A condição de perpendicularidade dos vetores

Os vetores são perpendiculares se e somente se seu produto escalar for zero.

Dois vetores a(xa;ya) eb(xb;yb) são dados. Esses vetores serão perpendiculares se a expressão xaxb + yayb = 0.

Os vetores são paralelos se seu produto vetorial for zero

Equação de uma linha reta em um plano. Tarefas básicas em uma linha reta em um avião.

Qualquer linha reta no plano pode ser dada pela equação de primeira ordem Ax + Vy + C = 0, e as constantes A, B não são iguais a zero ao mesmo tempo, ou seja, A2 + B2  0. Essa equação de primeira ordem é chamada de equação geral de uma reta. Dependendo dos valores das constantes A, B e C, os seguintes casos especiais são possíveis:

C \u003d 0) - a linha reta é paralela ao eixo Ox - B \u003d 0, A  0, C  0 (Ax + C \u003d 0) - a linha reta é paralela ao eixo Oy - B \u003d C \u003d 0, A  0 - a linha reta coincide com o eixo Oy - A = C = 0, B  0 – a linha reta coincide com o eixo Ox A equação da linha reta pode ser apresentada de várias formas, dependendo de qualquer dado condições iniciais.

Se pelo menos um dos coeficientes A, B, C ur-th Ax+By+C=0 for igual a 0, ur-e
chamado incompleto. Pela forma da equação de uma linha reta, pode-se julgar sua posição sobre
porra oh. Casos possíveis:
1 C=0 L: Ax+By=0 t. O(0,0) satisfaz esta equação, o que significa que a linha
passa pela origem
2 А=0 L: Ву+С=0 - normal v-p n=(0,B) é perpendicular ao eixo OX a partir daqui
segue que a reta é paralela ao eixo x
3 V \u003d 0 L: Ay + C \u003d 0 0 - normal v-r n \u003d (A, 0) é perpendicular ao eixo OY daqui
segue que a reta é paralela ao eixo y
4 A=0, C=0 L: Por=0(y=0(L=OX
5 B=0, C=0 L: Ax=0(x=0(L=OY
6 A (0, B (0, C (0 L; - não passa pela origem e cruza
ambos os eixos.

Equação de uma linha reta　em um plano que passa por dois pontos dados e:

Ângulo entre planos.

Cálculo de determinantes

O cálculo dos determinantes é baseado em suas propriedades conhecidas, que se aplicam a determinantes de todas as ordens. Essas propriedades são:

1. Se você reorganizar duas linhas (ou duas colunas) do determinante, o determinante mudará de sinal.

2. Se os elementos correspondentes de duas colunas (ou duas linhas) do determinante são iguais ou proporcionais, então o determinante é igual a zero.

3. O valor do determinante não mudará se as linhas e colunas forem trocadas, preservando sua ordem.

4. Se todos os elementos de qualquer linha (ou coluna) têm um fator comum, então ele pode ser retirado do sinal determinante.

5. O valor do determinante não mudará se os elementos correspondentes de outra linha (ou coluna) forem somados aos elementos de uma linha (ou coluna), multiplicados pelo mesmo número.

Matrix e ação sobre eles

Matriz- um objeto matemático escrito como uma tabela retangular de números (ou elementos de anel) e que permite operações algébricas (adição, subtração, multiplicação, etc.) entre ele e outros objetos semelhantes. Normalmente as matrizes são representadas por tabelas bidimensionais (retangulares). Às vezes, matrizes multidimensionais ou matrizes não retangulares são consideradas.

Normalmente, a matriz é denotada por uma letra maiúscula do alfabeto latino e é distinguida por colchetes “(…)” (há também uma seleção de colchetes “[…]” ou linhas retas duplas “||…| |”).

Os números que compõem a matriz (elementos da matriz) são frequentemente denotados pela mesma letra que a própria matriz, mas em minúsculas (por exemplo, a11 é um elemento da matriz A).

Cada elemento da matriz possui 2 subscritos (aij) - o primeiro "i" indica o número da linha em que o elemento está localizado e o segundo "j" é o número da coluna. Eles dizem "matriz de dimensão", o que significa que a matriz tem m linhas e n colunas. Sempre na mesma matriz

Operações de matriz

Sejam aij elementos da matriz A e bij elementos da matriz B.

Operações lineares:

A multiplicação de uma matriz A por um número λ (notação: λA) consiste em construir uma matriz B, cujos elementos são obtidos pela multiplicação de cada elemento da matriz A por este número, ou seja, cada elemento da matriz B é igual para

A adição das matrizes A + B é a operação de encontrar uma matriz C, cujos elementos são todos iguais à soma aos pares de todos os elementos correspondentes das matrizes A e B, ou seja, cada elemento da matriz C é igual a

A subtração de matrizes A − B é definida de forma semelhante à adição, é a operação de encontrar uma matriz C cujos elementos

Adição e subtração são permitidas apenas para matrizes do mesmo tamanho.

Existe uma matriz zero Θ tal que sua adição a outra matriz A não altera A, ou seja.

Todos os elementos da matriz zero são iguais a zero.

Operações não lineares:

A multiplicação de matrizes (notação: AB, menos frequentemente com um sinal de multiplicação) é uma operação para calcular uma matriz C, cujos elementos são iguais à soma dos produtos dos elementos na linha correspondente do primeiro fator e a coluna de o segundo.cij = ∑ aikbkj k

O primeiro multiplicador deve ter tantas colunas quantas são as linhas do segundo. Se a matriz A tem dimensão B - , então a dimensão de seu produto AB = C é. A multiplicação de matrizes não é comutativa.

A multiplicação de matrizes é associativa. Apenas matrizes quadradas podem ser elevadas a uma potência.

A transposição da matriz (símbolo: AT) é uma operação na qual a matriz é refletida ao longo da diagonal principal, ou seja,

Se A é uma matriz de tamanho, então AT é uma matriz de tamanho

Derivada de uma função composta

A função complexa tem a forma: F(x) = f(g(x)), ou seja é uma função de uma função. Por exemplo, y = sin2x, y = ln(x2+2x), etc.

Se no ponto x a função g (x) é a derivada g "(x), e no ponto u \u003d g (x) a função f (u) tem a derivada f" (u), então a derivada de a função complexa f (g (x)) no ponto x existe e é igual a f"(u)g"(x).

Derivada de uma função implícita

Em muitos problemas, a função y(x) é especificada de forma indireta. Por exemplo, para as funções abaixo

é impossível obter a dependência y(x) explicitamente.

O algoritmo para calcular a derivada y "(x) de uma função implícita é o seguinte:

Primeiro, você precisa diferenciar ambos os lados da equação em relação a x, assumindo que y é uma função diferenciável de x e usando a regra para calcular a derivada de uma função complexa;

Resolva a equação resultante em relação à derivada y "(x).

Vejamos alguns exemplos para ilustrar.

Diferencie a função y(x) dada pela equação.

Diferencie os dois lados da equação em relação à variável x:

o que leva ao resultado

Regra de Lapital

Regra de L'Hospital. Seja f-ção f(x) eg(x) tem no env. t-ki x0 pr-nye f' e g' excluindo a possibilidade deste mesmo t-ku x0. Seja lim(x®Dx)=lim(x®Dx)g(x)=0 de modo que f(x)/g(x) para x®x0 dê 0/0. lim(x®x0)f'(x)/g'(x) $ (4) quando coincide com o limite da razão da função lim(x®x0)f(x)/g(x)= lim (x ®x0)f'(x)/g'(x) (5)

44 .1.(Um critério para a monotonicidade de uma função que tem uma derivada em um intervalo) Seja a função contínuo em

(a,b), e tem uma derivada f"(x) em cada ponto. Então

1)f aumenta em (a,b) se e somente se

2) diminui em (a,b) se e somente se

2. (Uma condição suficiente para a monotonicidade estrita de uma função que tem uma derivada em um intervalo) Seja a função é contínua em (a,b), e tem uma derivada f"(x) em cada ponto. Então

1) se então f é estritamente crescente em (a,b);

2) se então f é estritamente decrescente em (a,b).

A recíproca geralmente não é verdadeira. A derivada de uma função estritamente monotônica pode desaparecer. No entanto, o conjunto de pontos onde a derivada não é igual a zero deve ser denso no intervalo (a,b). Mais precisamente, ocorre.

3. (Um critério para a monotonicidade estrita de uma função que tem uma derivada em um intervalo) Seja e a derivada f"(x) é definida em toda parte no intervalo. Então f aumenta estritamente no intervalo (a,b) se e somente se as duas condições a seguir forem satisfeitas:

Produto escalar de vetores. Ângulo entre vetores. Condição de paralelismo ou perpendicularidade de vetores.

O produto escalar de vetores é o produto de seus comprimentos e o cosseno do ângulo entre eles:

Exatamente da mesma forma que na planimetria, as seguintes afirmações são provadas:

O produto escalar de dois vetores diferentes de zero é zero se e somente se esses vetores são perpendiculares.

O quadrado de um vetor, ou seja, o produto escalar de si mesmo e de si mesmo, é igual ao quadrado de seu comprimento.

O produto escalar de dois vetores e dado por suas coordenadas pode ser calculado pela fórmula

Os vetores são perpendiculares se e somente se seu produto escalar for zero. Exemplo. Dados dois vetores e . Esses vetores serão perpendiculares se a expressão x1x2 + y1y2 = 0. O ângulo entre vetores diferentes de zero é o ângulo entre as linhas para as quais esses vetores são guias. O ângulo entre qualquer vetor e um vetor zero é, por definição, considerado igual a zero. Se o ângulo entre os vetores é de 90°, então tais vetores são chamados de perpendiculares. O ângulo entre os vetores será denotado da seguinte forma:

Este artigo revela o significado da perpendicularidade de dois vetores em um plano no espaço tridimensional e encontrar as coordenadas de um vetor perpendicular a um ou a um par inteiro de vetores. O tópico é aplicável a problemas relacionados às equações de retas e planos.

Vamos considerar a condição necessária e suficiente para que dois vetores sejam perpendiculares, decidir sobre o método de encontrar um vetor perpendicular a um dado vetor e tocar em situações em encontrar um vetor que é perpendicular a dois vetores.

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Condição necessária e suficiente para que dois vetores sejam perpendiculares

Vamos aplicar a regra sobre vetores perpendiculares no plano e no espaço tridimensional.

Definição 1

Dado o valor do ângulo entre dois vetores diferentes de zero igual a 90 ° (π 2 radianos) é chamado perpendicular.

O que isso significa e em que situações é necessário saber sobre sua perpendicularidade?

O estabelecimento da perpendicularidade é possível através do desenho. Ao traçar um vetor em um plano a partir de determinados pontos, você pode medir geometricamente o ângulo entre eles. A perpendicularidade dos vetores, se for estabelecida, não é inteiramente exata. Na maioria das vezes, esses problemas não permitem que você faça isso com um transferidor, portanto, esse método só é aplicável quando nada mais é conhecido sobre vetores.

A maioria dos casos de provar a perpendicularidade de dois vetores diferentes de zero em um plano ou no espaço é feito usando condição necessária e suficiente para a perpendicularidade de dois vetores.

Teorema 1

O produto escalar de dois vetores não nulos a → e b → iguais a zero para cumprir a igualdade a → , b → = 0 é suficiente para sua perpendicularidade.

Prova 1

Sejam os vetores dados a → e b → perpendiculares, provaremos a igualdade a ⇀ , b → = 0 .

A partir da definição de produto escalar de vetores sabemos que é igual o produto dos comprimentos de vetores dados e o cosseno do ângulo entre eles. Por condição, a → e b → são perpendiculares e, portanto, com base na definição, o ângulo entre eles é de 90 °. Então temos a → , b → = a → b → cos (a → , b → ^) = a → b → cos 90 ° = 0 .

A segunda parte da prova

Sob a condição quando a ⇀ , b → = 0 prova a perpendicularidade de a → e b → .

Na verdade, a prova é o inverso da anterior. Sabe-se que a → e b → são diferentes de zero, então da igualdade a ⇀ , b → = a → b → cos (a → , b →) ^ encontramos o cosseno. Então obtemos cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 . Como o cosseno é zero, podemos concluir que o ângulo a → , b → ^ dos vetores a → e b → é 90 ° . Por definição, esta é uma propriedade necessária e suficiente.

Condição perpendicular no plano de coordenadas

Capítulo produto escalar em coordenadas demonstra a desigualdade (a → , b →) = a x b x + a y b y , válida para vetores com coordenadas a → = (a x , a y) e b → = (b x , b y) , no plano e (a → , b → ) = a x b x + a y b y para vetores a → = (a x , a y , a z) e b → = (b x , b y , b z) no espaço. Uma condição necessária e suficiente para que dois vetores sejam perpendiculares no plano coordenado é a x · b x + a y · b y = 0 , para o espaço tridimensional a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 .

Vamos colocar em prática e ver exemplos.

Exemplo 1

Verifique a propriedade da perpendicularidade de dois vetores a → = (2 , - 3) , b → = (- 6 , - 4) .

Solução

Para resolver este problema, você precisa encontrar o produto escalar. Se por condição for igual a zero, então eles são perpendiculares.

(a → , b →) = a x b x + a y b y = 2 (- 6) + (- 3) (- 4) = 0 . A condição é satisfeita, o que significa que os vetores dados são perpendiculares ao plano.

Responda: sim, os vetores dados a → e b → são perpendiculares.

Exemplo 2

Dados vetores de coordenadas i → , j → , k → . Verifique se os vetores i → - j → ei → + 2 j → + 2 k → podem ser perpendiculares.

Solução

Para lembrar como as coordenadas de um vetor são determinadas, você precisa ler um artigo sobre coordenadas vetoriais em coordenadas retangulares. Assim, obtemos que os vetores dados i → - j → ei → + 2 j → + 2 k → possuem as coordenadas correspondentes (1, - 1, 0) e (1, 2, 2) . Substitua os valores numéricos e obtenha: i → + 2 j → + 2 k → , i → - j → = 1 1 + (- 1) 2 + 0 2 = - 1 .

A expressão não é zero, (i → + 2 j → + 2 k → , i → - j →) ≠ 0 , o que significa que os vetores i → - j → e i → + 2 j → + 2 k → não são perpendicular porque a condição não é satisfeita.

Responda: não, os vetores i → - j → ei → + 2 j → + 2 k → não são perpendiculares.

Exemplo 3

Dados os vetores a → = (1 , 0 , - 2) eb → = (λ , 5 , 1) . Encontre o valor λ para o qual os vetores dados são perpendiculares.

Solução

Usamos a condição de perpendicularidade de dois vetores no espaço na forma quadrada, então obtemos

a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2

Responda: os vetores são perpendiculares no valor λ = 2.

Há casos em que a questão da perpendicularidade é impossível mesmo sob uma condição necessária e suficiente. Com dados conhecidos sobre os três lados de um triângulo em dois vetores, é possível encontrar ângulo entre vetores e confira.

Exemplo 4

Dado um triângulo A B C com lados A B \u003d 8, A C \u003d 6, B C \u003d 10 cm. Verifique os vetores A B → e A C → quanto à perpendicularidade.

Solução

Quando os vetores A B → e A C → são perpendiculares, o triângulo A B C é considerado retangular. Em seguida, aplicamos o teorema de Pitágoras, onde BC é a hipotenusa do triângulo. A igualdade B C 2 = A B 2 + A C 2 deve ser satisfeita. Segue que 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100 . Portanto, A B e A C são os catetos do triângulo A B C, portanto, A B → e A C → são perpendiculares.

É importante aprender a encontrar as coordenadas de um vetor perpendicular a um dado. Isso é possível tanto no plano quanto no espaço, desde que os vetores sejam perpendiculares.

Encontrar um vetor perpendicular a um dado em um plano.

Um vetor diferente de zero a → pode ter um número infinito de vetores perpendiculares no plano. Vamos representá-lo na linha de coordenadas.

Um vetor diferente de zero a → , situado na linha a, é dado. Então o dado b → , localizado em qualquer linha perpendicular à linha a, torna-se perpendicular e a → . Se o vetor i → é perpendicular ao vetor j → ou qualquer um dos vetores λ j → com λ igual a qualquer número real exceto zero, então encontrar as coordenadas do vetor b → perpendicular a a → = (a x , a y) reduz para um conjunto infinito de soluções. Mas é necessário encontrar as coordenadas do vetor perpendicular a a → = (a x , a y) . Para fazer isso, é necessário escrever a condição de perpendicularidade dos vetores na seguinte forma a x · b x + a y · b y = 0 . Temos b x e b y , que são as coordenadas desejadas do vetor perpendicular. Quando a x ≠ 0 , o valor de b y é diferente de zero e b x é calculado a partir da desigualdade a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = -a y · b y a x . Quando a x = 0 e a y ≠ 0, atribuímos a b x qualquer valor diferente de zero, e b y é encontrado a partir da expressão b y = - a x · b x a y .

Exemplo 5

Dado um vetor com coordenadas a → = (- 2 , 2) . Encontre um vetor perpendicular ao dado.

Solução

Denote o vetor desejado como b → (b x , b y) . Você pode encontrar suas coordenadas a partir da condição de que os vetores a → e b → sejam perpendiculares. Então temos: (a → , b →) = a x b x + a y b y = - 2 b x + 2 b y = 0 . Atribua b y = 1 e substitua: - 2 b x + 2 b y = 0 ⇔ - 2 b x + 2 = 0 . Assim, da fórmula obtemos b x = - 2 - 2 = 1 2 . Assim, o vetor b → = (1 2 , 1) é um vetor perpendicular a a → .

Responda: b → = (1 2 , 1) .

Se a questão do espaço tridimensional é levantada, o problema é resolvido de acordo com o mesmo princípio. Para um dado vetor a → = (a x , a y , a z) existe um conjunto infinito de vetores perpendiculares. Irá corrigi-lo no plano 3D de coordenadas. Dado a → deitado na linha a . O plano perpendicular à reta a é denotado por α. Neste caso, qualquer vetor diferente de zero b → do plano α é perpendicular a a → .

É necessário encontrar as coordenadas b → perpendiculares ao vetor diferente de zero a → = (a x , a y , a z) .

Seja b → dado com as coordenadas b x , b y e b z . Para encontrá-los, é necessário aplicar a definição da condição de perpendicularidade de dois vetores. A igualdade a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 deve valer. Da condição a → - diferente de zero, o que significa que uma das coordenadas tem valor diferente de zero. Suponha que a x ≠ 0 , (a y ≠ 0 ou a z ≠ 0). Portanto, temos o direito de dividir toda a desigualdade a x b x + a y b y + a z b z = 0 por essa coordenada, obtemos a expressão b x + a y b y + a z b z a x = 0 ⇔ b x = - a y b y + a z b z a x . Atribuímos qualquer valor às coordenadas b y e b x , calculamos o valor b x , com base na fórmula, b x = - a y · b y + a z · b z a x . O vetor perpendicular desejado terá o valor a → = (a x , a y , a z) .

Vejamos a prova com um exemplo.

Exemplo 6

Dado um vetor com coordenadas a → = (1 , 2 , 3) ​​  . Encontre um vetor perpendicular ao dado.

Solução

Denote o vetor desejado como b → = (b x , b y , b z) . Com base na condição de que os vetores sejam perpendiculares, o produto escalar deve ser igual a zero.

a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)

Se o valor b y = 1 , b z = 1 , então b x = - 2 · b y - 3 · b z = - (2 · 1 + 3 · 1) = - 5 . Segue que as coordenadas do vetor b → (- 5 , 1 , 1) . O vetor b → é um dos vetores perpendiculares ao dado.

Responda: b → = (- 5 , 1 , 1) .

Encontrar as coordenadas de um vetor perpendicular a dois vetores dados

Você precisa encontrar as coordenadas do vetor no espaço tridimensional. É perpendicular aos vetores não colineares a → (a x , a y , a z) eb → = (b x , b y , b z) . Sob a condição de que os vetores a → e b → sejam colineares, no problema será suficiente encontrar um vetor perpendicular a a → ou b → .

Ao resolver, é usado o conceito de produto vetorial de vetores.

Produto cruzado de vetores a → e b → é um vetor que é simultaneamente perpendicular a a → e b → . Para resolver este problema, o produto vetorial a → × b → é usado. Para o espaço tridimensional tem a forma a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z

Vamos analisar o produto vetorial com mais detalhes usando o exemplo do problema.

Exemplo 7

Os vetores b → = (0 , 2 , 3) ​​e a → = (2 , 1 , 0) são dados. Encontre as coordenadas de qualquer vetor perpendicular aos dados ao mesmo tempo.

Solução

Para resolver, você precisa encontrar o produto vetorial de vetores. (Deve referir-se ao parágrafo cálculos de determinantes de matriz encontrar o vetor). Nós temos:

a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i → 0 2 = 3 i → + (- 6) j → + 4 k →

Responda: (3 , - 6 , 4) - coordenadas de um vetor que é simultaneamente perpendicular a dados a → e b → .

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ohm. Para fazer isso, primeiro introduzimos o conceito de segmento.

Definição 1

Um segmento é uma parte de uma linha reta que é limitada por pontos em ambos os lados.

Definição 2

As extremidades do segmento serão chamadas de pontos que o limitam.

Para introduzir a definição de um vetor, uma das extremidades do segmento será chamada de início.

Definição 3

Chamaremos um vetor (segmento direcionado) de tal segmento, para o qual é indicado qual ponto de fronteira é seu início e qual é seu fim.

Notação: \overline(AB) - vetor AB , começando no ponto A e terminando no ponto B .

Caso contrário, em uma letra minúscula: \overline(a) (Fig. 1).

Definição 4

Vetor zero é qualquer ponto que pertence ao plano.

Designação: \overline(0) .

Agora introduzimos diretamente a definição de vetores colineares.

Também introduzimos a definição do produto escalar, que precisaremos a seguir.

Definição 6

O produto escalar de dois vetores dados é um escalar (ou número) que é igual ao produto dos comprimentos desses dois vetores pelo cosseno do ângulo entre os vetores dados.

Matematicamente, pode ser assim:

\overline(α)\overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))

O produto escalar também pode ser encontrado usando coordenadas vetoriais Da seguinte maneira

\overline(α)\overline(β)=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3

Sinal de perpendicularidade por proporcionalidade

Teorema 1

Para que vetores não nulos sejam perpendiculares entre si, é necessário e suficiente que seu produto escalar desses vetores seja igual a zero.

Prova.

Necessidade: Sejam dados os vetores \overline(α) e \overline(β) , que possuem coordenadas (α_1,α_2,α_3) e (β_1,β_2,β_3) , respectivamente, e são perpendiculares entre si. Então precisamos provar a seguinte igualdade

Como os vetores \overline(α) e \overline(β) são perpendiculares, o ângulo entre eles é 90^0 . Vamos encontrar o produto escalar desses vetores usando a fórmula da Definição 6.

\overline(α)\cdot \overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡90^\circ =|\overline(α)||\overline(β)|\cdot 0=0

Suficiência: Seja a igualdade verdadeira \overline(α)\cdot \overline(β)=0. Vamos provar que os vetores \overline(α) e \overline(β) serão perpendiculares entre si.

Pela definição 6, a igualdade será verdadeira

|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))=0

Cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))=0

∠(\overline(α),\overline(β))=90^\circ

Portanto, os vetores \overline(α) e \overline(β) serão perpendiculares entre si.

O teorema foi provado.

Exemplo 1

Prove que os vetores com coordenadas (1,-5,2) e (2,1,3/2) são perpendiculares.

Prova.

Vamos encontrar o produto escalar para esses vetores através da fórmula dada acima

\overline(α)\cdot \overline(β)=1\cdot 2+(-5)\cdot 1+2\cdot \frac(3)(2)=2\cdot 5+3=0

Assim, pelo Teorema 1, esses vetores são perpendiculares.

Encontrando um vetor perpendicular a dois vetores dados através do produto vetorial

Vamos primeiro introduzir o conceito de produto vetorial.

Definição 7

Um produto vetorial de dois vetores será chamado de vetor que será perpendicular a ambos os vetores dados, e seu comprimento será igual ao produto dos comprimentos desses vetores com o seno do ângulo entre esses vetores, e esse vetor com dois iniciais tem a mesma orientação que o sistema de coordenadas cartesianas.

Designação: \overline(α)x\overline(β)x.

Para encontrar o produto vetorial, usaremos a fórmula

\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix) x

Como o vetor do produto vetorial de dois vetores é perpendicular a ambos os vetores, então será um vetor de reivindicação. Ou seja, para encontrar um vetor perpendicular a dois vetores, basta encontrar o produto vetorial deles.

Exemplo 2

Encontre vetor perpendicular aos vetores com coordenadas \overline(α)=(1,2,3) e \overline(β)=(-1,0,3)

Encontre o produto vetorial desses vetores.

\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\1&2&3\\-1&0&3\end(vmatrix)=(6- 0)\overline(i)-(3+3)\overline(j)+(0+2)\overline(k)=6\overline(i)-6\overline(j)+2\overline(k) =(6,6,2)x

Instrução

Se o vetor original é mostrado no desenho em um sistema de coordenadas retangular bidimensional e um perpendicular precisa ser construído no mesmo local, proceda da definição de perpendicularidade dos vetores em um plano. Ela afirma que o ângulo entre tal par de segmentos direcionados deve ser igual a 90°. É possível construir um número infinito de tais vetores. Portanto, desenhe uma perpendicular ao vetor original em qualquer lugar conveniente do plano, reserve sobre ela um segmento igual ao comprimento de um determinado par ordenado de pontos e atribua uma de suas extremidades como o início do vetor perpendicular. Faça isso com um transferidor e uma régua.

Se o vetor original é dado por coordenadas bidimensionais ā = (X₁;Y₁), proceda do fato de que o produto escalar de um par de vetores perpendiculares deve ser igual a zero. Isso significa que você precisa escolher para o vetor desejado ō = (X₂,Y₂) tais coordenadas nas quais a igualdade (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ = 0 será válida. Isso pode ser feito assim: escolha qualquer valor diferente de zero para a coordenada X₂ e calcule a coordenada Y₂ usando a fórmula Y₂ = -(X₁*X₂)/Y₁. Por exemplo, para o vetor ā = (15;5) haverá um vetor ō, com a abcissa igual a um e a ordenada igual a -(15*1)/5 = -3, ou seja. ō = (1;-3).

Para um sistema de coordenadas tridimensional e qualquer outro sistema de coordenadas ortogonal, a mesma condição necessária e suficiente para a perpendicularidade dos vetores é verdadeira - seu produto escalar deve ser igual a zero. Portanto, se o segmento direcionado original é dado pelas coordenadas ā = (X₁,Y₁,Z₁), para o par ordenado de pontos ō = (X₂,Y₂,Z₂) perpendicular a ele, escolha as coordenadas que satisfaçam a condição (ā ,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂ = 0. A maneira mais fácil é atribuir valores únicos a X₂ e Y₂ e calcular Z₂ a partir da equação simplificada Z₂ = -1*(X₁*1 + Y1*1)/Z1 = -(X1+Y1)/Z1. Por exemplo, para o vetor ā = (3,5,4) isso terá a seguinte forma: (ā,ō) = 3*X₂ + 5*Y₂ + 4*Z₂ = 0. Então pegue a abcissa e a ordenada do vetor perpendicular como unidade, e neste caso será igual a -(3+5)/4 = -2.

Fontes:

• encontrar vetor se for perpendicular

perpendiculares são chamados vetor, cujo ângulo entre os quais é de 90º. Os vetores perpendiculares são construídos usando ferramentas de desenho. Se suas coordenadas são conhecidas, é possível verificar ou encontrar a perpendicularidade dos vetores por métodos analíticos.

Você vai precisar

• - transferidor;
• - bússola;
• - régua.

Instrução

Defina-o para o ponto inicial do vetor. Desenhe um círculo com um raio arbitrário. Em seguida, construa dois centrados nos pontos onde o primeiro círculo cruza a linha em que o vetor se encontra. Os raios desses círculos devem ser iguais entre si e maiores que o primeiro círculo construído. Nos pontos de intersecção dos círculos, construa uma linha reta que será perpendicular ao vetor original no ponto de seu início e reserve sobre ela um vetor perpendicular ao dado.

Encontre um vetor perpendicular àquele cujas coordenadas e são iguais a (x; y). Para fazer isso, encontre um par de números (x1;y1) que satisfaça a igualdade x x1+y y1=0. Neste caso, o vetor de coordenadas (x1;y1) será perpendicular ao vetor de coordenadas (x;y).