- apótema- a altura da face lateral de uma pirâmide regular, que é desenhada de seu topo (além disso, o apótema é o comprimento da perpendicular, que é abaixado do meio de um polígono regular para 1 de seus lados);
- faces laterais (ASB, BSC, CSD, DSA) - triângulos que convergem no topo;
- costelas laterais ( COMO , BS , CS , D.S. ) - lados comuns das faces laterais;
- topo da pirâmide (v. S) - um ponto que liga as arestas laterais e que não se encontra no plano da base;
- altura ( ASSIM ) - um segmento da perpendicular, que é desenhado através do topo da pirâmide até o plano de sua base (as extremidades de tal segmento serão o topo da pirâmide e a base da perpendicular);
- seção diagonal de uma pirâmide- seção da pirâmide, que passa pelo topo e pela diagonal da base;
- base (ABCD) é um polígono ao qual o topo da pirâmide não pertence.
propriedades da pirâmide.
1. Quando todas as bordas laterais tiverem o mesmo tamanho, então:
- perto da base da pirâmide é fácil descrever um círculo, enquanto o topo da pirâmide será projetado no centro desse círculo;
- as nervuras laterais formam ângulos iguais com o plano de base;
- além disso, a recíproca também é verdadeira, ou seja. quando as arestas laterais formam ângulos iguais com o plano de base, ou quando um círculo pode ser descrito perto da base da pirâmide e o topo da pirâmide for projetado no centro desse círculo, então todas as arestas laterais da pirâmide têm o mesmo tamanho.
2. Quando as faces laterais tiverem um ângulo de inclinação em relação ao plano da base de mesmo valor, então:
- perto da base da pirâmide, é fácil descrever um círculo, enquanto o topo da pirâmide será projetado no centro desse círculo;
- as alturas das faces laterais são de igual comprimento;
- a área da superfície lateral é ½ do produto do perímetro da base e a altura da face lateral.
3. Uma esfera pode ser descrita perto da pirâmide se a base da pirâmide for um polígono em torno do qual um círculo pode ser descrito (uma condição necessária e suficiente). O centro da esfera será o ponto de intersecção dos planos que passam pelos pontos médios das arestas da pirâmide perpendiculares a eles. A partir deste teorema concluímos que uma esfera pode ser descrita tanto em torno de qualquer pirâmide triangular quanto em torno de qualquer pirâmide regular.
4. Uma esfera pode ser inscrita em uma pirâmide se as bissetrizes dos ângulos diedros internos da pirâmide se cruzam no 1º ponto (condição necessária e suficiente). Este ponto se tornará o centro da esfera.
A pirâmide mais simples.
De acordo com o número de cantos da base da pirâmide, eles são divididos em triangulares, quadrangulares e assim por diante.
A pirâmide vai triangular, quadrangular, e assim por diante, quando a base da pirâmide é um triângulo, um quadrilátero e assim por diante. Uma pirâmide triangular é um tetraedro - um tetraedro. Quadrangular - pentaedro e assim por diante.
Uma pirâmide triangular é uma pirâmide baseada em um triângulo. A altura desta pirâmide é a perpendicular, que é abaixada do topo da pirâmide até suas bases.
Encontrando a altura de uma pirâmide
Como encontrar a altura de uma pirâmide? Muito simples! Para encontrar a altura de qualquer pirâmide triangular, você pode usar a fórmula do volume: V = (1/3)Sh, onde S é a área da base, V é o volume da pirâmide, h é sua altura. A partir desta fórmula, deduza a fórmula da altura: para encontrar a altura de uma pirâmide triangular, você precisa multiplicar o volume da pirâmide por 3 e depois dividir o valor resultante pela área da base, será: h \u003d (3V ) / S. Como a base de uma pirâmide triangular é um triângulo, você pode usar a fórmula para calcular a área de um triângulo. Se soubermos: a área do triângulo S e seu lado z, então de acordo com a fórmula da área S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, onde h é a altura da pirâmide, γ é a aresta do triângulo; o ângulo entre os lados do triângulo e os próprios dois lados, então usando a seguinte fórmula: S = (1/2)γφsinQ, onde γ, φ são os lados do triângulo, encontramos a área do triângulo. O valor do seno do ângulo Q deve ser consultado na tabela de senos, que está na Internet. Em seguida, substituímos o valor da área na fórmula da altura: h = (2S)/γ. Se a tarefa exigir o cálculo da altura de uma pirâmide triangular, o volume da pirâmide já é conhecido.
Pirâmide triangular regular
Encontre a altura de uma pirâmide triangular regular, ou seja, uma pirâmide em que todas as faces são triângulos equiláteros, conhecendo o tamanho da aresta γ. Neste caso, as arestas da pirâmide são os lados dos triângulos equiláteros. A altura de uma pirâmide triangular regular será: h = γ√(2/3), onde γ é a aresta de um triângulo equilátero, h é a altura da pirâmide. Se a área da base (S) for desconhecida e apenas o comprimento da borda (γ) e o volume (V) do poliedro forem fornecidos, a variável necessária na fórmula da etapa anterior deve ser substituída pelo seu equivalente, que é expresso em termos do comprimento da aresta. A área de um triângulo (regular) é igual a 1/4 do produto do comprimento do lado deste triângulo, elevado ao quadrado pela raiz quadrada de 3. Substituímos esta fórmula em vez da área da base na fórmula anterior , e obtemos a seguinte fórmula: h \u003d 3V4 / (γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). O volume de um tetraedro pode ser expresso em termos do comprimento de sua borda, então todas as variáveis podem ser removidas da fórmula para calcular a altura de uma figura e apenas o lado da face triangular da figura pode ser deixado. O volume de tal pirâmide pode ser calculado dividindo por 12 do produto o comprimento de sua face ao cubo pela raiz quadrada de 2.
Substituindo esta expressão na fórmula anterior, obtemos a seguinte fórmula de cálculo: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ√(2/3) = (1/3)γ√6. Além disso, um prisma triangular regular pode ser inscrito em uma esfera, e conhecendo apenas o raio da esfera (R), você pode encontrar a própria altura do tetraedro. O comprimento da aresta do tetraedro é: γ = 4R/√6. Substituímos a variável γ por esta expressão na fórmula anterior e obtemos a fórmula: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. A mesma fórmula pode ser obtida conhecendo o raio (R) de um círculo inscrito em um tetraedro. Neste caso, o comprimento da aresta do triângulo será igual a 12 razões entre a raiz quadrada de 6 e o raio. Substituimos esta expressão na fórmula anterior e temos: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.
Como encontrar a altura de uma pirâmide quadrangular regular
Para responder à pergunta de como encontrar o comprimento da altura da pirâmide, você precisa saber o que é uma pirâmide regular. Uma pirâmide quadrangular é uma pirâmide baseada em um quadrilátero. Se nas condições do problema tivermos: o volume (V) e a área da base (S) da pirâmide, a fórmula para calcular a altura do poliedro (h) será a seguinte - divida o volume multiplicado por 3 pela área S: h \u003d (3V) / S. Com uma base quadrada de uma pirâmide com: dado volume (V) e comprimento do lado γ, substitua a área (S) na fórmula anterior pelo quadrado do comprimento do lado: S = γ 2 ; H = 3V/γ2. A altura da pirâmide regular h = SO passa exatamente pelo centro do círculo, que está circunscrito próximo à base. Como a base desta pirâmide é um quadrado, o ponto O é o ponto de intersecção das diagonais AD e BC. Temos: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Além disso, encontramos em um triângulo retângulo SOC (de acordo com o teorema de Pitágoras): SO = √(SC 2 -OC 2). Agora você sabe como encontrar a altura de uma pirâmide regular.
Definição
Pirâmideé um poliedro composto por um polígono \(A_1A_2...A_n\) e triângulos \(n\) com um vértice comum \(P\) (não situado no plano do polígono) e lados opostos coincidentes com os lados de o polígono.
Designação: \(PA_1A_2...A_n\) .
Exemplo: pirâmide pentagonal \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .
Triângulos \(PA_1A_2, \PA_2A_3\) etc. chamado faces laterais pirâmides, segmentos \(PA_1, PA_2\), etc. - costelas laterais, polígono \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – base, ponto \(P\) – cume.
Altura Pirâmides são uma queda perpendicular do topo da pirâmide ao plano da base.
Uma pirâmide com um triângulo na base é chamada de tetraedro.
A pirâmide é chamada correto, se sua base for um polígono regular e uma das seguintes condições for atendida:
\((a)\) arestas laterais da pirâmide são iguais;
\((b)\) a altura da pirâmide passa pelo centro do círculo circunscrito próximo à base;
\((c)\) as nervuras laterais são inclinadas em relação ao plano de base no mesmo ângulo.
\((d)\) as faces laterais são inclinadas em relação ao plano base no mesmo ângulo.
tetraedro regularé uma pirâmide triangular, cujas faces são triângulos equiláteros iguais.
Teorema
As condições \((a), (b), (c), (d)\) são equivalentes.
Prova
Desenhe a altura da pirâmide \(PH\) . Seja \(\alpha\) o plano da base da pirâmide.
1) Provemos que \((a)\) implica \((b)\) . Seja \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
Porque \(PH\perp \alpha\) , então \(PH\) é perpendicular a qualquer linha situada neste plano, então os triângulos são retângulos. Portanto, esses triângulos são iguais em cateto comum \(PH\) e hipotenusa \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Então \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Isso significa que os pontos \(A_1, A_2, ..., A_n\) estão à mesma distância do ponto \(H\) , portanto, eles estão no mesmo círculo com raio \(A_1H\) . Este círculo, por definição, está circunscrito ao polígono \(A_1A_2...A_n\) .
2) Provemos que \((b)\) implica \((c)\) .
\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) retangular e igual em duas pernas. Portanto, seus ângulos também são iguais, portanto, \(\ângulo PA_1H=\ângulo PA_2H=...=\ângulo PA_nH\).
3) Provemos que \((c)\) implica \((a)\) .
Semelhante ao primeiro ponto, os triângulos \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) retangular e ao longo da perna e ângulo agudo. Isso significa que suas hipotenusas também são iguais, ou seja, \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
4) Provemos que \((b)\) implica \((d)\) .
Porque em um polígono regular, os centros dos círculos circunscritos e inscritos coincidem (em geral, esse ponto é chamado de centro de um polígono regular), então \(H\) é o centro do círculo inscrito. Vamos traçar perpendiculares do ponto \(H\) aos lados da base: \(HK_1, HK_2\), etc. Estes são os raios do círculo inscrito (por definição). Então, de acordo com o TTP, (\(PH\) é uma perpendicular ao plano, \(HK_1, HK_2\), etc. são projeções perpendiculares aos lados) oblíquas \(PK_1, PK_2\), etc. perpendicular aos lados \(A_1A_2, A_2A_3\), etc. respectivamente. Então, por definição \(\ângulo PK_1H, \ângulo PK_2H\) igual aos ângulos entre as faces laterais e a base. Porque triângulos \(PK_1H, PK_2H, ...\) são iguais (como ângulo reto em duas pernas), então os ângulos \(\ângulo PK_1H, \ângulo PK_2H, ...\) são iguais.
5) Provemos que \((d)\) implica \((b)\) .
Da mesma forma que o quarto ponto, os triângulos \(PK_1H, PK_2H, ...\) são iguais (como retangulares ao longo da perna e ângulo agudo), o que significa que os segmentos \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) são iguais. Assim, por definição, \(H\) é o centro de um círculo inscrito na base. Mas desde para polígonos regulares, os centros dos círculos inscritos e circunscritos coincidem, então \(H\) é o centro do círculo circunscrito. Chtd.
Consequência
As faces laterais de uma pirâmide regular são triângulos isósceles iguais.
Definição
A altura da face lateral de uma pirâmide regular, desenhada a partir de seu topo, é chamada de apotema.
Os apótemas de todas as faces laterais de uma pirâmide regular são iguais entre si e também são medianas e bissetrizes.
Anotações importantes
1. A altura de uma pirâmide triangular regular cai no ponto de interseção das alturas (ou bissetrizes, ou medianas) da base (a base é um triângulo regular).
2. A altura de uma pirâmide quadrangular regular cai no ponto de intersecção das diagonais da base (a base é um quadrado).
3. A altura de uma pirâmide hexagonal regular cai até o ponto de intersecção das diagonais da base (a base é um hexágono regular).
4. A altura da pirâmide é perpendicular a qualquer linha reta situada na base.
Definição
A pirâmide é chamada retangular se uma de suas arestas laterais for perpendicular ao plano da base.
Anotações importantes
1. Para uma pirâmide retangular, a aresta perpendicular à base é a altura da pirâmide. Ou seja, \(SR\) é a altura.
2. Porque \(SR\) perpendicular a qualquer linha da base, então \(\triângulo SRM, \triângulo SRP\) são triângulos retângulos.
3. Triângulos \(\triângulo SRN, \triângulo SRK\) também são retangulares.
Ou seja, qualquer triângulo formado por essa aresta e a diagonal que sai do vértice dessa aresta, que fica na base, será retângulo.
\[(\Large(\text(Volume e área de superfície da pirâmide)))\]
Teorema
O volume de uma pirâmide é igual a um terço do produto da área da base e a altura da pirâmide: \
Consequências
Seja \(a\) o lado da base, \(h\) a altura da pirâmide.
1. O volume de uma pirâmide triangular regular é \(V_(\text(triângulo retângulo pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),
2. O volume de uma pirâmide quadrangular regular é \(V_(\text(right.four.pyre.))=\dfrac13a^2h\).
3. O volume de uma pirâmide hexagonal regular é \(V_(\text(right.hex.pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).
4. O volume de um tetraedro regular é \(V_(\text(tetra direito))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).
Teorema
A área da superfície lateral de uma pirâmide regular é igual à metade do produto do perímetro da base e do apótema.
\[(\Large(\text(pirâmide truncada)))\]
Definição
Considere uma pirâmide arbitrária \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Tracemos um plano paralelo à base da pirâmide passando por um certo ponto situado na borda lateral da pirâmide. Este plano dividirá a pirâmide em dois poliedros, um dos quais é uma pirâmide (\(PB_1B_2...B_n\) ), e o outro é chamado pirâmide truncada(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).
A pirâmide truncada tem duas bases - polígonos \(A_1A_2...A_n\) e \(B_1B_2...B_n\) , que são semelhantes entre si.
A altura de uma pirâmide truncada é uma perpendicular traçada de algum ponto da base superior ao plano da base inferior.
Anotações importantes
1. Todas as faces laterais de uma pirâmide truncada são trapézios.
2. O segmento que liga os centros das bases de uma pirâmide truncada regular (ou seja, uma pirâmide obtida por uma seção de uma pirâmide regular) é a altura.
Definição. Face lateral- este é um triângulo em que um ângulo está no topo da pirâmide e o lado oposto coincide com o lado da base (polígono).
Definição. Costelas laterais são os lados comuns das faces laterais. Uma pirâmide tem tantas arestas quantos cantos em um polígono.
Definição. altura da pirâmideé uma perpendicular baixada do topo até a base da pirâmide.
Definição. Apótema- esta é a perpendicular da face lateral da pirâmide, baixada do topo da pirâmide até a lateral da base.
Definição. Seção diagonal- esta é uma seção da pirâmide por um plano que passa pelo topo da pirâmide e pela diagonal da base.
Definição. Pirâmide correta- Esta é uma pirâmide em que a base é um polígono regular e a altura desce até o centro da base.
Volume e área de superfície da pirâmide
Fórmula. volume da pirâmide através da área da base e da altura:
propriedades da pirâmide
Se todas as arestas laterais são iguais, então um círculo pode ser circunscrito ao redor da base da pirâmide, e o centro da base coincide com o centro do círculo. Além disso, a perpendicular baixada do topo passa pelo centro da base (círculo).
Se todas as nervuras laterais forem iguais, elas serão inclinadas em relação ao plano de base nos mesmos ângulos.
As nervuras laterais são iguais quando formam ângulos iguais com o plano da base, ou se um círculo pode ser descrito ao redor da base da pirâmide.
Se as faces laterais estão inclinadas em relação ao plano da base em um ângulo, então um círculo pode ser inscrito na base da pirâmide e o topo da pirâmide é projetado em seu centro.
Se as faces laterais estão inclinadas em relação ao plano base em um ângulo, então os apótemas das faces laterais são iguais.
Propriedades de uma pirâmide regular
1. O topo da pirâmide é equidistante de todos os cantos da base.
2. Todas as arestas laterais são iguais.
3. Todas as nervuras laterais são inclinadas nos mesmos ângulos em relação à base.
4. Apótemas de todas as faces laterais são iguais.
5. As áreas de todas as faces laterais são iguais.
6. Todas as faces têm os mesmos ângulos diedros (planos).
7. Uma esfera pode ser descrita ao redor da pirâmide. O centro da esfera descrita será o ponto de intersecção das perpendiculares que passam pelo meio das arestas.
8. Uma esfera pode ser inscrita em uma pirâmide. O centro da esfera inscrita será o ponto de intersecção das bissetrizes que emanam do ângulo entre a aresta e a base.
9. Se o centro da esfera inscrita coincide com o centro da esfera circunscrita, então a soma dos ângulos planos no vértice é igual a π ou vice-versa, um ângulo é igual a π / n, onde n é o número dos ângulos da base da pirâmide.
A conexão da pirâmide com a esfera
Uma esfera pode ser descrita ao redor da pirâmide quando na base da pirâmide está um poliedro ao redor do qual um círculo pode ser descrito (uma condição necessária e suficiente). O centro da esfera será o ponto de intersecção dos planos que passam perpendicularmente pelos pontos médios das arestas laterais da pirâmide.
Uma esfera sempre pode ser descrita em torno de qualquer pirâmide triangular ou regular.
Uma esfera pode ser inscrita em uma pirâmide se os planos bissetrizes dos ângulos diedros internos da pirâmide se cruzam em um ponto (uma condição necessária e suficiente). Este ponto será o centro da esfera.
A conexão da pirâmide com o cone
Um cone é dito inscrito em uma pirâmide se seus vértices coincidem e a base do cone está inscrita na base da pirâmide.
Um cone pode ser inscrito em uma pirâmide se os apótemas da pirâmide forem iguais.
Diz-se que um cone está circunscrito ao redor de uma pirâmide se seus vértices coincidem e a base do cone está circunscrita ao redor da base da pirâmide.
Um cone pode ser descrito em torno de uma pirâmide se todas as arestas laterais da pirâmide forem iguais entre si.
Conexão de uma pirâmide com um cilindro
Diz-se que uma pirâmide está inscrita em um cilindro se o topo da pirâmide estiver em uma base do cilindro e a base da pirâmide estiver inscrita em outra base do cilindro.
Um cilindro pode ser circunscrito em torno de uma pirâmide se um círculo pode ser circunscrito em torno da base da pirâmide.
Um tetraedro tem quatro faces e quatro vértices e seis arestas, onde quaisquer duas arestas não têm vértices comuns, mas não se tocam.
Cada vértice consiste em três faces e arestas que formam ângulo triédrico.
O segmento que liga o vértice do tetraedro com o centro da face oposta é chamado mediana do tetraedro(GM).
Bimedianoé chamado de segmento conectando os pontos médios de arestas opostas que não se tocam (KL).
Todas as bimedianas e medianas de um tetraedro se cruzam em um ponto (S). Neste caso, as bimedianas são divididas ao meio, e as medianas na proporção de 3:1 a partir do topo.
Definição. Pirâmide Angular Agudaé uma pirâmide em que o apótema tem mais da metade do comprimento do lado da base.
Definição. pirâmide obtusaé uma pirâmide em que o apótema é menor que a metade do comprimento do lado da base.
Definição. tetraedro regular Um tetraedro cujas quatro faces são triângulos equiláteros. É um dos cinco polígonos regulares. Em um tetraedro regular, todos os ângulos diedros (entre faces) e ângulos triédricos (em um vértice) são iguais.
Definição. Tetraedro retangular um tetraedro é chamado que tem um ângulo reto entre três arestas no vértice (as arestas são perpendiculares). Forma de três faces ângulo triédrico retangular e as faces são triângulos retângulos, e a base é um triângulo arbitrário. O apótema de qualquer rosto é igual à metade do lado da base sobre o qual o apótema cai.
Definição. Tetraedro isoédrico Um tetraedro é chamado em que as faces laterais são iguais entre si, e a base é um triângulo regular. As faces de tal tetraedro são triângulos isósceles.
Definição. Tetraedro ortocêntrico um tetraedro é chamado em que todas as alturas (perpendiculares) que são abaixadas do topo para a face oposta se cruzam em um ponto.
Definição. pirâmide estelar Chama-se poliedro cuja base é uma estrela.
