Tabela de valores de funções trigonométricas
Observação. Esta tabela de valores para funções trigonométricas usa o sinal √ para denotar a raiz quadrada. Para denotar uma fração - o símbolo "/".
Veja também materiais úteis:
Por determinar o valor de uma função trigonométrica, encontre-o na interseção da linha que indica a função trigonométrica. Por exemplo, um seno de 30 graus - estamos procurando uma coluna com o título sin (seno) e encontramos a interseção desta coluna da tabela com a linha "30 graus", em sua interseção lemos o resultado - um segundo. Da mesma forma, encontramos cosseno 60 graus, seno 60 graus (mais uma vez, na interseção da coluna sen (seno) e a linha de 60 graus, encontramos o valor sen 60 = √3/2), etc. Da mesma forma, são encontrados os valores de senos, cossenos e tangentes de outros ângulos "populares".
Seno de pi, cosseno de pi, tangente de pi e outros ângulos em radianos
A tabela de cossenos, senos e tangentes abaixo também é adequada para encontrar o valor de funções trigonométricas cujo argumento é dado em radianos. Para fazer isso, use a segunda coluna de valores de ângulo. Graças a isso, você pode converter o valor de ângulos populares de graus para radianos. Por exemplo, vamos encontrar o ângulo de 60 graus na primeira linha e ler seu valor em radianos abaixo dela. 60 graus é igual a π/3 radianos.
O número pi expressa exclusivamente a dependência da circunferência de um círculo na medida em graus do ângulo. Então pi radianos é igual a 180 graus.
Qualquer número expresso em termos de pi (radiano) pode ser facilmente convertido em graus substituindo o número pi (π) por 180.
Exemplos:
1. seno pi.
sen π = sen 180 = 0
assim, o seno de pi é igual ao seno de 180 graus e é igual a zero.
2. cosseno pi.
cos π = cos 180 = -1
assim, o cosseno de pi é igual ao cosseno de 180 graus e é igual a menos um.
3. Tangente pi
tg π = tg 180 = 0
assim, a tangente de pi é igual à tangente de 180 graus e é igual a zero.
Tabela de valores de seno, cosseno, tangente para ângulos 0 - 360 graus (valores frequentes)
|
ângulo α (graus) |
ângulo α (via pi) |
pecado (seio) |
porque (cosseno) |
tg (tangente) |
ctg (co-tangente) |
segundo (secante) |
causa (cossecante) |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
| 15 | π/12 | 2 - √3 | 2 + √3 | ||||
| 30 | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | √3 | 2/√3 | 2 |
| 45 | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 | √2 | √2 |
| 60 | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 | 1/√3 | 2 | 2/√3 |
| 75 | 5π/12 | 2 + √3 | 2 - √3 | ||||
| 90 | π/2 | 1 | 0 | - | 0 | - | 1 |
| 105 | 7π/12 |
- |
- 2 - √3 | √3 - 2 | |||
| 120 | 2π/3 | √3/2 | -1/2 | -√3 | -√3/3 | ||
| 135 | 3π/4 | √2/2 | -√2/2 | -1 | -1 | -√2 | √2 |
| 150 | 5π/6 | 1/2 | -√3/2 | -√3/3 | -√3 | ||
| 180 | π | 0 | -1 | 0 | - | -1 | - |
| 210 | 7π/6 | -1/2 | -√3/2 | √3/3 | √3 | ||
| 240 | 4π/3 | -√3/2 | -1/2 | √3 | √3/3 | ||
| 270 | 3π/2 | -1 | 0 | - | 0 | - | -1 |
| 360 | 2π | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
Se na tabela de valores das funções trigonométricas, em vez do valor da função, for indicado um traço (tangente (tg) 90 graus, cotangente (ctg) 180 graus), então para um determinado valor da medida de grau de o ângulo, a função não tem um valor definido. Se não houver traço, a célula está vazia, então ainda não inserimos o valor desejado. Estamos interessados em quais solicitações os usuários nos procuram e complementam a tabela com novos valores, apesar de os dados atuais sobre os valores de cossenos, senos e tangentes dos valores de ângulo mais comuns serem suficientes para resolver a maioria problemas.
Tabela de valores de funções trigonométricas sin, cos, tg para os ângulos mais populares
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 graus
(valores numéricos "conforme tabelas Bradis")
| valor do ângulo α (graus) | valor do ângulo α em radianos | pecado (seno) | cos (cosseno) | tg (tangente) | ctg (cotangente) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | ||||
| 15 |
0,2588 |
0,9659
|
0,2679 |
||
| 30 |
0,5000 |
0,5774 |
|||
| 45 |
0,7071 |
||||
|
0,7660 |
|||||
| 60 |
0,8660 |
0,5000
|
1,7321 |
||
|
7π/18 |
Cada função trigonométrica para um determinado ângulo corresponde a um determinado valor dessa função. Das definições de seno, cosseno, tangente e cotangente, fica claro que o valor do seno de um ângulo é a ordenada do ponto para o qual passa o ponto inicial do círculo unitário depois de girar pelo ângulo , o valor de o cosseno é a abcissa deste ponto, o valor da tangente é a razão da ordenada para a abcissa, e o valor da cotangente é a razão da abcissa para a ordenada.
Muitas vezes, ao resolver problemas, torna-se necessário encontrar os valores dos senos, cossenos, tangentes e cotangentes dos ângulos indicados. Para alguns ângulos, por exemplo, em 0, 30, 45, 60, 90, ... graus, é possível encontrar os valores exatos das funções trigonométricas, para outros ângulos, encontrar os valores exatos é problemático e é preciso contentar-se com valores aproximados.
Neste artigo, descobriremos quais princípios devem ser seguidos ao calcular o valor do seno, cosseno, tangente ou cotangente. Vamos listá-los em ordem.
Agora vamos considerar cada um dos princípios listados para calcular os valores de senos, cossenos, tangentes e cotangentes em detalhes.
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- Encontrando os valores de seno, cosseno, tangente e cotangente por definição. Linhas de senos, cossenos, tangentes e cotangentes. Valores de senos, cossenos, tangentes e cotangentes de ângulos de 30, 45 e 60 graus. Achatamento em um ângulo de 0 a 90 graus. Basta saber o valor de uma das funções trigonométricas. Encontrar valores usando fórmulas trigonométricas. O que fazer em outros casos?
Encontrando os valores de seno, cosseno, tangente e cotangente por definição
Com base na definição de seno e cosseno, você pode encontrar os valores do seno e cosseno de um determinado ângulo. Para fazer isso, você precisa pegar um círculo unitário, girar o ponto inicial A (1, 0) em um ângulo, após o qual irá para o ponto A1. Então as coordenadas do ponto A1 darão, respectivamente, o cosseno e o seno do ângulo dado. Depois disso, pode-se calcular a tangente e a cotangente do ângulo calculando as razões da ordenada para a abcissa e da abcissa para a ordenada, respectivamente.
Por definição, podemos calcular os valores exatos do seno, cosseno, tangente e cotangente dos ângulos 0, ±90, ±180, ±270, ±360, ... graus (0, ±p/2, ± p, ±3p/2, ±2p, …radiano). Vamos dividir esses ângulos em quatro grupos: 360 z graus (2p z radianos), 90+360 z graus (p/2+2p z radianos), 180+360 z graus (p+2p z radianos) e 270 +360 z graus (3p/2+2p z radianos), onde z é qualquer número inteiro. Vamos retratar nas figuras onde estará localizado o ponto A1, que é obtido girando o ponto inicial A por esses ângulos (se necessário, estude o material do artigo o ângulo de rotação).
Para cada um desses grupos de ângulos, encontramos os valores do seno, cosseno, tangente e cotangente usando as definições.
Quanto aos outros ângulos diferentes de 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … graus, por definição só podemos encontrar valores aproximados de seno, cosseno, tangente e cotangente. Por exemplo, vamos encontrar o seno, cosseno, tangente e cotangente do ângulo -52 graus.
Vamos construir.
De acordo com o desenho, descobrimos que a abcissa do ponto A1 é aproximadamente 0,62 e a ordenada é aproximadamente -0,78. Nesse caminho, 
e 
. Resta calcular os valores da tangente e cotangente, temos 
e 
.
É claro que quanto mais precisamente as construções forem realizadas, mais precisamente serão encontrados os valores aproximados do seno, cosseno, tangente e cotangente de um determinado ângulo. Também é claro que encontrar os valores das funções trigonométricas, por definição, não é conveniente na prática, pois é inconveniente realizar as construções descritas.
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Linhas de senos, cossenos, tangentes e cotangentes
Resumidamente, vale a pena nos determos nas chamadas linhas de senos, cossenos, tangentes e cotangentes. Linhas de senos, cossenos, tangentes e cotangentes são chamadas de linhas representadas juntamente com um círculo unitário, tendo um ponto de referência e igual à unidade no sistema de coordenadas retangulares introduzido, elas representam claramente todos os valores possíveis de senos, cossenos, tangentes e cotangentes . Nós os descrevemos no desenho abaixo.
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Valores de senos, cossenos, tangentes e cotangentes de ângulos de 30, 45 e 60 graus
Para ângulos de 30, 45 e 60 graus, os valores exatos de seno, cosseno, tangente e cotangente são conhecidos. Eles podem ser obtidos a partir das definições de seno, cosseno, tangente e cotangente em um triângulo retângulo usando o teorema de Pitágoras.
Para obter os valores das funções trigonométricas para ângulos de 30 e 60 graus, considere um triângulo retângulo com esses ângulos e faça com que o comprimento da hipotenusa seja igual a um. Sabe-se que o cateto oposto ao ângulo de 30 graus é metade da hipotenusa, portanto, seu comprimento é 1/2. Encontramos o comprimento da outra perna usando o teorema de Pitágoras: 
.
Como o seno de um ângulo é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa, então 
e 
. Por sua vez, o cosseno é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa, então 
e 
. A tangente é a razão da perna oposta para a perna adjacente, e a cotangente é a razão da perna adjacente para a perna oposta, portanto, 
e 
, assim como 
e 
.
Resta obter os valores de seno, cosseno, tangente e cotangente para um ângulo de 45 graus. Vamos nos voltar para um triângulo retângulo com ângulos de 45 graus (será isósceles) e uma hipotenusa igual a um. Então, pelo teorema de Pitágoras, é fácil verificar que os comprimentos das pernas são iguais. Agora podemos calcular os valores de seno, cosseno, tangente e cotangente como a razão dos comprimentos dos lados correspondentes do triângulo retângulo considerado. Nós temos e 
.
Os valores obtidos do seno, cosseno, tangente e cotangente dos ângulos de 30, 45 e 60 graus serão usados com muita frequência na resolução de vários problemas geométricos e trigonométricos, por isso recomendamos que você os lembre. Por conveniência, vamos listá-los na tabela de valores básicos de seno, cosseno, tangente e cotangente.
Para concluir este parágrafo, ilustraremos os valores do seno, cosseno, tangente e cotangente dos ângulos 30, 45 e 60 usando o círculo unitário e as linhas de seno, cosseno, tangente e cotangente.
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Achatamento em um ângulo de 0 a 90 graus
Imediatamente, notamos que é conveniente encontrar os valores das funções trigonométricas quando o ângulo está na faixa de 0 a 90 graus (de zero a pi em meio radianos). Se o argumento da função trigonométrica, cujo valor precisamos encontrar, ultrapassa os limites de 0 a 90 graus, sempre podemos usar as fórmulas de redução para encontrar o valor da função trigonométrica, cujo argumento será dentro dos limites especificados.
Por exemplo, vamos encontrar o valor do seno de 210 graus. Ao representar 210 como 180+30 ou como 270−60, as fórmulas de redução correspondentes reduzem nosso problema de encontrar o seno de 210 graus para encontrar o valor do seno de 30 graus, ou o cosseno de 60 graus.
Vamos concordar para o futuro ao encontrar os valores das funções trigonométricas, sempre usando as fórmulas de redução, ir para os ângulos do intervalo de 0 a 90 graus, a menos, é claro, que o ângulo já esteja dentro desses limites.
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Basta saber o valor de uma das funções trigonométricas
As identidades trigonométricas básicas estabelecem relações entre seno, cosseno, tangente e cotangente de um mesmo ângulo. Assim, com a ajuda deles, podemos usar o valor conhecido de uma das funções trigonométricas para encontrar o valor de qualquer outra função do mesmo ângulo.
Vamos considerar uma solução de exemplo.
Determine qual é o seno do ângulo pi por oito, se 
.
Primeiro, encontre qual é a cotangente desse ângulo: 
Agora usando a fórmula 
, podemos calcular a que o quadrado do seno do ângulo pi por oito é igual e, portanto, o valor desejado do seno. Nós temos 
Resta apenas encontrar o valor do seno. Como o ângulo pi por oito é o ângulo do primeiro quarto coordenado, o seno desse ângulo é positivo (se necessário, consulte a seção sobre a teoria dos sinais de seno, cosseno, tangente e cotangente por quartos). Nesse caminho, 
.
.
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Encontrando valores usando fórmulas trigonométricas
Nos dois parágrafos anteriores, já começamos a abordar a questão de encontrar os valores de seno, cosseno, tangente e cotangente usando fórmulas de trigonometria. Aqui, queremos apenas dizer que às vezes é possível calcular o valor necessário de uma função trigonométrica usando fórmulas trigonométricas e valores conhecidos de seno, cosseno, tangente e cotangente (por exemplo, para ângulos de 30, 45 e 60 graus).
Por exemplo, usando fórmulas trigonométricas, calculamos o valor da tangente do ângulo pi por oito, que usamos no parágrafo anterior para encontrar o valor do seno.
Encontre o valor.
Usando a fórmula para a tangente de um meio ângulo, podemos escrever a seguinte igualdade 
. Conhecemos os valores do cosseno do ângulo pi por quatro, então podemos calcular imediatamente o valor do quadrado da tangente desejada: 
.
O ângulo pi por oito é o ângulo do primeiro quarto coordenado, então a tangente desse ângulo é positiva. Consequentemente, 
.
.
Uma lição introdutória sobre trigonometria foi apresentada na apresentação anterior. Os alunos se familiarizaram com os conceitos de seno, cosseno e tangente, como eles são denotados, como encontrá-los. Foi considerado um ângulo agudo de algum triângulo retângulo. Além disso, eles se familiarizaram com a identidade trigonométrica básica, que forma a base para inúmeras fórmulas que os alunos conhecerão um pouco mais tarde.
Esta lição sugere considerar certos ângulos: 45, 30 e 60 graus. É necessário encontrar seu seno, cosseno e tangente. Todos esses três ângulos são agudos. Supõe-se que estamos trabalhando com triângulos retângulos, como na lição anterior.
slides 1-2 (Tópico da apresentação "O valor do seno, cosseno e tangente para ângulos de 30, 45 e 60 graus", exemplo)
O primeiro slide da apresentação “O valor do seno, cosseno e tangente para ângulos de 30, 45 e 60 graus” mostrará aos alunos alguns triângulos retângulos, cujo ângulo agudo é de 30 graus. Sabendo que um dos ângulos é reto, podemos calcular facilmente o valor do terceiro ângulo. A soma de todos os ângulos de qualquer triângulo é 180 graus. Os alunos do oitavo ano já devem conhecer esta propriedade. Assim, para encontrar o terceiro ângulo desconhecido, é necessário subtrair 120 graus de 180 e graus, que é a soma dos outros dois lados. O terceiro ângulo desconhecido é de 60 graus. Isso está marcado no desenho.
O autor observa que a razão entre os catetos de um triângulo retângulo ABC é metade. De onde o autor conseguiu esse número? O fato é que o cateto, que fica oposto ao ângulo de 30 graus, que pode ser visto na figura, é igual à metade da hipotenusa desse triângulo. Esta é uma das propriedades importantes dos triângulos retângulos. Esta razão é o seno de um ângulo de 30 graus. Assim, o seno do ângulo de 30 graus é encontrado.
slides 3-4 (exemplo, tabela de senos, cossenos, tangentes)
Essa razão também é o cosseno para o ângulo adjacente à perna, ou seja, para um ângulo de 60 graus. Além disso, com base nas informações obtidas na lição anterior, você pode calcular a tangente restante dividindo o seno encontrado de um determinado ângulo pelo cosseno encontrado do mesmo ângulo.
O próximo slide explora de forma semelhante o seno, o cosseno e a tangente de um ângulo de 45 graus. Primeiro, o terceiro canto desconhecido é encontrado. Acontece que os ângulos na hipotenusa são iguais, ou seja, o triângulo, além de retangular, também é isósceles. Pelo teorema de Pitágoras, expressamos a hipotenusa em termos dos catetos. Como eles são iguais, como se viu, é possível substituir uma perna por outra e obter um produto simples do número 2 pelo quadrado de uma das pernas. Além disso, o autor se livra da irracionalidade e expressa as pernas. Assim, há duas pernas. Além disso, usando as fórmulas estudadas, você pode encontrar o seno, o cosseno e a tangente de um ângulo de 45 graus.
O último slide mostra esses valores em forma de tabela. É desejável que os alunos escrevam uma tabela para si mesmos em um caderno. Podemos dizer que é um análogo da tabuada, apenas trigonométrica. É desejável que os alunos saibam de onde vieram esses valores e lembrem-se das tabelas.
Este artigo coletou tabelas de senos, cossenos, tangentes e cotangentes. Primeiro, damos uma tabela de valores básicosde funções trigonométricas, ou seja, uma tabela de senos, cossenos, tangentes e cotangentes de ângulos 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 graus ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π radiano). Depois disso, daremos uma tabela de senos e cossenos, bem como uma tabela de tangentes e cotangentes de V. M. Bradis, e mostraremos como usar essas tabelas na hora de encontrar os valores das funções trigonométricas.
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Tabela de senos, cossenos, tangentes e cotangentes para ângulos 0, 30, 45, 60, 90, ... graus
Bibliografia.
- Álgebra: Proc. para 9 células. média escola / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Iluminismo, 1990.- 272 p.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
- Bashmakov M.I.Álgebra e o início da análise: Proc. para 10-11 células. média escola - 3ª edição. - M.: Iluminismo, 1993. - 351 p.: ll. - ISBN 5-09-004617-4.
- Álgebra e o início da análise: Proc. para 10-11 células. Educação geral instituições / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn e outros; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14ª ed.- M.: Iluminismo, 2004.- 384 p.: il.- ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemática (um manual para candidatos a escolas técnicas): Proc. subsídio.- M.; Mais alto escola, 1984.-351 p., ll.
- Bradis V.M. Tabelas matemáticas de quatro dígitos: Para educação geral. livro didático estabelecimentos. - 2ª edição. - M.: Abetarda, 1999.- 96 p.: il. ISBN 5-7107-2667-2
