Neste artigo falarei sobre como aplicar a habilidade de encontrar ao estudo de uma função: encontrar seu maior ou menor valor. E então resolveremos vários problemas da Tarefa B15 do Open Task Bank para .

Como de costume, vamos começar com a teoria primeiro.

No início de qualquer estudo de uma função, encontramos

Para encontrar o maior ou menor valor da função, você precisa investigar em quais intervalos a função aumenta e em quais ela diminui.

Para fazer isso, você precisa encontrar a derivada da função e estudar seus intervalos de sinal constante, ou seja, os intervalos em que a derivada mantém seu sinal.

Os intervalos em que a derivada de uma função é positiva são intervalos de função crescente.

Os intervalos em que a derivada de uma função é negativa são intervalos de função decrescente.

1 . Vamos resolver a tarefa B15 (nº 245184)

Para resolvê-lo, seguiremos o seguinte algoritmo:

a) Encontre o domínio da função

b) Encontre a derivada da função .

c) igualar a zero.

d) Vamos encontrar os intervalos de sinal constante da função.

e) Encontre o ponto em que a função assume o maior valor.

f) Encontre o valor da função neste ponto.

Conto a solução detalhada desta tarefa na VÍDEO LIÇÃO:

Provavelmente seu navegador não é compatível. Para usar o simulador "Unified State Examination Hour", tente baixar
Raposa de fogo

2. Vamos resolver a tarefa B15 (nº 282862)

Encontrar o maior valor de uma função no segmento

É óbvio que a função assume o maior valor no segmento no ponto máximo, em x=2. Encontre o valor da função neste ponto:

Resposta: 5

3 . Vamos resolver a tarefa B15 (nº 245180):

Encontrar o maior valor de uma função

1.title="(!LANG:ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. Como o escopo da função original title="(!LANG:4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. O numerador é zero em . Vamos verificar se a ODZ pertence à função. Para fazer isso, verifique se a condição title="(!LANG:4-2x-x^2>0"> при .!}

Título="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

então o ponto pertence ao ODZ da função

Examinamos o sinal da derivada à direita e à esquerda do ponto:

Vemos que a função assume o maior valor no ponto . Agora vamos encontrar o valor da função em:

Nota 1. Note que neste problema não encontramos o domínio da função: apenas fixamos as restrições e verificamos se o ponto em que a derivada é igual a zero pertence ao domínio da função. Neste problema, isso acabou sendo suficiente. No entanto, isso nem sempre é o caso. Depende da tarefa.

Observação 2. Ao estudar o comportamento de uma função complexa, pode-se usar a seguinte regra:

• se a função externa de uma função composta é crescente, então a função assume seu maior valor no mesmo ponto em que a função interna assume seu maior valor. Isso decorre da definição de uma função crescente: a função aumenta no intervalo I se o maior valor do argumento desse intervalo corresponder ao maior valor da função.
• se a função externa de uma função complexa é decrescente, então a função assume o maior valor no mesmo ponto em que a função interna assume o menor valor . Isso decorre da definição de uma função decrescente: a função diminui no intervalo I se o maior valor do argumento desse intervalo corresponder ao menor valor da função

Em nosso exemplo, a função externa - aumenta em todo o domínio de definição. Sob o sinal do logaritmo está uma expressão - um trinômio quadrado, que, com um coeficiente sênior negativo, assume o maior valor no ponto . Em seguida, substituímos esse valor de x na equação da função e encontre seu maior valor.

Deixe a função y=f(X) contínua no intervalo [ a, b]. Como se sabe, tal função atinge seus valores máximos e mínimos neste segmento. A função pode tomar esses valores tanto em um ponto interior do segmento [ a, b], ou no limite do segmento.

Para encontrar os maiores e menores valores de uma função no segmento [ a, b] necessário:

1) encontre os pontos críticos da função no intervalo ( a, b);

2) calcule os valores da função nos pontos críticos encontrados;

3) calcule os valores da função nas extremidades do segmento, ou seja, para x=uma e x = b;

4) de todos os valores calculados da função, escolha o maior e o menor.

Exemplo. Encontre os maiores e menores valores de uma função

no segmento.

Encontrando pontos críticos:

Esses pontos estão dentro do segmento; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

no ponto x= 3 e no ponto x= 0.

Investigação de uma função para a convexidade e um ponto de inflexão.

Função y = f (x) chamado convexo entre (uma, b) , se seu gráfico está sob uma tangente traçada em qualquer ponto desse intervalo, e é chamado convexo para baixo (côncavo) se seu gráfico estiver acima da tangente.

O ponto na transição através do qual a convexidade é substituída pela concavidade ou vice-versa é chamado ponto de inflexão.

Algoritmo para estudar a convexidade e o ponto de inflexão:

1. Encontre os pontos críticos de segunda espécie, ou seja, os pontos em que a segunda derivada é igual a zero ou não existe.

2. Coloque os pontos críticos na reta numérica, dividindo-a em intervalos. Encontre o sinal da segunda derivada em cada intervalo; se , então a função é convexa para cima, se, então a função é convexa para baixo.

3. Se, ao passar por um ponto crítico de segunda espécie, muda de sinal e neste ponto a segunda derivada é igual a zero, então este ponto é a abcissa do ponto de inflexão. Encontre sua ordenada.

Assíntotas do gráfico de uma função. Investigação de uma função em assíntotas.

Definição. A assíntota do gráfico de uma função é chamada direto, que tem a propriedade de que a distância de qualquer ponto do gráfico a esta linha tende a zero com uma remoção ilimitada do ponto do gráfico da origem.

Existem três tipos de assíntotas: vertical, horizontal e inclinada.

Definição. Chamado direto assíntota vertical gráfico de função y = f(x), se pelo menos um dos limites laterais da função neste ponto é igual ao infinito, que é

onde é o ponto de descontinuidade da função, ou seja, não pertence ao domínio de definição.

Exemplo.

D( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 - ponto de ruptura.

Definição. Em linha reta y=UMA chamado assíntota horizontal gráfico de função y = f(x) em , se

Exemplo.

x
y

Definição. Em linha reta y=kx +b (k≠ 0) é chamado assíntota oblíqua gráfico de função y = f(x) onde

Esquema geral para o estudo de funções e plotagem.

Algoritmo de pesquisa de funçãoy = f(x) :

1. Encontre o domínio da função D (y).

2. Encontre (se possível) os pontos de interseção do gráfico com os eixos coordenados (com x= 0 e em y = 0).

3. Investigue para funções pares e ímpares ( y (‒ x) = y (x) ‒ paridade; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ ímpar).

4. Encontre as assíntotas do gráfico da função.

5. Encontre intervalos de monotonicidade da função.

6. Encontre os extremos da função.

7. Encontre os intervalos de convexidade (concavidade) e pontos de inflexão do gráfico da função.

8. Com base na pesquisa realizada, construa um gráfico da função.

Exemplo. Investigue a função e trace seu gráfico.

1) D (y) =

x= 4 - ponto de ruptura.

2) Quando x = 0,

(0; – 5) – ponto de interseção com oi.

No y = 0,

3) y(‒ x)= função geral (nem par nem ímpar).

4) Investigamos assíntotas.

a) verticais

b) horizontais

c) encontre assíntotas oblíquas onde

‒equação assíntota oblíqua

5) Nesta equação, não é necessário encontrar intervalos de monotonicidade da função.

6)

Esses pontos críticos dividem todo o domínio da função no intervalo (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) e (10; +∞). É conveniente apresentar os resultados obtidos na forma da tabela a seguir.

Vamos ver como explorar uma função usando um gráfico. Acontece que olhando para o gráfico, você pode descobrir tudo o que nos interessa, a saber:

• escopo da função
• intervalo de funções
• função zeros
• períodos de aumento e diminuição
• pontos altos e baixos
• o maior e o menor valor da função no segmento.

Vamos esclarecer a terminologia:

Abscissaé a coordenada horizontal do ponto.
Ordenar- coordenada vertical.
abscissa- o eixo horizontal, mais frequentemente chamado de eixo.
Eixo Y- eixo vertical, ou eixo.

Argumentoé uma variável independente da qual dependem os valores da função. Na maioria das vezes indicado.
Em outras palavras, nós mesmos escolhemos , substituímos na fórmula da função e obtemos .

Domínio funções - o conjunto daqueles (e somente aqueles) valores do argumento para o qual a função existe.
Denotado: ou .

Em nossa figura, o domínio da função é um segmento. É neste segmento que se desenha o gráfico da função. Só aqui existe esta função.

Faixa de funçõesé o conjunto de valores que a variável assume. Em nossa figura, este é um segmento - do menor ao maior valor.

Zeros de função- pontos onde o valor da função é igual a zero, ou seja . Em nossa figura, esses são os pontos e .

Os valores da função são positivos Onde . Em nossa figura, esses são os intervalos e .
Os valores da função são negativos Onde . Temos esse intervalo (ou intervalo) de até.

Os conceitos mais importantes - função crescente e decrescente em algum conjunto. Como um conjunto, você pode pegar um segmento, um intervalo, uma união de intervalos ou a reta numérica inteira.

Função aumenta

Ou seja, quanto mais , mais , ou seja, o gráfico vai para a direita e para cima.

Função diminuindo no conjunto se para qualquer e pertencendo ao conjunto a desigualdade implica a desigualdade .

Para uma função decrescente, um valor maior corresponde a um valor menor. O gráfico vai para a direita e para baixo.

Em nossa figura, a função aumenta no intervalo e diminui nos intervalos e .

Vamos definir o que é pontos de máximo e mínimo da função.

Ponto máximo- este é um ponto interno do domínio de definição, tal que o valor da função nele é maior do que em todos os pontos suficientemente próximos a ele.
Em outras palavras, o ponto máximo é tal ponto, o valor da função em que mais do que nas vizinhas. Esta é uma "colina" local no gráfico.

Em nossa figura - o ponto máximo.

Ponto baixo- um ponto interno do domínio de definição, tal que o valor da função nele seja menor do que em todos os pontos suficientemente próximos a ele.
Ou seja, o ponto mínimo é tal que o valor da função nele é menor do que nas vizinhas. No gráfico, este é um “buraco” local.

Em nossa figura - o ponto mínimo.

O ponto é o limite. Não é um ponto interior do domínio de definição e, portanto, não se enquadra na definição de ponto máximo. Afinal, ela não tem vizinhos à esquerda. Da mesma forma, não pode haver ponto mínimo em nosso gráfico.

Os pontos máximo e mínimo são chamados coletivamente pontos extremos da função. No nosso caso, isso é e .

Mas e se você precisar encontrar, por exemplo, função mínima no corte? Neste caso, a resposta é: Porque função mínimaé o seu valor no ponto mínimo.

Da mesma forma, o máximo de nossa função é . É alcançado no ponto .

Podemos dizer que os extremos da função são iguais a e .

Às vezes, em tarefas, você precisa encontrar os maiores e menores valores da função em um determinado segmento. Eles não coincidem necessariamente com os extremos.

No nosso caso menor valor de função no intervalo é igual e coincide com o mínimo da função. Mas seu maior valor neste segmento é igual a . Ele é alcançado na extremidade esquerda do segmento.

Em qualquer caso, os maiores e menores valores de uma função contínua em um segmento são alcançados nos pontos extremos ou nas extremidades do segmento.

Como encontrar os maiores e menores valores de uma função em um segmento?

Por esta seguimos o conhecido algoritmo:

1 . Encontramos funções ODZ.

2 . Encontrando a derivada de uma função

3 . igualar a derivada a zero

4 . Encontramos os intervalos em que a derivada mantém seu sinal e, a partir deles, determinamos os intervalos de aumento e diminuição da função:

Se no intervalo I a derivada da função 0" title="(!LANG:f^(prime)(x)>0">, то функция !} aumenta nesse intervalo.

Se no intervalo I a derivada da função , então a função diminui ao longo deste intervalo.

5 . Nós achamos pontos de máximo e mínimo da função.

NO o ponto máximo da função, a derivada muda o sinal de "+" para "-".

NO ponto mínimo da funçãoderivada muda o sinal de "-" para "+".

6 . Encontramos o valor da função nas extremidades do segmento,

• então comparamos o valor da função nas extremidades do segmento e nos pontos de máximo, e escolha o maior deles se precisar encontrar o maior valor da função
• ou comparamos o valor da função nas extremidades do segmento e nos pontos mínimos, e escolha o menor deles se precisar encontrar o menor valor da função

No entanto, dependendo de como a função se comporta no intervalo, esse algoritmo pode ser reduzido significativamente.

Considere a função . O gráfico desta função fica assim:

Vamos considerar vários exemplos de resolução de problemas do Open Task Bank para

1 . Tarefa B15 (#26695)

No corte.

1. A função é definida para todos os valores reais de x

Obviamente, esta equação não tem soluções, e a derivada é positiva para todos os valores de x. Portanto, a função aumenta e assume o maior valor na extremidade direita do intervalo, ou seja, em x=0.

Resposta: 5.

2 . Tarefa B15 (Nº 26702)

Encontrar o maior valor de uma função no segmento.

1. Função ODZ title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

A derivada é zero em , no entanto, nesses pontos ela não muda de sinal:

Portanto, title="(!LANG:3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} aumenta e assume o maior valor na extremidade direita do intervalo, em .

Para deixar claro por que a derivada não muda de sinal, transformamos a expressão para a derivada da seguinte forma:

Title="(!LANG:y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Resposta: 5.

3 . Tarefa B15 (#26708)

Encontre o menor valor da função no intervalo .

1. Funções ODZ: title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Vamos colocar as raízes desta equação em um círculo trigonométrico.

O intervalo contém dois números: e

Vamos colocar os sinais. Para fazer isso, determinamos o sinal da derivada no ponto x = 0: . Ao passar pelos pontos e a derivada muda de sinal.

Vamos representar a mudança de sinais da derivada da função na linha de coordenadas:

Obviamente, o ponto é um ponto mínimo (onde a derivada muda de sinal de "-" para "+") e, para encontrar o menor valor da função no intervalo, você precisa comparar os valores da função no ponto mínimo e na extremidade esquerda do segmento, .

O processo de encontrar os valores menores e maiores de uma função em um segmento lembra um voo fascinante em torno de um objeto (o gráfico de uma função) em um helicóptero com disparo de um canhão de longo alcance em determinados pontos e escolha entre estes pontos pontos muito especiais para tiros de controle. Os pontos são selecionados de uma certa maneira e de acordo com certas regras. Por quais regras? Falaremos sobre isso mais adiante.

Se a função y = f(x) contínua no intervalo [ uma, b] , então atinge este segmento ao menos e valores mais altos . Isso pode acontecer tanto em pontos extremos ou nas extremidades do segmento. Portanto, para encontrar ao menos e os maiores valores da função , contínua no intervalo [ uma, b] , você precisa calcular seus valores em todos Pontos críticos e nas extremidades do segmento e, em seguida, escolha o menor e o maior deles.

Seja, por exemplo, necessário determinar o valor máximo da função f(x) no segmento [ uma, b] . Para fazer isso, encontre todos os seus pontos críticos sobre [ uma, b] .

ponto crítico é chamado de ponto em que função definida, e ela derivadoé zero ou não existe. Então você deve calcular os valores da função em pontos críticos. E, por fim, deve-se comparar os valores da função nos pontos críticos e nas extremidades do segmento ( f(uma) e f(b)). O maior desses números será o maior valor da função no intervalo [uma, b] .

O problema de encontrar os menores valores da função .

Estamos procurando os menores e maiores valores da função juntos

Exemplo 1. Encontre os menores e maiores valores de uma função no segmento [-1, 2] .

Solução. Encontramos a derivada desta função. Iguale a derivada a zero () e obtenha dois pontos críticos: e . Para encontrar os menores e maiores valores de uma função em um determinado segmento, basta calcular seus valores nas extremidades do segmento e no ponto , pois o ponto não pertence ao segmento [-1, 2] . Esses valores de função são os seguintes: , , . Segue que menor valor de função(marcado em vermelho no gráfico abaixo), igual a -7, é alcançado na extremidade direita do segmento - no ponto , e o melhor(também vermelho no gráfico), é igual a 9, - no ponto crítico .

Se a função é contínua em um determinado intervalo e esse intervalo não é um segmento (mas é, por exemplo, um intervalo; a diferença entre um intervalo e um segmento: os pontos de fronteira do intervalo não estão incluídos no intervalo, mas o pontos de limite do segmento estão incluídos no segmento), então entre os valores da função pode não haver o menor e o maior. Assim, por exemplo, a função representada na figura abaixo é contínua em ]-∞, +∞[ e não possui o maior valor.

No entanto, para qualquer intervalo (fechado, aberto ou infinito), vale a seguinte propriedade de funções contínuas.

Exemplo 4. Encontre os menores e maiores valores de uma função no segmento [-1, 3] .

Solução. Encontramos a derivada desta função como a derivada do quociente:

.

Igualamos a derivada a zero, o que nos dá um ponto crítico: . Pertence ao intervalo [-1, 3] . Para encontrar os menores e maiores valores de uma função em um determinado segmento, encontramos seus valores nas extremidades do segmento e no ponto crítico encontrado:

Vamos comparar esses valores. Conclusão: igual a -5/13, no ponto e o maior valor igual a 1 no ponto .

Continuamos a procurar os menores e maiores valores da função juntos

Há professores que, no tópico de encontrar os menores e maiores valores de uma função, não dão aos alunos exemplos mais complicados do que os que acabamos de considerar, ou seja, aqueles em que a função é um polinômio ou uma fração, o numerador e denominador são polinômios. Mas não nos limitaremos a tais exemplos, pois entre os professores há amantes de fazer os alunos pensarem por completo (tabela de derivadas). Portanto, o logaritmo e a função trigonométrica serão usados.

Exemplo 6. Encontre os menores e maiores valores de uma função no segmento .

Solução. Encontramos a derivada desta função como derivado do produto :

Igualamos a derivada a zero, o que dá um ponto crítico: . Pertence ao segmento. Para encontrar os menores e maiores valores de uma função em um determinado segmento, encontramos seus valores nas extremidades do segmento e no ponto crítico encontrado:

O resultado de todas as ações: a função atinge seu valor mínimo, igual a 0, em um ponto e em um ponto e o maior valor igual a e², no ponto.

Exemplo 7. Encontre os menores e maiores valores de uma função no segmento .

Solução. Encontramos a derivada desta função:

Igualando a derivada a zero:

O único ponto crítico pertence ao segmento. Para encontrar os menores e maiores valores de uma função em um determinado segmento, encontramos seus valores nas extremidades do segmento e no ponto crítico encontrado:

Conclusão: a função atinge seu valor mínimo, igual a , no ponto e o maior valor, igual a , no ponto .

Em problemas extremos aplicados, encontrar os menores (maiores) valores da função, via de regra, é reduzido a encontrar o mínimo (máximo). Mas não são os mínimos ou máximos em si que são de maior interesse prático, mas os valores do argumento em que são alcançados. Ao resolver problemas aplicados, surge uma dificuldade adicional - a compilação de funções que descrevem o fenômeno ou processo em consideração.

Exemplo 8 Deve ser estanhado um tanque com capacidade para 4, em forma de paralelepípedo com base quadrada e aberto na parte superior. Quais devem ser as dimensões do tanque para cobri-lo com a menor quantidade de material?

Solução. Deixar x- lado da base h- altura do tanque, S- sua superfície sem cobertura, V- seu volume. A área de superfície do tanque é expressa pela fórmula , ou seja, é uma função de duas variáveis. Para expressar S como função de uma variável, usamos o fato de que , de onde . Substituindo a expressão encontrada h na fórmula de S:

Vamos examinar esta função para um extremo. É definido e diferenciável em todos os lugares em ]0, +∞[ , e

.

Igualamos a derivada a zero () e encontramos o ponto crítico. Além disso, em , a derivada não existe, mas esse valor não está incluído no domínio de definição e, portanto, não pode ser um ponto extremo. Então, - o único ponto crítico. Vamos verificar a presença de um extremo usando o segundo sinal suficiente. Vamos encontrar a segunda derivada. Quando a segunda derivada é maior que zero (). Isso significa que quando a função atinge um mínimo . Porque isso mínimo - o único extremo desta função, é o seu menor valor. Portanto, o lado da base do tanque deve ser igual a 2 m e sua altura.

Exemplo 9 Do parágrafo UMA, localizado na linha férrea, até o ponto A PARTIR DE, a uma distância dele eu, as mercadorias devem ser transportadas. O custo de transporte de uma unidade de peso por unidade de distância por via férrea é igual a , e por rodovia é igual a . Até que ponto M linha férrea deve ser realizada em rodovia para o transporte de cargas de MAS dentro A PARTIR DE foi o mais econômico AB ferrovia é considerada reta)?