Tarefas para a definição clássica de probabilidade.
Exemplos de soluções

Na terceira lição, consideraremos vários problemas relacionados à aplicação direta da definição clássica de probabilidade. Para estudar efetivamente os materiais deste artigo, recomendo que você se familiarize com os conceitos básicos teoria da probabilidade e Noções básicas de combinatória. O problema para a definição clássica de probabilidade com probabilidade tendendo a um estará presente em seu trabalho independente/controle em terver, então estamos nos preparando para um trabalho sério. O que é tão sério, você pergunta? ... apenas uma fórmula primitiva. Alerto contra a frivolidade - as tarefas temáticas são bastante diversas e muitas delas podem facilmente confundir. Nesse sentido, além de trabalhar a lição principal, tente estudar tarefas adicionais sobre o tópico que estão no cofrinho soluções prontas em matemática superior. Os métodos de decisão são métodos de decisão, mas os “amigos” ainda “precisam ser conhecidos de vista”, porque mesmo uma imaginação rica é limitada e também há tarefas típicas suficientes. Bem, vou tentar fazer o número máximo deles em boa qualidade.

Vamos relembrar os clássicos do gênero:

A probabilidade de um evento ocorrer em alguma tentativa é igual à razão , onde:

é o número total de todos igualmente possível, elementar resultados deste teste, que formam grupo completo de eventos;

- quantia elementar resultados favoráveis ​​ao evento.

E imediatamente um pit stop imediato. Você entende os termos sublinhados? Significa compreensão clara, não intuitiva. Se não, então é ainda melhor voltar ao 1º artigo sobre teoria da probabilidade e só então seguir em frente.

Por favor, não pule os primeiros exemplos - neles repetirei um ponto fundamentalmente importante e também informarei como formatar corretamente uma solução e de que maneira isso pode ser feito:

Tarefa 1

Uma urna contém 15 bolas brancas, 5 vermelhas e 10 pretas. 1 bola é retirada ao acaso, encontre a probabilidade de que seja: a) branca, b) vermelha, c) preta.

Solução: o pré-requisito mais importante para usar a definição clássica de probabilidade é a capacidade de calcular o número total de resultados.

Há 15 + 5 + 10 = 30 bolas na urna, e obviamente os seguintes fatos são verdadeiros:

– a extração de qualquer bola é igualmente possível (oportunidade igual resultados), enquanto os resultados elementar e forma grupo completo de eventos (ou seja, como resultado do teste, uma das 30 bolas será definitivamente removida).

Assim, o número total de resultados:

Considere o seguinte evento: – uma bola branca será retirada da urna. Este evento é favorecido elementar resultados, então pela definição clássica:
é a probabilidade de que uma bola branca seja retirada da urna.

Curiosamente, mesmo em um problema tão simples, pode-se cometer uma grave imprecisão, que já enfatizei no primeiro artigo sobre teoria da probabilidade. Onde está a armadilha aqui? É incorreto argumentar aqui que "uma vez que metade das bolas são brancas, então a probabilidade de tirar uma bola branca» . A definição clássica de probabilidade é ELEMENTAR resultados, e a fração deve ser escrita!

Com outros pontos de forma semelhante, considere os seguintes eventos:

- será retirada uma bola vermelha da urna;
- Uma bola preta será retirada da urna.

O evento é favorecido por 5 resultados elementares, e o evento é favorecido por 10 resultados elementares. Assim, as probabilidades correspondentes são:

Uma verificação típica de muitos problemas do servidor é feita usando teoremas sobre a soma de probabilidades de eventos formando um grupo completo. No nosso caso, os eventos formam um grupo completo, o que significa que a soma das probabilidades correspondentes deve necessariamente ser igual a um: .

Vamos verificar se é assim: , que eu queria ter certeza.

Responda:

Em princípio, a resposta pode ser escrita com mais detalhes, mas pessoalmente estou acostumado a colocar apenas números lá - pelo motivo de que quando você começa a "carimbar" tarefas em centenas e milhares, você se esforça para minimizar a entrada da solução. A propósito, sobre brevidade: na prática, uma opção de design de “alta velocidade” é comum. soluções:

Total: 15 + 5 + 10 = 30 bolas na urna. De acordo com a definição clássica:
é a probabilidade de que uma bola branca seja retirada da urna;
é a probabilidade de que uma bola vermelha seja retirada da urna;
é a probabilidade de que uma bola preta seja retirada da urna.

Responda:

No entanto, se houver vários pontos na condição, a solução geralmente é mais conveniente para elaborar na primeira maneira, o que leva um pouco mais de tempo, mas depois “coloca tudo nas prateleiras” e facilita a navegação no tarefa.

Aquecimento:

Tarefa 2

A loja recebeu 30 geladeiras, cinco delas com defeito de fábrica. Uma geladeira é selecionada aleatoriamente. Qual é a probabilidade de que seja livre de defeitos?

Escolha a opção de design que combina com você e verifique o modelo na parte inferior da página.

Nos exemplos mais simples, o número de resultados comuns e o número de resultados favoráveis ​​estão na superfície, mas na maioria dos casos você mesmo precisa desenterrar as batatas. A série canônica de problemas sobre o assinante esquecido:

Tarefa 3

Ao discar um número de telefone, o assinante esqueceu os dois últimos dígitos, mas lembra que um deles é zero e o outro é ímpar. Encontre a probabilidade de ele discar o número correto.

Observação : zero é um número par (divisível por 2 sem resto)

Solução: primeiro encontre o número total de resultados. Por condição, o assinante lembra que um dos dígitos é zero e o outro dígito é ímpar. Aqui é mais racional não ser mais sábio com combinatória e usar enumeração direta de resultados . Ou seja, ao tomar uma decisão, simplesmente anotamos todas as combinações:
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90

E nós os contamos - no total: 10 resultados.

Há apenas um resultado favorável: o número certo.

De acordo com a definição clássica:
é a probabilidade de o assinante discar o número correto

Responda: 0,1

As frações decimais na teoria da probabilidade parecem bastante apropriadas, mas você também pode seguir o estilo tradicional de Vyshmatov, operando apenas com frações comuns.

Tarefa avançada para solução independente:

Tarefa 4

O assinante esqueceu o código PIN do cartão SIM, mas lembra que ele contém três "cinco" e um dos números é "sete" ou "oito". Qual é a probabilidade de autorização bem sucedida na primeira tentativa?

Aqui você ainda pode desenvolver a ideia da probabilidade de o assinante estar esperando uma punição na forma de um puk-code, mas, infelizmente, o raciocínio já vai além do escopo desta lição.

Solução e resposta abaixo.

Às vezes, listar combinações acaba sendo uma tarefa muito meticulosa. Em particular, este é o caso do próximo, não menos popular grupo de problemas, onde 2 dados são lançados (menos frequentemente - mais):

Tarefa 5

Encontre a probabilidade de que, quando dois dados são lançados, o total será:

a) cinco pontos
b) não mais de quatro pontos;
c) de 3 a 9 pontos inclusive.

Solução: encontre o número total de resultados:

Maneiras podem derrubar a face do 1º dado e a face do 2º dado pode cair de várias maneiras; sobre regra de multiplicação de combinação, Total: combinações possíveis. Em outras palavras, cada a face do 1º cubo pode ser ordenadamente casal com cada face do 2º cubo. Concordamos em escrever tal par na forma , onde é o número que caiu no 1º dado, é o número que caiu no 2º dado. Por exemplo:

- 3 pontos no primeiro dado, 5 pontos no segundo, total de pontos: 3 + 5 = 8;
- 6 pontos no primeiro dado, 1 ponto no segundo, total de pontos: 6 + 1 = 7;
- ambos os dados rolaram 2 pontos, soma: 2 + 2 = 4.

Obviamente, o menor valor é dado por um par, e o maior por dois "seis".

a) Considere o evento: - ao lançar dois dados, cairão 5 pontos. Vamos anotar e contar o número de resultados que favorecem este evento:

Total: 4 resultados favoráveis. De acordo com a definição clássica:
é a probabilidade desejada.

b) Considere o evento: - não cairá mais de 4 pontos. Ou seja, 2, ou 3, ou 4 pontos. Novamente, listamos e contamos as combinações favoráveis, à esquerda anotarei o número total de pontos e depois dos dois pontos - pares adequados:

Total: 6 combinações favoráveis. Nesse caminho:
- a probabilidade de que não mais de 4 pontos caiam.

c) Vamos considerar o evento: - de 3 a 9 pontos cairão inclusive. Aqui você pode seguir uma estrada reta, mas ... algo não parece. Sim, alguns pares já estão listados nos parágrafos anteriores, mas ainda há muito trabalho a ser feito.

Qual é a melhor maneira de fazê-lo? Nesses casos, um desvio acaba sendo racional. Considerar evento oposto: - 2 ou 10 ou 11 ou 12 pontos cairão.

Qual é o ponto? O evento oposto é favorecido por um número muito menor de pares:

Total: 7 resultados favoráveis.

De acordo com a definição clássica:
- a probabilidade de que menos de três ou mais de 9 pontos caiam.

Além da enumeração direta e cálculo dos resultados, vários fórmulas combinatórias. E novamente a tarefa épica sobre o elevador:

Tarefa 7

3 pessoas entraram no elevador de um prédio de 20 andares no primeiro andar. E vamos lá. Encontre a probabilidade de que:

a) eles vão sair em andares diferentes
b) duas sairão no mesmo andar;
c) todos sairão no mesmo andar.

Nossa fascinante lição chegou ao fim e, finalmente, mais uma vez, recomendo fortemente, se não resolver, pelo menos entender tarefas adicionais sobre a definição clássica de probabilidade. Como observei, "encher a mão" também é importante!

Mais adiante no curso - Definição geométrica de probabilidade e Teoremas de adição e multiplicação de probabilidades e ... sorte no geral!

Soluções e respostas:

Tarefa 2: Solução: 30 - 5 = 25 geladeiras sem defeito.

é a probabilidade de que um refrigerador selecionado aleatoriamente não tenha um defeito.
Responda :

Tarefa 4: Solução: encontre o número total de resultados:
maneiras de escolher o local onde a figura duvidosa está localizada e em cada desses 4 lugares, 2 dígitos podem ser localizados (sete ou oito). De acordo com a regra de multiplicação de combinações, o número total de resultados: .
Alternativamente, na solução, você pode simplesmente listar todos os resultados (felizmente não há muitos deles):
7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558
Existe apenas um resultado favorável (código PIN correto).
Assim, pela definição clássica:
- a probabilidade de o assinante ser autorizado na 1ª tentativa
Responda :

Tarefa 6: Solução: encontre o número total de resultados:
maneiras podem cair números em 2 dados.

a) Considere o evento: - ao lançar dois dados, o produto dos pontos será igual a sete. Para este evento, não há resultados favoráveis, de acordo com a definição clássica de probabilidade:
, ou seja este evento é impossível.

b) Consideremos o evento: - ao lançar dois dados, o produto dos pontos será de pelo menos 20. Este evento é favorecido pelos seguintes resultados:

Total: 8
De acordo com a definição clássica:
é a probabilidade desejada.

c) Considere eventos opostos:
– o produto dos pontos será par;
– o produto dos pontos será ímpar.
Listamos todos os resultados que favorecem o evento:

Total: 9 resultados favoráveis.
De acordo com a definição clássica de probabilidade:
Eventos opostos formam um grupo completo, então:
é a probabilidade desejada.

Responda :

Tarefa 8: Solução: calcule o número total de resultados: maneiras pode cair 10 moedas.
Outra maneira: a 1ª moeda pode cair de várias maneiras e 2ª moeda pode cair de maneiras e … e maneiras que a 10ª moeda pode cair. De acordo com a regra de multiplicar combinações, 10 moedas podem cair caminhos.
a) Considere o evento: - todas as moedas cairão caras. Este evento é favorecido por um único resultado, segundo a definição clássica de probabilidade: .
b) Considere o evento: - 9 moedas sairão cara e uma sairá coroa.
Existem moedas que podem dar coroa. De acordo com a definição clássica de probabilidade: .
c) Consideremos o seguinte evento: - cairá cara na metade das moedas.
Existe combinações únicas de cinco moedas que podem dar cara. De acordo com a definição clássica de probabilidade:
Responda :

Probabilidade evento é a razão entre o número de resultados elementares que favorecem um determinado evento e o número de todos os resultados igualmente possíveis da experiência em que esse evento pode ocorrer. A probabilidade de um evento A é denotada por P(A) (aqui P é a primeira letra da palavra francesa probabilite - probabilidade). De acordo com a definição
(1.2.1)
onde é o número de resultados elementares que favorecem o evento A; - o número de todos os resultados elementares igualmente possíveis da experiência, formando um grupo completo de eventos.
Essa definição de probabilidade é chamada de clássica. Ela surgiu no estágio inicial do desenvolvimento da teoria das probabilidades.

A probabilidade de um evento tem as seguintes propriedades:
1. A probabilidade de um determinado evento é igual a um. Vamos designar um determinado evento pela letra . Para um determinado evento, portanto,
(1.2.2)
2. A probabilidade de um evento impossível é zero. Denotamos o evento impossível pela letra. Para um evento impossível, portanto
(1.2.3)
3. A probabilidade de um evento aleatório é expressa como um número positivo menor que um. Como as desigualdades , ou são satisfeitas para um evento aleatório, então
(1.2.4)
4. A probabilidade de qualquer evento satisfaz as desigualdades
(1.2.5)
Isso decorre das relações (1.2.2) -(1.2.4).

Exemplo 1 Uma urna contém 10 bolas de mesmo tamanho e peso, das quais 4 são vermelhas e 6 são azuis. Uma bola é retirada da urna. Qual é a probabilidade de que a bola retirada seja azul?

Solução. O evento "a bola extraída ficou azul" será denotado pela letra A. Este teste tem 10 resultados elementares igualmente possíveis, dos quais 6 favorecem o evento A. De acordo com a fórmula (1.2.1), obtemos

Exemplo 2 Todos os números naturais de 1 a 30 são escritos em cartões idênticos e colocados em uma urna. Depois de misturar bem as cartas, uma carta é removida da urna. Qual é a probabilidade de que o número da carta retirada seja um múltiplo de 5?

Solução. Denote por A o evento "o número na carta retirada é um múltiplo de 5". Neste teste, existem 30 resultados elementares igualmente possíveis, dos quais 6 resultados favorecem o evento A (números 5, 10, 15, 20, 25, 30). Consequentemente,

Exemplo 3 Dois dados são lançados, a soma dos pontos nas faces superiores é calculada. Encontre a probabilidade do evento B, consistindo no fato de que as faces superiores dos cubos terão um total de 9 pontos.

Solução. Existem 6 2 = 36 resultados elementares igualmente possíveis neste teste. O evento B é favorecido por 4 resultados: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), então

Exemplo 4. Escolhe-se aleatoriamente um número natural que não exceda 10. Qual é a probabilidade de que este número seja primo?

Solução. Denote pela letra C o evento "o número escolhido é primo". Neste caso, n = 10, m = 4 (primos 2, 3, 5, 7). Portanto, a probabilidade desejada

Exemplo 5 Duas moedas simétricas são lançadas. Qual é a probabilidade de que ambas as moedas tenham dígitos nas faces superiores?

Solução. Vamos denotar pela letra D o evento "havia um número na parte superior de cada moeda". Existem 4 resultados elementares igualmente possíveis neste teste: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (A notação (G, C) significa que na primeira moeda há um brasão, na segunda - um número). O evento D é favorecido por um resultado elementar (C, C). Como m = 1, n = 4, então

Exemplo 6 Qual é a probabilidade de que os dígitos em um número de dois dígitos escolhido aleatoriamente sejam os mesmos?

Solução. Números de dois dígitos são números de 10 a 99; há 90 desses números no total. 9 números têm os mesmos dígitos (estes são os números 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Como neste caso m = 9, n = 90, então
,
onde A é o evento "número com os mesmos dígitos".

Exemplo 7 Das letras da palavra diferencial uma letra é escolhida ao acaso. Qual é a probabilidade de que esta letra seja: a) uma vogal b) uma consoante c) uma letra h?

Solução. Existem 12 letras na palavra diferencial, das quais 5 são vogais e 7 são consoantes. Cartas h esta palavra não. Vamos denotar os eventos: A - "vogal", B - "consoante", C - "letra h". O número de resultados elementares favoráveis: - para o evento A, - para o evento B, - para o evento C. Desde n \u003d 12, então
, e .

Exemplo 8 Dois dados são lançados, o número de pontos na face superior de cada dado é anotado. Encontre a probabilidade de que ambos os dados tenham o mesmo número de pontos.

Solução. Vamos denotar este evento pela letra A. O evento A é favorecido por 6 resultados elementares: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), ( 6;6). No total existem resultados elementares igualmente possíveis que formam um grupo completo de eventos, neste caso n=6 2 =36. Então a probabilidade desejada

Exemplo 9 O livro tem 300 páginas. Qual é a probabilidade de que uma página aberta aleatoriamente tenha um número de sequência múltiplo de 5?

Solução. Segue-se das condições do problema que haverá n = 300 de todos os resultados elementares igualmente possíveis que formam um grupo completo de eventos, dos quais m = 60 favorecem a ocorrência do evento especificado. De fato, um número que é múltiplo de 5 tem a forma 5k, onde k é um número natural, e , de onde . Consequentemente,
, onde A - o evento "page" tem um número de sequência que é múltiplo de 5".

Exemplo 10. Dois dados são lançados, a soma dos pontos nas faces superiores é calculada. O que é mais provável de obter um total de 7 ou 8?

Solução. Vamos denotar os eventos: A - "caíram 7 pontos", B - "caíram 8 pontos". O evento A é favorecido por 6 resultados elementares: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), e o evento B - por 5 resultados: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Existem n = 6 2 = 36 de todos os resultados elementares igualmente possíveis. e .

Então, P(A)>P(B), ou seja, obter um total de 7 pontos é um evento mais provável do que obter um total de 8 pontos.

Tarefas

1. Escolhe-se aleatoriamente um número natural que não exceda 30. Qual é a probabilidade de que esse número seja múltiplo de 3?
2. Na urna uma vermelho e b bolas azuis do mesmo tamanho e peso. Qual é a probabilidade de que uma bola retirada aleatoriamente dessa urna seja azul?
3. É escolhido ao acaso um número que não exceda 30. Qual é a probabilidade de que esse número seja um divisor de zo?
4. Na urna uma azul e b bolas vermelhas do mesmo tamanho e peso. Uma bola é retirada desta urna e colocada de lado. Esta bola é vermelha. Em seguida, outra bola é retirada da urna. Encontre a probabilidade de que a segunda bola também seja vermelha.
5. Escolhe-se aleatoriamente um número natural que não exceda 50. Qual é a probabilidade de que este número seja primo?
6. Três dados são lançados, a soma dos pontos nas faces superiores é calculada. O que é mais provável - obter um total de 9 ou 10 pontos?
7. Três dados são lançados, a soma dos pontos perdidos é calculada. O que é mais provável de obter um total de 11 (evento A) ou 12 pontos (evento B)?

Respostas

1. 1/3. 2 . b/(uma+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(uma+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 \u003d 25/216 - a probabilidade de obter 9 pontos no total; p 2 \u003d 27/216 - a probabilidade de obter 10 pontos no total; p2 > p1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Perguntas

1. O que é chamado de probabilidade de um evento?
2. Qual é a probabilidade de um determinado evento?
3. Qual é a probabilidade de um evento impossível?
4. Quais são os limites da probabilidade de um evento aleatório?
5. Quais são os limites da probabilidade de qualquer evento?
6. Qual definição de probabilidade é chamada de clássica?

Fundamentos da Teoria da Probabilidade

Plano:

1. Eventos aleatórios

2. Definição clássica de probabilidade

3. Cálculo de probabilidades de eventos e combinatória

4. Probabilidade geométrica

Informações teóricas

Eventos aleatórios.

fenômeno aleatório- um fenômeno, cujo resultado é inequivocamente determinado. Este conceito pode ser interpretado em um sentido bastante amplo. A saber: tudo na natureza é bastante acidental, o aparecimento e o nascimento de qualquer indivíduo é um fenômeno aleatório, a escolha de mercadorias em uma loja também é um fenômeno aleatório, a obtenção de uma nota em um exame é um fenômeno aleatório, a doença e a recuperação são aleatórias fenômenos, etc

Exemplos de fenômenos aleatórios:

~ O tiro é realizado a partir de uma arma colocada em um determinado ângulo em relação ao horizonte. Acertá-lo no alvo é acidental, mas acertar um projétil em um certo "garfo" é um padrão. Você pode especificar a distância mais próxima e além da qual o projétil não voará. Obter alguma "dispersão de garfo de conchas"

~ O mesmo corpo é pesado várias vezes. Estritamente falando, resultados diferentes serão obtidos a cada vez, embora diferindo por uma quantidade insignificantemente pequena, mas diferente.

~ Uma aeronave voando na mesma rota tem um certo corredor de voo dentro do qual a aeronave pode manobrar, mas nunca terá exatamente a mesma rota

~ Um atleta nunca poderá correr a mesma distância com o mesmo tempo. Seus resultados também estarão dentro de uma certa faixa numérica.

Experiência, experimento, observação são testes

Tentativas- observação ou cumprimento de um determinado conjunto de condições que são realizadas repetidamente, e regularmente repetidas nesta e na mesma sequência, duração, observando-se outros parâmetros idênticos.

Vamos considerar o desempenho do esportista de um tiro no alvo. Para que seja produzido, é necessário cumprir condições como preparação do atleta, carregamento da arma, pontaria, etc. "Hit" e "miss" são eventos resultantes de um tiro.

Evento– resultado do teste qualitativo.

Um evento pode ou não ocorrer Os eventos são indicados por letras latinas maiúsculas. Por exemplo: D ="O atirador acertou o alvo". S="Bola branca sorteada". K="Bilhete de loteria aleatório sem ganhar.".

O lançamento de uma moeda é um teste. A queda de seu "brasão" é um evento, a queda de seu "número" é o segundo evento.

Qualquer teste envolve a ocorrência de vários eventos. Alguns deles podem ser necessários em determinado momento pelo pesquisador, enquanto outros podem não ser necessários.

O evento é chamado de aleatório, se sob a implementação de um determinado conjunto de condições S pode acontecer ou não acontecer. A seguir, em vez de dizer "o conjunto de condições S está cumprido", diremos brevemente: "o teste foi realizado". Assim, o evento será considerado como resultado do teste.

~ O atirador atira em um alvo dividido em quatro áreas. O tiro é um teste. Atingir uma determinada área do alvo é um evento.

~ Há bolas coloridas na urna. Uma bola é retirada ao acaso da urna. Retirar uma bola de uma urna é um teste. O aparecimento de uma bola de uma determinada cor é um evento.

Tipos de eventos aleatórios

1. Os eventos são chamados de incompatíveis, se a ocorrência de um deles excluir a ocorrência de outros eventos no mesmo ensaio.

~ Uma peça foi retirada aleatoriamente de uma caixa com peças. A aparência de uma peça padrão exclui a aparência de uma peça não padrão. Eventos € uma peça padrão apareceu" e com uma peça não padrão apareceu" - incompatível.

~ Uma moeda é lançada. A aparência do "brasão" exclui a aparência da inscrição. Os eventos "apareceu um brasão" e "apareceu uma inscrição" são incompatíveis.

Vários eventos se formam grupo completo, se pelo menos um deles aparecer como resultado do teste. Em outras palavras, a ocorrência de pelo menos um dos eventos do grupo completo é um determinado evento.

Em particular, se os eventos que formam um grupo completo forem incompatíveis aos pares, um e apenas um desses eventos aparecerá como resultado do teste.Este caso particular é de maior interesse para nós, pois é usado a seguir.

~ Foram adquiridos dois bilhetes da loteria de dinheiro e roupas. Um e apenas um dos seguintes eventos deve ocorrer:

1. "os ganhos caíram no primeiro bilhete e não caíram no segundo",

2. "os ganhos não caíram no primeiro bilhete e caíram no segundo",

3. "os ganhos caíram em ambos os bilhetes",

4. "ambos os bilhetes não ganharam."

Esses eventos formam um grupo completo de eventos incompatíveis em pares,

~ O atirador disparou um tiro no alvo. Um dos dois eventos a seguir certamente ocorrerá: acertar, errar. Esses dois eventos disjuntos também formam um grupo completo.

2. Os eventos são chamados igualmente possível se houver razão para acreditar que nenhum é mais possível do que o outro.

~ O aparecimento de um "brasão" e o aparecimento de uma inscrição quando uma moeda é lançada são eventos igualmente possíveis. De fato, supõe-se que a moeda seja feita de um material homogêneo, tenha uma forma cilíndrica regular e a presença de uma moeda não afeta a perda de um ou outro lado da moeda.

~ O aparecimento de um ou outro número de pontos em um dado lançado é um evento igualmente provável. De fato, supõe-se que a matriz seja feita de um material homogêneo, tenha a forma de um poliedro regular e a presença de pontos não afeta a perda de nenhuma face.

3. O evento é chamado autêntico, se isso não pode acontecer

4. O evento é chamado não confiável se não pode acontecer.

5. O evento é chamado oposto a algum evento se consistir na não ocorrência do evento dado. Eventos opostos não são compatíveis, mas um deles deve necessariamente ocorrer. Eventos opostos são comumente referidos como negações, ou seja, um traço é escrito acima da letra. Os eventos são opostos: A e Â; U e ®, etc. .

A definição clássica de probabilidade

A probabilidade é um dos conceitos básicos da teoria da probabilidade.

Existem várias definições deste conceito. Vamos dar uma definição que é chamada de clássica. A seguir, apontamos as fragilidades dessa definição e apresentamos outras definições que permitem superar as deficiências da definição clássica.

Considere a situação: Uma caixa contém 6 bolas idênticas, sendo 2 vermelhas, 3 azuis e 1 branca. Obviamente, a possibilidade de tirar uma bola colorida (ou seja, vermelha ou azul) aleatoriamente de uma urna é maior do que a possibilidade de tirar uma bola branca. Essa possibilidade pode ser caracterizada por um número, que é chamado de probabilidade de um evento (o aparecimento de uma bola colorida).

Probabilidade- um número que caracteriza o grau de possibilidade de ocorrência do evento.

Na situação em análise, denotamos:

Evento A = "Puxar uma bola colorida".

Cada um dos resultados possíveis do teste (o teste consiste em extrair uma bola da urna) é chamado resultado e evento elementares (possíveis). Os resultados elementares podem ser denotados por letras com índices abaixo, por exemplo: k 1 , k 2 .

Em nosso exemplo, existem 6 bolas, então existem 6 resultados possíveis: uma bola branca apareceu; uma bola vermelha apareceu; apareceu uma bola azul, e assim por diante. É fácil ver que esses resultados formam um grupo completo de eventos incompatíveis entre pares (apenas uma bola necessariamente aparecerá) e são igualmente prováveis ​​(a bola é retirada ao acaso, as bolas são as mesmas e completamente misturadas).

Resultados elementares, nos quais ocorre o evento de nosso interesse, chamaremos resultados favoráveis este evento. No nosso exemplo, o evento é favorecido MAS(o aparecimento de uma bola colorida) os 5 resultados seguintes:

Assim o evento MAS observado se um ocorre no teste, não importa qual, dos resultados elementares que favorecem MAS. Esta é a aparência de qualquer bola colorida, da qual há 5 peças na caixa

No exemplo considerado de resultados elementares 6; dos quais 5 favorecem o evento MAS. Consequentemente, P(A)= 5/6. Este número dá aquela quantificação do grau de possibilidade do aparecimento de uma bola colorida.

Definição de probabilidade:

Probabilidade do evento Aé a razão entre o número de resultados favoráveis ​​a esse evento e o número total de todos os resultados elementares incompatíveis igualmente possíveis que formam um grupo completo.

P(A)=m/n ou P(A)=m: n, onde:

m é o número de resultados elementares que favorecem MAS;

P- o número de todos os resultados elementares possíveis do teste.

Supõe-se aqui que os resultados elementares são incompatíveis, igualmente prováveis ​​e formam um grupo completo.

As seguintes propriedades seguem da definição de probabilidade:

1. A probabilidade de um determinado evento é igual a um.

De fato, se o evento é certo, então cada resultado elementar do teste favorece o evento. Nesse caso m = n portanto p=1

2. A probabilidade de um evento impossível é zero.

De fato, se o evento é impossível, então nenhum dos resultados elementares da tentativa favorece o evento. Neste caso m=0, portanto p=0.

3.A probabilidade de um evento aleatório é um número positivo entre zero e um. 0t< n.

Nos tópicos subsequentes serão dados teoremas que nos permitem encontrar as probabilidades de outros eventos a partir das probabilidades conhecidas de alguns eventos.

Medição. Há 6 meninas e 4 meninos no grupo de alunos. Qual é a probabilidade de que um aluno selecionado aleatoriamente seja uma menina? será um jovem?

p dev = 6/10 = 0,6 p jun = 4/10 = 0,4

O conceito de "probabilidade" em cursos modernos rigorosos de teoria da probabilidade é construído em uma base teórica de conjuntos. Vamos dar uma olhada em algumas dessas abordagens.

Suponha que, como resultado do teste, ocorra um e apenas um dos seguintes eventos: eu(i=1, 2, .... n). Desenvolvimentos eu, é chamado eventos elementares (resultados elementares). O segue-se que os eventos elementares são incompatíveis aos pares. O conjunto de todos os eventos elementares que podem aparecer em uma tentativa é chamado espaço de eventos elementarΩ (letra grega ômega maiúscula), e os próprios eventos elementares - pontos neste espaço..

Evento MASé identificado com um subconjunto (do espaço Ω) cujos elementos são resultados elementares que favorecem MAS; evento NOé um subconjunto Ω cujos elementos são resultados que favorecem NO, etc. Assim, o conjunto de todos os eventos que podem ocorrer no teste é o conjunto de todos os subconjuntos de Ω. O próprio Ω ocorre com qualquer resultado do teste, portanto Ω é um determinado evento; um subconjunto vazio do espaço Ω é um evento -impossível (não ocorre para nenhum resultado do teste).

Eventos elementares são distinguidos de todos os eventos por tópicos, "cada um deles contém apenas um elemento Ω

Para cada resultado elementar eu corresponder a um número positivo p eué a probabilidade deste resultado, e a soma de todos p eu igual a 1 ou com o sinal da soma, este fato será escrito como uma expressão:

Por definição, a probabilidade P(A) desenvolvimentos MASé igual à soma das probabilidades de resultados elementares que favorecem MAS. Portanto, a probabilidade de um determinado evento é igual a um, impossível - a zero, arbitrária - está entre zero e um.

Consideremos um caso especial importante em que todos os resultados são igualmente prováveis: o número de resultados é igual a n, a soma das probabilidades de todos os resultados é igual a um; portanto, a probabilidade de cada resultado é 1/n. Deixe o evento MAS favorece m resultados.

Probabilidade do evento MASé igual à soma das probabilidades de resultados que favorecem MAS:

P(A)=1/n + 1/n+…+1/n = n 1/n=1

A definição clássica de probabilidade é obtida.

Ainda há axiomático abordagem do conceito de "probabilidade". No sistema de axiomas proposto. Kolmogorov A.N., conceitos indefinidos são evento elementar e probabilidade. A construção de uma teoria de probabilidade logicamente completa é baseada na definição axiomática de um evento aleatório e sua probabilidade.

Aqui estão os axiomas que definem a probabilidade:

1. Cada evento MAS atribuído um número real não negativo P(A). Esse número é chamado de probabilidade do evento. MAS.

2. A probabilidade de um determinado evento é igual a um:

3. A probabilidade de ocorrência de pelo menos um dos eventos incompatíveis aos pares é igual à soma das probabilidades desses eventos.

Com base nesses axiomas, as propriedades das probabilidades para a relação entre eles são derivadas como teoremas.

INSTITUIÇÃO EDUCACIONAL MUNICIPAL

GINÁSIO Nº 6

sobre o tema "Definição clássica de probabilidade".

Preenchido por um aluno da 8ª turma "B"

Klimantova Alexandra.

Professora de matemática: Videnkina V. A.

Voronej, 2008

Muitos jogos usam um dado. O dado tem 6 faces, em cada face é marcado um número diferente de pontos - de 1 a 6. O jogador lança o dado e verifica quantos pontos há na face caída (na face que está localizada em cima). Muitas vezes, os pontos na borda do dado são substituídos pelo número correspondente, e então eles falam sobre um lançamento de 1, 2 ou 6. O lançamento de um dado pode ser considerado uma experiência, um experimento, um teste e o resultado obtido é o resultado de um teste ou um evento elementar. As pessoas estão interessadas em adivinhar o início de um evento, prevendo seu resultado. Que previsões eles podem fazer quando um dado é lançado? Por exemplo, estes:

1. evento A - o número 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 cai;
2. evento B - o número 7, 8 ou 9 cai;
3. evento C - o número 1 cai.

O evento A, previsto no primeiro caso, virá definitivamente. Em geral, um evento que certamente ocorrerá em uma determinada experiência é chamado de determinado evento.

O evento B, previsto no segundo caso, nunca ocorrerá, é simplesmente impossível. Em geral, um evento que não pode ocorrer em um determinado experimento é chamado de evento impossível.

O evento C, previsto no terceiro caso, acontecerá ou não? Não somos capazes de responder a esta pergunta com total certeza, pois 1 pode ou não cair. Um evento que em uma determinada experiência pode ou não ocorrer é chamado de evento aleatorio.

Pensando no início de um determinado evento, provavelmente não usaremos a palavra “provavelmente”. Por exemplo, se hoje é quarta-feira, amanhã é quinta-feira, este é um determinado evento. Na quarta-feira não diremos: "Provavelmente amanhã é quinta-feira", diremos breve e claramente: "Amanhã é quinta-feira". É verdade que, se somos propensos a frases bonitas, podemos dizer o seguinte: "Com cem por cento de probabilidade, digo que amanhã é quinta-feira". Pelo contrário, se hoje é quarta-feira, amanhã é sexta-feira – um evento impossível. Avaliando este evento na quarta-feira, podemos dizer o seguinte: "Tenho certeza de que amanhã não é sexta-feira". Ou assim: "É inacreditável que amanhã seja sexta-feira." Bem, se somos propensos a frases bonitas, podemos dizer o seguinte: “A probabilidade de amanhã ser sexta-feira é zero”. Assim, um determinado evento é um evento que ocorre sob determinadas condições. com 100% de certeza(ou seja, chegando em 10 casos em 10, em 100 casos em 100, etc.). Um evento impossível é um evento que nunca ocorre sob determinadas condições, um evento com probabilidade zero.

Mas, infelizmente (e talvez felizmente), nem tudo na vida é tão claro e claro: sempre será (evento certo), nunca acontecerá (evento impossível). Na maioria das vezes, nos deparamos com eventos aleatórios, alguns dos quais são mais prováveis, outros menos prováveis. Normalmente as pessoas usam as palavras "mais provável" ou "menos provável", como se costuma dizer, por capricho, contando com o que se chama de bom senso. Mas muitas vezes essas estimativas acabam sendo insuficientes, pois é importante saber quantos por cento provavelmente um evento aleatório ou quantas vezes um evento aleatório é mais provável do que outro. Em outras palavras, precisamos exatamente quantitativo características, você precisa ser capaz de caracterizar a probabilidade por um número.

Já demos os primeiros passos nesse sentido. Dissemos que a probabilidade de um determinado evento ocorrer é caracterizada como cem por cento, e a probabilidade de um evento impossível ocorrer como zero. Dado que 100% é igual a 1, as pessoas concordaram com o seguinte:

1. a probabilidade de um determinado evento é considerada igual a 1;
2. a probabilidade de um evento impossível é considerada igual a 0.

Como calcular a probabilidade de um evento aleatório? Afinal, aconteceu por acaso, o que significa que não obedece a leis, algoritmos, fórmulas. Acontece que certas leis operam no mundo da aleatoriedade, permitindo calcular probabilidades. Este é o ramo da matemática que é chamado de teoria da probabilidade.

A matemática lida com modelo algum fenômeno da realidade ao nosso redor. De todos os modelos usados ​​na teoria das probabilidades, vamos nos limitar ao mais simples.

Esquema probabilístico clássico

Para encontrar a probabilidade de um evento A durante algum experimento, deve-se:

1) encontre o número N de todos os resultados possíveis deste experimento;

2) aceitar a suposição de que todos esses resultados são igualmente prováveis ​​(igualmente possíveis);

3) encontre o número N(A) desses resultados da experiência em que o evento A ocorre;

4) encontrar um privado ; será igual à probabilidade do evento A.

É costume designar a probabilidade de um evento A como P(A). A explicação para esta designação é muito simples: a palavra "probabilidade" em francês é probabilidade, em inglês- probabilidade.A designação usa a primeira letra da palavra.

Usando esta notação, a probabilidade de um evento A de acordo com o esquema clássico pode ser encontrada usando a fórmula

P(A)=.

Muitas vezes, todos os pontos do esquema probabilístico clássico são expressos em uma frase bastante longa.

A definição clássica de probabilidade

A probabilidade de um evento A durante um certo teste é a razão entre o número de resultados, como resultado do qual o evento A ocorre, para o número total de todos os resultados igualmente possíveis deste teste.

Exemplo 1. Encontre a probabilidade de que em um lançamento de um dado: a) 4; b) 5; c) um número par de pontos; d) o número de pontos superior a 4; e) número de pontos não múltiplo de três.

Solução. No total, há N=6 resultados possíveis: soltar uma face de um cubo com número de pontos igual a 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Acreditamos que nenhum deles tenha vantagem sobre os outros, ou seja, aceitamos a suposição da probabilidade desses resultados.

a) Exatamente em um dos resultados, ocorrerá o evento de interesse para nós A - a perda do número 4. Portanto, N (A) \u003d 1 e

P(UMA)= =.

b) A solução e a resposta são as mesmas do parágrafo anterior.

c) O evento B de nosso interesse ocorrerá exatamente em três casos quando o número de pontos for 2, 4 ou 6. Assim,

N(B)=3 eP(B)==.

d) O evento C de nosso interesse ocorrerá exatamente em dois casos quando o número de pontos for 5 ou 6. Assim,

N(C) =2 e P(C)=.

e) Dos seis números possíveis sorteados, quatro (1, 2, 4 e 5) não são múltiplos de três, e os dois restantes (3 e 6) são divisíveis por três. Isso significa que o evento que nos interessa ocorre exatamente em quatro dos seis resultados possíveis e igualmente prováveis ​​entre si e igualmente prováveis ​​entre si da experiência. Portanto, a resposta é.

Resposta: a); b); dentro) ; G); e).

Um dado de jogo real pode diferir de um dado (modelo) ideal, portanto, para descrever seu comportamento, é necessário um modelo mais preciso e detalhado, levando em consideração as vantagens de uma face sobre a outra, a possível presença de ímãs, etc. Mas “o diabo está nos detalhes”, e mais precisão tende a levar a mais complexidade, e obter uma resposta torna-se um problema. Limitamo-nos a considerar o modelo probabilístico mais simples, onde todos os resultados possíveis são igualmente prováveis.

Observação 1. Vamos considerar outro exemplo. A pergunta foi feita: "Qual é a probabilidade de obter um três em um lançamento do dado?" O aluno respondeu assim: "A probabilidade é 0,5". E ele explicou sua resposta: “Os três vão cair ou não. Isso significa que há dois resultados no total, e em exatamente um evento ocorre o evento de nosso interesse. De acordo com o esquema probabilístico clássico, obtemos a resposta 0,5. Há algum erro neste raciocínio? À primeira vista, não. No entanto, ainda está lá, e em um momento fundamental. Sim, de fato, o triplo cairá ou não, ou seja, com tal definição do resultado do arremesso, N = 2. Também é verdade que N(A)=1 e, claro, é verdade que =0, 5, ou seja, três pontos do esquema probabilístico são levados em conta, mas o cumprimento do ponto 2) é duvidoso. Claro, de um ponto de vista puramente legal, temos o direito de acreditar que a perda de um triplo tem a mesma probabilidade de falhar. Mas podemos pensar assim sem violar nossas próprias suposições naturais sobre a "mesmice" dos rostos? Claro que não! Aqui estamos lidando com o raciocínio correto dentro de algum modelo. Apenas este modelo em si está “errado”, não correspondendo ao fenômeno real.

Observação 2. Ao falar sobre probabilidade, não perca de vista a seguinte circunstância importante. Se dissermos que ao lançar um dado, a probabilidade de obter um ponto é igual a , isso não significa que ao jogar o dado 6 vezes, você obterá um ponto exatamente uma vez, ao jogar o dado 12 vezes, você ganhe um ponto exatamente duas vezes, jogando o dado 18 vezes, você ganha um ponto exatamente três vezes, e assim por diante.A palavra é provavelmente especulativa. Assumimos que é provável que isso aconteça. Provavelmente, se jogarmos o dado 600 vezes, um ponto aparecerá 100 vezes, ou cerca de 100.

A teoria da probabilidade surgiu no século 17 ao analisar vários jogos de azar. Não surpreende, portanto, que os primeiros exemplos sejam de natureza lúdica. Dos exemplos de dados, vamos passar para o sorteio aleatório de cartas do baralho.

Exemplo 2. De um baralho de 36 cartas, 3 cartas são retiradas aleatoriamente ao mesmo tempo. Qual é a probabilidade de que não haja Dama de Espadas entre eles?

Solução. Temos um conjunto de 36 elementos. Selecionamos três elementos, cuja ordem não é importante. Assim, é possível obter resultados N=C. Agiremos de acordo com o esquema probabilístico clássico, ou seja, assumiremos que todos esses resultados são igualmente prováveis.

Resta calcular a probabilidade necessária de acordo com a definição clássica:

E qual é a probabilidade de que entre as três cartas escolhidas haja uma Dama de Espadas? O número de todos esses resultados não é difícil de calcular, basta subtrair de todos os resultados N todos os resultados em que não há rainha de espadas, ou seja, subtrair o número N(A) encontrado no Exemplo 3. Então essa diferença N - N (A) de acordo com o esquema probabilístico clássico deve ser dividida por N. Isto é o que obtemos:

Vemos que existe uma certa relação entre as probabilidades dos dois eventos. Se o evento A consiste na ausência da Dama de Espadas, e o evento B consiste na presença dela entre as três cartas escolhidas, então

P (B) \u003d 1 - P (A),

P(A)+P(B)=1.

Infelizmente, na igualdade P(A)+P(B)=1 não há informação sobre a relação entre os eventos A e B; temos que manter essa conexão em mente. Seria mais conveniente dar um nome e uma designação ao evento B com antecedência, indicando claramente sua conexão com A.

Definição 1. Evento B chamado oposto ao evento A e denotam B = Â se o evento B ocorrer se e somente se o evento A não ocorrer.

TTeorema 1. Para encontrar a probabilidade do evento oposto, subtraia a probabilidade do próprio evento da unidade: Р(Ā)= 1—Р(А). De fato,

Na prática, eles calculam o que é mais fácil de encontrar: P(A) ou P(Â). Depois disso, eles usam a fórmula do teorema e encontram, respectivamente, P(Ā)= 1-P(A), ou P(A)= 1-P(Ā).

Frequentemente usado é o método de resolução de um problema específico por "enumeração de casos", quando as condições do problema são divididas em casos mutuamente exclusivos, cada um dos quais é considerado separadamente. Por exemplo, “se você for para a direita, perderá seu cavalo, se for direto, resolverá um problema de acordo com a teoria das probabilidades, se for para a esquerda…”. Ou ao traçar a função y=│x+1│—│2x—5│, considere os casos de x

Exemplo 3. Dos 50 pontos, 17 são sombreados em azul e 13 em laranja. Encontre a probabilidade de que um ponto selecionado aleatoriamente seja sombreado.

Solução. No total, 30 pontos de 50 estão sombreados, portanto, a probabilidade é = 0,6.

Resposta: 0,6.

Vamos dar uma olhada neste exemplo simples, no entanto. Seja o evento A que o ponto selecionado é azul e o evento B que o ponto selecionado é laranja. Por convenção, os eventos A e B não podem ocorrer ao mesmo tempo.

Denotamos pela letra C o evento que nos interessa. O evento C ocorre se e somente se ocorrer pelo menos um dos eventos A ou B. É claro que N(C)= N(A)+N(B).

Vamos dividir ambos os lados dessa igualdade por N, o número de todos os resultados possíveis do experimento dado; Nós temos

Analisamos uma situação importante e frequente usando um exemplo simples. Há um nome especial para ela.

Definição 2. Os eventos A e B são chamados incompatível se não puderem ocorrer ao mesmo tempo.

Teorema 2. A probabilidade de ocorrência de pelo menos um de dois eventos incompatíveis é igual à soma de suas probabilidades.

Ao traduzir este teorema em linguagem matemática, torna-se necessário nomear e designar de alguma forma um evento que consiste na ocorrência de pelo menos um dos dois eventos A e B. Tal evento é chamado de soma dos eventos A e B e denotado por A+B.

Se A e B são incompatíveis, então P(A+B)= P(A)+P(B).

De fato,

A incompatibilidade dos eventos A e B pode ser convenientemente ilustrada por uma figura. Se todos os resultados da experiência são algum conjunto de pontos na figura, então os eventos A e B são alguns subconjuntos de um determinado conjunto. A incompatibilidade de A e B significa que esses dois subconjuntos não se cruzam. Um exemplo típico de eventos incompatíveis é qualquer evento A e o evento oposto Â.

É claro que esse teorema é verdadeiro para três, quatro e para qualquer número finito de eventos incompatíveis aos pares. A probabilidade da soma de qualquer número de eventos incompatíveis aos pares é igual à soma das probabilidades desses eventos. Esta importante afirmação corresponde exatamente ao método de resolução de problemas por "enumeração de casos".

Entre os eventos que ocorrem como resultado de alguma experiência, e entre as probabilidades desses eventos, pode haver algumas relações, dependências, conexões, etc. eventos é igual à soma de suas probabilidades.

Em conclusão, discutimos a seguinte questão fundamental: é possível provar que a probabilidade de obter "coroa" em um lançamento de uma moeda é igual a

A resposta é negativa. De um modo geral, a questão em si não está correta, o significado exato da palavra "provar" não é claro. Afinal, sempre provamos algo dentro da estrutura de alguma modelos, em que já são conhecidas as regras, leis, axiomas, fórmulas, teoremas, etc. Se estamos falando de uma moeda imaginária, “ideal”, é por isso que é considerada ideal porque por definição, a probabilidade de obter cara é igual à probabilidade de obter cara. E, em princípio, podemos considerar um modelo em que a probabilidade de cair "coroa" é duas vezes maior que a probabilidade de cair "águias", ou três vezes menor, etc. Então surge a pergunta: por que razão escolhemos de vários modelos de lançamento de moedas possíveis, um em que ambos os resultados do sorteio são igualmente prováveis?

Uma resposta completamente frontal é: “Mas é mais fácil, mais claro e mais natural para nós!” Mas também há argumentos mais substantivos. Eles vêm da prática. A grande maioria dos livros didáticos sobre teoria das probabilidades dá exemplos do naturalista francês J. Buffon (século XVIII) e do matemático-estatístico inglês C. Pearson (final do século XIX), que jogaram uma moeda, respectivamente, 4040 e 24000 vezes e contaram as número de "águias" ou "caudas" caindo. Suas “caudas” caíram, respectivamente, 1992 e 11998 vezes. Se você contar taxa de queda“coroa”, então você obtém = = 0,493069 ... para Buffon e = 0,4995 para Pearson. Surge naturalmente suposição que com um aumento ilimitado no número de lançamentos de uma moeda, a frequência de queda de "coroa", bem como a frequência de queda de "águias", se aproximará cada vez mais de 0,5. É esta suposição, baseada em dados práticos, que é a base para a escolha de um modelo com resultados equiprováveis.

Agora podemos resumir. O conceito básico é probabilidade de um evento aleatório, que é calculado dentro da estrutura do modelo mais simples— esquema probabilístico clássico. O conceito é importante tanto na teoria quanto na prática. evento oposto e a fórmula Р(Ā)= 1—Р(А) para encontrar a probabilidade de tal evento.

Finalmente, nos encontramos eventos incompatíveis e com fórmulas.

P (A + B) \u003d P (A) + P (B),

P (A + B + C) \u003d P (A) + P (B) + P (C),

permitindo encontrar probabilidades quantidades tais eventos.

Bibliografia

1. Eventos. Probabilidades. Processamento de dados estatísticos: Adicionar. parágrafos para o curso de álgebra 7-9 células. instituições educacionais / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov.—4ª ed.—M.: Mnemozina, 2006.—112 p.: ll.

2.Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk “Álgebra. Elementos de estatística e teoria da probabilidade.—Moscou, Iluminismo, 2006.