Neste artigo, vamos nos deter no conceito de produto vetorial de dois vetores. Daremos as definições necessárias, escreveremos uma fórmula para encontrar as coordenadas de um produto vetorial, listaremos e justificaremos suas propriedades. Depois disso, vamos nos deter no significado geométrico do produto vetorial de dois vetores e considerar as soluções de vários exemplos típicos.

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Definição de produto vetorial.

Antes de dar uma definição de produto vetorial, vamos tratar da orientação de uma tripla ordenada de vetores no espaço tridimensional.

Vamos adiar vetores de um ponto. Dependendo da direção do vetor, o triplo pode ser à direita ou à esquerda. Vamos ver do final do vetor como a curva mais curta do vetor para . Se a rotação mais curta for no sentido anti-horário, então o triplo de vetores é chamado certo, de outra forma - esquerda.

Agora vamos pegar dois vetores não colineares e . Separe os vetores e do ponto A. Vamos construir algum vetor que seja perpendicular a e e ao mesmo tempo. Obviamente, ao construir um vetor, podemos fazer duas coisas, dando a ele uma direção ou a oposta (veja a ilustração).

Dependendo da direção do vetor, o triplo ordenado de vetores pode ser à direita ou à esquerda.

Então chegamos perto da definição de um produto vetorial. É dado para dois vetores dados em um sistema de coordenadas retangulares de espaço tridimensional.

Definição.

Produto vetorial de dois vetores e , dado em um sistema de coordenadas retangulares do espaço tridimensional, é chamado de vetor tal que

O produto vetorial de vetores e é denotado como .

Coordenadas do produto vetorial.

Agora damos a segunda definição de um produto vetorial, que nos permite encontrar suas coordenadas a partir das coordenadas dos vetores dados e.

Definição.

Em um sistema de coordenadas retangulares de espaço tridimensional produto vetorial de dois vetores E é um vetor , onde são vetores coordenados.

Esta definição nos dá o produto vetorial na forma de coordenadas.

É conveniente representar o produto vetorial como um determinante de uma matriz quadrada de terceira ordem, cuja primeira linha é o orts, a segunda linha contém as coordenadas do vetor e a terceira linha contém as coordenadas do vetor em um dado sistema de coordenadas retangulares:

Se expandirmos esse determinante pelos elementos da primeira linha, obteremos a igualdade da definição do produto vetorial em coordenadas (se necessário, consulte o artigo):

Deve-se notar que a forma coordenada do produto vetorial é totalmente consistente com a definição dada no primeiro parágrafo deste artigo. Além disso, essas duas definições de produto vetorial são equivalentes. A prova deste fato pode ser encontrada no livro indicado no final do artigo.

Propriedades do produto vetorial.

Como o produto vetorial em coordenadas pode ser representado como o determinante da matriz, o seguinte pode ser facilmente comprovado com base propriedades do produto vetorial:

Como exemplo, vamos provar a propriedade anticomutatividade de um produto vetorial.

Priorado E . Sabemos que o valor do determinante de uma matriz é invertido quando duas linhas são trocadas, então, , o que prova a propriedade de anticomutatividade do produto vetorial.

Produto vetorial - exemplos e soluções.

Basicamente, existem três tipos de tarefas.

Nos problemas do primeiro tipo, os comprimentos de dois vetores e o ângulo entre eles são dados, e é necessário encontrar o comprimento do produto vetorial. Neste caso, usa-se a fórmula .

Exemplo.

Encontre o comprimento do produto vetorial de vetores e, se conhecido .

Solução.

Sabemos pela definição que o comprimento do produto vetorial de vetores e é igual ao produto dos comprimentos dos vetores vezes o seno do ângulo entre eles, portanto, .

Responder:

.

As tarefas do segundo tipo estão associadas às coordenadas dos vetores, nas quais o produto vetorial, seu comprimento ou qualquer outra coisa é pesquisado nas coordenadas dos vetores fornecidos E .

Existem muitas opções diferentes disponíveis aqui. Por exemplo, não as coordenadas dos vetores e , mas suas expansões em vetores de coordenadas da forma e , ou vetores e podem ser especificados pelas coordenadas de seus pontos inicial e final.

Vamos considerar exemplos típicos.

Exemplo.

Dois vetores são dados em um sistema de coordenadas retangulares . Encontre seu produto vetorial.

Solução.

De acordo com a segunda definição, o produto vetorial de dois vetores em coordenadas é escrito como:

Teríamos chegado ao mesmo resultado se tivéssemos escrito o produto vetorial pelo determinante

Responder:

.

Exemplo.

Encontre o comprimento do produto vetorial de vetores e , onde são os orts do sistema de coordenadas cartesianas retangulares.

Solução.

Primeiro, encontre as coordenadas do produto vetorial em um dado sistema de coordenadas retangulares.

Como os vetores e têm coordenadas e respectivamente (se necessário, consulte as coordenadas do artigo de um vetor em um sistema de coordenadas retangulares), então, de acordo com a segunda definição de um produto vetorial, temos

Ou seja, o produto vetorial tem coordenadas no sistema de coordenadas fornecido.

Encontramos o comprimento de um produto vetorial como a raiz quadrada da soma dos quadrados de suas coordenadas (obtivemos esta fórmula para o comprimento de um vetor na seção sobre como encontrar o comprimento de um vetor):

Responder:

.

Exemplo.

As coordenadas de três pontos são dadas em um sistema de coordenadas cartesiano retangular. Encontre algum vetor que seja perpendicular a e ao mesmo tempo.

Solução.

Os vetores e possuem coordenadas e, respectivamente (veja o artigo encontrando as coordenadas de um vetor através das coordenadas dos pontos). Se encontrarmos o produto vetorial de vetores e , então, por definição, é um vetor perpendicular a e a, ou seja, é a solução do nosso problema. vamos encontrá-lo

Responder:

é um dos vetores perpendiculares.

Nas tarefas do terceiro tipo, é verificada a habilidade de usar as propriedades do produto vetorial de vetores. Depois que as propriedades são aplicadas, as fórmulas correspondentes são aplicadas.

Exemplo.

Os vetores e são perpendiculares e seus comprimentos são 3 e 4, respectivamente. Encontre o comprimento do produto vetorial .

Solução.

Pela propriedade de distributividade do produto vetorial, podemos escrever

Em virtude da propriedade associativa, retiramos os coeficientes numéricos para o sinal dos produtos vetoriais na última expressão:

Produtos vetoriais e são iguais a zero, pois E , Então .

Como o produto vetorial é anticomutativo, então .

Então, usando as propriedades do produto vetorial, chegamos à igualdade .

Por condição, os vetores e são perpendiculares, ou seja, o ângulo entre eles é igual a . Ou seja, temos todos os dados para encontrar o comprimento necessário

Responder:

.

O significado geométrico do produto vetorial.

Por definição, o comprimento do produto vetorial de vetores é . E do curso de geometria do ensino médio, sabemos que a área de um triângulo é igual à metade do produto dos comprimentos dos dois lados do triângulo pelo seno do ângulo entre eles. Portanto, o comprimento do produto vetorial é igual ao dobro da área de um triângulo com lados dos vetores e , se forem adiados de um ponto. Em outras palavras, o comprimento do produto vetorial de vetores e é igual à área de um paralelogramo com lados ee um ângulo entre eles igual a . Este é o significado geométrico do produto vetorial.

Teste nº 1

Vetores. Elementos de álgebra superior

1-20. Os comprimentos dos vetores e e são conhecidos; é o ângulo entre esses vetores.

Calcule: 1) e, 2) .3) Encontre a área de um triângulo construído sobre os vetores e.

Faça um desenho.

Solução. Usando a definição do produto escalar de vetores:

E as propriedades do produto escalar: ,

1) encontre o quadrado escalar do vetor:

isto é, então.

Argumentando de forma semelhante, obtemos

isto é, então.

Por definição de um produto vetorial: ,

tendo em conta o facto de

A área de um triângulo construído sobre vetores e é igual a

21-40. As coordenadas de três vértices são conhecidas A,B,D paralelogramo ABCD. Por meio da álgebra vetorial, você precisa:

A(3;0;-7), B(2;4;6), D(-7;-5;1)

Solução.

Sabe-se que as diagonais de um paralelogramo no ponto de interseção são divididas ao meio. Portanto, as coordenadas do ponto E- interseções das diagonais - encontre as coordenadas do meio do segmento BD. denotando-os com x E ,y E , z E nós entendemos isso

Nós temos .

Conhecendo as coordenadas do ponto E- pontos médios diagonais BD e as coordenadas de uma de suas extremidades A(3;0;-7), pelas fórmulas determinamos as coordenadas desejadas do vértice COM paralelogramo:

Então o topo.

2) Para encontrar a projeção de um vetor sobre um vetor , encontramos as coordenadas desses vetores: ,

da mesma maneira . A projeção de um vetor sobre um vetor , encontramos pela fórmula:

3) O ângulo entre as diagonais do paralelogramo é encontrado como o ângulo entre os vetores

E pela propriedade do produto escalar:

Então

4) A área do paralelogramo é encontrada como o módulo do produto vetorial:

5) O volume da pirâmide é encontrado como um sexto do módulo do produto misto de vetores , onde O(0;0;0), então

Em seguida, o volume desejado (unidades cúbicas)

41-60. Dados da matriz:

V C -1 +3A T

Designações:

Primeiro, encontramos a inversa da matriz C.

Para fazer isso, encontramos seu determinante:

O determinante é diferente de zero, portanto, a matriz é não singular e para ela você pode encontrar a matriz inversa C -1

Vamos encontrar complementos algébricos pela fórmula , onde é o menor do elemento:

Então , .

61–80. Resolva o sistema de equações lineares:

método de Cramer; 2. Método matricial.

Solução.

a) Método de Cramer

Vamos encontrar o determinante do sistema

Como , o sistema tem uma única solução.

Encontre os determinantes e , substituindo a primeira, segunda e terceira colunas na matriz de coeficientes, respectivamente, por uma coluna de membros livres.

De acordo com as fórmulas de Cramer:

b)método matricial (usando a matriz inversa).

Escrevemos esse sistema na forma de matriz e o resolvemos usando a matriz inversa.

Deixar Aé a matriz de coeficientes para incógnitas; xé a matriz coluna de incógnitas x, y, z E Hé uma matriz coluna de membros livres:

O lado esquerdo do sistema (1) pode ser escrito como um produto de matrizes e o lado direito como uma matriz H. Portanto, temos a equação matricial

Como o determinante da matriz A for diferente de zero (item "a"), então a matriz A tem uma matriz inversa. Multiplicando ambas as partes da igualdade (2) à esquerda pela matriz , obtemos

Desde onde Eé a matriz identidade, e , então

Seja uma matriz não singular A:

Então a matriz inversa é encontrada pela fórmula:

Onde A eu j- complemento algébrico de um elemento a eu j em determinante de matriz A, que é o produto de (-1) i+j e o menor (determinante) n-1 ordem obtida por deleção i-ésima linhas e j-th colunas no determinante da matriz A:

Daqui obtemos a matriz inversa:

Coluna X: X=A -1 H

81–100. Resolva um sistema de equações lineares usando o método de Gauss

Solução. Escrevemos o sistema na forma de uma matriz estendida:

Realizamos transformações elementares com strings.

Da 2ª linha subtraímos a primeira linha multiplicada por 2. Da linha 3 subtraímos a primeira linha multiplicada por 4. Da linha 4 subtraímos a primeira linha, obtemos a matriz:

Em seguida, obtemos zero na primeira coluna das linhas subseqüentes, para isso subtraímos a terceira linha da segunda linha. Da terceira linha subtraímos a segunda linha multiplicada por 2. Da quarta linha subtraímos a segunda linha multiplicada por 3. Como resultado, obtemos uma matriz da forma:

Subtraia o terceiro da quarta linha.

Troque a penúltima e a última linha:

A última matriz é equivalente ao sistema de equações:

Da última equação do sistema encontramos .

Substituindo na penúltima equação, obtemos .

Segue da segunda equação do sistema que

Da primeira equação encontramos x:

Responder:

Exame nº 2

Geometria analítica

1-20. Dadas as coordenadas dos vértices do triângulo ABC. Encontrar:

1) comprimento lateral AEM;

2) equações laterais AB E sol e suas encostas;

3) ângulo EM em radianos com duas casas decimais;

4) equação da altura CD e seu comprimento

5) equação mediana AE

altura CD;

PARA paralelo ao lado AB,

7) faça um desenho.

A(3;6), B(15;-3), C(13;11)

Solução.

Aplicando (1), encontramos o comprimento do lado AB:

2) equações laterais AB E sol e suas inclinações:

A equação de uma reta que passa pelos pontos e tem a forma

Substituindo em (2) as coordenadas dos pontos A E EM, obtemos a equação do lado AB:

(AB).

(BC).

3) ângulo EM em radianos com duas casas decimais.

Sabe-se que a tangente do ângulo entre duas retas, cujos coeficientes de inclinação são respectivamente iguais e é calculada pela fórmula

Ângulo desejado EM formado por direto AB E sol, cujos coeficientes angulares são encontrados: ; . Aplicando (3), obtemos

; , ou

4) equação da altura CD e seu comprimento.

Distância do ponto C à linha AB:

5) equação mediana AE e as coordenadas do ponto K da intersecção desta mediana com

altura CD.

BC do meio:

Então a equação AE:

Resolvemos o sistema de equações:

6) equação de uma reta que passa por um ponto PARA paralelo ao lado AB:

Como a linha desejada é paralela ao lado AB, então sua inclinação será igual à inclinação da linha reta AB. Substituindo em (4) as coordenadas do ponto encontrado PARA e coeficiente angular , obtemos

; (KF).

A área de um paralelogramo é de 12 metros quadrados. unidades, dois de seus vértices são pontos A(-1;3) E B(-2;4). Encontre dois outros vértices desse paralelogramo se for conhecido que o ponto de interseção de suas diagonais está no eixo x. Faça um desenho.

Solução. Deixe o ponto de intersecção das diagonais têm coordenadas .

Então é óbvio que

daí as coordenadas dos vetores .

A área de um paralelogramo é encontrada pela fórmula

Então as coordenadas dos outros dois vértices são .

Nos problemas 51-60, as coordenadas dos pontos A e B. Obrigatório:

Escreva a equação canônica de uma hipérbole passando por pontos dados A e B se os focos da hipérbole estiverem localizados no eixo x;

Encontre semieixos, focos, excentricidade e equações de assíntotas desta hipérbole;

Encontre todos os pontos de interseção de uma hipérbole com um círculo centrado na origem se esse círculo passar pelos focos da hipérbole;

Construa uma hipérbole, suas assíntotas e um círculo.

A(6;-2), B(-8;12).

Solução. A equação da hipérbole desejada na forma canônica é escrita

Onde aé o semi-eixo real da hipérbole, b- eixo imaginário. Substituindo as coordenadas do ponto A E EM nesta equação encontramos estes semi-eixos:

- a equação da hipérbole: .

Semieixos a=4,

distância focal Focos (-8.0) e (8.0)

Excentricidade

Aciptotes:

Se o círculo passa pela origem, sua equação

Substituindo um dos focos, encontramos também a equação do círculo

Encontre os pontos de interseção da hipérbole e do círculo:

Construindo um desenho:

Nos problemas 61-80 plote a função no sistema de coordenadas polares por pontos, dando valores  através do intervalo  /8 (0   2). Encontre a equação da linha em um sistema de coordenadas cartesiano retangular (o semi-eixo positivo da abcissa coincide com o eixo polar e o pólo coincide com a origem).

Solução. Vamos construir uma linha por pontos, tendo previamente preenchido a tabela de valores e φ.

Número	φ ,	φ, graus			Número	φ , alegre	graus
								3∙(x 2 +2∙1x + 1) -3∙1 = 3(x+1) 2 - 3 concluímos que esta equação define uma elipse: Pontos dados A, EM , CD . Necessário para encontrar: 1. Equação do plano (Q), passando por pontos A,B,C D no avião (Q); 2. Equação de uma reta (EU) passando por pontos EM e D; 3. Ângulo entre o plano (Q) e direto (EU); 4. Equação do plano (R), passando por um ponto A perpendicular à linha (EU); 5. Ângulo entre planos (R) E (Q) ; 6. Equação da reta (T), passando por um ponto A na direção de seu vetor raio; 7. Ângulo entre linhas retas (EU) E (T). A(9;-8;1), B(-9;4;5), C(9;-5;5),D(6;4;0) 1. Equação do plano (Q), passando por pontos A,B,C e verifique se o ponto está D no plano é determinado pela fórmula Find : 1) . 2) Quadrado paralelogramo, construído sobre E. 3) O volume do paralelepípedo, construído sobre vetores, E. Ao controle Trabalho neste tópico " elementos teoria dos espaços lineares... Orientações para a realização de provas para cursos de graduação por correspondência para habilitação 080100. 62 na direção Diretrizes O paralelepípedo e o volume da pirâmide, construído sobre vetores, E. Solução: 2-=2(1;1;1)-(2;1;4)= (2;2;2)-(2;1;4)=(0;1;-2).. . . . . 4. TAREFAS PARA AO CONTROLE FUNCIONA Seção I. Linear álgebra. 1 – 10. Dana...

Nesta lição, veremos mais duas operações com vetores: produto vetorial de vetores E produto misto de vetores (link imediato para quem precisar). Tudo bem, às vezes acontece que para felicidade completa, além de produto escalar de vetores, mais e mais é necessário. Esse é o vício em vetores. Pode-se ter a impressão de que estamos entrando na selva da geometria analítica. Isto está errado. Nesta seção de matemática superior, geralmente há pouca lenha, exceto talvez o suficiente para Pinóquio. Na verdade, o material é muito comum e simples - dificilmente mais difícil do que o mesmo produto escalar, mesmo haverá menos tarefas típicas. O principal na geometria analítica, como muitos verão ou já viram, é NÃO ERRAR OS CÁLCULOS. Repita como um feitiço, e você será feliz =)

Se os vetores brilham em algum lugar distante, como um raio no horizonte, não importa, comece com a lição Vetores para manequins restaurar ou readquirir conhecimentos básicos sobre vetores. Leitores mais preparados podem se familiarizar com as informações seletivamente, tentei coletar a coleção mais completa de exemplos que costumam ser encontrados em trabalhos práticos

O que vai te fazer feliz? Quando eu era pequeno, conseguia fazer malabarismos com duas e até três bolas. Funcionou bem. Agora não há necessidade de fazer malabarismos, pois consideraremos apenas vetores espaciais, e vetores planos com duas coordenadas serão deixados de fora. Por que? Foi assim que nasceram essas ações - o vetor e o produto misto de vetores são definidos e funcionam no espaço tridimensional. Já mais fácil!

Nesta operação, da mesma forma que no produto escalar, dois vetores. Que sejam letras imperecíveis.

A própria ação denotado Da seguinte maneira: . Existem outras opções, mas estou acostumado a designar o produto vetorial de vetores dessa forma, entre colchetes com uma cruz.

E imediatamente pergunta: se em produto escalar de vetores dois vetores estão envolvidos, e aqui dois vetores também são multiplicados, então Qual é a diferença? Uma clara diferença, antes de tudo, no RESULTADO:

O resultado do produto escalar de vetores é um NÚMERO:

O resultado do produto vetorial de vetores é um VETOR: , ou seja, multiplicamos os vetores e obtemos um vetor novamente. Clube fechado. Na verdade, daí o nome da operação. Em várias literaturas educacionais, as designações também podem variar, usarei a letra .

Definição de produto vetorial

Primeiro haverá uma definição com uma imagem, depois comentários.

Definição: produto cruzado não colinear vetores, tomadas nesta ordem, é chamado de VETOR, comprimento que é numericamente igual à área do paralelogramo, construído sobre esses vetores; vetor ortogonal a vetores, e é direcionado para que a base tenha uma orientação correta:

Analisamos a definição por ossos, tem muita coisa interessante!

Assim, podemos destacar os seguintes pontos significativos:

1) Vetores de origem, indicados por setas vermelhas, por definição não colinear. Será apropriado considerar o caso de vetores colineares um pouco mais tarde.

2) Vetores obtidos em uma ordem estrita: – "a" é multiplicado por "ser", não "ser" para "a". O resultado da multiplicação de vetoresé VECTOR , que é indicado em azul. Se os vetores forem multiplicados na ordem inversa, obtemos um vetor igual em comprimento e oposto na direção (cor carmesim). Ou seja, a igualdade .

3) Agora vamos nos familiarizar com o significado geométrico do produto vetorial. Este é um ponto muito importante! O COMPRIMENTO do vetor azul (e, portanto, do vetor carmesim ) é numericamente igual à ÁREA do paralelogramo construído sobre os vetores . Na figura, este paralelogramo está sombreado em preto.

Observação : o desenho é esquemático e, claro, o comprimento nominal do produto transversal não é igual à área do paralelogramo.

Recordamos uma das fórmulas geométricas: a área de um paralelogramo é igual ao produto dos lados adjacentes e o seno do ângulo entre eles. Portanto, com base no exposto, a fórmula para calcular o COMPRIMENTO de um produto vetorial é válida:

Ressalto que na fórmula estamos falando do COMPRIMENTO do vetor, e não do vetor em si. Qual é o significado prático? E o significado é tal que, em problemas de geometria analítica, a área de um paralelogramo costuma ser encontrada por meio do conceito de produto vetorial:

Obtemos a segunda fórmula importante. A diagonal do paralelogramo (linha pontilhada vermelha) divide-o em dois triângulos iguais. Portanto, a área de um triângulo construído em vetores (sombreamento vermelho) pode ser encontrada pela fórmula:

4) Um fato igualmente importante é que o vetor é ortogonal aos vetores , ou seja . Obviamente, o vetor de direção oposta (seta carmesim) também é ortogonal aos vetores originais.

5) O vetor é orientado de modo que base Tem certo orientação. Em uma aula sobre transição para uma nova base falei detalhadamente sobre orientação plana, e agora vamos descobrir qual é a orientação do espaço. vou explicar em seus dedos mão direita. combinar mentalmente dedo indicador com vetor e dedo do meio com vetor. Dedo anelar e dedo mínimo pressione na palma da mão. Como resultado dedão- o produto vetorial irá aparecer. Esta é a base orientada para a direita (está na figura). Agora troque os vetores ( dedos indicador e médio) em alguns lugares, como resultado, o polegar vai virar e o produto vetorial já vai olhar para baixo. Esta é também uma base orientada para a direita. Talvez você tenha uma pergunta: que base tem orientação à esquerda? "Atribuir" os mesmos dedos mão esquerda vectors , e obtenha a base esquerda e a orientação espacial esquerda (neste caso, o polegar estará localizado na direção do vetor inferior). Falando figurativamente, essas bases “torcem” ou orientam o espaço em diferentes direções. E esse conceito não deve ser considerado algo rebuscado ou abstrato - por exemplo, o espelho mais comum muda a orientação do espaço, e se você “puxar o objeto refletido para fora do espelho”, em geral não será possível combiná-lo com o “original”. A propósito, leve três dedos ao espelho e analise o reflexo ;-)

... que bom que agora você conhece orientado para a direita e para a esquerda bases, pois as afirmações de alguns palestrantes sobre a mudança de orientação são péssimas =)

Produto vetorial de vetores colineares

A definição foi elaborada em detalhes, resta descobrir o que acontece quando os vetores são colineares. Se os vetores forem colineares, eles podem ser colocados em uma linha reta e nosso paralelogramo também “dobra” em uma linha reta. A área de tal, como dizem os matemáticos, degenerar paralelogramo é zero. O mesmo decorre da fórmula - o seno de zero ou 180 graus é igual a zero, o que significa que a área é zero

Assim, se , então E . Observe que o próprio produto vetorial é igual ao vetor zero, mas na prática isso é frequentemente negligenciado e escrito que também é igual a zero.

Um caso especial é o produto vetorial de um vetor e ele mesmo:

Usando o produto vetorial, você pode verificar a colinearidade de vetores tridimensionais, e também analisaremos esse problema, entre outros.

Para resolver exemplos práticos, pode ser necessário tabela trigonométrica para encontrar os valores dos senos a partir dele.

Bem, vamos começar um incêndio:

Exemplo 1

a) Encontre o comprimento do produto vetorial de vetores se

b) Encontre a área de um paralelogramo construído sobre vetores se

Solução: Não, isso não é um erro de digitação, intencionalmente fiz os mesmos dados iniciais nos itens de condição. Porque o design das soluções será diferente!

a) De acordo com a condição, é necessário encontrar comprimento vetor (produto vetorial). Pela fórmula correspondente:

Responder:

Como foi perguntado sobre o comprimento, na resposta indicamos a dimensão - unidades.

b) De acordo com a condição, é necessário encontrar quadrado paralelogramo construído sobre vetores. A área deste paralelogramo é numericamente igual ao comprimento do produto vetorial:

Responder:

Observe que na resposta sobre o produto vetorial não há conversa alguma, fomos questionados sobre área da figura, respectivamente, a dimensão é unidades quadradas.

Sempre olhamos para O QUE é necessário para ser encontrado pela condição e, com base nisso, formulamos claro responder. Pode parecer literalismo, mas existem literalistas suficientes entre os professores, e a tarefa com boas chances será devolvida para revisão. Embora este não seja um nitpick particularmente tenso - se a resposta estiver incorreta, fica-se com a impressão de que a pessoa não entende coisas simples e / ou não entendeu a essência da tarefa. Este momento deve ser sempre mantido sob controle, resolvendo qualquer problema em matemática superior, e em outras disciplinas também.

Para onde foi a letra grande "en"? Em princípio, poderia ser adicionalmente preso à solução, mas para encurtar o registro, não o fiz. Espero que todos entendam isso e seja a designação da mesma coisa.

Um exemplo popular para uma solução faça você mesmo:

Exemplo 2

Encontre a área de um triângulo construído sobre vetores se

A fórmula para encontrar a área de um triângulo através do produto vetorial é fornecida nos comentários da definição. Solução e resposta no final da lição.

Na prática, a tarefa é realmente muito comum, os triângulos geralmente podem ser torturados.

Para resolver outros problemas, precisamos:

Propriedades do produto vetorial de vetores

Já consideramos algumas propriedades do produto vetorial, porém, vou incluí-las nesta lista.

Para vetores arbitrários e um número arbitrário, as seguintes propriedades são verdadeiras:

1) Em outras fontes de informação, esse item geralmente não é diferenciado nas propriedades, mas é muito importante em termos práticos. Que assim seja.

2) - a propriedade também é discutida acima, às vezes é chamada anticomutatividade. Em outras palavras, a ordem dos vetores importa.

3) - combinação ou associativo leis de produtos vetoriais. As constantes são facilmente retiradas dos limites do produto vetorial. Realmente, o que eles estão fazendo lá?

4) - distribuição ou distribuição leis de produtos vetoriais. Também não há problemas com a abertura de parênteses.

Como demonstração, considere um pequeno exemplo:

Exemplo 3

Descubra se

Solução: Por condição, é necessário novamente encontrar o comprimento do produto vetorial. Vamos pintar nossa miniatura:

(1) De acordo com as leis associativas, retiramos as constantes além dos limites do produto vetorial.

(2) Tiramos a constante do módulo, enquanto o módulo “come” o sinal de menos. O comprimento não pode ser negativo.

(3) O que se segue é claro.

Responder:

É hora de jogar lenha na fogueira:

Exemplo 4

Calcule a área de um triângulo construído sobre vetores se

Solução: Encontre a área de um triângulo usando a fórmula . O problema é que os vetores "ce" e "te" são representados como somas de vetores. O algoritmo aqui é padrão e lembra um pouco os exemplos nº 3 e 4 da lição. Produto escalar de vetores. Vamos dividi-lo em três etapas para maior clareza:

1) No primeiro passo, expressamos o produto vetorial pelo produto vetorial, de fato, expresse o vetor em termos do vetor. Nenhuma palavra sobre o comprimento ainda!

(1) Substituímos expressões de vetores .

(2) Usando leis distributivas, abrimos os colchetes de acordo com a regra de multiplicação de polinômios.

(3) Usando as leis associativas, retiramos todas as constantes além dos produtos vetoriais. Com pouca experiência, as ações 2 e 3 podem ser executadas simultaneamente.

(4) O primeiro e o último termos são iguais a zero (vetor zero) devido à propriedade agradável . No segundo termo, usamos a propriedade anticomutatividade do produto vetorial:

(5) Apresentamos termos semelhantes.

Como resultado, o vetor acabou sendo expresso por meio de um vetor, que era o que precisava ser alcançado:

2) Na segunda etapa, encontramos o comprimento do produto vetorial que precisamos. Esta ação é semelhante ao Exemplo 3:

3) Encontre a área do triângulo necessário:

As etapas 2 a 3 da solução podem ser organizadas em uma linha.

Responder:

O problema considerado é bastante comum em testes, aqui está um exemplo para uma solução independente:

Exemplo 5

Descubra se

Solução curta e resposta no final da lição. Vamos ver o quão atento você estava ao estudar os exemplos anteriores ;-)

Produto vetorial de vetores em coordenadas

, dado na base ortonormal , é expresso pela fórmula:

A fórmula é muito simples: escrevemos os vetores de coordenadas na linha superior do determinante, “empacotamos” as coordenadas dos vetores na segunda e terceira linhas e colocamos em ordem estrita- primeiro, as coordenadas do vetor "ve", depois as coordenadas do vetor "ve duplo". Se os vetores precisam ser multiplicados em uma ordem diferente, as linhas também devem ser trocadas:

Exemplo 10

Verifique se os seguintes vetores espaciais são colineares:
A)
b)

Solução: O teste é baseado em uma das afirmações desta lição: se os vetores são colineares, então seu produto vetorial é zero (vetor zero): .

a) Encontre o produto vetorial:

Portanto, os vetores não são colineares.

b) Encontre o produto vetorial:

Responder: a) não colinear, b)

Aqui, talvez, esteja toda a informação básica sobre o produto vetorial de vetores.

Esta seção não será muito grande, pois existem poucos problemas em que o produto misto de vetores é usado. Na verdade, tudo dependerá da definição, significado geométrico e algumas fórmulas de trabalho.

O produto misto de vetores é o produto de três vetores:

É assim que eles se alinham como um trem e esperam, mal podem esperar até serem calculados.

Primeiro novamente a definição e imagem:

Definição: Produto misto não coplanar vetores, tomadas nesta ordem, é chamado volume do paralelepípedo, construído sobre esses vetores, equipado com um sinal "+" se a base for correta e um sinal "-" se a base for esquerda.

Vamos fazer o desenho. Linhas invisíveis para nós são desenhadas por uma linha pontilhada:

Vamos mergulhar na definição:

2) Vetores obtidos em uma certa ordem, ou seja, a permutação de vetores no produto, como você pode imaginar, não ocorre sem consequências.

3) Antes de comentar o significado geométrico, observarei o fato óbvio: o produto misto de vetores é um NÚMERO: . Na literatura educacional, o design pode ser um pouco diferente, costumava designar um produto misto e o resultado dos cálculos com a letra "pe".

Priorado o produto misturado é o volume do paralelepípedo, construída sobre vetores (a figura é desenhada com vetores vermelhos e linhas pretas). Ou seja, o número é igual ao volume do paralelepípedo dado.

Observação : O desenho é esquemático.

4) Não vamos nos preocupar novamente com o conceito de orientação da base e do espaço. O significado da parte final é que um sinal de menos pode ser adicionado ao volume. Em termos simples, o produto misto pode ser negativo: .

A fórmula para calcular o volume de um paralelepípedo construído sobre vetores segue diretamente da definição.