Cálculo do ângulo II
- O ângulo A do quadrilátero ABCD inscrito em um círculo é igual a 126 o . Encontre o ângulo C desse quadrilátero. Dê sua resposta em graus.
- Os lados do quadrilátero ABCD AB, BC, CD e AD subtendem os arcos do círculo circunscrito, cujos valores de grau são respectivamente 63 o , 62 o , 90 o e 145 o . Encontre o ângulo B desse quadrilátero. Dê sua resposta em graus.
- Os pontos A, B, C e D, localizados em um círculo, dividem este círculo em quatro arcos AB, BC, CD e AD, cujos valores de grau estão relacionados respectivamente como 1: 4: 12: 19. Encontre o ângulo A do quadrilátero ABCD. Dê sua resposta em graus.
- Os pontos A, B, C e D, localizados em um círculo, dividem esse círculo em quatro arcos AB, BC, CD e AD, cujos valores de grau estão relacionados respectivamente como 1: 5: 10: 20. Encontre o ângulo A do quadrilátero ABCD. Dê sua resposta em graus.
- O quadrilátero ABCD está inscrito em um círculo. O ângulo ABC é 58o, o ângulo CAD é 43o. Encontre o ângulo ABD. Dê sua resposta em graus.
- Os dois ângulos de um quadrilátero inscrito em um círculo são 25º e 51º. Encontre o maior dos cantos restantes. Dê sua resposta em graus.
- Os ângulos A, B e C do quadrilátero ABCD estão relacionados como 1: 13: 17. Encontre o ângulo D se um círculo pode ser circunscrito em torno desse quadrilátero. Dê sua resposta em graus.
- O ângulo central é 45º maior que o ângulo agudo inscrito baseado no mesmo arco circular. Encontre o ângulo inscrito. Dê sua resposta em graus.
- O ângulo central é 47º maior que o ângulo agudo inscrito baseado no mesmo arco circular. Encontre o ângulo inscrito. Dê sua resposta em graus.
- Encontre o ângulo inscrito com base no arco que compõe o círculo. Dê sua resposta em graus.
- Encontre o ângulo inscrito com base no arco que é 20% do círculo. Dê sua resposta em graus.
- Encontre um ângulo inscrito com base em um arco que é 10% do círculo. Dê sua resposta em graus.
- O arco de um círculo AC, que não contém o ponto B, é 180 o . E o arco do círculo BC, não contendo o ponto A, é 45º. Encontre o ângulo inscrito ACB. Dê sua resposta em graus.
- Os pontos A, B e C, localizados no círculo, dividem-no em três arcos, cujos valores de grau estão relacionados como 1: 4: 13. Encontre o maior ângulo do triângulo ABC. Dê sua resposta em graus.
- AC e BD são os diâmetros do círculo de centro O. O ângulo DIA é 35 o . Encontre o ângulo AOD. Dê sua resposta em graus.
- AC e BD são os diâmetros do círculo de centro O. O ângulo DIA é 39 o . Encontre o ângulo AOD. Dê sua resposta em graus.
- A corda AB subtrai o arco de um círculo a 6 o. Encontre o ângulo agudo ABC entre esta corda e a tangente ao círculo que passa pelo ponto B. Dê sua resposta em graus.
- A corda AB subtrai o arco de um círculo a 114 o. Encontre o ângulo agudo ABC entre esta corda e a tangente ao círculo que passa pelo ponto B. Dê sua resposta em graus.
- Um círculo está inscrito no ângulo C com um valor de 107 o, que toca os lados do ângulo nos pontos A e B. Encontre o ângulo AOB, onde o ponto O é o centro do círculo. Dê sua resposta em graus.
- As tangentes nos pontos A e B ao círculo de centro O interceptam-se em um ângulo de 2 o . Encontre o ângulo ABO. Dê sua resposta em graus.
- Encontre o ângulo CDB se os ângulos inscritos ADB e ADC são baseados em arcos de um círculo, cujos valores de graus são respectivamente 67 o e 25 o . Dê sua resposta em graus.
- O ângulo entre o lado de um -gon regular inscrito em um círculo e o raio desse círculo desenhado em um dos vértices do lado é 75 o . Achar .
- O ângulo entre o lado de um -gon regular inscrito em um círculo e o raio desse círculo desenhado em um dos vértices do lado é 54 o . Achar .
- O ângulo entre o lado de um -gon regular inscrito em um círculo e o raio desse círculo desenhado em um dos vértices do lado é 30 o . Achar .
Canto centralé o ângulo cujo vértice está no centro da circunferência.
Ângulo inscrito Um ângulo cujo vértice está no círculo e cujos lados o interceptam.
A figura mostra os ângulos centrais e inscritos, bem como suas propriedades mais importantes.
Então, o valor do ângulo central é igual ao valor angular do arco sobre o qual repousa. Isso significa que um ângulo central de 90 graus será baseado em um arco igual a 90°, ou seja, um círculo. O ângulo central, igual a 60°, baseia-se em um arco de 60 graus, ou seja, na sexta parte do círculo.
O valor do ângulo inscrito é duas vezes menor que o central baseado no mesmo arco.
Além disso, para resolver problemas, precisamos do conceito de "acorde".
Ângulos centrais iguais são suportados por cordas iguais.
1. Qual é o ângulo inscrito com base no diâmetro do círculo? Dê sua resposta em graus.
Um ângulo inscrito com base em um diâmetro é um ângulo reto.
2. O ângulo central é 36° maior que o ângulo agudo inscrito baseado no mesmo arco circular. Encontre o ângulo inscrito. Dê sua resposta em graus.
Seja o ângulo central x, e o ângulo inscrito com base no mesmo arco seja y.
Sabemos que x = 2y.
Portanto, 2y = 36 + y,
y = 36.
3. O raio do círculo é 1. Encontre o valor de um ângulo obtuso inscrito com base em uma corda igual a . Dê sua resposta em graus.
Seja a corda AB. Um ângulo obtuso inscrito com base nesta corda será denotado por α.
No triângulo AOB, os lados AO e OB são iguais a 1, lado AB é igual a . Já vimos esses triângulos antes. Obviamente, o triângulo AOB é retângulo e isósceles, ou seja, o ângulo AOB é de 90°.
Então o arco ASV é igual a 90°, e o arco AKB é igual a 360° - 90° = 270°.
O ângulo inscrito α repousa sobre o arco AKB e é igual à metade do valor angular desse arco, ou seja, 135°.
Resposta: 135.
4. A corda AB divide o círculo em duas partes, cujos valores de grau estão relacionados como 5:7. Em que ângulo essa corda é visível a partir do ponto C, que pertence ao arco menor do círculo? Dê sua resposta em graus.
O principal nesta tarefa é o desenho e a compreensão corretos da condição. Como você entende a pergunta: “Em que ângulo a corda é visível do ponto C?”
Imagine que você está sentado no ponto C e precisa ver tudo o que acontece no acorde AB. Então, como se o acorde AB fosse uma tela de cinema :-)
Obviamente, você precisa encontrar o ângulo ACB.
A soma dos dois arcos em que a corda AB divide o círculo é 360°, ou seja,
5x + 7x = 360°
Portanto, x = 30°, e então o ângulo inscrito ACB repousa sobre um arco igual a 210°.
O valor do ângulo inscrito é igual à metade do valor angular do arco sobre o qual se apoia, o que significa que o ângulo ACB é igual a 105°.
Um ângulo formado por duas cordas tiradas de um mesmo ponto é chamado de ângulo inscrito.
TEOREMA Um ângulo inscrito é medido pela metade do arco que ele intercepta.
Consequências:
todos os ângulos inscritos com base no mesmo arco são iguais;
Um ângulo inscrito com base em um diâmetro é um ângulo reto.
TEOREMA Um ângulo cujo vértice está dentro de um círculo é medido pela metade da soma de dois arcos entre seus lados
TEOREMA Um ângulo cujo vértice está fora do círculo e cujos lados interceptam o círculo é medido pela meia-diferença dos dois arcos contidos entre seus lados.
TEOREMA Um ângulo formado por uma tangente e uma corda mede-se pela metade do arco contido no ângulo.
Tarefas com uma solução
1. Encontre o ângulo abc. Dê sua resposta em graus.
Solução.
Construa um quadrado de lado AC.
Então pode-se ver que o ângulo ABC é baseado em círculos, ou seja, em um arco de 90º. Um ângulo inscrito é metade do arco que ele intercepta, então 
2. A corda AB divide o círculo em duas partes, cujos valores de grau estão relacionados como 6:12. Em que ângulo essa corda é visível a partir do ponto C, que pertence ao arco menor do círculo? Dê sua resposta em graus.
Solução.
De um ponto C acorde AB visto em um ângulo ACB. Deixe a maior parte do círculo ser 12x, então a menor é 6x. O círculo inteiro é 360º.
Obtemos a equação 12x + 6x \u003d 360º. De onde x \u003d 20º.
Canto DIA repousa sobre um grande arco de círculo, que é igual a 12 20º=240º.
Um ângulo inscrito é igual a metade do arco sobre o qual se apoia, o que significa que o ângulo que repousa sobre um grande arco ACBé igual a
Resposta 120º
3. Acorde AB subtende o arco de um círculo a 84º. Encontre um ângulo abc entre esta corda e a tangente ao círculo pelo ponto B. Dê sua resposta em graus.
Solução.
Canto abcé o ângulo entre a tangente e a corda. É medido pela metade do arco fechado dentro do canto. O arco dentro do ângulo é 84º. 
4. Uma tangente é traçada a um círculo de raio 36 a partir de um ponto distante do centro por uma distância igual a 85. Encontre o comprimento da tangente.
Seja OA = 36, OS = 85. O raio desenhado para o ponto de contato é perpendicular à tangente. Do triângulo retângulo AOC, pelo teorema de Pitágoras, obtemos
5. Para um círculo de um ponto A PARTIR DE tangente desenhada fora dela CA e secante CD, círculo de interseção em um ponto NO. A soma dos comprimentos da tangente e da secante é 30 cm, e o segmento interno da secante é 2 cm mais curto que a tangente. Encontre os comprimentos da tangente e da secante.
Deixar AC=xe CD=y. Então x+y=30, e DB=AC-2=x-2 , BC=AC-DB=y-DB=y-(x-2)=s-x+2. De acordo com o teorema, se uma tangente e uma secante são desenhadas a partir de um ponto fora do círculo, então o quadrado da tangente é igual ao produto da secante por sua parte externa, ou seja, 
. Então 
Obtemos o sistema 
. X=80 não é adequado porque no>0 Portanto, obtemos
Tangente CA=12, secante CD=18.
Resposta 12 e 18
6. Encontre a área S do setor sombreado. Dê sua resposta S/π.
Vamos construir um quadrado neste desenho
Então fica óbvio que o setor é um quarto do círculo.
O raio é metade da diagonal de um quadrado cujo lado é 4.
Então calculamos a área do setor pela fórmula
Então o valor desejado é igual a
| Qual é o ângulo inscrito com base no diâmetro do círculo? Dê sua resposta em graus. | Encontre a corda sobre a qual repousa o ângulo de 90º, inscrito em um círculo de raio 1. |
O que é um ângulo agudo inscrito que intercepta uma corda igual ao raio do círculo? Dê sua resposta em graus.  | Encontre a corda sobre a qual repousa o ângulo de 30º, inscrito em um círculo de raio 3.  |
O que é um ângulo obtuso inscrito subtendido por uma corda igual ao raio do círculo? Dê sua resposta em graus.  | O raio do círculo é 1. Encontre o valor do ângulo inscrito agudo com base na corda igual a . Dê sua resposta em graus. |
O raio do círculo é 1. Encontre o valor de um ângulo obtuso inscrito com base em uma corda igual a . Dê sua resposta em graus.  | Encontre a corda sobre a qual repousa o ângulo de 120º, inscrito em um círculo de raio .  |
O ângulo central é 34º maior que o ângulo agudo inscrito baseado no mesmo arco circular. Encontre o ângulo inscrito. Dê sua resposta em graus.  |  |
Encontre o ângulo ABC. Dê sua resposta em graus.  | Encontre o valor do grau do arco AC do círculo sobre o qual repousa o ângulo ABC. Dê sua resposta em graus.  |
| Encontre o valor do grau do arco BC do círculo sobre o qual repousa o ângulo BAC. Dê sua resposta em graus. | O ângulo ACO é 25º, onde O é o centro do círculo. Seu lado CA toca o círculo. Encontre o módulo do menor arco AB do círculo contido nesse ângulo. Dê sua resposta em graus.  |
Encontre o ângulo ACO se seu lado CA é tangente ao círculo, O é o centro do círculo e o arco maior AD do círculo contido dentro deste ângulo é 110º. Dê sua resposta em graus.  | Encontre o ângulo ACB se os ângulos inscritos ADB e DAE são baseados em arcos de um círculo cujos valores de graus são 116º e 36º respectivamente. Dê sua resposta em graus.  |
O ângulo ACB é de 50º. O valor do grau do arco AB de um círculo que não contém os pontos D e E é igual a 130º. Encontre o ângulo DAE. Dê sua resposta em graus.  | O acorde AB subtende um arco de círculo a 86º. Encontre o ângulo ABC entre esta corda e a tangente ao círculo que passa pelo ponto B. Dê sua resposta em graus.  |
O ângulo entre a corda AB e a tangente BC ao círculo é de 28º. Encontre o módulo do arco menor subtraído pela corda AB. Dê sua resposta em graus.  | As tangentes AC e BC são traçadas pelas extremidades A, B de um arco circular de 72º. Encontre o ângulo ACB. Dê sua resposta em graus.  |
As tangentes CA e CB ao círculo formam um ângulo ACB igual a 112º. Encontre o valor do menor arco AB subtraído pelos pontos de contato. Dê sua resposta em graus.  | Encontre o ângulo ACO se seu lado CA é tangente ao círculo, O é o centro do círculo, e o arco menor do círculo AB contido dentro deste ângulo é igual a 62º. Dê sua resposta em graus.  |
Ângulo inscrito, teoria do problema. Amigos! Neste artigo, falaremos sobre tarefas, cuja solução é necessário conhecer as propriedades de um ângulo inscrito. Este é um grupo inteiro de tarefas, elas estão incluídas no exame. A maioria deles são resolvidos de forma muito simples, em uma única etapa.
Existem tarefas mais difíceis, mas não apresentarão muita dificuldade para você, você precisa conhecer as propriedades do ângulo inscrito. Aos poucos, vamos analisar todos os protótipos de tarefas, convido você para o blog!
Agora a teoria necessária. Lembre-se do que é um ângulo, corda, arco central e inscrito, no qual esses ângulos dependem:
O ângulo central de um círculo é chamado de ângulo plano compináculo em seu centro.
A parte de um círculo que está dentro de um canto planochamado de arco de círculo.
A medida em grau de um arco de círculo é a medida em grauângulo central correspondente.
Um ângulo é dito inscrito em um círculo se o vértice do ângulo estiverem um círculo, e os lados do ângulo interceptam este círculo.
Um segmento de reta que liga dois pontos em um círculo é chamadoacorde. A corda mais longa passa pelo centro da circunferência e é chamadadiâmetro.
Para resolver problemas de ângulos inscritos em um círculo,você precisa conhecer as seguintes propriedades:
1. O ângulo inscrito é igual a metade do ângulo central baseado no mesmo arco.
2. Todos os ângulos inscritos com base no mesmo arco são iguais.
3. Todos os ângulos inscritos com base na mesma corda, cujos vértices estão do mesmo lado desta corda, são iguais.
4. Qualquer par de ângulos baseados na mesma corda, cujos vértices estejam em lados opostos da corda, somam 180°.
Corolário: Os ângulos opostos de um quadrilátero inscrito em um círculo somam 180 graus.
5. Todos os ângulos inscritos com base no diâmetro são retos.
Em geral, esta propriedade é consequência da propriedade (1), este é o seu caso particular. Veja - o ângulo central é igual a 180 graus (e esse ângulo desenvolvido nada mais é do que um diâmetro), o que significa que, de acordo com a primeira propriedade, o ângulo inscrito C é igual à sua metade, ou seja, 90 graus.
O conhecimento desta propriedade ajuda na resolução de muitos problemas e muitas vezes permite evitar cálculos desnecessários. Tendo dominado bem, você poderá resolver mais da metade desse tipo de problema oralmente. Duas consequências que podem ser feitas:
Corolário 1: se um triângulo está inscrito em um círculo e um de seus lados coincide com o diâmetro desse círculo, então o triângulo é retângulo (o vértice do ângulo reto está no círculo).
Corolário 2: O centro do círculo circunscrito a um triângulo retângulo coincide com o ponto médio de sua hipotenusa.
Muitos protótipos de problemas estereométricos também são resolvidos usando essa propriedade e esses corolários. Lembre-se do fato em si: se o diâmetro de um círculo é um lado de um triângulo inscrito, então esse triângulo é retângulo (o ângulo oposto ao diâmetro é de 90 graus). Você mesmo pode tirar todas as outras conclusões e consequências, não precisa ensiná-las.
Como regra, metade dos problemas para um ângulo inscrito são dados com um esboço, mas sem notação. Para entender o processo de raciocínio ao resolver problemas (abaixo no artigo), são introduzidas as designações de vértices (cantos). No exame, você não pode fazer isso.Considere as tarefas:
O que é um ângulo agudo inscrito que intercepta uma corda igual ao raio do círculo? Dê sua resposta em graus.
Vamos construir um ângulo central para um determinado ângulo inscrito, denotar os vértices:
De acordo com a propriedade de um ângulo inscrito em um círculo:
O ângulo AOB é igual a 60 0, pois o triângulo AOB é equilátero, e em um triângulo equilátero todos os ângulos são iguais a 60 0 . Os lados do triângulo são iguais, pois a condição diz que a corda é igual ao raio.
Assim, o ângulo inscrito DIA é 30 0 .
Resposta: 30
Encontre a corda sobre a qual repousa o ângulo 30 0, inscrito em um círculo de raio 3.
Este é essencialmente o problema inverso (do anterior). Vamos construir um canto central.
É duas vezes maior que o inscrito, ou seja, o ângulo AOB é 60 0 . A partir disso, podemos concluir que o triângulo AOB é equilátero. Assim, a corda é igual ao raio, ou seja, três.
Resposta: 3
O raio do círculo é 1. Encontre o valor de um ângulo obtuso inscrito com base em uma corda igual à raiz de dois. Dê sua resposta em graus.
Vamos construir o ângulo central:
Conhecendo o raio e a corda, podemos encontrar o ângulo central DIA. Isso pode ser feito usando a lei dos cossenos. Conhecendo o ângulo central, podemos facilmente encontrar o ângulo inscrito ACB.
Teorema do cosseno: o quadrado de qualquer lado de um triângulo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, sem dobrar o produto desses lados vezes o cosseno do ângulo entre eles.
Portanto, o segundo ângulo central é 360 0 – 90 0 = 270 0 .
De acordo com a propriedade de um ângulo inscrito, o ângulo DIA é igual à sua metade, ou seja, 135 graus.
Resposta: 135
Encontre a corda na qual o ângulo de 120 graus, raiz de três, está inscrito em um círculo de raio.
Conecte os pontos A e B com o centro do círculo. Vamos chamá-lo de O:
Conhecemos o raio e o ângulo inscrito DIA. Podemos encontrar o ângulo central AOB (maior que 180 graus), então encontrar o ângulo AOB no triângulo AOB. E então, usando o teorema do cosseno, calcule AB.
Pela propriedade de um ângulo inscrito, o ângulo central AOB (que é maior que 180 graus) será igual ao dobro do ângulo inscrito, ou seja, 240 graus. Isso significa que o ângulo AOB no triângulo AOB é 360 0 - 240 0 = 120 0 .
Pela lei dos cossenos:
Resposta: 3
Encontre o ângulo inscrito com base no arco que é 20% do círculo. Dê sua resposta em graus.
Pela propriedade de um ângulo inscrito, é metade do tamanho do ângulo central baseado no mesmo arco, neste caso estamos falando do arco AB.
Diz-se que o arco AB é 20% da circunferência. Isso significa que o ângulo central AOB também é 20% de 360 0 .* Um círculo é um ângulo de 360 graus. Significa,
Assim, o ângulo inscrito ACB é de 36 graus.
Resposta: 36
arco de círculo CA, não contendo pontos B, é 200 graus. E o arco do círculo BC, que não contém pontos UMA, é 80 graus. Encontre o ângulo inscrito ACB. Dê sua resposta em graus.
Vamos denotar para maior clareza os arcos cujas medidas angulares são dadas. O arco correspondente a 200 graus é azul, o arco correspondente a 80 graus é vermelho, o resto do círculo é amarelo.
Assim, a medida em grau do arco AB (amarelo) e, portanto, o ângulo central AOB é: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .
O ângulo inscrito DAB é metade do ângulo central AOB, ou seja, igual a 40 graus.
Resposta: 40
Qual é o ângulo inscrito com base no diâmetro do círculo? Dê sua resposta em graus.
Neste artigo vou te dizer como resolver problemas que usam arquivos .
Primeiro, como de costume, lembramos as definições e teoremas que você precisa saber para resolver problemas com sucesso em .
1.Ângulo inscritoé um ângulo cujo vértice está no círculo e cujos lados interceptam o círculo:
2.Canto centralé o ângulo cujo vértice coincide com o centro do círculo:
Grau de magnitude do arco de um círculo medida pelo valor do ângulo central sobre o qual se apoia.
Neste caso, o valor do grau do arco AC é igual ao valor do ângulo AOC.
3. Se os ângulos inscrito e central são baseados no mesmo arco, então o ângulo inscrito é o dobro do ângulo central:
4. Todos os ângulos inscritos que se inclinam em um arco são iguais entre si:
5. O ângulo inscrito com base no diâmetro é de 90°:
Resolveremos vários problemas.
1 . Tarefa B7 (#27887)
Vamos encontrar o valor do ângulo central, que depende do mesmo arco:
Obviamente, o valor do ângulo AOC é 90°, portanto, o ângulo ABC é 45°
Resposta: 45°
2. Tarefa B7 (Nº 27888)
Encontre o ângulo ABC. Dê sua resposta em graus.
Obviamente, o ângulo AOC é 270°, então o ângulo ABC é 135°.
Resposta: 135°
3 . Tarefa B7 (#27890)
Encontre o valor do grau do arco AC do círculo sobre o qual repousa o ângulo ABC. Dê sua resposta em graus.
Vamos encontrar o valor do ângulo central, que depende do arco AC:
O valor do ângulo AOC é 45°, portanto, a medida do grau do arco AC é 45°.
Resposta: 45°.
quatro. Tarefa B7 (#27885)
Encontre o ângulo ACB se os ângulos inscritos ADB e DAE são baseados em arcos de um círculo, cujos valores de graus são, respectivamente, e . Dê sua resposta em graus.
O ângulo ADB repousa sobre o arco AB, portanto, o valor do ângulo central AOB é 118°, portanto, o ângulo BDA é 59°, e o ângulo adjacente ADC é 180°-59°=121° 
Da mesma forma, o ângulo DOE é de 38° e o ângulo inscrito correspondente DAE é de 19°.
Considere o triângulo ADC:
A soma dos ângulos de um triângulo é 180°.
O valor do ângulo ASV é 180°- (121°+19°)=40°
Resposta: 40°
5 . Tarefa B7 (#27872)
Os lados do quadrilátero ABCD AB, BC, CD e AD subtendem os arcos do círculo circunscrito, cujos valores de grau são , , e , respectivamente. Encontre o ângulo B desse quadrilátero. Dê sua resposta em graus.
O ângulo B repousa sobre o arco ADC, cujo valor é igual à soma dos valores dos arcos AD e CD, ou seja, 71°+145°=216°
O ângulo inscrito B é igual a metade do valor do arco ADC, ou seja, 108°
Resposta: 108°
6. Tarefa B7 (#27873)
Os pontos A, B, C, D, localizados em um círculo, dividem esse círculo em quatro arcos AB, BC, CD e AD, cujos valores de grau estão relacionados respectivamente como 4:2:3:6. Encontre o ângulo A do quadrilátero ABCD. Dê sua resposta em graus.
(veja o desenho da tarefa anterior)
Como demos a razão das magnitudes dos arcos, introduzimos o elemento unitário x. Então a magnitude de cada arco será expressa da seguinte forma:
AB=4x, BC=2x, CD=3x, AD=6x. Todos os arcos formam um círculo, ou seja, sua soma é 360°.
4x+2x+3x+6x=360°, portanto x=24°.
O ângulo A repousa sobre os arcos BC e CD, que no total têm um valor de 5x=120°.
Portanto, o ângulo A é 60°
Resposta: 60°
7. Tarefa B7 (#27874)
quadrilátero ABCD inscrito em um círculo. Canto abc igual, ângulo cafajeste
