Existe uma fórmula maravilhosa que permite contar área do polígono na grade de coordenadas quase sem erros. Não é nem uma fórmula, é real teorema. À primeira vista, pode parecer complicado. Mas é o suficiente para resolver algumas tarefas - e você entenderá como esse recurso é legal. Então vá em frente!

Vamos começar com uma nova definição:

Um nó de pilha de coordenadas é qualquer ponto que se encontra na interseção das linhas verticais e horizontais desta grade.

Designação:

Na primeira foto, os nós não estão marcados. O segundo tem 4 nós. Por fim, na terceira foto, todos os 16 nós estão marcados.

O que isso tem a ver com o problema B5? O fato é que os vértices do polígono em tais problemas sempre situam-se nos nós da rede. Como consequência, o seguinte teorema funciona para eles:

Teorema. Considere um polígono em uma grade de coordenadas cujos vértices estão nos nós dessa grade. Então a área do polígono é:

onde n é o número de nós dentro do polígono dado, k é o número de nós que se encontram em seu limite (nós de fronteira).

Como exemplo, considere um triângulo comum em uma grade de coordenadas e tente marcar os nós internos e limites.

A primeira foto mostra um triângulo comum. Na segunda foto, seus nós internos são marcados, cujo número é n = 10. Na terceira foto, os nós situados na borda são marcados, há k = 6 deles no total.

Talvez muitos leitores não entendam como contar os números n e k. Comece com nós internos. Tudo é óbvio aqui: pintamos o triângulo com um lápis e vemos quantos nós estão sombreados.

Com nós de limite, é um pouco mais complicado. borda poligonal - linha quebrada fechada, que intercepta a grade de coordenadas em muitos pontos. A maneira mais fácil é marcar algum ponto "de partida" e depois contornar o resto.

Os nós de fronteira serão apenas os pontos na polilinha em que eles se cruzam simultaneamente três linhas:

1. Na verdade, uma linha quebrada;
2. Linha de grade horizontal;
3. Linha vertical.

Vamos ver como tudo funciona em problemas reais.

Uma tarefa. Encontre a área de um triângulo se o tamanho da célula for 1 x 1 cm:

Primeiro, vamos marcar os nós que ficam dentro do triângulo, bem como em sua borda:

Acontece que há apenas um nó interno: n = 1. Existem seis nós de fronteira: três coincidem com vértices triangulares, e mais três estão nas laterais. Total k = 6.

Agora calculamos a área usando a fórmula:

Isso é tudo! Problema resolvido.

Uma tarefa. Encontre a área de um quadrilátero desenhado em papel quadriculado com um tamanho de célula de 1 cm por 1 cm. Dê sua resposta em centímetros quadrados.

Novamente, marcamos os nós interno e limite. Existem n = 2 nós internos. Nós de fronteira: k = 7, dos quais 4 são vértices do quadrilátero, e mais 3 estão nas laterais.

Resta substituir os números n e k na fórmula da área:

Preste atenção no último exemplo. Este problema foi realmente proposto no trabalho de diagnóstico em 2012. Se você trabalhar de acordo com o esquema padrão, terá que fazer muitas construções adicionais. E pelo método dos nós, tudo é resolvido quase oralmente.

Nota importante sobre as áreas

Mas a fórmula não é tudo. Vamos reescrever um pouco a fórmula, trazendo os termos do lado direito a um denominador comum. Nós temos:

Os números n e k são o número de nós, são sempre inteiros. Portanto, o numerador inteiro também é um inteiro. Dividimos por 2, o que implica um fato importante:

A área é sempre expressa número inteiro ou fração. Além disso, no final da fração há sempre “cinco décimos”: 10,5; 17,5 etc

Assim, a área do problema B5 é sempre expressa como um inteiro ou uma fração da forma ***.5. Se a resposta for diferente, significa que um erro foi cometido em algum lugar. Tenha isso em mente quando você fizer o exame real de matemática!

Eles são leves, vazados, com um padrão claro de nó de malha apenas quando são feitos de um fio uniforme e liso (sem fiapos): é uma linha de pesca de corda, fios de linho e lã altamente torcida. Ao diminuir ou aumentar a distância entre os nós, as redes são tecidas em torno de objetos tridimensionais, repetindo exatamente sua forma. Mas acima de tudo, a textura monótona e discreta da grade é usada como plano de fundo para o padrão principal.

Existem certas regras para tecer redes:

• quanto maiores as folgas entre os fios pendurados na base, mais delicada a malha;
• o número de fios pendurados na urdidura deve ser um múltiplo do número de fios em um nó;
• fios nodulares e de trabalho de nós tecidos em padrão quadriculado mudam de lugar após cada linha, portanto, são consumidos uniformemente;
• o número de linhas é contado a partir da borda lateral da grade (de cima para baixo) ao longo dos nós extremos, dado que os nós das linhas ímpares estão localizados na borda e as linhas pares são movidas mais profundamente;
• o número de fios pendurados depende do motivo do padrão (o motivo é um certo número de nós que se repetem ritmicamente no padrão).

Uma grade de nós simples (Fig. 164, a).

As extremidades dos fios pendurados para tecer a rede devem ser 2 vezes maiores que a altura do produto acabado. Você pode trabalhar da direita para a esquerda e da esquerda para a direita.

Prenda 4 fios de 1 m de comprimento na base a uma distância de 2-3 cm um do outro, dobrando-os ao meio (8 fios despejados).

1ª linha - recuando 1 cm da base, dê um nó simples esquerdo em cada par de fios (Fig. 164, b) e prenda-os ao meio com um alfinete - resultou em 4 nós (Fig. 164, c ).

2ª carr - separe o fio mais à esquerda e nos próximos 2 (1 fio dos nós da 1ª carr) dê um nó simples esquerdo, recuando 2-3 cm da 1ª carr. , colocando-os no mesmo nível do 1º nó. O último segmento mais à direita permaneceu livre. Foram formados 3 nós, que são escalonados em relação aos nós da 1ª linha.

Esses nós também são presos ao travesseiro.

3ª carr - tricotar 1 fio livre extremo e 2-3 cm abaixo da 2ª carr, dar um nó simples em cada par de fios. 4 nós foram formados (como na 1ª linha).

4ª carr - tecer como 2ª, tentando manter distâncias iguais entre as carr.

Figura 164, 165 e 166:

Para evitar que a malha escorregue no travesseiro, não se esqueça de prender os nós com alfinetes - isso ajudará a evitar linhas tortas. Certifique-se de que os fios soltos ao longo das bordas da malha tenham o mesmo tamanho em todas as linhas.

A malha pode ser tecida em um círculo se você amarrar as extremidades da urdidura. Nesse caso, não há fios livres, pois todos os fios estão envolvidos na tecelagem de cada linha.

Uma grade de nós simples entrelaçados (Fig. 165, a).

Neste padrão, 2 nós simples são amarrados a cada 2 fios, entrelaçando-os: primeiro, o nó simples direito é amarrado (não firmemente) no fio esquerdo, depois o fio direito é puxado para dentro do laço do nó solto (Fig. 165, b) e o nó simples esquerdo é amarrado enquanto aperta o nó direito. Ambos os nós devem se entrelaçar simetricamente (Fig. 165, c) - esse entrelaçamento é chamado de "nó de amor".

Uma grade de nós de gravata (Fig. 166).

O número de pontas dos fios pendurados é múltiplo de 2. Seu comprimento deve ser 2 vezes a altura da rede.

Grades de nós armênios.

O cálculo para um conjunto de fios é o mesmo da grade anterior, se os nós forem amarrados em 2 fios (Fig. 167, a). Outra versão do padrão (Fig. 167, b): nós em linhas ímpares são feitos em 3 fios, em pares - em 2. O número de extremidades dos fios pendurados neste padrão deve ser dividido por 3. Seu comprimento é não é o mesmo (Fig. 168): os fios curtos têm a mesma altura da grade, os longos devem ser 2 vezes maiores.

Esquema 167-168:

Redes de nós de laço.

Eles são openwork ou mais densos dependendo do número de nós em cada link: quanto menos nós, mais densa a malha.

Grade de Nós Únicos à Direita

(denso - Fig. 169). O número de extremidades dos fios pendurados é um múltiplo de 2, seu comprimento deve ser 2 vezes a altura da grade.

Esquema 169-172:

Para uma malha de nós unilaterais triplos

(todos os 3 à direita) - fig. 170, o número de extremidades dos fios pendurados é um múltiplo de 4. O comprimento dos fios ímpares deve ser igual à altura da grade, os pares - 2,5 vezes mais.

Malha a céu aberto de uma combinação de nós de laço direito e esquerdo

(Fig. 171) são feitos de fios 2,5 vezes maiores que sua altura, seu número deve ser divisível por 2.

Grade a céu aberto com células quadradas

(Fig. 172) são tecidas a partir de correntes de "cobras", cada uma das quais consiste em 4-6 nós de laço. "Cobras" são conectadas em pares com um nó duplo plano. O número de pontas dos fios pendurados para a rede é um múltiplo de 4, seu comprimento deve ser 3 vezes a altura da rede.

Grades de nós "tatting".

Os nós neles são amarrados com um único fio (Fig. 173, a) e um fio duplo (Fig. 173, b). O comprimento dos fios pendurados nessas duas redes deve ser 3 vezes a altura da rede. O número de extremidades para a primeira malha deve ser divisível por 2, para a segunda - por 4.

Esquema 173-176:

Grade-meshka de nós "tatting" (figo. 174).

É tecido alternando os nós de tatting direito e esquerdo: em linhas ímpares, a cada 2 fios são amarrados com um nó esquerdo, em linhas pares, nós direitos são amarrados nos mesmos nós, usando fios de trabalho do nó oposto da linha anterior . Neste caso, os nós não estão dispostos em um padrão quadriculado, mas em linhas verticais um abaixo do outro. O número de pontas dos fios pendurados é um múltiplo de 2 mais 1 para simetria, os fios com nós devem ser iguais ao comprimento da malha, os fios de trabalho devem ser 2,5 vezes mais longos.

Grades de nós de repetições.

Eles são tecidos usando nós rep diagonais e verticais.

Ao tecer uma grade com células grandes (Fig. 175, a), linhas ímpares são realizadas a cada 2 fios, amarrando-os com nós diagonais da esquerda para a direita (o fio direito na mão esquerda é atado, o fio esquerdo na direita mão está trabalhando). Nas linhas pares, as funções dos fios mudam: os nós da linha anterior tornam-se funcionais. Os nós são executados da direita para a esquerda.

Se os nós da malha são colocados próximos uns dos outros, então a superfície de tecelagem é finamente preenchida (Fig. 175, b). Essa malha é chamada de tweed e boucle. O número de pontas dos fios pendurados deve ser divisível por 2, seu comprimento deve ser 4 vezes a altura da rede.

Tecendo uma grade com células triangulares de nós de rep vertical

(Fig. 176) é semelhante a tecer uma noiva horizontal a partir de uma nós de repetição(ver Fig. 38, c).

As extremidades dos fios pendurados devem ter o mesmo comprimento que a malha, seu número deve ser divisível por 2. Antes do trabalho, todos os fios são divididos em 2 - nodulares e, na 1ª linha, um fio adicional como fio de trabalho é inserido em cada par de fios, um nó rep vertical (da direita para a esquerda). Na linha seguinte, os fios com nós são redistribuídos em um padrão quadriculado e cada par de fios com nós é trançado da esquerda para a direita. O fio de trabalho para tecelagem pode ser cortado conforme necessário.

Grades de nós planos.

Eles são muito populares na tecelagem. Alguns deles se assemelham a rendas, outros, muito densos, vêm com uma intrincada trama de fios.

Uma malha densa de nós planos simples é tecida, amarrando os nós próximos uns dos outros. A grade pode ser mais rara e estampada (Fig. 177) se cada elo for tecido com vários nós (deve haver o suficiente para que a toutinegra gire na borda).

O número de pontas dos fios pendurados para ambas as redes é um múltiplo de 4. O comprimento das pontas para a primeira rede deve ser 3 vezes e para a segunda rede 5 vezes a sua altura.

Esquema 177-180:

Grade de nós planos duplos - "tabuleiro de damas" (Fig. 178)

Tem uma textura mais clara se as barras transversais de todos os nós estiverem localizadas em um lado. O número de pontas dos fios pendurados é um múltiplo de 4. Seu comprimento deve ser 4 vezes a altura da rede.

A estrutura do nó plano duplo permite tecer uma rede sem pendurar fios na urdidura. Em vez disso, são usados ​​alfinetes: os fios são dobrados ao meio, presos com um laço até o travesseiro e nós duplos planos são amarrados a cada 4 deles (Fig. 179).

Esta técnica é usada ao tecer roupas, xales, ou seja, quando uma borda elástica é necessária.

Para tecer uma malha de nós planos duplos emparelhados em 6 fios

(Fig. 180) as extremidades dos fios pendurados devem ser 3 vezes maiores que a altura da grade e seu número deve ser divisível por 6. Primeiro, um nó duplo plano é amarrado nos 4 fios do meio (2, 3, 4 e 5) e os operários são retirados dos fios (2º e 5º), depois ata o 2º nó nos mesmos fios atados (3º e 4º) livres (1º e 6º). Começando e terminando a próxima linha, os primeiros e últimos 3 fios são levados para os lados, os fios do meio são redistribuídos em seis.

Pelo mesmo princípio, uma grade de nós planos duplos conectados por 3 é tecida (Fig. 181). O número de extremidades dos fios pendurados é um múltiplo de 8, seu comprimento deve ser 2-3 vezes a altura da rede.

Uma malha de bitolas a céu aberto (Fig. 182) é realizada no mesmo número de fios que a anterior, mas os fios são redistribuídos após 2 grupos de 3 nós serem amarrados nos mesmos nodulares com intervalo entre grupos de 0,5 cm.

Esquema 181-184:

Em uma grade de nós planos duplos - "polotnyanka"

(Fig. 183) - os nós não são escalonados, mas um sob o outro. O número de extremidades dos fios pendurados é um múltiplo de 4, seu comprimento deve ser 3 vezes a altura da rede.

Grid-merezhka

(Fig. 184) é realizado cruzando os fios de trabalho em cada fileira. O comprimento dos fios de trabalho é 4-6 vezes maior que os fios nodulares, o comprimento dos fios nodulares é igual à altura da malha. O número de pontas dos fios pendurados na base deve ser divisível por 4. Certifique-se de que a trama dos fios de trabalho seja a mesma em todos os lugares: direita sobre esquerda.

Para malha com células grandes de nós planos duplos

(Fig. 185) o número de pontas dos fios pendurados é um múltiplo de 6 mais 4 fios para a simetria do padrão, o comprimento dos fios atados (2, 3, 5 e 6) deve ser igual à altura de a grade, os fios de trabalho (1º e 4º) em 2 vezes mais.

Esquema 185-188

Para uma malha de nós planos triplos

(Fig. 186) o número de pontas dos fios pendurados é um múltiplo de 4, seu comprimento deve ser 4 vezes a altura da grade.

Para uma grade de nós complexos planos

(Fig. 187) o número de pontas dos fios pendurados é um múltiplo de 6, seu comprimento deve ser 4 vezes a altura da grade.

Para malha com "moscas"

(Fig. 188) o número de extremidades dos fios pendurados deve ser divisível por 4, seu comprimento deve ser 3,5-4 vezes a altura da rede. A "mosca" é tecida a partir de 4 fios (1º e 4º - trabalhadores, 2º e 3º - atados): primeiro, o único nó liso esquerdo é amarrado, depois o nó simples direito é amarrado a 2 nós (Fig. 189, um ) e sob eles - um nó duplo plano com uma barra transversal esquerda (Fig. 189, b). Se as "moscas" forem realizadas em fios grossos, em vez de um nó plano duplo, um único nó plano direito é amarrado (Fig. 189, c).

Esquema 189-191

Grade de nós chineses (Fig. 190).

O número de pontas dos fios pendurados é um múltiplo de 2, seu comprimento deve ser 3 vezes a altura da malha (veja a técnica de amarração do nó na Fig. 139, a, b). Se você pendurar os fios, alternando-os em cores, as fileiras ímpares da grade serão de nós de duas cores e as fileiras pares serão de uma cor (Fig. 191).

Grade de nós "Josephine" (Fig. 192).

É melhor executá-lo a partir de feixes de fios ou fios únicos, mas grossos. O número de pontas dos fios pendurados é um múltiplo de 2, seu comprimento deve ser 4 vezes a altura da rede.

Esquema 192-193:

Grade de tranças (Fig. 193).

É bastante complicado na execução, pois ao tecer é difícil manter a mesma distância entre as tranças. O número de extremidades dos fios pendurados é um múltiplo de 2, seu comprimento deve ser de 4 a 5 vezes a altura da rede.

Fragmentos de malha geométrica.

O ritmo dos nós da grade é facilmente reconstruído em formas geométricas: hexágonos (Fig. 194, a), triângulos (Fig. 194, b), losangos (Fig. 194, c).

A técnica de tecê-los é muito simples. Por exemplo, se um triângulo for tecido, no início e no final de cada nova linha, 2 fios extremos não serão tricotados e haverá 1 nó a menos na linha do que na anterior. Então, tecer até restar apenas 1 nó. Para tecer um triângulo, a distribuição de nós em linhas é indicada por números, por exemplo, 3, 2, 1. Se um losango for executado, eles começam com 1 nó: 1 nó duplo plano é amarrado em 4 fios do meio, o os fios são distribuídos sob ele por 2 e, adicionando mais 2 livres das bordas, amarre sob o 1º nó 2 linhas duplas planas em um padrão quadriculado. Nas linhas a seguir, eles também anexam

2 fios à esquerda e à direita e, como resultado, a tela se expande após cada linha em 1 nó. Tendo completado a metade superior do losango, teça a inferior. Número de nós em linhas: 1,2, 3,2, 1.

Um exemplo de outra distribuição de nós nas linhas 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1 - de acordo com esta conta, os losangos são tecidos do armênio (Fig. 195, a), rep diagonal (Fig. 195, b) e nós pioneiros (Fig. 195, c) e de correntes planas (Fig. 195, d).

Esquema 194 - 195

Os nós da grade se alinham harmoniosamente em uma horizontal

(Fig. 196, a) e verticais (Fig. 196, b) linhas em ziguezague. É mais conveniente tecer um horizontal com cantos separados e depois conectá-los com um nó usando os fios dos fragmentos adjacentes. Os cantos são tecidos assim: primeiro, o nó central superior é amarrado, depois os fios sob ele são divididos igualmente (por exemplo, 2 cada) e enviados 2 para a esquerda, 2 para a direita. Sob o 1º nó à esquerda, um novo nó é amarrado usando 2 fios esquerdos do 1º nó e 2 fios livres à esquerda. Dê um nó à direita da mesma maneira. Em seguida, teça mais 1 nó à direita e à esquerda, usando 2 fios livres e 2 fios do nó anterior. Então teça diagonalmente para o tamanho desejado do canto com o topo no topo. Ao conectar 2 cantos com vértices direcionados em direções opostas, obtém-se um losango, cujo meio é preenchido com fios livres (Fig. 197, a). De acordo com o mesmo princípio, um hexágono é tecido (Fig. 197, b).

Esquema 196-199

Uma linha diagonal mais densa de nós

(Fig. 198) é obtido se para cada novo nó usar 3 threads do nó anterior (1 nodular, 2 trabalhadores) e 1 livre.

Recepção de conectar a grade com fragmentos de outros padrões.

Uma teia monótona de malha é usada para criar novos padrões. Nas grades, vários fragmentos tecidos aparecem mais em relevo, convexos e expressivos. Como as combinações de correntes, nós e outros elementos são tecidas na grade? Familiarize-se com essas técnicas usando o exemplo de uma grade "tabuleiro de damas" no meio com um nó comum duplo plano (Fig. 199, a).

Primeiro, um esboço de um novo padrão é desenhado e o tamanho e a localização do nó são determinados. Por via de regra, introduz-se em um losango de fios de trabalho livres (Fig. 199, b). A grade é tecida no topo do losango, então os nós não são amarrados onde o losango está marcado: primeiro 1 nó (o topo do losango), na próxima linha mais 2 em um padrão quadriculado, depois 3 nós e assim até que a largura desejada do losango seja obtida. Depois disso, um nó comum é amarrado. Quanto mais fios sobrarem para o nó, mais eficaz ele será (ao amarrar, não o incline: o centro do nó deve coincidir com o centro do losango). Endireite os fios sob o nó e teça a metade inferior do losango, incluindo gradualmente 2 fios extremos do nó comum no trabalho.