ÂNGULO ENTRE PLANOS

Vamos considerar dois planos α 1 e α 2 dados respectivamente pelas equações:

Debaixo ângulo entre dois planos entendemos um dos ângulos diedros formados por esses planos. É óbvio que o ângulo entre os vetores normais e os planos α 1 e α 2 é igual a um dos ângulos diedros adjacentes indicados ou . É por isso . Porque e , então

.

Exemplo. Determine o ângulo entre os planos x+2y-3z+4=0 e 2 x+3y+z+8=0.

Condição de paralelismo de dois planos.

Dois planos α 1 e α 2 são paralelos se e somente se seus vetores normais e são paralelos e, portanto, .

Então, dois planos são paralelos entre si se e somente se os coeficientes nas coordenadas correspondentes são proporcionais:

ou

Condição de perpendicularidade dos planos.

É claro que dois planos são perpendiculares se e somente se seus vetores normais são perpendiculares e, portanto, ou .

Nesse caminho, .

Exemplos.

DIRETO NO ESPAÇO.

EQUAÇÃO VETORIAL DIRETA.

EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DIRETAS

A posição de uma linha reta no espaço é completamente determinada pela especificação de qualquer um de seus pontos fixos M 1 e um vetor paralelo a esta reta.

Um vetor paralelo a uma reta é chamado orientando o vetor desta linha.

Então deixe o reto eu passa por um ponto M 1 (x 1 , y 1 , z 1) deitado em uma linha reta paralela ao vetor .

Considere um ponto arbitrário M(x,y,z) em linha reta. Pode-se ver pela figura que .

Os vetores e são colineares, então existe tal número t, o que , onde está o multiplicador t pode assumir qualquer valor numérico dependendo da posição do ponto M em linha reta. Fator té chamado de parâmetro. Denotando os vetores de raio dos pontos M 1 e M respectivamente, através de e , obtemos . Esta equação é chamada vetor equação da reta. Mostra que cada valor de parâmetro t corresponde ao vetor raio de algum ponto M deitado em linha reta.

Escrevemos esta equação na forma de coordenadas. Notar que , e daqui

As equações resultantes são chamadas paramétrico equações de linha reta.

Ao alterar o parâmetro t mudança de coordenadas x, y e z e ponto M se move em linha reta.

EQUAÇÕES CANÔNICAS DIRETAS

Deixar M 1 (x 1 , y 1 , z 1) - um ponto sobre uma linha reta eu, e é o seu vetor diretor. Novamente, tome um ponto arbitrário em uma linha reta M(x,y,z) e considere o vetor .

É claro que os vetores e são colineares, portanto suas respectivas coordenadas devem ser proporcionais, portanto

– canônico equações de linha reta.

Observação 1. Observe que as equações canônicas da reta podem ser obtidas a partir das equações paramétricas eliminando o parâmetro t. De fato, das equações paramétricas obtemos ou .

Exemplo. Escreva a equação de uma reta de forma paramétrica.

denotar , por isso x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Observação 2. Seja a linha perpendicular a um dos eixos coordenados, por exemplo, o eixo Boi. Então o vetor de direção da linha é perpendicular Boi, Consequentemente, m=0. Consequentemente, as equações paramétricas da reta assumem a forma

Eliminando o parâmetro das equações t, obtemos as equações da reta na forma

Porém, também neste caso, concordamos em escrever formalmente as equações canônicas da reta na forma . Assim, se o denominador de uma das frações for zero, isso significa que a linha é perpendicular ao eixo de coordenadas correspondente.

Da mesma forma, as equações canônicas corresponde a uma reta perpendicular aos eixos Boi e oi ou eixo paralelo oz.

Exemplos.

EQUAÇÕES GERAIS UMA LINHA DIRETA COMO LINHA DE INTERCEPÇÃO DE DOIS PLANOS

Através de cada linha reta no espaço passa um número infinito de planos. Quaisquer dois deles, cruzando-se, definem-no no espaço. Portanto, as equações de quaisquer dois desses planos, considerados em conjunto, são as equações desta reta.

Em geral, quaisquer dois planos não paralelos dados pelas equações gerais

determinar sua linha de intersecção. Essas equações são chamadas equações gerais direto.

Exemplos.

Construa uma reta dada por equações

Para construir uma linha, basta encontrar quaisquer dois de seus pontos. A maneira mais fácil é escolher os pontos de interseção da linha com os planos coordenados. Por exemplo, o ponto de interseção com o plano xOy obtemos das equações de uma reta, assumindo z= 0:

Resolvendo este sistema, encontramos o ponto M 1 (1;2;0).

Da mesma forma, assumindo y= 0, obtemos o ponto de interseção da reta com o plano xOz:

Das equações gerais de uma reta, pode-se proceder às suas equações canônicas ou paramétricas. Para fazer isso, você precisa encontrar algum ponto M 1 na linha e o vetor de direção da linha.

Coordenadas do ponto M 1 obtemos deste sistema de equações, dando a uma das coordenadas um valor arbitrário. Para encontrar o vetor de direção, observe que esse vetor deve ser perpendicular a ambos os vetores normais e . Portanto, para o vetor diretor da reta eu você pode obter o produto vetorial de vetores normais:

.

Exemplo. Dê as equações gerais da reta à forma canônica.

Encontre um ponto em uma linha reta. Para fazer isso, escolhemos arbitrariamente uma das coordenadas, por exemplo, y= 0 e resolva o sistema de equações:

Os vetores normais dos planos que definem a reta têm coordenadas Portanto, o vetor de direção será reto

. Consequentemente, eu: .

ÂNGULO ENTRE AS DIREITAS

canto entre linhas retas no espaço, chamaremos qualquer um dos ângulos adjacentes formados por duas linhas retas traçadas por um ponto arbitrário paralelo aos dados.

Sejam dadas duas retas no espaço:

Obviamente, o ângulo φ entre as linhas pode ser tomado como o ângulo entre seus vetores de direção e . Desde , então de acordo com a fórmula para o cosseno do ângulo entre os vetores, obtemos

uma. Sejam dadas duas retas, que, conforme indicado no capítulo 1, formam vários ângulos positivos e negativos, que podem ser agudos ou obtusos. Conhecendo um desses ângulos, podemos encontrar facilmente qualquer outro.

Aliás, para todos esses ângulos, o valor numérico da tangente é o mesmo, a diferença só pode estar no sinal

Equações de retas. Os números são as projeções dos vetores diretores da primeira e da segunda reta, sendo o ângulo entre esses vetores igual a um dos ângulos formados pelas retas. Portanto, o problema se reduz a determinar o ângulo entre os vetores, Obtemos

Para simplificar, podemos concordar com um ângulo entre duas retas para entender um ângulo agudo positivo (como, por exemplo, na Fig. 53).

Então a tangente desse ângulo será sempre positiva. Assim, se for obtido um sinal de menos do lado direito da fórmula (1), então devemos descartá-lo, ou seja, manter apenas o valor absoluto.

Exemplo. Determinar o ângulo entre as linhas

Pela fórmula (1) temos

Com. Se for indicado qual dos lados do ângulo é o seu começo e qual é o seu fim, então, contando sempre a direção do ângulo no sentido anti-horário, podemos extrair algo mais das fórmulas (1). Como é fácil ver pela Fig. 53 o sinal obtido do lado direito da fórmula (1) indicará qual deles - agudo ou obtuso - o ângulo forma a segunda linha com a primeira.

(De fato, na Fig. 53, vemos que o ângulo entre o primeiro e o segundo vetores de direção é igual ao ângulo desejado entre as linhas ou difere dele em ± 180°.)

d. Se as retas são paralelas, então seus vetores diretores também são paralelos.Aplicando a condição de paralelismo de dois vetores, obtemos!

Esta é uma condição necessária e suficiente para que duas retas sejam paralelas.

Exemplo. direto

são paralelos porque

e. Se as retas são perpendiculares, então seus vetores diretores também são perpendiculares. Aplicando a condição de perpendicularidade de dois vetores, obtemos a condição de perpendicularidade de duas retas, ou seja

Exemplo. direto

perpendicular porque

Em conexão com as condições de paralelismo e perpendicularidade, resolveremos os dois problemas a seguir.

f. Desenhar uma reta paralela a uma dada reta passando por um ponto

A decisão é tomada assim. Como a reta desejada é paralela à dada, então para seu vetor diretor podemos tomar o mesmo da reta dada, ou seja, um vetor com projeções A e B. E então a equação da reta desejada será escrita na forma (§ 1)

Exemplo. Equação de uma reta que passa por um ponto (1; 3) paralelo a uma reta

será o próximo!

g. Desenhe uma linha através de um ponto perpendicular à linha dada

Aqui, não é mais adequado tomar um vetor com projeções A e como vetor diretor, mas é necessário ganhar um vetor perpendicular a ele. As projeções desse vetor devem, portanto, ser escolhidas de acordo com a condição de que ambos os vetores sejam perpendiculares, ou seja, de acordo com a condição

Esta condição pode ser satisfeita de infinitas maneiras, pois aqui há uma equação com duas incógnitas. Mas a maneira mais fácil é tomá-la. Então a equação da reta desejada será escrita na forma

Exemplo. Equação de uma reta que passa por um ponto (-7; 2) em uma reta perpendicular

será o seguinte (de acordo com a segunda fórmula)!

h. No caso em que as retas são dadas por equações da forma

reescrevendo essas equações de forma diferente, temos

serei breve. O ângulo entre duas retas é igual ao ângulo entre seus vetores diretores. Assim, se você conseguir encontrar as coordenadas dos vetores de direção a \u003d (x 1; y 1; z 1) e b \u003d (x 2; y 2; z 2), poderá encontrar o ângulo. Mais precisamente, o cosseno do ângulo de acordo com a fórmula:

Vamos ver como essa fórmula funciona em exemplos específicos:

Uma tarefa. Os pontos E e F são marcados no cubo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - os pontos médios das arestas A 1 B 1 e B 1 C 1, respectivamente. Encontre o ângulo entre as linhas AE e BF.

Como a borda do cubo não é especificada, definimos AB = 1. Introduzimos um sistema de coordenadas padrão: a origem está no ponto A e os eixos x, y, z são direcionados ao longo de AB, AD e AA 1, respectivamente . O segmento unitário é igual a AB = 1. Agora vamos encontrar as coordenadas dos vetores diretores para nossas retas.

Encontre as coordenadas do vetor AE. Para fazer isso, precisamos dos pontos A = (0; 0; 0) e E = (0,5; 0; 1). Como o ponto E é o meio do segmento A 1 B 1 , suas coordenadas são iguais à média aritmética das coordenadas das extremidades. Observe que a origem do vetor AE coincide com a origem, portanto AE = (0,5; 0; 1).

Agora vamos lidar com o vetor BF. Da mesma forma, analisamos os pontos B = (1; 0; 0) e F = (1; 0,5; 1), pois F - o meio do segmento B 1 C 1 . Nós temos:
BF = (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) = (0; 0,5; 1).

Então, os vetores de direção estão prontos. O cosseno do ângulo entre as linhas é o cosseno do ângulo entre os vetores diretores, então temos:

Uma tarefa. Em um prisma triédrico regular ABCA 1 B 1 C 1 , cujas arestas são iguais a 1, os pontos D e E são marcados - os pontos médios das arestas A 1 B 1 e B 1 C 1, respectivamente. Encontre o ângulo entre as linhas AD e BE.

Introduzimos um sistema de coordenadas padrão: a origem está no ponto A, o eixo x é direcionado ao longo de AB, z - ao longo de AA 1 . Direcionamos o eixo y para que o plano OXY coincida com o plano ABC. O segmento unitário é igual a AB = 1. Encontre as coordenadas dos vetores de direção para as linhas desejadas.

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do vetor AD. Considere os pontos: A = (0; 0; 0) e D = (0,5; 0; 1), pois D - o meio do segmento A 1 B 1 . Como o início do vetor AD coincide com a origem, obtemos AD = (0,5; 0; 1).

Agora vamos encontrar as coordenadas do vetor BE. O ponto B = (1; 0; 0) é fácil de calcular. Com o ponto E - o meio do segmento C 1 B 1 - um pouco mais complicado. Nós temos:

Resta encontrar o cosseno do ângulo:

Uma tarefa. Em um prisma hexagonal regular ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , cujas arestas são iguais a 1, os pontos K e L são marcados - os pontos médios das arestas A 1 B 1 e B 1 C 1, respectivamente. Encontre o ângulo entre as linhas AK e BL.

Introduzimos um sistema de coordenadas padrão para um prisma: colocamos a origem das coordenadas no centro da base inferior, direcionamos o eixo x ao longo de FC, o eixo y pelos pontos médios dos segmentos AB e DE e o eixo z verticalmente para cima. O segmento unitário é novamente igual a AB = 1. Vamos escrever as coordenadas dos pontos de interesse para nós:

Os pontos K e L são os pontos médios dos segmentos A 1 B 1 e B 1 C 1, respectivamente, portanto suas coordenadas são encontradas através da média aritmética. Conhecendo os pontos, encontramos as coordenadas dos vetores diretores AK e BL:

Agora vamos encontrar o cosseno do ângulo:

Uma tarefa. Em uma pirâmide quadrangular regular SABCD, todas as arestas são iguais a 1, os pontos E e F são marcados - os pontos médios dos lados SB e SC, respectivamente. Encontre o ângulo entre as linhas AE e BF.

Introduzimos um sistema de coordenadas padrão: a origem está no ponto A, os eixos x e y são direcionados ao longo de AB e AD, respectivamente, e o eixo z é direcionado verticalmente para cima. O segmento unitário é igual a AB = 1.

Os pontos E e F são os pontos médios dos segmentos SB e SC, respectivamente, portanto suas coordenadas são encontradas como a média aritmética das extremidades. Anotamos as coordenadas dos pontos de interesse para nós:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Conhecendo os pontos, encontramos as coordenadas dos vetores diretores AE e BF:

As coordenadas do vetor AE coincidem com as coordenadas do ponto E, pois o ponto A é a origem. Resta encontrar o cosseno do ângulo:

Definição. Se duas linhas são dadas y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , então o ângulo agudo entre essas linhas será definido como

Duas retas são paralelas se k 1 = k 2 . Duas retas são perpendiculares se k 1 = -1/ k 2 .

Teorema. As retas Ax + Vy + C \u003d 0 e A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 são paralelas quando os coeficientes A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB são proporcionais. Se também С 1 = λС, então as linhas coincidem. As coordenadas do ponto de interseção de duas retas são encontradas como solução do sistema de equações dessas retas.

Equação de uma reta que passa por um ponto dado

Perpendicular a esta linha

Definição. A linha que passa pelo ponto M 1 (x 1, y 1) e perpendicular à linha y \u003d kx + b é representada pela equação:

Distância do ponto à linha

Teorema. Se um ponto M(x 0, y 0) for dado, então a distância até a linha Ax + Vy + C \u003d 0 é definida como

.

Prova. Seja o ponto M 1 (x 1, y 1) a base da perpendicular lançada do ponto M à reta dada. Então a distância entre os pontos M e M 1:

(1)

As coordenadas x 1 e y 1 podem ser encontradas como uma solução para o sistema de equações:

A segunda equação do sistema é a equação de uma reta que passa por um dado ponto M 0 perpendicular a uma dada reta. Se transformarmos a primeira equação do sistema para a forma:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

então, resolvendo, obtemos:

Substituindo essas expressões na equação (1), encontramos:

O teorema foi provado.

Exemplo. Determine o ângulo entre as linhas: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Exemplo. Mostre que as retas 3x - 5y + 7 = 0 e 10x + 6y - 3 = 0 são perpendiculares.

Solução. Encontramos: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, portanto, as linhas são perpendiculares.

Exemplo. Os vértices do triângulo A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) são dados. Encontre a equação para a altura tirada do vértice C.

Solução. Encontramos a equação do lado AB: ; 4 x = 6 anos - 6;

2x – 3a + 3 = 0;

A equação da altura desejada é: Ax + By + C = 0 ou y = kx + b. k = . Então y = . Porque a altura passa pelo ponto C, então suas coordenadas satisfazem esta equação: onde b = 17. Total: .

Resposta: 3x + 2y - 34 = 0.

Equação de uma reta que passa por um ponto dado em uma direção dada. Equação de uma reta que passa por dois pontos dados. Ângulo entre duas linhas. Condição de paralelismo e perpendicularidade de duas retas. Determinando o ponto de intersecção de duas linhas

1. Equação de uma reta que passa por um ponto dado UMA(x 1 , y 1) em uma determinada direção, determinada pela inclinação k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Esta equação define um lápis de linhas passando por um ponto UMA(x 1 , y 1), que é chamado de centro da viga.

2. Equação da reta que passa por dois pontos: UMA(x 1 , y 1) e B(x 2 , y 2) está escrito assim:

A inclinação de uma reta que passa por dois pontos dados é determinada pela fórmula

3. Ângulo entre linhas retas UMA e Bé o ângulo pelo qual a primeira linha reta deve ser girada UMA em torno do ponto de interseção dessas linhas no sentido anti-horário até que coincida com a segunda linha B. Se duas retas são dadas por equações de inclinação

y = k 1 x + B 1 ,

y = k 2 x + B 2 , (4)

então o ângulo entre eles é determinado pela fórmula

Deve-se notar que no numerador da fração, a inclinação da primeira reta é subtraída da inclinação da segunda reta.

Se as equações de uma reta são dadas na forma geral

UMA 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

UMA 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)

o ângulo entre eles é determinado pela fórmula

4. Condições para paralelismo de duas linhas:

a) Se as retas são dadas pelas equações (4) com inclinação, então a condição necessária e suficiente para seu paralelismo é a igualdade de suas inclinações:

k 1 = k 2 . (8)

b) Para o caso em que as retas são dadas por equações na forma geral (6), a condição necessária e suficiente para seu paralelismo é que os coeficientes nas coordenadas de corrente correspondentes em suas equações sejam proporcionais, ou seja,

5. Condições de perpendicularidade de duas retas:

a) No caso em que as retas são dadas pelas equações (4) com uma inclinação, a condição necessária e suficiente para sua perpendicularidade é que suas inclinações sejam recíprocas em magnitude e opostas em sinal, ou seja,

Esta condição também pode ser escrita na forma

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Se as equações das retas são dadas na forma geral (6), então a condição para sua perpendicularidade (necessária e suficiente) é cumprir a igualdade

UMA 1 UMA 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. As coordenadas do ponto de interseção de duas retas são encontradas resolvendo o sistema de equações (6). As retas (6) se interceptam se e somente se

1. Escreva as equações das retas que passam pelo ponto M, uma das quais é paralela e a outra perpendicular à reta dada l.

Oh-oh-oh-oh-oh ... bem, é minúsculo, como se você lesse a frase para si mesmo =) Porém, o relaxamento vai ajudar, principalmente porque comprei acessórios adequados hoje. Portanto, vamos passar para a primeira seção, espero, até o final do artigo, manter um bom humor.

Arranjo mútuo de duas linhas retas

O caso quando o corredor canta junto em coro. Duas linhas podem:

1) combinar;

2) ser paralelo: ;

3) ou se cruzam em um único ponto: .

Ajuda para manequins : lembre-se do sinal matemático da interseção, pois ocorrerá com muita frequência. A entrada significa que a linha cruza com a linha no ponto.

Como determinar a posição relativa de duas linhas?

Vamos começar com o primeiro caso:

Duas retas coincidem se e somente se seus respectivos coeficientes são proporcionais, ou seja, existe tal número "lambda" que as igualdades

Vamos considerar retas e compor três equações a partir dos coeficientes correspondentes: . De cada equação segue-se que, portanto, essas linhas coincidem.

De fato, se todos os coeficientes da equação multiplique por -1 (troque de sinal), e reduza todos os coeficientes da equação por 2, você obtém a mesma equação: .

O segundo caso quando as linhas são paralelas:

Duas retas são paralelas se e somente se seus coeficientes nas variáveis ​​são proporcionais: , mas.

Como exemplo, considere duas retas. Verificamos a proporcionalidade dos coeficientes correspondentes para as variáveis:

No entanto, é claro que .

E o terceiro caso, quando as linhas se cruzam:

Duas retas se interceptam se e somente se seus coeficientes das variáveis ​​NÃO são proporcionais, ou seja, NÃO existe tal valor de "lambda" que as igualdades sejam satisfeitas

Então, para retas vamos compor um sistema:

Da primeira equação segue que , e da segunda equação: , portanto, o sistema é inconsistente(sem soluções). Assim, os coeficientes nas variáveis ​​não são proporcionais.

Conclusão: linhas se cruzam

Em problemas práticos, o esquema de solução que acabamos de considerar pode ser usado. A propósito, é muito semelhante ao algoritmo para verificar vetores quanto à colinearidade, que consideramos na lição. O conceito de (não) dependência linear de vetores. base vetorial. Mas há um pacote mais civilizado:

Exemplo 1

Descubra a posição relativa das linhas:

Solução baseado no estudo de vetores diretores de retas:

a) Das equações encontramos os vetores diretores das retas: .

, então os vetores não são colineares e as linhas se cruzam.

Por precaução, colocarei uma pedra com ponteiros na encruzilhada:

O resto salta sobre a pedra e segue direto para Kashchei, o Imortal =)

b) Encontre os vetores diretores das retas:

As linhas têm o mesmo vetor de direção, o que significa que são paralelas ou iguais. Aqui o determinante não é necessário.

Obviamente, os coeficientes das incógnitas são proporcionais, enquanto .

Vamos descobrir se a igualdade é verdadeira:

Nesse caminho,

c) Encontre os vetores diretores das retas:

Vamos calcular o determinante, composto pelas coordenadas desses vetores:
, portanto, os vetores de direção são colineares. As linhas são paralelas ou coincidentes.

O fator de proporcionalidade "lambda" é fácil de ver diretamente da razão dos vetores de direção colineares. No entanto, também pode ser encontrado através dos coeficientes das próprias equações: .

Agora vamos descobrir se a igualdade é verdadeira. Ambos os termos livres são zero, então:

O valor resultante satisfaz esta equação (qualquer número geralmente a satisfaz).

Assim, as linhas coincidem.

Responda:

Muito em breve você aprenderá (ou até já aprendeu) a resolver o problema considerado verbalmente literalmente em questão de segundos. Nesse sentido, não vejo razão para oferecer algo para uma solução independente, é melhor colocar mais um tijolo importante na fundação geométrica:

Como traçar uma reta paralela a uma determinada?

Por ignorância dessa tarefa mais simples, o Rouxinol, o Ladrão, pune severamente.

Exemplo 2

A reta é dada pela equação . Escreva uma equação para uma reta paralela que passa pelo ponto.

Solução: Indique a linha desconhecida pela letra. O que a condição diz sobre isso? A linha passa pelo ponto. E se as linhas são paralelas, é óbvio que o vetor diretor da linha "ce" também é adequado para construir a linha "de".

Retiramos o vetor de direção da equação:

Responda:

A geometria do exemplo parece simples:

A verificação analítica consiste nas seguintes etapas:

1) Verificamos que as retas têm o mesmo vetor de direção (se a equação da reta não for devidamente simplificada, então os vetores serão colineares).

2) Verifique se o ponto satisfaz a equação resultante.

A verificação analítica na maioria dos casos é fácil de ser realizada oralmente. Olhe para as duas equações e muitos de vocês descobrirão rapidamente como as linhas são paralelas sem nenhum desenho.

Exemplos de auto-resolução hoje serão criativos. Porque você ainda tem que competir com Baba Yaga, e ela, você sabe, é uma amante de todos os tipos de enigmas.

Exemplo 3

Escreva uma equação para uma reta que passa por um ponto paralelo à reta se

Existe uma forma racional e não muito racional de resolver. O caminho mais curto está no final da lição.

Fizemos um pequeno trabalho com linhas paralelas e voltaremos a elas mais tarde. O caso de linhas coincidentes é de pouco interesse, então vamos considerar um problema que você conhece bem do currículo escolar:

Como encontrar o ponto de interseção de duas retas?

Se direto intersectam no ponto , então suas coordenadas são a solução sistemas de equações lineares

Como encontrar o ponto de interseção das linhas? Resolva o sistema.

Aqui está para você significado geométrico de um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas são duas linhas retas que se cruzam (na maioria das vezes) em um plano.

Exemplo 4

Encontrar o ponto de interseção das linhas

Solução: Existem duas maneiras de resolver - gráfica e analítica.

A forma gráfica é simplesmente desenhar as linhas dadas e descobrir o ponto de interseção diretamente do desenho:

Aqui está o nosso ponto: . Para verificar, você deve substituir suas coordenadas em cada equação de uma reta, elas devem caber ali e ali. Em outras palavras, as coordenadas de um ponto são a solução do sistema. De fato, consideramos uma forma gráfica de resolver sistemas de equações lineares com duas equações, duas incógnitas.

O método gráfico, claro, não é ruim, mas há desvantagens perceptíveis. Não, a questão não é que os alunos da sétima série decidam assim, a questão é que levará tempo para fazer um desenho correto e EXATO. Além disso, algumas linhas não são tão fáceis de construir, e o próprio ponto de interseção pode estar em algum lugar no trigésimo reino fora da folha do caderno.

Portanto, é mais conveniente procurar o ponto de interseção pelo método analítico. Vamos resolver o sistema:

Para resolver o sistema, foi utilizado o método de adição de equações termo a termo. Para desenvolver as habilidades relevantes, visite a lição Como resolver um sistema de equações?

Responda:

A verificação é trivial - as coordenadas do ponto de interseção devem satisfazer cada equação do sistema.

Exemplo 5

Encontre o ponto de interseção das linhas se elas se cruzam.

Este é um exemplo faça-você-mesmo. É conveniente dividir o problema em várias etapas. A análise da condição sugere que é necessário:
1) Escreva a equação de uma reta.
2) Escreva a equação de uma reta.
3) Descubra a posição relativa das linhas.
4) Se as linhas se cruzarem, encontre o ponto de interseção.

O desenvolvimento de um algoritmo de ação é típico para muitos problemas geométricos, e vou me concentrar repetidamente nisso.

Solução completa e resposta no final do tutorial:

Um par de sapatos ainda não está gasto, pois chegamos à segunda seção da lição:

Linhas perpendiculares. A distância de um ponto a uma linha.
Ângulo entre linhas

Vamos começar com uma tarefa típica e muito importante. Na primeira parte, aprendemos a construir uma linha reta paralela à dada, e agora a cabana com pernas de frango girará 90 graus:

Como traçar uma reta perpendicular a uma dada?

Exemplo 6

A reta é dada pela equação . Escreva uma equação para uma reta perpendicular passando por um ponto.

Solução: Sabe-se por suposição que . Seria bom encontrar o vetor de direção da linha reta. Como as linhas são perpendiculares, o truque é simples:

Da equação “retiramos” o vetor normal: , que será o vetor diretor da reta.

Compomos a equação de uma reta por um ponto e um vetor diretor:

Responda:

Vamos desdobrar o esboço geométrico:

Hmmm... Céu laranja, mar laranja, camelo laranja.

Verificação analítica da solução:

1) Extraia os vetores diretores das equações e com a ajuda produto escalar de vetores concluímos que as retas são de fato perpendiculares: .

A propósito, você pode usar vetores normais, é ainda mais fácil.

2) Verifique se o ponto satisfaz a equação resultante .

A verificação, novamente, é fácil de ser realizada verbalmente.

Exemplo 7

Encontre o ponto de interseção de retas perpendiculares, se a equação for conhecida e ponto.

Este é um exemplo faça-você-mesmo. Existem várias ações na tarefa, por isso é conveniente organizar a solução ponto a ponto.

Nossa emocionante jornada continua:

Distância do ponto à linha

Diante de nós está uma faixa reta do rio e nossa tarefa é alcançá-la pelo caminho mais curto. Não há obstáculos e a rota mais ideal será o movimento ao longo da perpendicular. Ou seja, a distância de um ponto a uma reta é o comprimento do segmento perpendicular.

A distância em geometria é tradicionalmente indicada pela letra grega "ro", por exemplo: - a distância do ponto "em" à linha reta "de".

Distância do ponto à linha é expresso pela fórmula

Exemplo 8

Encontre a distância de um ponto a uma linha

Solução: tudo que você precisa é substituir cuidadosamente os números na fórmula e fazer os cálculos:

Responda:

Vamos executar o desenho:

A distância encontrada do ponto até a linha é exatamente o comprimento do segmento vermelho. Se você fizer um desenho em papel quadriculado na escala de 1 unidade. \u003d 1 cm (2 células), então a distância pode ser medida com uma régua comum.

Considere outra tarefa de acordo com o mesmo desenho:

A tarefa é encontrar as coordenadas do ponto , que é simétrico ao ponto em relação à linha . Proponho realizar as ações por conta própria, porém, delinearei o algoritmo de solução com resultados intermediários:

1) Encontre uma linha que é perpendicular a uma linha.

2) Encontre o ponto de interseção das linhas: .

Ambas as ações são discutidas em detalhes nesta lição.

3) O ponto é o ponto médio do segmento. Conhecemos as coordenadas do meio e uma das pontas. Por fórmulas para as coordenadas do meio do segmento achar .

Não será supérfluo verificar se a distância também é igual a 2,2 unidades.

Aqui podem surgir dificuldades nos cálculos, mas na torre um microcalculador ajuda muito, permitindo contar frações comuns. Já aconselhei várias vezes e recomendarei novamente.

Como encontrar a distância entre duas linhas paralelas?

Exemplo 9

Encontre a distância entre duas linhas paralelas

Este é outro exemplo para uma solução independente. Uma pequena dica: existem infinitas maneiras de resolver. Debriefing no final da aula, mas é melhor tentar adivinhar por si mesmo, acho que você conseguiu dispersar bem sua engenhosidade.

Ângulo entre duas linhas

Seja qual for o canto, então o batente:


Em geometria, o ângulo entre duas retas é tomado como o MENOR ângulo, do qual se segue automaticamente que não pode ser obtuso. Na figura, o ângulo indicado pelo arco vermelho não é considerado o ângulo entre linhas que se cruzam. E seu vizinho “verde” ou orientação oposta canto carmesim.

Se as linhas são perpendiculares, então qualquer um dos 4 ângulos pode ser tomado como o ângulo entre eles.

Como os ângulos são diferentes? Orientação. Primeiro, a direção de "rolar" o canto é de fundamental importância. Em segundo lugar, um ângulo orientado negativamente é escrito com um sinal de menos, por exemplo, se .

Por que eu disse isso? Parece que você pode conviver com o conceito usual de ângulo. O fato é que nas fórmulas pelas quais encontraremos os ângulos, um resultado negativo pode ser facilmente obtido, e isso não deve surpreendê-lo. Um ângulo com um sinal de menos não é pior e tem um significado geométrico muito específico. No desenho de um ângulo negativo, é imprescindível indicar sua orientação (sentido horário) com uma seta.

Como encontrar o ângulo entre duas linhas? Existem duas fórmulas de trabalho:

Exemplo 10

Encontrar o ângulo entre as linhas

Solução e Método um

Considere duas retas dadas por equações na forma geral:

Se direto não perpendicular, então orientado o ângulo entre eles pode ser calculado usando a fórmula:

Vamos prestar muita atenção ao denominador - isso é exatamente produto escalar vetores diretores de retas:

Se , então o denominador da fórmula desaparece e os vetores serão ortogonais e as linhas serão perpendiculares. É por isso que foi feita uma ressalva sobre a não perpendicularidade das linhas na formulação.

Com base no exposto, a solução é convenientemente formalizada em duas etapas:

1) Calcule o produto escalar de vetores diretores de retas:
então as linhas não são perpendiculares.

2) Encontramos o ângulo entre as linhas pela fórmula:

Usando a função inversa, é fácil encontrar o próprio ângulo. Neste caso, usamos a estranheza do arco tangente (ver Fig. Gráficos e propriedades de funções elementares):

Responda:

Na resposta, indicamos o valor exato, bem como o valor aproximado (de preferência em graus e em radianos), calculado por meio de uma calculadora.

Bem, menos, então menos, está tudo bem. Aqui está uma ilustração geométrica:

Não é de se estranhar que o ângulo tenha uma orientação negativa, pois na condição do problema o primeiro número é uma linha reta e a “torção” do ângulo começava justamente a partir dela.

Se você realmente deseja obter um ângulo positivo, precisa trocar as retas, ou seja, tirar os coeficientes da segunda equação , e pegue os coeficientes da primeira equação . Resumindo, você precisa começar com um .