Navegação da página.

O método das parábolas (Simpson) - a essência do método, fórmula, estimativa de erro, ilustração.

Seja a função y = f(x) contínua no intervalo e precisamos calcular a integral definida .

Vamos dividir o segmento em n segmentos elementares de comprimento por pontos. Sejam os pontos os pontos médios dos segmentos, respectivamente. Nesse caso, todos os "nós" são determinados a partir da igualdade.

A essência do método da parábola.

Em cada intervalo, o integrando é aproximado por uma parábola quadrática passando pelos pontos. Daí o nome do método - o método das parábolas.

Isso é feito para tomar como um valor aproximado de uma integral definida , que podemos calcular usando a fórmula de Newton-Leibniz. Isso é o que essência do método da parábola.

Geometricamente fica assim:

Ilustração gráfica do método da parábola (Simpson).

A linha vermelha mostra o gráfico da função y=f(x) , a linha azul mostra a aproximação do gráfico da função y=f(x) por parábolas quadráticas em cada segmento elementar da partição.

Derivação da fórmula do método Simpson (parábolas).

Em virtude da quinta propriedade da integral definida, temos .

Para obter a fórmula do método da parábola (Simpson), temos que calcular .

Vamos (sempre podemos chegar a isso realizando a transformação geométrica apropriada para qualquer i = 1, 2, ..., n ).

Vamos fazer um desenho.

Vamos mostrar que apenas uma parábola quadrática passa pelos pontos . Em outras palavras, provamos que os coeficientes são definidos de forma única.

Como são os pontos da parábola, cada uma das equações do sistema é válida

O sistema de equações escrito é um sistema de equações algébricas lineares em variáveis ​​desconhecidas. O determinante da matriz principal deste sistema de equações é o determinante de Vandermonde , e é diferente de zero para pontos não coincidentes . Isso indica que o sistema de equações tem uma solução única (isso é discutido no artigo), ou seja, os coeficientes são determinados de maneira única e uma única parábola quadrática passa pelos pontos.

Vamos prosseguir para encontrar a integral .

Obviamente:

Usamos essas igualdades para fazer a última transição na seguinte cadeia de igualdades:

Assim, você pode obter a fórmula do método da parábola:

Fórmula do método Simpson (parábolas) tem a forma
.

Estimativa do erro absoluto do método de Simpson.

Erro absoluto do método de Simpson classificado como .

Exemplos de cálculo aproximado de integrais definidas pelo método de Simpson (parábolas).

Analisemos a aplicação do método de Simpson (parábolas) no cálculo aproximado de integrais definidas.

Normalmente existem dois tipos de tarefas:

Surge uma pergunta lógica: "Com que grau de precisão realizar cálculos intermediários"?

A resposta é simples - a precisão dos cálculos intermediários deve ser suficiente. Cálculos intermediários devem ser realizados com uma precisão de 3-4 ordens de grandeza maior que a ordem de . Além disso, a precisão dos cálculos intermediários depende do número n - quanto maior n, mais precisamente os cálculos intermediários devem ser realizados.

Exemplo.

Calcule a integral definida usando o método de Simpson, dividindo o segmento de integração em 5 partes.

Solução.

Da condição sabemos que a = 0; b = 5; n = 5 .

A fórmula do método Simpson (parábolas) tem a forma . Para aplicá-lo, precisamos calcular o passo , determinar os nós e calcular os valores correspondentes do integrando .

Os cálculos intermediários serão realizados com precisão de quatro casas decimais (arredondado para a quinta casa decimal).

Então vamos calcular o passo .

Vamos passar para os nós e os valores das funções neles:

Para maior clareza e conveniência, resumimos os resultados em uma tabela:

Substituímos os resultados obtidos na fórmula do método da parábola:

Tomamos especificamente uma integral definida, que pode ser calculada usando a fórmula de Newton-Leibniz, para comparar os resultados.

Os resultados correspondem a centésimos.

Exemplo.

Calcular Integral Definido pelo método de Simpson com uma precisão de 0,001.

Solução.

No nosso exemplo, a = 0 , .

Em primeiro lugar, precisamos definir n. Para fazer isso, nos voltamos para a desigualdade para estimar o erro absoluto do método de Simpson. Podemos dizer que se encontrarmos n para o qual a desigualdade valerá , então ao usar o método da parábola para calcular a integral definida original, o erro absoluto não excederá 0,001. A última desigualdade pode ser reescrita como .

Vamos descobrir qual é o valor máximo do módulo da quarta derivada do integrando no intervalo de integração.

é um intervalo , e o segmento de integração contém pontos extremos, então .

Substituímos o valor encontrado na desigualdade e resolvemos:

Porque n é um número natural (este é o mesmo número de segmentos em que o segmento de integração é dividido), então podemos tomar n = 5, 6, 7, ... Para não fazer cálculos desnecessários, tomamos n = 5 .

Agora agimos como no exemplo anterior. Nos cálculos intermediários, arredondaremos para a sexta ordem.

Calcule o passo .

Encontramos os nós e os valores do integrando neles:

Combinamos os resultados dos cálculos em uma tabela:

Substituímos os valores na fórmula do método da parábola:

Assim, usando o método de Simpson, um valor aproximado de uma integral definida é obtido preciso de 0,001.

De fato, tendo calculado a integral original usando a fórmula de Newton-Leibniz, obtemos

Comente.

Encontrar é difícil em muitos casos. Você pode contornar isso adotando uma abordagem alternativa ao uso do método da parábola. Seu princípio é descrito na seção do método trapézio, portanto, não o repetiremos.

Que método deve ser usado para integração numérica?

A precisão do método de Simpson (parábolas) é maior que a precisão do método de retângulos e trapézios para um dado n (isso pode ser visto a partir da estimativa de erro absoluto), então seu uso é preferível.

Deve-se lembrar que o erro computacional afeta o resultado para n grande, o que pode afastar o valor aproximado do exato.

(1710-1761).

Vamos considerar um segmento. Sejam conhecidos os valores da função real f(x) nos pontos a, (a+b)/2, b. Existe um único polinômio de 2º grau p 2 (x) cujo gráfico passa pelos pontos (a, f(a)), ((a+b)/2,f((a+b)/2), (b, f(b)). Fórmula de Simpsoné chamado de integral deste polinômio no intervalo:

O método de Simpson tem uma ordem de erro de 4 e uma ordem algébrica de precisão de 3.

Erro ao integrar sobre o segmento [ uma,b] com passo hé determinado pela fórmula:

,

Onde é o máximo da quarta derivada da função.

Além disso, se for impossível estimar o erro usando o máximo da quarta derivada (por exemplo, ele não existe em um determinado intervalo ou tende ao infinito), uma estimativa mais aproximada pode ser usada:

,

Onde é o máximo da terceira derivada da função.

Links

• Kostomarov D. P., Favorsky A. P. "Introductory Lectures on Numerical Methods"

Fundação Wikimedia. 2010.

• Método Runge-Kutta
• Método de Fibonacci para encontrar um extremo

Veja o que é o "Método Simpson" em outros dicionários:

Fórmula de Simpson- A essência do método é a aproximação da função f (x) (gráfico azul) por um polinômio quadrático P (x) (vermelho) Fórmula de Simpson (também ... Wikipedia

MÉTODO ROMBERG- A regra de Romberg, um método para calcular uma integral definida com base na extrapolação de Richardson. Calcule o valor I de um determinado funcional, enquanto o valor aproximado calculado T(h) depende do parâmetro h, de modo que em ... ... Enciclopédia Matemática

Integração numérica- (nome histórico: quadratura (numérico)) cálculo do valor de uma integral definida (geralmente aproximada). A integração numérica é entendida como um conjunto de métodos numéricos para encontrar o valor de uma determinada integral. Numérico ... ... Wikipédia

Fórmulas de quadratura

Fórmula de quadratura- Uma integral definida como a área de uma figura Integração numérica (nome histórico: quadratura) cálculo do valor de uma integral definida (geralmente aproximada), com base no fato de que o valor da integral é numericamente igual a a área ... ... Wikipedia

Fórmula retangular- Uma integral definida como a área de uma figura Integração numérica (nome histórico: quadratura) cálculo do valor de uma integral definida (geralmente aproximada), com base no fato de que o valor da integral é numericamente igual a a área ... ... Wikipedia

Fórmula Retângulo- Uma integral definida como a área de uma figura Integração numérica (nome histórico: quadratura) cálculo do valor de uma integral definida (geralmente aproximada), com base no fato de que o valor da integral é numericamente igual a a área ... ... Wikipedia

Fórmula trapezoidal- Uma integral definida como a área de uma figura Integração numérica (nome histórico: quadratura) cálculo do valor de uma integral definida (geralmente aproximada), com base no fato de que o valor da integral é numericamente igual a a área ... ... Wikipedia

NASCIMENTO- NASCIMENTO. Conteúdos: I. Definição do conceito. Mudanças no corpo durante R. Causas do aparecimento de R .............................. 109 II. Corrente clínica de R. fisiológica. 132 Sh. Mecânica R................. 152 IV. P inicial .............. 169 V ... Grande Enciclopédia Médica

Cálculo integral- um ramo da matemática que estuda as propriedades e métodos de cálculo de integrais e suas aplicações. Eu e. está intimamente relacionado ao cálculo diferencial (ver. cálculo diferencial) e junto com ele constitui uma das partes principais ... ... Grande Enciclopédia Soviética

Vamos dividir o segmento de integração [ uma, b] para um número par n partes iguais em incrementos h. Em cada segmento [ X 0, X 2], [X 2, X 4],..., [x i-1, x i+1],...,[ x n-2, x n] integrando f(X) é substituído por um polinômio de interpolação de segundo grau:

Os coeficientes desses trinômios quadrados podem ser encontrados a partir das condições para a igualdade do polinômio nos pontos dos dados tabulares correspondentes. Pode ser tomado como o polinômio de interpolação de Lagrange do segundo grau que passa pelos pontos :

A soma das áreas elementares e (Fig. 3.3) pode ser calculada usando uma certa integral. Levando em conta as igualdades, obtemos

-

Arroz. 3.3. Ilustração para o Método Simpson

Tendo realizado esses cálculos para cada segmento elementar , somamos as expressões resultantes:

Esta expressão para Sé tomado como o valor de uma integral definida:

(3.35)

A razão resultante é chamada Fórmula de Simpson ou fórmula da parábola.

Esta fórmula também pode ser obtida de outras maneiras, por exemplo, aplicando o método trapezoidal duas vezes ao particionar o segmento [ uma, b] em partes com etapas h e 2 h ou combinando as fórmulas de retângulos e trapézios (ver Seção 3.2.6).

Às vezes, a fórmula de Simpson é escrita usando índices de meio inteiro. Neste caso, o número de segmentos de partição P arbitrário (não necessariamente uniforme), e a fórmula de Simpson é

(3.36)

É fácil ver que a fórmula (3.36) coincide com (3.35) se a fórmula (3.35) for aplicada ao número de segmentos de partição 2 n e passo h/2.

Exemplo. Calcule a integral usando o método de Simpson

Valores da função em n = 10, h = 0,1 são dados na tabela. 3.3. Aplicando a fórmula (3.35), encontramos

O resultado da integração numérica usando o método de Simpson acabou sendo o mesmo que o valor exato (seis algarismos significativos).

Um dos algoritmos possíveis para calcular uma integral definida usando o método de Simpson é mostrado na Fig. 3.4. Os limites do intervalo de integração [ uma, b],erro ε, bem como a fórmula para calcular os valores do integrando y=f(x) .

Arroz. 3.4. Algoritmo do método Simpson

Inicialmente, o segmento é dividido em duas partes com uma etapa h =(b- a)/2. O valor da integral é calculado EU 1. Em seguida, o número de etapas é dobrado, o valor é calculado EU 2 em incrementos h/2. A condição de fim de contagem é considerada como . Se essa condição não for atendida, ocorre uma nova divisão da etapa pela metade e assim por diante.

Observe que mostrado na Fig. 3.4 o algoritmo não é o ideal: ao calcular cada aproximação EU 2 valores de função não são usados f(x), já encontrado no passo anterior. Algoritmos mais econômicos serão discutidos na Sec. 3.2.7.

Para construir a fórmula de Simpson, primeiro consideramos o seguinte problema: calcule a área S de um trapézio curvilíneo limitado de cima pelo gráfico da parábola y \u003d Ax 2 + Bx + C, da esquerda pela linha reta x \u003d - h, da direita pela linha reta x \u003d h e de baixo pelo segmento [-h; h]. Deixe a parábola passar por três pontos (Fig. 8): D (-h; y 0) E (0; y 1) e F (h; y 2), e x 2 - x 1 = x 1 - x 0 = h. Consequentemente,

x 1 \u003d x 0 + h \u003d 0; x 2 = x 0 + 2h.

Então a área S é igual à integral:

Expressamos essa área em termos de h, y 0 , y 1 e y 2 . Para fazer isso, calculamos os coeficientes da parábola A, B, C. Da condição de que a parábola passe pelos pontos D, E e F, temos:

Resolvendo este sistema, obtemos: C = y 1 ; A=

Substituindo esses valores A e C em (3), obtemos a área desejada

Passemos agora à derivação da fórmula de Simpson para calcular a integral

Para fazer isso, dividimos o segmento de integração em 2n partes iguais de comprimento

Nos pontos de divisão (Fig. 4). a \u003d x 0, x 1, x 2, ..., x 2n-2, x 2n-1, x 2n \u003d b,

Calculamos os valores do integrando f: y 0 , y 1 , y 2 , ...,y 2n-2 , y 2n-1 , y 2n , de y i = f(x i), x i = a + ih (i = 0, 1, 2,...,2n).

No segmento, substituímos o integrando por uma parábola que passa pelos pontos (x 0; y 0), (x 1; y 1) e (x 2; y 2), e calculamos o valor aproximado da integral a partir de x 0 a x 2, usamos a fórmula (4). Então (a área sombreada na Fig. 4):

Da mesma forma, encontramos:

................................................

Somando as igualdades resultantes, temos:

A fórmula (5) é chamada fórmula de Simpson generalizada ou fórmula da parábola, pois ao derivá-lo, o gráfico do integrando em um segmento parcial de comprimento 2h é substituído por um arco de parábola.

Atribuição de trabalho:

1. Conforme indicado pelo professor ou de acordo com uma opção do mesas 4 tarefas (ver Apêndice) para tomar as condições - o integrando, os limites da integração.

2. Elabore um fluxograma do programa e um programa que deve:

Solicitar a precisão do cálculo de uma integral definida, os limites inferior e superior de integração;

Calcule a integral dada pelos métodos: para as opções 1,4,7, 10… - direita, para as opções 2,5,8,… - média; para as opções 2,5,8,… - retângulos à esquerda. Emita o número de partições do intervalo de integração em que a precisão de cálculo especificada é alcançada;

Calcule a integral dada usando o método trapézio (para opções pares) e o método de Simpson (para opções ímpares).

Emita o número de partições do intervalo de integração em que a precisão de cálculo especificada é alcançada;

Emita os valores da função de controle para o valor dado do argumento e compare com os valores calculados da integral. Concluir.

perguntas do teste

1. O que é uma integral definida?

2. Por que, juntamente com os métodos analíticos, são usados ​​métodos numéricos para calcular integrais definidas.

3. Qual é a essência dos principais métodos numéricos para o cálculo de integrais definidas.

4. Influência do número de partições na precisão do cálculo de uma integral definida por métodos numéricos.

5. Como calcular a integral por qualquer método com uma determinada precisão?

Neste método, propõe-se aproximar o integrando em um intervalo parcial por uma parábola que passa pelos pontos
(xj, f(xj)), Onde j = eu-1; eu-0.5; eu, ou seja, aproximamos o integrando pelo polinômio de interpolação de Lagrange de segundo grau:

(10.14)

Após a integração, temos:

(10.15)

É isso que é fórmula de simpson ou a fórmula das parábolas. No segmento
[a, b] A fórmula de Simpson assume a forma

(10.16)

Uma representação gráfica do método de Simpson é mostrada na fig. 2.4.

Arroz. 10.4. Método Simpson

Vamos nos livrar dos índices fracionários na expressão (2.16) renomeando as variáveis:

(10.17)

Então a fórmula de Simpson assume a forma

(10.18)

O erro da fórmula (2.18) é estimado pela seguinte expressão:

, (10.19)

Onde h n = BA, . Assim, o erro da fórmula de Simpson é proporcional a O(h 4).

Comente. Deve-se notar que na fórmula de Simpson, o segmento de integração é necessariamente dividido em até número de intervalos.

10.5. Cálculo de integrais definidas por métodos
Monte Carlo

Os métodos discutidos anteriormente são chamados determinista , isto é, desprovido do elemento do acaso.

Métodos de Monte Carlo(MMK) são métodos numéricos para resolver problemas matemáticos por meio da modelagem de variáveis ​​aleatórias. O MCM permite resolver com sucesso problemas matemáticos causados ​​por processos probabilísticos. Além disso, ao resolver problemas que não estão associados a nenhuma probabilidade, pode-se criar artificialmente um modelo probabilístico (e até mais de um) que permita resolver esses problemas. Considere o cálculo da integral definida

(10.20)

Ao calcular essa integral usando a fórmula dos retângulos, o intervalo [ a, b] dividido em N intervalos idênticos, no meio dos quais foram calculados os valores do integrando. Ao calcular os valores da função em nós aleatórios, você pode obter um resultado mais preciso:

(10.21)

(10.22)

Aqui γ i é um número aleatório uniformemente distribuído no intervalo
. O erro no cálculo da integral MMK ~ , que é muito maior que o dos métodos determinísticos estudados anteriormente.

Na fig. 2.5 mostra uma implementação gráfica do método de Monte Carlo para calcular uma única integral com nós aleatórios (2.21) e (2.22).

(2.23)

Arroz. 10.6. Integração Monte Carlo (2º caso)

Como visto na fig. 2.6, a curva integral está no quadrado unitário e, se pudermos obter pares de números aleatórios uniformemente distribuídos no intervalo, os valores obtidos (γ 1, γ 2) podem ser interpretados como as coordenadas de um ponto no quadrado unitário. Então, se houver um número suficiente desses pares de números, podemos supor aproximadamente que
. Aqui Sé o número de pares de pontos que caem sob a curva, e Né o número total de pares de números.

Exemplo 2.1. Calcule a seguinte integral:

O problema foi resolvido por vários métodos. Os resultados obtidos estão resumidos na tabela. 2.1.

Tabela 2.1

Comente. A escolha da integral tabular permitiu comparar o erro de cada método e descobrir a influência do número de partições na precisão dos cálculos.

11 SOLUÇÃO APROXIMADA DE NÃO LINEAR
E EQUAÇÕES TRANSCENDENTES