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Introdução

A transformação de gráficos de uma função é um dos conceitos matemáticos básicos diretamente relacionados às atividades práticas. A transformação de gráficos de funções é encontrada pela primeira vez no 9º ano de álgebra ao estudar o tópico "Função quadrática". A função quadrática é introduzida e estudada em estreita conexão com equações quadráticas e desigualdades. Além disso, muitos conceitos matemáticos são considerados por métodos gráficos, por exemplo, nas séries 10-11, o estudo de uma função permite encontrar o domínio de definição e o escopo da função, as áreas de diminuição ou aumento, assíntotas, intervalos de sinal constante, etc. Esta importante questão também é trazida ao GIA. Conclui-se que a construção e transformação de gráficos de funções é uma das principais tarefas do ensino de matemática na escola.

No entanto, para plotar muitas funções, vários métodos podem ser usados ​​para facilitar a construção. O acima define relevância Tópicos de pesquisa.

objeto de estudoé o estudo da transformação de gráficos na matemática escolar.

Objeto de estudo - o processo de construção e transformação de gráficos de funções em uma escola secundária.

pergunta do problema: é possível construir um gráfico de uma função desconhecida, tendo a habilidade de transformar gráficos de funções elementares?

Alvo: plotar uma função em uma situação desconhecida.

Tarefas:

1. Analisar o material didático sobre o problema em estudo. 2. Identificar esquemas de transformação de gráficos de funções num curso de matemática escolar. 3. Selecione os métodos e ferramentas mais eficazes para construir e converter gráficos de funções. 4. Ser capaz de aplicar esta teoria na resolução de problemas.

Conhecimento básico necessário, habilidades, habilidades:

Determine o valor da função pelo valor do argumento em várias formas de especificar a função;

Construir gráficos das funções estudadas;

Descrever o comportamento e as propriedades das funções do gráfico e, nos casos mais simples, da fórmula, encontrar os maiores e menores valores do gráfico da função;

Descrições com a ajuda de funções de várias dependências, sua representação graficamente, interpretação de gráficos.

Parte principal

parte teórica

Como gráfico inicial da função y = f(x), escolherei uma função quadrática y=x 2 . Vou considerar casos de transformação deste gráfico associados a mudanças na fórmula que define esta função e tirar conclusões para qualquer função.

1. Função y = f(x) + a

Na nova fórmula, os valores da função (as coordenadas dos pontos do gráfico) são alterados pelo número a, em relação ao valor da função "antiga". Isso leva a uma translação paralela do gráfico da função ao longo do eixo OY:

para cima se a > 0; para baixo se um< 0.

SAÍDA

Assim, o gráfico da função y=f(x)+a é obtido a partir do gráfico da função y=f(x) por meio de translação paralela ao longo do eixo y por uma unidade para cima se a > 0, e por uma unidade para baixo se um< 0.

2. Função y = f(x-a),

Na nova fórmula, os valores dos argumentos (as abcissas dos pontos do gráfico) são alterados pelo número a, em relação ao valor do argumento "antigo". Isso leva a uma transferência paralela do gráfico da função ao longo do eixo OX: para a direita se um< 0, влево, если a >0.

SAÍDA

Assim, o gráfico da função y= f(x - a) é obtido a partir do gráfico da função y=f(x) por translação paralela ao longo do eixo das abcissas por a unidades à esquerda se a > 0, e por a unidades para a direita se um< 0.

3. Função y = k f(x), onde k > 0 ek ≠ 1

Na nova fórmula, os valores da função (as coordenadas dos pontos do gráfico) mudam k vezes em relação ao valor da função "antiga". Isso leva a: 1) "alongamento" do ponto (0; 0) ao longo do eixo OY por k vezes, se k > 1, 2) "compressão" ao ponto (0; 0) ao longo do eixo OY por um fator de 0, se 0< k < 1.

SAÍDA

Portanto: para construir um gráfico da função y = kf(x), onde k > 0 ek ≠ 1, você precisa multiplicar as ordenadas dos pontos do gráfico dado da função y = f(x) por k. Tal transformação é chamada de alongamento do ponto (0; 0) ao longo do eixo OY por k vezes se k > 1; contração ao ponto (0; 0) ao longo do eixo OY por um fator se 0< k < 1.

4. Função y = f(kx), onde k > 0 ek ≠ 1

Na nova fórmula, os valores do argumento (as abcissas dos pontos do gráfico) mudam k vezes em relação ao valor "antigo" do argumento. Isso leva a: 1) “alongamento” do ponto (0; 0) ao longo do eixo OX em 1/k vezes se 0< k < 1; 2) «сжатию» к точке (0; 0) вдоль оси OX. в k раз, если k > 1.

SAÍDA

E assim: para construir um gráfico da função y = f(kx), onde k > 0 ek ≠ 1, você precisa multiplicar as abcissas dos pontos do gráfico dado da função y=f(x) por k . Tal transformação é chamada de alongamento do ponto (0; 0) ao longo do eixo OX por 1/k vezes se 0< k < 1, сжатием к точке (0; 0) вдоль оси OX. в k раз, если k > 1.

5. Função y = - f (x).

Nesta fórmula, os valores da função (as coordenadas dos pontos do gráfico) são invertidos. Essa alteração resulta em uma exibição simétrica do gráfico original da função em relação ao eixo x.

SAÍDA

Para construir um gráfico da função y = - f (x), você precisa de um gráfico da função y = f (x)

refletem simetricamente em torno do eixo OX. Tal transformação é chamada de transformação de simetria em torno do eixo OX.

6. Função y = f (-x).

Nesta fórmula, os valores do argumento (as abcissas dos pontos do gráfico) são invertidos. Essa alteração resulta em uma exibição simétrica do gráfico da função original em relação ao eixo OY.

Um exemplo para a função y \u003d - x² esta transformação não é perceptível, pois esta função é par e o gráfico não muda após a transformação. Esta transformação é visível quando a função é ímpar e quando nem par nem ímpar.

7. Função y = |f(x)|.

Na nova fórmula, os valores da função (as coordenadas dos pontos do gráfico) estão sob o sinal do módulo. Isso leva ao desaparecimento de partes do gráfico da função original com ordenadas negativas (isto é, aquelas localizadas no semiplano inferior em relação ao eixo Ox) e a uma exibição simétrica dessas partes em relação ao eixo Ox.

8. Função y= f (|x|).

Na nova fórmula, os valores dos argumentos (as abcissas dos pontos do gráfico) estão sob o sinal do módulo. Isso leva ao desaparecimento de partes do gráfico da função original com abcissas negativas (ou seja, aquelas localizadas no semiplano esquerdo em relação ao eixo OY) e sua substituição por partes do gráfico original que são simétricas em relação ao OY eixo.

parte prática

Considere alguns exemplos da aplicação da teoria acima.

EXEMPLO 1.

Decisão. Vamos transformar esta fórmula:

1) Vamos construir um gráfico da função

EXEMPLO 2.

Plote a função dada pela fórmula

Decisão. Transformamos esta fórmula destacando o quadrado do binômio neste trinômio quadrado:

1) Vamos construir um gráfico da função

2) Realize uma transferência paralela do gráfico construído para o vetor

EXEMPLO 3.

TAREFA DO USO Plotando uma função por partes

Gráfico de função Gráfico de função y=|2(x-3)2-2|; 1

Função Gráfico Transformação

Neste artigo, apresentarei as transformações lineares de gráficos de função e mostrarei como usar essas transformações para obter um gráfico de função a partir de um gráfico de função.

Uma transformação linear de uma função é uma transformação da própria função e/ou seu argumento para a forma , bem como uma transformação contendo o módulo do argumento e/ou funções.

As seguintes ações causam as maiores dificuldades na plotagem de gráficos usando transformações lineares:

1. O isolamento da função base, na verdade, o gráfico do qual estamos transformando.
2. Definições da ordem das transformações.

EÉ sobre esses pontos que nos deteremos com mais detalhes.

Vamos dar uma olhada mais de perto na função

É baseado em uma função. vamos chamá-la função básica.

Ao plotar uma função fazemos transformações do gráfico da função base.

Se fôssemos transformar a função na mesma ordem em que seu valor foi encontrado para um certo valor do argumento, então

Vamos considerar quais tipos de argumentos lineares e transformações de função existem e como realizá-los.

Transformações de argumentos.

1. f(x) f(x+b)

1. Construímos um gráfico de uma função

2. Deslocamos o gráfico da função ao longo do eixo OX em |b| unidades

• esquerda se b>0
• certo se b<0

Vamos plotar a função

1. Traçamos a função

2. Desloque-o 2 unidades para a direita:

2. f(x) f(kx)

1. Construímos um gráfico de uma função

2. Divida as abcissas dos pontos do gráfico por k, deixe as ordenadas dos pontos inalteradas.

Vamos plotar a função.

1. Traçamos a função

2. Divida todas as abcissas dos pontos do gráfico por 2, deixe as ordenadas inalteradas:

3. f(x) f(-x)

1. Construímos um gráfico de uma função

2. Nós o exibimos simetricamente em relação ao eixo OY.

Vamos plotar a função.

1. Traçamos a função

2. Nós o exibimos simetricamente sobre o eixo OY:

4. f(x) f(|x|)

1. Traçamos a função

2. Apagamos a parte do gráfico localizada à esquerda do eixo OY, a parte do gráfico localizada à direita do eixo OY Completamos simetricamente sobre o eixo OY:

O gráfico da função fica assim:

Vamos plotar a função

1. Construímos um gráfico de função (este é um gráfico de função deslocado ao longo do eixo OX em 2 unidades para a esquerda):

2. Parte do gráfico localizada à esquerda do OY (x<0) стираем:

3. A parte do gráfico localizada à direita do eixo OY (x>0) é completada simetricamente em relação ao eixo OY:

Importante! As duas principais regras para conversão de argumentos.

1. Todas as transformações de argumentos são realizadas ao longo do eixo OX

2. Todas as transformações do argumento são realizadas "vice-versa" e "na ordem inversa".

Por exemplo, em uma função, a sequência de transformações de argumentos é a seguinte:

1. Pegamos o módulo de x.

2. Adicione o número 2 ao módulo x.

Mas fizemos a plotagem na ordem inversa:

Primeiro, realizamos a transformação 2. - deslocamos o gráfico em 2 unidades para a esquerda (ou seja, as abcissas dos pontos foram reduzidas em 2, como se fosse "vice-versa")

Então realizamos a transformação f(x) f(|x|).

Resumidamente, a sequência de transformações é escrita da seguinte forma:

Agora vamos falar sobre transformação de função . Transformações estão sendo feitas

1. Ao longo do eixo OY.

2. Na mesma sequência em que as ações são executadas.

Estas são as transformações:

1. f(x)f(x)+D

2. Desloque-o ao longo do eixo OY em |D| unidades

• para cima se D>0
• para baixo se D<0

Vamos plotar a função

1. Traçamos a função

2. Mova-o ao longo do eixo OY em 2 unidades para cima:

2. f(x)Af(x)

1. Traçamos a função y=f(x)

2. Multiplicamos as ordenadas de todos os pontos do gráfico por A, deixamos as abcissas inalteradas.

Vamos plotar a função

1. Faça o gráfico da função

2. Multiplicamos as ordenadas de todos os pontos do gráfico por 2:

3.f(x)-f(x)

1. Traçamos a função y=f(x)

Vamos plotar a função.

1. Construímos um gráfico de funções.

2. Nós o exibimos simetricamente em relação ao eixo OX.

4. f(x)|f(x)|

1. Traçamos a função y=f(x)

2. A parte do gráfico localizada acima do eixo OX permanece inalterada, a parte do gráfico localizada abaixo do eixo OX é exibida simetricamente em relação a este eixo.

Vamos plotar a função

1. Construímos um gráfico de funções. É obtido deslocando o gráfico da função ao longo do eixo OY em 2 unidades para baixo:

2. Agora a parte do gráfico localizada abaixo do eixo OX será exibida simetricamente em relação a este eixo:

E a última transformação, que a rigor não pode ser chamada de transformação de função, pois o resultado dessa transformação não é mais uma função:

|y|=f(x)

1. Traçamos a função y=f(x)

2. Apagamos a parte do gráfico localizada abaixo do eixo OX, então completamos a parte do gráfico localizada acima do eixo OX simetricamente sobre este eixo.

Vamos construir um gráfico da equação

1. Construímos um gráfico de funções:

2. Apagamos a parte do gráfico localizada abaixo do eixo OX:

3. A parte do gráfico localizada acima do eixo OX é completada simetricamente em relação a este eixo.

E por fim, sugiro que você assista a VÍDEO AULA em que mostro passo a passo um algoritmo para plotar um gráfico de função

O gráfico dessa função fica assim:

Transferência paralela.

TRANSFERÊNCIA AO LONGO DO EIXO Y

f(x) => f(x) - b
Seja necessário plotar a função y \u003d f (x) - b. É fácil ver que as ordenadas deste gráfico para todos os valores de x em |b| unidades menores que as ordenadas correspondentes do gráfico das funções y = f(x) para b>0 e |b| mais unidades - em b 0 ou acima em b Para plotar a função y + b = f(x), plote a função y = f(x) e mova o eixo x para |b| unidades para b>0 ou por |b| unidades para baixo em b

TRANSFERÊNCIA AO LONGO DO EIXO X

f(x) => f(x + a)
Seja necessário plotar a função y = f(x + a). Considere uma função y = f(x), que em algum ponto x = x1 assume o valor y1 = f(x1). Obviamente, a função y = f(x + a) terá o mesmo valor no ponto x2, cuja coordenada é determinada a partir da igualdade x2 + a = x1, ou seja, x2 = x1 - a, e a igualdade em consideração é válida para a totalidade de todos os valores do domínio da função. Portanto, o gráfico da função y = f(x + a) pode ser obtido pelo deslocamento paralelo do gráfico da função y = f(x) ao longo do eixo x para a esquerda por |a| uns para a > 0 ou para a direita por |a| unidades para a Para plotar a função y = f(x + a), plotar a função y = f(x) e mover o eixo y para |a| unidades à direita para a>0 ou |a| unidades à esquerda para um

Exemplos:

1.y=f(x+a)

2.y=f(x)+b

Reflexão.

GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DA VISTA Y = F(-X)

f(x) => f(-x)
Obviamente, as funções y = f(-x) e y = f(x) assumem valores iguais em pontos cujas abcissas são iguais em valor absoluto, mas opostas em sinal. Em outras palavras, as ordenadas do gráfico da função y = f(-x) na região de valores positivos (negativos) de x serão iguais às ordenadas do gráfico da função y = f(x) com valores x negativos (positivos) correspondentes em valor absoluto. Assim, obtemos a seguinte regra.
Para plotar a função y = f(-x), você deve plotar a função y = f(x) e refleti-la ao longo do eixo y. O gráfico resultante é o gráfico da função y = f(-x)

GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DA VISTA Y = - F(X)

f(x) => - f(x)
As ordenadas do gráfico da função y = - f(x) para todos os valores do argumento são iguais em valor absoluto, mas opostas em sinal às ordenadas do gráfico da função y = f(x) para o mesmos valores do argumento. Assim, obtemos a seguinte regra.
Para plotar a função y = - f(x), você deve plotar a função y = f(x) e refleti-la sobre o eixo x.

Exemplos:

1.y=-f(x)

2.y=f(-x)

3.y=-f(-x)

Deformação.

DEFORMAÇÃO DO GRÁFICO AO LONGO DO EIXO Y

f(x) => kf(x)
Considere uma função da forma y = k f(x), onde k > 0. É fácil ver que para valores iguais do argumento, as ordenadas do gráfico desta função serão k vezes maiores que as ordenadas de o gráfico da função y = f(x) para k > 1 ou 1/k vezes menor que as ordenadas do gráfico da função y = f(x) para k ) ou diminua suas ordenadas em 1/k vezes para k
k > 1- alongamento a partir do eixo Ox
0 - compressão para o eixo OX

GRÁFICO DEFORMAÇÃO AO LONGO DO EIXO X

f(x) => f(kx)
Seja necessário plotar a função y = f(kx), onde k>0. Considere uma função y = f(x), que assume o valor y1 = f(x1) em um ponto arbitrário x = x1. É óbvio que a função y = f(kx) assume o mesmo valor no ponto x = x2, cuja coordenada é determinada pela igualdade x1 = kx2, e essa igualdade é válida para a totalidade de todos os valores de x do domínio da função. Conseqüentemente, o gráfico da função y = f(kx) é comprimido (para k 1) ao longo do eixo das abcissas em relação ao gráfico da função y = f(x). Assim, obtemos a regra.
Para plotar a função y = f(kx), plote a função y = f(x) e reduza suas abcissas em k vezes para k>1 (comprima o gráfico ao longo do eixo das abcissas) ou aumente suas abcissas em 1/k vezes para k
k > 1- compressão no eixo Oy
0 - estendendo-se a partir do eixo OY

O trabalho foi realizado por Alexander Chichkanov, Dmitry Leonov sob a supervisão de Tkach T.V., Vyazovov S.M., Ostroverkhova I.V.
©2014

Para trás para a frente

Atenção! A visualização do slide é apenas para fins informativos e pode não representar toda a extensão da apresentação. Se você estiver interessado neste trabalho, faça o download da versão completa.

O objetivo da lição: Determinar os padrões de transformação de gráficos de funções.

Tarefas:

Educacional:

• Ensinar os alunos a construir gráficos de funções, transformando o gráfico de uma determinada função, usando translação paralela, compressão (alongamento), vários tipos de simetria.

Educacional:

• Educar as qualidades pessoais dos alunos (capacidade de ouvir), boa vontade para com os outros, atenção, rigor, disciplina, capacidade de trabalhar em grupo.
• Despertar o interesse pelo assunto e a necessidade de adquirir conhecimento.

Em desenvolvimento:

• Desenvolver a imaginação espacial e o raciocínio lógico dos alunos, a capacidade de navegar rapidamente em um ambiente; desenvolver inteligência, desenvoltura, treinar memória.

Equipamento:

• Instalação multimédia: computador, projetor.

Literatura:

1. Bashmakov, M.I. Matemática [Texto]: livro didático para instituições iniciais. e média prof. educação / M. I. Bashmakov - 5ª ed., corrigida. - M.: Centro Editorial "Academy", 2012. - 256 p.
2. Bashmakov, M. I. Matemática. Livro de problemas [Texto]: livro didático. subsídio para educação. instituições no início e média prof. Educação / M. I. Bashmakov - M.: Centro de Publicação "Academia", 2012. - 416 p.

Plano de aula:

1. Momento organizacional (3 min).
2. Atualização de conhecimentos (7 min).
3. Explicação do novo material (20 min).
4. Consolidação de novo material (10 min).
5. Resumo da lição (3 min).
6. Lição de casa (2 min).

durante as aulas

1. Org. momento (3 minutos).

Verificando os presentes.

Mensagem sobre o propósito da lição.

As principais propriedades das funções como dependências entre variáveis ​​não devem mudar significativamente quando o método de medição dessas quantidades muda, ou seja, quando a escala de medição e o ponto de referência mudam. Porém, devido a uma escolha mais racional do método de mensuração de variáveis, geralmente é possível simplificar a notação da relação entre elas, trazendo essa notação para alguma forma padronizada. Em linguagem geométrica, mudar a forma como as quantidades são medidas significa algumas transformações simples de gráficos, que estudaremos agora.

2. Atualização de conhecimentos (7 min).

Antes de falarmos sobre transformações de grafos, vamos repetir o material abordado.

trabalho oral. (Slide 2).

Funções dadas:

3. Descreva os gráficos de funções: , , , .

3. Explicação do novo material (20 min).

As transformações mais simples de grafos são sua translação paralela, compressão (alongamento) e alguns tipos de simetria. Algumas transformações são apresentadas na tabela (Apêndice 1), (Slide 3).

Trabalho em equipe.

Cada grupo plota as funções dadas e apresenta o resultado para discussão.

Função	Função Gráfico Transformação	Exemplos de funções	Slide
	OU sobre E unidades para cima se UMA>0, e em |A| unidades para baixo se E<0.	,	(Slide 4)
	Translação paralela ao longo do eixo Oh sobre uma unidades à direita se uma>0, e em - uma unidades à esquerda se uma<0.	,	(Slide 5)