A base para a resolução de problemas econômicos são os modelos matemáticos.
A elaboração de um modelo matemático inclui:modelo matemático problema é um conjunto de relações matemáticas que descrevem a essência do problema.
- seleção de variável de tarefa
- elaborar um sistema de restrições
- escolha da função objetivo
Variáveis de tarefa são chamadas quantidades X1, X2, Xn, que caracterizam completamente o processo econômico. Normalmente eles são escritos como um vetor: X=(X 1 , X 2 ,...,X n).
O sistema de restrições As tarefas são um conjunto de equações e desigualdades que descrevem os recursos limitados no problema em consideração.
função de destino tarefa é chamada de função de variáveis de tarefa que caracteriza a qualidade da tarefa e cujo extremo deve ser encontrado.
Em geral, um problema de programação linear pode ser escrito da seguinte forma:
Esta entrada significa o seguinte: encontre o extremo da função objetivo (1) e as variáveis correspondentes X=(X 1 , X 2 ,...,X n) desde que essas variáveis satisfaçam o sistema de restrições (2) e não -condições de negatividade (3) .
Solução aceitável(plano) de um problema de programação linear é qualquer vetor n-dimensional X=(X 1 , X 2 ,...,X n) que satisfaça o sistema de restrições e condições de não negatividade.
O conjunto de soluções viáveis (planos) das formas do problema gama de soluções viáveis(ORD).
A solução ótima(plano) de um problema de programação linear é uma solução viável (plano) do problema, na qual a função objetivo atinge um extremo.
Um exemplo de compilação de um modelo matemático
A tarefa de usar recursos (matérias-primas)
Doença: Para a fabricação de n tipos de produtos, são usados m tipos de recursos. Faça um modelo matemático.
Conhecido:
- b i (i = 1,2,3,...,m) são as reservas de cada i-ésimo tipo de recurso;
- a ij (i = 1,2,3,...,m; j=1,2,3,...,n) são os custos de cada i-ésimo tipo de recurso para a produção de uma unidade de volume de o j-ésimo tipo de produto;
- c j (j = 1,2,3,...,n) é o lucro da venda de uma unidade de volume do j-ésimo tipo de produto.
É necessário elaborar um plano para a produção de produtos que proporcione o máximo lucro com determinadas restrições de recursos (matérias-primas).
Solução:
Introduzimos um vetor de variáveis X=(X 1 , X 2 ,...,X n), onde x j (j = 1,2,...,n) é o volume de produção do j-ésimo tipo de produtos.
Os custos do i-ésimo tipo de recurso para a produção de um determinado volume x j de produtos são iguais a a ij x j , portanto, a restrição ao uso de recursos para a produção de todos os tipos de produtos tem a forma:
O lucro da venda do j-ésimo tipo de produto é igual a c j x j , então a função objetivo é igual a:
Responda- O modelo matemático se parece com:
Forma canônica de um problema de programação linear
No caso geral, um problema de programação linear é escrito de tal forma que tanto as equações quanto as desigualdades são restrições, e as variáveis podem ser não negativas ou mudar arbitrariamente.
No caso em que todas as restrições são equações e todas as variáveis satisfazem a condição de não negatividade, o problema de programação linear é chamado canônico.
Pode ser representado em notação de coordenadas, vetoriais e matriciais.
O problema de programação linear canônica em notação de coordenadas tem a forma:
O problema de programação linear canônica em notação matricial tem a forma:
- A é a matriz de coeficientes do sistema de equações
- X é uma matriz de colunas de variáveis de tarefa
- Ao é a coluna-matriz das partes certas do sistema de restrições
Frequentemente, são usados problemas de programação linear, chamados de simétricos, que em notação matricial têm a forma:
Redução de um problema geral de programação linear para a forma canônica
Na maioria dos métodos de resolução de problemas de programação linear, assume-se que o sistema de restrições consiste em equações e condições naturais para a não negatividade das variáveis. No entanto, ao compilar modelos de problemas econômicos, as restrições são formadas principalmente na forma de um sistema de desigualdades, portanto, é necessário poder passar de um sistema de desigualdades para um sistema de equações.
Isso pode ser feito assim:Pegue uma desigualdade linear a 1 x 1 +a 2 x 2 +...+a n x n ≤b e adicione ao seu lado esquerdo algum valor x n+1 tal que a desigualdade se torne a igualdade a 1 x 1 +a 2 x 2 + ...+a n x n +x n+1 =b. Além disso, este valor x n+1 é não negativo.
Vamos considerar tudo com um exemplo.
Exemplo 26.1Reduza o problema de programação linear para a forma canônica:
Solução:
Vamos passar para o problema de encontrar o máximo da função objetivo.
Para fazer isso, alteramos os sinais dos coeficientes da função objetivo.
Para converter a segunda e a terceira desigualdade do sistema de restrições em equações, introduzimos variáveis adicionais não negativas x 4 x 5 (esta operação é marcada com a letra D no modelo matemático).
A variável x 4 é inserida no lado esquerdo da segunda inequação com um sinal "+", pois a inequação tem a forma "≤".
A variável x 5 é inserida no lado esquerdo da terceira inequação com o sinal "-", pois a inequação tem a forma "≥".
Variáveis x 4 x 5 são inseridas na função objetivo com um coeficiente. igual a zero.
Escrevemos o problema na forma canônica.
No artigo trazido ao seu conhecimento, oferecemos exemplos de modelos matemáticos. Além disso, daremos atenção às etapas de criação de modelos e analisaremos alguns dos problemas associados à modelagem matemática.
Outra questão nossa são os modelos matemáticos em economia, exemplos dos quais consideraremos uma definição um pouco mais adiante. Propomos iniciar nossa conversa com o próprio conceito de “modelo”, considerar brevemente sua classificação e passar para nossas principais questões.
O conceito de "modelo"
Muitas vezes ouvimos a palavra "modelo". O que é isso? Este termo tem muitas definições, aqui estão apenas três delas:
- um objeto específico que é criado para receber e armazenar informações, refletindo algumas propriedades ou características, etc., do original desse objeto (esse objeto específico pode ser expresso de diferentes formas: mental, descrição por meio de signos etc.);
- um modelo também significa uma exibição de qualquer situação, vida ou gestão específica;
- uma pequena cópia de um objeto pode servir de modelo (eles são criados para um estudo e análise mais detalhados, pois o modelo reflete a estrutura e os relacionamentos).
Com base em tudo o que foi dito anteriormente, podemos tirar uma pequena conclusão: o modelo permite estudar detalhadamente um sistema ou objeto complexo.
Todos os modelos podem ser classificados de acordo com vários critérios:
- por área de uso (educacional, experimental, científico e técnico, jogos, simulação);
- pela dinâmica (estática e dinâmica);
- por ramo de conhecimento (físico, químico, geográfico, histórico, sociológico, econômico, matemático);
- de acordo com o método de apresentação (material e informativo).
Os modelos de informação, por sua vez, são divididos em signos e verbais. E icônico - no computador e não computador. Agora vamos passar para uma consideração detalhada de exemplos de um modelo matemático.
Modelo matemático
Como você pode imaginar, um modelo matemático reflete algumas características de um objeto ou fenômeno usando símbolos matemáticos especiais. A matemática é necessária para modelar as leis do mundo em sua própria linguagem específica.
O método de modelagem matemática surgiu há muito tempo, milhares de anos atrás, junto com o advento desta ciência. No entanto, o impulso para o desenvolvimento deste método de modelagem foi dado pelo surgimento dos computadores (computadores eletrônicos).
Agora vamos para a classificação. Também pode ser realizado de acordo com alguns sinais. Eles são apresentados na tabela abaixo.
Propomos parar e olhar mais de perto a última classificação, pois ela reflete os padrões gerais de modelagem e os objetivos dos modelos que estão sendo criados.
Modelos Descritivos
Neste capítulo, propomos abordar com mais detalhes os modelos matemáticos descritivos. Para deixar tudo muito claro, um exemplo será dado.
Para começar, essa visão pode ser chamada de descritiva. Isso se deve ao fato de que simplesmente fazemos cálculos e previsões, mas não podemos influenciar de forma alguma o resultado do evento.
Um exemplo marcante de um modelo matemático descritivo é o cálculo da trajetória de voo, velocidade, distância da Terra de um cometa que invadiu as extensões do nosso sistema solar. Este modelo é descritivo, pois todos os resultados obtidos podem apenas nos alertar para algum tipo de perigo. Infelizmente, não podemos influenciar o resultado do evento. No entanto, com base nos cálculos obtidos, é possível tomar quaisquer medidas para preservar a vida na Terra.
Modelos de otimização
Agora vamos falar um pouco sobre modelos econômicos e matemáticos, cujos exemplos podem ser várias situações. Neste caso, estamos falando de modelos que ajudam a encontrar a resposta certa em determinadas condições. Eles devem ter alguns parâmetros. Para deixar bem claro, considere um exemplo da parte agrária.
Temos um celeiro, mas o grão estraga-se muito rapidamente. Nesse caso, precisamos escolher o regime de temperatura correto e otimizar o processo de armazenamento.
Assim, podemos definir o conceito de "modelo de otimização". Em um sentido matemático, este é um sistema de equações (lineares e não), cuja solução ajuda a encontrar a solução ótima em uma situação econômica particular. Consideramos um exemplo de modelo matemático (otimização), mas gostaria de acrescentar mais uma coisa: esse tipo pertence à classe dos problemas extremos, eles ajudam a descrever o funcionamento do sistema econômico.
Notamos mais uma nuance: os modelos podem ser de natureza diferente (veja a tabela abaixo).
Modelos multicritério
Agora convidamos você a falar um pouco sobre o modelo matemático de otimização multiobjetivo. Antes disso, demos um exemplo de um modelo matemático para otimizar um processo de acordo com qualquer critério, mas e se houver muitos deles?
Um exemplo marcante de uma tarefa multicritério é a organização da nutrição adequada, saudável e ao mesmo tempo econômica de grandes grupos de pessoas. Tais tarefas são frequentemente encontradas no exército, cantinas escolares, acampamentos de verão, hospitais e assim por diante.
Que critérios nos são dados nesta tarefa?
- A alimentação deve ser saudável.
- As despesas com alimentação devem ser reduzidas ao mínimo.
Como você pode ver, esses objetivos não coincidem em nada. Isso significa que ao resolver um problema, é necessário buscar a solução ótima, um equilíbrio entre os dois critérios.
Modelos de jogos
Falando em modelos de jogos, é necessário compreender o conceito de “teoria dos jogos”. Simplificando, esses modelos refletem modelos matemáticos de conflitos reais. Vale apenas entender que, diferentemente de um conflito real, um modelo matemático de jogo possui suas próprias regras específicas.
Agora darei um mínimo de informações da teoria dos jogos, que o ajudarão a entender o que é um modelo de jogo. E assim, no modelo necessariamente há partidos (dois ou mais), que geralmente são chamados de jogadores.
Todos os modelos têm certas características.
O modelo de jogo pode ser pareado ou múltiplo. Se tivermos dois assuntos, o conflito será emparelhado, se mais - múltiplo. Um jogo antagônico também pode ser distinguido, também chamado de jogo de soma zero. Este é um modelo em que o ganho de um dos participantes é igual à perda do outro.
modelos de simulação
Nesta seção, vamos nos concentrar em modelos matemáticos de simulação. Exemplos de tarefas são:
- modelo da dinâmica do número de microrganismos;
- modelo de movimento molecular, e assim por diante.
Neste caso, estamos falando de modelos que são o mais próximo possível de processos reais. Em geral, eles imitam qualquer manifestação na natureza. No primeiro caso, por exemplo, podemos modelar a dinâmica do número de formigas em uma colônia. Nesse caso, você pode observar o destino de cada indivíduo. Nesse caso, a descrição matemática raramente é usada, mais frequentemente há condições escritas:
- após cinco dias, a fêmea põe ovos;
- depois de vinte dias a formiga morre, e assim por diante.
Assim, são usados para descrever um grande sistema. A conclusão matemática é o processamento dos dados estatísticos recebidos.
Requisitos
É muito importante saber que existem alguns requisitos para este tipo de modelo, entre os quais os indicados na tabela abaixo.
Versatilidade | Esta propriedade permite usar o mesmo modelo ao descrever grupos de objetos do mesmo tipo. É importante notar que os modelos matemáticos universais são completamente independentes da natureza física do objeto em estudo. |
Adequação | Aqui é importante entender que esta propriedade permite a reprodução mais correta de processos reais. Em problemas de operação, esta propriedade da modelagem matemática é muito importante. Um exemplo de modelo é o processo de otimização do uso de um sistema de gás. Nesse caso, os indicadores calculados e reais são comparados, como resultado, a correção do modelo compilado é verificada. |
Precisão | Este requisito implica a coincidência dos valores que obtemos ao calcular o modelo matemático e os parâmetros de entrada do nosso objeto real |
economia | A exigência de economia para qualquer modelo matemático é caracterizada pelos custos de implementação. Se o trabalho com o modelo for realizado manualmente, é necessário calcular quanto tempo levará para resolver um problema usando esse modelo matemático. Se estamos falando de design auxiliado por computador, então os indicadores de tempo e memória do computador são calculados |
Etapas de modelagem
No total, costuma-se distinguir quatro etapas na modelagem matemática.
- Formulação de leis ligando partes do modelo.
- Estudo de problemas matemáticos.
- Descobrir a coincidência de resultados práticos e teóricos.
- Análise e modernização do modelo.
Modelo econômico e matemático
Nesta seção, vamos destacar brevemente o problema. Exemplos de tarefas podem ser:
- formação de um programa de produção para a produção de produtos cárneos, garantindo o máximo lucro da produção;
- maximizar o lucro da organização calculando o número ideal de mesas e cadeiras a serem produzidas em uma fábrica de móveis, e assim por diante.
O modelo econômico-matemático apresenta uma abstração econômica, que é expressa por meio de termos e sinais matemáticos.
Modelo matemático de computador
Exemplos de um modelo matemático de computador são:
- tarefas hidráulicas usando fluxogramas, diagramas, tabelas e assim por diante;
- problemas em mecânica dos sólidos, e assim por diante.
Um modelo de computador é uma imagem de um objeto ou sistema, apresentado como:
- tabelas;
- diagramas de blocos;
- diagramas;
- gráficos e assim por diante.
Ao mesmo tempo, esse modelo reflete a estrutura e as interconexões do sistema.
Construindo um modelo econômico e matemático
Já falamos sobre o que é um modelo econômico-matemático. Um exemplo de solução do problema será considerado agora. Precisamos analisar o programa de produção para identificar a reserva para aumentar os lucros com uma mudança no sortimento.
Não consideraremos completamente o problema, mas apenas construiremos um modelo econômico e matemático. O critério de nossa tarefa é a maximização do lucro. Então a função tem a forma: Л=р1*х1+р2*х2… tendendo ao máximo. Neste modelo, p é o lucro por unidade, x é o número de unidades produzidas. Além disso, com base no modelo construído, é necessário fazer cálculos e resumir.
Um exemplo de construção de um modelo matemático simples
Uma tarefa. O pescador voltou com a seguinte captura:
- 8 peixes - habitantes dos mares do norte;
- 20% da captura - os habitantes dos mares do sul;
- nem um único peixe foi encontrado no rio local.
Quantos peixes ele comprou na loja?
Assim, um exemplo de construção de um modelo matemático deste problema é o seguinte. Denotamos o número total de peixes como x. Seguindo a condição, 0,2x é o número de peixes que vivem nas latitudes do sul. Agora combinamos todas as informações disponíveis e obtemos um modelo matemático do problema: x=0,2x+8. Resolvemos a equação e obtemos a resposta para a pergunta principal: ele comprou 10 peixes na loja.
MODELO MATEMÁTICO - representação de um fenômeno ou processo estudado no conhecimento científico concreto na linguagem dos conceitos matemáticos. Ao mesmo tempo, supõe-se que várias propriedades do fenômeno em estudo sejam obtidas no caminho do estudo das características matemáticas reais do modelo. Construção de M.m. na maioria das vezes ditado pela necessidade de se ter uma análise quantitativa dos fenômenos e processos estudados, sem a qual, por sua vez, é impossível fazer previsões experimentalmente verificáveis sobre seu curso.
O processo de modelagem matemática, via de regra, passa pelas seguintes etapas. Na primeira fase, as ligações entre os principais parâmetros do futuro M.m. Em primeiro lugar, trata-se de uma análise qualitativa dos fenômenos estudados e da formulação de padrões que articulam os principais objetos de pesquisa. Com base nisso, é realizada a identificação de objetos que permitem uma descrição quantitativa. A etapa termina com a construção de um modelo hipotético, ou seja, um registro na linguagem de conceitos matemáticos de ideias qualitativas sobre as relações entre os principais objetos do modelo, que podem ser caracterizados quantitativamente.
Na segunda etapa, ocorre o estudo dos problemas matemáticos reais, aos quais o modelo hipotético construído conduz. O principal nesta etapa é obter consequências teóricas empiricamente verificáveis (solução do problema direto) como resultado da análise matemática do modelo. Ao mesmo tempo, não são raros os casos em que, para a construção e estudo de M.m. em diferentes áreas do conhecimento científico concreto, o mesmo aparato matemático é usado (por exemplo, equações diferenciais) e surgem problemas matemáticos do mesmo tipo, embora muito não triviais em cada caso específico. Além disso, nesta fase, torna-se de grande importância o uso da tecnologia de computação de alta velocidade (computador), que possibilita a obtenção de uma solução aproximada de problemas, muitas vezes impossíveis no âmbito da matemática pura, com um o uso de um computador) grau de precisão.
A terceira etapa é caracterizada por atividades para identificar o grau de adequação do M.m. hipotético construído. aqueles fenômenos e processos para o estudo a que se destinava. Ou seja, caso todos os parâmetros do modelo tenham sido especificados, os pesquisadores tentam descobrir como, dentro da precisão das observações, seus resultados são consistentes com as consequências teóricas do modelo. Desvios além da precisão das observações indicam a inadequação do modelo. No entanto, muitas vezes há casos em que, ao construir um modelo, vários de seus parâmetros permanecem inalterados.
indeterminado. Problemas em que as características paramétricas do modelo são estabelecidas de tal forma que as consequências teóricas sejam comparáveis dentro da acurácia das observações com os resultados de testes empíricos são chamados de problemas inversos.
Na quarta etapa, levando em consideração a identificação do grau de adequação do modelo hipotético construído e o surgimento de novos dados experimentais sobre os fenômenos em estudo, ocorre a posterior análise e modificação do modelo. Aqui, a decisão tomada varia de uma rejeição incondicional das ferramentas matemáticas aplicadas à adoção do modelo construído como base para a construção de uma teoria científica fundamentalmente nova.
O primeiro M.m. apareceu na ciência antiga. Assim, para modelar o sistema solar, o matemático e astrônomo grego Eudoxus deu a cada planeta quatro esferas, cuja combinação do movimento criou um hipopédia - uma curva matemática semelhante ao movimento observado do planeta. Como, no entanto, este modelo não podia explicar todas as anomalias observadas no movimento dos planetas, foi posteriormente substituído pelo modelo epicíclico de Apolônio de Perge. Hiparco usou o modelo mais recente em seus estudos e, em seguida, submetendo-o a algumas modificações, Ptolomeu. Esse modelo, como seus antecessores, baseava-se na crença de que os planetas fazem movimentos circulares uniformes, cuja sobreposição explicava as aparentes irregularidades. Ao mesmo tempo, deve-se notar que o modelo copernicano era fundamentalmente novo apenas no sentido qualitativo (mas não como M.M.). E apenas Kepler, com base nas observações de Tycho Brahe, construiu um novo M.m. O sistema solar, provando que os planetas não se movem em órbitas circulares, mas elípticas.
Atualmente, os mais adequados são os MMs construídos para descrever fenômenos mecânicos e físicos. Sobre a adequação de M.m. fora da física, pode-se, com poucas exceções, falar com bastante cautela. No entanto, fixando a hipotetização, e muitas vezes simplesmente a inadequação de M.m. em vários campos do conhecimento, seu papel no desenvolvimento da ciência não deve ser subestimado. Há casos frequentes em que mesmo modelos que estão longe de ser adequados em grande parte organizaram e estimularam mais pesquisas, juntamente com conclusões errôneas, continham aqueles grãos de verdade que justificavam plenamente os esforços despendidos no desenvolvimento desses modelos.
Literatura:
Modelagem matemática. M., 1979;
Ruzavin G.I. Matematização do conhecimento científico. M., 1984;
Tutubalin V.N., Barabasheva Yu.M., Grigoryan A.A., Devyatkova G.N., Uger E.G. Equações diferenciais em ecologia: reflexão histórica e metodológica // Problemas da história da ciência natural e tecnologia. 1997. Nº 3.
Dicionário de termos filosóficos. Edição científica do Professor V.G. Kuznetsova. M., INFRA-M, 2007, p. 310-311.
As tarefas resolvidas por métodos LP são muito diversas em conteúdo. Mas seus modelos matemáticos são semelhantes e são combinados condicionalmente em três grandes grupos de problemas:
- tarefas de transporte;
- tarefas de planejamento;
Tarefa de transporte
Em duas bases comerciais MAS e NO São 30 conjuntos de móveis, 15 para cada. Todos os móveis precisam ser entregues em duas lojas de móveis, A PARTIR DE e D e em A PARTIR DE você precisa entregar 10 fones de ouvido, e em D- 20. Sabe-se que a entrega de um fone de ouvido da base MAS para a loja A PARTIR DE custa uma unidade monetária, para a loja D- em três unidades monetárias. De acordo com a base NO para lojas A PARTIR DE e D: duas e cinco unidades monetárias. Faça um plano de transporte para que o custo de todo o transporte seja o menor.Por conveniência, marcamos essas tarefas em uma tabela. Na intersecção das linhas e colunas encontram-se os números que caracterizam o custo do respectivo transporte (Tabela 3.1).
Tabela 3.1
Vamos fazer um modelo matemático do problema.
As variáveis devem ser inseridas. A redação da pergunta diz que é necessário elaborar um plano de transporte. Denotado por X 1 , X 2 número de fones de ouvido transportados da base MAS para lojas A PARTIR DE e D respectivamente, e através no 1 , no 2 - o número de fones de ouvido transportados da base NO para lojas A PARTIR DE e D respectivamente. Em seguida, a quantidade de móveis retirados do armazém MAS, é igual a ( X 1 + X 2) bem do estoque NO - (no 1 + no 2). Necessidade da loja A PARTIR DEé igual a 10 fones de ouvido, e eles trouxeram ( X 1 + no 1) peças, ou seja, X 1 + no 1 = 10. Da mesma forma, para a loja D temos X 2 + no 2 = 20. Observe que as necessidades das lojas são exatamente iguais ao número de headsets em estoque, então X 1 + no 2 = 15 e no 1 + no 2 = 15. Se você retirar menos de 15 conjuntos dos armazéns, as lojas não terão móveis suficientes para atender às suas necessidades.
Então as variáveis X 1 , X 2 , no 1 , no 2 são não negativos no significado do problema e satisfazem o sistema de restrições:
(3.1)
Denotando através F custos de envio, vamos contá-los. para o transporte de um conjunto de móveis de MAS dentro A PARTIR DE passar um dia. unidades, para transporte x 1 conjuntos - x 1 dia unidades Da mesma forma, para o transporte x 2 conjuntos de MAS dentro D custo 3 x 2 dias unidades; a partir de NO dentro A PARTIR DE - 2y 1 dia unidades, de NO dentro D - 5y 2 dias unidades
Então,
F = 1x 1 + 3x 2 + 2y 1 + 5y 2 → min (3,2)
(queremos que o custo total de envio seja o mais baixo possível).
Vamos formular o problema matematicamente.
No conjunto de soluções do sistema de restrições (3.1), encontre uma solução que minimize a função objetivo F(3.2), ou encontre o plano ótimo ( x 1 , x 2, y 1 , y 2) determinado pelo sistema de restrições (3.1) e pela função objetivo (3.2).
O problema que consideramos pode ser representado de forma mais geral, com qualquer número de fornecedores e consumidores.
No problema que consideramos, a disponibilidade de carga dos fornecedores (15 + 15) é igual à necessidade total dos consumidores (10 + 20). Tal modelo é chamado fechado, e a tarefa correspondente é transporte equilibrado tarefa.
Nos cálculos econômicos, os chamados modelos abertos, nos quais a igualdade indicada não é observada, também desempenham um papel significativo. Ou a oferta de fornecedores é maior que a demanda dos consumidores, ou a demanda excede a disponibilidade de bens. observe que então o sistema de restrições do problema de transporte desequilibrado, juntamente com as equações, também incluirá desigualdades.
Perguntas para autocontrole
1. Apresentação do problema de transporte. descrever a construção de um modelo matemático.
2. O que é um problema de transporte equilibrado e desequilibrado?
3. O que é calculado na função objetivo da tarefa de transporte?
4. O que cada desigualdade do sistema de restrições do problema do plano reflete?
5. O que cada desigualdade do sistema de restrições do problema da mistura reflete?
6. O que as variáveis significam no problema do plano e no problema da mistura?
O conceito de modelo e simulação.
Modelo em sentido amplo- é qualquer imagem, análoga de uma imagem mental ou estabelecida, descrição, diagrama, desenho, mapa, etc. de qualquer volume, processo ou fenômeno, utilizada como seu substituto ou representante. O próprio objeto, processo ou fenômeno é chamado de original desse modelo.
Modelagem - este é o estudo de qualquer objeto ou sistema de objetos construindo e estudando seus modelos. Este é o uso de modelos para determinar ou refinar as características e racionalizar as formas de construir objetos recém-construídos.
Qualquer método de pesquisa científica é baseado na ideia de modelagem, ao mesmo tempo, vários tipos de signo, modelos abstratos são usados em métodos teóricos e modelos de assunto são usados em experimentais.
No estudo, um fenômeno real complexo é substituído por alguma cópia ou esquema simplificado, às vezes tal cópia serve apenas para lembrar e reconhecer o fenômeno desejado na próxima reunião. Às vezes, o esquema construído reflete algumas características essenciais, permite entender o mecanismo do fenômeno, possibilita prever sua mudança. Diferentes modelos podem corresponder ao mesmo fenômeno.
A tarefa do pesquisador é prever a natureza do fenômeno e o curso do processo.
Às vezes, acontece que um objeto está disponível, mas os experimentos com ele são caros ou levam a sérias consequências ambientais. O conhecimento sobre tais processos é obtido com a ajuda de modelos.
Um ponto importante é que a própria natureza da ciência envolve o estudo não de um fenômeno específico, mas de uma ampla classe de fenômenos relacionados. Implica a necessidade de formular algumas afirmações categóricas gerais, que são chamadas de leis. Naturalmente, com tal formulação, muitos detalhes são negligenciados. Para identificar mais claramente o padrão, eles deliberadamente vão para o embrutecimento, idealização, esquematização, ou seja, eles estudam não o fenômeno em si, mas uma cópia ou modelo mais ou menos exato dele. Todas as leis são leis sobre modelos e, portanto, não é de surpreender que, com o tempo, algumas teorias científicas se tornem inutilizáveis. Isso não leva ao colapso da ciência, pois um modelo foi substituído por outro. mais moderno.
Um papel especial na ciência é desempenhado por modelos matemáticos, material de construção e ferramentas desses modelos - conceitos matemáticos. Eles se acumularam e melhoraram ao longo de milhares de anos. A matemática moderna fornece meios de pesquisa excepcionalmente poderosos e universais. Quase todo conceito em matemática, todo objeto matemático, a partir do conceito de um número, é um modelo matemático. Ao construir um modelo matemático de um objeto ou fenômeno em estudo, distinguem-se aquelas de suas características, características e detalhes, que, por um lado, contêm informações mais ou menos completas sobre o objeto e, por outro, permitem formalização. A formalização matemática significa que as características e detalhes de um objeto podem ser associados a conceitos matemáticos apropriados: números, funções, matrizes e assim por diante. Então as conexões e relações encontradas e assumidas no objeto em estudo entre suas partes e componentes individuais podem ser escritas usando relações matemáticas: igualdades, desigualdades, equações. O resultado é uma descrição matemática do processo ou fenômeno em estudo, ou seja, seu modelo matemático.
O estudo de um modelo matemático está sempre associado a algumas regras de ação sobre os objetos em estudo. Essas regras refletem as relações entre causas e efeitos.
A construção de um modelo matemático é uma etapa central no estudo ou projeto de qualquer sistema. Toda a análise subsequente do objeto depende da qualidade do modelo. Construir um modelo não é um procedimento formal. Depende muito do pesquisador, de sua experiência e gosto, sempre conta com determinado material experimental. O modelo deve ser suficientemente preciso, adequado e conveniente para uso.
Modelagem matemática.
Classificação de modelos matemáticos.
Os modelos matemáticos podem serdeterminado e estocástico .
Determinista modelo e - são modelos em que se estabelece uma correspondência biunívoca entre as variáveis que descrevem um objeto ou fenômeno.
Esta abordagem é baseada no conhecimento do mecanismo de funcionamento dos objetos. O objeto que está sendo modelado é muitas vezes complexo e decifrar seu mecanismo pode ser muito trabalhoso e demorado. Nesse caso, eles procedem da seguinte forma: experimentos são realizados no original, os resultados são processados e, sem se aprofundar no mecanismo e na teoria do objeto modelado, usando os métodos da estatística matemática e da teoria das probabilidades, estabelecem relações entre as variáveis que descrevem o objeto. Neste caso, obtenhaestocástico modelo . NO estocástico modelo, a relação entre as variáveis é aleatória, às vezes acontece fundamentalmente. O impacto de um grande número de fatores, sua combinação leva a um conjunto aleatório de variáveis que descrevem um objeto ou fenômeno. Pela natureza dos modos, o modelo éestatística e dinâmico.
Estatísticamodeloinclui uma descrição das relações entre as principais variáveis do objeto simulado no estado estacionário sem levar em conta a mudança nos parâmetros ao longo do tempo.
NO dinâmicomodelosdescreve a relação entre as principais variáveis do objeto simulado na transição de um modo para outro.
Os modelos são discreto e contínuo, assim como misturado modelo. NO contínuo variáveis tomam valores de um determinado intervalo, emdiscretovariáveis assumem valores isolados.
Modelos lineares- todas as funções e relações que descrevem o modelo são linearmente dependentes das variáveis enão linearpor outro lado.
Modelagem matemática.
Requisitos , apresentado aos modelos.
1. Versatilidade- caracteriza a completude da exibição pelo modelo das propriedades estudadas do objeto real.
- Adequação - a capacidade de refletir as propriedades desejadas do objeto com um erro não superior ao especificado.
- Precisão - é estimada pelo grau de coincidência dos valores das características de um objeto real e os valores dessas características obtidos usando modelos.
- economia - é determinado pelo custo dos recursos de memória do computador e tempo para sua implementação e operação.
Modelagem matemática.
As principais etapas da modelagem.
1. Apresentação do problema.
Determinar o objetivo da análise e as formas de alcançá-lo e desenvolver uma abordagem comum para o problema em estudo. Nesta fase, é necessária uma compreensão profunda da essência da tarefa. Às vezes, não é menos difícil definir corretamente uma tarefa do que resolvê-la. A encenação não é um processo formal, não há regras gerais.
2. O estudo dos fundamentos teóricos e a recolha de informação sobre o objecto do original.
Nesta fase, uma teoria adequada é selecionada ou desenvolvida. Se não estiver presente, são estabelecidas relações causais entre as variáveis que descrevem o objeto. Os dados de entrada e saída são determinados, simplificando suposições são feitas.
3. Formalização.
Consiste em escolher um sistema de símbolos e usá-los para escrever a relação entre os componentes do objeto na forma de expressões matemáticas. É estabelecida uma classe de tarefas, à qual pode ser atribuído o modelo matemático resultante do objeto. Os valores de alguns parâmetros nesta fase podem ainda não estar especificados.
4. Escolha do método de solução.
Nesta etapa, são definidos os parâmetros finais dos modelos, levando em consideração as condições de operação do objeto. Para o problema matemático obtido, um método de solução é selecionado ou um método especial é desenvolvido. Ao escolher um método, o conhecimento do usuário, suas preferências e as preferências do desenvolvedor são levados em consideração.
5. Implementação do modelo.
Tendo desenvolvido um algoritmo, um programa é escrito que é depurado, testado e uma solução para o problema desejado é obtida.
6. Análise das informações recebidas.
A solução recebida e esperada é comparada, o erro de modelagem é controlado.
7. Verificação da adequação de um objeto real.
Os resultados obtidos pelo modelo são comparadosou com as informações disponíveis sobre o objeto, ou um experimento é realizado e seus resultados são comparados com os calculados.
O processo de modelagem é iterativo. Em caso de resultados insatisfatórios das etapas 6. ou 7. é realizado um retorno a uma das etapas iniciais, que poderia levar ao desenvolvimento de um modelo malsucedido. Esta etapa e todas as etapas subsequentes são refinadas, e tal refinamento do modelo ocorre até que resultados aceitáveis sejam obtidos.
Um modelo matemático é uma descrição aproximada de qualquer classe de fenômenos ou objetos do mundo real na linguagem da matemática. O principal objetivo da modelagem é explorar esses objetos e prever os resultados de observações futuras. No entanto, a modelagem também é um método de cognição do mundo circundante, o que possibilita controlá-lo.
A modelagem matemática e o experimento de computador associado são indispensáveis nos casos em que um experimento em escala real é impossível ou difícil por um motivo ou outro. Por exemplo, é impossível estabelecer um experimento em grande escala na história para verificar “o que aconteceria se...” É impossível verificar a correção desta ou daquela teoria cosmológica. Em princípio, é possível, mas pouco razoável, experimentar a propagação de algum tipo de doença, como a peste, ou realizar uma explosão nuclear para estudar suas consequências. No entanto, tudo isso pode ser feito em um computador, tendo previamente construído modelos matemáticos dos fenômenos em estudo.
1.1.2 2. Principais etapas da modelagem matemática
1) Construção do modelo. Nesta fase, algum objeto "não matemático" é especificado - um fenômeno natural, construção, plano econômico, processo de produção etc. Nesse caso, como regra, é difícil uma descrição clara da situação. Primeiramente, são identificadas as principais características do fenômeno e a relação entre elas em nível qualitativo. Em seguida, as dependências qualitativas encontradas são formuladas na linguagem da matemática, ou seja, um modelo matemático é construído. Esta é a parte mais difícil da modelagem.
2) Resolvendo o problema matemático que o modelo leva a. Nesta fase, muita atenção é dada ao desenvolvimento de algoritmos e métodos numéricos para resolver o problema em um computador, com a ajuda dos quais o resultado pode ser encontrado com a precisão necessária e dentro de um tempo aceitável.
3) Interpretação das consequências obtidas do modelo matemático.As consequências derivadas do modelo na linguagem da matemática são interpretadas na linguagem aceita neste campo.
4) Verificação da adequação do modelo.Nesta fase, verifica-se se os resultados do experimento concordam com as consequências teóricas do modelo dentro de uma certa precisão.
5) Modificação do modelo.Nesta fase, ou o modelo se torna mais complexo para se adequar à realidade, ou é simplificado para se chegar a uma solução praticamente aceitável.
1.1.3 3. Classificação do modelo
Os modelos podem ser classificados de acordo com diferentes critérios. Por exemplo, de acordo com a natureza dos problemas a serem resolvidos, os modelos podem ser divididos em funcionais e estruturais. No primeiro caso, todas as grandezas que caracterizam um fenômeno ou objeto são expressas quantitativamente. Ao mesmo tempo, algumas delas são consideradas como variáveis independentes, enquanto outras são consideradas como funções dessas quantidades. Um modelo matemático é geralmente um sistema de equações de vários tipos (diferenciais, algébricas, etc.) que estabelecem relações quantitativas entre as grandezas consideradas. No segundo caso, o modelo caracteriza a estrutura de um objeto complexo, constituído por partes separadas, entre as quais existem certas conexões. Normalmente, essas relações não são quantificáveis. Para construir tais modelos, é conveniente usar a teoria dos grafos. Um grafo é um objeto matemático, que é um conjunto de pontos (vértices) em um plano ou no espaço, alguns dos quais são conectados por linhas (arestas).
De acordo com a natureza dos dados iniciais e dos resultados da previsão, os modelos podem ser divididos em determinísticos e probabilístico-estatísticos. Os modelos do primeiro tipo fornecem previsões definidas e inequívocas. Os modelos do segundo tipo são baseados em informações estatísticas e as previsões obtidas com sua ajuda são de natureza probabilística.
MODELAGEM MATEMÁTICA E COMPUTADORIZAÇÃO GERAL OU MODELOS DE SIMULAÇÃO
Agora, quando a informatização quase universal está ocorrendo no país, pode-se ouvir declarações de especialistas de várias profissões: "Vamos introduzir um computador em nosso país, então todas as tarefas serão resolvidas imediatamente". Este ponto de vista está completamente errado, os próprios computadores não podem fazer nada sem modelos matemáticos de certos processos, e só se pode sonhar com a informatização universal.
Em apoio ao exposto, tentaremos justificar a necessidade de modelagem, incluindo modelagem matemática, revelar suas vantagens no conhecimento e transformação do mundo exterior por uma pessoa, identificar deficiências existentes e passar ... modelagem usando computadores. Mas está tudo em ordem.
Antes de mais nada, vamos responder à pergunta: o que é um modelo?
Um modelo é um objeto material ou representado mentalmente que, no processo de cognição (estudo), substitui o original, mantendo algumas propriedades típicas que são importantes para este estudo.
Um modelo bem construído é mais acessível para pesquisa do que um objeto real. Por exemplo, experimentos com a economia do país para fins educacionais são inaceitáveis, aqui não se pode prescindir de um modelo.
Resumindo o que foi dito, podemos responder à pergunta: para que servem os modelos? Para
- entender como um objeto funciona (sua estrutura, propriedades, leis de desenvolvimento, interação com o mundo exterior).
- aprender a gerenciar um objeto (processo) e determinar as melhores estratégias
- prever as consequências do impacto sobre o objeto.
O que é positivo em qualquer modelo? Ele permite que você obtenha novos conhecimentos sobre o objeto, mas, infelizmente, não é completo em um grau ou outro.
Modeloformulado na linguagem da matemática usando métodos matemáticos é chamado de modelo matemático.
O ponto de partida para sua construção costuma ser alguma tarefa, por exemplo, econômica. Difundido, tanto descritivo quanto matemático de otimização, caracterizando vários processos econômicos e eventos como:
- Alocação de recursos
- corte racional
- transporte
- consolidação de empresas
- planejamento da rede.
Como se constrói um modelo matemático?
- Primeiro, o objetivo e o assunto do estudo são formulados.
- Em segundo lugar, destacam-se as características mais importantes correspondentes a este objetivo.
- Em terceiro lugar, as relações entre os elementos do modelo são descritas verbalmente.
- Além disso, o relacionamento é formalizado.
- E o cálculo é realizado de acordo com o modelo matemático e a análise da solução obtida.
Usando este algoritmo, você pode resolver qualquer problema de otimização, incluindo um multicritério, ou seja, aquele em que não um, mas vários objetivos, inclusive contraditórios, são perseguidos.
Vamos dar um exemplo. Teoria das filas - o problema das filas. Você precisa equilibrar dois fatores - o custo de manutenção dos dispositivos de serviço e o custo de permanecer na linha. Tendo construído uma descrição formal do modelo, os cálculos são feitos usando métodos analíticos e computacionais. Se o modelo for bom, então as respostas encontradas com sua ajuda são adequadas ao sistema de modelagem; se for ruim, então deve ser melhorado e substituído. O critério de adequação é a prática.
Os modelos de otimização, incluindo os multicritérios, têm uma propriedade comum - sabe-se que um objetivo (ou vários objetivos) é alcançado e que muitas vezes é preciso lidar com sistemas complexos, onde não se trata tanto de resolver problemas de otimização, mas de pesquisar e prever estados dependendo das estratégias de controle escolhidas. E aqui nos deparamos com dificuldades na implementação do plano anterior. Eles são os seguintes:
- um sistema complexo contém muitas conexões entre elementos
- o sistema real é influenciado por fatores aleatórios, é impossível levá-los em conta analiticamente
- a possibilidade de comparar o original com o modelo existe apenas no início e após a aplicação do aparato matemático, pois resultados intermediários podem não ter análogos em um sistema real.
Em conexão com as dificuldades listadas que surgem ao estudar sistemas complexos, a prática exigia um método mais flexível, e apareceu - modelagem de simulação "Modelagem de simulação".
Normalmente, um modelo de simulação é entendido como um conjunto de programas de computador que descreve o funcionamento de blocos individuais de sistemas e as regras de interação entre eles. O uso de variáveis aleatórias torna necessário realizar repetidamente experimentos com um sistema de simulação (em um computador) e posterior análise estatística dos resultados obtidos. Um exemplo muito comum do uso de modelos de simulação é a solução de um problema de filas pelo método de MONTE CARLO.
Assim, o trabalho com o sistema de simulação é um experimento realizado em um computador. Quais são os benefícios?
– Maior proximidade com o sistema real do que modelos matemáticos;
– O princípio do bloco permite verificar cada bloco antes de ser incluído no sistema geral;
– O uso de dependências de natureza mais complexa, não descritas por simples relações matemáticas.
As vantagens listadas determinam as desvantagens
– construir um modelo de simulação é mais longo, mais difícil e mais caro;
– para trabalhar com o sistema de simulação, é necessário ter um computador adequado à aula;
– a interação entre o usuário e o modelo de simulação (interface) não deve ser muito complicada, conveniente e conhecida;
- a construção de um modelo de simulação requer um estudo mais profundo do processo real do que a modelagem matemática.
Surge a pergunta: a modelagem de simulação pode substituir os métodos de otimização? Não, mas os complementa convenientemente. Um modelo de simulação é um programa que implementa algum algoritmo, para otimizar o controle do qual um problema de otimização é resolvido primeiro.
Portanto, nem um computador, nem um modelo matemático, nem um algoritmo para estudá-lo separadamente podem resolver um problema bastante complicado. Mas juntos eles representam a força que permite conhecer o mundo ao seu redor, gerenciá-lo no interesse do homem.
1.2 Classificação do modelo
1.2.1
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1.2.2 Classificação por área de uso (Makarova N.A.)
Treinamento- visual auxiliares, treinadores , oh arrasando programas |
1.2.3 Classificação de acordo com o método de apresentação Makarova N.A.)
Material
modelos- por outro lado
pode ser chamado de sujeito. Eles percebem as propriedades geométricas e físicas do original e sempre têm uma incorporação real. |
1.2.4 Classificação dos modelos dados no livro "Terra da Informática" (Gein A.G.))"...aqui está uma tarefa aparentemente simples: quanto tempo levará para atravessar o deserto de Karakum? Responda, claro depende do modo de viagem. Se um viajar em camelos, então será necessário um termo, outro se for de carro, um terceiro se for de avião. E o mais importante, diferentes modelos são necessários para planejar uma viagem. Para o primeiro caso, o modelo exigido pode ser encontrado nas memórias de famosos exploradores do deserto: afinal, não se pode prescindir de informações sobre oásis e trilhas de camelos. No segundo caso, informações insubstituíveis contidas no atlas de estradas. No terceiro - você pode usar o horário do voo. |
1.2.5 Classificação de modelos dada no manual de A.I. BochkinHá muitas maneiras de classificar .Apresentamos apenas algumas das fundações mais conhecidas e signos: discrição e continuidade, matriz e modelos escalares, modelos estáticos e dinâmicos, modelos analíticos e de informação, modelos sujeito e figurativo-signo, grandes e não-escala... |
