Problema 1

Resolva um sistema de equações lineares de duas maneiras: usando as fórmulas de Cramer e o método de Gauss

1) resolver o sistema não homogêneo de equações algébricas lineares Ax = B usando o método de Cramer

O determinante do sistema D não é igual a zero. Vamos encontrar os determinantes auxiliares D 1, D 2, D 3, se não forem iguais a zero então não há soluções, se forem iguais então há um número infinito de soluções

Um sistema de 3 equações lineares com 3 incógnitas, cujo determinante é diferente de zero, é sempre consistente e possui uma solução única, calculada pelas fórmulas:

Resposta: obtivemos a solução:

2) resolver o sistema não homogêneo de equações algébricas lineares Ax = B usando o método de Gauss

Vamos criar uma matriz estendida do sistema

Tomemos a primeira linha como guia e o elemento a 11 = 1 como guia. Usando a linha guia, obtemos zeros na primeira coluna.

corresponde ao conjunto de soluções do sistema de equações lineares

Resposta: obtivemos a solução:

Problema 2

Dadas as coordenadas dos vértices do triângulo ABC

Encontrar:

1) comprimento do lado AB;

4) equação da mediana do EA;

Construa o triângulo fornecido e todas as linhas no sistema de coordenadas.

UMA(1; -1), B(4; 3). C(5; 1).

1) Distância entre os pontos A( x1; em 1) e B( x2; às 2) é determinado pela fórmula

com o qual encontramos o comprimento do lado AB;

2) equações dos lados AB e BC e seus coeficientes angulares;

Equação de uma reta que passa por dois pontos dados do plano A( x1; em 1) e B( x2; às 2) tem a forma

Substituindo as coordenadas dos pontos A e B em (2), obtemos a equação do lado AB:

Encontramos o coeficiente angular k AB da reta AB transformando a equação resultante na forma de uma equação de uma reta com um coeficiente angular você =kx - b.

, isto é, de onde

Da mesma forma, obtemos a equação da reta BC e encontramos seu coeficiente angular.

Substituindo as coordenadas dos pontos B e C em (2), obtemos a equação do lado BC:

Encontramos o coeficiente angular k do BC da reta BC transformando a equação resultante na forma da equação de uma linha reta com um coeficiente angular você =kx - b.

, aquilo é

3) ângulo interno no vértice B em radianos com precisão de 0,01

Para encontrar o ângulo interno do nosso triângulo, usamos a fórmula:

Observe que o procedimento de cálculo da diferença entre os coeficientes angulares no numerador desta fração depende da posição relativa das retas AB e BC.

Substituindo os valores calculados anteriormente de k BC e k AB em (3), encontramos:

Agora, usando as tabelas com uma microcalculadora de engenharia, obtemos B » 1,11 rad.

4) equação da mediana do EA;

Para compilar a equação da mediana AE, primeiro encontramos as coordenadas do ponto E, que fica no meio do segmento BC

Substituindo as coordenadas dos pontos A e E na equação (2), obtemos a equação mediana:

5) equação e comprimento da altura CD;

Para compilar a equação da altura CD, usamos a equação de uma linha reta que passa por um determinado ponto M( x0; e 0)com uma determinada inclinação k, que tem a forma

e a condição de perpendicularidade das retas AB e CD, que é expressa pela relação k AB k CD = -1, de onde k CD = -1/k AB = - 3/4

Substituindo em (4) em vez de k o valor k C D = -3/4, e em vez de x 0 , sim 0 as coordenadas correspondentes do ponto C, obtemos a equação para a altura CD

Para calcular o comprimento da altura CD, usamos a fórmula para encontrar a distância d de um determinado ponto M( x0; e 0) a uma dada reta com a equação Ax+ By + C = 0, que tem a forma:

Substituindo em (5) em vez disso x0; e 0 coordenadas do ponto C, e em vez de A, B, C os coeficientes da equação da reta AB, obtemos

6) a equação de uma reta que passa pelo ponto E paralelo ao lado AB e ao ponto M de sua intersecção com a altura CD;

Como a reta desejada EF é paralela à reta AB, então k EF = k AB = 4/3. Substituindo na equação (4) em vez disso x0; e 0 coordenadas do ponto E, e em vez de k o valor k EF obtemos a equação da reta EF."

Para encontrar as coordenadas do ponto M, resolvemos conjuntamente as equações das retas EF e CD.

Assim, M(5,48, 0,64).

7) equação de um círculo com centro no ponto E passando pelo vértice B

Como o círculo tem centro no ponto E(4,5; 2) e passa pelo vértice B(4; 3), então seu raio

Equação canônica de um círculo de raio R com centro no ponto M 0 ( x0; e 0) tem a forma

Triângulo ABC, altura CD, mediana AE, reta EF, ponto M e um círculo construído no sistema de coordenadas x0y na Fig.

Problema 3

Desenhe a equação de uma reta, para cada ponto cuja distância ao ponto A (2; 5) seja igual à distância à reta y = 1. Trace a curva resultante no sistema de coordenadas

Solução

Deixe m ( x, sim) - ponto atual da curva desejada. Deixemos cair a perpendicular MB do ponto M até a reta y = 1 (Fig. 2). Então B(x; 1). Como MA = MB, então

Compomos o principal determinante do sistema

e calculá-lo.

Então compomos determinantes adicionais

e calculá-los.

De acordo com a regra de Cramer, a solução do sistema é encontrada usando as fórmulas

;
;
,Se

1)

Vamos calcular:

Usando as fórmulas de Cramer encontramos:

Resposta: (1; 2; 3)

2)

Vamos calcular:

Como o principal determinante
, e pelo menos um adicional não é igual a zero (no nosso caso
), então o sistema não tem solução.

3)

Vamos calcular:

Como todos os determinantes são iguais a zero, o sistema possui um número infinito de soluções, que podem ser encontradas da seguinte forma:

Resolva você mesmo os sistemas:

A)
b)

Resposta: a) (1; 2; 5) b) ;;

Aula prática nº 3 sobre o tema:

Produto escalar de dois vetores e sua aplicação

1. Se for dado
E
, então encontramos o produto escalar usando a fórmula:

∙

2.Se, então o produto escalar desses dois vetores é encontrado pela fórmula

1. Dados dois vetores
E

Encontramos seu produto escalar da seguinte forma:

.

2. Dois vetores são dados:

={2;3;–4}
={1; –5; 6}

O produto escalar é encontrado assim:

3.
,

3.1 Encontrando o trabalho de uma força constante em uma seção reta de trajetória

1) Sob a influência de uma força de 15 N, o corpo moveu-se em linha reta por 2 metros. O ângulo entre a força e a direção do movimento =60 0. Calcule o trabalho realizado por uma força para mover um corpo.

Dado:

Solução:

2) Dado:

Solução:

3) Um corpo movido do ponto M(1; 2; 3) para o ponto N(5; 4; 6) sob a influência de uma força de 60 N. O ângulo entre a direção da força e o vetor de deslocamento =45 0. Calcule o trabalho realizado por esta força.

Solução: encontre o vetor deslocamento

Encontrando o módulo do vetor deslocamento:

De acordo com a fórmula
encontre um emprego:

3.2 Determinando a ortogonalidade de dois vetores

Dois vetores são ortogonais se
, aquilo é

porque

1)

– não ortogonal

2)

-ortogonal

3) Determine em que  os vetores
E
mutuamente ortogonais.

Porque
, Que
, Significa

Decida por si mesmo:

A)

. Encontre seu produto escalar.

b) Calcule quanto trabalho a força produz
, se o ponto de sua aplicação, movendo-se retilíneamente, passou do ponto M (5; -6; 1) para o ponto N (1; -2; 3)

c) Determine se os vetores são ortogonais
E

Respostas: a) 1 b) 16 c) sim

3.3. Encontrando o ângulo entre vetores

1)

. Encontrar .

Nós achamos

substitua na fórmula:

.

1). Dados são os vértices do triângulo A(3; 2; –3), B(5; 1; –1), C(1; –2; 1). Encontre o ângulo no vértice A.

Vamos colocar na fórmula:

Decida por si mesmo:

Dados são os vértices do triângulo A(3; 5; -2), B(5; 7; -1), C(4; 3; 0). Determine o ângulo interno no vértice A.

Resposta: 90º

Aula prática nº 4 sobre o tema:

PRODUTO VETORIAL DE DOIS VETORES E SUA APLICAÇÃO.

Fórmula para encontrar o produto vetorial de dois vetores:

	parece

1) Encontre o módulo do produto vetorial:

Vamos compor um determinante e calculá-lo (usando a regra de Sarrus ou o teorema da expansão do determinante nos elementos da primeira linha).

1º método: de acordo com a regra de Sarrus

Método 2: expanda o determinante nos elementos da primeira linha.

2) Encontre o módulo do produto vetorial:

4.1. CÁLCULO DA ÁREA DE UM PARALELOGRAMO CONSTRUÍDO SOBRE DOIS VETORES.

1) Calcule a área de um paralelogramo construído sobre vetores

2). Encontre o produto vetorial e seu módulo

4.2. CÁLCULO DA ÁREA DE UM TRIÂNGULO

Exemplo: dados são os vértices do triângulo A(1; 0; -1), B(1; 2; 0), C(3; -1; 1). Calcule a área do triângulo.

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas de dois vetores que emanam do mesmo vértice.

Vamos encontrar seu produto vetorial

4.3. DETERMINAÇÃO DA COLLINEARIDADE DE DOIS VETORES

Se o vetor
E
são colineares, então

, ou seja, as coordenadas dos vetores devem ser proporcionais.

a) Vetores dados::
,
.

Eles são colineares porque
E

depois de reduzir cada fração, obtemos a razão

b) Vetores dados:

.

Eles não são colineares porque
ou

Decida por si mesmo:

a) Em quais valores m e n do vetor
colinear?

Responder:
;

b) Encontre o produto vetorial e seu módulo
,
.

Responder:
,
.

Aula prática nº 5 sobre o tema:

LINHA RETA EM UM AVIÃO

Problema nº 1. Encontre a equação de uma reta que passa pelo ponto UMA(-2; 3) paralelo à reta

1. Encontre a inclinação da linha
.

é a equação de uma linha reta com um coeficiente angular e uma ordenada inicial (
). É por isso
.

2. Como as retas MN e AC são paralelas, seus coeficientes angulares são iguais, ou seja,
.

3. Para encontrar a equação da reta AC, usamos a equação de uma reta que passa por um ponto com um determinado coeficiente angular:

. Nesta fórmula, em vez disso E substitua as coordenadas do ponto A(-2; 3), em vez disso Vamos substituir –3. Como resultado da substituição obtemos:

Responder:

Tarefa nº 2. Encontre a equação de uma reta que passa pelo ponto K(1; –2) paralelo à reta.

1. Vamos encontrar a inclinação da reta.

Esta é a equação geral de uma reta, que em geral é dada pela fórmula. Comparando as equações, descobrimos que A = 2, B = –3. A inclinação da linha reta dada pela equação é encontrada pela fórmula
. Substituindo A = 2 e B = –3 nesta fórmula, obtemos a inclinação da reta MN. Então,
.

2. Como as retas MN e KS são paralelas, seus coeficientes angulares são iguais:
.

3. Para encontrar a equação da reta KS, usamos a fórmula da equação da reta que passa por um ponto com um determinado coeficiente angular
. Nesta fórmula, em vez disso E vamos substituir as coordenadas do ponto K(–2; 3), em vez de

Problema nº 3. Encontre a equação de uma reta que passa pelo ponto K(–1; –3) perpendicular à reta.

1. é uma equação geral de uma reta, que em geral é dada pela fórmula.

e descobrimos que A = 3, B = 4.

A inclinação da linha reta dada pela equação é encontrada pela fórmula:
. Substituindo A = 3 e B = 4 nesta fórmula, obtemos a inclinação da reta MN:
.

2. Como as retas MN e KD são perpendiculares, seus coeficientes angulares são inversamente proporcionais e de sinal oposto:

.

3. Para encontrar a equação da reta KD, usamos a fórmula da equação da reta que passa pelo ponto com um determinado coeficiente angular

. Nesta fórmula, em vez disso E substitua as coordenadas do ponto K(–1;–3), em vez disso vamos substituir Como resultado da substituição obtemos:

Decida por si mesmo:

1. Encontre a equação da reta que passa pelo ponto K(–4; 1) paralelo à reta
.

Responder:
.

2. Encontre a equação da reta que passa pelo ponto K(5; –2) paralelo à reta
.

3. Encontre a equação da reta que passa pelo ponto K(–2, –6) perpendicular à reta
.

4. Encontre a equação da reta que passa pelo ponto K(7; –2) perpendicular à reta
.

Responder:
.

5. Encontre a equação da perpendicular baixada do ponto K(–6; 7) até a linha reta
.

2.3.1. Definição.

Sejam dadas equações lineares:

a 1 x + b 1 sim + c 1 z = d 1 , (2.3.1)

a 2 x + b 2 sim + c 2 z = d 2 , (2.3.2)

a 3 x + b 3 sim + c 3 z = d 3 . (2.3.3)

Se for necessário encontrar uma solução geral para as equações (2.3.1) ¾ (2.3.3), então dizemos que formam sistema . O sistema que consiste nas equações (2.3.1) ¾ (2.3.3) é denotado da seguinte forma:

A solução geral das equações que compõem o sistema é chamada solução de sistema . Resolva o sistema (2.3.4) ¾ isto significa encontrar o conjunto de todas as suas soluções ou provar que não há nenhuma.

Como nos casos anteriores, encontraremos a seguir condições sob as quais o sistema (2.3.4) tem uma solução única, tem mais de uma solução e não tem solução.

2.3.2. Definição. Seja dado o sistema (2.3.4) de equações lineares. Matrizes

são chamados de acordo ( básico )matriz E matriz estendida sistemas.

2.3.3. As definições de sistemas equivalentes da forma (2.3.4), bem como as transformações elementares do 1º e 2º tipos, são introduzidas da mesma forma que para sistemas de duas equações com duas e três incógnitas.

Transformação elementar O terceiro tipo de sistema (2.3.4) é chamado de troca de algumas duas equações deste sistema. Semelhante aos casos anteriores de sistemas de 2 equações com transformações elementares do sistema, o sistema é obtido,equivalente a isso.

2.3.4. Exercício. Resolva sistemas de equações:

Solução. A)

(1) Trocamos a primeira e a segunda equações do sistema (transformação tipo 3).

(2) A primeira equação multiplicada por 4 foi subtraída da segunda, e a primeira equação multiplicada por 6 foi subtraída da terceira (transformação tipo 2); assim, a incógnita foi excluída da segunda e terceira equações x .

(3) A segunda equação, multiplicada por 14, foi subtraída da terceira; o desconhecido foi excluído do terceiro sim .

(4) Da última equação encontramos z = 1, substituindo qual no segundo, encontramos sim = 0. Finalmente, substituindo sim = 0 e z = 1 na primeira equação, encontramos x = -2.ñ

(1) Trocamos a primeira e a segunda equações do sistema.

(2) A primeira equação multiplicada por 4 foi subtraída da segunda, e a primeira equação multiplicada por 6 foi subtraída da terceira.

(3) A segunda e a terceira equações coincidiram. Excluímos uma delas do sistema (ou, em outras palavras, se subtrairmos a segunda da terceira equação, então a terceira equação se transforma na identidade 0 = 0; é excluída do sistema. Assumimos z = a .

(4) Substituto z = a na segunda e na primeira equações.

(5) Substituição sim = 12 - 12a na primeira equação, encontramos x .

c) Se a primeira equação for dividida por 4, e a terceira ¾ por 6, então chegamos a um sistema equivalente

que é equivalente à equação x - 2sim - z = -3. As soluções para esta equação são conhecidas (ver Exemplo 2.2.3 b))

A última igualdade no sistema resultante é contraditória. Portanto, o sistema não tem soluções.

As transformações (1) e (2) ¾ são exatamente iguais às transformações correspondentes do sistema b))

(3) Subtraia a segunda da última equação.

Resposta: a) (-2; 0; 1);

b) (21 - 23 a ; 12 - 12a ; a ), a Î R;

c) ((-3 + 2 a + b ; a ; b )|a , b Î R};

d) O sistema não tem soluções.

2.3.5. Dos exemplos anteriores segue-se que sistema com três incógnitas, como um sistema com duas incógnitas, pode ter apenas uma solução, um número infinito de soluções e não tendo uma única solução. A seguir analisaremos todos os casos possíveis. Mas primeiro introduzimos alguma notação.

Deixe D denotar o determinante da matriz do sistema:

Seja D 1 o determinante obtido de D substituindo a primeira coluna por uma coluna de termos livres:

Da mesma forma, vamos colocar

D 2 = e D 3 = .

2.3.6. Teorema. Se D¹0, então o sistema(2.3.4)tem uma solução única

, , . (2.3.5)

As fórmulas (2.3.5) são chamadas fórmulas = = 0 para todos eu ¹ j e pelo menos um dos determinantes , , não é igual a zero, então o sistema não tem soluções.

4) Se = = = = = = 0 para todos eu ¹ j , então o sistema tem um número infinito de soluções, dependendo de dois parâmetros.

AULA PRÁTICA Nº 7

SOLUÇÃO DE UM SISTEMA DE 3 EQUAÇÕES LINEARES

COM TRÊS VARIÁVEIS

Alvo:

Desenvolver a capacidade de transformar matrizes;

Desenvolva habilidades de resolução de sistemas3 equações lineares em três variáveis ​​usando o método de Cramer;

Consolidar conhecimentos sobre as propriedades dos determinantes de 2ª e 3ª ordem;

Suporte material e técnico: orientações para execução do trabalho;

Tempo de espera: 2 horas acadêmicas;

Progresso da aula:

Estudar breves informações teóricas;

Concluir tarefas;

Tire uma conclusão sobre o trabalho;

Prepare uma defesa do seu trabalho nas questões do teste.

Breve informação teórica:

Uma matriz é uma mesa quadrada ou retangular, preenchido com números. Esses números são chamados de elementos da matriz.

Elementos da matriz, localizado horizontalmente, formar as linhas da matriz. Elementos da matriz, dispostos verticalmente, formar as colunas da matriz.

As linhas são numeradas da esquerda para a direita, começando pelo número1, as colunas são numeradas de cima para baixo, começando pelo número1.

MatrizA , tendoeu linhas en colunas, chamada de matriztamanhoeu sobren e é designadoA m∙n . Elementoa eu j matrizesA = { a eu j } fica no cruzamentoeu - ah linhas ej- ª coluna.

A diagonal principal de uma matriz quadrada é a diagonal que vai do canto superior esquerdo da matriz ao canto inferior direito.A diagonal lateral de uma matriz quadrada é a diagonal que vai do canto inferior esquerdo da matriz ao canto superior direito.

Duas matrizes são consideradas iguais se tiverem a mesma dimensão e seus elementos correspondentes forem iguais.

Cada matriz pode ser multiplicada por qualquer número, e sek – número, entãok ∙ A ={ k ∙ a eu j }.

Matrizes do mesmo tamanhoA m∙n EB m∙n pode ser dobrado eA m∙n + B m∙n = { a eu j + b eu j }.

A operação de adição de matrizes tem as propriedadesA + B = B + A , A +( B + C ) = ( A + B ) + C .

Exemplo 1. Depois de realizar operações em matrizes, encontre a matriz C= 2A - B, onde, .

Solução.

Vamos calcular a matriz 2A de dimensão 3x3:

Vamos calcular a matriz C=2A – Na dimensão 3x3:

C = 2 A - B .

Determinante de uma matriz de terceira ordem é o número definido pela igualdade:

.

Este número representa uma soma algébrica composta por seis termos. Cada termo contém exatamente um elemento de cada linha e cada coluna da matriz. Cada termo consiste no produto de três fatores.

Figura 1.1. Figura 1.2.

Os sinais com os quais os termos do determinante são incluídos na fórmula para encontrar o determinante de terceira ordem podem ser determinados usando o esquema fornecido, que é chamado de regra dos triângulos ou regra de Sarrus. Os primeiros três termos são considerados com um sinal de mais e são determinados a partir da figura (1.1.), e os próximos três termos são considerados com um sinal de menos e são determinados a partir da figura (1.2).

Exemplo 2. Calcule o determinante de terceira ordem usando a regra de Sarrus:

Solução:

Exemplo 3. Calcule o determinante de terceira ordem usando o método de expansão sobre os elementos da primeira linha:

Solução:

Usamos a fórmula:

3 -2 +2 = 3(-5 + 16) – 2(1+32) + 2(2 +20) = 33 – 66 + 44 = 11.

Consideremos as principais propriedades dos determinantes:

Um determinante com linha (coluna) zero é igual a zero.

Se você multiplicar qualquer linha (qualquer coluna) de uma matriz por qualquer número, o determinante da matriz será multiplicado por esse número.

O determinante não muda quando a matriz é transposta.

O determinante muda de sinal quando quaisquer duas linhas (colunas) da matriz são reorganizadas.

O determinante de uma matriz com duas linhas (colunas) idênticas é igual a zero.

O determinante não muda se qualquer outra linha for adicionada a qualquer linha, multiplicada por qualquer número. Uma afirmação semelhante é verdadeira para colunas.

As propriedades de matrizes e determinantes são amplamente utilizadas na resolução de um sistema de três equações lineares com três incógnitas:

,

onde x 1 , X 2 , X 3 são variáveis, e 11 , A 12 ,…, A 33 - coeficientes numéricos. Deve ser lembrado que ao resolver um sistema, uma das três respostas possíveis é possível:

1) o sistema tem uma solução única – (x 1 ; X 2 ; X 3 );

2) o sistema possui infinitas soluções (indefinidas);

3) o sistema não possui soluções (inconsistente).

Considere resolver um sistema de três equações lineares com três incógnitasO método de Cramer, quepermite que você encontrea única solução para o sistema, baseada na capacidade de calcular determinantes de terceira ordem:

Exemplo 3. Encontre uma solução para um sistema de três equações lineares com três incógnitas usando as fórmulas de Cramer:

Solução. Encontre determinantes de terceira ordem usandoRegra de Sarrus ou expansão por elementos da primeira linha:

Encontramos a solução do sistema usando as fórmulas:

Resposta: (- 152; 270; -254)

Tarefas para conclusão independente:

EU. Encontre a matriz de transformação.

II. Determinante de cálculoIIIordem.

III. Resolva o sistema usando o método de Cramer.

Opção 1.

1. C = A +3 B , Se, . 2..

Opção 2.

1. C =2 A - B ,Se, . 2..

Opção 3.

1. C = 3 A + B , Se, . 2. .

Opção 4.

1. C = A - 4 B , Se, . 2..

Opção 5.

1. C = 4 A - B , Se, . 2..

Opção 6.

1. C = A +2 B , Se, . 2..

Opção 7.

1. C =2 A + B , Se, . 2..

Opção 8.

1. C =3 A - B , Se, . 2..

Opção 9.

1. C = A - 3 B , Se, . 2..

Opção 10.

1. C = A - 2 B , Se, . 2..

Opção 11.

1. C = A +4 B , Se, . 2..

Opção 12.

1. C =4 A + B , Se, . 2..

Opção 13.

1. C = A +3 B , Se, . 2..

Opção 14.

1. C =2 A - B , Se, . 2..

Opção 15.

1. C =3 A + B , Se, . 2..

Perguntas para autocontrole:

O que é uma matriz?

Regras para calcular determinantes de terceira ordem?

Escreva as fórmulas de Cramer para resolver um sistema de três equações lineares com três variáveis.

Sistemas de equações são amplamente utilizados no setor econômico para modelagem matemática de diversos processos. Por exemplo, na resolução de problemas de gestão e planeamento da produção, rotas logísticas (problema de transporte) ou colocação de equipamentos.

Sistemas de equações são usados ​​não apenas em matemática, mas também em física, química e biologia, na resolução de problemas de determinação do tamanho da população.

Um sistema de equações lineares são duas ou mais equações com diversas variáveis ​​​​para as quais é necessário encontrar uma solução comum. Tal sequência de números para a qual todas as equações se tornam igualdades verdadeiras ou provam que a sequência não existe.

Equação linear

Equações da forma ax+by=c são chamadas lineares. As designações x, y são as incógnitas cujo valor deve ser encontrado, b, a são os coeficientes das variáveis, c é o termo livre da equação.
Resolver uma equação traçando-a parecerá uma linha reta, cujos pontos são soluções do polinômio.

Tipos de sistemas de equações lineares

Os exemplos mais simples são considerados sistemas de equações lineares com duas variáveis ​​​​X e Y.

F1(x, y) = 0 e F2(x, y) = 0, onde F1,2 são funções e (x, y) são variáveis ​​de função.

Resolver sistema de equações - isso significa encontrar valores (x, y) nos quais o sistema se transforma em uma verdadeira igualdade ou estabelecer que não existem valores adequados de x e y.

Um par de valores (x, y), escritos como coordenadas de um ponto, é chamado de solução de um sistema de equações lineares.

Se os sistemas têm uma solução comum ou não existe solução, eles são chamados de equivalentes.

Sistemas homogêneos de equações lineares são sistemas cujo lado direito é igual a zero. Se a parte direita após o sinal de igual tiver um valor ou for expressa por uma função, tal sistema é heterogêneo.

O número de variáveis ​​pode ser muito maior que duas, então devemos falar de um exemplo de sistema de equações lineares com três ou mais variáveis.

Ao se depararem com sistemas, os alunos presumem que o número de equações deve necessariamente coincidir com o número de incógnitas, mas não é o caso. O número de equações no sistema não depende das variáveis, pode haver quantas delas desejar.

Métodos simples e complexos para resolver sistemas de equações

Não existe um método analítico geral para resolver tais sistemas; todos os métodos são baseados em soluções numéricas. O curso de matemática escolar descreve detalhadamente métodos como permutação, adição algébrica, substituição, bem como métodos gráficos e matriciais, solução pelo método gaussiano.

A principal tarefa ao ensinar métodos de solução é ensinar como analisar corretamente o sistema e encontrar o algoritmo de solução ideal para cada exemplo. O principal não é memorizar um sistema de regras e ações para cada método, mas compreender os princípios de utilização de um determinado método.

A resolução de exemplos de sistemas de equações lineares no currículo do ensino geral do 7º ano é bastante simples e explicada detalhadamente. Em qualquer livro de matemática, esta seção recebe atenção suficiente. A resolução de exemplos de sistemas de equações lineares pelo método de Gauss e Cramer é estudada com mais detalhes nos primeiros anos do ensino superior.

Resolvendo sistemas usando o método de substituição

As ações do método de substituição visam expressar o valor de uma variável em termos da segunda. A expressão é substituída na equação restante e depois reduzida a uma forma com uma variável. A ação é repetida dependendo do número de incógnitas no sistema

Vamos dar uma solução para um exemplo de sistema de equações lineares da classe 7 usando o método de substituição:

Como pode ser visto no exemplo, a variável x foi expressa através de F(X) = 7 + Y. A expressão resultante, substituída na 2ª equação do sistema no lugar de X, ajudou a obter uma variável Y na 2ª equação . Resolver este exemplo é fácil e permite obter o valor de Y. O último passo é verificar os valores obtidos.

Nem sempre é possível resolver um exemplo de sistema de equações lineares por substituição. As equações podem ser complexas e expressar a variável em termos da segunda incógnita será muito complicado para cálculos posteriores. Quando existem mais de 3 incógnitas no sistema, a resolução por substituição também é inadequada.

Solução de um exemplo de sistema de equações lineares não homogêneas:

Solução usando adição algébrica

Ao procurar soluções para sistemas usando o método de adição, as equações são adicionadas termo por termo e multiplicadas por vários números. O objetivo final das operações matemáticas é uma equação em uma variável.

A aplicação deste método requer prática e observação. Resolver um sistema de equações lineares usando o método de adição quando existem 3 ou mais variáveis ​​não é fácil. A adição algébrica é conveniente quando as equações contêm frações e decimais.

Algoritmo de solução:

1. Multiplique ambos os lados da equação por um determinado número. Como resultado da operação aritmética, um dos coeficientes da variável deve tornar-se igual a 1.
2. Adicione a expressão resultante termo por termo e encontre uma das incógnitas.
3. Substitua o valor resultante na 2ª equação do sistema para encontrar a variável restante.

Método de solução introduzindo uma nova variável

Uma nova variável pode ser introduzida se o sistema exigir encontrar uma solução para não mais do que duas equações; o número de incógnitas também não deve ser superior a duas.

O método é usado para simplificar uma das equações introduzindo uma nova variável. A nova equação é resolvida para a incógnita introduzida e o valor resultante é usado para determinar a variável original.

O exemplo mostra que ao introduzir uma nova variável t, foi possível reduzir a 1ª equação do sistema a um trinômio quadrático padrão. Você pode resolver um polinômio encontrando o discriminante.

É necessário encontrar o valor do discriminante usando a conhecida fórmula: D = b2 - 4*a*c, onde D é o discriminante desejado, b, a, c são os fatores do polinômio. No exemplo dado, a=1, b=16, c=39, portanto D=100. Se o discriminante for maior que zero, então há duas soluções: t = -b±√D / 2*a, se o discriminante for menor que zero, então há uma solução: x = -b / 2*a.

A solução para os sistemas resultantes é encontrada pelo método de adição.

Método visual para resolver sistemas

Adequado para sistemas de 3 equações. O método consiste em construir gráficos de cada equação incluída no sistema no eixo de coordenadas. As coordenadas dos pontos de intersecção das curvas serão a solução geral do sistema.

O método gráfico possui várias nuances. Vejamos vários exemplos de resolução de sistemas de equações lineares de forma visual.

Como pode ser visto no exemplo, para cada linha foram construídos dois pontos, os valores da variável x foram escolhidos arbitrariamente: 0 e 3. Com base nos valores de x, foram encontrados os valores para y: 3 e 0. Os pontos com coordenadas (0, 3) e (3, 0) foram marcados no gráfico e conectados por uma linha.

As etapas devem ser repetidas para a segunda equação. O ponto de intersecção das retas é a solução do sistema.

O exemplo a seguir requer encontrar uma solução gráfica para um sistema de equações lineares: 0,5x-y+2=0 e 0,5x-y-1=0.

Como pode ser visto no exemplo, o sistema não tem solução, pois os gráficos são paralelos e não se cruzam em todo o seu comprimento.

Os sistemas dos exemplos 2 e 3 são semelhantes, mas quando construídos torna-se óbvio que as suas soluções são diferentes. Deve-se lembrar que nem sempre é possível dizer se um sistema tem solução ou não; é sempre necessário construir um gráfico.

A matriz e suas variedades

Matrizes são usadas para escrever concisamente um sistema de equações lineares. Uma matriz é um tipo especial de tabela preenchida com números. n*m tem n - linhas en - colunas.

Uma matriz é quadrada quando o número de colunas e linhas é igual. Um vetor-matriz é uma matriz de uma coluna com um número infinitamente possível de linhas. Uma matriz com uns ao longo de uma das diagonais e outros elementos zero é chamada de identidade.

Uma matriz inversa é uma matriz quando multiplicada pela qual a original se transforma em uma matriz unitária; tal matriz existe apenas para a quadrada original.

Regras para converter um sistema de equações em uma matriz

Em relação aos sistemas de equações, os coeficientes e os termos livres das equações são escritos como números de matrizes; uma equação é uma linha da matriz.

Uma linha da matriz é considerada diferente de zero se pelo menos um elemento da linha não for zero. Portanto, se em alguma das equações o número de variáveis ​​​​difere, é necessário inserir zero no lugar da incógnita que falta.

As colunas da matriz devem corresponder estritamente às variáveis. Isso significa que os coeficientes da variável x podem ser escritos apenas em uma coluna, por exemplo, a primeira, o coeficiente da incógnita y - apenas na segunda.

Ao multiplicar uma matriz, todos os elementos da matriz são multiplicados sequencialmente por um número.

Opções para encontrar a matriz inversa

A fórmula para encontrar a matriz inversa é bastante simples: K -1 = 1 / |K|, onde K -1 é a matriz inversa, e |K| é o determinante da matriz. |K| não deve ser igual a zero, então o sistema tem solução.

O determinante é facilmente calculado para uma matriz dois por dois; você só precisa multiplicar os elementos diagonais entre si. Para a opção “três por três”, existe uma fórmula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Você pode usar a fórmula ou lembrar que precisa pegar um elemento de cada linha e de cada coluna para que os números de colunas e linhas de elementos não se repitam no trabalho.

Resolvendo exemplos de sistemas de equações lineares usando o método matricial

O método matricial para encontrar uma solução permite reduzir entradas complicadas ao resolver sistemas com um grande número de variáveis ​​​​e equações.

No exemplo, a nm são os coeficientes das equações, a matriz é um vetor x n são variáveis ​​​​e b n são termos livres.

Resolvendo sistemas usando o método Gaussiano

Na matemática superior, o método Gaussiano é estudado em conjunto com o método Cramer, e o processo de encontrar soluções para sistemas é chamado de método de solução Gauss-Cramer. Esses métodos são usados ​​para encontrar variáveis ​​de sistemas com um grande número de equações lineares.

O método de Gauss é muito semelhante às soluções por substituição e adição algébrica, mas é mais sistemático. No curso escolar, a solução pelo método gaussiano é utilizada para sistemas de 3 e 4 equações. O objetivo do método é reduzir o sistema à forma de um trapézio invertido. Por meio de transformações e substituições algébricas, o valor de uma variável é encontrado em uma das equações do sistema. A segunda equação é uma expressão com 2 incógnitas, enquanto 3 e 4 são, respectivamente, com 3 e 4 variáveis.

Depois de trazer o sistema para a forma descrita, a solução adicional é reduzida à substituição sequencial de variáveis ​​​​conhecidas nas equações do sistema.

Nos livros escolares da 7ª série, um exemplo de solução pelo método Gauss é descrito a seguir:

Como pode ser visto no exemplo, na etapa (3) foram obtidas duas equações: 3x 3 -2x 4 =11 e 3x 3 +2x 4 =7. Resolver qualquer uma das equações permitirá que você descubra uma das variáveis ​​​​x n.

O Teorema 5, mencionado no texto, afirma que se uma das equações do sistema for substituída por uma equivalente, então o sistema resultante também será equivalente ao original.

O método gaussiano é de difícil compreensão para os alunos do ensino médio, mas é uma das formas mais interessantes de desenvolver a engenhosidade das crianças matriculadas em programas de aprendizagem avançada nas aulas de matemática e física.

Para facilitar o registro, os cálculos geralmente são feitos da seguinte forma:

Os coeficientes das equações e termos livres são escritos em forma de matriz, onde cada linha da matriz corresponde a uma das equações do sistema. separa o lado esquerdo da equação do direito. Os algarismos romanos indicam o número de equações no sistema.

Primeiro anote a matriz a ser trabalhada e depois todas as ações realizadas com uma das linhas. A matriz resultante é escrita após o sinal de “seta” e as operações algébricas necessárias são continuadas até que o resultado seja alcançado.

O resultado deve ser uma matriz em que uma das diagonais seja igual a 1 e todos os outros coeficientes sejam iguais a zero, ou seja, a matriz é reduzida a uma forma unitária. Não devemos esquecer de realizar cálculos com números em ambos os lados da equação.

Este método de gravação é menos complicado e permite que você não se distraia listando inúmeras incógnitas.

A utilização gratuita de qualquer método de solução exigirá cuidado e alguma experiência. Nem todos os métodos são de natureza aplicada. Alguns métodos para encontrar soluções são mais preferíveis em uma área específica da atividade humana, enquanto outros existem para fins educacionais.