derivado de sua definição. E assim o logaritmo do número b Por razão uma definido como o expoente ao qual um número deve ser elevado uma para obter o número b(o logaritmo existe apenas para números positivos).

Desta formulação segue-se que o cálculo x = log a b, é equivalente a resolver a equação ax=b. Por exemplo, log 2 8 = 3 Porque 8 = 2 3 . A formulação do logaritmo permite justificar que se b = a c, então o logaritmo do número b Por razão umaé igual a Com. Também está claro que o tópico do logaritmo está intimamente relacionado ao tópico da potência de um número.

Com logaritmos, como com qualquer número, você pode realizar operações de adição, subtração e transformar de todas as formas possíveis. Mas, tendo em vista que os logaritmos não são números bem comuns, suas próprias regras especiais se aplicam aqui, que são chamadas de propriedades básicas.

Adição e subtração de logaritmos.

Tome dois logaritmos com a mesma base: log x e registre-se. Em seguida, remova é possível realizar operações de adição e subtração:

log a x + log a y = log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

registrar um(x 1 . x 2 . x 3 ... xk) = log x 1 + log x 2 + log x 3 + ... + registre a x k.

A partir de teoremas do logaritmo do quociente mais uma propriedade do logaritmo pode ser obtida. Sabe-se que log uma 1 = 0, portanto,

registro uma 1 /b= registro uma 1 - registro a b= -log a b.

Então existe uma igualdade:

log a 1 / b = - log a b.

Logaritmos de dois números mutuamente recíprocos na mesma base diferem entre si apenas no sinal. Então:

Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

Expressões logarítmicas, solução de exemplos. Neste artigo, consideraremos problemas relacionados à resolução de logaritmos. As tarefas levantam a questão de encontrar o valor da expressão. Deve-se notar que o conceito de logaritmo é usado em muitas tarefas e é extremamente importante entender seu significado. Quanto ao USE, o logaritmo é utilizado na resolução de equações, em problemas aplicados, e também em tarefas relacionadas ao estudo de funções.

Aqui estão alguns exemplos para entender o próprio significado do logaritmo:

Identidade logarítmica básica:

Propriedades dos logaritmos que você deve sempre lembrar:

*O logaritmo do produto é igual à soma dos logaritmos dos fatores.

* * *

* O logaritmo do quociente (fração) é igual à diferença dos logaritmos dos fatores.

* * *

* O logaritmo do grau é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da sua base.

* * *

*Transição para nova base

* * *

Mais propriedades:

* * *

O cálculo de logaritmos está intimamente relacionado ao uso das propriedades dos expoentes.

Listamos alguns deles:

A essência dessa propriedade é que ao transferir o numerador para o denominador e vice-versa, o sinal do expoente muda para o oposto. Por exemplo:

Consequência desta propriedade:

* * *

Ao elevar uma potência a uma potência, a base permanece a mesma, mas os expoentes são multiplicados.

* * *

Como você pode ver, o próprio conceito do logaritmo é simples. O principal é que é necessária uma boa prática, o que dá uma certa habilidade. Certamente o conhecimento de fórmulas é obrigatório. Se a habilidade de converter logaritmos elementares não for formada, ao resolver tarefas simples, pode-se facilmente cometer um erro.

Pratique, resolva os exemplos mais simples do curso de matemática primeiro, depois passe para os mais complexos. No futuro, definitivamente mostrarei como os logaritmos “feios” são resolvidos, não haverá tais no exame, mas eles são interessantes, não perca!

Isso é tudo! Boa sorte para você!

Atenciosamente, Alexander Krutitskikh

P.S: Agradeceria se você falasse sobre o site nas redes sociais.

E o logaritmo está intimamente relacionado. E, de fato, é uma notação matemática da definição logaritmo. Vamos analisar em detalhes o que é um logaritmo, de onde ele veio.

Considere uma ação algébrica - o cálculo do expoente X de acordo com determinados valores específicos grau b e fundação uma. Esta tarefa é basicamente resolvendo a equação um x = b, Onde uma e b são alguns valores dados, x - valor desconhecido. Observe que esse problema nem sempre tem soluções.

Quando, por exemplo, na equação um x = b númerouma positivo e o número b negativo, então esta equação não tem raízes. Mas se apenas uma e b são positivos e um ≠ 1, então certamente tem apenas um único raiz. É um fato bastante conhecido que gráfico de função exponencial y = ax certamente cruza com direto y = b e apenas em um ponto. A abcissa do ponto de interseção e será a raiz da equação.

Para designar raiz da equação um x = bé costume usar log a b (dizemos: o logaritmo do número b na base a).

Logaritmo números b Por razão uma isto é expoente, para o qual você deseja aumentar o número uma para obter o número b e uma > 0, uma ≠ 1, b > 0.

Com base na definição, obtemos identidade logarítmica básica :

Exemplos:

Consequência identidade logarítmica básicaé o seguinte regra.

Da igualdade de dois logaritmos reais obtemos a igualdade logarítmico expressões.

De fato, quando log a b = log a c, então , Onde, b = c.

Considere por que identidade logarítmica restrições são tomadas uma > 0, uma ≠ 1, b > 0 .

Primeira condição a ≠ 1.

Sabe-se que a unidade em qualquer grau será a unidade, e a igualdade x = log a b só pode existir para b = 1, mas ao mesmo tempo registro 1 1 será qualquer número real. Para evitar essa ambiguidade, aceita-se a ≠ 1.

Justifique a necessidade da condição a > 0.

No a = 0 sobre definição do logaritmo só pode existir quando b = 0. E por isso então registro 0 0 pode ser qualquer coisa diferente de zero número real, uma vez que zero para qualquer potência diferente de zero é zero. Para evitar essa ambiguidade, a condição a ≠ 0. E quando uma< 0 teríamos que abandonar a análise racional e irracional valores logarítmicos, uma vez que grau com racional e indicador irracional definido apenas por razões positivas. É por isso que a condição a > 0.

E a condição final b > 0é consequência da desigualdade a > 0, pois x = log a b, e o valor do grau com base positiva uma sempre positivo.

Um dos elementos da álgebra de nível primitivo é o logaritmo. O nome vem da língua grega da palavra “número” ou “grau” e significa o grau em que é necessário aumentar o número na base para encontrar o número final.

Tipos de logaritmos

• log a b é o logaritmo do número b na base a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• lg b - logaritmo decimal (logaritmo base 10, a = 10);
• ln b - logaritmo natural (logaritmo base e, a = e).

Como resolver logaritmos?

O logaritmo do número b à base a é um expoente, o que requer que a base a seja elevada ao número b. O resultado é pronunciado assim: “logaritmo de b na base de a”. A solução para problemas logarítmicos é que você precisa determinar o grau dado pelos números pelos números especificados. Existem algumas regras básicas para determinar ou resolver o logaritmo, bem como transformar a própria notação. Usando eles, equações logarítmicas são resolvidas, derivadas são encontradas, integrais são resolvidas e muitas outras operações são realizadas. Basicamente, a solução para o logaritmo em si é sua notação simplificada. Abaixo estão as principais fórmulas e propriedades:

Para qualquer a ; a > 0; a ≠ 1 e para qualquer x ; y > 0.

• a log a b = b é a identidade logarítmica básica
• logar 1 = 0
• log a a = 1
• log a (x y ) = log a x + log a y
• log a x/y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x , para k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x \u003d log b x / log b a - fórmula para a transição para uma nova base
• log a x = 1/log x a

Como resolver logaritmos - instruções passo a passo para resolver

• Primeiro, escreva a equação necessária.

Observe: se o logaritmo de base for 10, o registro será encurtado, um logaritmo decimal será obtido. Se houver um número natural e, escrevemos, reduzindo a um logaritmo natural. Isso significa que o resultado de todos os logaritmos é a potência à qual o número base é elevado para obter o número b.

Diretamente, a solução está no cálculo deste grau. Antes de resolver uma expressão com um logaritmo, ela deve ser simplificada de acordo com a regra, ou seja, usando fórmulas. Você pode encontrar as principais identidades voltando um pouco no artigo.

Ao adicionar e subtrair logaritmos com dois números diferentes, mas com a mesma base, substitua por um único logaritmo pelo produto ou divisão dos números b e c, respectivamente. Neste caso, você pode aplicar a fórmula de transição para outra base (veja acima).

Se você estiver usando expressões para simplificar o logaritmo, há algumas limitações a serem observadas. E isto é: a base do logaritmo a é apenas um número positivo, mas não igual a um. O número b, como a, deve ser maior que zero.

Há casos em que, simplificando a expressão, você não poderá calcular o logaritmo na forma numérica. Acontece que tal expressão não faz sentido, porque muitos graus são números irracionais. Nesta condição, deixe a potência do número como um logaritmo.

São dadas as principais propriedades do logaritmo, o gráfico do logaritmo, o domínio de definição, o conjunto de valores, as fórmulas básicas, o aumento e o decréscimo. Encontrar a derivada do logaritmo é considerado. Assim como integral, expansão de séries de potências e representação por meio de números complexos.

Definição de logaritmo

Logaritmo com base aé a função y (x) = log x, inversa da função exponencial com base a: x (y) = ay.

logaritmo decimalé o logaritmo da base do número 10 : log x ≡ log 10 x.

Logaritmo naturalé o logaritmo na base de e: ln x ≡ log e x.

2,718281828459045... ;
.

O gráfico do logaritmo é obtido a partir do gráfico da função exponencial por reflexão de espelho em torno da linha reta y \u003d x. À esquerda estão os gráficos da função y (x) = log x para quatro valores bases do logaritmo:a= 2 , a = 8 , a = 1/2 e um = 1/8 . O gráfico mostra que para a > 1 o logaritmo é monotonicamente crescente. À medida que x aumenta, o crescimento diminui significativamente. No 0 < a < 1 o logaritmo é monotonicamente decrescente.

Propriedades do logaritmo

Domínio, conjunto de valores, ascendente, descendente

O logaritmo é uma função monotônica, portanto não possui extremos. As principais propriedades do logaritmo são apresentadas na tabela.

Domínio	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Faixa de valores	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Monótono	aumenta monotonicamente	diminui monotonicamente
Zeros, y = 0	x= 1	x= 1
Pontos de interseção com o eixo y, x = 0	Não	Não
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Valores privados

O logaritmo de base 10 é chamado logaritmo decimal e está marcado assim:

logaritmo básico e chamado Logaritmo natural:

Fórmulas logarítmicas básicas

Propriedades do logaritmo a partir da definição da função inversa:

A principal propriedade dos logaritmos e suas consequências

Fórmula de substituição de base

Logaritmoé a operação matemática de tomar o logaritmo. Ao tomar um logaritmo, os produtos dos fatores são convertidos em somas de termos.

Potenciaçãoé a operação matemática inversa ao logaritmo. Ao potencializar, a base dada é elevada à potência da expressão na qual a potenciação é realizada. Nesse caso, as somas dos termos são convertidas em produtos de fatores.

Prova das fórmulas básicas para logaritmos

Fórmulas relacionadas a logaritmos seguem de fórmulas para funções exponenciais e da definição de uma função inversa.

Considere a propriedade da função exponencial
.
Então
.
Aplique a propriedade da função exponencial
:
.

Vamos provar a fórmula de mudança de base.
;
.
Definindo c = b , temos:

Função inversa

O recíproco do logaritmo de base a é a função exponencial com expoente a.

Se então

Se então

Derivada do logaritmo

Derivada do logaritmo módulo x :
.
Derivada da enésima ordem:
.
Derivação de fórmulas > > >

Para encontrar a derivada de um logaritmo, ele deve ser reduzido à base e.
;
.

Integrante

A integral do logaritmo é calculada integrando por partes: .
Então,

Expressões em termos de números complexos

Considere a função número complexo z:
.
Vamos expressar um número complexo z via módulo r e argumento φ :
.
Então, usando as propriedades do logaritmo, temos:
.
Ou

No entanto, o argumento φ não claramente definida. Se colocarmos
, onde n é um número inteiro,
então será o mesmo número para diferentes n.

Portanto, o logaritmo, como função de uma variável complexa, não é uma função de valor único.

Expansão da série de potência

Para , a expansão ocorre:

Referências:
DENTRO. Bronstein, K. A. Semendyaev, Manual de Matemática para Engenheiros e Estudantes de Instituições de Ensino Superior, Lan, 2009.