Para a questão 1. Dê uma definição de linhas paralelas. Quais são os dois segmentos de reta chamados paralelos? dado pelo autor Sasha Nizhevyasov a melhor resposta é que no avião nunca vai se cruzar

Resposta de adaptabilidade[guru]
Linhas paralelas são linhas que estão no mesmo plano e coincidem ou não se cruzam.

Resposta de Naumenko[guru]
segmentos. pertencentes a retas paralelas. são paralelos.
linhas retas no plano chamado. paralelo. se eles não se cruzam ou coincidem.

Resposta de Neurologista[novato]
Duas retas que estão no mesmo plano e não têm ponto comum são chamadas de paralelas.

Resposta de Lançar[mestre]

Resposta de Varvara Lamekina[novato]
duas retas em um plano são ditas paralelas se elas não se cruzam)

Resposta de Maxim Ivanov[novato]
Que não se cruzam no plano.

Resposta de Sem2805[ativo]
duas linhas em um plano são chamadas paralelas se elas não se cruzam (Grau 7)

Resposta de Sasha Klyuchnikov[novato]
Linhas paralelas na geometria euclidiana, linhas que estão no mesmo plano e não se cruzam. Na geometria absoluta, por um ponto que não se encontra em uma determinada linha, passa pelo menos uma linha que não intercepta a linha dada. Na geometria euclidiana, existe apenas uma dessas linhas. Este fato é equivalente ao quinto postulado de Euclides (sobre as paralelas). Na geometria de Lobachevsky (ver geometria de Lobachevsky) no plano através do ponto C (ver figura) fora da linha AB dada há um conjunto infinito de linhas que não interceptam AB. Destes, apenas dois são chamados de paralelos a AB. A linha CE é chamada de paralela à linha AB na direção de A a B se: 1) os pontos B e E estão do mesmo lado da linha AC; 2) a linha CE não intercepta a linha AB; qualquer raio que passa dentro do ângulo ACE intercepta o raio AB. A linha reta CF paralela a AB na direção de B para A é definida de forma semelhante.

Resposta de Anatoly Mishin[novato]
Duas linhas no espaço são chamadas paralelas se estiverem no mesmo plano e não se cruzarem.

Resposta de Ўliya[ativo]
Linhas paralelas são linhas que não se cruzam

Resposta de disse Charakov[novato]
Paralelas são duas retas que estão no mesmo plano e não possuem pontos em comum.
Através de um ponto, apenas uma linha pode ser traçada paralela a um determinado plano.

Resposta de Olga Nemtyreva[novato]
Linhas paralelas são linhas que estão no mesmo plano e coincidem ou não se cruzam. ..Geometria de Lobachevsky) no plano através do ponto C (ver Fig.) fora da linha AB dada passa um conjunto infinito de linhas que não interceptam AB. Destes, apenas dois são chamados de paralelos a AB.

Resposta de Oksana Tyshchenko[novato]
Linhas paralelas são duas linhas em um plano que não se cruzam. Dois segmentos de reta são chamados de paralelos se estiverem em retas paralelas.

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Este artigo é sobre linhas paralelas e sobre linhas paralelas. Em primeiro lugar, é dada a definição de linhas paralelas no plano e no espaço, é introduzida a notação, são apresentados exemplos e ilustrações gráficas de linhas paralelas. Além disso, são analisados ​​os sinais e condições de paralelismo de linhas retas. Em conclusão, são apresentadas soluções para problemas típicos de provar o paralelismo de linhas retas, que são dadas por algumas equações de uma linha reta em um sistema de coordenadas retangulares em um plano e no espaço tridimensional.

Navegação da página.

Linhas paralelas - informações básicas.

Definição.

Duas linhas em um plano são chamadas paralelo se não tiverem pontos comuns.

Definição.

Duas linhas em três dimensões são chamadas paralelo se estiverem no mesmo plano e não tiverem pontos em comum.

Observe que a cláusula "se estiverem no mesmo plano" na definição de linhas paralelas no espaço é muito importante. Vamos esclarecer este ponto: duas linhas retas no espaço tridimensional que não têm pontos comuns e não estão no mesmo plano não são paralelas, mas são enviesadas.

Aqui estão alguns exemplos de linhas paralelas. As bordas opostas da folha do caderno ficam em linhas paralelas. As linhas retas ao longo das quais o plano da parede da casa intercepta os planos do teto e do piso são paralelas. As ferrovias em terreno plano também podem ser consideradas linhas paralelas.

O símbolo "" é usado para denotar linhas paralelas. Ou seja, se as linhas a e b forem paralelas, você poderá escrever brevemente a b.

Observe que se as linhas a e b são paralelas, então podemos dizer que a linha a é paralela à linha b, e também que a linha b é paralela à linha a.

Vamos dar voz a uma afirmação que desempenha um papel importante no estudo das retas paralelas no plano: por um ponto que não pertence a uma reta dada, passa a única reta paralela à dada. Essa afirmação é aceita como um fato (não pode ser provada com base nos axiomas conhecidos da planimetria) e é chamada de axioma das linhas paralelas.

Para o caso no espaço, o teorema é verdadeiro: por qualquer ponto do espaço que não esteja em uma linha dada, passa uma única linha paralela à dada. Este teorema pode ser facilmente provado usando o axioma das linhas paralelas dado acima (você pode encontrar sua demonstração no livro de geometria para as séries 10-11, que está listado no final do artigo na bibliografia).

Para o caso no espaço, o teorema é verdadeiro: por qualquer ponto do espaço que não esteja em uma linha dada, passa uma única linha paralela à dada. Este teorema é facilmente provado usando o axioma das linhas paralelas dado acima.

Paralelismo de linhas - sinais e condições de paralelismo.

Um sinal de linhas paralelasé uma condição suficiente para linhas paralelas, ou seja, tal condição, cujo cumprimento garante linhas paralelas. Em outras palavras, o cumprimento desta condição é suficiente para afirmar o fato de que as linhas são paralelas.

Existem também condições necessárias e suficientes para linhas paralelas no plano e no espaço tridimensional.

Vamos explicar o significado da frase "condição necessária e suficiente para linhas paralelas".

Já tratamos da condição suficiente para linhas paralelas. E qual é a "condição necessária para linhas paralelas"? Pelo nome “necessário” fica claro que o cumprimento desta condição é necessário para que as linhas sejam paralelas. Em outras palavras, se a condição necessária para linhas paralelas não for satisfeita, então as linhas não são paralelas. Nesse caminho, condição necessária e suficiente para que as linhas sejam paralelasé uma condição, cujo cumprimento é necessário e suficiente para linhas paralelas. Ou seja, por um lado, isso é um sinal de linhas paralelas e, por outro lado, essa é uma propriedade que as linhas paralelas possuem.

Antes de declarar a condição necessária e suficiente para que as linhas sejam paralelas, é útil relembrar algumas definições auxiliares.

linha secanteé uma linha que intercepta cada uma das duas linhas não coincidentes dadas.

Na interseção de duas linhas de uma secante, oito linhas não desdobradas são formadas. O assim chamado deitado transversalmente, correspondente e cantos de um lado. Vamos mostrá-los no desenho.

Teorema.

Se duas linhas retas em um plano são cruzadas por uma secante, então para seu paralelismo é necessário e suficiente que os ângulos cruzados sejam iguais, ou os ângulos correspondentes sejam iguais, ou a soma dos ângulos laterais seja igual a 180 graus .

Vamos mostrar uma ilustração gráfica dessa condição necessária e suficiente para retas paralelas no plano.

Você pode encontrar provas dessas condições para linhas paralelas em livros de geometria para as séries 7-9.

Observe que essas condições também podem ser usadas no espaço tridimensional - o principal é que as duas linhas e a secante estão no mesmo plano.

Aqui estão mais alguns teoremas que são frequentemente usados ​​para provar o paralelismo de linhas.

Teorema.

Se duas retas em um plano são paralelas a uma terceira reta, então elas são paralelas. A prova desta característica segue do axioma das linhas paralelas.

Existe uma condição semelhante para linhas paralelas no espaço tridimensional.

Teorema.

Se duas linhas no espaço são paralelas a uma terceira linha, então elas são paralelas. A prova desta característica é considerada nas aulas de geometria do 10º ano.

Vamos ilustrar os teoremas sonoros.

Vamos dar mais um teorema que nos permite provar o paralelismo de retas no plano.

Teorema.

Se duas retas em um plano são perpendiculares a uma terceira reta, então elas são paralelas.

Existe um teorema semelhante para linhas no espaço.

Teorema.

Se duas linhas no espaço tridimensional são perpendiculares ao mesmo plano, então elas são paralelas.

Façamos um desenho correspondente a esses teoremas.

Todos os teoremas formulados acima, sinais e condições necessárias e suficientes são perfeitamente adequados para provar o paralelismo de linhas retas por métodos de geometria. Isto é, para provar o paralelismo de duas linhas dadas, é necessário mostrar que elas são paralelas à terceira linha, ou mostrar a igualdade de ângulos cruzados, etc. Muitos desses problemas são resolvidos nas aulas de geometria no ensino médio. No entanto, deve-se notar que em muitos casos é conveniente usar o método das coordenadas para provar o paralelismo de linhas em um plano ou no espaço tridimensional. Vamos formular as condições necessárias e suficientes para o paralelismo de linhas que são dadas em um sistema de coordenadas retangulares.

Paralelismo de linhas em um sistema de coordenadas retangulares.

Nesta seção do artigo, formularemos condições necessárias e suficientes para linhas paralelas em um sistema de coordenadas retangulares, dependendo do tipo de equações que determinam essas linhas, e também daremos soluções detalhadas para problemas típicos.

Vamos começar com a condição de paralelismo de duas linhas no plano no sistema de coordenadas retangulares Oxy. Sua prova é baseada na definição do vetor diretor da linha e na definição do vetor normal da linha no plano.

Teorema.

Para que duas linhas não coincidentes sejam paralelas em um plano, é necessário e suficiente que os vetores de direção dessas linhas sejam colineares, ou os vetores normais dessas linhas sejam colineares, ou o vetor de direção de uma linha seja perpendicular à normal vetor da segunda linha.

Obviamente, a condição de paralelismo de duas retas no plano se reduz a (vetores de direção de retas ou vetores normais de retas) ou a (vetor de direção de uma reta e vetor normal de segunda reta). Assim, se e são os vetores de direção das linhas a e b, e e são os vetores normais das retas a e b, respectivamente, então a condição necessária e suficiente para as retas paralelas a e b pode ser escrita como , ou , ou , onde t é algum número real. Por sua vez, as coordenadas dos vetores direcionadores e (ou) normais das retas aeb são encontradas a partir das equações conhecidas das retas.

Em particular, se a linha a no sistema de coordenadas retangulares Oxy no plano define a equação geral da linha da forma , e a reta b - , então os vetores normais dessas linhas têm coordenadas e respectivamente, e a condição de paralelismo das linhas a e b será escrita como .

Se a reta a corresponde à equação da reta com o coeficiente de inclinação da forma . Portanto, se as linhas retas em um plano em um sistema de coordenadas retangulares são paralelas e podem ser dadas por equações de linhas retas com coeficientes de inclinação, os coeficientes de inclinação das linhas serão iguais. E vice-versa: se linhas retas não coincidentes em um plano em um sistema de coordenadas retangulares podem ser dadas pelas equações de uma linha reta com coeficientes de inclinação iguais, então essas linhas retas são paralelas.

Se a linha a e a linha b em um sistema de coordenadas retangulares definem as equações canônicas da linha no plano da forma e , ou equações paramétricas de uma linha reta em um plano da forma e respectivamente, então os vetores de direção dessas linhas têm coordenadas e , e a condição de paralelismo para as linhas aeb é escrita como .

Vamos dar uma olhada em alguns exemplos.

Exemplo.

As linhas são paralelas? e ?

Solução.

Reescrevemos a equação de uma reta em segmentos na forma de uma equação geral de uma reta: . Agora podemos ver que é o vetor normal da linha reta , e é o vetor normal da linha reta. Esses vetores não são colineares, pois não existe um número real t para o qual a igualdade ( ). Consequentemente, a condição necessária e suficiente para o paralelismo das linhas no plano não é satisfeita, portanto, as linhas dadas não são paralelas.

Responda:

Não, as linhas não são paralelas.

Exemplo.

São retas e paralelas?

Solução.

Trazemos a equação canônica de uma reta para a equação de uma reta com inclinação: . Obviamente, as equações das retas e não são as mesmas (neste caso, as retas dadas seriam as mesmas) e as inclinações das retas são iguais, portanto, as retas originais são paralelas.

Neste artigo, falaremos sobre linhas paralelas, daremos definições, designaremos os sinais e condições do paralelismo. Para maior clareza do material teórico, utilizaremos ilustrações e a solução de exemplos típicos.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definição 1

Linhas paralelas no plano são duas retas no plano que não possuem pontos comuns.

Definição 2

Linhas paralelas no espaço 3D- duas retas no espaço tridimensional que se encontram no mesmo plano e não possuem pontos comuns.

Deve-se notar que, para determinar linhas paralelas no espaço, é extremamente importante o esclarecimento “no mesmo plano”: duas linhas no espaço tridimensional que não possuem pontos comuns e não estão no mesmo plano não são paralelas, mas cruzadas.

Para denotar linhas paralelas, é comum usar o símbolo ∥ . Isto é, se as linhas a e b dadas são paralelas, esta condição deve ser resumidamente escrita da seguinte forma: a ‖ b . Verbalmente, o paralelismo das linhas é indicado da seguinte forma: as linhas a e b são paralelas, ou a linha a é paralela à linha b, ou a linha b é paralela à linha a.

Vamos formular uma afirmação que desempenha um papel importante no tema em estudo.

Axioma

Por um ponto que não pertence a uma reta dada, existe apenas uma reta paralela à reta dada. Esta afirmação não pode ser provada com base nos axiomas conhecidos da planimetria.

No caso do espaço, o teorema é verdadeiro:

Teorema 1

Por qualquer ponto do espaço que não pertença a uma determinada linha, haverá apenas uma linha paralela à dada.

Este teorema é fácil de provar com base no axioma acima (programa de geometria para graus 10-11).

O sinal de paralelismo é uma condição suficiente sob a qual as linhas paralelas são garantidas. Em outras palavras, o cumprimento desta condição é suficiente para confirmar o fato do paralelismo.

Em particular, existem condições necessárias e suficientes para o paralelismo de linhas no plano e no espaço. Vamos explicar: necessário significa a condição, cujo cumprimento é necessário para linhas paralelas; se não for satisfeito, as linhas não são paralelas.

Resumindo, uma condição necessária e suficiente para o paralelismo de linhas é tal condição, cuja observância é necessária e suficiente para que as linhas sejam paralelas entre si. Por um lado, isso é um sinal de paralelismo, por outro lado, uma propriedade inerente às linhas paralelas.

Antes de dar uma formulação precisa das condições necessárias e suficientes, lembramos mais alguns conceitos adicionais.

Definição 3

linha secanteé uma linha que intercepta cada uma das duas linhas não coincidentes dadas.

Intersectando duas linhas retas, a secante forma oito ângulos não expandidos. Para formular a condição necessária e suficiente, usaremos tipos de ângulos como cruzados, correspondentes e unilaterais. Vamos demonstrá-los na ilustração:

Teorema 2

Se duas retas em um plano interceptam uma secante, então, para que as retas dadas sejam paralelas, é necessário e suficiente que os ângulos cruzados sejam iguais, ou os ângulos correspondentes sejam iguais, ou a soma dos ângulos laterais seja igual a 180 graus.

Vamos ilustrar graficamente a condição necessária e suficiente para linhas paralelas no plano:

A comprovação dessas condições está presente no programa de geometria para os graus 7-9.

Em geral, essas condições também se aplicam ao espaço tridimensional, desde que as duas linhas e a secante pertençam ao mesmo plano.

Vamos apontar mais alguns teoremas que são frequentemente usados ​​para provar o fato de que as retas são paralelas.

Teorema 3

Em um plano, duas retas paralelas a uma terceira são paralelas entre si. Esta característica é provada com base no axioma do paralelismo mencionado acima.

Teorema 4

No espaço tridimensional, duas linhas paralelas a uma terceira são paralelas entre si.

A prova do atributo é estudada no programa de geometria do 10º ano.

Damos uma ilustração desses teoremas:

Vamos indicar mais um par de teoremas que provam o paralelismo de retas.

Teorema 5

Em um plano, duas retas perpendiculares a uma terceira são paralelas entre si.

Vamos formular um similar para um espaço tridimensional.

Teorema 6

No espaço tridimensional, duas linhas perpendiculares a uma terceira são paralelas entre si.

Vamos ilustrar:

Todos os teoremas, sinais e condições acima permitem provar convenientemente o paralelismo das linhas pelos métodos da geometria. Ou seja, para provar o paralelismo das retas, pode-se mostrar que os ângulos correspondentes são iguais, ou demonstrar o fato de que duas retas dadas são perpendiculares à terceira, e assim por diante. Mas notamos que muitas vezes é mais conveniente usar o método das coordenadas para provar o paralelismo de linhas em um plano ou em um espaço tridimensional.

Paralelismo de linhas em um sistema de coordenadas retangulares

Em um determinado sistema de coordenadas retangulares, uma linha reta é determinada pela equação de uma linha reta em um plano de um dos tipos possíveis. Da mesma forma, uma linha reta dada em um sistema de coordenadas retangulares no espaço tridimensional corresponde a algumas equações de uma linha reta no espaço.

Vamos escrever as condições necessárias e suficientes para o paralelismo de linhas em um sistema de coordenadas retangulares, dependendo do tipo de equação que descreve as linhas dadas.

Vamos começar com a condição das linhas paralelas no plano. Baseia-se nas definições do vetor de direção da linha e do vetor normal da linha no plano.

Teorema 7

Para que duas linhas não coincidentes sejam paralelas em um plano, é necessário e suficiente que os vetores de direção das linhas dadas sejam colineares, ou os vetores normais das linhas dadas sejam colineares, ou o vetor de direção de uma linha seja perpendicular a o vetor normal da outra linha.

Torna-se óbvio que a condição de linhas paralelas no plano é baseada na condição de vetores colineares ou na condição de perpendicularidade de dois vetores. Ou seja, se a → = (a x , a y) eb → = (b x , b y) são os vetores de direção das linhas a e b ;

e n b → = (n b x , n b y) são vetores normais das linhas a e b , então escrevemos a condição necessária e suficiente acima como segue: a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y ou n a → = t n b → ⇔ n a x = t n b x n a y = t n b y ou a → , n b → = 0 ⇔ a x n b x + a y n b y = 0 , onde t é algum número real. As coordenadas dos vetores diretores ou diretos são determinadas pelas equações dadas das linhas. Vamos considerar os principais exemplos.

1. A linha a em um sistema de coordenadas retangulares é determinada pela equação geral da linha: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ; linha b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Então os vetores normais das linhas dadas terão coordenadas (A 1 , B 1) e (A 2 , B 2) respectivamente. Escrevemos a condição de paralelismo da seguinte forma:

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

1. A reta a é descrita pela equação de uma reta com inclinação da forma y = k 1 x + b 1 . Linha reta b - y \u003d k 2 x + b 2. Então os vetores normais das linhas dadas terão coordenadas (k 1 , - 1) e (k 2 , - 1), respectivamente, e escrevemos a condição de paralelismo da seguinte forma:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Assim, se linhas paralelas em um plano em um sistema de coordenadas retangulares são dadas por equações com coeficientes de inclinação, então os coeficientes de inclinação das linhas dadas serão iguais. E a afirmação inversa é verdadeira: se linhas não coincidentes em um plano em um sistema de coordenadas retangulares são determinadas pelas equações de uma linha com os mesmos coeficientes de inclinação, então essas linhas dadas são paralelas.

1. As linhas a e b em um sistema de coordenadas retangulares são dadas pelas equações canônicas da linha no plano: x - x 1 a x = y - y 1 a y e x - x 2 b x = y - y 2 b y ou as equações paramétricas da linha no plano: x = x 1 + λ a x y = y 1 + λ a y ex = x 2 + λ b x y = y 2 + λ b y .

Então os vetores de direção das linhas dadas serão: a x , a y e b x , b y respectivamente, e escrevemos a condição de paralelismo da seguinte forma:

a x = t b x a y = t por y

Vejamos exemplos.

Exemplo 1

Dadas duas linhas: 2 x - 3 y + 1 = 0 e x 1 2 + y 5 = 1 . Você precisa determinar se eles são paralelos.

Solução

Escrevemos a equação de uma linha reta em segmentos na forma de uma equação geral:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Vemos que n a → = (2 , - 3) é o vetor normal da linha 2 x - 3 y + 1 = 0 , e n b → = 2 , 1 5 é o vetor normal da linha x 1 2 + y 5 = 1.

Os vetores resultantes não são colineares, porque não existe tal valor de t para o qual a igualdade seja verdadeira:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Assim, a condição necessária e suficiente de paralelismo de linhas no plano não é satisfeita, o que significa que as linhas dadas não são paralelas.

Responda: as linhas dadas não são paralelas.

Exemplo 2

Dadas as linhas y = 2 x + 1 ex 1 = y - 4 2 . Eles são paralelos?

Solução

Vamos transformar a equação canônica da linha reta x 1 \u003d y - 4 2 na equação de uma linha reta com inclinação:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Vemos que as equações das retas y = 2 x + 1 e y = 2 x + 4 não são as mesmas (se fosse de outra forma, as retas seriam as mesmas) e as inclinações das retas são iguais, o que significa que as retas dadas são paralelas.

Vamos tentar resolver o problema de forma diferente. Primeiro, verificamos se as linhas dadas coincidem. Usamos qualquer ponto da linha y \u003d 2 x + 1, por exemplo, (0, 1), as coordenadas deste ponto não correspondem à equação da linha x 1 \u003d y - 4 2, o que significa que as linhas não coincidem.

O próximo passo é determinar o cumprimento da condição de paralelismo para as linhas dadas.

O vetor normal da reta y = 2 x + 1 é o vetor n a → = (2 , - 1) , e o vetor direcional da segunda reta dada é b → = (1 , 2) . O produto escalar desses vetores é zero:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

Assim, os vetores são perpendiculares: isso nos demonstra o cumprimento da condição necessária e suficiente para que as linhas originais sejam paralelas. Aqueles. as linhas dadas são paralelas.

Responda: essas linhas são paralelas.

Para provar o paralelismo de linhas em um sistema de coordenadas retangulares de espaço tridimensional, a seguinte condição necessária e suficiente é usada.

Teorema 8

Para que duas linhas não coincidentes no espaço tridimensional sejam paralelas, é necessário e suficiente que os vetores de direção dessas linhas sejam colineares.

Aqueles. para determinadas equações de retas no espaço tridimensional, a resposta à pergunta: são paralelas ou não, é encontrada determinando as coordenadas dos vetores de direção das retas dadas, bem como verificando a condição de sua colinearidade. Em outras palavras, se a → = (a x, a y, a z) e b → = (b x, b y, b z) são os vetores de direção das linhas a e b, respectivamente, então para que sejam paralelas, a existência de tal número real t é necessário, de modo que a igualdade vale:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

Exemplo 3

Dadas as linhas x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 ex = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ . É necessário provar o paralelismo dessas linhas.

Solução

As condições do problema são as equações canônicas de uma reta no espaço e as equações paramétricas de outra reta no espaço. Vetores de direção a → e b → as linhas dadas possuem coordenadas: (1 , 0 , - 3) e (2 , 0 , - 6) .

1 = t 2 0 = t 0 - 3 = t - 6 ⇔ t = 1 2 , então a → = 1 2 b → .

Portanto, a condição necessária e suficiente para linhas paralelas no espaço é satisfeita.

Responda: o paralelismo das linhas dadas é provado.

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