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Número recíproco(recíproco, recíproco) a um determinado número xé o número cuja multiplicação por x, dá um. Entrada aceita: $\backslash frac(1)x$ ou $x^(-1)$. Dois números cujo produto é igual a um são chamados mutuamente inverso. O recíproco de um número não deve ser confundido com o recíproco de uma função. Por exemplo, $\backslash frac(1)(\backslash cos(x))$ diferente do valor da função cosseno inversa - arccosine, que é denotado $\backslash cos^(-1)x$ ou $\backslash arccos\; x$.

Inverso ao número real

Formas de números complexos	Número $(z)$	Marcha ré $\backslash esquerda\; (\backslash frac(1)(z)\; \backslash direita)$
Algébrico	$x+iy$	$\backslash frac(x)(x^2+y^2)-i\; \backslash frac(y)(x^2+y^2)$
trigonométrico	$r(\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sen\backslash varphi)$	$\backslash frac(1)(r)(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi)$
Demonstração	$re^(i\backslash varphi)$	$\backslash frac(1)(r)e^(-i\; \backslash varphi)$

Prova:
Para formas algébricas e trigonométricas, usamos a propriedade básica de uma fração, multiplicando o numerador e denominador pelo conjugado complexo:

• Forma algébrica:

$\backslash frac(1)(z)=\; \backslash frac(1)(x+iy)=\; \backslash frac(x-iy)((x+iy)(x-iy))=\; \backslash frac(x-iy)(x^\; 2+y^2)=\; \backslash frac(x)(x^2+y^2)-i\; \backslash frac(y)(x^2+y^2)$

• Forma trigonométrica:

$\backslash frac(1)(z)\; =\; \backslash frac(1)(r(\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi))\; =\; \backslash frac(1)(r)\; \backslash frac(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash \; varphi)((\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi)(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi))\; =\; \backslash frac(1)(r)\; \backslash frac(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi\; )(\backslash cos^2\backslash varphi+\; \backslash sin^2\backslash varphi)\; =\; \backslash frac(1)(r)(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi)$

• Forma indicativa:

$\backslash frac(1)(z)\; =\; \backslash frac(1)(re^(i\; \backslash varphi))\; =\; \backslash frac(1)(r)e^(-i\; \backslash varphi)$

Assim, ao encontrar o inverso de um número complexo, é mais conveniente usar sua forma exponencial.

Exemplo:

Formas de números complexos	Número $(z)$	Marcha ré $\backslash esquerda\; (\backslash frac(1)(z)\; \backslash direita)$
Algébrico	$1+i\; \backslash sqrt(3)$	$\backslash frac(1)(4)-\; \backslash frac(\backslash sqrt(3))(4)i$
trigonométrico	$2\; \backslash esquerda\; (\backslash cos\backslash frac(\backslash pi)(3)+i\backslash sin\backslash frac(\backslash pi)(3)\; \backslash direita)$ ou $2\; \backslash esquerda\; (\backslash frac(1)(2)+i\backslash frac(\backslash sqrt(3))(2)\; \backslash direita)$	$\backslash frac(1)(2)\; \backslash left\; (\backslash cos\backslash frac(\backslash pi)(3)-i\backslash sin\backslash frac(\backslash pi)(3)\; \backslash right)$ ou $\backslash frac(1)(2)\; \backslash left\; (\backslash frac(1)(2)-i\backslash frac(\backslash sqrt(3))(2)\; \backslash right)$
Demonstração	$2\; e^(i\; \backslash frac(\backslash pi)(3))$	$\backslash frac(1)(2)\; e^(-i\; \backslash frac(\backslash pi)(3))$

Inverso da unidade imaginária

$\backslash frac(1)(i)=\backslash frac(1\; \backslash cdot\; i)(i\; \backslash cdot\; i)=\backslash frac(i)(i^2)=\backslash frac(i)(-1)=-i$

Assim, obtemos

$\backslash frac(1)(i)=-i$ __ ou__ $i^(-1)=-i$

Da mesma forma para $-eu$: __ $-\; \backslash frac(1)(i)=i$ __ ou __ $-i^(-1)=i$

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Notas

Veja também

Um trecho caracterizando o número recíproco

Assim dizem as histórias, e tudo isso é completamente injusto, pois quem quiser se aprofundar na essência do assunto será facilmente convencido.
Os russos não buscavam uma posição melhor; mas, ao contrário, em sua retirada passaram por muitas posições melhores que Borodino. Eles não pararam em nenhuma dessas posições: tanto porque Kutuzov não queria aceitar uma posição que não foi escolhida por ele, quanto porque a demanda por uma batalha popular ainda não havia sido expressa com força suficiente, e porque Miloradovich ainda não havia se aproximado com a milícia, e também por outras razões que são inúmeras. O fato é que as posições anteriores eram mais fortes e que a posição Borodino (aquela em que a batalha foi dada) não só não é forte, mas por algum motivo não é uma posição mais do que qualquer outro lugar no Império Russo, que, adivinhando, se apontaria com um alfinete no mapa.
Os russos não só não fortificaram a posição do campo de Borodino à esquerda em ângulo reto com a estrada (ou seja, o local onde a batalha ocorreu), mas nunca antes de 25 de agosto de 1812 eles pensaram que a batalha poderia acontecer neste lugar. Isto é evidenciado, em primeiro lugar, pelo fato de que não só no dia 25 não havia fortificações neste local, mas que, iniciadas no dia 25, não foram concluídas no dia 26; em segundo lugar, a posição do reduto de Shevardinsky serve de prova: o reduto de Shevardinsky, em frente à posição em que a batalha foi travada, não faz qualquer sentido. Por que este reduto foi fortificado mais forte do que todos os outros pontos? E por que, defendendo-o no dia 24 até tarde da noite, todos os esforços se esgotaram e seis mil pessoas perderam? Para observar o inimigo, bastava uma patrulha cossaca. Em terceiro lugar, a prova de que a posição em que a batalha ocorreu não estava prevista e que o reduto de Shevardinsky não era o ponto de avanço dessa posição é o fato de Barclay de Tolly e Bagration até o dia 25 estarem convencidos de que o reduto de Shevardinsky era a esquerda flanco da posição e que o próprio Kutuzov, em seu relatório, escrito às pressas após a batalha, chama o reduto de Shevardinsky de flanco esquerdo da posição. Muito mais tarde, quando os relatos sobre a batalha de Borodino foram redigidos a céu aberto, foi (provavelmente para justificar os erros do comandante-chefe, que tinha que ser infalível) que se inventou um testemunho injusto e estranho de que o reduto de Shevardinsky serviu de posto avançado (ao passo que era apenas um ponto fortificado do flanco esquerdo) e como se a batalha de Borodino fosse aceita por nós em uma posição fortificada e pré-selecionada, enquanto ocorreu em um local completamente inesperado e quase não fortificado.
O caso, obviamente, foi assim: a posição foi escolhida ao longo do rio Kolocha, que atravessa a estrada principal não em linha reta, mas em ângulo agudo, de modo que o flanco esquerdo ficasse em Shevardin, o flanco direito ficasse próximo ao vila de Novy e o centro ficava em Borodino, na confluência dos rios Kolocha e Vo. yn. Essa posição, sob a cobertura do rio Kolocha, para o exército, cujo objetivo é impedir que o inimigo se mova pela estrada de Smolensk até Moscou, é óbvia para quem olha para o campo de Borodino, esquecendo como a batalha ocorreu.
Napoleão, tendo partido para Valuev no dia 24, não viu (como dizem as histórias) a posição dos russos de Utitsa a Borodin (ele não podia ver essa posição, porque não estava lá) e não viu o posto avançado de o exército russo, mas tropeçou na perseguição da retaguarda russa no flanco esquerdo da posição dos russos, no reduto de Shevardinsky, e inesperadamente para os russos transferiram tropas através de Kolocha. E os russos, não tendo tempo para entrar em uma batalha geral, recuaram com sua ala esquerda da posição que pretendiam tomar e assumiram uma nova posição, que não estava prevista e não fortificada. Tendo cruzado para o lado esquerdo de Kolocha, à esquerda da estrada, Napoleão moveu toda a futura batalha da direita para a esquerda (do lado dos russos) e a transferiu para o campo entre Utitsa, Semenovsky e Borodino (neste campo , que não tem nada mais vantajoso para a posição do que qualquer outro campo na Rússia), e neste campo toda a batalha aconteceu no dia 26. Em forma aproximada, o plano para a batalha proposta e a batalha que ocorreu será a seguinte:

Se Napoleão não tivesse partido na noite do dia 24 para Kolocha e não tivesse ordenado atacar o reduto imediatamente à noite, mas tivesse começado o ataque no dia seguinte pela manhã, ninguém teria duvidado que o reduto de Shevardinsky era o flanco esquerdo da nossa posição; e a batalha teria ocorrido como esperávamos. Nesse caso, provavelmente teríamos defendido o reduto de Shevardino, nosso flanco esquerdo, com ainda mais teimosia; atacariam Napoleão pelo centro ou pela direita, e no dia 24 haveria uma batalha geral na posição fortificada e prevista. Mas como o ataque ao nosso flanco esquerdo ocorreu à noite, após a retirada da nossa retaguarda, ou seja, imediatamente após a batalha de Gridneva, e como os líderes militares russos não quiseram ou não tiveram tempo para iniciar uma batalha geral na noite de 24, a primeira e principal ação de Borodinsky, a batalha, foi perdida no dia 24 e, obviamente, levou à perda da que foi dada no dia 26.
Após a perda do reduto de Shevardinsky, na manhã do dia 25 nos encontramos sem posição no flanco esquerdo e fomos forçados a dobrar nossa asa esquerda e fortalecê-la apressadamente em qualquer lugar.
Mas não apenas as tropas russas ficaram apenas sob a proteção de fortificações fracas e inacabadas em 26 de agosto, a desvantagem dessa situação foi aumentada ainda mais pelo fato de que os líderes militares russos, não reconhecendo um fato completamente consumado (a perda de uma posição no flanco esquerdo e a transferência de todo o futuro campo de batalha da direita para a esquerda), permaneceram em sua posição estendida da vila de Novy a Utitsa e, como resultado, tiveram que mover suas tropas da direita para a esquerda durante a batalha. Assim, durante toda a batalha, os russos tiveram o dobro das forças mais fracas contra todo o exército francês, dirigidos à nossa ala esquerda. (As ações de Poniatowski contra Utitsa e Uvarov no flanco direito dos franceses constituíram ações separadas do curso da batalha.)
Assim, a batalha de Borodino não aconteceu como (tentando esconder os erros de nossos líderes militares e, como resultado, menosprezar a glória do exército e do povo russos) descrevem. A batalha de Borodino não ocorreu em uma posição escolhida e fortificada apenas com as forças mais fracas por parte dos russos, e a batalha de Borodino, devido à perda do reduto de Shevardino, foi tomada pelos russos em campo aberto, área quase não fortificada com o dobro das forças mais fracas contra os franceses, ou seja, nessas condições, em que não era apenas impensável lutar por dez horas e tornar a batalha indecisa, mas era impensável impedir o exército da derrota completa e da fuga por três horas.

No dia 25 de manhã, Pierre deixou Mozhaisk. Na descida da enorme montanha íngreme e tortuosa que sai da cidade, passando pela catedral na montanha à direita, na qual havia um serviço e o evangelho, Pierre desceu da carruagem e foi a pé. Atrás dele descia na montanha uma espécie de regimento de cavalaria com peselniks na frente. Um comboio de carroças com os feridos na ação de ontem subia em sua direção. Os condutores camponeses, gritando com os cavalos e açoitando-os com chicotes, corriam de um lado para o outro. As carroças, sobre as quais jaziam e sentavam três e quatro soldados feridos, saltavam sobre as pedras lançadas em forma de calçada em uma ladeira íngreme. Os feridos, amarrados em trapos, pálidos, com lábios franzidos e sobrancelhas franzidas, agarrados às camas, pulavam e empurravam as carroças. Todos olhavam com uma curiosidade infantil quase ingênua para o chapéu branco e o fraque verde de Pierre.

Damos uma definição e damos exemplos de números recíprocos. Considere como encontrar o inverso de um número natural e o inverso de uma fração ordinária. Além disso, escrevemos e provamos uma desigualdade que reflete a propriedade da soma de números recíprocos.

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Números recíprocos. Definição

Definição. Números recíprocos

Os números recíprocos são aqueles números cujo produto dá um.

Se a · b = 1, então podemos dizer que o número a é o inverso do número b, assim como o número b é o inverso do número a.

O exemplo mais simples de números recíprocos é dois. De fato, 1 1 = 1, então a = 1 e b = 1 são números mutuamente inversos. Outro exemplo são os números 3 e 1 3 , - 2 3 e - 3 2 , 6 13 e 13 6 , log 3 17 e log 17 3 . O produto de qualquer par dos números acima é igual a um. Se esta condição não for atendida, como por exemplo com os números 2 e 2 3 , então os números não são mutuamente inversos.

A definição de números recíprocos é válida para qualquer número - natural, inteiro, real e complexo.

Como encontrar o inverso de um determinado número

Vamos considerar o caso geral. Se o número original for igual a a , seu número recíproco será escrito como 1 a , ou a - 1 . De fato, a · 1 a = a · a - 1 = 1 .

Para números naturais e frações comuns, encontrar o recíproco é bastante fácil. Pode-se até dizer que é óbvio. No caso de encontrar um número que seja o inverso de um número irracional ou complexo, vários cálculos terão que ser feitos.

Considere os casos mais comuns na prática de encontrar o recíproco.

O inverso de uma fração comum

Obviamente, o inverso da fração comum a b é a fração b a . Então, para encontrar o recíproco de uma fração, você só precisa inverter a fração. Ou seja, troque o numerador e o denominador.

De acordo com essa regra, você pode escrever o recíproco de qualquer fração ordinária quase imediatamente. Assim, para a fração 28 57, o recíproco será a fração 57 28 e para a fração 789 256 - o número 256 789.

O inverso de um número natural

Você pode encontrar o recíproco de qualquer número natural da mesma forma que o recíproco de uma fração. Basta representar um número natural a como uma fração ordinária a 1 . Então seu recíproco será 1 a . Para o número natural 3, seu recíproco é 1 3 , para o número 666 o recíproco é 1 666 , e assim por diante.

Atenção especial deve ser dada à unidade, pois este é o único número, cujo recíproco é igual a si mesmo.

Não há outros pares de números recíprocos onde ambos os componentes são iguais.

O inverso de um número misto

O número misto é da forma a b c . Para encontrar seu recíproco, você precisa apresentar o número misto na semente de uma fração imprópria e escolher o recíproco para a fração resultante.

Por exemplo, vamos encontrar o recíproco de 7 2 5 . Primeiro, vamos representar 7 2 5 como uma fração imprópria: 7 2 5 = 7 5 + 2 5 = 37 5 .

Para a fração imprópria 37 5 o recíproco é 5 37 .

O inverso de um decimal

Uma fração decimal também pode ser representada como uma fração comum. Encontrar o recíproco de uma fração decimal de um número se resume a representar a fração decimal como uma fração comum e encontrar seu recíproco.

Por exemplo, há uma fração 5, 128. Vamos encontrar o seu recíproco. Primeiro, convertemos o decimal em uma fração comum: 5, 128 = 5 128 1000 = 5 32 250 = 5 16 125 = 641 125. Para a fração resultante, a recíproca será a fração 125641.

Vamos considerar mais um exemplo.

Exemplo. Encontrando o inverso de um decimal

Encontre o inverso da fração decimal periódica 2 , (18) .

Converter decimal em ordinário:

2, 18 = 2 + 18 10 - 2 + 18 10 - 4 + . . . = 2 + 18 10 - 2 1 - 10 - 2 = 2 + 18 99 = 2 + 2 11 = 24 11

Após a tradução, podemos escrever facilmente o recíproco da fração 24 11. Este número será obviamente 11 24 .

Para uma fração decimal infinita e não periódica, a recíproca é escrita como uma fração com uma unidade no numerador e a própria fração no denominador. Por exemplo, para a fração infinita 3 , 6025635789 . . . a recíproca será 1 3 , 6025635789 . . . .

Da mesma forma, para números irracionais correspondentes a frações infinitas não periódicas, os recíprocos são escritos como expressões fracionárias.

Por exemplo, o recíproco de π + 3 3 80 é 80 π + 3 3 e o recíproco de 8 + e 2 + e é 1 8 + e 2 + e.

Números recíprocos com raízes

Se a forma de dois números for diferente de a e 1 a , nem sempre é fácil determinar se os números são mutuamente inversos. Isso é especialmente verdadeiro para números que têm um sinal de raiz em sua notação, pois geralmente é costume se livrar da raiz no denominador.

Vamos voltar à prática.

Vamos responder a pergunta: são os números 4 - 2 3 e 1 + 3 2 recíprocos.

Para descobrir se os números são mutuamente inversos, calculamos seu produto.

4 - 2 3 1 + 3 2 = 4 - 2 3 + 2 3 - 3 = 1

O produto é igual a um, o que significa que os números são mutuamente inversos.

Vamos considerar mais um exemplo.

Exemplo. Números recíprocos com raízes

Escreva o recíproco de 5 3 + 1 .

Você pode escrever imediatamente que o recíproco é igual à fração 1 5 3 + 1. No entanto, como já dissemos, é costume livrar-se da raiz no denominador. Para fazer isso, multiplique o numerador e o denominador por 25 3 - 5 3 + 1 . Nós temos:

1 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 + 1 25 3 - 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 3 + 1 3 = 25 3 - 5 3 + 1 6

Números recíprocos com potências

Suponha que haja um número igual a alguma potência do número a. Em outras palavras, o número a elevado à potência n. O recíproco de a n é a - n . Vamos verificar. De fato: a n a - n = a n 1 1 a n = 1 .

Exemplo. Números recíprocos com potências

Encontre o recíproco de 5 - 3 + 4 .

De acordo com o acima, o número desejado é 5 - - 3 + 4 = 5 3 - 4

Recíprocos com logaritmos

Para o logaritmo do número a na base b, o recíproco é o número igual ao logaritmo do número b na base a.

log a b e log b a são números mutuamente recíprocos.

Vamos verificar. Segue das propriedades do logaritmo que log a b = 1 log b a , o que significa log a b · log b a .

Exemplo. Recíprocos com logaritmos

Encontre o recíproco de log 3 5 - 2 3 .

O recíproco do logaritmo de 3 na base 3 5 - 2 é o logaritmo de 3 5 - 2 na base 3.

O inverso de um número complexo

Como observado anteriormente, a definição de números recíprocos é válida não apenas para números reais, mas também para números complexos.

Normalmente os números complexos são representados na forma algébrica z = x + i y . O recíproco disso será uma fração

1 x + y . Por conveniência, esta expressão pode ser encurtada multiplicando o numerador e o denominador por x - i y .

Exemplo. O inverso de um número complexo

Seja um número complexo z = 4 + i . Vamos encontrar o recíproco dele.

O recíproco de z = 4 + i será igual a 1 4 + i .

Multiplique o numerador e o denominador por 4 - i e obtenha:

1 4 + i \u003d 4 - i 4 + i 4 - i \u003d 4 - i 4 2 - i 2 \u003d 4 - i 16 - (- 1) \u003d 4 - i 17.

Além de sua forma algébrica, um número complexo pode ser representado na forma trigonométrica ou exponencial da seguinte forma:

z = r cos φ + i sen φ

z = r e i φ

Assim, o número recíproco será semelhante a:

1 r cos (- φ) + i sen (- φ)

Vamos ter certeza disso:

r cos φ + i sen φ 1 r cos (- φ) + i sen (- φ) = r r cos 2 φ + sen 2 φ = 1 r e i φ 1 r e i (- φ) = r r e 0 = 1

Considere exemplos com a representação de números complexos na forma trigonométrica e exponencial.

Encontre o inverso de 2 3 cos π 6 + i · sen π 6 .

Considerando que r = 2 3 , φ = π 6 , escrevemos o número recíproco

3 2 cos - π 6 + i sin - π 6

Exemplo. Encontre o inverso de um número complexo

Qual é o inverso de 2 · e i · - 2 π 5 .

Resposta: 1 2 e i 2 π 5

A soma dos números recíprocos. Desigualdade

Existe um teorema sobre a soma de dois números recíprocos.

Soma de números mutuamente recíprocos

A soma de dois números positivos e recíprocos é sempre maior ou igual a 2.

Apresentamos a prova do teorema. Como você sabe, para quaisquer números positivos a e b, a média aritmética é maior ou igual à média geométrica. Isso pode ser escrito como uma desigualdade:

a + b 2 ≥ a b

Se em vez do número b tomarmos o inverso de a , a desigualdade assume a forma:

a + 1 a 2 ≥ a 1 a a + 1 a ≥ 2

Q.E.D.

Vamos dar um exemplo prático que ilustra esta propriedade.

Exemplo. Encontre a soma dos números recíprocos

Vamos calcular a soma dos números 2 3 e seu recíproco.

2 3 + 3 2 = 4 + 9 6 = 13 6 = 2 1 6

Como diz o teorema, o número resultante é maior que dois.

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Um par de números cujo produto é igual a um é chamado mutuamente inverso.

Exemplos: 5 e 1/5, -6/7 e -7/6, e

Para qualquer número a diferente de zero, existe um inverso 1/a.

O inverso de zero é infinito.

Frações inversas- estas são duas frações, cujo produto é 1. Por exemplo, 3/7 e 7/3; 5/8 e 8/5 etc.

Veja também

Fundação Wikimedia. 2010.

Veja o que é "número reverso" em outros dicionários:

Um número cujo produto vezes um determinado número é igual a um. Dois desses números são chamados recíprocos. Tais são, por exemplo, 5 e 1/5, 2/3 e 3/2, etc... Grande Dicionário Enciclopédico

número recíproco- - [A.S. Goldberg. Dicionário de Energia Inglês Russo. 2006] Tópicos energia em geral EN número inverso número recíproco … Manual do Tradutor Técnico

Um número cujo produto vezes um determinado número é igual a um. Dois desses números são chamados recíprocos. Estes são, por exemplo, 5 e 1/5, 2/3 e 3/2, etc. * * * REVERSE NUMBER REVERSE NUMBER, um número cujo produto vezes um determinado número é ... dicionário enciclopédico

Um número cujo produto com um determinado número é igual a um. Dois desses números são chamados recíprocos. Tais são, por exemplo, 5 e a, diferente de zero, existe uma inversa ... Grande Enciclopédia Soviética

O número, o produto de k e um determinado número é igual a um. Dois desses números são chamados mutuamente inversas. Tais são, por exemplo, 5 e 1/5. 2/3 e 3/2 etc... Ciência natural. dicionário enciclopédico

Este termo tem outros significados, veja Número (significados). Número é o conceito básico da matemática usado para características quantitativas, comparação e numeração de objetos. Tendo surgido de volta na sociedade primitiva das necessidades ... ... Wikipedia

Veja também: Número (linguística) Número é uma abstração usada para quantificar objetos. Tendo surgido na sociedade primitiva a partir das necessidades de contar, o conceito de número mudou e enriqueceu e se transformou no mais importante matemático ... Wikipedia

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NÚMERO, IRRACIONAL, um número que não pode ser expresso como uma fração. Exemplos incluem C2 e número p. Portanto, números irracionais são números com um número infinito de casas decimais (não periódicas). (No entanto, o inverso não é ... ... Dicionário enciclopédico científico e técnico

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Os números reversos - ou recíprocos - são um par de números que, quando multiplicados, dão 1. Na forma mais geral, os recíprocos são números. Um caso especial característico de números recíprocos é um par. Os inversos são, digamos, os números; .

Como encontrar o recíproco

Regra: você precisa dividir 1 (um) pelo número dado.

Exemplo 1.

É dado o número 8. Seu inverso é 1:8 ou (a segunda opção é preferível, pois tal notação é matematicamente mais correta).

Ao procurar o recíproco de uma fração ordinária, dividi-lo por 1 não é muito conveniente, porque a gravação torna-se complicada. Nesse caso, é muito mais fácil fazer o contrário: a fração é simplesmente invertida, trocando o numerador e o denominador. Se uma fração correta for dada, depois de virá-la, uma fração imprópria é obtida, ou seja, um do qual uma parte inteira pode ser extraída. Para fazer isso ou não, você precisa decidir caso a caso. Portanto, se você precisar executar algumas ações com a fração invertida resultante (por exemplo, multiplicação ou divisão), não deverá selecionar a parte inteira. Se a fração resultante for o resultado final, talvez seja desejável a seleção da parte inteira.

Exemplo #2.

Dada uma fração. Reverter para ele:.

Se você deseja encontrar o recíproco de uma fração decimal, deve usar a primeira regra (dividir 1 por um número). Nesta situação, você pode agir de duas maneiras. A primeira é simplesmente dividir 1 por esse número em uma coluna. A segunda é formar uma fração de 1 no numerador e um decimal no denominador, e depois multiplicar o numerador e o denominador por 10, 100 ou outro número consistindo de 1 e tantos zeros quantos forem necessários para se livrar do ponto decimal no denominador. O resultado será uma fração ordinária, que é o resultado. Se necessário, você pode precisar encurtá-lo, extrair uma parte inteira dele ou convertê-lo para a forma decimal.

Exemplo #3.

O número dado é 0,82. Sua recíproca é: . Agora vamos reduzir a fração e selecionar a parte inteira: .

Como verificar se dois números são recíprocos

O princípio da verificação baseia-se na definição de recíprocos. Ou seja, para garantir que os números sejam inversos entre si, você precisa multiplicá-los. Se o resultado for um, então os números são mutuamente inversos.

Exemplo número 4.

Dados os números 0,125 e 8. Eles são recíprocos?

Exame. É necessário encontrar o produto de 0,125 e 8. Para maior clareza, apresentamos esses números como frações ordinárias: (vamos reduzir a 1ª fração por 125). Conclusão: os números 0,125 e 8 são inversos.

Propriedades dos recíprocos

Propriedade nº 1

O recíproco existe para qualquer número diferente de 0.

Essa limitação se deve ao fato de que é impossível dividir por 0, e ao determinar o recíproco de zero, apenas terá que ser movido para o denominador, ou seja, realmente dividir por ele.

Propriedade #2

A soma de um par de números recíprocos nunca é menor que 2.

Matematicamente, esta propriedade pode ser expressa pela desigualdade: .

Propriedade nº 3

Multiplicar um número por dois números recíprocos equivale a multiplicar por um. Vamos expressar essa propriedade matematicamente: .

Exemplo número 5.

Encontre o valor da expressão: 3,4 0,125 8. Como os números 0,125 e 8 são recíprocos (veja o Exemplo #4), não há necessidade de multiplicar 3,4 por 0,125 e depois por 8. Então a resposta aqui é 3.4.

Contente:

Recíprocos são necessários ao resolver todos os tipos de equações algébricas. Por exemplo, se você precisar dividir um número fracionário por outro, multiplique o primeiro número pelo inverso do segundo. Além disso, os recíprocos são usados ​​ao encontrar a equação de uma linha reta.

Passos

1 Encontrando o recíproco de uma fração ou inteiro

1. 1 Encontre o inverso de um número fracionário invertendo-o."Número recíproco" é definido de forma muito simples. Para calculá-lo, basta calcular o valor da expressão "1 ÷ (número original)." Para um número fracionário, o recíproco é outro número fracionário que pode ser calculado simplesmente "invertendo" a fração (invertendo o numerador e o denominador).
   • Por exemplo, o recíproco de 3/4 é 4 / 3 .
2. 2 Escreva o inverso de um número inteiro como uma fração. E neste caso, o recíproco é calculado como 1 ÷ (número original). Para um número inteiro, escreva o recíproco como uma fração, não há necessidade de fazer os cálculos e escreva-o como um decimal.
   • Por exemplo, o recíproco de 2 é 1 ÷ 2 = 1 / 2 .

2 Encontrando o recíproco de uma fração mista

1. 1 O que é uma "fração mista"? Uma fração mista é um número escrito como um número inteiro e uma fração simples, por exemplo, 2 4 / 5. Encontrar o recíproco de uma fração mista é feito em duas etapas, descritas abaixo.
2. 2 Escreva a fração mista como uma fração imprópria. Claro, você se lembra que a unidade pode ser escrita como (número) / (mesmo número), e frações com o mesmo denominador (número sob a linha) podem ser adicionadas umas às outras. Aqui está como isso pode ser feito para a fração 2 4 / 5:
   • 2 4 / 5
   • = 1 + 1 + 4 / 5
   • = 5 / 5 + 5 / 5 + 4 / 5
   • = (5+5+4) / 5
   • = 14 / 5 .
3. 3 Vire a fração. Quando uma fração mista é escrita como uma fração imprópria, podemos facilmente encontrar a recíproca simplesmente trocando o numerador e o denominador.
   • Para o exemplo acima, a recíproca seria 14/5 - 5 / 14 .

3 Encontrando o recíproco de um decimal

1. 1 Se possível, expresse o decimal como uma fração. Você precisa saber que muitos decimais podem ser facilmente convertidos em frações simples. Por exemplo, 0,5 = 1/2 e 0,25 = 1/4. Quando você escreve um número como uma fração simples, pode encontrar facilmente a recíproca simplesmente invertendo a fração.
   • Por exemplo, o recíproco de 0,5 é 2/1 = 2.
2. 2 Resolva o problema usando a divisão. Se você não pode escrever um decimal como uma fração, calcule o recíproco resolvendo o problema dividindo: 1 ÷ (decimal). Você pode usar uma calculadora para resolvê-lo ou pular para a próxima etapa se quiser calcular o valor manualmente.
   • Por exemplo, o recíproco de 0,4 é calculado como 1 ÷ 0,4.
3. 3 Altere a expressão para trabalhar com números inteiros. O primeiro passo na divisão decimal é mover o ponto posicional até que todos os números na expressão sejam inteiros. Como você move a vírgula posicional o mesmo número de casas no dividendo e no divisor, obtém a resposta correta.
4. 4 Por exemplo, você pega a expressão 1 ÷ 0,4 e a escreve como 10 ÷ 4. Nesse caso, você moveu a vírgula uma casa para a direita, o que equivale a multiplicar cada número por dez.
5. 5 Resolva o problema dividindo os números por uma coluna. Usando a divisão por uma coluna, você pode calcular o recíproco de um número. Se você dividir 10 por 4, deverá obter 2,5, que é o inverso de 0,4.

• O valor de um recíproco negativo será o recíproco do número multiplicado por -1. Por exemplo, o recíproco negativo de 3/4 é -4/3.
• O recíproco de um número às vezes é chamado de "recíproco" ou "recíproco".
• O número 1 é seu próprio recíproco porque 1 ÷ 1 = 1.
• Zero não tem recíproco porque a expressão 1 ÷ 0 não tem soluções.