Aula 9

Geometria analítica no espaço.

Equação geral do plano.

Definição. avião uma superfície é chamada, todos os pontos dos quais satisfazem a equação geral:

Ax + By + Cz + D = 0,

onde A, B, C são as coordenadas do vetor -vetor normais ao avião.

Os seguintes casos especiais são possíveis:

A \u003d 0 - o plano é paralelo ao eixo Ox

B \u003d 0 - o plano é paralelo ao eixo Oy

C \u003d 0 - o plano é paralelo ao eixo Oz

D = 0 - o plano passa pela origem

A \u003d B \u003d 0 - o plano é paralelo ao plano xOy

A \u003d C \u003d 0 - o plano é paralelo ao plano xOz

B = C = 0 - o plano é paralelo ao plano yOz

A \u003d D \u003d 0 - o plano passa pelo eixo Ox

B \u003d D \u003d 0 - o plano passa pelo eixo Oy

C \u003d D \u003d 0 - o plano passa pelo eixo Oz

A \u003d B \u003d D \u003d 0 - o plano coincide com o plano xOy

A = C = D = 0 - o plano coincide com o plano xOz

B = C = D = 0 - o plano coincide com o plano yOz

Equação de um plano que passa por três pontos.

Para que um único plano seja traçado através de quaisquer três pontos no espaço, é necessário que esses pontos não estejam em uma linha reta.

Considere os pontos M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) no sistema de coordenadas cartesianas.

Para que um ponto arbitrário M(x, y, z) esteja no mesmo plano com os pontos M 1, M 2, M 3, é necessário que os vetores
eram coplanares, ou seja, seu produto misto:

(
) = 0

Nesse caminho,

Equação de um plano que passa por três pontos:

Equação de um plano que passa por dois pontos paralelos a um vetor.

Sejam os pontos M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) e o vetor
.

Vamos compor a equação do plano que passa pelos pontos dados M 1 e M 2 e um ponto arbitrário M (x, y, z) paralelo ao vetor .

Vetores
e vetor
deve ser coplanar, ou seja,

(
) = 0

Equação do plano:

Equação de um plano que passa por um ponto paralelo a dois vetores.

Sejam dois vetores dados
e
, planos colineares e ponto M 1 (x 1, y 1, z 1). Então, para um ponto arbitrário M(x, y, z) pertencente ao plano, os vetores
deve ser coplanar.

Equação do plano:

Equação de um plano que passa por um ponto perpendicular ao vetor.

Teorema. Se um ponto M 0 é dado no espaço (x 0, y 0, z 0), então a equação do plano que passa pelo ponto M 0 é perpendicular ao vetor normal (A, B, C) tem a forma:

UMA(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Prova. Para um ponto arbitrário M(x, y, z) pertencente ao plano, compomos um vetor . Porque vetor - o vetor normal, então é perpendicular ao plano e, portanto, perpendicular ao vetor
. Então o produto escalar

= 0

Assim, obtemos a equação do plano

O teorema foi provado.

Equação de um plano em segmentos.

Se na equação geral Ax + Wu + Cz + D = 0 dividir ambas as partes por -D

,

substituindo
, obtemos a equação do plano em segmentos:

Os números a, b, c são os segmentos cortados pelo plano na interseção dos eixos x, y, z, respectivamente, do sistema de coordenadas retangulares cartesianas.

Equação plana em forma vetorial.

Onde

- raio-vetor do ponto atual M(x, y, z),

Um vetor unitário que tem a direção da perpendicular baixada ao plano a partir da origem.

,  e  são os ângulos formados por este vetor com os eixos x, y, z.

p é o comprimento desta perpendicular.

Em coordenadas, esta equação tem a forma:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Equação do plano paramétrico

Seja um ponto M 0 (x 0, y 0, z 0) e dois vetores não colineares dados no espaço

(p 1 , p 2 , p 3) e (q 1 , q 2 , q 3). Seja M(x, y, z) o ponto atual do plano. Uma vez que os vetores e são não colineares, então eles formam uma base no plano, no qual expandimos o vetor
=t+ s, onde t,s são parâmetros. Vamos colocar arbitrariamente um sistema de coordenadas retangulares cartesianas no plano de modo que os eixos Ox e Oy fiquem no plano. Do centro O desenhamos os vetores de raio para os pontos M 0 e M e . Então
=-e

=+t+ s.

Esta é uma equação paramétrica do plano na forma vetorial e na forma escalar

x=x 0 + p 1 t + q 1 s

y=y 0 + p 2 t + q 2 s

z=z 0 + p 3 t + q 3 s

A distância de um ponto a um plano.

A distância de um ponto arbitrário M 0 (x 0, y 0, z 0) ao plano Ax + Vy + Cz + D \u003d 0 é:

Exemplo. Encontre a equação do plano, sabendo que o ponto P (4; -3; 12) é a base da perpendicular baixada da origem até este plano.

Então A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, use a fórmula:

A(x-x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Exemplo . Encontre a equação de um plano que passa por dois pontos

P(2; 0; -1) e Q(1; -1; 3) são perpendiculares ao plano 3x + 2y - z + 5 = 0.

Vetor normal ao plano 3x + 2y - z + 5 = 0
paralelo ao plano desejado.

Nós temos:

Exemplo . Encontre a equação do plano que passa pelos pontos A(2, -1, 4) e

В(3, 2, -1) perpendicular ao plano X + no + 2z – 3 = 0.

A equação do plano desejada tem a forma: A x+ B y+C z+ D = 0, o vetor normal a este plano (A,B,C). Vetor
(1, 3, -5) pertence ao plano. O plano que nos é dado, perpendicular ao desejado, tem um vetor normal (1, 1, 2). Porque os pontos A e B pertencem a ambos os planos, e os planos são mutuamente perpendiculares, então

Então o vetor normal (11, -7, -2). Porque ponto A pertence ao plano desejado, então suas coordenadas devem satisfazer a equação deste plano, ou seja, 112 + 71 - 24 + D = 0; D = -21.

Então, obtemos a equação do plano: 11 x - 7y – 2z – 21 = 0.

Exemplo . Encontre a equação do plano, sabendo que o ponto P(4, -3, 12) é a base da perpendicular baixada da origem a este plano.

Encontrando as coordenadas do vetor normal
= (4, -3, 12). A equação desejada do plano tem a forma: 4 x – 3y + 12z+ D = 0. Para encontrar o coeficiente D, substituímos as coordenadas do ponto Р na equação:

16 + 9 + 144 + D = 0

Assim, obtemos a equação desejada: 4 x – 3y + 12z – 169 = 0

Exemplo . Dadas as coordenadas dos vértices da pirâmide

A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1), A 4 (1; 2; 5).

Encontre o comprimento da aresta A 1 A 2 .

Encontre o ângulo entre as arestas A 1 A 2 e A 1 A 4.

Encontre o ângulo entre a aresta A 1 A 4 e a face A 1 A 2 A 3 .

Primeiro, encontre o vetor normal à face A 1 A 2 A 3 - como um produto vetorial de vetores
e
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Encontre o ângulo entre o vetor normal e o vetor
.

-4 – 4 = -8.

O ângulo desejado  entre o vetor e o plano será igual a  = 90 0 - .

Encontre a área da face A 1 A 2 A 3 .

Encontre o volume da pirâmide.

Encontre a equação do plano À 1 À 2 À 3 .

Usamos a fórmula para a equação de um plano que passa por três pontos.

2x + 2y + 2z - 8 = 0

Equação de superfície no espaço

Definição. Qualquer equação que relacione as coordenadas x, y, z de qualquer ponto em uma superfície é uma equação dessa superfície.

Equação geral do plano

Definição. Um plano é uma superfície cujos pontos satisfazem a equação geral:

Ax + By + Cz + D = 0,

onde A, B, C são as coordenadas do vetor

o vetor normal ao plano. Os seguintes casos especiais são possíveis:

A \u003d 0 - o plano é paralelo ao eixo Ox

B \u003d 0 - o plano é paralelo ao eixo Oy

C \u003d 0 - o plano é paralelo ao eixo Oz

D = 0 - o plano passa pela origem

A \u003d B \u003d 0 - o plano é paralelo ao plano xOy

A \u003d C \u003d 0 - o plano é paralelo ao plano xOz

B \u003d C \u003d 0 - o plano é paralelo ao plano yOz

A \u003d D \u003d 0 - o plano passa pelo eixo Ox

B \u003d D \u003d 0 - o plano passa pelo eixo Oy

C \u003d D \u003d 0 - o plano passa pelo eixo Oz

A \u003d B \u003d D \u003d 0 - o plano coincide com o plano xOy

A \u003d C \u003d D \u003d 0 - o plano coincide com o plano xOz

B \u003d C \u003d D \u003d 0 - o plano coincide com o plano yOz

Equação de um plano que passa por três pontos

Para que um único plano seja traçado através de quaisquer três pontos no espaço, é necessário que esses pontos não estejam em uma linha reta. Considere os pontos M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) no sistema geral de coordenadas cartesianas. Para que um ponto arbitrário M(x, y, z) esteja no mesmo plano que os pontos M1, M2, M3, os vetores devem ser coplanares.

Nesse caminho,

Equação de um plano que passa por três pontos:

Equação de um plano dados dois pontos e um vetor colinear ao plano

Sejam dados os pontos M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) e um vetor.

Vamos compor a equação do plano que passa pelos pontos dados M1 e M2 e um ponto arbitrário M(x, y, z) paralelo ao vetor.

Os vetores e o vetor devem ser coplanares, ou seja,

Equação do plano:

Equação de um plano em relação a um ponto e dois vetores colineares ao plano

Sejam dois vetores e planos colineares. Então, para um ponto arbitrário M(x, y, z) pertencente ao plano, os vetores devem ser coplanares. Equação do plano:

Equação do plano por ponto e vetor normal

Teorema. Se um ponto M0 (x0, y0, z0) é dado no espaço, então a equação do plano que passa pelo ponto M0 perpendicular ao vetor normal (A, B, C) tem a forma:

A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0.

Prova. Para um ponto arbitrário M(x, y, z) pertencente ao plano, compomos um vetor. Porque vetor é um vetor normal, então é perpendicular ao plano e, portanto, também perpendicular ao vetor. Então o produto escalar

Assim, obtemos a equação do plano

O teorema foi provado.

A equação geral de uma reta é chamada completo, se todos os seus coeficientes não forem iguais a 0. Caso contrário, a equação é chamada incompleto.

D=0 Ax+Vu+Сz=0- avião, passando pela origem das coordenadas.

Os demais casos são determinados pela posição do vetor normal n=( A; B; C).

A=0 Ву+Сz+D=0é a equação do plano, eixo paralelo Ox.(Porque o vetor normal n=( 0;B;C) é perpendicular ao eixo Ox).

B = 0 Ah+z+D=0 - avião Equação, paralela ao eixo y.(Porque o vetor normal n=( A; 0; C) é perpendicular ao eixo Oy).

C=0 Ah+Wu+D=0 - avião Equação, eixo paralelo Oz. (Porque o vetor normal n=( A; B; 0) é perpendicular ao eixo Oz).

A=B=0 z+D=0 – z=-D/C – a equação de um plano paralelo ao plano Oxy (porque este plano é paralelo aos eixos Ox e Oy).

A=C=0 Wu+D=0 - y=-D/B- a equação de um plano paralelo ao plano Oxz (porque este plano é paralelo aos eixos Ox e Oz).

B=C=0 Ah+D=0 – x=-D/A- a equação de um plano paralelo ao plano Oyz (porque este plano é paralelo aos eixos Oy e Oz).

A=D=0 Por+Cz=0 - equação do plano que passa pelo eixo x.

B=D=0 Ax+Cz=0 - equação do plano que passa pelo eixo Oy.

A=B=D=0 Cz=0 (z=0) – Plano de coordenadas Oxy.(porque este plano é paralelo a Oxy e passa pela origem).

A=C=D=0 By=0 (y=0) – plano de coordenadas Охz.(porque este plano é paralelo a Oxz e passa pela origem).

B=C=D=0 ax=0 (x=0) – plano de coordenadas Оуz.(porque este plano é paralelo a Oyz e passa pela origem).

Equação de um plano que passa por três pontos dados.

Derivamos a equação de um plano que passa por 3 pontos diferentes M 1 (x 1; y 1; z 1), M 2 (x 2; y 2; z 2), M 3 (x 3; y 3; z 3) , não deitado em uma linha reta. Então os vetores M 1 M 2 \u003d (x 2 -x 1; y 2 ​​-y 1; z 2 -z 1) e M 1 M 3 \u003d (x 3 -x 1; y 3 -y 1; z 3 -z 1) não são colineares. Portanto, o ponto M(x, y, z) está no mesmo plano com os pontos M 1 , M 2 e M 3 se e somente se os vetores M 1 M 2 , M 1 M 3 e M 1 M\u003d (x-x 1; y-y 1; z-z 1) - coplanar, ou seja  quando seu produto misto é 0

(M 1 MILÍMETROS 1 M 2 M 1 M 3 =0) , ou seja

(4) Equação de um plano que passa por 3 pontos dados.

(Expandindo o determinante ao longo da 1ª linha e simplificando, obtemos a equação geral do plano: Ax + Vy + Cz + D \u003d 0).

Este. três pontos definem exclusivamente um plano.

A equação do plano em segmentos sobre os eixos.

O plano Π intercepta os eixos coordenados nos pontos M 1 (a; 0; 0), M 2 (0; b; 0), M 3 (0; 0; c).

M (x; y; z) é um ponto variável do plano.

M 1 M=(x-a; y; z)

M 1 M 2 =(0-à;b;0) defina o plano dado

M 1 M 3 =(-a;0;c)

Aqueles. M 1 MILÍMETROS 1 M 2 M 1 M 3 =0

Vamos expandir na primeira linha: (х-а)bc-y(-ac)+zab=xbc-abc+yac+zab=0

Divida a igualdade por abc≠0. Nós temos:

(5) a equação do plano em segmentos sobre os eixos.

A equação (5) pode ser obtida a partir da equação geral do plano, assumindo que D≠0, divida por D

Denotando –D/A=a, -D/B=b, -C/D=c – obtemos a Equação 4.

Ângulo entre dois planos. Condições de paralelismo e perpendicularidade dos planos.

O ângulo φ entre dois planos α 1 e α 2 é medido por um ângulo plano entre 2 raios perpendiculares à linha ao longo da qual esses planos se cruzam. Quaisquer dois planos de interseção formam dois ângulos que somam . Basta definir um desses ângulos.

Sejam os planos dados pelas equações gerais:

 1 : UMA 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0

 2 : UMA 2 x+ B 2 y+ C 2 z+ D 2 =0

Considere PDSC (O, eu,j,k) no espaço R 3 . Seja  algum plano e vetor  N perpendicular a A. Fixamos um ponto arbitrário M 0 no plano  e pegamos o ponto atual M do espaço. Denote ` r =
e` r 0 =
. Então
=`r – `r 0 , e o ponto М se e somente se os vetores ` N e
ortogonal. Este último é possível quando

N .
= 0, ou seja, N . (`r-`r 0) = 0, (9)

essa equação é chamada equação vetorial aviões. Vetor ` N chamado normal vetor plano.

Se um ` N =(MAS, NO, A PARTIR DE), M 0 ( X 0 , no 0 , z 0), M( X, no, z) , então a equação (9) assume a forma

MAS( X – X 0) + B( no – no 0) + C( z – z 0) = 0, (10).

Essa equação é chamada de equação de um plano que passa por um dado ponto perpendicular a um dado vetor.

Para Sabe-se que através de três pontos pode-se traçar um plano. Seja M 1 ( X 1 , no 1 , z 1), M 3 ( X 2 , no 2 , z 2), M 3 ( X 3 , no 3 , z 3). Vamos encontrar a equação deste plano. De acordo com a equação vetorial (9), para escrever esta equação é necessário conhecer o ponto do plano e o vetor normal. Temos um ponto (por exemplo, M 1). E como um vetor normal, qualquer vetor perpendicular a este plano serve. Sabe-se que o produto vetorial de dois vetores é perpendicular ao plano em que esses vetores se encontram. Portanto, o produto vetorial de vetores
e
pode ser tomado como um vetor normal do plano :

` N =


Então a equação do plano  na forma vetorial tem a forma

. (

) =
.
.
= 0.

(note que obtivemos a condição para a complanaridade de vetores
,
,
).

Através das coordenadas dos pontos M 1, M 2, M 3 e M, esta equação pode ser escrita como

, (11)

e é chamada de equação do plano, passando por três pontos dados M 1 ( X 1 , no 1 , z 1), M 2 ( X 2 , no 2 , z 2), M 3 ( X 3 , no 3 , z 3).

Considere a equação (9) novamente, transforme-a:

Oh + Wu + cz +(–Oh 0 – Wu 0 – cz 0) = 0 ,

Oh + Wu + cz+D = 0, onde D = (– Oh 0 – Wu 0 – cz 0) .

A equação

Oh + Wu + cz+D = 0, (12)

chamado equação geral aviões. Aqui o vetorN = ( UMA, B, C) é o vetor normal do plano (ou seja, o vetor perpendicular ao plano). O teorema é verdadeiro:

Teorema 4.2.

No espaço R 3 qualquer plano pode ser descrito linear em relação às variáveis x y, z equação e vice-versa. qualquer equação do primeiro grau define algum plano.

Vamos estudar a localização do plano em relação ao sistema de coordenadas de acordo com sua equação geral Oh + Wu + cz+D = 0 .

Se o coeficiente D = 0, então as coordenadas do ponto O(0, 0, 0) satisfazem a equação Oh + Wu + cz= 0, então este ponto está no plano, ou seja plano com equação Oh + Wu + cz= 0 passa pela origem.

Se na equação geral do plano faltando um das variáveis ​​(o coeficiente correspondente é igual a zero), então o plano é paralelo ao eixo de coordenadas de mesmo nome. Por exemplo, a equação Oh + cz + D= 0 define um plano paralelo ao eixo y. De fato, o vetor normal tem coordenadas ` N= (A, 0, C) e é fácil verificar que ` Nj. Mas se um plano e um vetor são perpendiculares ao mesmo vetor, então eles são paralelos. Plano com equação Wu + cz= 0, neste caso, passa pelo eixo OX (ou seja, este eixo está no plano)

A ausência de dois variáveis ​​na equação do plano significa que o plano é paralelo ao plano de coordenadas correspondente, por exemplo, uma equação da forma Oh + D= 0 define um plano paralelo ao plano YOZ. O vetor normal tem coordenadas ` N= (A, 0, 0), é colinear ao vetor  eu, e, portanto, o plano é perpendicular ao vetor  eu, ou paralelo ao plano UOZ.

Equações de planos de coordenadas parece: COMO AS: z= 0, pl. XOZ: y= 0, pl. YOZ: x = 0.

De fato, o plano COMO passa pela origem (D = 0) e o vetor  k=(0, 0, 1) é seu vetor normal. Da mesma forma, os planos XOZ e YOZ passam pela origem (D = 0) e os vetores  j=(0, 1, 0) e  eu = (1,0,0) são suas normais, respectivamente.

Se D0, então transformamos a equação geral da seguinte forma

Oh + Wu+C z = –D,
,
.

O denotando aqui
,
,
, obtemos a equação
, (13)

que é chamada de equação do plano em segmentos nos eixos. Aqui uma, b, c são os valores dos segmentos cortados pelo plano nos eixos coordenados (Fig.). Esta equação é conveniente de usar para construir um plano em um sistema de coordenadas. É fácil verificar que os pontos ( uma, 0, 0), (0. b, 0), (0, 0, Com) deitada em um avião. As linhas que passam por esses pontos são chamadas de vestígios planos em planos coordenados.

Por exemplo, vamos construir um avião

2X – 3no + 4z –12 = 0.

Vamos trazer esta equação para a forma (13), obtemos

D Para construir um plano no sistema de coordenadas, marque o ponto (6, 0, 0) no eixo OX, o ponto (0, -4, 0) no eixo OY, (0, 0, 3) no eixo OZ , conecte-os com segmentos de linha reta (traços de plano). O triângulo resultante é uma parte do plano desejado, incluído entre os eixos de coordenadas.

De modo a encontre a equação do plano o suficiente para saber

Ou o vetor normal deste plano e qualquer um de seus pontos (equação (10));

Ou três pontos sobre um plano (equação (11)).

Arranjo mútuo de aviões no espaço é conveniente estudar usando os vetores correspondentes a eles. Se  é um plano com um vetor normal N, então

.

A derivação da fórmula é semelhante a como foi feita para uma linha reta em um plano. Realize-o por conta própria.

Pode ser especificado de diferentes maneiras (um ponto e um vetor, dois pontos e um vetor, três pontos, etc.). É com isso em mente que a equação do plano pode ter diferentes formas. Além disso, sob certas condições, os planos podem ser paralelos, perpendiculares, que se cruzam, etc. Vamos falar sobre isso neste artigo. Vamos aprender a escrever a equação geral do plano e não só.

Forma normal da equação

Digamos que existe um espaço R 3 que tem um sistema de coordenadas retangulares XYZ. Definimos o vetor α, que será liberado do ponto inicial O. Pela extremidade do vetor α traçamos o plano P, que será perpendicular a ele.

Denote por P um ponto arbitrário Q=(x, y, z). Vamos assinar o vetor raio do ponto Q com a letra p. O comprimento do vetor α é p=IαI e Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Este é um vetor unitário que aponta para o lado, assim como o vetor α. α, β e γ são os ângulos que se formam entre o vetor Ʋ e as direções positivas dos eixos espaciais x, y, z, respectivamente. A projeção de algum ponto QϵП no vetor Ʋ é um valor constante igual a р: (р,Ʋ) = р(р≥0).

Esta equação faz sentido quando p=0. A única coisa é que o plano P neste caso interceptará o ponto O (α=0), que é a origem, e o vetor unitário Ʋ liberado do ponto O será perpendicular a P, independentemente de sua direção, o que significa que o vetor Ʋ é determinado com precisão de sinal. A equação anterior é a equação do nosso plano P, expressa em forma vetorial. Mas em coordenadas ficará assim:

P aqui é maior ou igual a 0. Encontramos a equação de um plano no espaço em sua forma normal.

Equação Geral

Se multiplicarmos a equação em coordenadas por qualquer número que não seja igual a zero, obtemos uma equação equivalente à dada, que determina esse mesmo plano. Isso parecerá assim:

Aqui A, B, C são números que são simultaneamente diferentes de zero. Essa equação é chamada de equação geral do plano.

Equações planas. Casos especiais

A equação na forma geral pode ser modificada na presença de condições adicionais. Vamos considerar alguns deles.

Suponha que o coeficiente A seja 0. Isso significa que o plano dado é paralelo ao eixo dado Ox. Neste caso, a forma da equação mudará: Ву+Cz+D=0.

Da mesma forma, a forma da equação mudará sob as seguintes condições:

• Em primeiro lugar, se B = 0, então a equação mudará para Ax + Cz + D = 0, o que indicará paralelismo ao eixo Oy.
• Em segundo lugar, se С=0, então a equação é transformada em Ах+Ву+D=0, o que indicará paralelismo ao eixo dado Oz.
• Em terceiro lugar, se D=0, a equação se parecerá com Ax+By+Cz=0, o que significa que o plano intercepta O (a origem).
• Quarto, se A=B=0, então a equação mudará para Cz+D=0, que será paralela a Oxy.
• Quinto, se B=C=0, então a equação se torna Ax+D=0, o que significa que o plano para Oyz é paralelo.
• Sexto, se A=C=0, então a equação tomará a forma Ву+D=0, ou seja, reportará paralelismo para Oxz.

Tipo de equação em segmentos

No caso em que os números A, B, C, D são diferentes de zero, a forma da equação (0) pode ser a seguinte:

x/a + y/b + z/c = 1,

em que a \u003d -D / A, b \u003d -D / B, c \u003d -D / C.

Obtemos como resultado Vale a pena notar que este plano cruzará o eixo Ox em um ponto com coordenadas (a,0,0), Oy - (0,b,0) e Oz - (0,0,c) .

Levando em conta a equação x/a + y/b + z/c = 1, é fácil representar visualmente a colocação do plano em relação a um determinado sistema de coordenadas.

Coordenadas vetoriais normais

O vetor normal n ao plano P tem coordenadas que são os coeficientes da equação geral do plano dado, ou seja, n (A, B, C).

Para determinar as coordenadas da normal n, basta conhecer a equação geral de um plano dado.

Ao usar a equação em segmentos, que tem a forma x/a + y/b + z/c = 1, bem como ao usar a equação geral, pode-se escrever as coordenadas de qualquer vetor normal de um determinado plano: (1 /a + 1/b + 1/ Com).

Deve-se notar que o vetor normal ajuda a resolver vários problemas. As mais comuns são tarefas que consistem em provar a perpendicularidade ou paralelismo de planos, problemas em encontrar ângulos entre planos ou ângulos entre planos e linhas.

Vista da equação do plano segundo as coordenadas do ponto e do vetor normal

Um vetor diferente de zero n perpendicular a um determinado plano é chamado normal (normal) para um determinado plano.

Suponha que no espaço de coordenadas (sistema de coordenadas retangulares) Oxyz seja dado:

• ponto Mₒ com coordenadas (xₒ,yₒ,zₒ);
• vetor zero n=A*i+B*j+C*k.

É necessário compor uma equação para um plano que passará pelo ponto Mₒ perpendicular à normal n.

No espaço, escolhemos qualquer ponto arbitrário e o denotamos por M (x y, z). Seja o vetor raio de qualquer ponto M (x, y, z) r=x*i+y*j+z*k, e o vetor raio do ponto Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. O ponto M pertencerá ao plano dado se o vetor MₒM for perpendicular ao vetor n. Escrevemos a condição de ortogonalidade usando o produto escalar:

[MₒM, n] = 0.

Como MₒM \u003d r-rₒ, a equação vetorial do plano ficará assim:

Esta equação pode assumir outra forma. Para fazer isso, as propriedades do produto escalar são usadas e o lado esquerdo da equação é transformado. = - . Se denotado como c, a seguinte equação será obtida: - c \u003d 0 ou \u003d c, que expressa a constância das projeções no vetor normal dos vetores de raio dos pontos dados que pertencem ao plano.

Agora você pode obter a forma coordenada de escrever a equação vetorial do nosso plano = 0. Como r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, e n = A*i+B *j+C*k, temos:

Acontece que temos uma equação para um plano que passa por um ponto perpendicular à normal n:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Vista da equação do plano de acordo com as coordenadas de dois pontos e um vetor colinear ao plano

Definimos dois pontos arbitrários M′ (x′,y′,z′) e M″ (x″,y″,z″), bem como o vetor a (a′,a″,a‴).

Agora podemos compor uma equação para um determinado plano, que passará pelos pontos disponíveis M′ e M″, bem como por qualquer ponto M com coordenadas (x, y, z) paralelas ao vetor dado a.

Neste caso, os vetores M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) e M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) devem ser coplanares com o vetor a=(a′,a″,a‴), o que significa que (M′M, M″M, a)=0.

Então, nossa equação de um plano no espaço ficará assim:

Tipo da equação de um plano que intercepta três pontos

Suponha que temos três pontos: (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), que não pertencem à mesma reta. É necessário escrever a equação do plano que passa pelos três pontos dados. A teoria da geometria afirma que esse tipo de plano realmente existe, só que é o único e inimitável. Como este plano intercepta o ponto (x′, y′, z′), a forma de sua equação será a seguinte:

Aqui A, B, C são diferentes de zero ao mesmo tempo. Além disso, o plano dado cruza mais dois pontos: (x″,y″,z″) e (x‴,y‴,z‴). Nesse sentido, as seguintes condições devem ser atendidas:

Agora podemos compor um sistema homogêneo com incógnitas u, v, w:

No nosso caso, x, y ou z é um ponto arbitrário que satisfaz a equação (1). Levando em conta a equação (1) e o sistema de equações (2) e (3), o sistema de equações indicado na figura acima satisfaz o vetor N (A, B, C), que não é trivial. É por isso que o determinante desse sistema é igual a zero.

A equação (1), que obtivemos, é a equação do plano. Ele passa exatamente por 3 pontos, e isso é fácil de verificar. Para fazer isso, precisamos expandir nosso determinante sobre os elementos da primeira linha. Segue-se das propriedades existentes do determinante que nosso plano intercepta simultaneamente três pontos inicialmente dados (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Ou seja, resolvemos a tarefa proposta diante de nós.

Ângulo diedro entre planos

Um ângulo diedro é uma figura geométrica espacial formada por dois semiplanos que emanam de uma linha reta. Em outras palavras, esta é a parte do espaço que é limitada por esses semiplanos.

Digamos que temos dois planos com as seguintes equações:

Sabemos que os vetores N=(A,B,C) e N¹=(A¹,B¹,C¹) são perpendiculares aos planos dados. Nesse sentido, o ângulo φ entre os vetores N e N¹ é igual ao ângulo ( diedro), que está entre esses planos. O produto escalar tem a forma:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

precisamente porque

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Basta levar em conta que 0≤φ≤π.

De fato, dois planos que se cruzam formam dois ângulos (diédricos): φ 1 e φ 2 . Sua soma é igual a π (φ 1 + φ 2 = π). Quanto aos seus cossenos, seus valores absolutos são iguais, mas diferem em sinais, ou seja, cos φ 1 =-cos φ 2. Se na equação (0) substituirmos A, B e C pelos números -A, -B e -C, respectivamente, então a equação que obtemos determinará o mesmo plano, o único ângulo φ na equação cos φ= NN 1 /|N||N 1 | será substituído por π-φ.

Equação do plano perpendicular

Os planos são chamados perpendiculares se o ângulo entre eles for de 90 graus. Usando o material descrito acima, podemos encontrar a equação de um plano perpendicular a outro. Digamos que temos dois planos: Ax+By+Cz+D=0 e A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Podemos afirmar que serão perpendiculares se cosφ=0. Isso significa que NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Equação do plano paralelo

Paralelos são dois planos que não contêm pontos comuns.

A condição (suas equações são as mesmas do parágrafo anterior) é que os vetores N e N¹, que são perpendiculares a eles, sejam colineares. Isso significa que as seguintes condições de proporcionalidade são satisfeitas:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Se as condições de proporcionalidade forem estendidas - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

isso indica que esses planos coincidem. Isso significa que as equações Ax+By+Cz+D=0 e A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 descrevem um plano.

Distância ao plano do ponto

Digamos que temos um plano P, que é dado pela equação (0). É necessário encontrar a distância até ele do ponto com coordenadas (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Para fazer isso, você precisa trazer a equação do plano P para a forma normal:

(ρ,v)=p (p≥0).

Neste caso, ρ(x,y,z) é o vetor raio do nosso ponto Q localizado em P, p é o comprimento da perpendicular a P que foi liberada do ponto zero, v é o vetor unitário que está localizado em a direção.

A diferença ρ-ρº do vetor de raio de algum ponto Q \u003d (x, y, z) pertencente a P, bem como o vetor de raio de um determinado ponto Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) é tal vetor, cujo valor absoluto da projeção em v é igual à distância d, que deve ser encontrada de Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) a P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, mas

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

Então acontece

d=|(ρ 0 ,v)-p|.

Assim, encontraremos o valor absoluto da expressão resultante, ou seja, o d desejado.

Usando a linguagem dos parâmetros, obtemos o óbvio:

d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).

Se o ponto dado Q 0 está do outro lado do plano P, assim como a origem, então entre o vetor ρ-ρ 0 e v é, portanto:

d=-(ρ-ρ0,v)=(ρ0,v)-p>0.

No caso em que o ponto Q 0, juntamente com a origem, está localizado no mesmo lado de P, então o ângulo criado é agudo, ou seja:

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)>0.

Como resultado, verifica-se que no primeiro caso (ρ 0 ,v)> р, no segundo (ρ 0 ,v)<р.

Plano tangente e sua equação

O plano tangente à superfície no ponto de contato Mº é o plano que contém todas as tangentes possíveis às curvas traçadas por este ponto na superfície.

Com esta forma da equação de superfície F (x, y, z) \u003d 0, a equação do plano tangente no ponto tangente Mº (xº, yº, zº) ficará assim:

F x (xº, yº, zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº, zº)(z-zº)=0.

Se você especificar a superfície na forma explícita z=f (x, y), então o plano tangente será descrito pela equação:

z-zº = f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y-yº).

Intersecção de dois planos

No sistema de coordenadas (retangular) Oxyz está localizado, dois planos П′ e П″ são dados, que se cruzam e não coincidem. Como qualquer plano localizado em um sistema de coordenadas retangulares é determinado pela equação geral, assumiremos que P′ e P″ são dados pelas equações A′x+B′y+C′z+D′=0 e A″x +B″y+ С″z+D″=0. Neste caso, temos o n' normal (A', B', C') do plano P' e o n' (A', B', C') normal do plano P'. Como nossos planos não são paralelos e não coincidem, esses vetores não são colineares. Usando a linguagem da matemática, podemos escrever esta condição da seguinte forma: n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Seja a linha que está na intersecção de P′ e P″ denotada pela letra a, neste caso a = P′ ∩ P″.

a é uma linha reta que consiste no conjunto de todos os pontos dos planos (comuns) П′ e П″. Isso significa que as coordenadas de qualquer ponto pertencente à linha a devem satisfazer simultaneamente as equações A′x+B′y+C′z+D′=0 e A″x+B″y+C″z+D″= 0. Isso significa que as coordenadas do ponto serão uma solução particular do seguinte sistema de equações:

Como resultado, verifica-se que a solução (geral) deste sistema de equações determinará as coordenadas de cada um dos pontos da linha reta, que atuará como o ponto de interseção de П′ e П″, e determinará a reta linha a no sistema de coordenadas Oxyz (retangular) no espaço.