Dispersão variável aleatória contínua X, cujos valores possíveis pertencem a todo o eixo Ox, é determinada pela igualdade: 
Atribuição de serviço. A calculadora online foi projetada para resolver problemas em que densidade de distribuição f(x) , ou função de distribuição F(x) (ver exemplo). Normalmente em tais tarefas é necessário encontrar expectativa matemática, desvio padrão, plote as funções f(x) e F(x).
Instrução. Selecione o tipo de dados de entrada: densidade de distribuição f(x) ou função de distribuição F(x) .
A densidade de distribuição f(x) é dada: 
A função de distribuição F(x) é dada: 
Uma variável aleatória contínua é definida por uma densidade de probabilidade 
(Lei de distribuição Rayleigh - usada em engenharia de rádio). Encontre M(x), D(x).
A variável aleatória X é chamada contínuo
, se sua função de distribuição F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
A função de distribuição de uma variável aleatória contínua é usada para calcular as probabilidades de uma variável aleatória cair em um determinado intervalo:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
além disso, para uma variável aleatória contínua, não importa se seus limites estão incluídos neste intervalo ou não:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Densidade de distribuição
variável aleatória contínua é chamada de função
f(x)=F'(x) , derivada da função de distribuição.
Propriedades de densidade de distribuição
1. A densidade de distribuição de uma variável aleatória é não negativa (f(x) ≥ 0) para todos os valores de x.2. Condição de normalização:
O significado geométrico da condição de normalização: a área sob a curva de densidade de distribuição é igual a um.
3. A probabilidade de acertar uma variável aleatória X no intervalo de α a β pode ser calculada pela fórmula
Geometricamente, a probabilidade de que uma variável aleatória contínua X caia no intervalo (α, β) é igual à área do trapézio curvilíneo sob a curva de densidade de distribuição com base nesse intervalo.
4. A função de distribuição é expressa em termos de densidade da seguinte forma:
O valor da densidade de distribuição no ponto x não é igual à probabilidade de tomar esse valor; para uma variável aleatória contínua, só podemos falar sobre a probabilidade de cair em um determinado intervalo. Deixe (4)
Onde uma e b não necessariamente finito. Por exemplo, para o módulo do vetor velocidade de uma molécula de gás VО dentro de toda a faixa de valores possíveis, ou seja, x O [ x,x+ D x] O [ uma, b] (5)
Então a probabilidade D C(x, D x) exitos x no intervalo (5) é igual a
Aqui Né o número total de medidas x, e D n(x, D x) é o número de resultados que se enquadram no intervalo (5).
Probabilidade D C naturalmente depende de dois argumentos: x– posições do intervalo dentro de [ uma, b] e D xé o seu comprimento (supõe-se, embora não seja necessário, que D x> 0). Por exemplo, a probabilidade de obter o valor exato x, ou seja, a probabilidade de acertar x em um intervalo de comprimento zero é a probabilidade de um evento impossível e, portanto, é igual a zero: D C(x, 0) = 0
Por outro lado, a probabilidade de obter o valor x em algum lugar (não importa onde) dentro de todo o intervalo [ uma, b] é a probabilidade de um determinado evento (algo sempre acontece) e, portanto, é igual a um (supõe-se que b > uma):D C(uma, b – uma) = 1.
Deixe D x alguns. O critério de pequenez suficiente depende das propriedades específicas do sistema descrito pela distribuição de probabilidade D C(x, D x). Se D x pequeno, então a função D C(x, D x) pode ser expandido em uma série em potências de D x:
Se desenharmos um gráfico de dependência D C(x, D x) do segundo argumento D x, então substituir a dependência exata pela expressão aproximada (7) significa substituir (em uma pequena área) a curva exata por um pedaço de parábola (7).
Em (7), o primeiro termo é exatamente igual a zero, o terceiro e os termos subsequentes, se D for suficientemente pequeno, x pode ser omitida. Introdução de notação
dá um resultado importante D C(x, D x) » r( x) D x (8)
Relação (8), que é mais precisa, quanto menor D x significa que para um intervalo curto, a probabilidade de cair nesse intervalo é proporcional ao seu comprimento.
Você ainda pode ir de um pequeno mas final D x para formalmente infinitesimal dx, com a substituição simultânea de D C(x, D x) no dW(x). Então a igualdade aproximada (8) se transforma na exata dW(x) = r( x)· dx(9)
Coeficiente de proporcionalidade r( x) tem um significado simples. Como pode ser visto em (8) e (9), r( x) é numericamente igual à probabilidade de acertar x em um intervalo de unidade de comprimento. Portanto, um dos nomes da função r( x) é a densidade de distribuição de probabilidade para a variável x.
Função r( x) contém todas as informações sobre como a probabilidade dW(x) exitos x no intervalo de um determinado comprimento dx depende da localização desse intervalo, ou seja, mostra como a probabilidade é distribuída x. Portanto, a função r( x) é comumente chamada de função de distribuição para a variável x e, assim, a função de distribuição para aquele sistema físico, com o objetivo de descrever o espectro de estados dos quais a variável foi introduzida x. Os termos "densidade de probabilidade" e "função de distribuição" são usados alternadamente em física estatística.
Podemos considerar uma generalização da definição de probabilidade (6) e função de distribuição (9) para o caso, por exemplo, de três variáveis. A generalização para o caso de um número arbitrariamente grande de variáveis é feita exatamente da mesma maneira.
Deixe o estado de um sistema físico variando aleatoriamente no tempo ser determinado pelos valores de três variáveis x, y e z com espectro contínuo:
x O [ uma, b]
y O [ c, d]
z O [ e, f] (10)
Onde uma, b,…, f, como antes, não são necessariamente finitos. Variáveis x, y e z podem ser, por exemplo, as coordenadas do centro de massa de uma molécula de gás, as componentes do seu vetor velocidade x YU Vx, y YU V y e z YU Vz ou impulso, etc. Um evento é entendido como a ocorrência simultânea de todas as três variáveis em intervalos de comprimento D x, D y e D z respectivamente, ou seja:
x O [ x, x+ D x]
y O [ y, y+ D y]
z O [ z, z+ D z] (11)
A probabilidade de um evento (11) pode ser determinada de forma semelhante a (6)
com a diferença que agora D n- número de medidas x, y e z, cujos resultados satisfazem simultaneamente as relações (11). Usando uma expansão em série semelhante a (7) dá
dW(x, y, z) = r( x, y, z)· dx dy dz(13)
onde r( x, y, z) é a função de distribuição para três variáveis ao mesmo tempo x, y e z.
Na teoria matemática da probabilidade, o termo "função de distribuição" é usado para denotar uma quantidade diferente de r( x), a saber: seja x algum valor de uma variável aleatória x. A função Ф(x), que dá a probabilidade de que x assume um valor não maior que x e é chamada de função de distribuição. As funções r e Ф têm significados diferentes, mas estão relacionadas. Usando o teorema da adição de probabilidade dá (aqui umaé a extremidade esquerda do intervalo de valores possíveis x (cm. TEORIA DA PROBABILIDADE: , (14) de onde
Usando a relação aproximada (8) dá D C(x, D x) » r( x) D x.
A comparação com a expressão exata (15) mostra que usar (8) é equivalente a substituir a integral em (16) pelo produto do integrando r( x) pelo comprimento do intervalo de integração D x:
A relação (17) será exata se r = const, portanto, o erro ao substituir (16) por (17) será pequeno quando o integrando mudar ligeiramente ao longo do intervalo de integração D x.
Você pode inserir D x efé o comprimento do intervalo no qual a função de distribuição r( x) muda significativamente, ou seja. por um valor da ordem da própria função, ou a quantidade Dr ef ordem do módulo r. Usando a fórmula de Lagrange, podemos escrever:
de onde segue que D x ef para qualquer função r
A função de distribuição pode ser considerada "quase constante" ao longo de um determinado intervalo de mudança do argumento se seu incremento |Dr| nesse intervalo, o valor absoluto é muito menor que a própria função nos pontos desse intervalo. Requisito |Dr| ef| ~ r (função de distribuição r і 0) dá
D x x ef (20)
o comprimento do intervalo de integração deve ser pequeno comparado àquele em que o integrando muda significativamente. A ilustração é a fig. 1.
A integral do lado esquerdo de (17) é igual à área sob a curva. O produto do lado direito de (17) é a área sombreada na Fig. 1 coluna. O critério para a pequenez da diferença entre as áreas correspondentes é o cumprimento da desigualdade (20). Isso pode ser verificado substituindo na integral (17) os primeiros termos da expansão da função r( x) em uma série em potências
A exigência de que a correção (o segundo termo do lado direito de (21) seja comparado com o primeiro seja pequena dá a desigualdade (20) com D x ef de (19).
Exemplos de várias funções de distribuição que desempenham um papel importante na física estatística.
Distribuição de Maxwell para a projeção do vetor velocidade de uma molécula em uma determinada direção (por exemplo, esta é a direção do eixo BOI).
Aqui mé a massa de uma molécula de gás, T- sua temperatura ké a constante de Boltzmann.
Distribuição de Maxwell para o módulo do vetor velocidade:
Distribuição de Maxwell para a energia do movimento translacional das moléculas e = mV 2/2
Distribuição de Boltzmann, mais precisamente, a chamada fórmula barométrica, que determina a distribuição da concentração de moléculas ou pressão do ar em altura h de algum “nível zero” sob a suposição de que a temperatura do ar não depende da altura (modelo de atmosfera isotérmica). De fato, a temperatura nas camadas mais baixas da atmosfera cai visivelmente com o aumento da altitude.
Para encontrar as funções de distribuição de variáveis aleatórias e suas variáveis, é necessário estudar todas as características deste campo do conhecimento. Existem vários métodos diferentes para encontrar os valores em questão, incluindo alterar uma variável e gerar um momento. Distribuição é um conceito baseado em elementos como dispersão, variações. No entanto, eles caracterizam apenas o grau de alcance de espalhamento.
As funções mais importantes das variáveis aleatórias são aquelas relacionadas, independentes e igualmente distribuídas. Por exemplo, se X1 é o peso de um indivíduo selecionado aleatoriamente de uma população masculina, X2 é o peso de outro, ..., e Xn é o peso de mais uma pessoa da população masculina, então precisamos saber como função aleatória X é distribuída. Neste caso, aplica-se o teorema clássico chamado teorema do limite central. Ela nos permite mostrar que para n grande a função segue distribuições padrão.
Funções de uma variável aleatória
O teorema do limite central é projetado para aproximar valores discretos em questão, como binomial e Poisson. As funções de distribuição de variáveis aleatórias são consideradas, em primeiro lugar, em valores simples de uma variável. Por exemplo, se X é uma variável aleatória contínua com sua própria distribuição de probabilidade. Neste caso, exploramos como encontrar a função densidade de Y usando duas abordagens diferentes, a saber, o método da função de distribuição e a mudança na variável. Primeiro, apenas valores um para um são considerados. Então você precisa modificar a técnica de alterar a variável para encontrar sua probabilidade. Finalmente, é preciso aprender como a distribuição cumulativa pode ajudar a modelar números aleatórios que seguem certos padrões sequenciais.
Método de distribuição dos valores considerados
O método da função de distribuição de probabilidade de uma variável aleatória é aplicável para encontrar sua densidade. Ao usar esse método, um valor cumulativo é calculado. Então, diferenciando-o, você pode obter a densidade de probabilidade. Agora que temos o método da função de distribuição, podemos ver mais alguns exemplos. Seja X uma variável aleatória contínua com uma certa densidade de probabilidade.
Qual é a função densidade de probabilidade de x2? Se você observar ou representar graficamente a função (superior e direita) y \u003d x2, poderá notar que é um X e 0 crescente No último exemplo, muito cuidado foi usado para indexar as funções cumulativas e a densidade de probabilidade com X ou Y para indicar a qual variável aleatória elas pertenciam. Por exemplo, ao encontrar a função de distribuição cumulativa Y, temos X. Se você precisa encontrar uma variável aleatória X e sua densidade, basta diferenciá-la. Seja X uma variável aleatória contínua dada por uma função de distribuição com denominador comum f(x). Nesse caso, se você colocar o valor de y em X = v (Y), obterá o valor de x, por exemplo, v (y). Agora, precisamos obter a função de distribuição de uma variável aleatória contínua Y. Onde a primeira e a segunda igualdade ocorrem a partir da definição de Y cumulativo. A terceira igualdade é válida porque a parte da função para a qual u (X) ≤ y é também é verdade que X ≤ v (Y ). E o último é feito para determinar a probabilidade em uma variável aleatória contínua X. Agora precisamos obter a derivada de FY (y), a função de distribuição cumulativa de Y, para obter a densidade de probabilidade de Y. Seja X uma variável aleatória contínua com f(x) comum definida sobre c1 Para resolver esse problema, dados quantitativos podem ser coletados e uma função de distribuição cumulativa empírica pode ser usada. Com essas informações e apelando para elas, você precisa combinar amostras de médias, desvios padrão, dados de mídia e assim por diante. Da mesma forma, mesmo um modelo probabilístico bastante simples pode ter um grande número de resultados. Por exemplo, se você jogar uma moeda 332 vezes. Então o número de resultados obtidos de flips é maior que o do google (10100) - um número, mas não menos de 100 quintilhões de vezes maior que as partículas elementares no universo conhecido. Não está interessado em uma análise que dê uma resposta a todos os resultados possíveis. Seria necessário um conceito mais simples, como o número de caras ou o golpe mais longo das coroas. Para focar em questões de interesse, um resultado específico é aceito. A definição neste caso é a seguinte: uma variável aleatória é uma função real com um espaço de probabilidade. O intervalo S de uma variável aleatória às vezes é chamado de espaço de estados. Assim, se X é o valor em questão, então N = X2, exp ↵X, X2 + 1, tan2 X, bXc e assim por diante. A última delas, arredondando X para o número inteiro mais próximo, é chamada de função chão. Uma vez determinada a função de distribuição de interesse para uma variável aleatória x, a questão geralmente se torna: "Quais são as chances de que X caia em algum subconjunto de B?" Por exemplo, B = (números ímpares), B = (maior que 1) ou B = (entre 2 e 7) para indicar os resultados que têm X, o valor da variável aleatória, no subconjunto A. Assim, no exemplo acima Por exemplo, você pode descrever os eventos da seguinte maneira. (X é um número ímpar), (X é maior que 1) = (X > 1), (X é entre 2 e 7) = (2 Assim, é possível calcular a probabilidade de que a função de distribuição de uma variável aleatória x tome valores no intervalo subtraindo. Deve-se considerar a inclusão ou exclusão de endpoints. Chamaremos uma variável aleatória discreta se ela tiver um espaço de estados finito ou infinito contável. Assim, X é o número de caras em três lançamentos independentes de uma moeda viciada que sobe com probabilidade p. Precisamos encontrar a função de distribuição cumulativa de uma variável aleatória discreta FX para X. Seja X o número de picos em uma coleção de três cartas. Então Y = X3 via FX. FX começa em 0, termina em 1 e não diminui à medida que os valores de x aumentam. A função de distribuição FX acumulada de uma variável aleatória discreta X é constante, exceto para saltos. Ao saltar o FX é contínuo. É possível provar a afirmação sobre a continuidade correta da função de distribuição a partir da propriedade de probabilidade usando a definição. Parece assim: uma variável aleatória constante tem um FX cumulativo que é diferenciável. Para mostrar como isso pode acontecer, podemos dar um exemplo: um alvo com raio unitário. Presumivelmente. o dardo é distribuído uniformemente sobre a área especificada. Para algum λ> 0. Assim, as funções de distribuição de variáveis aleatórias contínuas aumentam suavemente. FX tem as propriedades de uma função de distribuição. Um homem espera em um ponto de ônibus até que o ônibus chegue. Tendo decidido por si mesmo que ele recusará quando a espera atingir 20 minutos. Aqui é necessário encontrar a função de distribuição cumulativa para T. O tempo em que uma pessoa ainda estará na rodoviária ou não sairá. Apesar do fato de que a função de distribuição cumulativa é definida para cada variável aleatória. Mesmo assim, outras características serão usadas com bastante frequência: a massa para uma variável discreta e a função densidade de distribuição de uma variável aleatória. Normalmente, o valor é emitido por meio de um desses dois valores. Esses valores são considerados pelas seguintes propriedades, que são de caráter geral (massa). A primeira baseia-se no fato de que as probabilidades não são negativas. A segunda decorre da observação de que o conjunto para todo x=2S, o espaço de estados para X, forma uma partição da liberdade probabilística de X. Exemplo: lançamentos de uma moeda viciada cujos resultados são independentes. Você pode continuar a realizar certas ações até obter um lance de cabeças. Seja X uma variável aleatória que fornece o número de coroas na frente da primeira cara. E p denota a probabilidade em qualquer ação dada. Assim, a função de probabilidade de massa tem as seguintes características características. Como os termos formam uma sequência numérica, X é chamado de variável aleatória geométrica. Esquema geométrico c, cr, cr2,. , crn tem uma soma. E, portanto, sn tem um limite como n 1. Neste caso, a soma infinita é o limite. A função de massa acima forma uma sequência geométrica com uma razão. Portanto, os números naturais a e b. A diferença de valores na função de distribuição é igual ao valor da função de massa. Os valores de densidade considerados têm a seguinte definição: X é uma variável aleatória cuja distribuição FX possui uma derivada. FX satisfazendo Z xFX (x) = fX (t) dt-1 é chamada de função de densidade de probabilidade. E X é chamado de variável aleatória contínua. No teorema fundamental do cálculo, a função densidade é a derivada da distribuição. Você pode calcular probabilidades calculando integrais definidas. Como os dados são coletados de múltiplas observações, mais de uma variável aleatória de cada vez deve ser considerada para modelar os procedimentos experimentais. Portanto, o conjunto desses valores e sua distribuição conjunta para as duas variáveis X1 e X2 significa visualizar eventos. Para variáveis aleatórias discretas, são definidas funções de massa probabilísticas conjuntas. Para os contínuos, são considerados fX1, X2, onde a densidade de probabilidade conjunta é satisfeita. Duas variáveis aleatórias X1 e X2 são independentes se quaisquer dois eventos associados a elas forem iguais. Em palavras, a probabilidade de que dois eventos (X1 2 B1) e (X2 2 B2) ocorram ao mesmo tempo, y, é igual ao produto das variáveis acima, de que cada um deles ocorra individualmente. Para variáveis aleatórias discretas independentes, existe uma função de massa probabilística conjunta, que é o produto do volume do íon limitante. Para variáveis aleatórias contínuas que são independentes, a função de densidade de probabilidade conjunta é o produto dos valores de densidade marginal. Finalmente, são consideradas n observações independentes x1, x2. , xn resultante de uma densidade desconhecida ou função de massa f. Por exemplo, um parâmetro desconhecido em funções para uma variável aleatória exponencial que descreve o tempo de espera de um ônibus. O principal objetivo deste campo teórico é fornecer as ferramentas necessárias para desenvolver procedimentos inferenciais baseados em princípios sólidos da ciência estatística. Assim, um caso de uso muito importante para software é a capacidade de gerar pseudo-dados para imitar informações reais. Isso possibilita testar e melhorar os métodos de análise antes de usá-los em bancos de dados reais. Isso é necessário para explorar as propriedades dos dados por meio de modelagem. Para muitas famílias de variáveis aleatórias comumente usadas, o R fornece comandos para gerá-las. Para outras circunstâncias, serão necessários métodos para modelar uma sequência de variáveis aleatórias independentes que tenham uma distribuição comum. Variáveis Aleatórias Discretas e Comando de Amostra. O comando sample é usado para criar amostras aleatórias simples e estratificadas. Como resultado, se uma sequência x for inserida, sample(x, 40) seleciona 40 registros de x de modo que todas as escolhas de tamanho 40 tenham a mesma probabilidade. Isso usa o comando R padrão para busca sem substituição. Também pode ser usado para modelar variáveis aleatórias discretas. Para fazer isso, você precisa fornecer um espaço de estados no vetor x e a função de massa f. Uma chamada para replace = TRUE indica que a amostragem ocorre com substituição. Então, para dar uma amostra de n variáveis aleatórias independentes tendo uma função de massa comum f, a amostra (x, n, replace = TRUE, prob = f) é usada. Determina-se que 1 é o menor valor representado e 4 é o maior de todos. Se o comando prob = f for omitido, a amostra será amostrada uniformemente dos valores no vetor x. Você pode verificar a simulação em relação à função de massa que gerou os dados observando o sinal de igual duplo, ==. E recalculando as observações que levam todos os valores possíveis para x. Você pode fazer uma mesa. Repita isso para 1000 e compare a simulação com a função de massa correspondente. Primeiro, simule funções de distribuição homogênea de variáveis aleatórias u1, u2,. , un no intervalo . Cerca de 10% dos números devem estar dentro de . Isso corresponde a simulações de 10% no intervalo para uma variável aleatória com a função de distribuição FX mostrada. Da mesma forma, cerca de 10% dos números aleatórios devem estar no intervalo . Isso corresponde a simulações de 10% no intervalo de variável aleatória com a função de distribuição FX. Esses valores no eixo x podem ser obtidos tomando o inverso de FX. Se X é uma variável aleatória contínua com densidade fX positiva em todo o seu domínio, então a função de distribuição é estritamente crescente. Neste caso, FX tem uma função inversa de FX-1 conhecida como função quantílica. FX (x) u somente quando x FX-1 (u). A transformação de probabilidade segue da análise da variável aleatória U = FX(X). FX tem um intervalo de 0 a 1. Não pode assumir valores abaixo de 0 ou acima de 1. Para valores de u entre 0 e 1. Se U puder ser modelado, então é necessário simular uma variável aleatória com distribuição FX através de uma função quantílica. Tome a derivada para ver que a densidade u varia dentro de 1. Como a variável aleatória U tem uma densidade constante no intervalo de seus valores possíveis, ela é chamada de uniforme no intervalo . Ele é modelado em R com o comando runif. A identidade é chamada de transformação probabilística. Você pode ver como funciona no exemplo de dardos. X entre 0 e 1, a função de distribuição u = FX(x) = x2 e, portanto, a função de quantil x = FX-1(u). É possível modelar observações independentes da distância do centro do painel de dardos, gerando variáveis aleatórias uniformes U1, U2,. , Un. A função de distribuição e a função empírica são baseadas em 100 simulações da distribuição de um alvo de dardos. Para uma variável aleatória exponencial, presumivelmente u = FX (x) = 1 - exp (- x) e, portanto, x = - 1 ln (1 - u). Às vezes, a lógica consiste em declarações equivalentes. Nesse caso, você precisa concatenar as duas partes do argumento. A identidade de interseção é semelhante para todos os 2 (S i) S, em vez de algum valor. A união Ci é igual ao espaço de estados S e cada par é mutuamente exclusivo. Desde Bi - é dividido em três axiomas. Cada verificação é baseada na probabilidade P correspondente. Para qualquer subconjunto. Usar uma identidade para garantir que a resposta não dependa da inclusão dos pontos de extremidade de intervalo. Para cada resultado em todos os eventos, a segunda propriedade da continuidade de probabilidades é usada em última análise, que é considerada axiomática. A lei de distribuição da função de uma variável aleatória aqui mostra que cada uma tem sua própria solução e resposta. Considere a função F(x), definido em todo o eixo numérico da seguinte forma: para cada X significado F(x)é igual à probabilidade de uma variável aleatória discreta assumir um valor menor que X, ou seja Esta função é chamada função de distribuição de probabilidade, ou brevemente, função de distribuição. Exemplo 1 Encontre a função de distribuição da variável aleatória dada no exemplo 1, item 1. Solução:É claro que se , então F(x)=0, já que não aceita valores menores que um. Se então ; se então . Mas o evento<3 в данном случае является суммой двух несовместных событий: =1 и =2. Следовательно, Então para nós temos F(x)=1/3. Os valores da função nos intervalos e são calculados de forma semelhante. Finalmente, se x>6 então F(x)=1, já que neste caso qualquer valor possível (1, 2, 3, 4, 5, 6)
Menor que x. Gráfico de funções F(x) mostrado na fig. quatro. Exemplo 2 Encontre a função de distribuição da variável aleatória dada no exemplo 2, item 1. Solução:É óbvio que Cronograma F(x) mostrado na fig. 5. Conhecendo a função de distribuição F(x), é fácil encontrar a probabilidade de que uma variável aleatória satisfaça as desigualdades. Mas por definição da função de distribuição F(x)[cm. fórmula (18)], temos Nesse caminho, a probabilidade de uma variável aleatória discreta cair em um intervalo é igual ao incremento da função de distribuição nesse intervalo. Considere as principais propriedades da função de distribuição. 2°. Os valores da função de distribuição satisfazem as desigualdades . 3°. A probabilidade de uma variável aleatória discreta tomar um dos valores possíveis xi é igual ao salto na função de distribuição no ponto xi. Aqueles. significado p(xi) igual a salto de função ** XI. Esta propriedade é claramente ilustrada na Fig. 4 e fig. 5. *Aqui e a seguir, são introduzidas as seguintes notações: 3. Variáveis aleatórias contínuas. Além de variáveis aleatórias discretas, cujos valores possíveis formam uma sequência finita ou infinita de números que não preenchem completamente nenhum intervalo, muitas vezes existem variáveis aleatórias cujos valores possíveis formam um determinado intervalo. Um exemplo de tal variável aleatória é o desvio do valor nominal de um determinado tamanho de uma peça com um processo tecnológico devidamente estabelecido. Esse tipo de variável aleatória não pode ser especificada usando a lei de distribuição de probabilidade p(x). No entanto, eles podem ser especificados usando a função de distribuição de probabilidade F(x). Esta função é definida exatamente da mesma forma que no caso de uma variável aleatória discreta: Assim, aqui também a função F(x) definido no eixo do número inteiro, e seu valor no ponto Xé igual à probabilidade de a variável aleatória assumir um valor menor que X. Com base no significado geométrico da integral como área, podemos dizer que a probabilidade de preencher as desigualdades é igual à área de um trapézio curvilíneo com base
delimitada acima por uma curva (Fig. 6). Desde , e com base na fórmula (22) Observe que, para uma variável aleatória contínua, a função de distribuição F(x) contínuo em qualquer ponto X, onde a função é contínua. Isso decorre do fato de que F(x)é diferenciável nesses pontos. Devido à continuidade da função F(x) nós entendemos isso Consequentemente Nesse caminho, a probabilidade de que uma variável aleatória contínua possa assumir qualquer valor único de x é zero. Eles têm a mesma probabilidade, ou seja. Com efeito, por exemplo, Porque Comente. Como sabemos, se um evento é impossível, então a probabilidade de sua ocorrência é zero. Na definição clássica de probabilidade, quando o número de resultados do teste é finito, a proposição inversa também ocorre: se a probabilidade de um evento for zero, então o evento é impossível, pois neste caso nenhum dos resultados do teste o favorece. No caso de uma variável aleatória contínua, o número de seus valores possíveis é infinito. A probabilidade de que esse valor assuma qualquer valor específico x 1 como vimos, é igual a zero. No entanto, não decorre daí que este evento seja impossível, pois como resultado do teste, a variável aleatória pode, em particular, assumir o valor x 1. Portanto, no caso de uma variável aleatória contínua, faz sentido falar sobre a probabilidade de que a variável aleatória caia no intervalo, e não sobre a probabilidade de ela assumir um determinado valor. A função de distribuição de uma variável aleatória X é a função F(x), expressando para cada x a probabilidade de que a variável aleatória X tome o valor, x menor
Exemplo 2.5. Dada uma série de distribuição de uma variável aleatória Encontre e descreva graficamente sua função de distribuição. Solução. De acordo com a definição F(jc) = 0 para X X F(x) = 0,4 + 0,1 = 0,5 em 4 F(x) = 0,5 + 0,5 = 1 em X > 5. Então (veja a Fig. 2.1): Propriedades da função de distribuição: 1. A função de distribuição de uma variável aleatória é uma função não negativa entre zero e um: 2. A função de distribuição de uma variável aleatória é uma função não decrescente em todo o eixo numérico, ou seja, no X 2
>x 3. Em menos infinito, a função de distribuição é igual a zero, em mais infinito, é igual a um, ou seja. 4. Probabilidade de acertar uma variável aleatória X no intervaloé igual à integral definida de sua densidade de probabilidade variando de uma antes da b(ver Fig. 2.2), ou seja. Arroz. 2.2 3. A função de distribuição de uma variável aleatória contínua (ver Fig. 2.3) pode ser expressa em termos de densidade de probabilidade usando a fórmula: F(x)= Jp(*)*. (2.10) 4. Integral imprópria em limites infinitos da densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua é igual a um: Propriedades geométricas / e 4
densidades de probabilidade significam que seu gráfico é curva de distribuição - não fica abaixo do eixo x, e a área total da figura, curva de distribuição limitada e eixo x, é igual a um. Para uma variável aleatória contínua X valor esperado M(X) e variação D(X) são determinados pelas fórmulas: (se a integral converge absolutamente); ou (se as integrais reduzidas convergirem). Juntamente com as características numéricas mencionadas acima, o conceito de quantis e pontos percentuais é usado para descrever uma variável aleatória. quantil de nível q(ou q-quantil) é tal valorxqvariável aleatória, em que sua função de distribuição toma o valor, igual a q, ou seja De acordo com o exemplo 2.6 encontre o quantil xqj e 30% de ponto variável aleatório x.
Solução. Por definição (2.16) F(xo t3)= 0,3, i.e. ~S~ = 0,3, de onde o quantil x 0 3 = 0,6. 30% de ponto variável aleatório X, ou quantil Х)_о,з = xoj» é encontrado de forma semelhante a partir da equação ^ = 0,7. onde *,= 1,4. ? Entre as características numéricas de uma variável aleatória, existem inicial v* e central R* momentos de ordem k-ésima, determinado para variáveis aleatórias discretas e contínuas pelas fórmulas:Alterando a Técnica de Variáveis
Generalização para a função de redução
Funções de distribuição
Variáveis aleatórias e funções de distribuição
Funções em massa
Variáveis aleatórias independentes
Simulação de variáveis aleatórias
Ilustrando a Transformação de Probabilidade
Função exponencial e suas variáveis
A função de distribuição de probabilidade de uma variável aleatória e suas propriedades.
(18)
Considere o evento em que uma variável aleatória assume um valor menor que . Este evento se decompõe na soma de dois eventos incompatíveis: 1) a variável aleatória assume valores menores que , ou seja, ; 2) a variável aleatória assume valores que satisfazem as desigualdades. Usando o axioma da adição, obtemos
, 
; Portanto,
(19)
1°. A função de distribuição não é decrescente.
De fato, deixe< . Так как вероятность любого события неотрицательна, то 
. Portanto, da fórmula (19) segue que 
, ou seja 
.
Essa propriedade decorre do fato de que F(x) definido como uma probabilidade [cf. fórmula (18)]. É claro que * e .
De fato, deixe XI- o valor tomado pela variável aleatória discreta, e . Assumindo na fórmula (19) , , obtemos
, 
.
** Pode-se mostrar que F(xi)=F(xi-0), ou seja qual é a função F(x) esquerda contínua em um ponto XI.
A fórmula (19) e as propriedades 1° e 2° são válidas para a função de distribuição de qualquer variável aleatória. A prova é realizada de forma semelhante ao caso de uma quantidade discreta.
A variável aleatória é chamada contínuo, se para ele existe uma função contínua por partes não negativa* que satisfaz para quaisquer valores x igualdade
Com base na fórmula (23), assumindo x1 = x, , temos 
Segue-se daí que os eventos que consistem no cumprimento de cada uma das desigualdades
Assim, por exemplo, na fabricação de um rolo, não estamos interessados na probabilidade de que seu diâmetro seja igual ao valor nominal. Para nós, a probabilidade de o diâmetro do rolo não sair da tolerância é importante.
