• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. e outros Álgebra e os primórdios da análise: um livro-texto para as séries 10-11 de instituições educacionais gerais.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemática (um manual para candidatos a escolas técnicas).

Com o desenvolvimento da sociedade, a complexidade da produção, a matemática também se desenvolveu. Movimento do simples ao complexo. Do método contábil usual de adição e subtração, com sua repetição repetida, chegaram ao conceito de multiplicação e divisão. A redução da operação de repetição múltipla tornou-se o conceito de exponenciação. As primeiras tabelas da dependência dos números na base e do número de exponenciação foram compiladas no século VIII pelo matemático indiano Varasena. A partir deles, você pode contar o tempo de ocorrência dos logaritmos.

Contorno histórico

O renascimento da Europa no século XVI também estimulou o desenvolvimento da mecânica. T exigiu uma grande quantidade de computação associado à multiplicação e divisão de números de vários dígitos. As mesas antigas fizeram um ótimo serviço. Eles tornaram possível substituir operações complexas por outras mais simples - adição e subtração. Um grande passo à frente foi o trabalho do matemático Michael Stiefel, publicado em 1544, no qual ele percebeu a ideia de muitos matemáticos. Isso tornou possível usar tabelas não apenas para graus na forma de números primos, mas também para racionais arbitrários.

Em 1614, o escocês John Napier, desenvolvendo essas ideias, introduziu pela primeira vez o novo termo "logaritmo de um número". Novas tabelas complexas foram compiladas para calcular os logaritmos de senos e cossenos, bem como tangentes. Isso reduziu muito o trabalho dos astrônomos.

Novas tabelas começaram a aparecer, que foram usadas com sucesso pelos cientistas por três séculos. Muito tempo se passou antes que a nova operação em álgebra adquirisse sua forma final. O logaritmo foi definido e suas propriedades estudadas.

Somente no século XX, com o advento da calculadora e do computador, a humanidade abandonou as antigas tabelas que vinham operando com sucesso ao longo do século XIII.

Hoje chamamos o logaritmo de b para basear a o número x, que é a potência de a, para obter o número b. Isto é escrito como uma fórmula: x = log a(b).

Por exemplo, log 3(9) será igual a 2. Isso é óbvio se você seguir a definição. Se elevarmos 3 à potência de 2, obtemos 9.

Assim, a definição formulada coloca apenas uma restrição, os números aeb devem ser reais.

Variedades de logaritmos

A definição clássica é chamada de logaritmo real e é na verdade uma solução para a equação a x = b. A opção a = 1 é limítrofe e não tem interesse. Nota: 1 para qualquer potência é 1.

Valor real do logaritmo definido somente se a base e o argumento forem maiores que 0, e a base não deve ser igual a 1.

Lugar especial no campo da matemática jogar logaritmos, que serão nomeados dependendo do valor de sua base:

Regras e restrições

A propriedade fundamental dos logaritmos é a regra: o logaritmo de um produto é igual à soma logarítmica. log abp = log a(b) + log a(p).

Como variante desta declaração, será: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), a função quociente é igual à diferença das funções.

É fácil ver pelas duas regras anteriores que: log a(b p) = p * log a(b).

Outras propriedades incluem:

Comente. Não cometa um erro comum - o logaritmo da soma não é igual à soma dos logaritmos.

Por muitos séculos, a operação de encontrar o logaritmo era uma tarefa bastante demorada. Os matemáticos usaram a conhecida fórmula da teoria logarítmica da expansão em um polinômio:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* ((x^n)/n), onde n é um número natural maior que 1, que determina a precisão do cálculo.

Os logaritmos com outras bases foram calculados usando o teorema da transição de uma base para outra e a propriedade do logaritmo do produto.

Como este método é muito trabalhoso e ao resolver problemas práticos difícil de implementar, eles usaram tabelas pré-compiladas de logaritmos, o que acelerou muito todo o trabalho.

Em alguns casos, foram usados ​​gráficos de logaritmos especialmente compilados, que davam menos precisão, mas agilizavam significativamente a busca pelo valor desejado. A curva da função y = log a(x), construída em vários pontos, permite usar a régua usual para encontrar os valores da função em qualquer outro ponto. Por muito tempo, os engenheiros usaram o chamado papel milimetrado para esses fins.

No século XVII, surgiram as primeiras condições auxiliares de computação analógica, que no século XIX adquiriram uma forma acabada. O dispositivo de maior sucesso foi chamado de régua de cálculo. Apesar da simplicidade do dispositivo, sua aparência acelerou significativamente o processo de todos os cálculos de engenharia, e isso é difícil de superestimar. Atualmente, poucas pessoas estão familiarizadas com este dispositivo.

O advento de calculadoras e computadores tornou inútil o uso de quaisquer outros dispositivos.

Equações e desigualdades

As seguintes fórmulas são usadas para resolver várias equações e desigualdades usando logaritmos:

• Transição de uma base para outra: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Como consequência da versão anterior: log a(b) = 1 / log b(a).

Para resolver inequações, é útil saber:

• O valor do logaritmo só será positivo se tanto a base quanto o argumento forem maiores ou menores que um; se pelo menos uma condição for violada, o valor do logaritmo será negativo.
• Se a função logarítmica for aplicada aos lados direito e esquerdo da desigualdade e a base do logaritmo for maior que um, o sinal da desigualdade será preservado; caso contrário, ele muda.

Exemplos de tarefas

Considere várias opções para usar logaritmos e suas propriedades. Exemplos com resolução de equações:

Considere a opção de colocar o logaritmo no grau:

• Tarefa 3. Calcule 25^log 5(3). Solução: nas condições do problema, a notação é semelhante à seguinte (5^2)^log5(3) ou 5^(2 * log 5(3)). Vamos escrever de forma diferente: 5^log 5(3*2), ou o quadrado de um número como argumento de função pode ser escrito como o quadrado da própria função (5^log 5(3))^2. Usando as propriedades dos logaritmos, essa expressão é 3^2. Resposta: como resultado do cálculo, obtemos 9.

Uso pratico

Sendo uma ferramenta puramente matemática, parece muito distante da vida real que o logaritmo de repente se tornou de grande importância na descrição de objetos no mundo real. É difícil encontrar uma ciência onde ela não seja usada. Isso se aplica plenamente não apenas aos campos de conhecimento naturais, mas também às humanidades.

Dependências logarítmicas

Aqui estão alguns exemplos de dependências numéricas:

Mecânica e física

Historicamente, a mecânica e a física sempre se desenvolveram usando métodos de pesquisa matemática e ao mesmo tempo serviram de incentivo para o desenvolvimento da matemática, incluindo os logaritmos. A teoria da maioria das leis da física está escrita na linguagem da matemática. Damos apenas dois exemplos da descrição das leis físicas usando o logaritmo.

É possível resolver o problema de calcular uma quantidade tão complexa como a velocidade de um foguete usando a fórmula de Tsiolkovsky, que lançou as bases para a teoria da exploração espacial:

V = I * ln(M1/M2), onde

• V é a velocidade final da aeronave.
• I é o impulso específico do motor.
• M 1 é a massa inicial do foguete.
• M 2 - massa final.

Outro exemplo importante- este é o uso na fórmula de outro grande cientista, Max Planck, que serve para avaliar o estado de equilíbrio na termodinâmica.

S = k * ln (Ω), onde

• S é uma propriedade termodinâmica.
• k é a constante de Boltzmann.
• Ω é o peso estatístico de diferentes estados.

Química

Menos óbvio seria o uso de fórmulas em química contendo a razão de logaritmos. Aqui estão apenas dois exemplos:

• A equação de Nernst, a condição do potencial redox do meio em relação à atividade das substâncias e a constante de equilíbrio.
• O cálculo de constantes como o índice de autoprólise e a acidez da solução também não está completo sem nossa função.

Psicologia e biologia

E é completamente incompreensível o que a psicologia tem a ver com isso. Acontece que a força da sensação é bem descrita por esta função como a razão inversa do valor da intensidade do estímulo para o valor da intensidade mais baixa.

Após os exemplos acima, não é mais surpreendente que o tema dos logaritmos também seja amplamente utilizado na biologia. Volumes inteiros podem ser escritos sobre formas biológicas correspondentes a espirais logarítmicas.

Outras áreas

Parece que a existência do mundo é impossível sem conexão com essa função, e ela rege todas as leis. Especialmente quando as leis da natureza estão ligadas a uma progressão geométrica. Vale a pena consultar o site MatProfi, e existem muitos exemplos desse tipo nas seguintes áreas de atividade:

A lista poderia ser interminável. Tendo dominado as leis básicas desta função, você pode mergulhar no mundo da sabedoria infinita.

O que é um logaritmo?

Atenção!
Existem adicionais
material na Seção Especial 555.
Para aqueles que fortemente "não muito..."
E para aqueles que "muito...")

O que é um logaritmo? Como resolver logaritmos? Essas perguntas confundem muitos graduados. Tradicionalmente, o tema dos logaritmos é considerado complexo, incompreensível e assustador. Especialmente - equações com logaritmos.

Isso absolutamente não é verdade. Absolutamente! Não acredito? Bom. Agora, por cerca de 10 a 20 minutos você:

1. Entenda o que é um logaritmo.

2. Aprenda a resolver toda uma classe de equações exponenciais. Mesmo que você não tenha ouvido falar deles.

3. Aprenda a calcular logaritmos simples.

Além disso, para isso você só precisará conhecer a tabuada e como um número é elevado a uma potência...

Eu sinto que você duvida ... Bem, mantenha o tempo! Vai!

Primeiro, resolva mentalmente a seguinte equação:

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Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Testes com verificação instantânea. Aprendendo - com interesse!)

você pode se familiarizar com funções e derivadas.

Em relação a

a tarefa de encontrar qualquer um dos três números dos outros dois, dados, pode ser definida. Dado a e então N é encontrado por exponenciação. Se N são dados e então a é encontrado extraindo a raiz da potência x (ou exponenciação). Agora considere o caso em que, dados a e N, é necessário encontrar x.

Seja o número N positivo: o número a é positivo e não igual a um: .

Definição. O logaritmo do número N na base a é o expoente ao qual você precisa elevar a para obter o número N; o logaritmo é denotado por

Assim, na igualdade (26.1), o expoente é encontrado como o logaritmo de N na base a. Entradas

têm o mesmo significado. A igualdade (26.1) às vezes é chamada de identidade básica da teoria dos logaritmos; na verdade, expressa a definição do conceito de logaritmo. Por esta definição, a base do logaritmo a é sempre positiva e diferente da unidade; o número logarítmico N é positivo. Números negativos e zero não têm logaritmos. Pode-se provar que qualquer número com uma dada base tem um logaritmo bem definido. Portanto, a igualdade implica . Observe que a condição é essencial aqui, caso contrário a conclusão não seria justificada, pois a igualdade é verdadeira para quaisquer valores de x e y.

Exemplo 1. Encontre

Solução. Para obter o número, você precisa elevar a base 2 à potência Portanto.

Você pode gravar ao resolver esses exemplos da seguinte forma:

Exemplo 2. Encontre .

Solução. Nós temos

Nos exemplos 1 e 2, encontramos facilmente o logaritmo desejado ao representar o número logaritmável como um grau de base com um expoente racional. No caso geral, por exemplo, para etc., isso não pode ser feito, pois o logaritmo tem um valor irracional. Prestemos atenção a uma questão relacionada a esta afirmação. No § 12, demos o conceito da possibilidade de determinar qualquer potência real de um dado número positivo. Isso foi necessário para a introdução de logaritmos, que, em geral, podem ser números irracionais.

Considere algumas propriedades dos logaritmos.

Propriedade 1. Se o número e a base são iguais, então o logaritmo é igual a um e, inversamente, se o logaritmo é igual a um, então o número e a base são iguais.

Prova. Let Pela definição do logaritmo, temos e de onde

Por outro lado, seja Então por definição

Propriedade 2. O logaritmo da unidade para qualquer base é igual a zero.

Prova. Pela definição do logaritmo (a potência zero de qualquer base positiva é igual a um, veja (10.1)). Daqui

Q.E.D.

A afirmação inversa também é verdadeira: se , então N = 1. De fato, temos .

Antes de declarar a seguinte propriedade dos logaritmos, vamos concordar em dizer que dois números a e b estão do mesmo lado de um terceiro número c se ambos forem maiores que c ou menores que c. Se um desses números for maior que c e o outro for menor que c, dizemos que eles estão em lados opostos de c.

Propriedade 3. Se o número e a base estiverem do mesmo lado da unidade, então o logaritmo é positivo; se o número e a base estiverem em lados opostos da unidade, então o logaritmo é negativo.

A prova da propriedade 3 baseia-se no fato de que o grau de a é maior que um se a base for maior que um e o expoente for positivo, ou a base for menor que um e o expoente for negativo. O grau é menor que um se a base for maior que um e o expoente for negativo, ou a base for menor que um e o expoente for positivo.

Há quatro casos a serem considerados:

Limitamo-nos à análise do primeiro deles, o leitor considerará o resto por conta própria.

Seja então o expoente em igualdade nem negativo nem igual a zero, portanto, é positivo, ou seja, o que precisava ser provado.

Exemplo 3. Descubra quais dos seguintes logaritmos são positivos e quais são negativos:

Solução, a) visto que o número 15 e a base 12 estão localizados do mesmo lado da unidade;

b) , visto que 1000 e 2 estão localizados do mesmo lado da unidade; ao mesmo tempo, não é essencial que a base seja maior que o número logarítmico;

c), visto que 3,1 e 0,8 estão em lados opostos da unidade;

G); porque?

e); porque?

As seguintes propriedades 4-6 são frequentemente chamadas de regras do logaritmo: elas permitem, conhecendo os logaritmos de alguns números, encontrar os logaritmos de seu produto, quociente, grau de cada um deles.

Propriedade 4 (a regra para o logaritmo do produto). O logaritmo do produto de vários números positivos em uma determinada base é igual à soma dos logaritmos desses números na mesma base.

Prova. Sejam dados números positivos.

Para o logaritmo de seu produto, escrevemos a igualdade (26.1) definindo o logaritmo:

A partir daqui encontramos

Comparando os expoentes da primeira e da última expressões, obtemos a igualdade necessária:

Observe que a condição é essencial; o logaritmo do produto de dois números negativos faz sentido, mas neste caso temos

Em geral, se o produto de vários fatores for positivo, seu logaritmo será igual à soma dos logaritmos dos módulos desses fatores.

Propriedade 5 (regra do logaritmo do quociente). O logaritmo de um quociente de números positivos é igual à diferença entre os logaritmos do dividendo e do divisor, tomados na mesma base. Prova. Encontre consistentemente

Q.E.D.

Propriedade 6 (regra do logaritmo do grau). O logaritmo da potência de qualquer número positivo é igual ao logaritmo desse número vezes o expoente.

Prova. Escrevemos novamente a identidade principal (26.1) para o número:

Q.E.D.

Consequência. O logaritmo da raiz de um número positivo é igual ao logaritmo do número raiz dividido pelo expoente da raiz:

Podemos provar a validade deste corolário apresentando como e usando a propriedade 6.

Exemplo 4. Logaritmo para basear a:

a) (supõe-se que todos os valores b, c, d, e sejam positivos);

b) (supõe-se que ).

Solução, a) É conveniente passar nesta expressão para potências fracionárias:

Com base nas igualdades (26,5)-(26,7) podemos agora escrever:

Observamos que operações mais simples são realizadas nos logaritmos dos números do que nos próprios números: ao multiplicar os números, seus logaritmos são adicionados, ao dividir, eles são subtraídos, etc.

É por isso que os logaritmos têm sido usados ​​na prática computacional (ver Seção 29).

A ação inversa ao logaritmo é chamada de potenciação, a saber: potenciação é a ação pela qual este próprio número é encontrado pelo logaritmo dado de um número. Em essência, a potenciação não é uma ação especial: trata-se de elevar a base a uma potência (igual ao logaritmo do número). O termo "potenciação" pode ser considerado sinônimo do termo "exponenciação".

Na potenciação, é necessário utilizar as regras inversas às regras do logaritmo: substituir a soma dos logaritmos pelo logaritmo do produto, a diferença dos logaritmos pelo logaritmo do quociente, etc. qualquer fator na frente do sinal do logaritmo, então durante a potenciação deve ser transferido para os graus do indicador sob o sinal do logaritmo.

Exemplo 5. Encontre N se for conhecido que

Solução. Em conexão com a regra de potenciação que acabamos de dizer, os fatores 2/3 e 1/3, que estão na frente dos sinais dos logaritmos do lado direito desta igualdade, serão transferidos para os expoentes sob os sinais desses logaritmos; Nós temos

Agora substituímos a diferença de logaritmos pelo logaritmo do quociente:

para obter a última fração dessa cadeia de igualdades, liberamos a fração anterior da irracionalidade no denominador (seção 25).

Propriedade 7. Se a base for maior que um, então o número maior tem um logaritmo maior (e o menor tem um logaritmo menor), se a base for menor que um, então o número maior tem um logaritmo menor (e o menor tem um logaritmo menor). um tem um maior).

Esta propriedade também é formulada como uma regra para o logaritmo das desigualdades, ambas as partes das quais são positivas:

Ao tomar o logaritmo de inequações de base maior que um, o sinal da desigualdade é preservado, e ao tomar um logaritmo de base menor que um, o sinal da inequação é invertido (ver também item 80).

A prova é baseada nas propriedades 5 e 3. Considere o caso em que Se , então e, tomando o logaritmo, obtemos

(a e N/M estão do mesmo lado da unidade). Daqui

Caso a segue, o leitor descobrirá por si mesmo.