é diferente da quantidade de calor Joule-Lenz, pois neste último caso é proporcional ao quadrado da intensidade da corrente.

O fenômeno Peltier é usado para criar refrigeradores, termostatos, instalações de microclima, etc. um aquecedor e vice-versa.

No caso de contato de duas substâncias com o mesmo tipo de portadores de corrente (metal - metal, metal - semicondutor n-tipo, dois semicondutores n-tipo, dois semicondutores R-type) o efeito Peltier tem a seguinte explicação. Portadores de corrente (elétrons ou buracos) em lados opostos da junção têm energia média diferente (significando energia total - cinética mais potencial). Se os portadores, tendo passado pela junção, caem em uma região com energia mais baixa, eles liberam excesso de energia para a rede cristalina, como resultado do aquecimento da junção. Na outra junção, os portadores se deslocam para uma região com mais energia; eles emprestam a energia que falta da rede, o que leva ao resfriamento da junção.

No caso de contato entre dois semicondutores com diferentes tipos de condutividade, o efeito Peltier tem uma explicação diferente. Nesse caso, em uma junção, elétrons e buracos se movem um em direção ao outro. Tendo se encontrado, eles se recombinam: um elétron que estava na banda de condução n- semicondutor, atingindo o R-semicondutor, ocupa o lugar de um buraco na banda de valência. Isso libera a energia necessária para a formação de um elétron livre em n-semi-condutor e furos em R-semicondutor, bem como a energia cinética do elétron e do buraco. Esta energia é relatada à rede cristalina e é usada para aquecer a junção. Na outra junção, a corrente que flui suga elétrons e buracos da interface entre os semicondutores. A perda de portadores de corrente na região de fronteira é reabastecida devido à produção de elétrons e lacunas em pares (neste caso, um elétron da banda de valência R- semicondutor entra na banda de condução n- semicondutor). A energia é gasta na formação de um par, que é emprestado da rede - a junção é resfriada.

Fenômeno de Thomson. Este fenômeno foi previsto por W. Thomson (Kelvin) em 1856. Quando a corrente passa por desigual o condutor aquecido deve sofrer liberação adicional (absorção) de calor, semelhante ao calor Peltier. Esse fenômeno, após confirmação experimental, foi chamado de fenômeno de Thomson e é explicado por analogia com o fenômeno de Peltier.

Como os elétrons na parte mais quente do condutor têm uma energia média maior do que na menos aquecida, movendo-se no sentido da diminuição da temperatura, eles cedem parte de sua energia para a rede, resultando em liberação de calor. Se os elétrons se movem na direção do aumento da temperatura, pelo contrário, eles reabastecem sua energia às custas da energia da rede, como resultado da absorção de calor.

15.5. Supercondutividade

Kamerling-Onnes descobriu em 1911 que a uma temperatura de cerca de 4 K, a resistência elétrica do mercúrio diminuía abruptamente para zero. Outros estudos mostraram que muitos outros metais e ligas se comportam de forma semelhante. Esse fenômeno tem sido chamado supercondutividade , e as substâncias onde é observada - supercondutores . Temperatura Tk, em que ocorre uma diminuição abrupta na resistência é chamado de temperatura de transição supercondutora não ou temperatura critica . O estado de um supercondutor acima da temperatura crítica é chamado normal , e inferior - supercondutor .

15.5.1. Condensação de Bose e superfluidez no subsistema eletrônico de um metal

A teoria da supercondutividade foi criada em 1957 por Bardeen, Cooper e Schrieffer. Ela é chamada brevemente de teoria BCS. Independentemente deles, em 1958 ele desenvolveu uma versão mais perfeita da teoria da supercondutividade. A teoria da supercondutividade é complexa. Portanto, a seguir nos restringimos a uma apresentação simplificada da teoria BCS.

Além da semelhança externa entre a superfluidez (um líquido superfluido flui sem atrito, ou seja, sem resistência ao fluxo, através de capilares estreitos) e supercondutividade (a corrente em um supercondutor flui sem resistência através de um fio) existe uma analogia física profunda: tanto a superfluidez quanto a supercondutividade são efeito quântico macroscópico .

Os elétrons em um metal, além da repulsão de Coulomb, experimentam um tipo especial de atração mútua, que no estado supercondutor prevalece sobre a repulsão. Como resultado, os elétrons de condução são combinados nos chamados Cooper's casais . Os elétrons em tal par têm spins em direções opostas. É por isso o spin do par é zero, e é um bóson. Os bósons tendem a se acumular no estado de energia fundamental, do qual é relativamente difícil trazê-los para um estado excitado. Em outras palavras, a uma temperatura abaixo da crítica ( T j) Ocorre a condensação de Bose dos pares de elétrons de Cooper. Os vapores de Cooper do condensado de Bose, tendo entrado em movimento superfluido, permanecem neste estado por um tempo indefinidamente longo. Tal movimento coordenado de pares é a corrente de supercondutividade.

Vamos explicar o que foi dito com mais detalhes. Um elétron movendo-se em um metal deforma (polariza) uma rede cristalina que consiste em íons positivos. Como resultado dessa deformação, o elétron é cercado por uma "nuvem" de carga positiva, que se move ao longo da rede junto com o elétron. O elétron e a nuvem ao seu redor são um sistema carregado positivamente, para o qual outro elétron será atraído. Assim, a rede cristalina desempenha o papel de um meio intermediário, cuja presença leva à atração entre os elétrons.

Na linguagem da mecânica quântica, a atração entre os elétrons é explicada como resultado da troca entre os elétrons dos quanta - fônons de excitação da rede. Um elétron se movendo em um metal viola o regime de vibrações da rede - excita os fônons. A energia de excitação é transferida para outro elétron, que absorve o fônon. Como resultado dessa troca de fônons, surge uma interação adicional entre os elétrons, que tem o caráter de atração. Em baixas temperaturas, essa atração por substâncias que são supercondutoras excede a repulsão de Coulomb.

A interação devido à troca de fônons é mais pronunciada para elétrons com momentos e spins opostos. Como resultado, dois desses elétrons se combinam em um par de Cooper. Este par não deve ser pensado como dois elétrons grudados. Pelo contrário, a distância entre os elétrons do par é muito grande, é de aproximadamente 10-4 cm, ou seja, quatro ordens de grandeza maior que as distâncias interatômicas no cristal (por exemplo, chumbo no estado supercondutor T k ≈ 7,2 K). Aproximadamente 106 pares de Cooper se sobrepõem visivelmente, ou seja, ocupam o volume total.

Nem todos os elétrons de condução se combinam em pares de Cooper. A uma temperatura T, diferente do zero absoluto, há alguma probabilidade de que o par seja destruído. Portanto, junto com os pares, sempre há elétrons "normais" se movendo pelo cristal da maneira usual. O mais perto T para Tk, maior se torna a fração de elétrons normais, transformando-se em unidade em T= T k. Portanto, a uma temperatura acima Tk estado supercondutor é impossível.

A formação de pares de Cooper leva a um rearranjo do espectro de energia do metal. Para excitar um sistema eletrônico em estado supercondutor, é necessário destruir pelo menos um par, o que requer uma energia igual à energia de ligação UE par de elétrons. Esta energia é a quantidade mínima de energia que o sistema de elétrons em um supercondutor pode absorver. Consequentemente, no espectro de energia dos elétrons no estado supercondutor, há uma lacuna de largura esv, localizado no nível de Fermi.

Assim, o estado excitado de um sistema eletrônico no estado supercondutor é separado do estado fundamental por um intervalo de energia de largura Husa. Portanto, as transições quânticas deste sistema nem sempre serão possíveis. Em baixas velocidades de seu movimento (correspondendo a uma força de corrente menor do que o crítico EU j) o sistema eletrônico não será excitado, o que significa movimento sem atrito (superfluidez), ou seja, sem resistência elétrica.

Largura do intervalo de energia UE diminui com o aumento da temperatura e desaparece na temperatura crítica Tk. Assim, todos os pares de Cooper são destruídos e a substância passa para um estado normal (não supercondutor).

15.5.2. Quantização de fluxo magnético

A existência de emparelhamento de elétrons em um supercondutor (ao T< Tk) foi comprovado por experimentos diretos em quantização de fluxo . Considere um anel supercondutor através do qual circula uma corrente supercondutora. Deixe os elétrons se moverem ao longo de um círculo de raio r com a velocidade v. A energia atual é representada pela expressão E = (1/2 Com)EU F, onde EU- intensidade da corrente, e Ф - fluxo magnético através do círculo considerado, criado por essa corrente. Se um Né o número total de elétrons no anel, e T- período de circulação, então EU = Não/T= Nãoυ /2 pr. Então E = NãoυФ /4 pr. Por outro lado, a mesma energia é igual a E = Nmυ 2/2. Igualando ambas as expressões, obtemos Ф = 2 prcmυ / e. Se os elétrons se movem em pares de Cooper, então o momento de cada um desses pares é p=2mυ , então F = π delírio. Mas o momento do par Cooper só pode assumir valores quantizados de acordo com a relação Rr = nħ= h/2π, Onde Pé um número inteiro. Consequentemente,

Uma fórmula desse tipo foi obtida por F. London (1950) antes mesmo da criação da teoria da supercondutividade. No entanto, Londres recebeu o dobro do valor de Ф0 em comparação com o que a fórmula (15,16) fornece. Isso é explicado pelo fato de que em 1950 o fenômeno do pareamento de elétrons ainda não era conhecido. Portanto, para o momento, Londres usou a expressão R= mυ , não é uma expressão R= 2 mυ , como feito acima. A experiência mostrou a exatidão das fórmulas (15.15) e (15.16) e, assim, confirmou a existência do fenômeno do emparelhamento de elétrons.

É importante observar a seguinte circunstância. Sabe-se que uma corrente elétrica não amortecida pode ser excitada em um anel supercondutor. Por exemplo, um dos experimentos desse tipo durou 2,5 anos e, no entanto, nenhuma atenuação da corrente foi encontrada. À primeira vista, isso não é surpreendente, pois nenhum calor Joule é liberado no supercondutor e, portanto, não há amortecimento. Na verdade a questão é mais difícil. Os elétrons no anel supercondutor se movem a uma taxa acelerada e devem irradiar, e isso deve levar ao decaimento da corrente . A experiência mostra que não há atenuação. A contradição é eliminada exatamente da mesma maneira que a correspondente contradição com a radiação na teoria clássica do átomo. Para evitar a radiação, Bohr introduziu postulado quântico sobre os estados estacionários do átomo, e de Broglie explicou isso pela formação de uma onda circular permanente de de Broglie. Sim, e em anel supercondutor com corrente, de radiação não aparece devido à quantização da corrente elétrica. Mas essa quantização já é observada em escala macroscópica (onda estacionária circular de Broglie ao longo do anel com corrente).

15.5.3. Efeito Meissner. Supercondutores de primeiro e segundo tipo

O estado supercondutor é caracterizado pelo fato de que o campo magnético não penetra no interior do supercondutor. Esse fenômeno é chamado efeito Meissner . Se uma amostra supercondutora é resfriada ao ser colocada em um campo magnético, no momento da transição para o estado supercondutor, o campo é empurrado para fora da amostra e a indução magnética na amostra desaparece. Formalmente, podemos dizer que um supercondutor tem permeabilidade magnética zero ( μ = 0). Substâncias com μ < 1 называются диамагнетикам и. таким образом, supercondutor é um diamagnet perfeito .

Como não há campo magnético no supercondutor, as correntes elétricas não podem fluir em seu volume, ou seja, dentro do supercondutor j= 0. Isso decorre diretamente do teorema da circulação rot H= (4π/ c)J. Todas as correntes devem fluir sobre a superfície do supercondutor.

Essas correntes de superfície excitam um campo magnético que compensa o campo aplicado externo dentro do condutor. Este é o mecanismo de deslocamento do campo magnético do supercondutor, que é referido no efeito Meissner.

O efeito Meissner é muito claro em ímã pairando acima da superfície do supercondutor. Um pequeno ímã é abaixado em uma placa feita de um supercondutor (por exemplo, chumbo), resfriado a uma temperatura abaixo da crítica. Neste caso, as correntes de indução não amortecidas são excitadas na placa. Repelindo o ímã, essas correntes o fazem "pairar" acima da placa a uma certa altura. O fenômeno também é observado quando um ímã é colocado sobre uma placa cuja temperatura é superior à crítica e, então, por resfriamento, a placa é levada a um estado supercondutor. O fato é que o deslocamento do campo magnético do supercondutor também é acompanhado por mudanças nos fluxos magnéticos e, consequentemente, pela excitação de correntes indutivas. Essas correntes são determinadas apenas pelo arranjo mútuo do ímã e da placa e não dependem de como esse arranjo foi alcançado. Portanto, o fenômeno terá a mesma aparência da primeira configuração do experimento.

Um campo magnético externo suficientemente forte destrói o estado supercondutor. O valor da indução magnética em que isso acontece é chamado campo crítico e denotado VC. Significado VC depende da temperatura da amostra. Em temperatura crítica VC= 0, com valor de temperatura decrescente VC aumenta tendendo a Bk0 - o valor do campo crítico na temperatura zero. Um exemplo dessa dependência é mostrado na Fig. 15.19. Se amplificarmos a corrente que flui através do supercondutor incluído no circuito comum, então pelo valor da força da corrente Ik o estado supercondutor é destruído. Esse valor é chamado crítico atual . Significado Ik dependente da temperatura. A forma dessa dependência é semelhante à dependência VC a partir de T(ver fig. 15.19).

Um dos fatores essenciais que determinam o comportamento de um supercondutor é superficial

energia , associada à presença de interfaces entre as fases normal e supercondutora. Essa energia é semelhante à energia da tensão superficial na interface entre dois líquidos. É determinado pela profundidade finita de penetração do campo magnético da fase normal para a supercondutora, a atração

entre os elétrons dos pares de Cooper, a presença de um gap de energia entre as fases supercondutora e normal, etc. Essa energia pode ser positiva ou negativa. Essa circunstância chamou a atenção (1957), que introduziu a divisão de supercondutores em supercondutores do primeiro e segundo tipo . Para o primeiro, a energia de superfície é positiva, para o segundo é negativa. Os supercondutores do tipo I incluem a maioria dos metais puros e os supercondutores do tipo II incluem a grande maioria das ligas, bem como muitos metais puros com impurezas e todos os supercondutores de alta temperatura. Nos supercondutores do primeiro tipo, observa-se o efeito Meissner, nos supercondutores do segundo tipo - nem sempre. Um supercondutor do segundo tipo pode estar em supercondutor e estados mistos . O efeito Meissner ocorre no estado supercondutor, mas não no estado misto. Na fig. 15,20 curva B=B k1 (T) determina o campo magnético crítico no qual as fases supercondutora e mista estão em equilíbrio. Da mesma forma, a curva B=B k1 (T) corresponde ao equilíbrio entre as fases supercondutora e normal. A área de temperaturas e magnético

Os campos nos quais o metal está no estado supercondutor são indicados por sombreamento duplo, a região de estado misto por sombreamento simples e a região de estado normal não é sombreada. Para supercondutores do primeiro tipo, um estado misto não existe. É claro que o supercondutor deve perceber o estado mínimo energia total, incluindo a superfície. Por esse motivo, ocorre um estado misto. Um campo magnético externo penetra em um supercondutor em estado misto através roscas da seção transversal final . A seção transversal final é obtida porque a partir da área ocupada pelo campo magnético, ele penetra no espaço circundante, que se encontra no estado supercondutor, sendo este processo caracterizado por uma profundidade de penetração finita. O corpo é perfurado com filamentos através dos quais passam fluxos magnéticos, e os próprios filamentos são separados uns dos outros por lacunas que preservam a supercondutividade, se apenas a distância entre os filamentos adjacentes exceder aproximadamente duas vezes a profundidade de penetração do campo magnético no supercondutor. É significativo que o fluxo magnético através da seção transversal do filamento quantificado . É energeticamente favorável que através de cada fio um quantum fluxo magnético. De fato, considere dois fios de raio r, através de cada um dos quais passa um quantum do fluxo magnético. O fluxo magnético total através de ambas as roscas é igual a 2πr2H. Deixe os dois fios se fundirem em um raio R. Então o mesmo fluxo magnético será πR2H. Comparando as duas expressões, encontramos R = r√2. Portanto, a circunferência da seção transversal do fio formado como resultado da fusão será 2 πR = 2πr√2, enquanto a soma das circunferências das seções transversais dos dois fios originais é maior, pois é igual a 2 π r∙2. Então, mesclando duas vertentes reduz a superfície lateral , ao longo do qual os fios fazem fronteira com o espaço circundante. Isso leva a um aumento energeticamente desfavorável na energia de superfície, uma vez que é negativa. Assim, um campo magnético passa pelo corpo, mas retém a supercondutividade devido à presença de lacunas supercondutoras entre os filamentos. À medida que o campo magnético aumenta, o número de filamentos no corpo aumenta e as lacunas supercondutoras entre eles diminuem. No final, o campo magnético começa a permear todo o corpo e a supercondutividade desaparece.

Ligas supercondutoras devido a campos magnéticos altamente críticos Hk2 encontraram ampla aplicação na fabricação de enrolamentos de solenóide projetados para produzir campos magnéticos superfortes (G e mais). Os supercondutores do primeiro tipo não são adequados para esse fim devido aos baixos valores de campos magnéticos críticos que destroem a supercondutividade.

15.5.4. Efeito Josephson

Com base na teoria da supercondutividade, B. Josephson (1962) previu o efeito da corrente supercondutora fluindo através de uma fina camada dielétrica (filme de óxido metálico ≈ 1 nm de espessura) separando dois supercondutores (os chamados contato Josephson).

Os elétrons de condução passam pelo dielétrico devido ao efeito túnel. Se a corrente através do contato Josephson não exceder um determinado valor crítico, não haverá queda de tensão através dele. (efeito Josephson estacionário), se exceder - há uma queda de tensão você e o contato emite ondas eletromagnéticas (efeito Josephson não estacionário). Frequência v radiação associada a você na relação de contato v= 2UE/h (eé a carga do elétron). O aparecimento da radiação é explicado pelo fato de que os pares de Cooper (eles criam uma corrente supercondutora), passando pelo contato, adquirem excesso de energia em relação ao estado fundamental do supercondutor. Retornando ao estado fundamental, eles emitem um quantum de energia eletromagnética hv = 2UE.

O efeito Josephson é usado para medir com precisão campos magnéticos muito fracos (até 10-18 T), correntes (até A) e tensões (até V), bem como para criar elementos de alta velocidade de dispositivos lógicos de computador e amplificadores .

Durante muito tempo, o estado supercondutor de vários metais e compostos só podia ser obtido a temperaturas muito baixas, conseguidas com a ajuda de hélio líquido. No início de 1986, o valor máximo observado da temperatura crítica era de 23 K. descobriu uma série de supercondutores de alta temperatura com uma temperatura crítica de cerca de 100 K. Esta temperatura é alcançada usando um líquido azoto. Ao contrário do hélio, o nitrogênio líquido é produzido em escala industrial.

O grande interesse em supercondutores de alta temperatura se deve, em particular, ao fato de que materiais com temperatura crítica de cerca de 300 K farão uma verdadeira revolução técnica. Por exemplo, o uso de linhas de energia supercondutoras eliminará completamente as perdas de energia nos fios.

À primeira vista, pode parecer para você que um elétron com pouca energia está se espremendo através de um cristal sólido com grande dificuldade. Os átomos nele são empilhados de modo que seus centros estejam a apenas alguns angstroms de distância um do outro, e o diâmetro efetivo de um átomo ao espalhar elétrons é de cerca de 1 A ou mais. Em outras palavras, os átomos, quando comparados com os espaços entre eles, são muito grandes, de modo que se pode esperar que o caminho livre médio entre colisões seja da ordem de alguns angstroms, que é praticamente zero. Deve-se esperar que o elétron voe quase imediatamente para um ou outro átomo. No entanto, temos diante de nós o fenômeno mais comum da natureza: quando a rede é ideal, não custa nada para um elétron varrer suavemente o cristal, quase como no vácuo. Esse estranho fato é a razão pela qual os metais conduzem eletricidade tão facilmente; além disso, ele permitiu a invenção de muitos dispositivos muito úteis. Por exemplo, graças a ele, o transistor é capaz de imitar um tubo de rádio. Em um tubo de rádio, os elétrons se movem livremente no vácuo; em um transistor, eles também se movem livremente, mas apenas através de uma rede cristalina. O mecanismo do que acontece em um transistor será descrito neste capítulo; o próximo capítulo é dedicado às aplicações desses princípios em vários dispositivos práticos.

A condução de elétrons em um cristal é um exemplo de um fenômeno muito geral. Não apenas os elétrons, mas também outros "objetos" podem viajar através dos cristais. Assim, as excitações atômicas também podem viajar de maneira semelhante. O fenômeno sobre o qual falaremos de vez em quando surge no estudo da física do estado sólido.

Analisamos repetidamente exemplos de sistemas com dois estados. Imagine desta vez um elétron que pode estar em uma das duas posições, e em cada uma delas se encontra no mesmo ambiente. Suponhamos também que haja uma certa amplitude para a transição de um elétron de uma posição para outra e, claro, a mesma amplitude para a transição de volta, exatamente como no Cap. 8, § 1 (edição 8) para o íon hidrogênio molecular. Então as leis da mecânica quântica levam aos seguintes resultados. O elétron terá dois estados possíveis com uma determinada energia, e cada estado pode ser descrito pela amplitude que o elétron se encontra em uma das duas posições básicas. Em cada um dos estados de uma certa energia, as magnitudes dessas duas amplitudes são constantes no tempo e as fases mudam no tempo com a mesma frequência. Por outro lado, se o elétron estava primeiro em uma posição, com o tempo ele se moverá para outra e ainda mais tarde retornará à primeira posição. As mudanças de amplitude são semelhantes ao movimento de dois pêndulos acoplados.

Vamos agora considerar uma rede cristalina ideal e imaginar que um elétron nela pode estar localizado em um certo "buraco" próximo a um certo átomo, tendo uma certa energia. Vamos supor também que o elétron tem alguma amplitude que irá pular para outro buraco, que está localizado próximo, próximo a outro átomo. Isso lembra um pouco um sistema de dois estados, mas com complicações adicionais. Uma vez que um elétron atinge um átomo vizinho, ele pode se mover para um local completamente novo ou retornar à sua posição original. Tudo isso não é muito parecido casal pêndulos conectados, quantos conjunto infinito pêndulos conectados entre si. Isso lembra um pouco uma daquelas máquinas (compostas por uma longa fileira de hastes presas a um fio torcido) com as quais a propagação da onda foi demonstrada no primeiro curso.

Se você tiver um oscilador harmônico conectado a outro oscilador harmônico, que por sua vez está conectado ao próximo oscilador, que etc., e se você criar algum tipo de irregularidade em um lugar, ele começará a se espalhar como uma onda por fio . A mesma coisa acontece se você colocar um elétron perto de um dos átomos em uma longa cadeia deles.

Via de regra, os problemas em mecânica são mais fáceis de resolver na linguagem das ondas estacionárias; isso é mais fácil do que analisar as consequências de um único empurrão. Então aparece algum tipo de padrão de deslocamento, que se propaga através do cristal como uma onda com uma determinada frequência fixa. A mesma coisa acontece com o elétron, e pela mesma razão, porque o elétron é descrito na mecânica quântica por equações semelhantes.

Mas uma coisa deve ser lembrada: a amplitude para um elétron estar em um determinado lugar é amplitude, não uma probabilidade. Se o elétron estivesse simplesmente vazando de um lugar para outro, como água por um buraco, seu comportamento seria completamente diferente. Se, digamos, conectássemos dois tanques com água com um tubo fino, através do qual a água de um tanque fluísse gota a gota para outro, os níveis de água se igualariam exponencialmente. Com o elétron, porém, há vazamento de amplitude, e não uma transfusão monótona de probabilidades. E uma das propriedades do termo imaginário (multiplicador eu nas equações diferenciais da mecânica quântica) — que muda a solução exponencial para uma oscilatória. E o que acontece depois disso não é como a água flui de um tanque para outro.

Agora queremos analisar quantitativamente o caso da mecânica quântica. Seja um sistema unidimensional constituído por uma longa cadeia de átomos (Fig. 11.1, a). (Um cristal é, obviamente, tridimensional, mas a física é muito semelhante em ambos os casos; se você entende o caso unidimensional, você também pode entender o que acontece em três dimensões.) Queremos saber o que acontece se você coloque um indivíduo nesta linha de átomos, elétron. Claro, em um cristal real existem miríades de tais elétrons. Mas a maioria deles (quase todos em um cristal não condutor) ocupa seu lugar na imagem geral do movimento, cada um gira em torno de seu próprio átomo, e tudo acaba por ser completamente estabelecido. E queremos falar sobre o que acontecerá se colocarmos dentro extra elétron. Não vamos pensar no que os outros elétrons estão fazendo, porque vamos supor que é preciso muita energia de excitação para mudar sua energia. Vamos adicionar um elétron e criar, tipo, um novo íon negativo fracamente ligado. Observando o que ele está fazendo este extra elétron, fazemos uma aproximação, desprezando o mecanismo interno dos átomos.

É claro que esse elétron poderá se deslocar para outro átomo, transferindo um íon negativo para um novo local. Vamos supor que (exatamente como no caso de um elétron "saltando" de próton para próton), um elétron pode "saltar" com alguma amplitude de um átomo para seus vizinhos de qualquer lado.

Como descrever tal sistema? O que são estados básicos razoáveis? Se você se lembrar do que fizemos quando o elétron tinha apenas duas posições possíveis, você pode adivinhar. Sejam todas as distâncias entre os átomos de nossa cadeia iguais e numerá-las em ordem, como na Fig. 11.1, uma. Um estado básico - quando o elétron está próximo do átomo número 6; o outro estado básico é quando o elétron está próximo de #7, ou próximo de #8, etc.; O enésimo estado de base pode ser descrito dizendo que o elétron está próximo ao átomo No. n. Denotamos este estado básico por |n>. Da FIG. 11.1 fica claro o que se entende por três estados básicos:

Usando esses nossos estados básicos, podemos descrever qualquer estado |φ> do nosso cristal unidimensional definindo todas as amplitudes o fato de o estado |φ> estar em um dos estados básicos, ou seja, a amplitude do fato de o elétron estar localizado próximo a um determinado átomo em particular. Então o estado |φ> pode ser escrito como uma superposição dos estados básicos:

Além disso, também queremos supor que quando um elétron está próximo a um dos átomos, há alguma amplitude que ele vazará para o átomo da esquerda ou para o da direita. Tomemos o caso mais simples, quando se acredita que só pode alcançar os vizinhos mais próximos, e pode alcançar o próximo vizinho em duas etapas. Suponhamos que as amplitudes do fato de um elétron saltar de um átomo para um átomo vizinho sejam iguais a I a/ h (por unidade de tempo).

Vamos mudar a notação para o tempo e a amplitude , associado ao enésimo átomo, denotado por Com n. Então (11.1) terá a forma

Se você conhecesse cada uma das amplitudes C n no momento, então, tomando os quadrados de seus módulos, você pode obter a probabilidade de ver um elétron olhando para o átomo naquele momento n.

Mas o que aconteceria depois? Por analogia com os sistemas de dois estados que estudamos, propomos compor as equações hamiltonianas para este sistema na forma de equações deste tipo:

Primeiro coeficiente da direita E 0 fisicamente significa a energia que um elétron teria se não pudesse vazar de um átomo para outro. (Não importa o que chamamos E0; vimos repetidamente que isso realmente não significa nada além da escolha da energia zero.) O próximo termo representa a amplitude por unidade de tempo que um elétron do (n + 1)-ésimo buraco vazará para o n-ésimo buraco , e o último termo significa a amplitude de vazamento de (n-1) fossa. Como sempre, MAS considerado constante (não dependente de t).

Para uma descrição completa do comportamento de qualquer estado | φ> é necessário para cada uma das amplitudes C n tem uma equação do tipo (11.3). Como vamos considerar um cristal com um número muito grande de átomos, vamos supor que existem infinitos estados, os átomos se estendem infinitamente em ambas as direções. (Com um número finito de átomos, você deve prestar atenção especial ao que acontece nas extremidades.) E se o número N de nossos estados de base for infinitamente grande, então todo o sistema de nossas equações hamiltonianas é infinito! Vamos escrever apenas parte dela: