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Instrução

Escreva a expressão logarítmica dada. Se a expressão usar o logaritmo de 10, sua notação será encurtada e ficará assim: lg b é o logaritmo decimal. Se o logaritmo tem o número e como base, então a expressão é escrita: ln b é o logaritmo natural. Entende-se que o resultado de qualquer é a potência à qual o número base deve ser elevado para obter o número b.

Ao encontrar a soma de duas funções, basta diferenciá-las uma a uma e somar os resultados: (u+v)" = u"+v";

Ao encontrar a derivada do produto de duas funções, é necessário multiplicar a derivada da primeira função pela segunda e somar a derivada da segunda função, multiplicada pela primeira função: (u*v)" = u"* v+v"*u;

Para encontrar a derivada do quociente de duas funções, é necessário, do produto da derivada do dividendo multiplicado pela função divisora, subtrair o produto da derivada do divisor pela função divisora, e dividir tudo isso pela função divisor ao quadrado. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Se uma função complexa é dada, então é necessário multiplicar a derivada da função interna e a derivada da externa. Seja y=u(v(x)), então y"(x)=y"(u)*v"(x).

Usando o obtido acima, você pode diferenciar quase qualquer função. Vejamos então alguns exemplos:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Há também tarefas para calcular a derivada em um ponto. Seja dada a função y=e^(x^2+6x+5), você precisa encontrar o valor da função no ponto x=1.
1) Encontre a derivada da função: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Calcule o valor da função no ponto dado y"(1)=8*e^0=8

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Conselho útil

Aprenda a tabela de derivadas elementares. Isso economizará muito tempo.

Fontes:

• derivada constante

Então, qual é a diferença entre uma equação irracional e uma racional? Se a variável desconhecida estiver sob o sinal da raiz quadrada, então a equação é considerada irracional.

Instrução

O principal método para resolver tais equações é o método de elevar ambas as partes equações em um quadrado. No entanto. isso é natural, o primeiro passo é se livrar do signo. Tecnicamente, esse método não é difícil, mas às vezes pode causar problemas. Por exemplo, a equação v(2x-5)=v(4x-7). Ao elevar ambos os lados ao quadrado, obtém-se 2x-5=4x-7. Tal equação não é difícil de resolver; x=1. Mas o número 1 não será dado equações. Por quê? Substitua a unidade na equação em vez do valor de X. E os lados direito e esquerdo conterão expressões que não fazem sentido. Tal valor não é válido para uma raiz quadrada. Portanto, 1 é uma raiz estranha e, portanto, essa equação não tem raízes.

Assim, a equação irracional é resolvida usando o método de elevar ao quadrado ambas as suas partes. E tendo resolvido a equação, é necessário cortar raízes estranhas. Para fazer isso, substitua as raízes encontradas na equação original.

Considere outro.
2x+vx-3=0
Claro, esta equação pode ser resolvida usando a mesma equação que a anterior. Compostos de Transferência equações, que não possuem raiz quadrada, para o lado direito e, em seguida, use o método do quadrado. resolva a equação racional resultante e as raízes. Mas outro, mais elegante. Insira uma nova variável; vx=y. Assim, você obterá uma equação como 2y2+y-3=0. Essa é a equação quadrática usual. Encontre suas raízes; y1=1 e y2=-3/2. A seguir, resolva dois equações vx=1; vx \u003d -3/2. A segunda equação não tem raízes, da primeira encontramos que x = 1. Não se esqueça da necessidade de verificar as raízes.

Resolver identidades é bastante fácil. Isso requer fazer transformações idênticas até que o objetivo seja alcançado. Assim, com a ajuda das operações aritméticas mais simples, a tarefa será resolvida.

Você vai precisar

• - papel;
• - uma caneta.

Instrução

As mais simples dessas transformações são as multiplicações algébricas abreviadas (como o quadrado da soma (diferença), a diferença de quadrados, a soma (diferença), o cubo da soma (diferença)). Além disso, existem muitas fórmulas trigonométricas que são essencialmente as mesmas identidades.

De fato, o quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro mais duas vezes o produto do primeiro e o segundo mais o quadrado do segundo, ou seja, (a+b)^2= (a+b )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Simplifique ambos

Princípios gerais de solução

Repita de um livro sobre análise matemática ou matemática superior, que é uma integral definida. Como você sabe, a solução de uma integral definida é uma função cuja derivada dará um integrando. Esta função é chamada de antiderivada. De acordo com este princípio, as integrais básicas são construídas.
Determine pela forma do integrando qual das integrais da tabela é adequada neste caso. Nem sempre é possível determinar isso imediatamente. Muitas vezes, a forma tabular só se torna perceptível após várias transformações para simplificar o integrando.

Método de substituição variável

Se o integrando é uma função trigonométrica cujo argumento é algum polinômio, tente usar o método de mudança de variáveis. Para fazer isso, substitua o polinômio no argumento do integrando por alguma nova variável. Com base na razão entre a variável nova e a antiga, determine os novos limites de integração. Ao diferenciar esta expressão, encontre um novo diferencial em . Assim, você obterá uma nova forma da antiga integral, próxima ou mesmo correspondente a qualquer tabular.

Solução de integrais de segunda espécie

Se a integral for uma integral do segundo tipo, a forma vetorial do integrando, você precisará usar as regras para passar dessas integrais para escalares. Uma dessas regras é a razão Ostrogradsky-Gauss. Esta lei permite passar do fluxo do rotor de alguma função vetorial para uma integral tripla sobre a divergência de um dado campo vetorial.

Substituição de limites de integração

Após encontrar a primitiva, é necessário substituir os limites de integração. Primeiro, substitua o valor do limite superior na expressão da primitiva. Você receberá algum número. Em seguida, subtraia do número resultante outro número, o limite inferior resultante para a primitiva. Se um dos limites de integração é infinito, então, ao substituí-lo na função antiderivada, é necessário ir ao limite e encontrar para onde a expressão tende.
Se a integral for bidimensional ou tridimensional, você terá que representar os limites geométricos de integração para entender como calcular a integral. Afinal, no caso de, digamos, uma integral tridimensional, os limites de integração podem ser planos inteiros que limitam o volume a ser integrado.

Então, temos potências de dois. Se você pegar o número da linha de fundo, poderá encontrar facilmente a potência à qual precisa aumentar um dois para obter esse número. Por exemplo, para obter 16, você precisa elevar dois à quarta potência. E para obter 64, você precisa elevar dois à sexta potência. Isso pode ser visto na tabela.

E agora - de fato, a definição do logaritmo:

O logaritmo da base a do argumento x é a potência à qual o número a deve ser elevado para obter o número x.

Notação: log a x \u003d b, onde a é a base, x é o argumento, b é realmente o que o logaritmo é igual.

Por exemplo, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (o logaritmo de base 2 de 8 é três porque 2 3 = 8). Pode também logar 2 64 = 6 porque 2 6 = 64 .

A operação de encontrar o logaritmo de um número para uma determinada base é chamada de logaritmo. Então, vamos adicionar uma nova linha à nossa tabela:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Infelizmente, nem todos os logaritmos são considerados tão facilmente. Por exemplo, tente encontrar log 2 5 . O número 5 não está na tabela, mas a lógica determina que o logaritmo estará em algum lugar no segmento. Porque 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Esses números são chamados de irracionais: os números após a vírgula podem ser escritos indefinidamente e nunca se repetem. Se o logaritmo for irracional, é melhor deixá-lo assim: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .

É importante entender que o logaritmo é uma expressão com duas variáveis ​​(base e argumento). A princípio, muitas pessoas confundem onde está a base e onde está o argumento. Para evitar mal-entendidos irritantes, basta dar uma olhada na imagem:

Diante de nós nada mais é do que a definição do logaritmo. Lembrar: o logaritmo é a potência, para o qual você precisa aumentar a base para obter o argumento. É a base que é elevada a uma potência - na foto ela está destacada em vermelho. Acontece que a base está sempre no fundo! Eu conto essa regra maravilhosa para meus alunos na primeira aula - e não há confusão.

Descobrimos a definição - resta aprender a contar logaritmos, ou seja, livrar-se do sinal "log". Para começar, notamos que dois fatos importantes decorrem da definição:

1. O argumento e a base devem ser sempre maiores que zero. Isso decorre da definição do grau por um expoente racional, ao qual se reduz a definição do logaritmo.
2. A base deve ser diferente da unidade, pois uma unidade para qualquer poder ainda é uma unidade. Por causa disso, a questão “a que poder um deve ser elevado para obter dois” não tem sentido. Não existe esse grau!

Tais restrições são chamadas intervalo válido(ODZ). Acontece que a ODZ do logaritmo se parece com isso: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .

Observe que não há restrições quanto ao número b (o valor do logaritmo) não é imposto. Por exemplo, o logaritmo pode ser negativo: log 2 0,5 \u003d -1, porque 0,5 = 2 −1 .

No entanto, agora estamos considerando apenas expressões numéricas, onde não é necessário conhecer a ODZ do logaritmo. Todas as restrições já foram levadas em consideração pelos compiladores dos problemas. Mas quando as equações logarítmicas e as desigualdades entrarem em jogo, os requisitos do DHS se tornarão obrigatórios. De fato, na base e argumento pode haver construções muito fortes que não necessariamente correspondem às restrições acima.

Agora considere o esquema geral para calcular logaritmos. Consiste em três etapas:

1. Expresse a base a e o argumento x como uma potência com a menor base possível maior que um. Ao longo do caminho, é melhor se livrar das frações decimais;
2. Resolva a equação para a variável b: x = a b ;
3. O número resultante b será a resposta.

Isso é tudo! Se o logaritmo for irracional, isso já será visto na primeira etapa. A exigência de que a base seja maior que um é muito relevante: isso reduz a probabilidade de erro e simplifica muito os cálculos. Da mesma forma com frações decimais: se você as converter imediatamente para as ordinárias, haverá muitas vezes menos erros.

Vamos ver como esse esquema funciona com exemplos específicos:

Uma tarefa. Calcule o logaritmo: log 5 25

1. Vamos representar a base e o argumento como uma potência de cinco: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Vamos fazer e resolver a equação:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Recebeu uma resposta: 2.

Uma tarefa. Calcule o logaritmo:

Uma tarefa. Calcule o logaritmo: log 4 64

1. Vamos representar a base e o argumento como uma potência de dois: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Vamos fazer e resolver a equação:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Recebeu uma resposta: 3.

Uma tarefa. Calcule o logaritmo: log 16 1

1. Vamos representar a base e o argumento como uma potência de dois: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Vamos fazer e resolver a equação:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Recebeu uma resposta: 0.

Uma tarefa. Calcule o logaritmo: log 7 14

1. Vamos representar a base e o argumento como uma potência de sete: 7 = 7 1 ; 14 não é representado como uma potência de sete, porque 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Decorre do parágrafo anterior que o logaritmo não é considerado;
3. A resposta é nenhuma mudança: log 7 14.

Uma pequena nota sobre o último exemplo. Como ter certeza de que um número não é uma potência exata de outro número? Muito simples - basta decompô-lo em fatores primos. Se houver pelo menos dois fatores distintos na expansão, o número não é uma potência exata.

Uma tarefa. Descubra se as potências exatas do número são: 8; 48; 81; 35; quatorze .

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - o grau exato, porque há apenas um multiplicador;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 não é uma potência exata porque existem dois fatores: 3 e 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - grau exato;
35 = 7 5 - novamente não é um grau exato;
14 \u003d 7 2 - novamente não é um grau exato;

Observe também que os próprios números primos são sempre potências exatas de si mesmos.

logaritmo decimal

Alguns logaritmos são tão comuns que têm um nome e uma designação especiais.

O logaritmo decimal do argumento x é o logaritmo de base 10, ou seja, a potência à qual você precisa elevar o número 10 para obter o número x. Designação: lg x .

Por exemplo, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - etc.

A partir de agora, quando uma frase como “Find lg 0.01” aparecer no livro, saiba que isso não é um erro de digitação. Este é o logaritmo decimal. No entanto, se você não estiver acostumado com essa designação, sempre poderá reescrevê-la:
log x = log 10 x

Tudo o que é verdade para logaritmos comuns também é verdade para decimais.

Logaritmo natural

Há outro logaritmo que tem sua própria notação. Em certo sentido, é ainda mais importante do que decimal. Este é o logaritmo natural.

O logaritmo natural de x é a base e logaritmo, ou seja a potência à qual o número e deve ser elevado para obter o número x. Designação: ln x .

Muitos vão perguntar: o que mais é o número e? Este é um número irracional, seu valor exato não pode ser encontrado e escrito. Aqui estão apenas os primeiros números:
e = 2,718281828459...

Não vamos nos aprofundar no que é esse número e por que ele é necessário. Basta lembrar que e é a base do logaritmo natural:
ln x = log e x

Assim ln e = 1 ; log e 2 = 2 ; ln e 16 = 16 - etc. Por outro lado, ln 2 é um número irracional. Em geral, o logaritmo natural de qualquer número racional é irracional. Exceto, é claro, a unidade: ln 1 = 0.

Para logaritmos naturais, todas as regras que são verdadeiras para logaritmos comuns são válidas.

Logaritmos, como qualquer número, podem ser somados, subtraídos e convertidos de todas as formas possíveis. Mas como os logaritmos não são números bem comuns, existem regras aqui, que são chamadas de propriedades básicas.

Essas regras devem ser conhecidas - nenhum problema logarítmico sério pode ser resolvido sem elas. Além disso, há muito poucos deles - tudo pode ser aprendido em um dia. Então vamos começar.

Adição e subtração de logaritmos

Considere dois logaritmos com a mesma base: log uma x e log uma y. Então eles podem ser adicionados e subtraídos, e:

1. registro uma x+registro uma y=log uma (x · y);
2. registro uma x−log uma y=log uma (x : y).

Assim, a soma dos logaritmos é igual ao logaritmo do produto, e a diferença é o logaritmo do quociente. Por favor, note: o ponto-chave aqui é - mesmos motivos. Se as bases forem diferentes, essas regras não funcionam!

Essas fórmulas ajudarão você a calcular a expressão logarítmica mesmo quando suas partes individuais não forem consideradas (consulte a lição "O que é um logaritmo"). Dê uma olhada nos exemplos e veja:

log 6 4 + log 6 9.

Como as bases dos logaritmos são as mesmas, usamos a fórmula da soma:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Uma tarefa. Encontre o valor da expressão: log 2 48 − log 2 3.

As bases são as mesmas, usamos a fórmula da diferença:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Uma tarefa. Encontre o valor da expressão: log 3 135 − log 3 5.

Novamente, as bases são as mesmas, então temos:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Como você pode ver, as expressões originais são compostas de logaritmos "ruins", que não são considerados separadamente. Mas depois de transformações números bastante normais resultam. Muitos testes são baseados neste fato. Sim, controle - expressões semelhantes com toda a seriedade (às vezes - praticamente sem alterações) são oferecidas no exame.

Removendo o expoente do logaritmo

Agora vamos complicar um pouco a tarefa. E se houver um grau na base ou argumento do logaritmo? Então o expoente deste grau pode ser retirado do sinal do logaritmo de acordo com as seguintes regras:

É fácil ver que a última regra segue as duas primeiras. Mas é melhor lembrar de qualquer maneira - em alguns casos, reduzirá significativamente a quantidade de cálculos.

Claro, todas essas regras fazem sentido se o logaritmo ODZ for observado: uma > 0, uma ≠ 1, x> 0. E mais uma coisa: aprenda a aplicar todas as fórmulas não apenas da esquerda para a direita, mas também vice-versa, ou seja, você pode inserir os números antes do sinal do logaritmo no próprio logaritmo. Isso é o que é mais frequentemente exigido.

Uma tarefa. Encontre o valor da expressão: log 7 49 6 .

Vamos nos livrar do grau no argumento de acordo com a primeira fórmula:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Uma tarefa. Encontre o valor da expressão:

[Legenda da Figura]

Observe que o denominador é um logaritmo cuja base e argumento são potências exatas: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Nós temos:

[Legenda da Figura]

Acho que o último exemplo precisa de esclarecimento. Para onde foram os logaritmos? Até o último momento, trabalhamos apenas com o denominador. Eles apresentaram a base e o argumento do logaritmo ali na forma de graus e retiraram os indicadores - eles obtiveram uma fração de “três andares”.

Agora vamos olhar para a fração principal. O numerador e o denominador têm o mesmo número: log 2 7. Como log 2 7 ≠ 0, podemos reduzir a fração - 2/4 permanecerá no denominador. De acordo com as regras da aritmética, o quatro pode ser transferido para o numerador, o que foi feito. O resultado é a resposta: 2.

Transição para uma nova fundação

Falando sobre as regras para somar e subtrair logaritmos, enfatizei especificamente que elas só funcionam com as mesmas bases. E se as bases forem diferentes? E se não forem potências exatas do mesmo número?

Fórmulas de transição para uma nova base vêm em socorro. Nós os formulamos na forma de um teorema:

Deixe o logaritmo uma x. Então para qualquer número c de tal modo que c> 0 e c≠ 1, a igualdade é verdadeira:

[Legenda da Figura]

Em particular, se colocarmos c = x, Nós temos:

[Legenda da Figura]

Segue-se da segunda fórmula que é possível trocar a base e o argumento do logaritmo, mas neste caso toda a expressão é “invertida”, ou seja, o logaritmo está no denominador.

Essas fórmulas raramente são encontradas em expressões numéricas comuns. É possível avaliar quão convenientes eles são apenas ao resolver equações logarítmicas e desigualdades.

No entanto, existem tarefas que não podem ser resolvidas, exceto pela mudança para uma nova fundação. Vamos considerar alguns deles:

Uma tarefa. Encontre o valor da expressão: log 5 16 log 2 25.

Observe que os argumentos de ambos os logaritmos são expoentes exatos. Vamos tirar os indicadores: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Agora vamos inverter o segundo logaritmo:

[Legenda da Figura]

Como o produto não muda com a permutação de fatores, multiplicamos calmamente quatro e dois, e então descobrimos os logaritmos.

Uma tarefa. Encontre o valor da expressão: log 9 100 lg 3.

A base e o argumento do primeiro logaritmo são potências exatas. Vamos anotá-lo e nos livrar dos indicadores:

[Legenda da Figura]

Agora vamos nos livrar do logaritmo decimal movendo para uma nova base:

[Legenda da Figura]

Identidade logarítmica básica

Muitas vezes, no processo de resolução, é necessário representar um número como um logaritmo para uma determinada base. Nesse caso, as fórmulas nos ajudarão:

No primeiro caso, o número n torna-se o expoente do argumento. Número n pode ser absolutamente qualquer coisa, porque é apenas o valor do logaritmo.

A segunda fórmula é na verdade uma definição parafraseada. É chamada de identidade logarítmica básica.

De fato, o que acontecerá se o número b elevar ao poder para que b nesta medida dá um número uma? Isso mesmo: este é o mesmo número uma. Leia este parágrafo com atenção novamente - muitas pessoas “se penduram” nele.

Como as novas fórmulas de conversão de base, a identidade logarítmica básica às vezes é a única solução possível.

Uma tarefa. Encontre o valor da expressão:

[Legenda da Figura]

Observe que log 25 64 = log 5 8 - apenas tirou o quadrado da base e o argumento do logaritmo. Dadas as regras para multiplicar potências de mesma base, temos:

[Legenda da Figura]

Se alguém não sabe, esta foi uma tarefa real do exame :)

Unidade logarítmica e zero logarítmico

Em conclusão, darei duas identidades que são difíceis de chamar de propriedades - ao contrário, são consequências da definição do logaritmo. Eles são constantemente encontrados em problemas e, surpreendentemente, criam problemas mesmo para alunos "avançados".

1. registro uma uma= 1 é a unidade logarítmica. Lembre-se de uma vez por todas: o logaritmo para qualquer base uma desta própria base é igual a um.
2. registro uma 1 = 0 é zero logarítmico. Base uma pode ser qualquer coisa, mas se o argumento for um, o logaritmo será zero! Porque uma 0 = 1 é uma consequência direta da definição.

Essas são todas as propriedades. Certifique-se de praticar colocá-los em prática! Baixe a folha de dicas no início da lição, imprima e resolva os problemas.

Vamos começar com propriedades do logaritmo da unidade. Sua formulação é a seguinte: o logaritmo da unidade é igual a zero, ou seja, registrar um 1=0 para qualquer a>0, a≠1. A prova é direta: como a 0 = 1 para qualquer a que satisfaça as condições acima a>0 e a≠1 , então a igualdade provada log a 1=0 segue imediatamente da definição do logaritmo.

Vamos dar exemplos de aplicação da propriedade considerada: log 3 1=0 , lg1=0 e .

Vamos para a próxima propriedade: o logaritmo de um número igual à base é igual a um, isso é, log a a = 1 para a>0, a≠1. De fato, como a 1 =a para qualquer a , então pela definição do logaritmo log a a=1 .

Exemplos de uso desta propriedade de logaritmos são log 5 5=1 , log 5.6 5.6 e lne=1 .

Por exemplo, log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 e .

Logaritmo do produto de dois números positivos x e y é igual ao produto dos logaritmos desses números: log a (x y) = log a x + log a y, a>0, a≠1. Vamos provar a propriedade do logaritmo do produto. Pelas propriedades do grau a log a x + log a y = a log a x a log a y, e como pela identidade logarítmica principal a log a x = x e a log a y = y , então a log a x a log a y = x y . Assim, a log a x+log a y =x y , de onde a igualdade requerida segue pela definição do logaritmo.

Vamos mostrar exemplos de uso da propriedade do logaritmo do produto: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 e .

A propriedade do logaritmo do produto pode ser generalizada para o produto de um número finito n de números positivos x 1 , x 2 , …, x n como log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Essa igualdade é facilmente provada.

Por exemplo, o logaritmo natural de um produto pode ser substituído pela soma de três logaritmos naturais dos números 4 , e , e .

Logaritmo do quociente de dois números positivos xey é igual à diferença entre os logaritmos desses números. A propriedade do logaritmo do quociente corresponde a uma fórmula da forma , onde a>0 , a≠1 , xey são alguns números positivos. A validade desta fórmula é provada como a fórmula do logaritmo do produto: uma vez que , então pela definição do logaritmo .

Aqui está um exemplo de uso desta propriedade do logaritmo: .

Vamos seguir para propriedade do logaritmo do grau. O logaritmo de um grau é igual ao produto do expoente pelo logaritmo do módulo da base desse grau. Escrevemos esta propriedade do logaritmo do grau na forma de uma fórmula: log a b p =p log a |b|, onde a>0 , a≠1 , b e p são números tais que o grau de b p faz sentido e b p >0 .

Primeiro provamos esta propriedade para b positivo. A identidade logarítmica básica nos permite representar o número b como a log a b , então b p =(a log a b) p , e a expressão resultante, devido à propriedade da potência, é igual a a p log a b . Assim chegamos à igualdade b p = a p log a b , da qual, pela definição do logaritmo, concluímos que log a b p =p log a b .

Resta provar esta propriedade para b negativo. Aqui notamos que a expressão log a b p para b negativo faz sentido apenas para expoentes pares p (já que o valor do grau b p deve ser maior que zero, caso contrário o logaritmo não fará sentido), e neste caso b p =|b| p. Então bp =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, de onde log a b p =p log a |b| .

Por exemplo, e ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .

Segue da propriedade anterior propriedade do logaritmo da raiz: o logaritmo da raiz do grau n é igual ao produto da fração 1/n e o logaritmo da expressão raiz, ou seja, , onde a>0 , a≠1 , n é um número natural maior que um, b>0 .

A prova é baseada na igualdade (ver ), que é válida para qualquer b positivo, e na propriedade do logaritmo do grau: .

Aqui está um exemplo de uso desta propriedade: .

Agora vamos provar fórmula de conversão para a nova base do logaritmo Gentil . Para isso, basta provar a validade da igualdade log c b=log a b log c a . A identidade logarítmica básica nos permite representar o número b como um log a b , então log c b=log c a log a b . Resta usar a propriedade do logaritmo do grau: log c a log a b = log a b log c a. Assim, fica provada a igualdade log c b=log a b log c a, o que significa que também está provada a fórmula de transição para uma nova base do logaritmo.

Vamos mostrar alguns exemplos de aplicação dessa propriedade dos logaritmos: e .

A fórmula para mudar para uma nova base permite que você passe a trabalhar com logaritmos que tenham uma base “conveniente”. Por exemplo, ele pode ser usado para alternar para logaritmos naturais ou decimais para que você possa calcular o valor do logaritmo da tabela de logaritmos. A fórmula para a transição para uma nova base do logaritmo também permite em alguns casos encontrar o valor de um determinado logaritmo, quando são conhecidos os valores de alguns logaritmos com outras bases.

Frequentemente usado é um caso especial da fórmula para a transição para uma nova base do logaritmo para c=b da forma . Isso mostra que log a b e log b a – . Por exemplo, .

Também é frequentemente usada a fórmula , que é útil para encontrar valores de logaritmo. Para confirmar nossas palavras, mostraremos como o valor do logaritmo do formulário é calculado usando-o. Nós temos . Para provar a fórmula basta usar a fórmula de transição para a nova base do logaritmo a: .

Resta provar as propriedades de comparação dos logaritmos.

Vamos provar que para quaisquer números positivos b 1 e b 2 , b 1 log a b 2 , e para a>1, a desigualdade log a b 1

Finalmente, resta provar a última das propriedades listadas dos logaritmos. Limitamo-nos a provar a sua primeira parte, isto é, provamos que se a 1 >1 , a 2 >1 e a 1 1 é verdadeiro log a 1 b> log a 2 b . As demais declarações desta propriedade dos logaritmos são provadas por um princípio similar.

Vamos usar o método oposto. Suponha que para a 1 > 1 , a 2 > 1 e a 1 1 log a 1 b≤log a 2 b é verdadeiro. Pelas propriedades dos logaritmos, essas desigualdades podem ser reescritas como e respectivamente, e deles segue que log b a 1 ≤log b a 2 e log b a 1 ≥log b a 2, respectivamente. Então, pelas propriedades das potências de mesmas bases, as igualdades b log b a 1 ≥b log b a 2 eb log b a 1 ≥b log b a 2 devem ser satisfeitas, ou seja, a 1 ≥a 2 . Assim, chegamos a uma contradição com a condição a 1

Bibliografia.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. e outros Álgebra e os primórdios da análise: um livro-texto para as séries 10-11 de instituições educacionais gerais.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemática (um manual para candidatos a escolas técnicas).