Vamos considerar um pequeno problema que é frequentemente encontrado em várias revistas e truques de mágica.

O mágico pede que você adivinhe um certo número. Então ele pede para multiplicá-lo por três e adicionar seis ao resultado. Em seguida, ele pede para dividir o valor recebido por três e subtrair o número resultante do resultado. Ele então lhe diz a resposta correta.

Como isso acontece, é realmente mágico?

Não, na verdade é mais fácil. Pensemos no número 5. Agora vamos realizar todas as ações que o mago nos ofereceu.

• 1. 5*3=15.
• 2. 15+6=21.
• 3. 21:3=7.
• 4. 7-5=2.

Recebemos dois em resposta. Poderíamos escrever a mesma solução como uma expressão numérica (5 * 3 + 6): 3 - 5. E seu valor seria o número 2.

Agora, digamos que concebemos o número 3. O resultado seria uma expressão numérica (3 * 3 + 6): 3 - 3. E seu valor seria o número 2.

Dois novamente. Surge o pensamento de que não há truque aqui e, em qualquer caso, será obtido o número 2. Vamos tentar verificar isso. Vamos denotar o número que concebemos com a letra x e anotar todas as ações que o mago pediu para fazer na ordem exigida.

• Obtemos (x * 3 + 6): 3 -x.

• (x * 3 + 6): 3 - x \u003d x + 2-x \u003d 2.

Acontece que o número concebido por nós não desempenha nenhum papel, será reduzido em qualquer caso.

Na análise do problema, recebemos a expressão (x * 3 + 6): 3 -x, que se escreve usando uma letra que denota qualquer número, os números 3 e 6, colchetes e sinais de ação. Tal expressão é chamada de expressão algébrica ou uma expressão com uma variável.

Definindo uma expressão com uma variável

• Uma expressão algébrica ou uma expressão com uma variável é chamada de qualquer notação significativa consistindo de letras que denotam qualquer número, números e sinais de ação.

Por exemplo, as seguintes entradas seriam expressões algébricas:

• 2*(x+y),
• 34*a-13*a*x,
• (123-65 * a): 3 +4.

Se, em vez de cada letra incluída na expressão algébrica, substituir um determinado valor numérico e, em seguida, executar todas as ações, o resultado será um determinado número. Este número é chamado o valor de uma expressão algébrica.

Por exemplo, o valor da expressão algébrica 5*a+2*x-7 com a=2 e x=3 será o número 9, pois 5*2+2*3 -7 = 9.

No problema que consideramos no início, o valor da expressão algébrica (x * 3 + 6): 3 - x será o número 2, para qualquer valor da variável x.

Resolver problemas e algumas expressões nem sempre leva a respostas numéricas claras. Mesmo no caso de cálculos triviais, pode-se chegar a uma certa construção, chamada expressão com uma variável.

Por exemplo, considere dois problemas práticos. No primeiro caso, temos uma fábrica que produz 5 toneladas de leite por dia. É necessário descobrir quanto leite é produzido pela planta em p dias.

No segundo caso, há um retângulo cuja largura é 5 cm e comprimento p cm. Encontre a área da figura.

Claro, se a planta produz cinco toneladas por dia, então em p dias, de acordo com a lógica matemática mais simples, ela produzirá 5r toneladas de leite. Por outro lado, a área de um retângulo é igual ao produto de seus lados - ou seja, neste caso, é 5p. Em outras palavras, em dois problemas triviais com condições diferentes, a resposta é uma expressão inteira - 5p. Tais monômios são chamados de expressão com variável, pois além da parte numérica eles contêm alguma letra, chamada de incógnita, ou variável. Tal elemento é denotado por letras minúsculas do alfabeto latino, na maioria das vezes, x ou y, embora isso não seja importante.

Uma característica de uma variável é que ela pode assumir qualquer valor na prática. Substituindo números diferentes, obteremos a solução final para nossos problemas, por exemplo, para o primeiro:

p = 2 dias, a planta produz 5p = 10 toneladas de leite;

p = 4 dias, a planta produz 5p = 20 toneladas de leite;

Ou para o segundo:

p \u003d 10 cm, a área da figura é 5p \u003d 50 cm2

p \u003d 20 cm, a área da figura é 5p \u003d 100 cm2

É importante entender que p não é um conjunto de alguns valores individuais, mas todo o conjunto que corresponderá matematicamente à condição do problema. O principal papel de uma variável é substituir o elemento ausente em uma condição. Qualquer problema matemático deve incluir algumas construções e mostrar a relação entre essas construções na condição. Se o valor de qualquer objeto não for suficiente, uma variável será introduzida. Ao mesmo tempo, é uma substituição abstrata do próprio elemento da condição (a quantidade de algo representada por um número ou expressão), e não por conexões funcionais.

Se considerarmos uma expressão da forma 5p como um objeto neutro e independente, então o valor de p nela pode assumir quaisquer valores, de fato, p aqui é igual ao conjunto de todos os números reais.

Mas em nossos problemas, certas restrições matemáticas são impostas à resposta na forma de 5p, que decorre das condições. Por exemplo, dias e dias não podem ser negativos, então p em ambos os problemas é sempre igual ou maior que zero. Além disso, os dias não podem ser fracionários - para a primeira tarefa, apenas os valores-p que são inteiros positivos são válidos.

No primeiro problema: p é igual ao conjunto finito de todos os inteiros positivos;

No segundo problema: p é igual ao conjunto finito de todos os números positivos.

As expressões podem incluir duas variáveis ​​ao mesmo tempo, por exemplo:

Nesse caso, o binômio é representado por dois monômios, cada um com uma variável em sua composição, e essas variáveis ​​são diferentes, ou seja, independentes uma da outra. O valor dessa expressão pode ser totalmente calculado somente se o valor de ambas as variáveis ​​estiver presente. Por exemplo, se x = 2 e y = 4, então:

2x + 3y \u003d 4 + 12 \u003d 16 (para x \u003d 2, y \u003d 4)

Vale a pena notar que nesta expressão não há restrições matemáticas ou lógicas sobre os valores da variável - tanto x quanto y pertencem a todo o conjunto de números reais.

Em termos gerais, o conjunto de todos os números, ao substituir uma variável, a expressão retém significado e validade, é chamado de domínio de definição (ou valor) da variável.

Em exemplos abstratos que não estão relacionados a problemas reais, o escopo de uma variável geralmente é igual a todo o conjunto de números reais ou limitado a algumas construções, por exemplo, uma fração. Como você sabe, quando o divisor é zero, a fração inteira perde seu significado. Portanto, uma variável em uma expressão da forma:

não pode ser igual a cinco, porque então:

7x / (x - 5) \u003d 7x / 0 (para x \u003d 5)

E a fração perderá seu significado. Portanto, para esta expressão, a variável x tem um domínio de definição - o conjunto de todos os números, exceto 5.

Em nosso tutorial em vídeo, também é observado um caso especial de uso de variáveis, quando elas denotam um número de mesma ordem. Por exemplo, os números 54, 30, 78 podem ser especificados através da variável a, ou através da construção ab (com uma barra horizontal no topo, para distinguir do produto), onde b especifica unidades (4, 0, 8, respectivamente ) e dezenas (respectivamente, 5, 3, 7).

Entradas 2 uma + 8, 3uma + 5b, uma 4 – bc são chamadas de expressões com variáveis. Substituindo números em vez de letras, obtemos expressões numéricas. O conceito geral de uma expressão com variáveis ​​é definido exatamente da mesma forma que o conceito de uma expressão numérica, só que, além de números, expressões com variáveis ​​também podem conter letras.

Para expressões com variável, também são aplicadas simplificações: não colocar colchetes contendo apenas um número ou uma letra, não colocar sinal de multiplicação entre letras, entre números e letras, etc.

Existem expressões com um, dois, três, etc. variáveis. designar MAS(X), NO(x, y) etc

Uma expressão com uma variável não pode ser chamada de instrução ou predicado. Por exemplo, sobre a expressão 2 uma+ 5 é impossível dizer se é verdadeira ou falsa, portanto, não é uma proposição. Se em vez de uma variável uma substituir os números, então obtemos várias expressões numéricas, que também não são declarações, portanto, essa expressão também não é um predicado.

Cada expressão com uma variável corresponde a um conjunto de números, substituindo o que resulta em uma expressão numérica que faz sentido. Esse conjunto é chamado de domínio da expressão.

Exemplo. 8: (4 – X) - domínio R\(4), porque no X= 4 expressão 8: (4 - 4) não faz sentido.

Se a expressão contiver várias variáveis, por exemplo, X e no, então o domínio desta expressão é o conjunto de pares de números ( uma; b) de tal forma que ao substituir X no uma e no no b resulta em uma expressão numérica que tem um valor.

Exemplo. , o domínio de definição é o conjunto de pares ( uma; b) │uma≥ b.

Definição. Duas expressões com uma variável são chamadas identicamente iguais se para quaisquer valores. Variáveis ​​do escopo das expressões, seus respectivos valores são iguais.

Este. duas expressões MAS(X), NO(X) são identicamente iguais no conjunto X, E se

1) os conjuntos de valores admissíveis da variável nessas expressões são os mesmos;

2) para qualquer X 0 seu conjunto de valores permitidos, os valores de expressões em X 0 partida, ou seja MAS(X 0) = NO(X 0) é a igualdade numérica correta.

Exemplo. (2 X+ 5) 2 e 4 X 2 + 20X+ 25 – expressões identicamente iguais.

designar MAS(X) º NO(X). Observe que se duas expressões são identicamente iguais em algum conjunto E, então eles são identicamente iguais em qualquer subconjunto E 1M E. Deve-se notar também que a afirmação sobre a igualdade idêntica de duas expressões com uma variável é uma afirmação.

Se duas expressões que são identicamente iguais em um determinado conjunto são unidas por um sinal de igual, obtemos uma sentença, que é chamada de identidade nesse conjunto.

As verdadeiras igualdades numéricas também são consideradas identidades. Identidades são as leis de adição e multiplicação de números reais, as regras para subtrair um número de uma soma e uma soma de um número, as regras para dividir uma soma por um número, etc. Identidades também são regras para operações com zero e um .

A substituição de uma expressão por outra idêntica a ela em algum conjunto é chamada de transformação idêntica da expressão dada.

Exemplo. 7 X + 2 + 3X = 10 X+ 2 - transformação idêntica, transformação não idêntica em R.

§ 5. Classificação de expressões com variável

1) Uma expressão composta de variáveis ​​e números usando apenas as operações de adição, subtração, multiplicação, exponenciação é chamada de expressão inteira ou polinômio.

Exemplo. (3X 2 + 5) ∙ (2X – 3no)

2) Uma expressão racional é uma expressão construída a partir de variáveis ​​e números usando as operações de adição, subtração, multiplicação, divisão, exponenciação. Uma expressão racional pode ser representada como uma razão de duas expressões inteiras, ou seja, polinômios. Observe que expressões inteiras são um caso especial de expressões racionais.

Exemplo. .

3) Irracional é uma expressão construída a partir de variáveis ​​e números usando as operações de adição, subtração, multiplicação, divisão, exponenciação, bem como a operação de extração da raiz P-º grau.

Nas aulas de álgebra na escola, encontramos expressões de vários tipos. À medida que você aprende um novo material, as expressões se tornam mais diversas e mais complexas. Por exemplo, nos familiarizamos com graus - graus apareceram na composição de expressões, estudamos frações - apareceram expressões fracionárias, etc.

Para facilitar a descrição do material, as expressões compostas por elementos semelhantes receberam certos nomes para distingui-las de toda a variedade de expressões. Neste artigo, vamos conhecê-los, ou seja, vamos dar uma visão geral das expressões básicas estudadas nas aulas de álgebra na escola.

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Monômios e polinômios

Vamos começar com expressões chamadas monômios e polinômios. No momento da redação deste artigo, a conversa sobre monômios e polinômios começa nas aulas de álgebra na 7ª série. As seguintes definições são dadas lá.

Definição.

monômios chamados números, variáveis, seus graus com um indicador natural, bem como quaisquer produtos constituídos por eles.

Definição.

Polinômiosé a soma dos monômios.

Por exemplo, o número 5 , a variável x , o grau z 7 , os produtos 5 x e 7 x 2 7 z 7 são todos monômios. Se tomarmos a soma dos monômios, por exemplo, 5+x ou z 7 +7+7 x 2 7 z 7 , obtemos um polinômio.

Trabalhar com monômios e polinômios geralmente significa fazer coisas com eles. Assim, no conjunto dos monômios, define-se a multiplicação de monômios e a elevação de um monômio a uma potência, no sentido de que, como resultado de sua execução, obtém-se um monômio.

No conjunto de polinômios, são definidas adição, subtração, multiplicação, exponenciação. Como essas ações são definidas e por quais regras são executadas, falaremos no artigo ações com polinômios.

Se falamos de polinômios com uma única variável, ao trabalhar com eles, a divisão de um polinômio por um polinômio é de considerável importância prática e, muitas vezes, esses polinômios precisam ser representados como um produto, essa ação é chamada de fatoração de um polinômio.

Frações racionais (algébricas)

No 8º ano, inicia-se o estudo de expressões contendo divisão por uma expressão com variáveis. E as primeiras expressões são frações racionais, que alguns autores chamam frações algébricas.

Definição.

Fração racional (algébrica)é uma fração cujo numerador e denominador são polinômios, em particular monômios e números.

Aqui estão alguns exemplos de frações racionais: e . A propósito, qualquer fração ordinária é uma fração racional (algébrica).

Adição, subtração, multiplicação, divisão e exponenciação são introduzidas no conjunto das frações algébricas. Como isso é feito é explicado no artigo Operações com frações algébricas.

Muitas vezes você também tem que realizar transformações de frações algébricas, sendo as mais comuns a redução e a redução para um novo denominador.

Expressões Racionais

Definição.

Expressões de poder (expressões de poder) são expressões contendo graus em sua notação.

Aqui estão alguns exemplos de expressões com potências. Eles não podem conter variáveis, como 2 3 , . Existem também expressões de poder com variáveis: etc.

Não custa se familiarizar com como transformação de expressões com potências.

Expressões irracionais, expressões com raízes

Definição.

Expressões contendo logaritmos são chamadas expressões logarítmicas.

Exemplos de expressões logarítmicas são log 3 9+lne , log 2 (4 a b) , .

Muitas vezes, em expressões, graus e logaritmos ocorrem ao mesmo tempo, o que é compreensível, pois, por definição, um logaritmo é um expoente. Como resultado, expressões desse tipo parecem naturais: .

Continuando o tópico, consulte o material transformação de expressões logarítmicas.

Frações

Neste parágrafo, consideraremos expressões de um tipo especial - frações.

A fração expande o conceito. As frações também têm um numerador e um denominador localizados acima e abaixo da barra fracionária horizontal (esquerda e direita da barra), respectivamente. Apenas ao contrário das frações comuns, o numerador e o denominador podem conter não apenas números naturais, mas também quaisquer outros números, bem como quaisquer expressões.

Então vamos definir uma fração.

Definição.

Fraçãoé uma expressão que consiste em um numerador e um denominador separados por uma barra fracionária, que representa alguma expressão ou número numérico ou alfabético.

Esta definição nos permite dar exemplos de frações.

Vamos começar com exemplos de frações cujos numeradores e denominadores são números: 1/4, , (−15)/(−2) . No numerador e denominador de uma fração, pode haver expressões, tanto numéricas quanto alfabéticas. Aqui estão exemplos de tais frações: (a+1)/3 , (a+b+c)/(a 2 +b 2) , .

Mas as expressões 2/5−3/7 não são frações, embora contenham frações em suas entradas.

Expressões gerais

No ensino médio, especialmente em tarefas de maior dificuldade e tarefas do grupo C no Exame Estadual Unificado em matemática, aparecerão expressões de forma complexa que contêm raízes, potências, logaritmos, funções trigonométricas, etc. Por exemplo, ou . Eles parecem se encaixar em vários tipos de expressões listadas acima. Mas eles geralmente não são classificados como um deles. Eles são considerados expressões gerais, e ao descrever, eles apenas dizem uma expressão, sem adicionar esclarecimentos adicionais.

Concluindo o artigo, gostaria de dizer que, se essa expressão for complicada e você não tiver certeza de que tipo ela pertence, é melhor chamá-la apenas de uma expressão do que chamá-la de uma expressão que não seja .

Bibliografia.

• Matemáticas: estudos. para 5 células. Educação geral instituições / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21ª ed., apagada. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: il. ISBN 5-346-00699-0.
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• Álgebra: livro didático para 7 células. Educação geral instituições / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 17ª edição. - M. : Educação, 2008. - 240 p. : doente. - ISBN 978-5-09-019315-3.
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• Álgebra: 9º ano: livro didático. para educação geral instituições / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16ª edição. - M. : Educação, 2009. - 271 p. : doente. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Álgebra e o início da análise: Proc. para 10-11 células. Educação geral instituições / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn e outros; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14ª ed.- M.: Iluminismo, 2004.- 384 p.: il.- ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemática (um manual para candidatos a escolas técnicas): Proc. subsídio.- M.; Mais alto escola, 1984.-351 p., ll.

Encontre o valor da expressão x+5 se x=0, x=3, x=16, x=35

Raciocinamos assim:

se x=0, então o valor da soma é 5, porque 0+5=5

se x=3, então o valor da soma é 8, porque 3+5=8

se x=16, então o valor da soma é 21, pois 16+5=21

se x=35, então o valor da soma é 40, pois 35+5=40

Que outros valores x pode assumir?

X pode ser 43 ou 68. Em geral, você pode dizer que x pode assumir qualquer valor.

Que nome você daria a uma letra que pode assumir qualquer valor?

Você pode chamá-lo de diferentes maneiras: mutável, mutável.

Resposta correta: em matemática é chamado de variável.

Observe: em matemática, uma variável permite que você escreva várias expressões em uma.

Vamos considerar expressões. O que pode ser dito sobre eles?

A resposta correta é: os minuendos são os mesmos, mas os subtraendos mudam. Então, pode ser escrito assim:

Considere expressões com uma variável.

O que comum? Qual é a diferença?

Resposta correta: em todas as expressões há uma ação, em todas as expressões há um número 2. Diferenças: ações diferentes, letras diferentes denotam uma variável.

Quais valores a variável pode assumir nessas expressões?

Na expressão 2+x, x pode ser qualquer número.

Na expressão 2*y, y pode ser qualquer número.

Na expressão 2-z, z só pode assumir alguns valores: z=2, z=1, z=0.

Hoje na lição repetimos as diferenças entre um problema simples e um problema composto, lembramos como adicionar e subtrair números de dois dígitos em uma coluna.

Vamos encontrar o valor dessas expressões se x=5, y=3, z=2.

Argumentamos da seguinte forma: substituímos esses números em expressões.

Se x=5 então 2+x=2+5=7

Se y=3 então 2*y=2*3=6

Se z=2 então 2-z=2-2=0

Ler e comparar tarefas.

1. Tanya tem 3 rosas e 6 peônias. Quantas flores Tanya tem?

2. Tanya tem 3 rosas e 4 peônias. Quantas flores Tanya tem?

3. Tanya tem 3 rosas e 2 peônias. Quantas flores Tanya tem?

Vamos prestar atenção ao fato de que o número de flores de peônia muda no problema. Vamos substituir todas as três tarefas por uma tarefa com uma variável. Então o problema vai soar assim: Tanya tem 3 rosas e k peônias. Quantas flores Tanya tem?

Para descobrir quantas flores Tanya tem, você precisa adicionar k a 3.

Substitua os valores na expressão literal.

se k=6 3+6=9 (cor)

se k=4 3+4=7 (cor)

se k=2 3+2=5 (cor)

É importante notar que às vezes há duas variáveis ​​em uma expressão.

Então as expressões podem ficar assim:

Determine qual variável é maior e em quanto.

Resposta correta:

na primeira igualdade, comparamos as variáveis ​​b e a, a é o resultado da adição, então a>b por 18;

na segunda igualdade, comparamos as variáveis ​​n e m, n é decrescente, o que significa n>m por 4;

na terceira igualdade, comparamos as variáveis ​​c e d, c é o termo, d é o valor da soma, o que significa d>c por 7;

na quarta igualdade k-t = 5 comparamos o minuendo e o subtraendo, o minuendo é maior, portanto k>t por 5.

Hoje na lição aprendemos a compor expressões com uma variável, encontramos os valores das expressões para um determinado valor da variável.

Bibliografia

1. MI. Moro, M. A. Bantova e outros Matemática: Livro didático. Grau 3: em 2 partes, parte 1. - M.: "Iluminismo", 2012.
2. MI. Moro, M. A. Bantova e outros Matemática: Livro didático. Grau 3: em 2 partes, parte 2. - M.: "Iluminismo", 2012.
3. MI. Moreau. Aulas de matemática: orientações para professores. Grau 3 - M.: Educação, 2012.
4. Documento normativo. Monitorização e avaliação dos resultados da aprendizagem. - M.: "Iluminismo", 2011.
5. "Escola da Rússia": Programas para o ensino fundamental. - M.: "Iluminismo", 2011.
6. SI. Volkov. Matemática: Trabalho de teste. Grau 3 - M.: Educação, 2012.
7. V.N. Rudnitskaya. Testes. - M.: "Exame", 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru().
3. Do.gendocs.ru().

Trabalho de casa

1. Encontre o valor da expressão 36 - a, se \u003d 15, a \u003d 16, a \u003d 20, a \u003d 35.

2. Encontre o valor da expressão 12 + x, se x = 10, x = 34, x = 48, x = 59

3. Compare as expressões com a variável e coloque um sinal de comparação. 36 + k ... 37 + k

4. Substitua essas expressões por uma comum com uma variável.