Seioângulo agudo α de um triângulo retângulo é a razão oposto cateter para a hipotenusa.
É denotado da seguinte forma: sen α.
Cosseno O ângulo agudo α de um triângulo retângulo é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa.
É denotado da seguinte forma: cos α.
Tangenteângulo agudo α é a razão entre a perna oposta e a perna adjacente.
É denotado como se segue: tg α.
Co-tangenteângulo agudo α é a razão entre a perna adjacente e a oposta.
É designado da seguinte forma: ctg α.
O seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo dependem apenas da magnitude do ângulo.
Regras:
Identidades trigonométricas básicas em um triângulo retângulo:
(α - ângulo agudo oposto à perna b e adjacente à perna uma . Lado Com - hipotenusa. β - o segundo ângulo agudo).
b | sen 2 α + cos 2 α = 1 | |
uma | 1 | |
b | 1 | |
uma | 1 1 | |
sinα |
À medida que o ângulo agudo aumentasinα etg α aumentar, ecos α diminui.
Para qualquer ângulo agudo α:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α
Exemplo explicativo:
Seja em um triângulo retângulo ABC
AB = 6,
BC = 3,
ângulo A = 30º.
Encontre o seno do ângulo A e o cosseno do ângulo B.
Solução.
1) Primeiro, encontramos o valor do ângulo B. Tudo é simples aqui: como em um triângulo retângulo a soma dos ângulos agudos é 90º, então o ângulo B \u003d 60º:
B \u003d 90º - 30º \u003d 60º.
2) Calcule o sen A. Sabemos que o seno é igual à razão entre o cateto oposto e a hipotenusa. Para o ângulo A, a perna oposta é o lado BC. Então:
BC 3 1
sen A = -- = - = -
AB 6 2
3) Agora calculamos cos B. Sabemos que o cosseno é igual à razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa. Para o ângulo B, a perna adjacente é do mesmo lado BC. Isso significa que precisamos novamente dividir BC em AB - ou seja, realizar as mesmas ações que ao calcular o seno do ângulo A:
BC 3 1
cosB = -- = - = -
AB 6 2
O resultado é:
sen A = cos B = 1/2.
sin 30º = cos 60º = 1/2.
Segue-se disso que em um triângulo retângulo o seno de um ângulo agudo é igual ao cosseno de outro ângulo agudo - e vice-versa. Isso é exatamente o que nossas duas fórmulas significam:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α
Vamos conferir novamente:
1) Seja α = 60º. Substituindo o valor de α na fórmula do seno, temos:
sin (90º - 60º) = cos 60º.
sen 30º = cos 60º.
2) Seja α = 30º. Substituindo o valor de α na fórmula do cosseno, temos:
cos (90° - 30º) = sin 30º.
cos 60° = sen 30°.
(Para mais informações sobre trigonometria, veja a seção Álgebra)
Um dos ramos da matemática com os quais os alunos enfrentam as maiores dificuldades é a trigonometria. Não é à toa: para dominar livremente essa área do conhecimento, você precisa de pensamento espacial, capacidade de encontrar senos, cossenos, tangentes, cotangentes usando fórmulas, simplificar expressões e poder usar o número pi nos cálculos. Além disso, você precisa ser capaz de aplicar trigonometria ao provar teoremas, e isso requer uma memória matemática desenvolvida ou a capacidade de deduzir cadeias lógicas complexas.
Origens da trigonometria
O conhecimento dessa ciência deve começar com a definição do seno, cosseno e tangente do ângulo, mas primeiro você precisa descobrir o que a trigonometria faz em geral.
Historicamente, os triângulos retângulos têm sido o principal objeto de estudo nesta seção da ciência matemática. A presença de um ângulo de 90 graus permite realizar várias operações que permitem determinar os valores de todos os parâmetros da figura em consideração usando dois lados e um ângulo ou dois ângulos e um lado. No passado, as pessoas notaram esse padrão e começaram a usá-lo ativamente na construção de edifícios, navegação, astronomia e até arte.
Primeira etapa
Inicialmente, as pessoas falavam sobre a relação de ângulos e lados exclusivamente no exemplo de triângulos retângulos. Em seguida, foram descobertas fórmulas especiais que possibilitaram expandir os limites do uso na vida cotidiana dessa seção da matemática.
O estudo da trigonometria na escola hoje começa com triângulos retângulos, após os quais o conhecimento adquirido é usado pelos alunos em física e na resolução de equações trigonométricas abstratas, trabalho com o qual começa no ensino médio.
Trigonometria esférica
Mais tarde, quando a ciência alcançou o próximo nível de desenvolvimento, fórmulas com seno, cosseno, tangente, cotangente começaram a ser usadas na geometria esférica, onde outras regras se aplicam, e a soma dos ângulos em um triângulo é sempre maior que 180 graus. Esta seção não é estudada na escola, mas é necessário saber sobre sua existência, pelo menos porque a superfície da Terra, e a superfície de qualquer outro planeta, é convexa, o que significa que qualquer marcação na superfície será "em forma de arco" em espaço tridimensional.
Pegue o globo e fio. Prenda o fio a quaisquer dois pontos no globo para que fique esticado. Preste atenção - ele adquiriu a forma de um arco. É com tais formas que lida a geometria esférica, que é usada em geodésia, astronomia e outros campos teóricos e aplicados.
Triângulo reto
Tendo aprendido um pouco sobre as maneiras de usar a trigonometria, vamos retornar à trigonometria básica para entender melhor o que são seno, cosseno, tangente, quais cálculos podem ser realizados com a ajuda deles e quais fórmulas usar.
O primeiro passo é entender os conceitos relacionados a um triângulo retângulo. Primeiro, a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo de 90 graus. Ela é a mais longa. Lembramos que, de acordo com o teorema de Pitágoras, seu valor numérico é igual à raiz da soma dos quadrados dos outros dois lados.
Por exemplo, se dois lados têm 3 e 4 centímetros, respectivamente, o comprimento da hipotenusa será de 5 centímetros. A propósito, os antigos egípcios sabiam disso cerca de quatro mil e quinhentos anos atrás.
Os dois lados restantes que formam um ângulo reto são chamados de pernas. Além disso, devemos lembrar que a soma dos ângulos em um triângulo em um sistema de coordenadas retangulares é 180 graus.
Definição
Finalmente, com uma sólida compreensão da base geométrica, podemos nos voltar para a definição do seno, cosseno e tangente de um ângulo.
O seno de um ângulo é a razão entre o cateto oposto (ou seja, o lado oposto ao ângulo desejado) para a hipotenusa. O cosseno de um ângulo é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa.
Lembre-se que nem seno nem cosseno podem ser maiores que um! Por quê? Porque a hipotenusa é, por padrão, a mais longa, não importa o comprimento da perna, ela será mais curta que a hipotenusa, o que significa que sua razão será sempre menor que um. Assim, se você obtiver um seno ou cosseno com valor maior que 1 na resposta do problema, procure um erro nos cálculos ou raciocínio. Esta resposta está claramente errada.
Finalmente, a tangente de um ângulo é a razão entre o lado oposto e o lado adjacente. O mesmo resultado dará a divisão do seno pelo cosseno. Veja: de acordo com a fórmula, dividimos o comprimento do lado pela hipotenusa, depois dividimos pelo comprimento do segundo lado e multiplicamos pela hipotenusa. Assim, obtemos a mesma razão que na definição de tangente.
A cotangente, respectivamente, é a razão entre o lado adjacente ao canto e o lado oposto. Obtemos o mesmo resultado dividindo a unidade pela tangente.
Assim, consideramos as definições do que são seno, cosseno, tangente e cotangente, e podemos lidar com fórmulas.
As fórmulas mais simples
Na trigonometria, não se pode prescindir de fórmulas - como encontrar seno, cosseno, tangente, cotangente sem elas? E isso é exatamente o que é necessário ao resolver problemas.
A primeira fórmula que você precisa saber ao começar a estudar trigonometria diz que a soma dos quadrados do seno e do cosseno de um ângulo é igual a um. Esta fórmula é uma consequência direta do teorema de Pitágoras, mas economiza tempo se você quiser saber o valor do ângulo, não o lado.
Muitos alunos não conseguem se lembrar da segunda fórmula, que também é muito popular na resolução de problemas escolares: a soma de um e o quadrado da tangente de um ângulo é igual a um dividido pelo quadrado do cosseno do ângulo. Dê uma olhada mais de perto: afinal, esta é a mesma afirmação da primeira fórmula, apenas os dois lados da identidade foram divididos pelo quadrado do cosseno. Acontece que uma simples operação matemática torna a fórmula trigonométrica completamente irreconhecível. Lembre-se: sabendo o que são seno, cosseno, tangente e cotangente, as regras de conversão e algumas fórmulas básicas, você pode, a qualquer momento, derivar independentemente as fórmulas mais complexas necessárias em uma folha de papel.
Fórmulas de ângulo duplo e adição de argumentos
Mais duas fórmulas que você precisa aprender estão relacionadas aos valores do seno e cosseno para a soma e diferença dos ângulos. Eles são mostrados na figura abaixo. Observe que, no primeiro caso, o seno e o cosseno são multiplicados ambas as vezes e, no segundo, o produto dos pares do seno e do cosseno é adicionado.
Existem também fórmulas associadas a argumentos de ângulo duplo. Eles são completamente derivados dos anteriores - como prática, tente obtê-los você mesmo, tomando o ângulo de alfa igual ao ângulo de beta.
Finalmente, observe que as fórmulas de ângulo duplo podem ser convertidas para diminuir o grau de seno, cosseno, tangente alfa.
Teoremas
Os dois principais teoremas da trigonometria básica são o teorema do seno e o teorema do cosseno. Com a ajuda desses teoremas, você pode entender facilmente como encontrar o seno, o cosseno e a tangente e, portanto, a área da figura e o tamanho de cada lado etc.
O teorema do seno afirma que, como resultado da divisão do comprimento de cada um dos lados do triângulo pelo valor do ângulo oposto, obtemos o mesmo número. Além disso, esse número será igual a dois raios do círculo circunscrito, ou seja, o círculo que contém todos os pontos do triângulo dado.
O teorema do cosseno generaliza o teorema de Pitágoras, projetando-o em quaisquer triângulos. Acontece que da soma dos quadrados dos dois lados, subtraia seu produto, multiplicado pelo duplo cosseno do ângulo adjacente a eles - o valor resultante será igual ao quadrado do terceiro lado. Assim, o teorema de Pitágoras acaba sendo um caso especial do teorema dos cossenos.
Erros por falta de atenção
Mesmo sabendo o que são seno, cosseno e tangente, é fácil errar por distração ou erro nos cálculos mais simples. Para evitar esses erros, vamos nos familiarizar com o mais popular deles.
Primeiro, você não deve converter frações ordinárias em decimais até que o resultado final seja obtido - você pode deixar a resposta como uma fração ordinária, a menos que a condição indique o contrário. Tal transformação não pode ser chamada de erro, mas deve-se lembrar que a cada etapa da tarefa podem surgir novas raízes, que, segundo a ideia do autor, devem ser reduzidas. Nesse caso, você perderá tempo com operações matemáticas desnecessárias. Isso é especialmente verdadeiro para valores como a raiz de três ou dois, porque eles ocorrem em tarefas a cada etapa. O mesmo se aplica ao arredondamento de números "feios".
Além disso, observe que o teorema do cosseno se aplica a qualquer triângulo, mas não o teorema de Pitágoras! Se você erroneamente esquecer de subtrair duas vezes o produto dos lados multiplicado pelo cosseno do ângulo entre eles, você não apenas obterá um resultado completamente errado, mas também demonstrará um completo mal-entendido sobre o assunto. Isso é pior do que um erro descuidado.
Em terceiro lugar, não confunda os valores para ângulos de 30 e 60 graus para senos, cossenos, tangentes, cotangentes. Lembre-se desses valores, pois o seno de 30 graus é igual ao cosseno de 60 e vice-versa. É fácil misturá-los, como resultado, você inevitavelmente obterá um resultado errôneo.
Inscrição
Muitos alunos não têm pressa em começar a estudar trigonometria, porque não entendem seu significado aplicado. O que é seno, cosseno, tangente para um engenheiro ou astrônomo? Estes são conceitos graças aos quais você pode calcular a distância de estrelas distantes, prever a queda de um meteorito, enviar uma sonda de pesquisa para outro planeta. Sem eles, é impossível construir um prédio, projetar um carro, calcular a carga na superfície ou a trajetória de um objeto. E estes são apenas os exemplos mais óbvios! Afinal, a trigonometria de uma forma ou de outra é usada em todos os lugares, da música à medicina.
Finalmente
Então você é seno, cosseno, tangente. Você pode usá-los em cálculos e resolver problemas escolares com sucesso.
Toda a essência da trigonometria se resume ao fato de que os parâmetros desconhecidos devem ser calculados a partir dos parâmetros conhecidos do triângulo. Existem seis parâmetros no total: os comprimentos de três lados e as magnitudes de três ângulos. Toda a diferença nas tarefas está no fato de que diferentes dados de entrada são fornecidos.
Como encontrar o seno, cosseno, tangente com base nos comprimentos conhecidos das pernas ou da hipotenusa, agora você sabe. Como esses termos significam nada mais do que uma razão, e uma razão é uma fração, o principal objetivo do problema trigonométrico é encontrar as raízes de uma equação ordinária ou de um sistema de equações. E aqui você será ajudado pela matemática escolar comum.
Instrução
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Nota
Ao calcular os lados de um triângulo retângulo, o conhecimento de suas características pode desempenhar:
1) Se o cateto de um ângulo reto se opõe a um ângulo de 30 graus, então é igual à metade da hipotenusa;
2) A hipotenusa é sempre mais longa que qualquer um dos catetos;
3) Se um círculo está circunscrito em torno de um triângulo retângulo, então seu centro deve estar no meio da hipotenusa.
A hipotenusa é o lado de um triângulo retângulo que é oposto ao ângulo de 90 graus. Para calcular seu comprimento, basta conhecer o comprimento de um dos catetos e o valor de um dos ângulos agudos do triângulo.
Instrução
Deixe-nos saber uma das pernas e o ângulo adjacente a ela. Por definição, seja a perna |AB| e ângulo α. Então podemos usar a fórmula para o cosseno trigonométrico - razão cosseno do cateto adjacente para. Aqueles. em nossa notação cos α = |AB| / |AC|. A partir daqui, obtemos o comprimento da hipotenusa |AC| = |AB| / cosα.
Se conhecermos a perna |BC| e ângulo α, então usamos a fórmula para calcular o seno do ângulo - o seno do ângulo é igual à razão entre o cateto oposto e a hipotenusa: sen α = |BC| / |AC|. Obtemos que o comprimento da hipotenusa é encontrado como |AC| = |BC| / cosα.
Para maior clareza, considere um exemplo. Seja o comprimento da perna |AB| = 15. E o ângulo α = 60°. Obtemos |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30.
Considere como você pode verificar seu resultado usando o teorema de Pitágoras. Para fazer isso, precisamos calcular o comprimento da segunda perna |BC|. Usando a fórmula da tangente do ângulo tg α = |BC| / |AC|, obtemos |BC| = |AB| * tg α = 15 * tg 60° = 15 * √3. Em seguida, aplicamos o teorema de Pitágoras, obtemos 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. A verificação é feita.
Conselho útil
Após calcular a hipotenusa, verifique se o valor resultante satisfaz o teorema de Pitágoras.
Fontes:
- Tabela de números primos de 1 a 10000
Pernas nomeie os dois lados curtos de um triângulo retângulo que compõem seu vértice, cujo valor é 90 °. O terceiro lado desse triângulo é chamado de hipotenusa. Todos esses lados e ângulos do triângulo estão interligados por certas relações que permitem calcular o comprimento da perna se vários outros parâmetros forem conhecidos.
Instrução
Use o teorema de Pitágoras para a perna (A) se você conhece o comprimento dos outros dois lados (B e C) do triângulo retângulo. Este teorema afirma que a soma dos comprimentos dos catetos ao quadrado é igual ao quadrado da hipotenusa. Segue-se que o comprimento de cada um dos catetos é igual à raiz quadrada dos comprimentos da hipotenusa e do segundo cateto: A=√(C²-B²).
Use a definição da função trigonométrica direta "seno" para um ângulo agudo, se você souber o valor do ângulo (α) oposto ao cateto calculado e o comprimento da hipotenusa (C). Isso afirma que o seno deste conhecido é a razão entre o comprimento da perna desejada e o comprimento da hipotenusa. Isto é que o comprimento do cateto desejado é igual ao produto do comprimento da hipotenusa pelo seno do ângulo conhecido: A=C∗sen(α). Para os mesmos valores conhecidos, você pode usar a cossecante e calcular o comprimento desejado dividindo o comprimento da hipotenusa pela cossecante do ângulo conhecido A=C/cosec(α).
Use a definição da função cosseno trigonométrica direta se, além do comprimento da hipotenusa (C), o valor do ângulo agudo (β) adjacente ao necessário também for conhecido. O cosseno desse ângulo é a razão dos comprimentos do cateto desejado e da hipotenusa, e disso podemos concluir que o comprimento do cateto é igual ao produto do comprimento da hipotenusa pelo cosseno do ângulo conhecido: A=C∗cos(β). Você pode usar a definição da função secante e calcular o valor desejado dividindo o comprimento da hipotenusa pela secante do ângulo conhecido A=C/sec(β).
Deduza a fórmula necessária de uma definição semelhante para a derivada da função trigonométrica tangente, se, além do valor do ângulo agudo (α) situado em frente à perna desejada (A), o comprimento da segunda perna (B) é conhecido. A tangente do ângulo oposto à perna desejada é a razão entre o comprimento desta perna e o comprimento da segunda perna. Isso significa que o valor desejado será igual ao produto do comprimento da perna conhecida pela tangente do ângulo conhecido: A=B∗tg(α). A partir dessas mesmas quantidades conhecidas, outra fórmula pode ser derivada usando a definição da função cotangente. Neste caso, para calcular o comprimento da perna, será necessário encontrar a razão entre o comprimento da perna conhecida e a cotangente do ângulo conhecido: A=B/ctg(α).
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A palavra "katet" veio do grego para o russo. Na tradução exata, significa um fio de prumo, ou seja, perpendicular à superfície da terra. Na matemática, as pernas são chamadas de lados que formam um ângulo reto de um triângulo retângulo. O lado oposto a este ângulo é chamado de hipotenusa. O termo "perna" também é usado em arquitetura e tecnologia de soldagem.
A secante desse ângulo é obtida dividindo-se a hipotenusa pelo cateto adjacente, ou seja, secCAB=c/b. Acontece o inverso do cosseno, ou seja, pode ser expresso pela fórmula secCAB=1/cosSAB.
A cossecante é igual ao quociente da divisão da hipotenusa pelo cateto oposto e é o recíproco do seno. Pode ser calculado usando a fórmula cosecCAB=1/sinCAB
Ambas as pernas são interconectadas e cotangentes. Neste caso, a tangente será a razão entre o lado a e o lado b, ou seja, o cateto oposto ao adjacente. Essa razão pode ser expressa pela fórmula tgCAB=a/b. Assim, a razão inversa será a cotangente: ctgCAB=b/a.
A razão entre os tamanhos da hipotenusa e ambas as pernas foi determinada pelo antigo grego Pitágoras. O teorema, seu nome, as pessoas ainda usam. Diz que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos, ou seja, c2 \u003d a2 + b2. Assim, cada cateto será igual à raiz quadrada da diferença entre os quadrados da hipotenusa e o outro cateto. Esta fórmula pode ser escrita como b=√(c2-a2).
O comprimento da perna também pode ser expresso através das relações que você conhece. De acordo com os teoremas dos senos e cossenos, o cateto é igual ao produto da hipotenusa por uma dessas funções. Você pode expressá-lo e ou cotangente. A perna a pode ser encontrada, por exemplo, pela fórmula a \u003d b * tan CAB. Exatamente da mesma maneira, dependendo da tangente dada ou , a segunda perna é determinada.
Na arquitetura, o termo "perna" também é usado. É aplicado a uma capital iônica e prumo no meio de suas costas. Ou seja, neste caso, por este termo, a perpendicular à linha dada.
Na tecnologia de soldagem, existe uma “perna de solda de filete”. Como em outros casos, esta é a distância mais curta. Aqui estamos falando sobre a folga entre uma das peças a serem soldadas na borda da costura localizada na superfície da outra peça.
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Fontes:
- qual é a perna e a hipotenusa em 2019
Qual é o seno, cosseno, tangente, cotangente de um ângulo ajudará você a entender um triângulo retângulo.
Como se chamam os lados de um triângulo retângulo? Isso mesmo, a hipotenusa e os catetos: a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto (no nosso exemplo, este é o lado \(AC\) ); as pernas são os dois lados restantes \ (AB \) e \ (BC \) (aqueles que são adjacentes ao ângulo reto), além disso, se considerarmos as pernas em relação ao ângulo \ (BC \) , então a perna \ (AB \) é a perna adjacente, e a perna \ (BC \) é oposta. Então, agora vamos responder a pergunta: quais são o seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo?
Seno de um ângulo- esta é a razão da perna oposta (distante) para a hipotenusa.
No nosso triângulo:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC)\]
Cosseno de um ângulo- esta é a razão da perna adjacente (próxima) para a hipotenusa.
No nosso triângulo:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
Ângulo tangente- esta é a proporção da perna oposta (distante) para a adjacente (perto).
No nosso triângulo:
\[tg\beta =\dfrac(BC)(AB)\]
Cotangente de um ângulo- esta é a proporção da perna adjacente (próxima) para a oposta (distante).
No nosso triângulo:
\[ctg\beta =\dfrac(AB)(BC)\]
Essas definições são necessárias lembrar! Para tornar mais fácil lembrar qual perna dividir por qual, você precisa entender claramente que em tangente e co-tangente apenas as pernas ficam sentadas, e a hipotenusa aparece apenas em seio e cosseno. E então você pode criar uma cadeia de associações. Por exemplo, este:
cosseno→toque→toque→adjacente;
Cotangente→toque→toque→adjacente.
Antes de tudo, é necessário lembrar que o seno, cosseno, tangente e cotangente como razões dos lados de um triângulo não dependem dos comprimentos desses lados (em um ângulo). Não confie? Então certifique-se olhando para a imagem:
Considere, por exemplo, o cosseno do ângulo \(\beta \) . Por definição, de um triângulo \(ABC \) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), mas podemos calcular o cosseno do ângulo \(\beta \) do triângulo \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Você vê, os comprimentos dos lados são diferentes, mas o valor do cosseno de um ângulo é o mesmo. Assim, os valores de seno, cosseno, tangente e cotangente dependem apenas da magnitude do ângulo.
Se você entende as definições, vá em frente e corrija-as!
Para o triângulo \(ABC \) , mostrado na figura abaixo, encontramos \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(array) \)
Bem, você conseguiu? Então tente você mesmo: calcule o mesmo para o ângulo \(\beta \) .
Respostas: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
Círculo unitário (trigonométrico)
Entendendo os conceitos de grau e radiano, consideramos um círculo com raio igual a \(1\) . Tal círculo é chamado solteiro. É muito útil no estudo da trigonometria. Portanto, nos debruçamos sobre isso com um pouco mais de detalhes.
Como você pode ver, este círculo é construído no sistema de coordenadas cartesianas. O raio do círculo é igual a um, enquanto o centro do círculo está na origem, a posição inicial do raio vetor é fixada ao longo da direção positiva do eixo \(x \) (no nosso exemplo, este é o raio \(AB\) ).
Cada ponto do círculo corresponde a dois números: a coordenada ao longo do eixo \(x \) e a coordenada ao longo do eixo \(y \) . Quais são esses números de coordenadas? E, em geral, o que eles têm a ver com o tema em questão? Para fazer isso, lembre-se do triângulo retângulo considerado. Na figura acima, você pode ver dois triângulos retângulos inteiros. Considere o triângulo \(ACG \) . É retangular porque \(CG \) é perpendicular ao eixo \(x \).
O que é \(\cos \ \alpha \) do triângulo \(ACG \) ? Isso mesmo \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Além disso, sabemos que \(AC \) é o raio do círculo unitário, então \(AC=1 \) . Substitua esse valor em nossa fórmula de cosseno. Aqui está o que acontece:
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
E o que é \(\sin \ \alpha \) do triângulo \(ACG \) ? Bem, claro, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Substitua o valor do raio \(AC\) nesta fórmula e obtenha:
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
Então, você pode me dizer quais são as coordenadas do ponto \(C \) , que pertence ao círculo? Bem, de jeito nenhum? Mas e se você perceber que \(\cos \ \alpha \) e \(\sin \alpha \) são apenas números? A que coordenada corresponde \(\cos \alpha \)? Bem, claro, a coordenada \(x \) ! E a qual coordenada \(\sin \alpha \) corresponde? Isso mesmo, a coordenada \(y\)! Então o ponto \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
O que são então \(tg \alpha \) e \(ctg \alpha \) ? Isso mesmo, vamos usar as definições apropriadas de tangente e cotangente e obter isso \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), uma \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
E se o ângulo for maior? Aqui, por exemplo, como nesta imagem:
O que mudou neste exemplo? Vamos descobrir. Para fazer isso, voltamos novamente para um triângulo retângulo. Considere um triângulo retângulo \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : um ângulo (como adjacente ao ângulo \(\beta \) ). Qual é o valor do seno, cosseno, tangente e cotangente para um ângulo \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Isso mesmo, aderimos às definições correspondentes das funções trigonométricas:
\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \ângulo ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(matriz) \)
Bem, como você pode ver, o valor do seno do ângulo ainda corresponde à coordenada \(y\) ; o valor do cosseno do ângulo - a coordenada \ (x \) ; e os valores de tangente e cotangente às razões correspondentes. Assim, essas relações são aplicáveis a quaisquer rotações do vetor raio.
Já foi mencionado que a posição inicial do vetor raio é ao longo da direção positiva do eixo \(x\). Até agora, giramos esse vetor no sentido anti-horário, mas o que acontece se o girarmos no sentido horário? Nada de extraordinário, você também obterá um ângulo de um determinado tamanho, mas apenas negativo. Assim, ao girar o vetor raio no sentido anti-horário, obtemos ângulos positivos, e ao girar no sentido horário - negativo.
Então, sabemos que toda a revolução do vetor raio ao redor do círculo é \(360()^\circ \) ou \(2\pi \) . É possível girar o vetor de raio por \(390()^\circ \) ou por \(-1140()^\circ \) ? Bem, claro que você pode! No primeiro caso, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), então o vetor raio fará uma rotação completa e parará em \(30()^\circ \) ou \(\dfrac(\pi )(6) \) .
No segundo caso, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), ou seja, o vetor raio fará três voltas completas e parará na posição \(-60()^\circ \) ou \(-\dfrac(\pi )(3) \) .
Assim, a partir dos exemplos acima, podemos concluir que ângulos que diferem por \(360()^\circ \cdot m \) ou \(2\pi \cdot m \) (onde \(m \) é qualquer inteiro ) correspondem à mesma posição do vetor raio.
A figura abaixo mostra o ângulo \(\beta =-60()^\circ \) . A mesma imagem corresponde ao canto \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) etc. Esta lista pode ser continuada indefinidamente. Todos esses ângulos podem ser escritos com a fórmula geral \(\beta +360()^\circ \cdot m\) ou \(\beta +2\pi \cdot m \) (onde \(m \) é qualquer número inteiro)
\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)
Agora, conhecendo as definições das funções trigonométricas básicas e usando o círculo unitário, tente responder a quais valores são iguais:
\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)
Aqui está um círculo unitário para ajudá-lo:
Alguma dificuldade? Então vamos descobrir. Então sabemos que:
\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x) )(y).\end(matriz)\)
A partir daqui, determinamos as coordenadas dos pontos correspondentes a certas medidas do ângulo. Bem, vamos começar em ordem: o canto em \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) corresponde a um ponto com coordenadas \(\left(0;1 \right) \) , portanto:
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- não existe;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
Além disso, seguindo a mesma lógica, descobrimos que os cantos em \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) correspondem a pontos com coordenadas \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \direito)\), respectivamente. Sabendo disso, é fácil determinar os valores das funções trigonométricas nos pontos correspondentes. Tente você mesmo primeiro, depois verifique as respostas.
Respostas:
\(\displaystyle \sin\180()^\circ =\sin\\pi =0\)
\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- não existe
\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- não existe
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin\360()^\circ =0\)
\(\cos \ 360()^\circ =1 \)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- não existe
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- não existe
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0\).
Assim, podemos fazer a seguinte tabela:
Não há necessidade de lembrar todos esses valores. Basta lembrar a correspondência entre as coordenadas dos pontos no círculo unitário e os valores das funções trigonométricas:
\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Precisa lembrar ou ser capaz de produzir!! \) !}
E aqui estão os valores das funções trigonométricas dos ângulos em e \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \) dados na tabela abaixo, você deve se lembrar:
Não precisa se assustar, agora mostraremos um dos exemplos de uma memorização bastante simples dos valores correspondentes:
Para usar esse método, é vital lembrar os valores do seno para todas as três medidas de ângulo ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), bem como o valor da tangente do ângulo em \(30()^\circ \) . Conhecendo esses valores \(4\), é bastante fácil restaurar toda a tabela - os valores de cosseno são transferidos de acordo com as setas, ou seja:
\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(matriz) \)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), sabendo disso, é possível restaurar os valores para \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). O numerador “\(1 \) ” corresponderá a \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) , e o denominador “\(\sqrt(\text(3)) \) ” corresponderá a \ (\text (tg)\60()^\circ\\) . Os valores cotangentes são transferidos de acordo com as setas mostradas na figura. Se você entender isso e se lembrar do esquema com setas, será suficiente lembrar apenas os valores \ (4 \) da tabela.
Coordenadas de um ponto em um círculo
É possível encontrar um ponto (suas coordenadas) em um círculo, conhecendo as coordenadas do centro do círculo, seu raio e ângulo de rotação? Bem, claro que você pode! Vamos derivar uma fórmula geral para encontrar as coordenadas de um ponto. Aqui, por exemplo, temos esse círculo:
Nos é dado esse ponto \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)é o centro do círculo. O raio do círculo é \(1,5 \) . É necessário encontrar as coordenadas do ponto \(P \) obtidas girando o ponto \(O \) em \(\delta \) graus.
Como pode ser visto na figura, a coordenada \ (x \) do ponto \ (P \) corresponde ao comprimento do segmento \ (TP=UQ=UK+KQ \) . O comprimento do segmento \(UK \) corresponde à coordenada \(x \) do centro do círculo, ou seja, é igual a \(3 \) . O comprimento do segmento \(KQ \) pode ser expresso usando a definição de cosseno:
\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).
Então temos que para o ponto \(P \) a coordenada \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).
Pela mesma lógica, encontramos o valor da coordenada y para o ponto \(P \) . Nesse caminho,
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin\\delta =2+1,5\cdot \sin\delta\).
Então, em termos gerais, as coordenadas dos pontos são determinadas pelas fórmulas:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(matriz) \), Onde
\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - coordenadas do centro do círculo,
\(r\) - raio do círculo,
\(\delta \) - ângulo de rotação do raio vetorial.
Como você pode ver, para o círculo unitário que estamos considerando, essas fórmulas são significativamente reduzidas, pois as coordenadas do centro são zero e o raio é igual a um:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin\\delta =0+1\cdot \sin\\delta =\sin\\delta \end(array)\)
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A trigonometria é um ramo da matemática que estuda as funções trigonométricas e seu uso na geometria. O desenvolvimento da trigonometria começou nos dias da Grécia antiga. Durante a Idade Média, cientistas do Oriente Médio e da Índia deram uma importante contribuição para o desenvolvimento dessa ciência.
Este artigo é dedicado aos conceitos básicos e definições de trigonometria. Discute as definições das principais funções trigonométricas: seno, cosseno, tangente e cotangente. Seu significado no contexto da geometria é explicado e ilustrado.
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Inicialmente, as definições das funções trigonométricas, cujo argumento é um ângulo, foram expressas através da razão dos lados de um triângulo retângulo.
Definições de funções trigonométricas
O seno de um ângulo (sen α) é a razão entre o cateto oposto a esse ângulo e a hipotenusa.
O cosseno do ângulo (cos α) é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa.
A tangente do ângulo (t g α) é a razão entre a perna oposta e a adjacente.
A cotangente do ângulo (c t g α) é a razão entre a perna adjacente e a oposta.
Essas definições são dadas para um ângulo agudo de um triângulo retângulo!
Vamos dar uma ilustração.
No triângulo ABC com ângulo reto C, o seno do ângulo A é igual à razão entre o cateto BC e a hipotenusa AB.
As definições de seno, cosseno, tangente e cotangente permitem calcular os valores dessas funções a partir dos comprimentos conhecidos dos lados de um triângulo.
Importante lembrar!
O intervalo de valores de seno e cosseno: de -1 a 1. Em outras palavras, seno e cosseno assumem valores de -1 a 1. O intervalo de valores de tangente e cotangente é a reta numérica inteira, ou seja, estes funções podem assumir qualquer valor.
As definições dadas acima referem-se a ângulos agudos. Na trigonometria, introduz-se o conceito de ângulo de rotação, cujo valor, ao contrário de um ângulo agudo, não é limitado por quadros de 0 a 90 graus. O ângulo de rotação em graus ou radianos é expresso por qualquer número real de - ∞ a + ∞.
Neste contexto, pode-se definir o seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo de magnitude arbitrária. Imagine um círculo unitário centrado na origem do sistema de coordenadas cartesianas.
O ponto inicial A com coordenadas (1 , 0) gira em torno do centro do círculo unitário por algum ângulo α e vai para o ponto A 1 . A definição é dada pelas coordenadas do ponto A 1 (x, y).
Seno (sen) do ângulo de rotação
O seno do ângulo de rotação α é a ordenada do ponto A 1 (x, y). sinα = y
Cosseno (cos) do ângulo de rotação
O cosseno do ângulo de rotação α é a abcissa do ponto A 1 (x, y). cosα = x
Tangente (tg) do ângulo de rotação
A tangente do ângulo de rotação α é a razão entre a ordenada do ponto A 1 (x, y) e sua abcissa. tgα = yx
Cotangente (ctg) do ângulo de rotação
A cotangente do ângulo de rotação α é a razão entre a abcissa do ponto A 1 (x, y) e sua ordenada. c t g α = x y
Seno e cosseno são definidos para qualquer ângulo de rotação. Isso é lógico, porque a abcissa e a ordenada do ponto após a rotação podem ser determinadas em qualquer ângulo. A situação é diferente com tangente e cotangente. A tangente não é definida quando o ponto após a rotação vai para o ponto com abcissa zero (0 , 1) e (0 , - 1). Nesses casos, a expressão para a tangente t g α = y x simplesmente não faz sentido, pois contém divisão por zero. A situação é semelhante com a cotangente. A diferença é que a cotangente não é definida nos casos em que a ordenada do ponto se anula.
Importante lembrar!
Seno e cosseno são definidos para quaisquer ângulos α.
A tangente é definida para todos os ângulos exceto α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)
A cotangente é definida para todos os ângulos exceto α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)
Ao resolver exemplos práticos, não diga "seno do ângulo de rotação α". As palavras "ângulo de rotação" são simplesmente omitidas, implicando que pelo contexto já está claro o que está em jogo.
Números
E a definição do seno, cosseno, tangente e cotangente de um número, e não o ângulo de rotação?
Seno, cosseno, tangente, cotangente de um número
Seno, cosseno, tangente e cotangente de um número t um número é chamado, que é respectivamente igual ao seno, cosseno, tangente e cotangente em t radiano.
Por exemplo, o seno de 10 π é igual ao seno do ângulo de rotação de 10 π rad.
Há outra abordagem para a definição do seno, cosseno, tangente e cotangente de um número. Vamos considerá-lo com mais detalhes.
Qualquer número real t um ponto no círculo unitário é colocado em correspondência com o centro na origem do sistema retangular de coordenadas cartesianas. Seno, cosseno, tangente e cotangente são definidos em função das coordenadas deste ponto.
O ponto inicial no círculo é o ponto A com coordenadas (1 , 0).
número positivo t
Número negativo t corresponde ao ponto para o qual o ponto inicial se moverá se ele se mover no sentido anti-horário ao redor do círculo e passar pelo caminho t .
Agora que a conexão entre o número e o ponto no círculo foi estabelecida, passamos à definição de seno, cosseno, tangente e cotangente.
Seno (sen) do número t
Seno de um número t- ordenada do ponto do círculo unitário correspondente ao número t. sen t = y
Cosseno (cos) de t
Cosseno de um número t- abcissa do ponto do círculo unitário correspondente ao número t. cost = x
Tangente (tg) de t
Tangente de um número t- a razão entre a ordenada e a abcissa do ponto do círculo unitário correspondente ao número t. t g t = y x = sen t cos t
As últimas definições são consistentes e não contradizem a definição dada no início desta seção. Ponto em um círculo correspondente a um número t, coincide com o ponto para o qual passa o ponto de partida depois de girar o ângulo t radiano.
Funções trigonométricas de argumento angular e numérico
Cada valor do ângulo α corresponde a um determinado valor do seno e cosseno desse ângulo. Assim como todos os ângulos α diferentes de α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) corresponde a um determinado valor da tangente. A cotangente, como mencionado acima, é definida para todos os α, exceto para α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).
Podemos dizer que sen α , cos α , t g α , c t g α são funções do ângulo alfa, ou funções do argumento angular.
Da mesma forma, pode-se falar de seno, cosseno, tangente e cotangente como funções de um argumento numérico. Cada número real t corresponde a um valor específico do seno ou cosseno de um número t. Todos os números, exceto π 2 + π · k , k ∈ Z, correspondem ao valor da tangente. A cotangente é definida similarmente para todos os números exceto π · k , k ∈ Z.
Funções básicas da trigonometria
Seno, cosseno, tangente e cotangente são as funções trigonométricas básicas.
Geralmente fica claro pelo contexto com qual argumento da função trigonométrica (argumento angular ou argumento numérico) estamos lidando.
Vamos voltar aos dados bem no início das definições e ao ângulo alfa, que fica no intervalo de 0 a 90 graus. As definições trigonométricas de seno, cosseno, tangente e cotangente estão de acordo com as definições geométricas dadas pelas razões dos lados de um triângulo retângulo. Vamos mostrar.
Pegue um círculo unitário centrado em um sistema de coordenadas cartesianas retangular. Vamos girar o ponto inicial A (1, 0) em um ângulo de até 90 graus e desenhar a partir do ponto resultante A 1 (x, y) perpendicular ao eixo x. No triângulo retângulo resultante, o ângulo A 1 O H é igual ao ângulo de rotação α, o comprimento da perna O H é igual à abcissa do ponto A 1 (x, y). O comprimento do cateto oposto ao canto é igual à ordenada do ponto A 1 (x, y), e o comprimento da hipotenusa é igual a um, pois é o raio do círculo unitário.
De acordo com a definição da geometria, o seno do ângulo α é igual à razão entre o cateto oposto e a hipotenusa.
sin α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y
Isso significa que a definição do seno de um ângulo agudo em um triângulo retângulo pela razão de aspecto é equivalente à definição do seno do ângulo de rotação α, com alfa no intervalo de 0 a 90 graus.
Da mesma forma, a correspondência de definições pode ser mostrada para cosseno, tangente e cotangente.
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