abstrato

Erro absoluto e relativo

Introdução

Erro absoluto - é uma estimativa do erro de medição absoluto. É calculado de diferentes maneiras. O método de cálculo é determinado pela distribuição da variável aleatória. Assim, a magnitude do erro absoluto dependendo da distribuição da variável aleatória pode ser diferente. Se um é o valor medido e é o valor verdadeiro, então a desigualdade deve ser satisfeita com alguma probabilidade próxima de 1. Se a variável aleatória distribuído de acordo com a lei normal, então geralmente seu desvio padrão é tomado como o erro absoluto. O erro absoluto é medido nas mesmas unidades que o próprio valor.

Existem várias maneiras de escrever uma quantidade juntamente com seu erro absoluto.

· Normalmente, a notação assinada é usada ± . Por exemplo, o recorde de 100m estabelecido em 1983 é 9,930±0,005 s.

· Para registrar valores medidos com altíssima precisão, outra notação é usada: os números correspondentes ao erro dos últimos dígitos da mantissa são adicionados entre colchetes. Por exemplo, o valor medido da constante de Boltzmann é 1,380 6488 (13)×10?23 J/K, que também pode ser escrito por muito mais tempo como 1,380 6488×10?23 ± 0,000 0013×10?23 J/K.

Erro relativo- erro de medição, expresso como a razão entre o erro de medição absoluto e o valor real ou médio da grandeza medida (RMG 29-99):.

O erro relativo é uma quantidade adimensional ou é medido como uma porcentagem.

1. O que é chamado de valor aproximado?

Muito e pouco? No processo de cálculos, muitas vezes é preciso lidar com números aproximados. Deixar MAS- o valor exato de uma certa quantidade, doravante denominada o número exato a.Sob o valor aproximado da quantidade MAS,ou números aproximadoschamou um número uma, que substitui o valor exato da quantidade MAS.Se um uma< MAS,então umaé chamado de valor aproximado do número E por falta.Se um uma> MAS,- então em excesso.Por exemplo, 3,14 é uma aproximação do número ? por deficiência e 3,15 por excesso. Para caracterizar o grau de precisão dessa aproximação, é utilizado o conceito erros ou erros.

erro ?umanúmero aproximado umaé chamada de diferença da forma

?a = A - a,

Onde MASé o número exato correspondente.

A figura mostra que o comprimento do segmento AB está entre 6 cm e 7 cm.

Isso significa que 6 é o valor aproximado do comprimento do segmento AB (em centímetros)\u003e com deficiência e 7 com excesso.

Denotando o comprimento do segmento com a letra y, obtemos: 6< у < 1. Если a < х < b, то а называют приближенным значением числа х с недостатком, a b - приближенным значением х с избытком. Длина segmentoAB (ver Fig. 149) está mais próximo de 6 cm do que de 7 cm, é aproximadamente igual a 6 cm, dizem que o número 6 foi obtido arredondando o comprimento do segmento para inteiros.

. O que é um erro de aproximação?

A) absoluto?

B) Parente?

A) O erro absoluto de aproximação é o módulo da diferença entre o valor verdadeiro de uma grandeza e seu valor aproximado. |x - x_n|, onde x é o valor verdadeiro, x_n é o valor aproximado. Por exemplo: O comprimento de uma folha de papel A4 é de (29,7 ± 0,1) cm e a distância de São Petersburgo a Moscou é de (650 ± 1) km. O erro absoluto no primeiro caso não excede um milímetro e no segundo - um quilômetro. A questão é comparar a precisão dessas medidas.

Se você acha que o comprimento da folha é medido com mais precisão porque o erro absoluto não excede 1 mm. Então você está errado. Esses valores não podem ser comparados diretamente. Vamos fazer um raciocínio.

Ao medir o comprimento de uma folha, o erro absoluto não ultrapassa 0,1 cm por 29,7 cm, ou seja, em porcentagem, é 0,1 / 29,7 * 100% = 0,33% do valor medido.

Quando medimos a distância de São Petersburgo a Moscou, o erro absoluto não excede 1 km por 650 km, que é 1/650 * 100% = 0,15% do valor medido em porcentagem. Vemos que a distância entre as cidades é medida com mais precisão do que o comprimento de uma folha A4.

B) O erro relativo de aproximação é a razão entre o erro absoluto e o módulo do valor aproximado da quantidade.

fração de erro matemático

onde x é o valor verdadeiro, x_n é o valor aproximado.

O erro relativo é geralmente chamado de porcentagem.

Exemplo. Arredondar o número 24,3 para unidades resulta no número 24.

O erro relativo é igual. Dizem que o erro relativo neste caso é de 12,5%.

) Que tipo de arredondamento é chamado de arredondamento?

A) com desvantagem?

b) Muito?

A) arredondamento para baixo

Ao arredondar um número expresso como uma fração decimal para dentro de 10^(-n), os primeiros n dígitos após o ponto decimal são mantidos e os subsequentes são descartados.

Por exemplo, arredondar 12,4587 para o milésimo mais próximo com um demérito resulta em 12,458.

B) Arredondamento

Ao arredondar um número expresso como uma fração decimal, até 10^(-n), os primeiros n dígitos após o ponto decimal são retidos com excesso e os subsequentes são descartados.

Por exemplo, arredondar 12,4587 para o milésimo mais próximo com um demérito resulta em 12,459.

) A regra para arredondamento de decimais.

Regra. Para arredondar um decimal para um determinado dígito da parte inteira ou fracionária, todos os dígitos menores são substituídos por zeros ou descartados, e o dígito anterior ao dígito descartado durante o arredondamento não altera seu valor se for seguido pelos números 0, 1, 2, 3, 4, e aumenta em 1 (um) se os números forem 5, 6, 7, 8, 9.

Exemplo. Arredonde a fração 93,70584 para:

dez milésimos: 93,7058

milésimos: 93.706

centésimos: 93,71

décimos: 93,7

inteiro: 94

dezenas: 90

Apesar da igualdade dos erros absolutos, uma vez que grandezas medidas são diferentes. Quanto maior o tamanho medido, menor o erro relativo em uma constante absoluta.

Tutoria

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Erros de medição de grandezas físicas

1.Introdução (medidas e erros de medição)

2. Erros aleatórios e sistemáticos

3. Erros absolutos e relativos

4. Erros de instrumentos de medição

5. Classe de precisão de instrumentos de medição elétrica

6. Erro de leitura

7. Erro absoluto total de medições diretas

8. Registrando o resultado final da medição direta

9. Erros de medições indiretas

10.Exemplo

1. Introdução (medidas e erros de medição)

A física como ciência nasceu há mais de 300 anos, quando Galileu criou essencialmente o estudo científico dos fenômenos físicos: as leis físicas são estabelecidas e verificadas experimentalmente acumulando e comparando dados experimentais representados por um conjunto de números, as leis são formuladas na linguagem de matemática, ou seja, com a ajuda de fórmulas que ligam valores numéricos de quantidades físicas por dependência funcional. Portanto, a física é uma ciência experimental, a física é uma ciência quantitativa.

Vamos nos familiarizar com algumas características de qualquer medida.

Medir é encontrar o valor numérico de uma quantidade física empiricamente usando instrumentos de medição (réguas, voltímetros, relógios, etc.).

As medições podem ser diretas e indiretas.

A medição direta é a determinação do valor numérico de uma grandeza física diretamente por instrumentos de medição. Por exemplo, comprimento - com uma régua, pressão atmosférica - com um barômetro.

A medição indireta é a determinação do valor numérico de uma grandeza física de acordo com uma fórmula que relaciona o valor desejado com outras grandezas determinadas por medições diretas. Por exemplo, a resistência de um condutor é determinada pela fórmula R=U/I, onde U e I são medidos por instrumentos elétricos de medição.

Considere um exemplo de medição.

Meça o comprimento da barra com uma régua (divisão 1 mm). Pode-se apenas afirmar que o comprimento da barra está entre 22 e 23 mm. A largura do intervalo “desconhecido” é de 1 mm, ou seja, é igual ao valor da divisão. A substituição da régua por um instrumento mais sensível, como um paquímetro, reduzirá esse intervalo, resultando em um aumento na precisão da medição. Em nosso exemplo, a precisão da medição não excede 1 mm.

Portanto, as medições nunca podem ser absolutamente precisas. O resultado de qualquer medição é aproximado. A incerteza na medição é caracterizada por um erro - um desvio do valor medido de uma quantidade física de seu valor real.

Listamos alguns dos motivos que levam ao aparecimento de erros.

1. Precisão limitada na fabricação de instrumentos de medição.

2. Influência na medição das condições externas (mudança de temperatura, flutuação de tensão...).

3. Ações do experimentador (atraso em ligar o cronômetro, posição diferente do olho...).

4. Natureza aproximada das leis utilizadas para encontrar as grandezas medidas.

As razões listadas para o aparecimento de erros não podem ser eliminadas, embora possam ser minimizadas. Para estabelecer a confiabilidade das conclusões obtidas como resultado de pesquisas científicas, existem métodos para avaliar esses erros.

2. Erros aleatórios e sistemáticos

Erros decorrentes de medições são divididos em sistemáticos e aleatórios.

Erros sistemáticos são erros correspondentes ao desvio do valor medido do valor real de uma grandeza física, sempre em uma direção (aumento ou diminuição). Com medições repetidas, o erro permanece o mesmo.

Causas de erros sistemáticos:

1) não conformidade dos instrumentos de medição com a norma;

2) instalação incorreta dos instrumentos de medição (inclinação, desbalanceamento);

3) não coincidência dos indicadores iniciais de dispositivos com zero e ignorando as correções que surgem em conexão com isso;

4) discrepância entre o objeto medido e a suposição sobre suas propriedades (presença de vazios, etc.).

Erros aleatórios são erros que alteram seu valor numérico de forma imprevisível. Tais erros são causados ​​por um grande número de causas incontroláveis ​​que afetam o processo de medição (irregularidades na superfície do objeto, vento, picos de energia, etc.). A influência de erros aleatórios pode ser reduzida pela repetição repetida do experimento.

3. Erros absolutos e relativos

Para uma avaliação quantitativa da qualidade das medições, são introduzidos os conceitos de erros de medição absolutos e relativos.

Como já mencionado, qualquer medida fornece apenas um valor aproximado de uma quantidade física, mas você pode especificar um intervalo que contenha seu valor verdadeiro:

A pr - D A< А ист < А пр + D А

valor D A é chamado de erro absoluto na medição da grandeza A. O erro absoluto é expresso em unidades da grandeza medida. O erro absoluto é igual ao módulo do desvio máximo possível do valor de uma grandeza física do valor medido. A pr - o valor de uma quantidade física obtida experimentalmente, se a medição foi realizada repetidamente, então a média aritmética dessas medições.

Mas para avaliar a qualidade da medição, é necessário determinar o erro relativo e. e \u003d D A / A pr ou e \u003d (D A / A pr) * 100%.

Se durante a medição for obtido um erro relativo de mais de 10%, eles dizem que apenas uma estimativa do valor medido foi feita. Nos laboratórios de uma oficina física, recomenda-se realizar medições com erro relativo de até 10%. Em laboratórios científicos, algumas medições precisas (como determinar o comprimento de onda da luz) são realizadas com uma precisão de milionésimos de um por cento.

4. Erros de instrumentos de medição

Esses erros também são chamados de instrumentais ou instrumentais. Eles se devem ao design do dispositivo de medição, à precisão de sua fabricação e calibração. Geralmente eles estão satisfeitos com os erros instrumentais permitidos relatados pelo fabricante no passaporte para este dispositivo. Esses erros permitidos são regulados por GOSTs. Isso também se aplica aos padrões. Normalmente, o erro instrumental absoluto é denotado por D e A.

Se não houver informações sobre o erro permitido (por exemplo, para uma régua), metade do preço da divisão pode ser considerada como esse erro.

Na pesagem, o erro instrumental absoluto é a soma dos erros instrumentais das balanças e pesos. A tabela mostra os erros permitidos com mais frequência

instrumentos de medição encontrados na experiência escolar.

Medindo	Limite de medição	Valor da divisão	Erro permitido
régua do estudante
régua de demonstração
fita métrica
taça
pesa 10,20, 50 mg
pesa 100.200 mg
pesa 500mg
pinças
micrômetro
dinamômetro
escalas educacionais
Cronômetro			1s por 30 min
barômetro aneróide	720-780 mmHg	1 mmHg	3 mmHg
termômetro de laboratório	0-100 graus C
amperímetro escolar
escola de voltímetro

5. Classe de precisão de instrumentos de medição elétrica

De acordo com os valores de erro permitidos, os instrumentos de medição elétrica de ponteiro são divididos em classes de precisão, que são indicadas nas escalas do instrumento pelos números 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4.0. Classe de precisão g pr instrumento mostra quantos por cento é o erro absoluto de toda a escala do instrumento.

g pr \u003d (D e A / A max) * 100% .

Por exemplo, o erro instrumental absoluto de um instrumento classe 2.5 é de 2,5% de sua escala.

Se a classe de precisão do dispositivo e sua escala forem conhecidas, o erro de medição instrumental absoluto pode ser determinado

D e A \u003d ( g pr * A max) / 100.

Para melhorar a precisão da medição com um dispositivo de medição elétrico de ponteiro, é necessário escolher um dispositivo com tal escala que durante o processo de medição esteja localizado na segunda metade da escala do dispositivo.

6. Erro de leitura

O erro de leitura é obtido a partir da leitura insuficientemente precisa das leituras dos instrumentos de medição.

Na maioria dos casos, o erro absoluto de leitura é considerado igual à metade do valor da divisão. As exceções são as medições com relógios analógicos (os ponteiros se movem aos solavancos).

O erro absoluto de leitura é geralmente denotado D oA

7. Erro absoluto total de medições diretas

Ao realizar medições diretas da grandeza física A, é necessário avaliar os seguintes erros: D uA, D oA e D sA (aleatório). Obviamente, outras fontes de erros associadas à instalação incorreta de instrumentos, desalinhamento da posição inicial do ponteiro do instrumento com 0, etc., devem ser excluídas.

O erro absoluto total da medição direta deve incluir todos os três tipos de erros.

Se o erro aleatório for pequeno comparado ao menor valor que pode ser medido por este instrumento de medição (comparado ao valor da divisão), então ele pode ser desprezado e então uma medição é suficiente para determinar o valor da grandeza física. Caso contrário, a teoria da probabilidade recomenda encontrar o resultado da medição como a média aritmética dos resultados de toda a série de medições múltiplas, o erro do resultado é calculado pelo método da estatística matemática. O conhecimento desses métodos vai além do currículo escolar.

8. Registrando o resultado final da medição direta

O resultado final da medição da grandeza física A deve ser escrito nesta forma;

A=A pr + D A, e \u003d (D A / A pr) * 100%.

A pr - o valor de uma quantidade física obtida experimentalmente, se a medição foi realizada repetidamente, então a média aritmética dessas medições. D A é o erro absoluto total da medição direta.

O erro absoluto é geralmente expresso como um algarismo significativo.

Exemplo: L=(7,9 + 0,1) milímetros, e=13%.

9. Erros de medições indiretas

Ao processar os resultados de medições indiretas de uma grandeza física que está funcionalmente relacionada às grandezas físicas A, B e C, que são medidas de maneira direta, o erro relativo da medição indireta é determinado primeiro e=D X / X pr, usando as fórmulas dadas na tabela (sem evidências).

O erro absoluto é determinado pela fórmula D X \u003d X pr * e,

onde e expresso como um decimal, não como uma porcentagem.

O resultado final é registrado da mesma forma que no caso de medições diretas.

Tipo de função	Fórmula
X=A+B+C
X=A-B
X=A*B*C
X=An
X=A/B

Exemplo: Vamos calcular o erro na medição do coeficiente de atrito usando um dinamômetro. A experiência é que a barra é puxada uniformemente ao longo de uma superfície horizontal e a força aplicada é medida: é igual à força de atrito de deslizamento.

Usando um dinamômetro, pesamos uma barra com pesos: 1,8 N. F tr \u003d 0,6 N

μ = 0,33. O erro instrumental do dinamômetro (encontrado na tabela) é Δ e = 0,05N, Erro de leitura (metade da divisão da escala)

Δ o = 0,05 N. O erro absoluto na medição do peso e da força de atrito é de 0,1 N.

Erro de medição relativo (5ª linha na tabela)

, portanto, o erro absoluto da medição indireta de μ é 0,22*0,33=0,074

Devido aos erros inerentes ao instrumento de medição, ao método e técnica de medição escolhidos, à diferença nas condições externas em que a medição é realizada das estabelecidas e outras razões, o resultado de quase todas as medições é carregado com um erro. Este erro é calculado ou estimado e atribuído ao resultado obtido.

Erro de medição(brevemente - erro de medição) - desvio do resultado da medição em relação ao valor real da grandeza medida.

O verdadeiro valor da quantidade devido à presença de erros permanece desconhecido. É usado na resolução de problemas teóricos de metrologia. Na prática, é utilizado o valor real da quantidade, que substitui o valor real.

O erro de medição (Δx) é encontrado pela fórmula:

x = x mes. - x real (1.3)

onde x mede. - o valor da quantidade obtida com base nas medições; x real é o valor da quantidade tomada como real.

O valor real para medições individuais é muitas vezes tomado como o valor obtido com a ajuda de um instrumento de medição exemplar, para medições repetidas - a média aritmética dos valores de medições individuais incluídas nesta série.

Os erros de medição podem ser classificados de acordo com os seguintes critérios:

Pela natureza da manifestação - sistemática e aleatória;

Por meio de expressão - absoluta e relativa;

De acordo com as condições de alteração do valor medido - estático e dinâmico;

De acordo com o método de processamento de uma série de medições - aritmética e raiz quadrada média;

De acordo com a integridade da cobertura da tarefa de medição - privada e completa;

Em relação à unidade de quantidade física - o erro de reprodução da unidade, armazenamento da unidade e transmissão do tamanho da unidade.

Erro de medição sistemática(brevemente - erro sistemático) - um componente do erro do resultado da medição, que permanece constante para uma determinada série de medições ou muda regularmente durante medições repetidas da mesma quantidade física.

De acordo com a natureza da manifestação, os erros sistemáticos são divididos em constantes, progressivos e periódicos. Erros sistemáticos permanentes(brevemente - erros constantes) - erros que mantêm seu valor por um longo tempo (por exemplo, durante toda a série de medições). Este é o tipo de erro mais comum.

Erros sistemáticos progressivos(brevemente - erros progressivos) - erros continuamente crescentes ou decrescentes (por exemplo, erros de desgaste de pontas de medição que entram em contato durante a retificação com uma peça quando ela é controlada por um dispositivo de controle ativo).

Erro sistemático periódico(brevemente - erro periódico) - um erro, cujo valor é uma função do tempo ou uma função do movimento do ponteiro do dispositivo de medição (por exemplo, a presença de excentricidade em goniômetros com escala circular causa um erro sistemático que varia de acordo com uma lei periódica).

Com base nas razões para o aparecimento de erros sistemáticos, existem erros instrumentais, erros de método, erros subjetivos e erros devidos ao desvio das condições externas de medição dos métodos estabelecidos.

Erro de medição instrumental(brevemente - erro instrumental) é resultado de uma série de motivos: desgaste das peças do instrumento, atrito excessivo no mecanismo do instrumento, cursos imprecisos na escala, discrepância entre os valores reais e nominais da medida, etc.

Erro do método de medição(brevemente - o erro do método) pode surgir devido à imperfeição do método de medição ou suas simplificações, estabelecidas pelo procedimento de medição. Por exemplo, tal erro pode ser devido à velocidade insuficiente dos instrumentos de medição usados ​​ao medir os parâmetros de processos rápidos ou impurezas não contabilizadas ao determinar a densidade de uma substância com base nos resultados da medição de sua massa e volume.

Erro de medição subjetiva(brevemente - erro subjetivo) é devido aos erros individuais do operador. Às vezes, esse erro é chamado de diferença pessoal. É causado, por exemplo, por um atraso ou adiantamento na aceitação de um sinal pelo operador.

Erro de desvio(em uma direção) condições de medição externas daquelas estabelecidas pelo procedimento de medição levam à ocorrência de um componente sistemático do erro de medição.

Erros sistemáticos distorcem o resultado da medição, por isso devem ser eliminados, na medida do possível, introduzindo correções ou ajustando o instrumento para trazer os erros sistemáticos a um mínimo aceitável.

Erro sistemático não excluído(brevemente - erro não excluído) - este é o erro do resultado da medição devido ao erro no cálculo e introdução de uma correção para o efeito de um erro sistemático, ou um pequeno erro sistemático, cuja correção não é introduzida devido a pequenez.

Este tipo de erro é por vezes referido como resíduos de viés não excluídos(brevemente - saldos não excluídos). Por exemplo, ao medir o comprimento de um medidor de linha nos comprimentos de onda da radiação de referência, vários erros sistemáticos não excluídos foram revelados (i): devido à medição imprecisa da temperatura - 1 ; devido à determinação imprecisa do índice de refração do ar - 2, devido ao valor impreciso do comprimento de onda - 3.

Normalmente, a soma dos erros sistemáticos não excluídos é levada em consideração (seus limites são definidos). Com o número de termos N ≤ 3, os limites dos erros sistemáticos não excluídos são calculados pela fórmula

Quando o número de termos é N ≥ 4, a fórmula é usada para cálculos

(1.5)

onde k é o coeficiente de dependência de erros sistemáticos não excluídos na probabilidade de confiança P escolhida com sua distribuição uniforme. Em P = 0,99, k = 1,4, em P = 0,95, k = 1,1.

Erro de medição aleatório(brevemente - erro aleatório) - um componente do erro do resultado da medição, mudando aleatoriamente (em sinal e valor) em uma série de medições do mesmo tamanho de uma quantidade física. Causas de erros aleatórios: erros de arredondamento na leitura das leituras, variação nas leituras, mudanças nas condições de medição de natureza aleatória, etc.

Erros aleatórios causam dispersão de resultados de medição em uma série.

A teoria dos erros baseia-se em duas disposições, confirmadas pela prática:

1. Com um grande número de medições, erros aleatórios de mesmo valor numérico, mas de sinal diferente, ocorrem com igual frequência;

2. Erros grandes (em valor absoluto) são menos comuns que os pequenos.

Uma conclusão importante para a prática segue da primeira posição: com o aumento do número de medições, o erro aleatório do resultado obtido de uma série de medições diminui, pois a soma dos erros das medições individuais dessa série tende a zero, ou seja

(1.6)

Por exemplo, como resultado das medições, é obtida uma série de valores de resistência elétrica (que são corrigidos para os efeitos de erros sistemáticos): R 1 \u003d 15,5 Ohm, R 2 \u003d 15,6 Ohm, R 3 \u003d 15,4 Ohm, R 4 \u003d 15, 6 ohms e R 5 = 15,4 ohms. Portanto R = 15,5 ohms. Desvios de R (R 1 \u003d 0,0; R 2 \u003d +0,1 Ohm, R 3 \u003d -0,1 Ohm, R 4 \u003d +0,1 Ohm e R 5 \u003d -0,1 Ohm) são erros aleatórios de medições individuais em um dada série. É fácil ver que a soma R i = 0,0. Isso indica que os erros das medições individuais desta série são calculados corretamente.

Apesar do fato de que, com um aumento no número de medições, a soma dos erros aleatórios tende a zero (neste exemplo, acidentalmente acabou sendo zero), o erro aleatório do resultado da medição é necessariamente estimado. Na teoria das variáveis ​​aleatórias, a dispersão de o2 serve como característica da dispersão dos valores de uma variável aleatória. "| / o2 \u003d a é chamado de desvio padrão da população geral ou desvio padrão.

É mais conveniente que a dispersão, pois sua dimensão coincide com a dimensão da grandeza medida (por exemplo, o valor da grandeza é obtido em volts, o desvio padrão também será em volts). Como na prática das medições se lida com o termo “erro”, o termo “erro rms” derivado dele deve ser usado para caracterizar uma série de medições. Várias medições podem ser caracterizadas pelo erro médio aritmético ou pela faixa de resultados de medição.

O intervalo de resultados de medição (brevemente - intervalo) é a diferença algébrica entre o maior e o menor resultado de medições individuais que formam uma série (ou amostra) de n medições:

R n \u003d X max - X min (1,7)

onde R n é o intervalo; X max e X min - os maiores e menores valores da quantidade em uma determinada série de medições.

Por exemplo, de cinco medições do diâmetro do furo d, os valores R 5 = 25,56 mm e R 1 = 25,51 mm acabaram sendo seus valores máximo e mínimo. Nesse caso, R n \u003d d 5 - d 1 \u003d 25,56 mm - 25,51 mm \u003d 0,05 mm. Isso significa que os erros restantes desta série são inferiores a 0,05 mm.

Erro aritmético médio de uma única medição em uma série(brevemente - o erro médio aritmético) - a característica de dispersão generalizada (por razões aleatórias) de resultados de medição individuais (do mesmo valor), incluída em uma série de n medições independentes igualmente precisas, é calculada pela fórmula

(1.8)

onde X i é o resultado da i-ésima medição incluída na série; x é a média aritmética de n valores da quantidade: |X i - X| é o valor absoluto do erro da i-ésima medição; r é o erro da média aritmética.

O valor verdadeiro do erro médio aritmético p é determinado a partir da razão

p = limite r, (1,9)

Com o número de medidas n > 30, entre a média aritmética (r) e o quadrado médio (s) existem correlações

s = 1,25r; r e = 0,80 s. (1.10)

A vantagem do erro médio aritmético é a simplicidade de seu cálculo. Mas ainda mais frequentemente determinar o erro quadrático médio.

Erro quadrático médio medição individual em uma série (brevemente - erro quadrático médio) - uma característica de dispersão generalizada (devido a razões aleatórias) de resultados de medição individuais (do mesmo valor) incluídos em uma série de P medições independentes igualmente precisas, calculadas pela fórmula

(1.11)

A raiz do erro quadrático médio para a amostra geral o, que é o limite estatístico de S, pode ser calculada para /i-mx > pela fórmula:

Σ = limS (1.12)

Na realidade, o número de dimensões é sempre limitado, então não é σ que é calculado , e seu valor aproximado (ou estimativa), que é s. O mais P, quanto mais próximo s estiver do seu limite σ .

Com uma distribuição normal, a probabilidade de que o erro de uma única medida em uma série não exceda o erro quadrático médio calculado é pequena: 0,68. Portanto, em 32 casos de 100 ou 3 casos de 10, o erro real pode ser maior que o calculado.

Figura 1.2 Diminuição do valor do erro aleatório do resultado de múltiplas medições com o aumento do número de medições em uma série

Em uma série de medições, existe uma relação entre o erro rms de uma medição individual s e o erro rms da média aritmética S x:

que é muitas vezes chamado de "regra de Y n". Segue-se desta regra que o erro de medição devido à ação de causas aleatórias pode ser reduzido em n vezes se forem realizadas n medições do mesmo tamanho de qualquer quantidade, e o valor da média aritmética é tomado como resultado final (Fig. 1.2 ).

A realização de pelo menos 5 medições em série permite reduzir o efeito de erros aleatórios em mais de 2 vezes. Com 10 medições, o efeito do erro aleatório é reduzido por um fator de 3. Um aumento adicional no número de medições nem sempre é economicamente viável e, via de regra, é realizado apenas para medições críticas que exigem alta precisão.

O erro quadrático médio de uma única medição de uma série de medições duplas homogêneas S α é calculado pela fórmula

(1.14)

onde x" i e x"" i são i-ésimos resultados de medições da mesma quantidade de tamanho nas direções direta e reversa por um instrumento de medição.

Com medidas desiguais, o erro quadrático médio da raiz da média aritmética na série é determinado pela fórmula

(1.15)

onde p i é o peso da i-ésima medição em uma série de medições desiguais.

O erro quadrático médio do resultado de medições indiretas da quantidade Y, que é uma função de Y \u003d F (X 1, X 2, X n), é calculado pela fórmula

(1.16)

onde S 1 , S 2 , S n são erros quadráticos médios dos resultados de medição para X 1 , X 2 , X n .

Se, para maior confiabilidade na obtenção de um resultado satisfatório, forem realizadas várias séries de medições, o erro quadrático médio de uma medição individual da série m (S m) é encontrado pela fórmula

(1.17)

Onde n é o número de medições na série; N é o número total de medições em todas as séries; m é o número de séries.

Com um número limitado de medições, muitas vezes é necessário conhecer o erro RMS. Para determinar o erro S, calculado pela fórmula (2.7), e o erro S m , calculado pela fórmula (2.12), você pode usar as seguintes expressões

(1.18)

(1.19)

onde S e S m são os erros quadráticos médios de S e S m , respectivamente.

Por exemplo, ao processar os resultados de uma série de medidas do comprimento x, obtivemos

= 86 mm 2 em n = 10,

= 3,1 milímetros

= 0,7 mm ou S = ±0,7 mm

O valor S = ±0,7 mm significa que devido ao erro de cálculo, s está na faixa de 2,4 a 3,8 mm, portanto, décimos de milímetro não são confiáveis ​​aqui. No caso considerado é necessário anotar: S = ±3 mm.

Para ter maior confiança na estimativa do erro do resultado da medição, são calculados o erro de confiança ou limites de confiança do erro. Com uma lei de distribuição normal, os limites de confiança do erro são calculados como ±t-s ou ±t-s x , onde s e s x são a raiz quadrada média dos erros, respectivamente, de uma única medida em uma série e a média aritmética; t é um número que depende do nível de confiança P e do número de medições n.

Um conceito importante é a confiabilidade do resultado da medição (α), ou seja, a probabilidade de que o valor desejado da quantidade medida caia dentro de um determinado intervalo de confiança.

Por exemplo, ao processar peças em máquinas-ferramentas em um modo tecnológico estável, a distribuição de erros obedece à lei normal. Suponha que a tolerância do comprimento da peça esteja definida como 2a. Nesse caso, o intervalo de confiança no qual o valor desejado do comprimento da parte a está localizado será (a - a, a + a).

Se 2a = ±3s, então a confiabilidade do resultado é a = 0,68, ou seja, em 32 casos de 100, o tamanho da peça deve ir além da tolerância de 2a. Ao avaliar a qualidade da peça de acordo com a tolerância 2a = ±3s, a confiabilidade do resultado será de 0,997. Neste caso, espera-se que apenas três peças em 1000 ultrapassem a tolerância estabelecida, porém, um aumento na confiabilidade só é possível com a diminuição do erro no comprimento da peça. Assim, para aumentar a confiabilidade de a = 0,68 para a = 0,997, o erro no comprimento da peça deve ser reduzido por um fator de três.

Recentemente, o termo "confiabilidade de medição" tornou-se difundido. Em alguns casos, é usado de forma irracional em vez do termo "precisão de medição". Por exemplo, em algumas fontes você pode encontrar a expressão "estabelecer a unidade e a confiabilidade das medições no país". Considerando que seria mais correto dizer “estabelecimento da unidade e a precisão exigida das medidas”. A confiabilidade é considerada por nós como uma característica qualitativa, refletindo a proximidade de zero de erros aleatórios. Quantitativamente, pode ser determinado pela falta de confiabilidade das medições.

Incerteza das medidas(brevemente - falta de confiabilidade) - uma avaliação da discrepância entre os resultados em uma série de medições devido à influência do impacto total de erros aleatórios (determinados por métodos estatísticos e não estatísticos), caracterizados pela faixa de valores em onde se encontra o verdadeiro valor da grandeza medida.

De acordo com as recomendações do Bureau Internacional de Pesos e Medidas, a incerteza é expressa como o erro padrão total das medições - Su incluindo o erro padrão S (determinado por métodos estatísticos) e o erro padrão u (determinado por métodos não estatísticos ), ou seja,

(1.20)

Erro de medição de limite(brevemente - erro marginal) - o erro máximo de medição (mais, menos), cuja probabilidade não excede o valor de P, enquanto a diferença 1 - P é insignificante.

Por exemplo, com uma distribuição normal, a probabilidade de um erro aleatório de ±3s é 0,997, e a diferença 1-P = 0,003 é insignificante. Portanto, em muitos casos, o erro de confiança ±3s é tomado como limite, ou seja, pr = ±3s. Se necessário, pr também pode ter outras relações com s para P suficientemente grande (2s, 2,5s, 4s, etc.).

Em conexão com o fato de que nos padrões GSI, em vez do termo "erro quadrado médio da raiz", o termo "desvio quadrado médio da raiz" é usado, em raciocínio adicional, aderiremos a esse termo.

Erro de medição absoluto(brevemente - erro absoluto) - erro de medição, expresso em unidades do valor medido. Assim, o erro X de medir o comprimento da parte X, expresso em micrômetros, é um erro absoluto.

Os termos “erro absoluto” e “valor do erro absoluto” não devem ser confundidos, que é entendido como o valor do erro sem levar em conta o sinal. Portanto, se o erro de medição absoluto for ±2 μV, o valor absoluto do erro será de 0,2 μV.

Erro de medição relativo(brevemente - erro relativo) - erro de medição, expresso em fração do valor do valor medido ou em porcentagem. O erro relativo δ é encontrado a partir das razões:

(1.21)

Por exemplo, existe um valor real do comprimento da peça x = 10,00 mm e um valor absoluto do erro x = 0,01 mm. O erro relativo será

Erro estáticoé o erro do resultado da medição devido às condições da medição estática.

Erro dinâmicoé o erro do resultado da medição devido às condições da medição dinâmica.

Erro de reprodução da unidade- erro do resultado das medições realizadas ao reproduzir uma unidade de grandeza física. Assim, o erro na reprodução de uma unidade usando o padrão estadual é indicado na forma de seus componentes: um erro sistemático não excluído, caracterizado por sua fronteira; erro aleatório caracterizado pelo desvio padrão se instabilidade anual ν.

Erro de transmissão do tamanho da unidadeé o erro no resultado das medições realizadas ao transmitir o tamanho da unidade. O erro de transmissão do tamanho da unidade inclui erros sistemáticos não excluídos e erros aleatórios do método e meio de transmissão do tamanho da unidade (por exemplo, um comparador).

O erro de cálculo absoluto é encontrado pela fórmula:

O sinal do módulo mostra que não nos importamos qual valor é maior e qual é menor. Importante, Quão longe o resultado aproximado desviado do valor exato em uma direção ou outra.

O erro de cálculo relativo é encontrado pela fórmula:
, ou, o mesmo:

O erro relativo mostra por qual porcentagem o resultado aproximado desviado do valor exato. Existe uma versão da fórmula sem multiplicar por 100%, mas na prática quase sempre vejo a versão acima com porcentagens.

Após um breve histórico, voltamos ao nosso problema, no qual calculamos o valor aproximado da função usando um diferencial.

Vamos calcular o valor exato da função usando uma microcalculadora:
, a rigor, o valor ainda é aproximado, mas vamos considerá-lo exato. Tais tarefas ocorrem.

Calcular o erro absoluto:

Vamos calcular o erro relativo:
, milésimos de um por cento são obtidos, de modo que o diferencial forneceu apenas uma grande aproximação.

Responda: , erro de cálculo absoluto , erro de cálculo relativo

O exemplo a seguir é para uma solução autônoma:

Exemplo 4

no ponto . Calcule um valor mais preciso da função em um determinado ponto, avalie os erros de cálculo absolutos e relativos.

Um exemplo grosseiro de trabalho de acabamento e uma resposta no final da lição.

Muitos notaram que em todos os exemplos considerados, as raízes aparecem. Isso não é acidental; na maioria dos casos, no problema em consideração, funções com raízes são de fato propostas.

Mas para os leitores sofredores, desenterrei um pequeno exemplo com o arco-seno:

Exemplo 5

Calcule aproximadamente usando o diferencial o valor da função no ponto

Este exemplo curto, mas informativo, também serve para uma decisão independente. E descansei um pouco para considerar com renovado vigor uma tarefa especial:

Exemplo 6

Calcule aproximadamente usando o diferencial, arredonde o resultado para duas casas decimais.

Solução: O que há de novo na tarefa? Por condição, é necessário arredondar o resultado para duas casas decimais. Mas esse não é o ponto, o problema de arredondamento da escola, eu acho, não é difícil para você. A matéria é que em nós a tangente com o argumento que se expressa em graus se dá. O que fazer quando lhe pedem para resolver uma função trigonométrica com graus? Por exemplo , etc.

O algoritmo de solução é fundamentalmente preservado, ou seja, é necessário, como nos exemplos anteriores, aplicar a fórmula

Escreva a função óbvia

O valor deve ser representado como . A ajuda séria vai tabela de valores de funções trigonométricas . A propósito, se você não o imprimiu, recomendo fazê-lo, pois você terá que procurá-lo durante todo o curso de matemática superior.

Analisando a tabela, notamos um valor “bom” da tangente, que se aproxima de 47 graus:

Nesse caminho:

Após análise preliminar graus devem ser convertidos para radianos. Sim, e só isso!

Neste exemplo, diretamente da tabela trigonométrica, você pode descobrir isso. A fórmula para converter graus em radianos é: (as fórmulas podem ser encontradas na mesma tabela).

Modelo adicional:

Nesse caminho: (nos cálculos usamos o valor ). O resultado, conforme exigido pela condição, é arredondado para duas casas decimais.

Responda:

Exemplo 7

Calcule aproximadamente usando o diferencial, arredonde o resultado para três casas decimais.

Este é um exemplo de faça você mesmo. Solução completa e resposta no final da lição.

Como você pode ver, nada complicado, traduzimos os graus em radianos e aderimos ao algoritmo de solução usual.

Cálculos Aproximados Usando a Diferencial Total de uma Função de Duas Variáveis

Tudo será muito, muito semelhante; portanto, se você chegou a esta página com essa tarefa específica, primeiro recomendo ver pelo menos alguns exemplos do parágrafo anterior.

Para estudar um parágrafo, você precisa ser capaz de encontrar derivadas parciais de segunda ordem , onde sem eles. Na lição acima, denotei a função de duas variáveis ​​com a letra . Com relação à tarefa em consideração, é mais conveniente usar a notação equivalente .

Como no caso de uma função de uma variável, a condição do problema pode ser formulada de diferentes maneiras, e tentarei considerar todas as formulações encontradas.

Exemplo 8

Solução: Não importa como a condição esteja escrita, na própria solução, para designar a função, repito, é melhor usar não a letra “Z”, mas .

E aqui está a fórmula de trabalho:

Diante de nós está na verdade a irmã mais velha da fórmula do parágrafo anterior. A variável ficou maior. O que posso dizer, eu mesmo o algoritmo de solução será fundamentalmente o mesmo!

Por condição, é necessário encontrar o valor aproximado da função no ponto .

Vamos representar o número 3,04 como . O homem de gengibre pede para ser comido:
,

Vamos representar o número 3,95 como . Chegou a vez da segunda metade de Kolobok:
,

E não olhe para todos os tipos de truques de raposa, há um Gingerbread Man - você tem que comê-lo.

Vamos calcular o valor da função no ponto:

A diferencial de uma função em um ponto é encontrada pela fórmula:

Da fórmula segue que você precisa encontrar derivadas parciais de primeira ordem e calcular seus valores no ponto .

Vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem no ponto:

Diferencial total no ponto:

Assim, de acordo com a fórmula, o valor aproximado da função no ponto:

Vamos calcular o valor exato da função no ponto:

Este valor está absolutamente correto.

Os erros são calculados usando fórmulas padrão, que já foram discutidas neste artigo.

Erro absoluto:

Erro relativo:

Resposta: , erro absoluto: , erro relativo:

Exemplo 9

Calcular o valor aproximado de uma função em um ponto usando um diferencial completo, avalie o erro absoluto e relativo.

Este é um exemplo de faça você mesmo. Quem se debruçar mais detalhadamente sobre este exemplo prestará atenção ao fato de que os erros de cálculo acabaram sendo muito, muito perceptíveis. Isso aconteceu pelo seguinte motivo: no problema proposto, os incrementos dos argumentos são grandes o suficiente: .

O padrão geral é a - quanto maiores esses incrementos em valor absoluto, menor a precisão dos cálculos. Assim, por exemplo, para um ponto semelhante, os incrementos serão pequenos: , e a precisão dos cálculos aproximados será muito alta.

Este recurso também é válido para o caso de uma função de uma variável (a primeira parte da lição).

Exemplo 10

Solução: Vamos calcular essa expressão aproximadamente usando o diferencial total de uma função de duas variáveis:

A diferença dos Exemplos 8-9 é que primeiro precisamos compor uma função de duas variáveis: . Como a função é composta, eu acho, é intuitivamente clara para todos.

O valor 4,9973 aproxima-se de "cinco", portanto: , .
O valor de 0,9919 está próximo de "um", portanto, assumimos: , .

Vamos calcular o valor da função no ponto:

Encontramos a diferencial em um ponto pela fórmula:

Para fazer isso, calculamos as derivadas parciais de primeira ordem no ponto .

As derivadas aqui não são as mais simples, e você deve ter cuidado:

;

.

Diferencial total no ponto:

Assim, o valor aproximado desta expressão:

Vamos calcular um valor mais preciso usando uma microcalculadora: 2,998899527

Vamos encontrar o erro de cálculo relativo:

Responda: ,

Apenas uma ilustração do acima, no problema considerado, os incrementos dos argumentos são muito pequenos e o erro acabou sendo fantasticamente escasso.

Exemplo 11

Usando o diferencial total de uma função de duas variáveis, calcule aproximadamente o valor dessa expressão. Calcule a mesma expressão usando uma microcalculadora. Estime em porcentagem o erro relativo dos cálculos.

Este é um exemplo de faça você mesmo. Uma amostra aproximada de acabamento no final da lição.

Como já mencionado, o convidado mais comum nesse tipo de tarefa é algum tipo de raiz. Mas de vez em quando existem outras funções. E um exemplo simples final para relaxamento:

Exemplo 12

Usando o diferencial total de uma função de duas variáveis, calcule aproximadamente o valor da função se

A solução está mais próxima da parte inferior da página. Mais uma vez, preste atenção à redação das tarefas da lição, em diferentes exemplos na prática, a redação pode ser diferente, mas isso não altera fundamentalmente a essência e o algoritmo da solução.

Para ser sincero, cansei um pouco, porque o material era chato. Não era pedagógico dizer no início do artigo, mas agora já é possível =) De fato, os problemas da matemática computacional geralmente não são muito difíceis, não são muito interessantes, o mais importante, talvez, é não fazer uma erro nos cálculos comuns.

Que as teclas de sua calculadora não sejam apagadas!

Soluções e respostas:

Exemplo 2:

Solução: Usamos a fórmula:
Nesse caso: , ,

Nesse caminho:

Responda:

Exemplo 4:

Solução: Usamos a fórmula:
Nesse caso: , ,

Nesse caminho:

Vamos calcular um valor mais preciso da função usando uma microcalculadora:

Erro absoluto:

Erro relativo:

Responda: , erro de cálculo absoluto , erro de cálculo relativo

Exemplo 5:

Solução: Usamos a fórmula:

Nesse caso: , ,

Nesse caminho:

Responda:

Exemplo 7:

Solução: Usamos a fórmula:
Nesse caso: , ,

No processo de medir algo, deve-se levar em conta que o resultado obtido ainda não é definitivo. Para calcular com mais precisão o valor desejado, é necessário levar em consideração o erro. Calcular é bem simples.

Como encontrar o erro - cálculo

Tipos de erros:

• relativo;
• absoluto.

O que você precisa calcular:

• calculadora;
• resultados de várias medições da mesma quantidade.

Como encontrar um erro - uma sequência de ações

• Meça o valor 3-5 vezes.
• Some todos os resultados e divida o número resultante pelo número deles. Este número é um valor real.
• Calcule o erro absoluto subtraindo o valor obtido na etapa anterior dos resultados da medição. Fórmula: ∆X = Hisl - Hist. Durante os cálculos, você pode obter valores positivos e negativos. Em ambos os casos, o módulo do resultado é obtido. Se for necessário conhecer o erro absoluto da soma de duas grandezas, os cálculos são realizados de acordo com a seguinte fórmula: ∆(X + Y) = ∆X + ∆Y. Também funciona quando é necessário calcular o erro da diferença entre duas grandezas: ∆(X-Y) = ∆X+∆Y.
• Descubra o erro relativo para cada uma das medições. Nesse caso, você precisa dividir o erro absoluto obtido pelo valor real. Em seguida, multiplique o quociente por 100%. ε(x)=Δx/x0*100%. O valor pode ou não ser convertido em porcentagem.
• Para obter um valor mais preciso do erro, é necessário encontrar o desvio padrão. Ele é procurado de forma bastante simples: calcule os quadrados de todos os valores do erro absoluto e, em seguida, encontre sua soma. O resultado obtido deve ser dividido pelo número (N-1), em que N é o número de todas as medidas. O último passo é extrair a raiz do resultado. Após tais cálculos, será obtido o desvio padrão, que normalmente caracteriza o erro de medição.
• Para encontrar o erro absoluto limitante, é necessário encontrar o menor número, que em seu valor seja igual ou superior ao valor do erro absoluto.
• O erro relativo limitante é procurado pelo mesmo método, apenas é necessário encontrar um número que seja maior ou igual ao valor do erro relativo.

Erros de medição surgem por vários motivos e afetam a precisão do valor obtido. Sabendo a que o erro é igual, você pode descobrir um valor mais preciso da medição.