Mandelbrot ofereceu a seguinte definição provisória de um fractal:

Um fractal é um conjunto cuja dimensão Hausdorff-Besikovich é estritamente maior que sua dimensão topológica

Essa definição, por sua vez, requer definições do conjunto de termos, dimensão de Hausdorff-Besikowitz e dimensão topológica, que é sempre um número inteiro. Para nossos propósitos, preferimos definições muito soltas desses termos e ilustrações ilustrativas (usando exemplos simples), em vez de uma apresentação mais rigorosa, porém formal, dos mesmos conceitos. Mandelbrot reduziu sua definição preliminar sugerindo que ela fosse substituída pela seguinte

Um fractal é uma estrutura que consiste em partes que são, em certo sentido, semelhantes ao todo.

Ainda não existe uma definição rigorosa e completa de fractais. O fato é que a primeira definição, apesar de toda a sua exatidão e exatidão, é muito restritiva. Exclui muitos fractais encontrados na física. A segunda definição contém uma característica distintiva essencial, enfatizada em nosso livro e observada no experimento: um fractal parece o mesmo, não importa em que escala seja observado. Pegue pelo menos algumas belas nuvens cumulus. Eles consistem em enormes "corcovas", nas quais se erguem "corcovas" menores, naquelas - ainda menos "corcovas", etc. até a menor escala que você pode resolver. De fato, com apenas a aparência das nuvens e nenhuma informação adicional, é impossível estimar o tamanho das nuvens.

Os fractais discutidos neste livro podem ser pensados ​​como conjuntos de pontos aninhados no espaço. Por exemplo, o conjunto de pontos que formam uma linha no espaço euclidiano comum tem uma dimensão topológica e a dimensão Hausdorff-Besikovich. a razoabilidade da definição. Da mesma forma, o conjunto de pontos que formam uma superfície no espaço c tem uma dimensão topológica.Vemos que uma superfície comum não é fractal, por mais complexa que seja. Finalmente, a bola, ou esfera completa, tem.Estes exemplos permitem-nos definir alguns dos tipos de conjuntos que estamos considerando.

Central para a definição da dimensão de Hausdorff-Besicovich e, consequentemente, da dimensão fractal é o conceito de distância entre pontos no espaço. Como medir "magnitude"

define Y pontos no espaço? Uma maneira fácil de medir o comprimento das curvas, a área das superfícies ou o volume de um corpo é dividir o espaço em pequenos cubos com aresta 8, como mostra a Fig. 2.5. Em vez de cubos, pode-se pegar pequenas esferas com diâmetro 8. Se colocarmos o centro de uma pequena esfera em algum ponto do conjunto, todos os pontos localizados a uma distância do centro serão cobertos por essa esfera. Contando o número de esferas necessárias para cobrir o conjunto de pontos de nosso interesse, obtemos uma medida do tamanho do conjunto. Uma curva pode ser medida determinando o número de segmentos de linha reta de comprimento 8 necessários para cobri-la. Naturalmente, para uma curva comum, o comprimento da curva é determinado pela passagem para o limite

No limite, o exemplo torna-se assintoticamente igual ao comprimento da curva e não depende de 8.

Um conjunto de pontos pode ser atribuído a uma área. Por exemplo, a área de uma curva pode ser determinada especificando o número de círculos ou quadrados necessários para cobri-la. Se é o número desses quadrados e é a área de cada um deles, então a área da curva é

Da mesma forma, o volume V da curva pode ser definido como o valor

Arroz. 2.5. Medindo a "magnitude" de uma curva.

É claro que para curvas comuns se anula em , e a única medida de interesse é o comprimento da curva.

Como é fácil ver, para uma superfície comum, o número de quadrados necessários para cobri-la é determinado no limite pela expressão onde é a área da superfície.

As superfícies podem receber um volume, formando a soma dos volumes de cubos necessários para cobrir a superfície:

Com este volume, como esperado, desaparece.

As superfícies podem ser atribuídas a qualquer comprimento? Formalmente, podemos tomar para tal comprimento a quantidade

que diverge em Este resultado faz sentido, pois a superfície não pode ser coberta por um número finito de segmentos de linha reta. Concluímos que a única medida significativa do conjunto de pontos que formam uma superfície no espaço tridimensional é a área.

É fácil ver que os conjuntos de pontos que formam curvas podem

Arroz. 2.6. Medindo o "tamanho" da superfície.

ser torcidos com tanta força que seu comprimento acaba sendo infinito e, de fato, existem curvas (curvas de Peano) que preenchem o plano. Há também superfícies que são curvadas de forma tão bizarra que preenchem o espaço. Para nos permitir considerar também esses conjuntos incomuns de pontos, é útil generalizar as medidas da magnitude de um conjunto que introduzimos.

Até agora, ao determinar a medida do tamanho de um conjunto de pontos Y no espaço, escolhemos alguma função de teste - um segmento de reta, quadrado, círculo, bola ou cubo - e cobrimos o conjunto, formando uma medida para segmentos de reta , quadrados e cubos, o coeficiente geométrico para círculos e esferas Concluímos que, no caso geral, a medida é igual a zero ou infinito, dependendo da escolha da -dimensão da medida. A dimensão Hausdorff-Besikovich de um conjunto é a dimensão crítica na qual a medida muda seu valor de zero para infinito:

Chamamos a -medida do conjunto. O valor de at é frequentemente finito, mas pode ser zero ou infinito; é importante em que valor a quantidade muda abruptamente. Observe que na definição acima, a dimensão de Hausdorff-Besikovich aparece como uma propriedade local no sentido de que esta dimensão caracteriza as propriedades de conjuntos de pontos no limite com um diâmetro ou tamanho extremamente pequeno 8 da função de teste usada para cobrir o conjunto. Portanto, a dimensão fractal também pode ser uma característica local de um conjunto. Na verdade, há vários pontos sutis aqui que merecem consideração. Em particular, a definição da dimensão de Hausdorff-Besikovich permite abranger o conjunto de esferas não necessariamente do mesmo tamanho, desde que os diâmetros de todas as esferas sejam inferiores a 8. Neste caso, a -medida é um ínfimo, ou seja, grosso modo, o valor mínimo obtido com todas as coberturas possíveis. Para exemplos, veja a seção. 5.2. Os interessados ​​encontrarão uma apresentação matemática rigorosa da questão no livro de Falconer.

Introdução aos fractais

Fundamentos da teoria dos fractais

Métodos para determinar as características fractais de objetos

Para compreender a natureza, o homem constrói objetos de várias geometrias. Na natureza, os objetos são encontrados em uma variedade de tamanhos - desde escalas atômicas até o universo. A geometria de trajetórias de partículas, linhas de corrente em hidrodinâmica, ondas, cascos de navios e costas, paisagens, montanhas, ilhas, rios, geleiras e sedimentos, grãos em rochas, metais e materiais compósitos, plantas, insetos e células vivas, bem como a geometria estrutura de cristais, moléculas de produtos químicos e, em particular, proteínas - em suma, a geometria da natureza é central para várias áreas da ciência natural e, portanto, as pessoas tendem a considerar os aspectos geométricos como garantidos. Representantes de cada campo procuraram desenvolver seus próprios conceitos adaptados às suas necessidades (por exemplo, como morfologia, espaço quadridimensional, textura), usados ​​intuitivamente por cientistas que trabalham nesse campo específico. Segundo a tradição, linhas euclidianas, círculos, esferas, tetraedros, etc. serviram de base para uma compreensão intuitiva da geometria da natureza.

Os matemáticos também desenvolveram conceitos matemáticos que iam além da geometria tradicional, porém, no passado, esses conceitos não atraíram a devida atenção dos representantes das ciências naturais devido a uma apresentação muito abstrata e "pedante" e por causa dos alertas sobre o "perigo" associado usando este tipo de representações geométricas não tradicionais.

Com seu trabalho marcante e fundamental, Benoit Mandelbrot despertou um interesse geral pela geometria fractal, conceito introduzido pelo próprio Mandelbrot. Em particular, ele contou ao mundo sobre os objetos que chamou de fractais, escolhendo para isso uma forma de apresentação muito incomum. O livro de Benoit Mandelbrot "A Geometria Fractal da Natureza" é um livro de referência padrão geralmente aceito sobre fractais, contendo conceitos elementares e uma gama incomumente ampla de idéias novas e nada elementares que estão agora no centro das atenções daqueles que estudam a geometria dos fractais. As paisagens fractais sintéticas parecem tão realistas que a maioria das pessoas as confunde com as naturais. O advento dos computadores e da computação gráfica nos últimos anos levou ao estudo de objetos geométricos não tradicionais em muitas áreas das ciências naturais.

Mandelbrot escreveu um grande número de artigos científicos sobre a geometria dos fenômenos observados em muitas áreas da atividade humana. Ele explorou a geometria fractal de mudanças de preços e distribuições de salários, estatísticas de erros de chamadas em centrais telefônicas, frequências de palavras em textos impressos, vários objetos matemáticos e muito mais. Mandelbrot escreveu três livros sobre geometria fractal que tornaram seu trabalho especializado mais acessível e inspiraram muitos a aplicar a geometria fractal em suas próprias áreas de pesquisa.

O conceito de "fractais" capturou a imaginação de cientistas que trabalham em muitos campos da ciência, e trabalhos que discutem fractais de uma variedade de perspectivas agora aparecem quase diariamente. Os livros de Mandelbrot são notáveis ​​em vários aspectos. E, acima de tudo, são interdisciplinares: o autor examina a geometria de árvores, leitos de rios, pulmões, bem como mudanças nos níveis da superfície da água, turbulência, economia, frequências de palavras em vários textos e muito, muito mais. Mandelbrot conecta todas essas questões aparentemente heterogêneas com suas ideias geométricas. Em seus livros, ele evita deliberadamente introduções e conclusões, enfatizando assim sua profunda convicção de que, à medida que o trabalho no campo da geometria fractal se expande, suas ideias permitirão compreender cada vez mais profundamente a própria essência da geometria da natureza. Ele oferece apenas uma definição provisória do conceito de "fractal" e então declara apressadamente que a definição que ele propôs não é de forma alguma final! Além disso, mais tarde ele retrata sua definição. Em seus livros, Mandelbrot tenta convencer o leitor de que a geometria fractal é importante para descrever a natureza, mas o ilude quando tenta seguir os detalhes do argumento do autor. Provas matemáticas são misturadas nas páginas dos livros de Mandelbrot com anedotas e informações históricas. Questões completamente diferentes se misturam em seus livros, de modo que é quase impossível separá-las. Mas, munido de paciência, um leitor curioso encontrará nos livros de Mandelbrot uma gama extraordinariamente ampla de idéias maravilhosas, comentários profundos e será capaz de extrair deles inspiração genuína - esses livros são realmente maravilhosos!

As ilustrações coloridas causam a impressão mais forte. Eles retratam um "planeta" fractal subindo acima do horizonte de sua lua, montanhas, vales e ilhas que nunca existiram. Estas ilustrações, feitas por R.F. Foss, obtido por meio de algoritmos que fornecem a natureza fractal das paisagens. Todas as paisagens parecem muito naturais, aparentemente, os fractais de alguma forma capturam a essência da topografia da superfície da Terra.

Os conceitos de "fractal" e "geometria fractal", que surgiram no final dos anos 70, desde meados dos anos 80 entraram firmemente na vida cotidiana de matemáticos e programadores. A palavra fractal é derivada do latim fractus e na tradução significa "consistindo de fragmentos". Foi proposto por Benoit Mandelbrot em 1975 para se referir às estruturas irregulares, mas auto-semelhantes que ele estudou. Seus trabalhos utilizaram os resultados científicos dos trabalhos de cientistas que trabalharam no mesmo campo em 1875-1925 (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff e outros). Mas somente em nosso tempo foi possível combinar seu trabalho em um único sistema.

A atenção que os fractais atraem parece ter várias razões. Em primeiro lugar, os fractais são muito simples na modelagem de muitos fenômenos e processos que são difíceis de distinguir dos naturais. Em segundo lugar, na análise fractal, os processos de formato complexo são apresentados de forma bastante simples e visual, o que possibilita obter mais informações sobre o processo.

Atualmente, os fractais são mais amplamente utilizados em computação gráfica e sistemas computacionais para compressão de informações. Eles vêm em socorro, por exemplo, quando é necessário definir linhas e superfícies de forma muito complexa com a ajuda de vários coeficientes. Do ponto de vista da computação gráfica, a geometria fractal é indispensável para a geração de nuvens artificiais, montanhas e a superfície do mar. De fato, encontrou-se uma maneira de representar facilmente objetos complexos não euclidianos, cujas imagens são muito semelhantes às naturais.

Um fractal, de acordo com a definição de Mandelbrot, é um objeto cuja dimensão não é igual à sua dimensão topológica e pode assumir valores não inteiros. Essa dimensão é chamada de dimensão de Hausdorff-Besikovich ou dimensão fractal. Numerosos estudos mostram que a geometria fractal é uma generalização da Euclidiana, lidando com dimensões topológicas inteiras (O - ponto, 1 - linha, 2 - plano, 3 - volume). Objetos fractais incluem todos os objetos naturais, por exemplo, como um litoral com uma dimensão de 1,52 (o litoral da Noruega), nuvens - 2,31, o sistema circulatório humano - 2,7, etc. No momento, não há uma interpretação física razoável da dimensão fracionária, embora estejam sendo feitas tentativas para criá-la.

A principal propriedade dos fractais é auto-semelhança . No caso mais simples, uma pequena parte do fractal contém informações sobre todo o objeto, ou seja, a forma dos fractais praticamente não muda em nenhuma ampliação. A definição de fractal dada por Mandelbrot é a seguinte: "um fractal é uma estrutura que consiste em partes que são, em certo sentido, semelhantes ao todo". Processos que geram estruturas auto-semelhantes são conhecidos há muito tempo. Estes são processos de feedback. , em que a mesma operação é repetida várias vezes, com o resultado de uma iteração sendo o valor inicial da próxima. Mas aqui é muito importante que a relação entre o resultado e o valor inicial foi não linear. Um dos exploradores dos fractais foi Gaston Julia, que descobriu o conjunto de Julia, que é um limite no qual a mesma forma de diferentes escalas ocorre em diferentes partes. Ele estabeleceu que é possível restaurar todo o limite para qualquer um de seus partes. Desde então, matemática e física têm sido amplamente estudadas. estruturas auto-similares, incluindo fractais.

Toda a variedade de fractais é dividida em geométricas, algébricas e estocásticas.

fractais geométricos o mais visível. Se os fractais geométricos são bidimensionais, eles são obtidos usando alguma linha quebrada (ou superfície, se os fractais são tridimensionais), chamado de semente ou gerador inicial. Em uma etapa do algoritmo cada um dos segmentos, constituindo uma linha quebrada, é substituído por um gerador de linha quebrado na escala adequada. Como resultado da repetição infinita deste procedimento, obtém-se um fractal geométrico . As Figuras 1.1-1.6 mostram os fractais geométricos mais famosos e seus geradores originais.

Arroz. 1.2. Curva de Koch (a) e seu gerador original (b)

fractais algébricos. Este é o maior grupo de fractais. Eles são obtidos usando processos não lineares em espaços n-dimensionais. Os processos bidimensionais são os mais estudados. Interpretando um processo iterativo não linear como um sistema dinâmico discreto, pode-se usar a terminologia da teoria desses sistemas: retrato de fase, processo de estado estacionário, atrator, etc. Sabe-se que sistemas dinâmicos não lineares possuem vários estados estáveis. O estado em que o sistema dinâmico se encontra após um certo número de iterações depende de seu estado inicial. Portanto, cada estado estável (ou, como se costuma dizer, um atrator) possui uma certa região de estados iniciais, a partir da qual o sistema necessariamente cairá nos estados finais considerados. Assim, o espaço de fase do sistema é dividido em regiões de atração de atratores. Se o espaço de fase for bidimensional, colorindo as regiões de atração com cores diferentes, pode-se obter um retrato de fase colorido do sistema (processo iterativo). Ao alterar o algoritmo de seleção de cores, você pode obter padrões fractais complexos com padrões multicoloridos sofisticados. Uma surpresa para os matemáticos foi a capacidade de gerar estruturas não triviais muito complexas usando algoritmos primitivos. Representantes típicos dessa classe de fractais são os conjuntos de Julia (Fig. 1.7) e o conjunto de Mandelbrot (Fig. 1.8).

Fractals estocásticos são obtidos se algum de seus parâmetros mudar aleatoriamente no processo iterativo. Isso resulta em objetos muito semelhantes aos naturais: árvores assimétricas, costas recortadas, etc. Os fractais estocásticos bidimensionais são usados ​​na modelagem do terreno e da superfície do mar.

Existem outras classificações de fractais, por exemplo, a divisão de fractais em determinísticos (algébricos e geométricos) e não determinísticos (estocásticos).

perguntas do teste

1. Quem e quando introduziu os conceitos de "fractal" e "geometria fractal"?

2. O que significa a palavra "fractal"?

3. Por que os fractais encontraram sua aplicação na atividade humana?

4. Qual é a principal propriedade dos fractais?

5. Em que classes os fractais são divididos?

6. Como são formados os fractais geométricos?

7. Qual é o gerador inicial de fractais geométricos?

8. Exemplos de fractais geométricos.

9. Como são formados os fractais algébricos?

10. O que é um atrator?

11. Exemplos de fractais algébricos.

12. Como são formados os fractais estocásticos?

13. Exemplos de fractais estocásticos.

Para entender o que é a dimensão fractal, por exemplo, considere o litoral da Noruega (Fig. 1.9).

Qual é o seu comprimento? Na escala do mapa, os fiordes profundos da costa oeste são claramente visíveis. Caminhando ao longo da costa, de vez em quando você pode encontrar rochas, ilhas, baías e falésias semelhantes entre si, mesmo que não estejam indicadas nos mapas mais detalhados. Antes de responder à questão colocada, é necessário decidir se inclui as ilhas no litoral. E os rios? Onde um fiorde deixa de ser um fiorde e onde exatamente ele se transforma em um rio? Responder a essas perguntas às vezes é fácil, às vezes não. Mas mesmo que possamos responder satisfatoriamente a todas as perguntas desse tipo, ainda resta uma dificuldade. O fato é que ao medir o comprimento da linha de costa, a bússola pode receber uma solução correspondente a km e contar o número de passos que seriam necessários para percorrer o mapa de ponta a ponta ao longo de toda a costa.

Com pressa, pode-se escolher uma abertura de bússola tão grande que não seja necessário cuidar nem mesmo dos fiordes mais profundos, e tomar o valor pelo comprimento do litoral. Se tal avaliação não satisfizer, você pode escolher uma solução de bússola um pouco menor e repetir tudo novamente. Desta vez, a extensão do litoral incluiria os fiordes mais profundos. Mapas mais precisos serão necessários para calcular o comprimento do litoral com ainda mais precisão. É claro que ao resolver tais questões, refinamentos podem ser introduzidos infinitamente. Sempre que aumentamos a resolução, o comprimento do litoral aumentará. Além disso, ao usar a bússola, haverá problemas com ilhas e rios. Uma forma alternativa de medir o comprimento do litoral é cobrir o mapa com uma grade, conforme mostrado na parte superior da Figura 1.9. Deixe que as células da grade quadrada tenham dimensões. O número de tais células necessárias para cobrir o litoral no mapa é aproximadamente igual ao número de etapas em que você pode percorrer o litoral no mapa com uma bússola com uma solução. A diminuição resulta em um aumento no número de células necessárias para cobrir o litoral. Se o litoral da Noruega tivesse um comprimento bem definido , então seria de esperar que o número de passos da bússola ou o número de células quadradas necessárias para cobrir o litoral no mapa fosse inversamente proporcional a , e o valor à medida que diminui, tende a uma constante. No entanto, não é.

A Figura 1.11 reproduz um gráfico (dados retirados do livro de Mandelbrot What Is the Length of the British Coastline?) mostrando o comprimento aparente das linhas costeiras e fronteiras terrestres. Todos os pontos são alinhados (em uma escala duplamente logarítmica) ao longo de linhas retas. A inclinação destas linhas é igual a 1 - D onde D é a dimensão fractal da linha de costa (ou limite terrestre). A costa do Reino Unido tem um D~ 1,3. Mandelbrot também fornece dados para um círculo e descobre isso.

Perguntas do teste:

1. Qual é a dimensão de um objeto?

2. O que é uma dimensão topológica?

3. Como é determinada a dimensão fractal dos objetos naturais?

4. Qual é a dimensão fractal e topológica do círculo,
círculo, quadrado, esfera e bola?

5. Qual é a dimensão topológica do litoral?

Muitas vezes se ouve falar sobre a conexão entre diferentes moedas no mercado Forex.

A discussão principal neste caso geralmente se resume a fatores fundamentais, experiência prática ou simplesmente especulação devido aos estereótipos pessoais do orador. Como caso extremo, existe a hipótese de uma ou mais moedas "mundiais", que "puxam" todas as outras.

De fato, qual é a relação entre diferentes citações? Eles se movem de forma coordenada ou informações sobre a direção do movimento de uma moeda não dirão nada sobre o movimento de outra? Este artigo tenta entender esta questão usando os métodos da dinâmica não linear e geometria fractal.

1. Parte teórica

1.1. Variáveis ​​dependentes e independentes

Considere duas variáveis ​​(aspas) xey. A qualquer momento, os valores instantâneos dessas variáveis ​​definem um ponto no plano XY (Figura 1). O movimento de um ponto ao longo do tempo forma uma trajetória. A forma e o tipo dessa trajetória serão determinados pelo tipo de relação entre as variáveis.

Por exemplo, se a variável x não estiver relacionada à variável y de forma alguma, não veremos nenhuma estrutura regular: com um número suficiente de pontos, eles preencherão uniformemente o plano XY (Fig. 2).

Se houver uma relação entre x e y, alguma estrutura regular será visível: no caso mais simples, será uma curva (Fig. 3),

Figura 3. Presença de correlações- curva

embora possa haver uma estrutura mais complexa (Fig. 4).

O mesmo vale para um espaço tridimensional ou mais dimensional: se houver uma conexão ou dependência entre todas as variáveis, então os pontos formarão uma curva (Fig. 5), se houver duas variáveis ​​independentes no conjunto, então os pontos formam uma superfície (Fig. 6) , se três - então os pontos preencherão o espaço tridimensional, etc.

Se não houver conexão entre as variáveis, os pontos serão distribuídos uniformemente em todas as dimensões disponíveis (Fig. 7). Assim, podemos julgar a natureza da relação entre as variáveis ​​determinando como os pontos preenchem o espaço.

Além disso, a forma da estrutura resultante (linhas, superfícies, figuras tridimensionais, etc.), neste caso, não importa.

Importante dimensão fractal esta estrutura: uma linha tem uma dimensão de 1, uma superfície tem uma dimensão de 2, uma estrutura de volume tem uma dimensão de 3, e assim por diante. Geralmente pode-se considerar que o valor da dimensão fractal corresponde ao número de variáveis ​​independentes no conjunto de dados.

Também podemos encontrar uma dimensão fracionária, por exemplo, 1,61 ou 2,68. Isso pode acontecer se a estrutura resultante for fractal- conjunto auto-similar com dimensão não inteira. Um exemplo de fractal é mostrado na Figura 8, sua dimensão é aproximadamente igual a 1,89, ou seja, não é mais uma linha (dimensão 1), mas ainda não é uma superfície (dimensão 2).

A dimensão fractal pode ser diferente para o mesmo conjunto em diferentes escalas.

Por exemplo, se você olhar para o conjunto mostrado na Figura 9 "de longe", você pode ver claramente que esta é uma linha, ou seja, a dimensão fractal deste conjunto é igual a um. Se olharmos para o mesmo conjunto "próximo", veremos que isso não é uma linha, mas um "tubo vago" - os pontos não formam uma linha clara, mas são coletados aleatoriamente em torno dela. A dimensão fractal deste "tubo" deve ser igual à dimensão do espaço em que consideramos nossa estrutura, pois os pontos no "pipe" preencherão todas as dimensões disponíveis uniformemente.

Aumentar a dimensão fractal em pequenas escalas permite determinar o tamanho em que as relações entre as variáveis ​​se tornam indistinguíveis devido ao ruído aleatório presente no sistema.

Figura 9. Um exemplo de um "tubo" fractal

1.2. Definição de dimensão fractal

Para determinar a dimensão fractal, você pode usar o algoritmo de contagem de caixas baseado no estudo da dependência do número de cubos contendo pontos do conjunto no tamanho da aresta do cubo (aqui queremos dizer não necessariamente cubos tridimensionais : no espaço unidimensional, o “cubo” será um segmento, no espaço bidimensional - um quadrado, etc. .d.).

Teoricamente, esta dependência tem a forma N(ε)~1/ε D , onde D é a dimensão fractal do conjunto, ε é o tamanho da aresta do cubo, N(ε) é o número de cubos contendo pontos de o conjunto com o tamanho do cubo ε. Isso nos permite determinar a dimensão fractal

Sem entrar em detalhes do algoritmo, seu funcionamento pode ser descrito da seguinte forma:

O conjunto de pontos em estudo é dividido em cubos de tamanho ε, e conta-se o número de cubos N contendo pelo menos um ponto do conjunto.

Para diferentes ε, o valor correspondente de N é determinado, ou seja, os dados são acumulados para traçar a dependência N(ε).

A dependência N(ε) é construída em coordenadas logarítmicas duplas e seu ângulo de inclinação é determinado, que será o valor da dimensão fractal.

Por exemplo, a Figura 10 mostra dois conjuntos: uma figura plana (a) e uma linha (b). As células que contêm pontos de ajuste estão esmaecidas. Contando o número de células "cinzas" em diferentes tamanhos de células, obtemos as dependências mostradas na Figura 11. Determinando a inclinação das linhas retas que aproximam essas dependências, encontramos as dimensões fractais: Dà≈2, Db≈1.

Na prática, para determinar a dimensão fractal, geralmente não é usado o box-counting, mas o algoritmo Grassberg-Procaccia, pois dá resultados mais precisos em espaços de alta dimensão. A ideia do algoritmo é obter a dependência C(ε) - a probabilidade de dois pontos do conjunto cair em uma célula de tamanho ε no tamanho da célula e determinar a inclinação da seção linear dessa dependência.

Infelizmente, a consideração de todos os aspectos da definição de dimensão é impossível no âmbito deste artigo. Se desejar, você pode encontrar as informações necessárias na literatura especializada.

1.3. Um exemplo de definição de uma dimensão fractal

Para ter certeza de que a técnica proposta funciona, vamos tentar determinar o nível de ruído e o número de variáveis ​​independentes para o conjunto mostrado na Figura 9. Este conjunto tridimensional consiste em 3000 pontos e é uma linha (uma variável independente) com ruído sobreposto a ele. O ruído tem distribuição normal com RMS igual a 0,01.

A Figura 12 mostra a dependência de C(ε) em uma escala logarítmica. Nele vemos duas seções lineares que se cruzam em ε≈2 -4,6 ≈0,04. A inclinação da primeira linha é ≈2,6, e a segunda é ≈1,0.

Os resultados obtidos significam que o conjunto de teste possui uma variável independente em uma escala maior que 0,0 e “quase três” variáveis ​​independentes ou ruído de alias em uma escala menor que 0,04. Isso está de acordo com os dados originais: de acordo com a regra dos “três sigmas”, 99,7% dos pontos formam um “tubo” com diâmetro de 2*3*0,01≈0,06.

Figura 12. Dependência C(e) em escala logarítmica

2. Parte prática

2.1. Dados iniciais

Para estudar as propriedades fractais do mercado Forex, foram utilizados dados publicamente disponíveis,abrangendo o período de 2000 a 2009 inclusive. O estudo foi realizado nos preços de fechamento dos sete principais pares de moedas: EURUSD, USDJPY, GBPUSD, AUDUSD, USDCHF, USDCAD, NZDUSD.

2.2. Implementação

Algoritmos para determinar a dimensão fractal são implementados como funções do ambiente MATLAB com base nos desenvolvimentos do Professor Michael Small (Dr Michael Small ). Funções com exemplos de uso estão disponíveis no arquivo frac.rar anexado a este artigo.

Para agilizar os cálculos, a etapa mais demorada é realizada na linguagem C. Antes de poder usá-lo, você precisa compilar a função C "interbin.c" usando o comando MATLAB "mex interbin.c".

2.3. Resultados da pesquisa

A Figura 13 mostra o movimento conjunto das cotações EURUSD e GBPUSD de 2000 a 2010. Os próprios valores das cotações são mostrados nas Figuras 14 e 15.

A dimensão fractal do conjunto mostrado na Figura 13 é de aproximadamente 1,7 (Figura 16). Isso significa que o movimento de EURUSD + GBPUSD não forma um passeio aleatório “puro”, caso contrário a dimensão seria igual a 2 (a dimensão de um passeio aleatório, em dois ou mais espaços dimensionais, é sempre igual a 2).

No entanto, como o movimento das cotações é muito semelhante a um passeio aleatório, não podemos estudar diretamente os próprios valores das cotações - quando novos pares de moedas são adicionados, a dimensão fractal muda ligeiramente (Tabela 1) e nenhuma conclusão pode ser tirada.

Tabela 1. Mudança de dimensão com aumento do número de moedas

Para obter resultados mais interessantes, você deve ir das próprias cotações às suas alterações.

A Tabela 2 mostra os valores de dimensão para diferentes intervalos de incrementos e diferentes números de pares de moedas.

	datas	Quantidade de pontos	EURUSD GBPUSD	+USDJPY	+USD	+USDHF	+USDCAD	+NZDUSD
M5	14 de agosto de 2008 - 31 de dezembro de 2009	100000	1.9	2.8	3.7	4.4	5.3	6.2
M15	18 de novembro de 2005 - 31 de dezembro de 2009	100000	2	2.8	3.7	4.5	5.9	6.7
M30	16 de novembro de 2001 - 31 de dezembro de 2009	100000	2	2.8	3.7	4.5	5.7	6.8
H1	03 de janeiro de 2000 - 31 de dezembro de 2009	61765	2	2.9	3.8	4.6	5.6	6.5
H4	03 de janeiro de 2000 - 31 de dezembro de 2009	15558	2	3	4	4.8	5.9	6.3
D1	03 de janeiro de 2000 - 31 de dezembro de 2009	2601	2	3	4	5.1	5.7	6.5

Tabela 2. Mudança de dimensão em diferentes intervalos de incrementos

Se as moedas estiverem interconectadas, então, com a adição de cada novo par de moedas, a dimensão fractal deve aumentar cada vez menos e, como resultado, deve convergir para um determinado valor, que mostrará o número de “variáveis ​​livres” no mercado de moedas .

Além disso, se assumirmos que “ruído de mercado” se sobrepõe às cotações, então em pequenos intervalos (M5, M15, M30) é possível preencher todas as medições disponíveis com ruído, e esse efeito deve enfraquecer em grandes prazos, “expondo” o dependências entre aspas (da mesma forma que no exemplo de teste).

Como pode ser visto na Tabela 2, esta hipótese não foi confirmada por dados reais: em todos os timeframes, o conjunto preenche todas as medidas disponíveis, ou seja, Todas as moedas são independentes umas das outras.

Isso é um pouco contrário às crenças intuitivas sobre a conexão das moedas. Parece que moedas próximas como GBP e CHF ou AUD e NZD devem mostrar dinâmicas semelhantes. Por exemplo, a Figura 17 mostra a dependência dos incrementos de NZDUSD em AUDUSD para intervalos de cinco minutos (coeficiente de correlação 0,54) e diário (coeficiente de correlação 0,84).

Figura 17. Dependências de incrementos NZDUSD em AUDUSD para intervalos M5 (0,54) e D1 (0,84)

Pode-se ver nesta figura que com o aumento do intervalo, a dependência é cada vez mais esticada na diagonal e o coeficiente de correlação aumenta. Mas, do "ponto de vista" da dimensão fractal, o nível de ruído é muito alto para considerar essa dependência como uma linha unidimensional. Talvez, em intervalos mais longos (semanas, meses), as dimensões fractais convergirão para um determinado valor, mas não temos como verificar isso - há poucos pontos para determinar a dimensão.

Conclusão

Claro, seria mais interessante reduzir o movimento das moedas para uma ou várias variáveis ​​independentes - isso simplificaria muito a tarefa de restaurar o atrator de mercado e prever cotações. Mas o mercado mostra um resultado diferente: as dependências são expressas fracamente e “bem escondidas” em muito barulho. Nesse sentido, o mercado é muito eficiente.

Métodos de dinâmica não linear, que consistentemente apresentam bons resultados em outras áreas: medicina, física, química, biologia etc., requerem atenção especial e interpretação acurada dos resultados na análise de cotações de mercado.

Os resultados obtidos não permitem afirmar de forma inequívoca a presença ou ausência de relação entre moedas. Podemos apenas dizer que nos prazos considerados, o nível de ruído é comparável à “força” da conexão, portanto, a questão da conexão entre moedas permanece em aberto.

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Dimensão das superfícies fractais

1. Introdução à dimensão

3. Fractals naturais

6. Dimensão fractal

7. Semelhança e dimensionamento

9. Expoente de Hurst

Bibliografia

1. Introdução à dimensão

Uma característica importante de uma superfície projetada, juntamente com os parâmetros de rugosidade padrão, é a dimensão fractal. Vamos considerar um dos métodos para determinar a dimensão fractal de uma superfície pela razão "perímetro-área".

Como se sabe, a dimensão euclidiana de um ponto é DE=d=0. Vamos encontrar a dimensão das figuras geométricas, tomando como exemplo a seção diametral de uma bola de raio r:

comprimento (diâmetro) L=2r (L=Vd=1),

área seccional A=r2 (A=Vd=2),

volume da bola V=(4/3)r3 (V=Vd=3).

Essas quantidades medidas conhecidas podem ser determinadas pela fórmula geral

onde G(x) ? função gama igual a

Se n? inteiro, então

em n=0,1,2,…

2. Dimensão de objetos geométricos

A dimensão de um objeto fractal é determinada com base no conceito de um fractal. Um fractal é um conjunto cuja dimensão Hausdorff-Besikovich é estritamente maior que a dimensão topológica. O fractal tem uma dimensão fracionária.

No caso bidimensional, a curva fractal é obtida usando alguma linha quebrada (ou superfície no caso tridimensional) chamada de gerador. Em uma etapa do algoritmo, cada um dos segmentos que compõem a linha quebrada é substituído por uma linha quebrada - um gerador, na escala apropriada. Como resultado da repetição infinita deste procedimento, obtém-se um fractal geométrico.

Vamos considerar um desses objetos fractais - curva triádica de Koch. A construção da curva começa com um segmento de unidade de comprimento (Fig. 1) esta é a 0ª geração da curva.

Arroz. 1. Procedimento para construção da curva de Koch

Além disso, cada link (um segmento na geração zero) é substituído por um elemento gerador, denotado por n=1. Como resultado de tal substituição, a próxima geração da curva de Koch é obtida. Na 1ª geração, trata-se de uma curva de quatro elos retos, cada um com comprimento de 1/

Para obter a 3ª geração, as mesmas ações são realizadas: cada link é substituído por um elemento formador reduzido. Assim, para obter cada geração subsequente, todos os links da geração anterior devem ser substituídos por um elemento formador reduzido.

A curva de Koch é uma estrutura que consiste em partes que são, em certo sentido, semelhantes ao todo. Esses objetos geométricos são chamados de objetos auto-similares. Isso significa que em uma ampla gama de escalas, as características topográficas e as repetições de objetos são as mesmas.

Assim, para a curva de Koch, escolhendo um fragmento igual a 1/3 do segmento de reta, com comprimento igual a um, e aumentando-o três vezes, obtemos o segmento original igual a um. Tais objetos têm escala, ou escala de medição.

Na fig. 1 mostra três gerações da curva. Se tomarmos como base não uma linha reta, mas um triângulo e aplicarmos o mesmo algoritmo para cada um dos lados, obteremos um fractal chamado floco de neve de Koch (ilha) (Fig. 2).

Arroz. 2. Ilha ("floco de neve") Koch

Ao construir as próximas gerações, a regra é cumprida: o primeiro elo à esquerda é substituído por um elemento gerador de modo que o meio do elo se desloque para a esquerda da direção do movimento e, ao substituir os próximos elos, as direções de deslocamento dos pontos médios dos segmentos devem se alternar. Na fig. 2 mostra as primeiras gerações da curva construída de acordo com o princípio descrito.

A curva fractal limitante (para n > ?) é chamada de "dragão" de Harter-Hateway (Fig. 3). Na fig. 4 mostra o "tapete" do matemático polonês Sierpinski.

Arroz. 3. O procedimento para a construção do "dragão" "Harter-Hateway

Arroz. 4. Construção do "tapete" de Sierpinski

3. Fractals naturais

Nuvens, montanhas, arbustos, árvores e outras plantas também têm uma estrutura fractal. Considere o processo de crescimento do arbusto (Fig. 5). Primeiro, um galho apareceu, depois soltou dois brotos, no próximo estágio, cada broto bifurcado novamente, a mesma coisa acontece no próximo estágio e, como resultado, uma planta bizarra auto-semelhante cresce a partir do "garfo" inicial de dois tiros.

Arroz. 5. Modelo Bush

Foi obtido por repetição repetida do padrão original (n=1). Na fig. As Figuras 5 e 6 mostram exemplos de construção de objetos fractais semelhantes a formações naturais (Fig. 7).

Arroz. 6. Construindo um objeto fractal

Arroz. 7. Objetos fractais naturais:

a - alpinista renal; b? carvalho; dentro? erva-cidreira; g - cavalinha

4. Dimensão Hausdorff-Besikovich

Para estimar a dimensão de Hausdorff-Besikovich, considere a medição de um conjunto de pontos? espaço métrico (Fig. 8).

Arroz. 8. Pontos no Espaço Métrico

Vamos dividir o espaço em células quadradas com tamanho do lado da célula q e contar o número de células que cobrem este conjunto. A redução do tamanho das células leva a um aumento no número de células que cobrem o conjunto. Cada célula tem uma área q2, então a área do conjunto

onde N(g) é o número de células que cobrem o conjunto.

Considere algumas grandezas que caracterizam o conjunto. Assim, o "comprimento" da superfície é determinado pela expressão

Uma vez que, então, o "comprimento" da superfície, determinado pela passagem ao limite, é igual a:

Superfície "volume"

Assim, o "comprimento" do conjunto tende ao infinito, e o "volume"? para zero.

Pelas características do "valor" (comprimento, volume) de um conjunto de pontos? é usada alguma função de teste que determina as dimensões da célula: comprimento em d=1, área em d=2, volume em d= "Valor", ou a medida do conjunto? definido como a soma dos "valores" de todas as células que cobrem um espaço métrico?:

A constante depende da forma das células (para uma célula quadrada).

Para algum expoente d, a medida Md para q > 0 é igual a zero, ou infinito, ou algum número positivo finito (não necessariamente inteiro). O valor de d, no qual a medida Md não é igual a zero ou infinito, reflete adequadamente a dimensão topológica do conjunto?.

O número dcr é tal que

é chamada de dimensão de Hausdorff-Besikovich.

Para objetos geométricos "simples" (não fractais), a dimensão Hausdorff-Besikovich coincide com a dimensão topológica. Para objetos fractais, o salto da medida Md de zero ao infinito ocorre em valores fracionários de d.

Deixe a função N(q) depender de q com uma singularidade de potência em zero

onde b(d)dd >0 para q>0.

Até valores infinitesimais, escrevemos

Assim, temos

5. Medindo o comprimento de uma linha não lisa (quebrada)

Como medir o comprimento do litoral?

Considere os seguintes métodos de medição relativamente simples.

Marcamos o início e o fim da seção medida com os pontos A e B (Fig. 9).

Arroz. 9. Medindo o comprimento de uma linha com uma solução de bússola ou usando uma grade

Um dos procedimentos para medir o comprimento é o seguinte.

Vamos medir o comprimento da linha do ponto A ao ponto B com segmentos de comprimento d.

Tendo contado o número de segmentos, encontramos o comprimento.Com uma diminuição na abertura do compasso q, o número de segmentos N(q) aumenta. Uma dependência típica de L(q) em q em coordenadas logarítmicas é mostrada na fig. dez.

Arroz. 10. Dependência do comprimento medido da linha quebrada (costeira) na escala (comprimento do segmento d)

Sem nos deter nas deficiências deste método, especialmente ao determinar a dimensão fractal de um perfil de superfície rugosa, consideremos outro método (alternativo).

Vamos cobrir a área em consideração com uma grade quadrada (lado direito da Fig. 9) e contar o número de células que cobrem a linha em consideração.

A redução do tamanho das células leva a um aumento no número de células que cobrem a linha AB. Deve-se esperar que o número de passos da bússola de medição ou o número de células que cobrem a linha seja inversamente proporcional a d ou d*x d*, e o valor tenderá a um valor constante para a linha dada L(d) . No entanto, à medida que q ou o tamanho das células da grade diminui, o comprimento da linha não tende a um valor constante. Para q > 0, o comprimento medido cresce continuamente, ou seja, para q>0, o valor de L(q) não é um limite.

O comprimento de linha medido pode ser descrito pela seguinte fórmula aproximada:

onde D é a dimensão fractal da linha.

É fácil mostrar isso para uma linha reta e, por exemplo, para um círculo D=1. A circunferência com q decrescente tende a um valor constante igual a 2pR, onde R é o raio do círculo.

dimensionamento de superfície de dimensão fractal

6. Dimensão fractal

B. B. Mandelbrot propôs a seguinte definição de fractal. Um fractal é um conjunto cuja dimensão Hausdorff-Besikovich (Kh-B) é estritamente maior que sua dimensão topológica (E. Feder, 1991). Uma definição não rigorosa que não requer esclarecimento dos conceitos de conjunto, dimensão XB, dimensão topológica, é formulada da seguinte forma: fractal? é uma estrutura composta de partes como um todo. Ou ainda mais simples: um fractal é uma estrutura com dimensão fracionária.

A dependência N(q) do número de segmentos q (ou o número de células que cobrem a linha) no tamanho do segmento (ou tamanho da célula) é descrita pela seguinte relação, até um fator:

onde D é a dimensão fractal.

Se traçarmos a dependência lgN(d)-lg(d), então a dimensão fractal é igual à inclinação (inclinação) do gráfico, ou seja,

A dimensão, determinada pela contagem do número de células (células) que cobrem a linha, dependendo do tamanho da célula, é chamada de dimensão da célula.

Dimensão fractal da superfície. Vamos cobrir a área estudada da superfície com um sistema de triângulos idênticos e calcular a área de cobertura total igual a

onde AD é a área do triângulo. Vamos dividir a área resultante pelo valor da área-projeção nominal da superfície real sobre o plano, determinada pelo contorno geométrico da área em estudo.

Então, tendo traçado em coordenadas logarítmicas duplas a dependência da área relativa do revestimento na área do elemento de cobertura, é possível encontrar, em uma certa faixa de mudanças na área do elemento, a inclinação ou inclinação da linha reta, cujo valor é tomado com um sinal de menos.

Como resultado do cálculo, a dimensão fractal da superfície é encontrada, igual a

A dimensão fractal da superfície varia dentro de 2

7. Semelhança e dimensionamento

Vamos dar uma definição de semelhança geométrica.

Duas figuras geométricas são chamadas semelhantes se: 1) o ângulo entre cada duas linhas em uma delas é igual ao ângulo entre as linhas correspondentes na outra, e 2) cada segmento de linha reta em uma delas está em relação constante com a segmento de linha correspondente no outro.

Assim, dois polígonos são semelhantes se seus ângulos correspondentes forem iguais e os comprimentos dos lados que envolvem esses ângulos forem proporcionais.

Além da semelhança geométrica, existem semelhanças cinemáticas e dinâmicas para fenômenos mecânicos que fundamentam os procedimentos de modelagem.

Uma linha reta com translação paralela permanece ela mesma.

Pode-se argumentar que a linha é invariante sob tradução paralela e dimensionamento (escalonamento), ou seja, ela é auto-semelhante.

Assim, a escala é um reflexo da invariância da escala.

Para um segmento de linha reta de comprimento unitário, você pode escolher o coeficiente de similaridade

onde N é qualquer número inteiro (N>1).

Uma seção retangular do plano pode ser coberta com cópias reduzidas se seus comprimentos forem alterados por r(N)=(1/N)1/2 vezes.

Da mesma forma, um paralelepípedo retangular pode ser coberto com suas cópias menores escolhendo o fator de escala r(N)=(1/N)1/ No caso geral, o fator de escala deve ser escolhido igual a

onde d é a dimensão de similaridade, igual a 1 para uma linha reta, 2 para um plano e 3 para figuras tridimensionais.

Para estruturas geométricas fractais, a dimensão de similaridade Dp é determinada pela expressão

8. Auto-semelhança e auto-afinidade

Tomemos como exemplo o movimento de uma partícula browniana. Suas coordenadas no plano (x, y) e no tempo (t) são grandezas físicas com dimensões diferentes. É por isso que as coordenadas e os tempos terão coeficientes de similaridade diferentes. Uma transformação afim transforma o ponto x=(x1,x2,…,xE) em um novo ponto x"=(r1 x1, r2 x2,…,rE xE), onde nem todos os coeficientes de similaridade r1, …,rE são iguais .

Para um perfil auto-afim, pode-se escrever

Aqui b é a escala de ampliação; Expoente H (expoente de Hurst).

O expoente Hurst muda no intervalo 0

9. Expoente de Hurst

O expoente de Hurst permite determinar a dimensão fractal de uma sequência de medições, em particular, foi utilizado como ferramenta para estimativa estatística de alturas de onda [E. Feder]. Considera-se estabelecida a relação entre o expoente de Hurst e as dimensões fractais da onda e as alturas da superfície, expressa pelas seguintes relações simples para o perfil e a superfície: D=2-H; DS=3-H. Considere o método para determinar o expoente de Hurst.

1. Encontre N alturas dos topos das saliências H=(h1, h2,…,hN)T e determine os valores relativos dessas alturas x1, x2,…, xN, xi, onde. Se as alturas das saliências obedecerem à distribuição beta, os valores хi хi.

2. Encontre a média da amostra (de N alturas das saliências)

Determine o desvio acumulado

Na fig. onze.

Arroz. 11. Dependência do desvio acumulado X(n,N) em N

A partir do gráfico, encontramos o intervalo R.

4. Calcule o desvio padrão? desvio padrão da amostra das alturas relativas das saliências

5. Representamos a razão R/S, que depende do expoente de Hurst, na forma

onde H é o expoente de Hurst.

Com uma amostra representativa de alturas de saliência, o expoente H pode ser encontrado usando a expressão empírica de Hurst acima. É de interesse encontrar a dependência de R/S no número de saliências consideradas N. Esta dependência em coordenadas logarítmicas será uma linha reta, cuja inclinação é determinada pelo expoente de Hurst. A dimensão fractal da sequência de valores relativos das alturas de saliência será igual a D=2-H.

Considere o exemplo a seguir. As ordenadas do perfil de superfície (com um passo de 10 µm) foram tomadas como dados iniciais. O comprimento do caminho foi de 800 µm. As ordenadas tinham uma ampliação vertical de 50.000. Na fig. 12 mostra o perfil da superfície (curva 1) e o desvio acumulado das ordenadas da linha média (curva 2).

Arroz. 12. Perfil de superfície (1) e desvio acumulado (2) de ordenadas da linha média do perfil

O intervalo depende do comprimento considerado do perfilograma (o número de números de ordenadas). É claro que o alcance aumenta com o aumento. A dependência da faixa normal, definida pela expressão (R/S), é mostrada em coordenadas logarítmicas para a superfície de aço considerada na fig. 1.

Arroz. 13 Método de intervalo normalizado para estimar a dimensão fractal de um perfil

Considere o algoritmo para determinar o expoente de Hurst usando o método dos mínimos quadrados (LSM). Vamos procurar a equação de regressão na forma

onde y=lg(R/S), b=lg(a), m=H, x=lg(f/2).

Entrada: N (número de pontos), (оi, çi), i=1,2,…,N (coordenadas dos pontos)

Saída: b=lg(a) (deslocamento), m=H (inclinação)

Algoritmo:

A função de aproximação da dependência mostrada na Fig. 13, é uma dependência de potência da forma:

Assim, o expoente de Hurst é igual a H=0,35, e a dimensão fractal do perfil é estimada como D=2 H=2 0,35=1,65.

A autoafinidade estatística se deve à semelhança da aparência do perfil em diferentes escalas. Em outras palavras, uma superfície rugosa é sempre não lisa quando vista em diferentes ampliações.

Em 0,5

Em 0

Como exemplo, na fig. 14 mostra a sequência da série temporal (ou ordenadas do perfil da superfície rugosa) e a dependência da faixa normalizada no tempo (comprimento do perfil).

Arroz. 14. A sequência de ordenadas e a dependência do intervalo normalizado no comprimento

Chama-se a atenção para os diferentes valores do expoente de Hurst nas três seções da análise R/S. Com um pequeno número de elementos, o expoente de Hurst está próximo da unidade e não reflete exatamente a estrutura fractal do objeto.

Sayles e Thomas (R.S. Sayles, T.R. Thomas) mediram e analisaram a rugosidade da superfície de vários objetos, incluindo superfícies metálicas de engenharia.

A altura da superfície z foi medida em vários pontos x ao longo de alguma direção. Tendo um grande número de medições em toda a área da superfície, é possível calcular a rugosidade da superfície determinada pela dispersão:

Aqui, os colchetes angulares denotam a média sobre uma série de medições (às vezes múltiplas repetidas) da topografia da superfície. O ponto de referência vertical é escolhido de modo que

Uma medida importante das propriedades estatísticas de uma superfície é a função de correlação definida pela relação:

Para superfícies estacionárias, a função de correlação pode ser expressa em termos do espectro de potência G() usando a transformada de Fourier

Aqui u é a frequência.

Para uma superfície rugosa, os limites inferior e superior de integração corresponderão a u min e u max.

A estimativa de frequência é caracterizada pelo primeiro e segundo cruzamentos (Fig. 1.3).

Para um perfil de superfície auto-afino ou auto-semelhante, a densidade espectral tem a forma de lei de potência

Aqui f é a taxa de amostragem; aeb são coeficientes de regressão.

O coeficiente a é chamado de coeficiente de rugosidade, eb caracteriza a dimensão fractal do perfil.

10. A relação "perímetro-área"

Vamos comparar a razão "perímetro-área" para objetos geométricos não fractais (Tabela 1) e fractais.

1. Objetos não fractais.

Tabela 1. Relação "perímetro - área" na geometria euclidiana

2. Objetos fractais.

Por analogia com objetos não fractais, escrevemos a razão "área de perímetro" na forma

Aqui P é o perímetro; A - área; R(d) - parâmetro dependendo da escala de medição (tamanho da célula quadrada); D - dimensão fractal da linha "costa" (1< D < 2).

Considerando que o perímetro é determinado pela expressão

escrevemos a relação (1) na forma

Aqui c é um coeficiente.

A mudança no perímetro em diferentes escalas de medição é determinada pela fórmula

A relação (2) expressa a condição de auto-semelhança para "ilhas" com limites fractais (neste caso, a escala de medição q deve ser pequena o suficiente para medir com precisão a região da menor ilha).

Tomamos o logaritmo da relação (2)

Transformando a expressão resultante, escrevemos:

Na fig. 15 mostra a dependência "perímetro - área", apresentada em coordenadas logarítmicas.

A inclinação da linha reta mostrada na fig. 15 é igual a 2/D.

Arroz. 3.15. Dependência "área - perímetro"

A análise da expressão (3) mostra que o valor

2lg(c1/Dd1-D)/D),

que depende da escala de medição d, pode ser desprezada, pois em uma escala de medição suficientemente grande a "ilha" se torna um objeto não fractal. De fato, com D=DE=1 e a escala em que c=1, temos:

Vamos finalmente escrever

Da expressão (4) encontramos a dimensão fractal da linha "costa"

O gráfico (Fig. 15), construído em coordenadas logarítmicas duplas, reflete a condição de auto-similaridade e permite encontrar a dimensão fractal.

O procedimento para determinar a dimensão fractal é cobrir o objeto fractal? "ilhas" - uma grade quadrada com tamanho de célula d.

Nesse caso, o perímetro e a área da figura podem ser determinados pelas fórmulas

onde é o número de células preenchidas pela linha "costa"; - o número de células que cobrem a área da "ilha".

Assim, após o cálculo e, de acordo com as fórmulas (5) e (4), calcula-se a dimensão fractal D.

Para determinar a dimensão fractal da superfície, usamos a abordagem proposta por B. Mandelbrot

11. Dimensão das superfícies fractais

A relação perímetro-área é usada para caracterizar uma variedade de objetos fractais usados ​​em uma ampla gama de problemas científicos e técnicos.

Em particular, esta razão é efetivamente utilizada em trabalhos que caracterizam as superfícies de fratura do aço e uma técnica para determinar superfícies de fratura específicas.

Em relação às superfícies de engenharia, esta relação é raramente utilizada. Basicamente, ao determinar a dimensão fractal de uma superfície, o método de revestimento é usado. Na fig. 16 mostra modelos de superfícies fractais para diferentes valores da dimensão fractal.

Para determinar a dimensão fractal de uma superfície, considere o contato de uma superfície fractal com uma superfície lisa.

Como exemplo, tome uma seção da superfície por um plano paralelo ao plano mediano. Na fig. 17 mostra tal seção de uma superfície fractal com DS = 2,6.

Arroz. 16. Modelos de superfícies fractais

Arroz. 17. Seção de uma superfície fractal

Acredita-se que todas as "ilhas" da Fig. 17 são auto-similares. Então, para analisar a relação perímetro-área, destacamos uma "ilha" característica (Fig. 18).

Arroz. 18. A imagem da "ilha"

Na fig. 19 mostra o procedimento para determinar a dimensão fractal pelo método celular.

Arroz. 19. Estimando a Dimensão Fractal: Cobrindo um Objeto Fractal com uma Malha Quadrada (Paul S. Addison)

Na fig. 20 é um gráfico do gráfico área-perímetro em coordenadas logarítmicas duplas, construído com base na fig. 19.

Ao mesmo tempo, consideramos que o número de quadrados é proporcional aos parâmetros correspondentes: área e perímetro

A dependência do número de células que cobrem a área da "ilha" NA do número de células em que a linha "costeira" da ilha NP caiu, construída em coordenadas logarítmicas para diferentes tamanhos do lado da célula quadrada , é estimado neste exemplo pela equação de regressão

NA=-69,14+3,303NP.

Arroz. 20. Dependências "área-perímetro"

A dimensão fractal é determinada pela expressão

Ao estudar o contato de duas superfícies fractais com suas próprias dimensões fractais, um ponto atrativo é a substituição de duas superfícies fractais pelo contato de uma superfície lisa com uma fractal reduzida.

Para isso, utilizamos o procedimento discutido anteriormente. Vamos simular o contato de duas superfícies e determinar os pontos de contato em alguma aproximação.

Na fig. 21 mostra uma foto do contato de duas superfícies com a "ilha" selecionada para pesquisa.

Arroz. 21. Contato de superfícies fractais

Bibliografia

1. Mandelbrot B. Geometria fractal da natureza / B. Mandelbrot: [trad. do inglês]. - M.: Instituto de Pesquisa em Computação, 2012. - 656 p.

2. Feder E. Fractals / E. Feder: [trans. do inglês]. - M.: Mir, 1991. - 254 p.

3. Mandelbrot B.B. Caráter fractal de superfícies de fratura de metais / B.B. Mandelbrot //Nature, 1984. - V. 308. - P. 721-722.

4. Mu Z.Q. Estudos sobre a dimensão fractal e tenacidade à fratura do aço / Z.Q. Mu, C. W. Pulmão // J. Phys. D: Ap. Phys., 1988. - V. 21. - P. 848-850.

5. Sayles R.S. Topografia de superfície como processo aleatório não estacionário / R.S. Sayles, T. R. Thomas // Nature, 1978. - V. 271. - P. 431-434.

6. Addison P.S. Fractals e Caos-Um Curso Ilustrado / P.S. Addison. - Inst. de Publicação de Física. - Bristol, 2007.

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Muito se fala em fractais. Existem centenas de sites dedicados a fractais na Web. Mas a maioria das informações se resume ao fato de que os fractais são belos. O mistério dos fractais é explicado por sua dimensão fracionária, mas poucas pessoas entendem o que é dimensão fracionária.

Em algum momento de 1996, fiquei interessado no que é a dimensão fracionária e qual é o seu significado. Imagine minha surpresa quando descobri que isso não é uma coisa tão complicada, e qualquer aluno pode entender.

Vou tentar afirmar aqui de uma forma popular o que é uma dimensão fracionária. Para compensar a aguda falta de informação sobre este tema.

Medida do corpo

Primeiro, uma pequena introdução para colocar em ordem nossas idéias cotidianas sobre a medição de corpos.

Sem nos esforçarmos para a precisão matemática das formulações, vamos descobrir qual é o tamanho, medida e dimensão.

O tamanho de um objeto pode ser medido com uma régua. Na maioria dos casos, o tamanho acaba sendo pouco informativo. Qual "montanha" é maior?

Se compararmos as alturas, mais vermelho, se as larguras - verde.

A comparação de tamanho pode ser informativa se os itens forem semelhantes entre si:

Agora, não importa quais dimensões comparamos: largura, altura, lado, perímetro, raio do círculo inscrito, ou qualquer outra, sempre acontece que a montanha verde é maior.

A medida também serve para medir objetos, mas não é medida com régua. Falaremos exatamente como ela é medida, mas por enquanto observamos sua principal propriedade - a medida é aditiva.

Na linguagem cotidiana, quando dois objetos são fundidos, a medida da soma dos objetos é igual à soma das medidas dos objetos originais.

Para objetos unidimensionais, a medida é proporcional ao tamanho. Se você pegar segmentos com um comprimento de 1 cm e 3 cm, "dobrá-los" juntos, então o segmento "total" terá um comprimento de 4 cm (1 + 3 = 4 cm).

Para corpos não unidimensionais, a medida é calculada de acordo com algumas regras, que são escolhidas para que a medida preserve a aditividade. Por exemplo, se você pegar quadrados com lados de 3cm e 4cm e “dobrá-los” (juntá-los), então as áreas (9 + 16 = 25cm²) serão somadas, ou seja, o lado (tamanho) do resultado será ser 5cm.

Tanto os termos quanto a soma são quadrados. Eles são semelhantes entre si e podemos comparar seus tamanhos. Acontece que o tamanho da soma não é igual à soma dos tamanhos dos termos (5≄4+3).

Como a medida e o tamanho estão relacionados?

Dimensão

Apenas a dimensão e permite conectar a medida e o tamanho.

Vamos denotar a dimensão - D, a medida - M, o tamanho - L. Então a fórmula que conecta essas três quantidades ficará assim:

Para medidas familiares para nós, esta fórmula assume formas familiares. Para corpos bidimensionais (D=2) a medida (M) é área (S), para corpos tridimensionais (D=3) - volume (V):

S \u003d L 2, V \u003d L 3

O leitor atento perguntará: com que direito escrevemos o sinal de igual? Bem, a área de um quadrado é igual ao quadrado de seu lado, mas a área de um círculo? Essa fórmula funciona para qualquer objeto?

Sim e não. Você pode substituir as igualdades por proporções e inserir coeficientes, ou pode assumir que inserimos as dimensões dos corpos apenas para que a fórmula funcione. Por exemplo, para um círculo, chamaremos o tamanho do comprimento do arco igual à raiz de "pi" radianos. Por que não?

Em qualquer caso, a presença ou ausência de coeficientes não mudará a essência do raciocínio posterior. Por simplicidade, não introduzirei coeficientes; se quiser, você mesmo pode adicioná-los, repetir todo o raciocínio e certificar-se de que eles (o raciocínio) não perderam sua validade.

De tudo o que foi dito, devemos tirar uma conclusão de que, se a figura for reduzida em N vezes (escala), ela se encaixará nas N D vezes originais.

De fato, se o segmento (D=1) for reduzido em 5 vezes, ele caberá exatamente cinco vezes no original (5 1 =5); Se o triângulo (D = 2) for reduzido em 3 vezes, ele caberá no original 9 vezes (3 2 = 9).

Se o cubo (D = 3) for reduzido em 2 vezes, ele caberá no original 8 vezes (2 3 = 8).

O oposto também é verdadeiro: se, quando o tamanho da figura é reduzido em N vezes, ele se encaixa no original n vezes (ou seja, sua medida diminuiu n vezes), então a dimensão pode ser calculada pela fórmula.