O uso de equações é muito difundido em nossas vidas. Eles são usados ​​em muitos cálculos, construção de estruturas e até esportes. As equações são usadas pelo homem desde os tempos antigos e, desde então, seu uso só aumentou. Para maior clareza, vamos resolver o seguinte problema:

Calcular \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] se \

Antes de tudo, vamos prestar atenção ao fato de que um número é representado na forma algébrica, o outro - na forma trigonométrica. Ele precisa ser simplificado e trazido para a seguinte forma

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

A expressão \ diz que, em primeiro lugar, fazemos a multiplicação e a elevação à décima potência de acordo com a fórmula de Moivre. Esta fórmula foi formulada para a forma trigonométrica de um número complexo. Nós temos:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

Aderindo às regras para multiplicar números complexos na forma trigonométrica, faremos o seguinte:

No nosso caso:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]

Fazendo a fração \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] correta, concluímos que é possível "torcer" 4 voltas \[(8\pi rad.):\ ]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]

Resposta: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

Essa equação pode ser resolvida de outra forma, que se resume em trazer o 2º número para a forma algébrica, depois realizar a multiplicação na forma algébrica, traduzindo o resultado para a forma trigonométrica e aplicando a fórmula de Moivre:

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Para resolver problemas com números complexos, você precisa entender as definições básicas. O objetivo principal deste artigo de revisão é explicar o que são números complexos e apresentar métodos para resolver problemas básicos com números complexos. Assim, um número complexo é um número da forma z = a + bi, Onde a, b- números reais, que são chamados de partes reais e imaginárias de um número complexo, respectivamente, e denotam a = Re(z), b=Im(z).
eué chamada de unidade imaginária. e 2 \u003d -1. Em particular, qualquer número real pode ser considerado complexo: a = a + 0i, onde a é real. Se a = 0 e b ≠ 0, então o número é chamado de puramente imaginário.

Agora introduzimos operações em números complexos.
Considere dois números complexos z 1 = a 1 + b 1 i e z 2 = a 2 + b 2 i.

Considerar z = a + bi.

O conjunto dos números complexos estende o conjunto dos números reais, que por sua vez estende o conjunto dos números racionais e assim por diante. Essa cadeia de embeddings pode ser vista na figura: N - números naturais, Z - inteiros, Q - racionais, R - reais, C - complexos.

Representação de números complexos

Notação algébrica.

Considere um número complexo z = a + bi, essa forma de escrever um número complexo é chamada algébrico. Já discutimos essa forma de escrita em detalhes na seção anterior. Muitas vezes, use o seguinte desenho ilustrativo

forma trigonométrica.

Pode-se observar na figura que o número z = a + bi pode ser escrito de forma diferente. É óbvio que a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, Consequentemente z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) é chamado de argumento de um número complexo. Essa representação de um número complexo é chamada forma trigonométrica. A forma de notação trigonométrica às vezes é muito conveniente. Por exemplo, é conveniente usá-lo para elevar um número complexo a uma potência inteira, ou seja, se z = rcos(φ) + rsin(φ)i, então z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, essa fórmula é chamada Fórmula de De Moivre.

Forma demonstrativa.

Considerar z = rcos(φ) + rsin(φ)ié um número complexo na forma trigonométrica, escrevemos de uma forma diferente z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, a última igualdade segue da fórmula de Euler, então temos uma nova forma de escrever um número complexo: z = re iφ, que é chamado demonstrativo. Esta forma de notação também é muito conveniente para elevar um número complexo a uma potência: z n = r n e inφ, aqui n não necessariamente um número inteiro, mas pode ser um número real arbitrário. Esta forma de escrita é bastante usada para resolver problemas.

Teorema fundamental da álgebra superior

Imagine que temos uma equação quadrática x 2 + x + 1 = 0 . É óbvio que o discriminante desta equação é negativo e não tem raízes reais, mas acontece que esta equação tem duas raízes complexas diferentes. Assim, o principal teorema da álgebra superior afirma que qualquer polinômio de grau n tem pelo menos uma raiz complexa. Segue-se daí que qualquer polinômio de grau n tem exatamente n raízes complexas, levando em conta sua multiplicidade. Este teorema é um resultado muito importante em matemática e é amplamente aplicado. Um corolário simples deste teorema é que existem exatamente n raízes distintas de n graus da unidade.

Principais tipos de tarefas

Nesta seção, os principais tipos de problemas de números complexos simples serão considerados. Convencionalmente, os problemas com números complexos podem ser divididos nas seguintes categorias.

• Realização de operações aritméticas simples em números complexos.
• Encontrar as raízes de polinômios em números complexos.
• Elevando números complexos a uma potência.
• Extração de raízes de números complexos.
• Aplicação de números complexos para resolver outros problemas.

Agora considere os métodos gerais para resolver esses problemas.

As operações aritméticas mais simples com números complexos são realizadas de acordo com as regras descritas na primeira seção, mas se os números complexos são apresentados em formas trigonométricas ou exponenciais, nesse caso, eles podem ser convertidos em forma algébrica e realizar operações de acordo com regras conhecidas.

Encontrar as raízes de polinômios geralmente se resume a encontrar as raízes de uma equação quadrática. Suponha que tenhamos uma equação quadrática, se seu discriminante for não negativo, então suas raízes serão reais e são encontradas de acordo com uma fórmula bem conhecida. Se o discriminante for negativo, então D = -1∙a 2, Onde umaé um certo número, então podemos representar o discriminante na forma D = (ia) 2, Consequentemente √D = i|a|, e então você pode usar a fórmula já conhecida para as raízes da equação quadrática.

Exemplo. Vamos voltar à equação quadrática mencionada acima x 2 + x + 1 = 0.
Discriminante - D \u003d 1 - 4 ∙ 1 \u003d -3 \u003d -1 (√3) 2 \u003d (i√3) 2.
Agora podemos encontrar facilmente as raízes:

Elevar números complexos a uma potência pode ser feito de várias maneiras. Se você quiser elevar um número complexo na forma algébrica a uma potência pequena (2 ou 3), poderá fazer isso por multiplicação direta, mas se o grau for maior (em problemas, geralmente é muito maior), será necessário escreva este número em formas trigonométricas ou exponenciais e use métodos já conhecidos.

Exemplo. Considere z = 1 + i e eleve à décima potência.
Escrevemos z na forma exponencial: z = √2 e iπ/4 .
Então z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Voltemos à forma algébrica: z 10 = -32i.

Extrair raízes de números complexos é a operação inversa em relação à exponenciação, portanto, é feita de maneira semelhante. Para extrair as raízes, a forma exponencial de escrever um número é frequentemente usada.

Exemplo. Encontre todas as raízes de grau 3 da unidade. Para fazer isso, encontramos todas as raízes da equação z 3 = 1, procuraremos as raízes na forma exponencial.
Substitua na equação: r 3 e 3iφ = 1 ou r 3 e 3iφ = e 0 .
Portanto: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, portanto, φ = 2πk/3.
Várias raízes são obtidas em φ = 0, 2π/3, 4π/3.
Portanto, 1 , e i2π/3 , e i4π/3 são raízes.
Ou na forma algébrica:

O último tipo de problemas inclui uma enorme variedade de problemas e não existem métodos gerais para resolvê-los. Aqui está um exemplo simples de tal tarefa:

Encontre a quantidade sen(x) + sen(2x) + sen(2x) + … + sen(nx).

Embora a formulação deste problema não se refira a números complexos, mas com a ajuda deles pode ser facilmente resolvido. Para resolvê-lo, as seguintes representações são usadas:


Se agora substituirmos essa representação na soma, o problema será reduzido à soma da progressão geométrica usual.

Conclusão

Os números complexos são amplamente utilizados em matemática, este artigo de revisão discutiu as operações básicas em números complexos, descreveu vários tipos de problemas padrão e descreveu brevemente métodos gerais para resolvê-los, para um estudo mais detalhado das possibilidades dos números complexos, recomenda-se usar literatura especializada.

Literatura

Expressões, equações e sistemas de equações
com números complexos

Hoje, na lição, trabalharemos ações típicas com números complexos, além de dominar a técnica de resolução de expressões, equações e sistemas de equações que esses números contêm. Este workshop é uma continuação da lição e, portanto, se você não estiver familiarizado com o tópico, siga o link acima. Bem, sugiro que os leitores mais preparados se aqueçam imediatamente:

Exemplo 1

Simplifique a expressão , E se . Apresente o resultado na forma trigonométrica e descreva-o no plano complexo.

Solução: então, você precisa substituir na fração "terrível", realizar simplificações e traduzir o resultado número complexo dentro forma trigonométrica. Além disso, caramba.

Qual é a melhor maneira de tomar uma decisão? É mais lucrativo lidar com uma expressão algébrica “fantasia” em etapas. Em primeiro lugar, a atenção é menos dispersa e, em segundo lugar, se a tarefa não for creditada, será muito mais fácil encontrar um erro.

1) Vamos simplificar o numerador primeiro. Substitua o valor nele, abra os colchetes e corrija o penteado:

... Sim, tal Quasimodo de números complexos acabou ...

Relembro que no curso das transformações, coisas completamente ingênuas são usadas - a regra da multiplicação de polinômios e a igualdade que já se tornou banal. O principal é ter cuidado e não se confundir nos sinais.

2) Agora o denominador é o próximo. Se então:

Observe em que uma interpretação incomum é usada fórmula soma quadrada. Alternativamente, você pode alterar aqui subfórmula. Os resultados, é claro, serão compatíveis.

3) E, finalmente, toda a expressão. Se então:

Para nos livrarmos da fração, multiplicamos o numerador e o denominador pela expressão conjugada ao denominador. No entanto, para efeitos de aplicação fórmulas de diferença de quadrados deve ser preliminarmente (e com certeza!) coloque a parte real negativa na 2ª posição:

E agora a regra principal:

EM NENHUM CASO NÃO TEMOS PRESSA! Melhor jogar pelo seguro e prescrever um passo extra.
Em expressões, equações e sistemas com números complexos cálculos orais presunçosos carregado como sempre!

Houve uma boa contração na etapa final e isso é apenas um ótimo sinal.

Observação : estritamente falando, a divisão do número complexo pelo número complexo 50 ocorreu aqui (lembre-se que ). Fiquei calado sobre essa nuance até agora e falaremos sobre isso um pouco mais tarde.

Vamos denotar nossa conquista com a letra

Vamos representar o resultado na forma trigonométrica. De um modo geral, aqui você pode prescindir de um desenho, mas assim que for necessário, é um pouco mais racional concluí-lo agora:

Calcular o módulo de um número complexo:

Se você realizar um desenho em uma escala de 1 unidade. \u003d 1 cm (2 células tetrad), então o valor resultante é fácil de verificar usando uma régua comum.

Vamos encontrar um argumento. Como o número está localizado no 2º trimestre de coordenadas, então:

O ângulo é simplesmente verificado por um transferidor. Esta é a vantagem indiscutível do desenho.

Assim: - o número desejado na forma trigonométrica.

Vamos checar:
, que deveria ser verificado.

É conveniente encontrar valores desconhecidos de seno e cosseno por tabela trigonométrica.

Responda:

Um exemplo semelhante para uma solução faça você mesmo:

Exemplo 2

Simplifique a expressão , Onde . Desenhe o número resultante no plano complexo e escreva-o na forma exponencial.

Tente não pular os tutoriais. Eles podem parecer simples, mas sem treinamento, “entrar em uma poça” não é apenas fácil, mas muito fácil. Então vamos colocar as mãos nele.

Muitas vezes o problema permite mais de uma solução:

Exemplo 3

Calcule se,

Solução: antes de tudo, vamos prestar atenção à condição original - um número é apresentado na forma algébrica e o outro na forma trigonométrica e até com graus. Vamos reescrevê-lo imediatamente de uma forma mais familiar: .

De que forma os cálculos devem ser realizados? A expressão , obviamente, envolve a primeira multiplicação e posterior elevação à 10ª potência em Fórmula de Moivre, que é formulado para a forma trigonométrica de um número complexo. Assim, parece mais lógico converter o primeiro número. Encontre seu módulo e argumento:

Usamos a regra da multiplicação de números complexos na forma trigonométrica:
se então

Fazendo a fração correta, chegamos à conclusão de que é possível “torcer” 4 voltas ( alegre.):

A segunda maneira de resolveré traduzir o 2º número para a forma algébrica , faça a multiplicação na forma algébrica, traduza o resultado para a forma trigonométrica e use a fórmula De Moivre.

Como você pode ver, uma ação "extra". Aqueles que desejarem podem seguir a solução até o fim e garantir que os resultados correspondam.

A condição não diz nada sobre a forma do número complexo resultante, então:

Responda:

Mas “por beleza” ou sob demanda, o resultado pode ser facilmente representado em forma algébrica:

Por conta própria:

Exemplo 4

Simplifique a expressão

Aqui é preciso lembrar ações com poderes, embora não haja uma regra útil no manual de treinamento, aqui está:.

E mais uma observação importante: o exemplo pode ser resolvido em dois estilos. A primeira opção é trabalhar com dois números e lidar com frações. A segunda opção é representar cada número na forma quociente de dois números: e livrar-se dos quatro andares. Do ponto de vista formal, não faz diferença como decidir, mas há uma diferença significativa! Considere bem:
é um número complexo;
é o quociente de dois números complexos ( e ), no entanto, dependendo do contexto, também se pode dizer o seguinte: um número representado como um quociente de dois números complexos.

Solução curta e resposta no final da lição.

Expressões são boas, mas equações são melhores:

Equações com coeficientes complexos

Como elas diferem das equações "comuns"? Coeficientes =)

À luz da observação acima, vamos começar com este exemplo:

Exemplo 5

resolva a equação

E um preâmbulo imediato em perseguição: originalmente o lado direito da equação está posicionado como um quociente de dois números complexos ( e 13) e, portanto, seria ruim reescrever a condição com o número (mesmo que não cause um erro). A propósito, essa diferença é mais claramente vista em frações - se, relativamente falando, esse valor é entendido principalmente como raiz complexa "completa" da equação, e não como divisor do número , e mais ainda - não como parte do número !

Solução, em princípio, também pode ser organizado passo a passo, mas neste caso o jogo não vale a pena. A tarefa inicial é simplificar tudo o que não contém um "z" desconhecido, pelo que a equação será reduzida à forma:

Simplifique com confiança a fração média:

Transferimos o resultado para o lado direito e encontramos a diferença:

Observação : e novamente chamo sua atenção para o ponto significativo - aqui não subtraímos o número do número, mas somamos as frações a um denominador comum! Deve-se notar que já no decorrer da solução não é proibido trabalhar com números: , no entanto, no exemplo em consideração, tal estilo é mais prejudicial do que útil =)

De acordo com a regra da proporção, expressamos "z":

Agora você pode novamente dividir e multiplicar pela expressão adjunta, mas os números suspeitosamente semelhantes do numerador e do denominador sugerem o seguinte movimento:

Responda:

Para fins de verificação, substituímos o valor resultante no lado esquerdo da equação original e realizamos simplificações:

- o lado direito da equação original é obtido, então a raiz é encontrada corretamente.

…Agora-agora…vou escolher algo mais interessante para você… espere:

Exemplo 6

resolva a equação

Esta equação se reduz à forma , e, portanto, é linear. A dica, eu acho, é clara - vá em frente!

Claro ... como você pode viver sem ele:

Equação quadrática com coeficientes complexos

Na lição Números complexos para manequins aprendemos que uma equação quadrática com coeficientes reais pode ter raízes complexas conjugadas, após o que surge uma pergunta natural: por que, de fato, os próprios coeficientes não podem ser complexos? Vou formular o caso geral:

Equação quadrática com coeficientes complexos arbitrários (1 ou 2 dos quais ou todos os três podem ser válidos em particular) Tem dois e apenas dois raízes complexas (possivelmente um dos quais ou ambos são válidos). Enquanto as raízes (tanto real quanto com uma parte imaginária diferente de zero) pode coincidir (ser múltiplo).

Uma equação quadrática com coeficientes complexos é resolvida da mesma maneira que equação "escola", com algumas diferenças na técnica computacional:

Exemplo 7

Encontrar as raízes de uma equação quadrática

Solução: a unidade imaginária está em primeiro lugar e, em princípio, você pode se livrar dela (multiplicando ambos os lados por), no entanto, não há necessidade especial para isso.

Por conveniência, escrevemos os coeficientes:

Não perdemos o "menos" do membro grátis! ... Pode não ser claro para todos - vou reescrever a equação na forma padrão :

Vamos calcular o discriminante:

Aqui está o principal obstáculo:

Aplicação da fórmula geral para extrair a raiz (veja o último parágrafo do artigo Números complexos para manequins) é complicado por sérias dificuldades associadas ao argumento do número complexo radical (Veja por si mesmo). Mas há outra maneira "algébrica"! Vamos procurar a raiz na forma:

Vamos ao quadrado dos dois lados:

Dois números complexos são iguais se suas partes reais e imaginárias são iguais. Assim, obtemos o seguinte sistema:

O sistema é mais fácil de resolver escolhendo (uma maneira mais completa é expressar a partir da 2ª equação - substituir na 1ª, obter e resolver a equação biquadrática). Assumindo que o autor do problema não é um monstro, supomos que e são inteiros. Da 1ª equação segue que "x" módulo mais do que "y". Além disso, o produto positivo nos diz que as incógnitas são do mesmo sinal. Com base no exposto e focando na 2ª equação, anotamos todos os pares que correspondem a ela:

Obviamente, os dois últimos pares satisfazem a 1ª equação do sistema, assim:

Uma verificação intermediária não fará mal:

que deveria ser verificado.

Como uma raiz "de trabalho", você pode escolher algum significado. É claro que é melhor pegar a versão sem os "contras":

Encontramos as raízes, não esquecendo, aliás, que:

Responda:

Vamos verificar se as raízes encontradas satisfazem a equação :

1) Substituto:

igualdade correta.

2) Substituto:

igualdade correta.

Assim, a solução é encontrada corretamente.

Inspirado pelo problema que acabamos de discutir:

Exemplo 8

Encontre as raízes da equação

Observe que a raiz quadrada de puramente complexo números são perfeitamente extraídos e usando a fórmula geral , Onde , portanto, ambos os métodos são mostrados na amostra. A segunda observação útil diz respeito ao fato de que a extração preliminar da raiz da constante não simplifica em nada a solução.

E agora você pode relaxar - neste exemplo, você sairá com um leve susto :)

Exemplo 9

Resolva a equação e verifique

Soluções e respostas no final da lição.

O parágrafo final do artigo é dedicado a

sistema de equações com números complexos

Nós relaxamos e... não forçamos =) Vamos considerar o caso mais simples – um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas:

Exemplo 10

Resolva o sistema de equações. Apresente a resposta nas formas algébrica e exponencial, descreva as raízes no desenho.

Solução: a própria condição sugere que o sistema tem uma solução única, ou seja, precisamos encontrar dois números que satisfaçam para cada equação do sistema.

O sistema pode realmente ser resolvido de forma “infantil” (expressar uma variável em termos de outra) , mas é muito mais conveniente usar Fórmulas de Cramer. Calcular principal determinante sistemas:

, então o sistema tem uma solução única.

Repito que é melhor não se apressar e prescrever os passos o mais detalhado possível:

Multiplicamos o numerador e o denominador por uma unidade imaginária e obtemos a 1ª raiz:

De forma similar:

Os lados direitos correspondentes, p.t.p.

Vamos executar o desenho:

Representamos as raízes na forma exponencial. Para fazer isso, você precisa encontrar seus módulos e argumentos:

1) - o arco tangente dos "dois" é calculado "mal", então deixamos assim: