Trabalho independente de um aluno do 1º ano sobre o tema Licenciaturas com um indicador válido. Propriedades de grau com expoente real (6 horas)
Estude material teórico e faça anotações (2 horas)
Resolva as palavras cruzadas (2 horas)
Fazer lição de casa (2 horas)
O material didático e de referência é fornecido abaixo.
Sobre o conceito de um grau com um expoente racional
Alguns dos maiscomum
Tipos de funções transcendentais antes
Totalmente indicativo, acesso aberto a
Muitos estudos.
L. Eiler
A partir da prática de resolver problemas algébricos cada vez mais complexos e operar com potências, tornou-se necessário generalizar o conceito de grau e expandi-lo introduzindo como expoente os números zero, negativo e fracionário.
A igualdade a 0 = 1 (para ) foi usada em seus escritos no início do século XV. Samarcanda cientista al-Kashi. Independentemente dele, o indicador zero foi introduzido por N. Shuke no século XV. Este último também introduziu expoentes negativos. A ideia de indicadores fracionários está contida no matemático francês N. Orem (século XIV) em seu
trabalho "Algorismo de proporções". Em vez de nosso sinal, ele escreveu , em vez disso, escreveu 4. Orem formula verbalmente as regras para ações com graus, por exemplo (em notação moderna):, 
etc.
Mais tarde, expoentes fracionários, bem como negativos, são encontrados em "Complete Arithmetic" (1544) pelo matemático alemão M. Stiefel e S. Stevin. Este último escreve que a raiz do grau P do número uma pode ser contado como um grau uma com uma fração.
A conveniência de introduzir indicadores zero, negativos e fracionários e símbolos modernos foi escrita em detalhes pela primeira vez em 1665 pelo matemático inglês John Vallis. Seu trabalho foi concluído por I. Newton, que começou a aplicar sistematicamente novos símbolos, após o que eles entraram em uso comum.
A introdução de um grau com um expoente racional é um dos muitos exemplos de generalização do conceito de ação matemática. Um grau com expoentes zero, negativos e fracionários é definido de tal forma que as mesmas regras de ação se aplicam a ele como para um grau com um expoente natural, ou seja, de modo que as propriedades básicas do conceito de grau originalmente definido sejam preservadas , a saber:
A nova definição de grau com expoente racional não contradiz a antiga definição de grau com expoente natural, ou seja, o significado da nova definição de grau com expoente racional é preservado para o caso particular de grau com expoente racional. expoente natural. Esse princípio, observado na generalização dos conceitos matemáticos, é chamado de princípio da permanência (preservação, constância). Ele foi expresso de forma imperfeita em 1830 pelo matemático inglês J. Peacock, e foi completa e claramente estabelecido pelo matemático alemão G. Hankel em 1867. O princípio da permanência também é observado ao generalizar o conceito de número e expandir ao conceito de número real, e antes disso introdução do conceito de multiplicação por fração, etc.
Função de potência egráficoResolvendo equações edesigualdades
Graças à descoberta do método de coordenadas e geometria analítica, a partir do século XVII. tornou-se possível o estudo gráfico de funções de aplicação geral e a solução gráfica de equações.
Poder uma função é uma função da forma
onde α é um número real constante. Inicialmente, porém, nos restringimos a valores racionais de α e em vez de igualdade (1) escrevemos:
Onde - número racional. Por e por definição, respectivamente, temos:
no=1, y = x.
cronograma a primeira dessas funções no plano é uma linha reta paralela ao eixo Oh, e a segunda é a bissetriz dos ângulos de 1ª e 3ª coordenadas.
Quando o gráfico da função é uma parábola . Descartes, que denotou o primeiro desconhecido por z, o segundo - através sim, terceiro - através x:, escreveu a equação da parábola assim: ( z- abcissas). Ele costumava usar uma parábola para resolver equações. Para resolver, por exemplo, uma equação do 4º grau
Descartes por substituição
obteve uma equação quadrática com duas incógnitas:
representando um círculo localizado em um plano (zx) com parábola (4). Assim, Descartes, introduzindo a segunda incógnita (X), divide a equação (3) em duas equações (4) e (5), cada uma das quais representa um certo lugar geométrico dos pontos. As ordenadas de seus pontos de interseção dão as raízes da equação (3).
“Um dia o rei decidiu escolher seu primeiro assistente entre seus cortesãos. Ele levou todos para um enorme castelo. "Quem abrir primeiro será o primeiro ajudante." Ninguém sequer tocou no castelo. Apenas um vizir apareceu e empurrou a fechadura, que se abriu. Não estava trancado.
Então o rei disse: “Você receberá esta posição porque não confia apenas no que vê e ouve, mas confia em sua própria força e não tem medo de tentar”.
E hoje vamos tentar, tentar chegar à decisão certa.
1. A que conceito matemático as palavras estão associadas:
Base
Indicador (Grau)
Que palavras podem combinar as palavras:
número racional
inteiro
Número natural
Número irracional (número real)
Formule o tema da lição. (Potência com expoente real)
- repetir as propriedades do grau
– considerar o uso de propriedades de grau em cálculos e simplificações de expressões
- desenvolvimento de competências computacionais.
Então, a p, onde p é um número real.
Dê exemplos (escolha entre as expressões 5–2, , 43, ) graus
- com um indicador natural
- com valor inteiro
- com um indicador racional
- com um indicador irracional
Para quais valores de a a expressão faz sentido?
a n , onde n (a é qualquer)
a m , onde m (e não igual a 0) Como passar de um expoente negativo para um expoente positivo?
Onde p, q (a > 0)
Que ações (operações matemáticas) podem ser realizadas com graus?
Definir correspondência:
|
Ao multiplicar potências com bases iguais |
As bases são multiplicadas, mas o expoente permanece o mesmo |
|
Ao dividir potências com bases iguais |
As bases são divididas, mas o expoente permanece o mesmo |
Depois de determinado grau de, é lógico falar propriedades de grau. Neste artigo, daremos as propriedades básicas do grau de um número, enquanto abordamos todos os expoentes possíveis. Aqui daremos provas de todas as propriedades do grau e também mostraremos como essas propriedades são aplicadas ao resolver exemplos.
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Propriedades de graus com indicadores naturais
Por determinando o grau com um indicador natural a potência de a n é o produto de n fatores, cada um dos quais é igual a a . Com base nesta definição, e usando propriedades de multiplicação de números reais, podemos obter e justificar o seguinte propriedades de grau com expoente natural:
- a propriedade principal do grau a m ·a n =a m+n , sua generalização ;
- a propriedade de potências parciais com as mesmas bases a m:a n =a m−n ;
- propriedade do grau do produto (a b) n =a n b n , sua extensão ;
- propriedade do quociente em espécie (a:b) n =a n:b n ;
- exponenciação (a m) n = a m n , sua generalização (((a n 1) n 2) ...) n k = a n 1 n 2 ... n k;
- comparando grau com zero:
- se a>0 , então a n >0 para qualquer n natural;
- se a=0 , então a n =0 ;
- se um<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 se um<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
- se a e b são números positivos e a
- se m e n são números naturais tais que m>n, então em 0
- se m e n são números naturais tais que m>n, então em 0
Notamos imediatamente que todas as igualdades escritas são idêntico sob as condições especificadas, e suas partes direita e esquerda podem ser trocadas. Por exemplo, a propriedade principal da fração a m a n = a m + n com simplificação de expressões frequentemente usado na forma a m+n = a m a n .
Agora vamos ver cada um deles em detalhes.
Vamos começar com a propriedade do produto de duas potências com as mesmas bases, que se chama a principal propriedade do grau: para qualquer número real a e quaisquer números naturais m e n, a igualdade a m ·a n =a m+n é verdadeira.
Vamos provar a propriedade principal do grau. Pela definição de grau com expoente natural, o produto de potências com as mesmas bases da forma a m a n pode ser escrito como um produto. Devido às propriedades da multiplicação, a expressão resultante pode ser escrita como 
, e este produto é a potência de a com expoente natural m+n , ou seja, a m+n . Isso completa a prova.
Vamos dar um exemplo que confirma a propriedade principal do grau. Vamos tomar graus com as mesmas bases 2 e potências naturais 2 e 3, de acordo com a propriedade principal do grau, podemos escrever a igualdade 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Vamos verificar sua validade, para a qual calculamos os valores das expressões 2 2 ·2 3 e 2 5 . Satisfatório exponenciação, temos 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 e 2 5 \u003d 2 2 2 2 2 \u003d 32, como valores iguais são obtidos, a igualdade 2 2 2 3 \u003d 2 5 está correta e confirma a propriedade principal do grau.
A propriedade principal de um grau baseado nas propriedades da multiplicação pode ser generalizada ao produto de três ou mais graus com as mesmas bases e expoentes naturais. Então, para qualquer número k de números naturais n 1 , n 2 , …, n k a igualdade a n 1 a n 2 a n k = a n 1 +n 2 +…+n k.
Por exemplo, (2,1) 3 (2,1) 3 (2,1) 4 (2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .
Você pode passar para a próxima propriedade de graus com um indicador natural - a propriedade de potências parciais com as mesmas bases: para qualquer número real diferente de zero a e números naturais arbitrários m e n que satisfaçam a condição m>n , a igualdade a m:a n =a m−n é verdadeira.
Antes de dar a prova desta propriedade, vamos discutir o significado das condições adicionais na formulação. A condição a≠0 é necessária para evitar a divisão por zero, pois 0 n =0, e quando nos familiarizamos com a divisão, concordamos que é impossível dividir por zero. A condição m>n é introduzida para não irmos além dos expoentes naturais. De fato, para m>n o expoente a m−n é um número natural, caso contrário será zero (o que acontece para m−n ) ou um número negativo (o que acontece para m Prova. A propriedade principal de uma fração nos permite escrever a igualdade a m−n a n =a (m−n)+n =a m. Da igualdade obtida a m−n ·a n =am e daí segue que a m−n é um quociente de potências de a me a n . Isso prova a propriedade das potências parciais com as mesmas bases. Vamos dar um exemplo. Vamos tomar dois graus com as mesmas bases π e expoentes naturais 5 e 2, a propriedade considerada do grau corresponde à igualdade π 5: π 2 = π 5−3 = π 3. Agora considere propriedade de grau do produto: o grau natural n do produto de quaisquer dois números reais a e b é igual ao produto dos graus a n e b n , ou seja, (a b) n = a n b n . De fato, por definição de um grau com um expoente natural, temos Aqui está um exemplo: Essa propriedade se estende ao grau do produto de três ou mais fatores. Ou seja, a propriedade de potência natural n do produto de k fatores é escrita como (a 1 a 2 ... a k) n = a 1 n a 2 n ... a k n. Para maior clareza, mostramos essa propriedade com um exemplo. Para o produto de três fatores à potência de 7, temos . A próxima propriedade é propriedade natural: o quociente dos números reais aeb , b≠0 elevado à potência natural n é igual ao quociente das potências a n e b n , ou seja, (a:b) n =a n:b n . A prova pode ser feita usando a propriedade anterior. Então (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, e a igualdade (a:b) n b n =an n implica que (a:b) n é o quociente de a n dividido por b n . Vamos escrever essa propriedade usando o exemplo de números específicos: Agora vamos voz propriedade de exponenciação: para qualquer número real a e quaisquer números naturais m e n, a potência de a m à potência de n é igual à potência de a com expoente m·n , ou seja, (a m) n =a m·n . Por exemplo, (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 . A prova da propriedade da potência em um grau é a seguinte cadeia de igualdades: A propriedade considerada pode ser estendida de grau dentro de grau dentro de grau, e assim por diante. Por exemplo, para quaisquer números naturais p, q, r e s, a igualdade Resta insistir nas propriedades de comparar graus com um expoente natural. Começamos provando a propriedade de comparação de zero e potência com um expoente natural. Primeiro, vamos justificar que a n >0 para qualquer a>0 . O produto de dois números positivos é um número positivo, como segue da definição de multiplicação. Este fato e as propriedades da multiplicação nos permitem afirmar que o resultado da multiplicação de qualquer número de números positivos também será um número positivo. E a potência de a com expoente natural n é, por definição, o produto de n fatores, cada um dos quais é igual a a. Esses argumentos nos permitem afirmar que para qualquer base positiva a o grau de a n é um número positivo. Em virtude da propriedade provada 3 5 >0 , (0,00201) 2 >0 e É bastante óbvio que para qualquer n natural com a = 0 o grau de a n é zero. De fato, 0 n =0·0·…·0=0 . Por exemplo, 0 3 =0 e 0 762 =0 . Passemos às bases negativas. Vamos começar com o caso em que o expoente é um número par, denote-o como 2 m , onde m é um número natural. Então Finalmente, quando a base de a é um número negativo e o expoente é um número ímpar 2 m−1, então Voltamos à propriedade de comparar graus com os mesmos expoentes naturais, que tem a seguinte formulação: de dois graus com os mesmos expoentes naturais, n é menor que aquele cuja base é menor e maior que aquele cuja base é maior. Vamos provar isso. Desigualdade n propriedades das desigualdades a desigualdade sendo provada da forma a n (2,2) 7 e Resta provar a última das propriedades listadas de potências com expoentes naturais. Vamos formular. Dos dois graus com indicadores naturais e as mesmas bases positivas, menos de um, o grau é maior, cujo indicador é menor; e de dois graus com indicadores naturais e as mesmas bases maiores que um, o grau é maior, cujo indicador é maior. Passemos à prova desta propriedade. Vamos provar que para m>n e 0 Resta provar a segunda parte da propriedade. Vamos provar que para m>n e a>1, a m >a n é verdadeiro. A diferença a m −a n depois de tirar um n dos colchetes assume a forma a n ·(a m−n −1) . Este produto é positivo, pois para a>1 o grau de a n é um número positivo, e a diferença a m−n−1 é um número positivo, pois m−n>0 devido à condição inicial, e para a>1, o grau de a m-n é maior que um. Portanto, a m − a n >0 e a m >a n , o que deveria ser provado. Esta propriedade é ilustrada pela desigualdade 3 7 >3 2 .
. O último produto, baseado nas propriedades da multiplicação, pode ser reescrito como 
, que é igual a a n b n .
.
.
.
. Para maior clareza, aqui está um exemplo com números específicos: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10
.
.
. Para cada um dos produtos da forma a·a é igual ao produto dos módulos dos números a e a, portanto, é um número positivo. Portanto, o produto também será positivo. 
e grau a 2 m. Aqui estão alguns exemplos: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 e .
. Todos os produtos a·a são números positivos, o produto desses números positivos também é positivo, e sua multiplicação pelo número negativo restante a resulta em um número negativo. Devido a esta propriedade (−5) 3<0
, (−0,003) 17 <0
и 
.
.
Propriedades de graus com expoentes inteiros
Como os inteiros positivos são números naturais, todas as propriedades de potências com expoentes inteiros positivos coincidem exatamente com as propriedades de potências com expoentes naturais listadas e comprovadas no parágrafo anterior.
Grau com expoente negativo inteiro, assim como o grau com expoente zero, definimos de forma que todas as propriedades de graus com expoentes naturais expressos por igualdades permaneçam válidas. Portanto, todas essas propriedades são válidas tanto para expoentes zero quanto para expoentes negativos, enquanto, é claro, as bases dos graus são diferentes de zero.
Assim, para quaisquer números reais e diferentes de zero a e b, bem como quaisquer inteiros m e n, os seguintes são verdadeiros propriedades de graus com expoentes inteiros:
- a m a n \u003d a m + n;
- a m: a n = a m−n ;
- (a b) n = a n b n ;
- (a:b) n =a n:bn;
- (a m) n = a m n ;
- se n é um inteiro positivo, a e b são números positivos e a b-n;
- se m e n são inteiros, e m>n, então em 0
Para a=0, as potências a m e a n fazem sentido apenas quando m e n são inteiros positivos, ou seja, números naturais. Assim, as propriedades que acabamos de escrever também são válidas para os casos em que a=0 e os números m e n são inteiros positivos.
Não é difícil provar cada uma dessas propriedades, para isso basta usar as definições do grau com um expoente natural e inteiro, bem como as propriedades das ações com números reais. Como exemplo, vamos provar que a propriedade da potência vale tanto para inteiros positivos quanto para inteiros não positivos. Para fazer isso, precisamos mostrar que se p é zero ou um número natural e q é zero ou um número natural, então as igualdades (a p) q =a p q , (a − p) q =a (−p) q , (a p ) −q =a p (−q) e (a−p)−q =a (−p) (−q). Vamos fazer isso.
Para peq positivos, a igualdade (a p) q =a p·q foi provada na subseção anterior. Se p=0 , então temos (a 0) q =1 q =1 e a 0 q =a 0 =1 , de onde (a 0) q =a 0 q . Da mesma forma, se q=0 , então (a p) 0 =1 e a p 0 =a 0 =1 , de onde (a p) 0 =a p 0 . Se tanto p=0 quanto q=0 , então (a 0) 0 =1 0 =1 e a 0 0 =a 0 =1 , de onde (a 0) 0 =a 0 0 .
Vamos agora provar que (a −p) q =a (−p) q . Por definição de um grau com um expoente inteiro negativo, então 
. Pela propriedade do quociente no grau, temos 
. Como 1 p =1·1·…·1=1 e , então . A última expressão é, por definição, uma potência da forma a −(p q) , que, em virtude das regras de multiplicação, pode ser escrita como a (−p) q .
De forma similar 
.
E 
.
Pelo mesmo princípio, pode-se provar todas as outras propriedades de um grau com um expoente inteiro, escrito na forma de igualdades.
Na penúltima das propriedades anotadas, vale a pena nos determos na prova da desigualdade a −n >b −n , que é verdadeira para qualquer inteiro negativo −n e qualquer a e b positivo para os quais a condição a . Uma vez que por condição a 0. O produto a n ·b n também é positivo como o produto dos números positivos a n e b n . Então a fração resultante é positiva como um quociente de números positivos b n − a n e a n b n . Portanto, de onde a −n >b −n , que deveria ser provado.
A última propriedade de graus com expoentes inteiros é provada da mesma forma que a propriedade análoga de graus com expoentes naturais.
Propriedades de potências com expoentes racionais
Grau com expoente fracionário determinamos estendendo a ele as propriedades de um grau com um expoente inteiro. Em outras palavras, graus com expoentes fracionários têm as mesmas propriedades que graus com expoentes inteiros. Nomeadamente:
A prova das propriedades dos graus com expoentes fracionários é baseada na definição de um grau com um expoente fracionário, nas propriedades de um grau com um expoente inteiro. Vamos dar provas.
Por definição do grau com um expoente fracionário e , então 
. As propriedades da raiz aritmética nos permitem escrever as seguintes igualdades. Além disso, usando a propriedade do grau com um expoente inteiro, obtemos , de onde, pela definição de um grau com um expoente fracionário, temos 
, e o expoente do grau obtido pode ser convertido da seguinte forma: . Isso completa a prova.
A segunda propriedade das potências com expoentes fracionários é provada exatamente da mesma maneira: 
O resto das igualdades são provadas por princípios semelhantes: 
Passamos à prova da próxima propriedade. Vamos provar que para qualquer a e b positivo, a bp. Escrevemos o número racional p como m/n , onde m é um número inteiro e n é um número natural. Condições p<0 и p>0 neste caso será equivalente às condições m<0 и m>0 respectivamente. Para m>0 e a
Da mesma forma, para m<0 имеем a m >b m , de onde , isto é, e a p > b p .
Resta provar a última das propriedades listadas. Vamos provar que para números racionais p e q , p>q para 0 
e 
. E a definição de um grau com um expoente racional nos permite passar para as desigualdades e, respectivamente. Disto tiramos a conclusão final: para p>q e 0
Propriedades de graus com expoentes irracionais
De como é definido grau com um expoente irracional, podemos concluir que tem todas as propriedades das potências com expoentes racionais. Então, para quaisquer a>0 , b>0 e números irracionais p e q os seguintes são verdadeiros propriedades de graus com expoentes irracionais:
- a p a q = a p + q ;
- a p:a q = a p−q ;
- (a b) p = a p b p ;
- (a:b)p=ap:bp;
- (ap) q = apq;
- para quaisquer números positivos a e b , a 0 a desigualdade a p bp;
- para números irracionais p e q , p>q em 0
A partir disso, podemos concluir que potências com quaisquer expoentes reais p e q para a>0 têm as mesmas propriedades.
Bibliografia.
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Livro de matemática Zh para 5 células. instituições educacionais.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Álgebra: um livro para 7 células. instituições educacionais.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Álgebra: livro para 8 células. instituições educacionais.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Álgebra: um livro para 9 células. instituições educacionais.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. e outros Álgebra e os primórdios da análise: um livro-texto para as séries 10-11 de instituições educacionais gerais.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemática (um manual para candidatos a escolas técnicas).
Lembramos que nesta lição entendemos propriedades de grau com indicadores naturais e zero. Graus com indicadores racionais e suas propriedades serão discutidos nas aulas para a 8ª série.
Um expoente com um expoente natural tem várias propriedades importantes que permitem simplificar os cálculos em exemplos de expoentes.
Propriedade nº 1
Produto de poderes
Lembrar!
Ao multiplicar potências com a mesma base, a base permanece inalterada e os expoentes são adicionados.
a m a n \u003d a m + n, onde " a" - qualquer número e " m", " n" - qualquer número natural.
Esta propriedade das potências também afeta o produto de três ou mais potências.
- Simplifique a expressão.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15 - Apresentar como um grau.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17 - Apresentar como um grau.
(0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
Importante!
Observe que na propriedade indicada tratava-se apenas de multiplicar potências com os mesmos motivos . Não se aplica à sua adição.
Você não pode substituir a soma (3 3 + 3 2) por 3 5 . Isso é compreensível se
calcule (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 e 3 5 = 243
Propriedade #2
Graus particulares
Lembrar!
Ao dividir potências com a mesma base, a base permanece inalterada e o expoente do divisor é subtraído do expoente do dividendo.
= 11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 443 8: t = 3 4
T = 3 8 − 4
Resposta: t = 3 4 = 81Usando as propriedades No. 1 e No. 2, você pode simplificar facilmente as expressões e realizar cálculos.
- Exemplo. Simplifique a expressão.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5 - Exemplo. Encontre o valor de uma expressão usando propriedades de grau.
= = =
=2 9 + 2 2 5
= 2 11 − 5 = 2 6 = 642 11 2 5 Importante!
Observe que a propriedade 2 tratou apenas da divisão de poderes com as mesmas bases.
Você não pode substituir a diferença (4 3 −4 2) por 4 1 . Isso é compreensível se considerarmos (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , e 4 1 = 4
Tome cuidado!
Propriedade nº 3
ExponenciaçãoLembrar!
Ao elevar uma potência a uma potência, a base da potência permanece inalterada e os expoentes são multiplicados.
(a n) m \u003d a n m, onde "a" é qualquer número e "m", "n" são quaisquer números naturais.
Propriedades 4
Grau do produtoLembrar!
Ao elevar um produto a uma potência, cada um dos fatores é elevado a uma potência. Os resultados são então multiplicados.
(a b) n \u003d a n b n, onde "a", "b" são quaisquer números racionais; "n" - qualquer número natural.
- Exemplo 1
(6 a 2 b 3 c) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 s 1 2 = 36 a 4 b 6 s 2 - Exemplo 2
(−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6
Importante!
Observe que a propriedade nº 4, como outras propriedades de graus, também é aplicada na ordem inversa.
(a n b n)= (a b) nOu seja, para multiplicar graus com os mesmos expoentes, você pode multiplicar as bases e deixar o expoente inalterado.
- Exemplo. Calcular.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000 - Exemplo. Calcular.
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1
Em exemplos mais complexos, pode haver casos em que a multiplicação e a divisão devem ser realizadas em potências com diferentes bases e diferentes expoentes. Nesse caso, recomendamos que você faça o seguinte.
Por exemplo, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
Exemplo de exponenciação de uma fração decimal.
4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = quatroPropriedades 5
Potência do quociente (frações)Lembrar!
Para elevar um quociente a uma potência, você pode elevar o dividendo e o divisor separadamente a essa potência e dividir o primeiro resultado pelo segundo.
(a: b) n \u003d a n: b n, onde "a", "b" são quaisquer números racionais, b ≠ 0, n é qualquer número natural.
- Exemplo. Expresse a expressão como potências parciais.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
Lembramos que um quociente pode ser representado como uma fração. Portanto, vamos nos deter no tópico de elevar uma fração a uma potência com mais detalhes na próxima página.
- Exemplo 1
Esta lição faz parte do tópico "Conversões de expressões contendo potências e raízes".
O resumo é um desenvolvimento detalhado de uma lição sobre as propriedades de um diploma com um indicador racional e real. São utilizadas tecnologias de aprendizagem por computador, grupo e jogos.
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Visualização:
Desenvolvimento metódico de uma aula de álgebra
professor de matemática GAU KO PO KST
Pekhova Nadezhda Yurievna
sobre o tema: "Propriedades de um grau com um expoente racional e real."
Lições objetivas:
- educacional: consolidação e aprofundamento do conhecimento das propriedades de uma licenciatura com um indicador racional e sua aplicação em exercícios; melhorar o conhecimento sobre a história do desenvolvimento dos graus;
- desenvolvimento: desenvolvimento da habilidade de autocontrole e controle mútuo; desenvolvimento de habilidades intelectuais, habilidades de pensamento,
- educando: educação de interesse cognitivo no assunto, educação de responsabilidade pelo trabalho realizado, para promover a criação de uma atmosfera de trabalho criativo ativo.
Tipo de lição: Lições para melhorar conhecimentos, habilidades e habilidades.
Métodos de condução: verbal - visual.
Tecnologias pedagógicas: tecnologias de aprendizagem por computador, grupo e jogos.
Equipamento de aula: equipamento de projeção, computador, apresentação para a aula, trabalho
cadernos, livros didáticos, cartões com o texto de palavras cruzadas e um teste reflexivo.
Tempo de aula: 1 hora 20 min.
As principais etapas da aula:
1. Momento organizacional. Tópicos da mensagem, objetivos da lição.
2. Atualização de conhecimentos básicos. Repetição das propriedades de um grau com um expoente racional.
3. Ditado matemático sobre as propriedades de um grau com um expoente racional.
4. Mensagens dos alunos usando uma apresentação no computador.
5. Trabalhe em grupos.
6. Solução de palavras cruzadas.
7. Resumindo, classificando. Reflexão.
8. Lição de casa.
Durante as aulas:
1. Org. momento. Mensagem sobre o tema, objetivos da aula, plano de aula. Diapositivos 1, 2.
2. Atualização de conhecimentos básicos.
1) Repetição das propriedades da licenciatura com um indicador racional: os alunos devem continuar as propriedades escritas - um levantamento frontal. Slide 3.
2) Alunos na lousa - análise de exercícios do livro didático (Alimov Sh.A.): a) Nº 74, b) Nº 77.
C) nº 82-a; b; c.
Nº 74: a) = = a;
B) + = ;
B): = = = b.
Nº 77: a) = = ;
B) = = = b.
Nº 82: a) = = = ;
B) = = y;
B) () () = .
3. Ditado matemático com verificação mútua. Os alunos compartilham seus trabalhos, comparam respostas e dão notas.
Diapositivos 4 - 5
4. Mensagens dos alunos sobre alguns fatos históricos sobre o tema em estudo.
Diapositivos 6 - 12:
Primeiro aluno: Slide 6
O conceito de um grau com um indicador natural foi formado mesmo entre os povos antigos. quadrado e cubonúmeros foram usados para calcular áreas e volumes. Os poderes de alguns números foram usados para resolver certos problemas por cientistas do antigo Egito e Babilônia.
No século 3, um livro do estudioso grego Diofanto foi publicado"Aritmética", em que se iniciou a introdução de símbolos alfabéticos. Diofanto introduz símbolos para os seis primeiros poderes do desconhecido e seus recíprocos. Neste livro, um quadrado é denotado por um sinal e um índice; por exemplo, um cubo é sinal k com índice r, etc.
Segundo aluno: Slide 7
Uma grande contribuição para o desenvolvimento do conceito de grau foi feita pelo antigo cientista grego Pitágoras. Ele tinha uma escola inteira, e todos os seus alunos eram chamados de pitagóricos. Eles tiveram a ideia de que cada número pode ser representado na forma de figuras. Por exemplo, eles representavam os números 4, 9 e 16 como quadrados.
Primeiro aluno: slides 8-9
Slide 8
Slide 9
século XVI. Neste século, o conceito de grau se expandiu: passou a ser atribuído não apenas a um número específico, mas também a uma variável. Como diziam então "aos números em geral" o matemático inglês S. Estevão cunhou uma notação para denotar o grau: notação 3(3)+5(2)–4 denotava uma notação tão moderna 3 3 + 5 2 – 4.
Segundo aluno: Slide 10
Mais tarde, expoentes fracionários e negativos são encontrados em “Complete Arithmetic” (1544) do matemático alemão M. Stiefel e S. Stevin.
S. Stevin sugeriu significar por grau com um indicador da forma raiz, ou seja .
Primeiro aluno: Slide 11
No final do século XVI, François Vietintroduziram letras para denotar não apenas variáveis, mas também seus coeficientes. Ele usou abreviações: N, Q, C - para o primeiro, segundo e terceiro graus.
Mas as designações modernas (como, ) foi introduzido por René Descartes no século XVII.
Segundo aluno: Slide 12
Definições modernase notação de grau com expoente zero, negativo e fracionário são originários do trabalho de matemáticos ingleses John Wallis (1616-1703) e Isaac Newton.
5. Solução de palavras cruzadas.
Os alunos recebem palavras cruzadas. Resolva em pares. A dupla que decidir primeiro ganha a pontuação. Slides 13-15.
6. Trabalho em equipe. slide 16.
Os alunos realizam trabalhos independentes, trabalhando em grupos de 4, aconselhando-se mutuamente. O trabalho é então submetido para revisão.
7. Resumindo, classificando.
Reflexão.
Os alunos completam um teste reflexivo. Marque "+" se concordar e "-" caso contrário.
Teste reflexivo:
1. Aprendi muitas coisas novas.
2. Será útil para mim no futuro.
3. Havia algo em que pensar na lição.
4. Recebi (a) respostas para todas as perguntas que surgiram durante a aula.
5. Na aula, trabalhei conscienciosamente e atingi os objetivos da aula.
8. Lição de casa: Slide 17.
1) № 76 (1; 3); № 70 (1; 2)
2) Opcional: faça um jogo de palavras cruzadas com os principais conceitos do tema estudado.
Referências:
- Alimov S.A. álgebra e o início das séries 10-11, livro didático - M.: Educação, 2010.
- Álgebra e o início da análise 10º ano. Materiais didáticos. Iluminismo, 2012.
Recursos da Internet:
- site educacional - RusCopyBook.Com - Livros eletrônicos e GDZ
- Site Recursos educacionais da Internet - para crianças em idade escolar e estudantes. http://www.alleng.ru/edu/educ.htm
- Portal do professor do site - http://www.uchportal.ru/
