O artigo revela o conceito de perpendicularidade de uma linha reta e um plano, dá uma definição de uma linha reta, um plano, ilustrado graficamente e mostra a designação de linhas perpendiculares e um plano. Vamos formular um sinal de perpendicularidade de uma linha reta com um plano. Considere as condições sob as quais uma linha reta e um plano serão perpendiculares às equações dadas no plano e no espaço tridimensional. Tudo será mostrado com exemplos.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definição 1

A linha é perpendicular ao plano quando é perpendicular a qualquer linha situada neste plano.

É verdade que o plano é perpendicular à linha, assim como a linha ao plano.

A perpendicularidade é indicada por "⊥". Se a condição especifica que a linha c é perpendicular ao plano γ, então a notação é c ⊥ γ.

Por exemplo, se a linha for perpendicular ao plano, é possível desenhar apenas uma linha, devido à qual duas paredes adjacentes da sala se cruzarão. A linha é considerada perpendicular ao plano do teto. A corda localizada na academia é considerada como um segmento de reta perpendicular ao plano, em este caso semi.

Se houver uma linha perpendicular ao plano, o ângulo entre a linha e o plano é considerado reto, ou seja, igual a 90 graus.

Perpendicularidade de uma linha reta e um plano - um sinal e condições de perpendicularidade

Para encontrar a detecção de perpendicularidade, é necessário usar uma condição suficiente para a perpendicularidade de uma linha e um plano. Garante que a linha e o plano sejam perpendiculares. Esta condição é considerada suficiente e é chamada de sinal de perpendicularidade de uma linha e um plano.

Teorema 1

Para que uma dada reta seja perpendicular a um plano, é suficiente que a reta seja perpendicular a duas retas que se cruzam nesse plano.

Uma prova detalhada é dada no livro de geometria das séries 10-11. O teorema é usado para resolver problemas onde é necessário estabelecer a perpendicularidade de uma linha e um plano.

Teorema 2

Desde que pelo menos uma das linhas seja paralela ao plano, considera-se que a segunda linha também é perpendicular a este plano.

O sinal de perpendicularidade de uma reta e um plano é considerado desde a escola, quando é necessário resolver problemas de geometria. Consideremos mais detalhadamente mais uma condição necessária e suficiente sob a qual a linha e o plano serão perpendiculares.

Teorema 3

Para que a reta a seja perpendicular ao plano γ, uma condição necessária e suficiente é a colinearidade do vetor diretor da reta a e do vetor normal do plano γ.

Prova

Para a → = (a x , a y , a z) sendo um vetor da reta a , para n → = (n x , n y , n z) sendo um vetor normal do plano γ para cumprir a perpendicularidade é necessário que a reta a e a plano γ pertencem ao cumprimento da condição de colinaridade dos vetores a → = (a x , a y , a z) en → = (n x , n y , n z) . Assim, obtemos que a → = t n → ⇔ a x = t n x a y = t n y a z = t n z , t é um número real.

Esta prova baseia-se na condição necessária e suficiente para a perpendicularidade da reta e do plano, o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano.

Esta condição é aplicável para provar a perpendicularidade de uma reta e de um plano, pois basta encontrar as coordenadas do vetor diretor da reta e as coordenadas do vetor normal no espaço tridimensional, e então realizar os cálculos. É usado para casos em que uma linha reta é definida por uma equação de uma linha reta no espaço e um plano por uma equação de um plano de algum tipo.

Exemplo 1

Prove que a reta dada x 2 - 1 = y - 1 2 = z + 2 2 - 7 é perpendicular ao plano x + 2 2 + 1 y - (5 + 6 2) z .

Solução

Os denominadores das equações canônicas são as coordenadas do vetor de direção da linha dada. Portanto, temos que a → = (2 - 1 , 2 , 2 - 7) é o vetor diretor da reta x 2 - 1 = y - 1 2 = z + 2 2 - 7 .

Na equação geral do plano, os coeficientes diante das variáveis ​​x, y, z são as coordenadas do vetor normal do plano dado. Segue que n → = (1 , 2 (2 + 1) , - (5 + 6 2)) é o vetor normal do plano x + 2 2 + 1 y - (5 + 6 2) z - 4 = 0

É necessário verificar o cumprimento da condição. Nós entendemos isso

2 - 1 \u003d t 1 2 \u003d t 2 (2 + 1) 2 \u003d t (- (5 + 6 2)) ⇔ t \u003d 2 - 1, então os vetores a → e n → estão relacionados pelo expressão a → = ( ​​2 - 1) n → .

Esta é a colinearidade dos vetores. segue-se que a linha x 2 - 1 \u003d y - 1 2 \u003d z + 2 2 - 7 é perpendicular ao plano x + 2 (2 + 1) y - (5 + 6 2) z - 4 \u003d 0 .

Responda: reta e plano são perpendiculares.

Exemplo 2

Determine se a reta y - 1 = 0 x + 4 z - 2 = 0 e o plano x 1 2 + z - 1 2 = 1 são perpendiculares.

Solução

Para responder à questão da perpendicularidade, é necessário que a condição necessária e suficiente seja satisfeita, ou seja, primeiro você precisa encontrar o vetor da reta dada e o vetor normal do plano.

Da reta y - 1 = 0 x + 4 z - 2 = 0, pode-se ver que o vetor de direção a → é o produto dos vetores normais do plano y - 1 = 0 e x + 4 z - 2 = 0.

Assim, obtemos que a → = i → j → k → 0 1 0 1 0 4 = 4 i → -k → .

As coordenadas do vetor a → = (4 , 0 , - 1) .

A equação do plano nos segmentos x 1 2 + z - 1 2 = 1 é equivalente à equação do plano 2 x - 2 z - 1 = 0 , cujo vetor normal é igual a n → = (2 , 0 , - 2).

Você deve verificar a colinearidade dos vetores a → = (4 , 0 , - 1) en → = (2 , 0 , - 2) .

Para isso, escrevemos:

4 = t 2 0 = t 0 - 1 = t (- 2) ⇔ t = 2 t ∈ R ⇔ t ∈ ∅ t = 1 2

Disso concluímos que o vetor diretor da linha reta não é colinear com o vetor normal do plano. Então y - 1 = 0 x + 4 z - 2 = 0 é uma linha reta não perpendicular ao plano x 1 2 + z - 1 2 .

Responda: reta e plano não são perpendiculares.

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Esboço de uma lição de geometria na 10ª série sobre o tema "Perpendicularidade de uma linha e um plano"

Lições objetivas:

educacional

introdução de um sinal de perpendicularidade de uma linha reta e um plano;

formar ideias dos alunos sobre a perpendicularidade de uma linha reta e um plano, suas propriedades;

formar a capacidade dos alunos para resolver problemas típicos sobre o tema, a capacidade de provar afirmações;

em desenvolvimento

desenvolver independência, atividade cognitiva;

desenvolver a capacidade de analisar, tirar conclusões, sistematizar as informações recebidas,

desenvolver o raciocínio lógico;

desenvolver a imaginação espacial.

educacional

educação da cultura da fala dos alunos, perseverança;

despertar nos alunos o interesse pelo assunto.

Tipo de aula: Lição de estudo e consolidação primária do conhecimento.

Formas de trabalho do aluno: enquete frontal.

Equipamento: computador, projetor, tela.

Literatura:"Geometria 10-11", livro didático. Atanasyan L.S. e etc

(2009, 255p.)

Plano de aula:

Momento organizacional (1 minuto);

Atualização de conhecimentos (5 minutos);

Aprendizagem de novos materiais (15 minutos);

Consolidação primária do material estudado (20 minutos);

Resumindo (2 minutos);

Trabalho de casa (2 minutos).

Durante as aulas.

Momento organizacional (1 minuto)

Cumprimentando os alunos. Verificar a prontidão dos alunos para a aula: verificar a disponibilidade de cadernos, livros didáticos. Verificação de absenteísmo.

Atualização de conhecimento (5 minutos)

Professora. Qual linha é chamada de perpendicular ao plano?

Aluna. Uma linha perpendicular a qualquer linha situada neste plano é chamada de linha perpendicular a este plano.

Professora. Como o lema sobre duas linhas paralelas perpendiculares a uma terceira soa?

Aluna. Se uma das duas linhas paralelas é perpendicular a uma terceira linha, então a outra linha também é perpendicular a esta linha.

Professora. Teorema da perpendicularidade de duas retas paralelas a um plano.

Aluna. Se uma das duas linhas paralelas é perpendicular a um plano, então a outra linha também é perpendicular a esse plano.

Professora. Qual é o inverso deste teorema?

Aluna. Se duas retas são perpendiculares ao mesmo plano, então elas são paralelas.

Verificando a lição de casa

O dever de casa é verificado se os alunos tiverem dificuldade em resolvê-lo.

Aprendendo novo material (15 minutos)

Professora. Você e eu sabemos que se uma linha é perpendicular a um plano, então será perpendicular a qualquer linha situada neste plano, mas na definição, a perpendicularidade de uma linha a um plano é dada como um fato. Na prática, muitas vezes é necessário determinar se a linha será perpendicular ao plano ou não. Tais exemplos podem ser dados da vida: durante a construção de edifícios, as estacas são cravadas perpendicularmente à superfície da terra, caso contrário a estrutura pode desmoronar. A definição de uma linha reta perpendicular ao plano não pode ser usada neste caso. Por quê? Quantas linhas podem ser desenhadas em um plano?

Aluna. Existem infinitas linhas retas que podem ser desenhadas em um plano.

Professora. Corretamente. E é impossível verificar a perpendicularidade de uma linha reta a cada plano individual, pois levará um tempo infinitamente longo. Para entender se uma reta é perpendicular a um plano, introduzimos o sinal de perpendicularidade de uma reta e de um plano. Escreva no seu caderno. Se uma linha é perpendicular a duas linhas que se cruzam em um plano, então ela é perpendicular a esse plano.

Entrada do caderno. Se uma linha é perpendicular a duas linhas que se cruzam em um plano, então ela é perpendicular a esse plano.

Professora. Assim, não precisamos verificar a perpendicularidade de uma linha para cada plano reto, basta verificar a perpendicularidade para apenas duas linhas desse plano.

Professora. Vamos provar este sinal.

Dado: p e q- direto, p ∩ q = O, uma⊥ p, uma⊥ q, p ϵ α, q ϵ α.

Provar: uma⊥ α.

Professora. E, no entanto, como prova, usamos a definição de uma linha reta perpendicular ao plano, como soa?

Aluna. Se uma reta é perpendicular a um plano, então ela é perpendicular a qualquer reta situada nesse plano.

Professora. Corretamente. Desenhe qualquer linha m no plano α. Desenhe uma linha l ║ m passando pelo ponto O. Na linha a marque os pontos A e B de modo que o ponto O seja o ponto médio do segmento AB. Vamos desenhar a linha z de tal forma que ela intercepte as linhas p, q, l, os pontos de interseção dessas linhas serão denotados por P, Q, L, respectivamente. Conecte as extremidades do segmento AB com os pontos P, Q e L.

Professora. O que podemos dizer sobre os triângulos ∆APQ e ∆BPQ ?

Aluna. Esses triângulos serão iguais (de acordo com o 3º critério para a igualdade dos triângulos).

Professora. Por quê?

Aluna. Porque as linhas p e q são mediatrizes, então AP = BP , AQ = BQ , e o lado PQ é comum.

Professora. Corretamente. O que podemos dizer sobre os triângulos ∆APL e ∆BPL ?

Aluna. Esses triângulos também serão iguais (de acordo com 1 sinal de igualdade dos triângulos).

Professora. Por quê?

Aluna. PA = PA, PL- lado comum APL =  BPL(da igualdade ∆ APQ e ∆ BPQ)

Professora. Corretamente. Então AL = BL. Então, o que será ∆ALB?

Aluna. Então ∆ALB será isósceles.

Professora. LO é a mediana em ∆ALB, então qual será neste triângulo?

Aluna. Então LO também será a altura.

Professora. Daí a linha retaeuserá perpendicular à linhauma. E uma vez que a linha retaeué qualquer linha pertencente ao plano α, então por definição a linhauma⊥ uma. Q.E.D.

Comprovado com apresentação

Professora. Mas e se a reta a não cruzar o ponto O, mas permanecer perpendicular às retas p e q? Se a linha a intercepta qualquer outro ponto do plano dado?

Aluna. É possível construir uma linha 1 , que será paralela à reta a, cruzará o ponto O, e pelo lema em duas retas paralelas perpendiculares à terceira, podemos provar queuma 1 ⊥ p, uma 1 ⊥ q.

Professora. Corretamente.

Consolidação primária do material estudado (20 minutos)

Professora. Para consolidar o material que estudamos, vamos resolver o número 126. Leia a tarefa.

Aluna. A reta MB é perpendicular aos lados AB e BC do triângulo ABC. Determine o tipo de triângulo MBD, onde D é um ponto arbitrário da reta AC.

Foto.

Dado: ∆ abc, MB⊥ BA, MB⊥ BC, D ϵ CA.

Encontrar: ∆ MBD.

Solução.

Professora. Você pode desenhar um plano através dos vértices de um triângulo?

Aluna. Sim você pode. O plano pode ser desenhado em três pontos.

Professora. Como as linhas BA e CB estarão localizadas em relação a este plano?

Aluna. Essas linhas ficarão neste plano.

Professora. Acontece que temos um plano e há duas linhas que se cruzam nele. Como a linha MW se relaciona com essas linhas?

Aluna. MV direto⊥ VA, MV ⊥ BC.

Escrita no quadro e em cadernos. Porque MV⊥ VA, MV ⊥ VS

Professora. Se uma linha é perpendicular a duas linhas que se cruzam em um plano, então a linha pertencerá a esse plano?

Aluna. A reta MB será perpendicular ao plano ABC.

⊥ ABC.

Professora. O ponto D é um ponto arbitrário no segmento AC, então como a linha BD se relacionará com o plano ABC?

Aluna. Então BD pertence ao plano ABC.

Escrita no quadro e em cadernos. Porque BD ϵ ABC

Professora. Quais serão as linhas MB e BD em relação uma à outra?

Aluna. Essas linhas serão perpendiculares pela definição de uma linha perpendicular ao plano.

Escrita no quadro e em cadernos. ↔ MV⊥ BD

Professora. Se MB é perpendicular a BD, qual será o triângulo MBD?

Aluna. O triângulo MBD será em ângulo reto.

Escrita no quadro e em cadernos. ↔ ∆MBD – retangular.

Professora. Corretamente. Vamos resolver o número 127. Leia a tarefa.

Aluna. Em um triânguloabc soma de ângulos UMA e Bé igual a 90°. Em linha retaBDperpendicular ao planoabc. Prove que CD⊥ CA.

O aluno vai ao quadro-negro. Desenha um desenho.

Escreva no quadro e em um caderno.

Dado: ∆ abc,  UMA +  B= 90°, BD⊥ abc.

Provar: CD⊥ CA.

Prova:

Professora. Qual é a soma dos ângulos de um triângulo?

Aluna. A soma dos ângulos de um triângulo é 180°.

Professora. Qual é o ângulo C no triângulo ABC?

Aluna. O ângulo C no triângulo ABC será de 90°.

Escrita no quadro e em cadernos. C = 180° - UMA- B= 90°

Professora. Se o ângulo C é de 90°, como as linhas AC e BC se situam uma em relação à outra?

Aluna. Significa AC⊥ Sol.

Escrita no quadro e em cadernos. ↔ AC⊥ Sol

Professora. A linha BD é perpendicular ao plano ABC. O que se segue disso?

Aluna. Então BD é perpendicular a qualquer linha de ABC.

BD⊥ abc ↔ BDperpendicular a qualquer linhaabc(por definição)

Professora. De acordo com isso, como se relacionarão BD e AC diretos?

Aluna. Então essas retas são perpendiculares.

BD⊥ CA

Professora. AC é perpendicular a duas linhas de interseção situadas no plano DBC, mas AC não passa pelo ponto de interseção. Como corrigi-lo?

Aluna. Trace uma linha passando pelo ponto B e paralela AC. Como AC é perpendicular a BC e BD, então a também será perpendicular a BC e BD pelo lema.

Escrita no quadro e em cadernos. Desenhe uma linha através do ponto B a ║AC ↔ a⊥ BC, e ⊥ BD

Professora. Se a linha a é perpendicular a BC e BD, então o que pode ser dito sobre a posição relativa da linha a e o plano BDC?

Aluna. Isso significa que a linha a será perpendicular ao plano BDC e, portanto, a linha AC será perpendicular a BDC.

Escrita no quadro e em cadernos. ↔ um⊥ bdc↔ AC ⊥ bdc.

Professora. Se AC é perpendicular a BDC, então como as linhas AC e DC estarão localizadas uma em relação à outra?

Aluna. AC e DC serão perpendiculares pela definição de uma linha perpendicular ao plano.

Escrita no quadro e em cadernos. Porque CA⊥ bdc↔ AC ⊥ DC

Professora. Bem feito. Vamos resolver o número 129. Leia a tarefa.

Aluna. Em linha retaSOUperpendicular ao plano do quadradoABCD, cujas diagonais se interceptam no ponto O. Prove que: a) a retaBDperpendicular ao planoAMO; b)MO⊥ BD.

Um aluno chega ao quadro. Desenha um desenho.

Escreva no quadro e em um caderno.

Dado:ABCD- quadrado,SOU⊥ ABCD, CA ∩ BD = O

Provar:BD⊥ AMO, MO⊥ BD

Prova:

Professora. Precisamos provar que oBD⊥ AMO. Que condições devem ser atendidas para que isso aconteça?

Aluna. É necessário que o direto BD é perpendicular a pelo menos duas linhas de interseção do plano AMO.

Professora. A condição diz que BD perpendicular a duas linhas que se cruzam AMO?

Aluna. Não.

Professora. Mas nós sabemos que SOU perpendicular ABCD . Que conclusão se pode tirar disso?

Aluna. Significa o que SOU perpendicular a qualquer linha deste plano, ou seja, SOU perpendicular B.D.

SOU⊥ ABCD ↔ SOU⊥ BD(por definição).

Professora. Uma linha é perpendicular BD há. Preste atenção ao quadrado, como as linhas serão localizadas uma em relação à outra AC e BD?

Aluna. CA será perpendicular BD pela propriedade das diagonais de um quadrado.

Escreva no quadro e em um caderno. PorqueABCD- quadrado, entãoCA⊥ BD(pela propriedade das diagonais de um quadrado)

Professora. Encontramos duas linhas que se cruzam em um plano AMO perpendicular à linha BD . O que se segue disso?

Aluna. Significa o que BD perpendicular ao plano AMO.

Escrita no quadro e em cadernos. PorqueCA⊥ BDeSOU⊥ BD ↔ BD⊥ AMO(por sinal)

Professora. Qual linha é chamada de linha perpendicular ao plano?

Aluna. Diz-se que uma reta é perpendicular a um plano se for perpendicular a qualquer reta desse plano.

Professora. Como as linhas estão relacionadas entre si? BD e OM?

Aluna. Significa BD perpendicular OM . Q.E.D.

Escrita no quadro e em cadernos. ↔BD⊥ MO(por definição). Q.E.D.

Debriefing (2 minutos)

Professora. Hoje estudamos o sinal de perpendicularidade de uma linha e um plano. Como isso soa?

Aluna. Se uma linha é perpendicular a duas linhas que se cruzam em um plano, então essa linha é perpendicular a esse plano.

Professora. Corretamente. Aprendemos a aplicar esse recurso na resolução de problemas. Quem respondeu na lousa e ajudou do local, muito bem.

Trabalho de casa (2 minutos)

Professora. Parágrafo 1, parágrafos 15-17, aprenda: lema, definição e todos os teoremas. Nº 130, 131.

Para que uma reta no espaço seja  do plano, é necessário e suficiente que no diagrama a projeção horizontal da reta seja  da projeção horizontal da horizontal, e a projeção frontal seja para a projeção frontal da frente deste avião.

Determinando a distância de um ponto a um plano(Fig. 19)

1. A partir do ponto, abaixe a perpendicular ao plano (para isso, no plano

segure h, f);

2. Encontre o ponto de intersecção da reta com o plano (ver Fig. 18);

3. Encontre n.v. segmento perpendicular (ver Fig. 7).

A segunda seção Método para substituir planos de projeção

(para tarefas 5, 6.7)

Essa figura geométrica fica imóvel no sistema de planos de projeção. Novos planos de projeção são configurados para que as projeções obtidas neles proporcionem uma solução racional para o problema em questão. Além disso, cada novo sistema de planos de projeção deve ser um sistema ortogonal. Depois de projetar objetos no plano, eles são combinados em um, girando-os em torno de linhas retas comuns (eixos de projeção) de cada par de planos mutuamente perpendiculares.

Por exemplo, deixe o ponto A ser definido no sistema de dois planos P 1 e P 2. Vamos complementar o sistema com mais um plano P 4 (Fig. 20), P 1 P 4. Tem uma linha comum X 14 com o plano P 1 . Construímos a projeção A 4 em P 4.

AA 1 \u003d A 2 A 12 \u003d A 4 A 14.

Na fig. 21, onde os planos P 1, P 2 e P 4 são alinhados, este fato é determinado pelo resultado A 1 A 4 X 14 e A 14 A 4 A 2 A 12.

A distância da projeção do novo ponto ao novo eixo de projeção (A 4 A 14) é igual à distância da projeção do ponto substituído ao eixo substituído (A 2 A 12).

Um grande número de problemas métricos de geometria descritiva são resolvidos com base nos seguintes quatro problemas:

1. Transformação de uma linha de posição geral em uma linha de nível (Fig. 22):

a) P 4 || AB (eixo X 14 || A 1 B 1);

b) A 1 A 4 X 14; B 1 B 4 X 14;

c) A 4 A 14 \u003d A 12 A 2;

V 4 V 14 = V 12 V 2 ;

A 4 B 4 - presente

2. Transformação de uma linha reta em posição geral em uma saliente (Fig. 23):

a) P 4 || AB (X 14 || A 1 B 1);

A 1 A 4 X 14;

B 1 B 4 X 14;

A 14 A 4 \u003d A 12 A 2;

14V4 = 12V2;

A 4 B 4 - n.v.;

b) P 5 AB (X 45 A 4 V 4);

A 4 A 5 X 45;

B 4 B 5 X 45;

A 45 A 5 \u003d B 45 B 5 \u003d A 14 A 1 \u003d B 14 B 1;

3. Transformação de um plano de posição geral em posição de projeção (Fig. 24):

Um plano pode ser trazido para uma posição de projeção se uma linha reta do plano for projetada. Vamos desenhar uma linha horizontal (h 2 ,h 1) no plano ABC, que pode se tornar projetiva em uma transformação. Vamos desenhar um plano P 4 perpendicular à horizontal; ele é projetado neste plano por um ponto, e o plano do triângulo é projetado por uma linha reta.

4. Transformação de um plano genérico em plano de nível (Fig. 25).

Faça do plano um plano de nível usando duas transformações. Primeiro, o plano deve ser projetado (ver Fig. 25), e então P 5 || A 4 B 4 C 4, obtemos A 5 B 5 C 5 - n.v.

Tarefa nº 5

Determine a distância do ponto C a uma linha reta em posição geral (Fig. 26).

A solução se resume ao 2º problema principal. Então a distância ao longo do diagrama é definida como a distância entre dois pontos

A 5  B 5  D 5 e C 5.

Projeção С 4 D 4 || X 45.

Tarefa nº 6

Determine a distância de ()D ao plano dado pelos pontos A, B, C (Fig. 27).

O problema é resolvido usando o 2º problema principal. A distância (E 4 D 4), de () D 4 à reta A 4 C 4 B 4, na qual o plano ABC foi projetado, é o valor natural do segmento ED.

Projeção D 1 E 1 || X 14;

E 2 E X12 = E 4 E X14.

Construa seu próprio D 1 E 1.

Construa seu próprio D 2 E 2.

Tarefa nº 7

Determine o tamanho real do triângulo ABC (veja a solução do 4º problema principal) (Fig. 25)

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A seguir estão alguns exemplos dos tipos de informações pessoais que podemos coletar e como podemos usar essas informações.

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guarda-chuvas. O segmento KL determina a direção das projeções da linha de interseção de dois planos dados.

2.8 Perpendicularidade de uma linha e um plano, dois planos

A condição de perpendicularidade de uma linha e um plano e perpendicularidade de dois planos é baseada no teorema da projeção do ângulo reto. Adaptando o teorema para resolver problemas métricos para determinar a distância de um ponto a um plano, determinar a distância de um ponto a uma linha reta, ou para construir um plano paralelo a um dado a uma certa distância, formulamos a condição de perpendicularidade de uma linha e um plano.

A linha l (l1 ,l2 ) é perpendicular ao plano , se for perpendicular a duas linhas de nível que se cruzam (por exemplo, horizontal e frontal) pertencentes ao plano dado.

1h 1

l 2f 2

Considere exemplos de resolução de problemas métricos típicos na aplicação da condição de perpendicularidade de uma linha reta e um plano.

Exemplo 1. Determine a distância do ponto N ao plano Q(mIIn) (Figura 2.35).

Algoritmo para resolver o problema:

1. Analise a condição do problema. (A distância mais curta de um ponto a uma linha é determinada pela perpendicular baixada do ponto N ao plano Q.)

2. Para cumprir a condição de perpendicularidade de uma linha reta e um plano, é necessário primeiro construir uma horizontal h (h 1, h 2) e uma frontal f (f 1, f 2 ) no plano, e então construa uma linha l (l 1 , l 2 ) perpendicular ao plano Q (figura 2.35).

Figura 2.35 - Linha perpendicular ao plano

3. Encontre a base da perpendicular, ou seja, o ponto de intersecção da linha construída l(l 1 , l 2 ) com um dado plano Q. Para construir um ponto K, concluímos, por exemplo, a projeção frontal da linha l 2 no plano frontal Σ. Determinamos as projeções da linha de interseção da linha l com a projeção correspondente da linha de interseção de dois planos (Q∩∑). Determinamos a posição das projeções do ponto K1 e K2.

4. Determine o tamanho real do segmento NK como a hipotenusa de um triângulo retângulo (Figura 2.36).

Figura 2.36 - Projeções da distância de um ponto a um plano

Exemplo 2. Determine a distância do ponto A à linha n. Algoritmo para resolver o problema:

1. Análise das condições do problema. Após analisar a condição do problema, afirmamos que a menor distância de um ponto a uma reta é medida por uma perpendicular baixada do ponto A à reta n. Como a linha dada n (n 1 , n2 ) é uma reta em posição geral, então para resolver o problema é necessário realizar construções adicionais.

2. Através das projeções do ponto A(A 1 ,А2 ) construímos um plano Σ (h ∩ f) perpendicular à reta n (n1 , n2 ).

3. Determine o ponto de interseção da linha dada n(n 1 , n2 ) com o plano Σ (h ∩ f) e encontre as projeções do segmento de reta A1 B1 e A2 B2 como projeções da distância do ponto A à reta n.

4. Construímos o valor natural da distância do ponto A à reta n (Figura 2.37).

Figura 2.37 - Distância do ponto A à reta n

Exemplo 3. Construa um plano Θ, paralelo ao plano Σ (ΔABC), a uma distância de 25 mm dele.

Algoritmo para resolver o problema:

1. Análise das condições do problema. O avião será construído a uma distância de 25 mm do plano Σ (ΔABC). Portanto, você precisa construir uma perpendicular ao plano.

2. Para construir uma linha perpendicular ao plano, definimos as linhas de nível no plano - a horizontal h(h 1 , h2 ) e frontal f(f1 , f2 ) e construir uma reta l(l 1 , l 2 ) perpendicular ao plano Σ (ΔАВС) (Figura 2.38).

Figura 2.38 - Posição do ponto L

3. Encontre a base da perpendicular, ou seja. ponto K (K1, K2) da intersecção da linha l (l 1, l 2) com o plano Σ (ΔABS).

4. Escolha na linha l(l 1 , l 2 ) ponto arbitrário N(N1 ,N2 ) e determine a distância do ponto escolhido ao plano (N1 Kº).

5. Encontramos em uma linha reta l(l 1 , l 2 ) a posição do ponto L(L1 , L2 ) com uma distância do plano de 25 mm.

6. Através do ponto L(L 1 , L2 ) construímos um plano Θ(m∩n) paralelo ao plano dado Σ (ΔАВС) (Figura 2.39)

Figura 2.39 - Plano paralelo ao dado na distância necessária

Perguntas para autocontrole no tópico 2:

1. Qual é a posição do ponto em relação à linha reta?

2. Quando um ponto pertence a uma reta?

3. Como as linhas retas podem ser organizadas em relação umas às outras?

4. Quais pontos são chamados de competição?

5. Continue a frase: Um ângulo reto é projetado no plano frontal de projeções sem distorção se for formado por duas linhas retas que se cruzam, uma das quais é uma linha reta em posição geral, e a segunda ...... ..

6. Como determinar o tamanho natural de um segmento de linha em posição geral?

7. Qual é a condição para que uma linha reta e um plano sejam perpendiculares?

8. Qual é a condição para que dois planos sejam perpendiculares?

9. Quando uma reta é paralela a um plano?

10. Quando dois planos são paralelos?

11. Qual é a condição para que uma linha reta pertença a um plano?

12. Quando um ponto pertence a um plano?

13. Qual é o algoritmo para encontrar o ponto de intersecção de uma linha reta com um plano?

14. Qual é a essência do método de planos auxiliares de intermediários ao encontrar a linha de interseção de dois planos?

15. Qual é o plano de projeção?

3 CONVERSÃO DE PROJEÇÃO

3.1 Essência e principais formas de converter um desenho

A solução de problemas posicionais e métricos em geometria descritiva é bastante simplificada se figuras retas e planas ocupam a posição de projetar linhas retas e planos, ou linhas retas e planos planos.

Uma condição necessária para simplificar a solução de problemas é a construção de novas projeções adicionais, que permitem obter projeções degeneradas de elementos individuais ou desses elementos em tamanho real. A construção de projeções adicionais é chamada de transformação de desenho.

A conversão pode ser feita das seguintes formas:

1. Mudança (substituição) dos planos de projeção com a condição de que o objeto em questão ou seus elementos ocupem uma das posições particulares relativas ao novo sistema de planos de projeção;

2. Rotação de objetos geométricos no espaço em torno do eixo de projeção para que eles ocupem qualquer posição particular em relação aos planos de projeção.

3. Movimento plano-paralelo do objeto, no qual o método de rotação em torno do eixo de projeção e o movimento do objeto alcançam uma transição de um objeto de posição geral para um objeto de posição particular;

4. A rotação de objetos geométricos no espaço ao redor da linha de nível para que eles ocupem a posição de uma linha de nível ou de um plano de nível.

3.2 Teoria e algoritmos para resolver problemas básicos posicionais e métricos

A essência do método de mudança de planos de projeção é a transição de um determinado sistema de planos de projeção para um novo. Neste caso, segmentos de reta e figuras planas mantêm sua posição, e suas novas projeções são obtidas pela introdução de planos de projeção adicionais.

Ao alterar os planos de projeção, a perpendicularidade mútua dos dois planos de projeção - novo e não substituível - é necessariamente preservada.

Considere o mecanismo para mudar os planos de projeção usando o exemplo de uma transformação com um ponto (Figura 3.1.).

Figura 3.1 - O mecanismo de mudança do plano de projeções P2 para P4

No diagrama, essa transformação é mostrada na Figura 3.2. Definimos duas projeções do ponto A (A1, A2) no sistema de planos de projeção P1 e P2. Vamos introduzir a posição do plano P4. Da projeção insubstituível do ponto A - A1

desenhamos uma linha de comunicação perpendicular à linha de rastreamento do plano P4. Como a altura do ponto não muda ao passar do sistema de planos de projeção P1 - P2 para o sistema de planos P1 - P4, essa altura é medida no campo P2 e é depositada no campo P4 da linha de interseção de os aviões na direção da nova linha de comunicação.

Figura 3.2 - O mecanismo de transição do sistema P1 - P2 para P1 - P4 no diagrama

A substituição de um dos planos de projeção nem sempre leva à solução final do problema, portanto, consideraremos sequencialmente o mecanismo de transição do sistema de planos de projeção P1 - P2 para P1 - P4 e depois para P4 - P5. (Figura 3.3).

Para obter a projeção do ponto A no plano de projeções P5, é necessário transferir sequencialmente o ponto primeiro para o plano P4 e depois para o plano P5. Para realizar a construção, substituímos o plano P2 pelo plano P4.

Figura 3.3 - O mecanismo de transição do sistema P1 - P2 para P4 - P5 no diagrama

A projeção do ponto A4 é obtida da seguinte forma: da projeção insubstituível do ponto A1 traçamos uma linha de conexão perpendicular à linha de interseção dos planos P1 - P4 e dela separamos a distância medida a partir da projeção substituída do apontar para a linha de intersecção dos planos P1 - P2. Durante a transição para o sistema de planos de projeção P4 - P5, o plano P1 é substituído por P5. A partir da projeção insubstituível do ponto A4, traçamos uma linha de comunicação perpendicular à linha de interseção dos planos P4 - P5. A partir desta linha, adiamos a distância medida da projeção substituída do ponto A1 até a linha de interseção dos planos P1 - P4. Como resultado, construímos a projeção do ponto A5.

Outra maneira de transformar um desenho é o método de rotação. Consiste no fato de que o dado sistema de planos de projeção permanece inalterado, e a figura é girada em torno de um eixo fixo até tomar uma determinada posição em relação aos planos de projeção, em particular, torna-se paralela ou perpendicular a um dos planos de projeção .

ções. A rotação é realizada em torno de eixos perpendiculares ou paralelos aos planos de projeção.

Detenhamo-nos no mecanismo de rotação do ponto em torno do eixo de projeção. Deixe o ponto A girar em torno de um eixo horizontalmente projetado i. Neste caso, o ponto descreverá um círculo com um centro passando pelo eixo de rotação i (i 1 ,i 2 ). Durante a rotação, a trajetória do ponto A é um círculo, cujo plano é paralelo ao plano de projeção horizontal (Figura 3.4).

Figura 3. 4 - Rotação em torno de um eixo que se projeta horizontalmente

No diagrama, o processo de rotação do ponto é representado da seguinte forma. Escolha o eixo de rotação i (i1 , i2 ). No plano horizontal de projeções, este eixo é projetado para o ponto i1. A partir do centro i1, a projeção do ponto A1 descreve um círculo, girando em qualquer ângulo até tomar as posições A1". .

Assim, ao girar em torno da horizontal

eixo de projeção, a projeção horizontal do ponto se move ao longo de um círculo, e a projeção frontal se move ao longo de uma linha reta perpendicular à projeção do eixo de rotação (Figura 3.5).

Figura 3.5 - Algoritmo de rotação em torno de um eixo de projeção horizontal

Quando um ponto gira em torno de um eixo de projeção frontal, o ponto descreve uma trajetória em forma de círculo, cujo plano é paralelo ao plano de projeção frontal (Figura 3.6).

Figura 3.6 - Rotação em torno do eixo de projeção frontal

Ao girar em torno de uma linha projetada frontalmente, a projeção frontal do ponto descreve um círculo, e a horizontal se move ao longo de uma linha reta perpendicular ao eixo de rotação. O algoritmo para girar um ponto em torno de um eixo de projeção frontal é mostrado na Figura 3.7.

Figura 3.7 - Algoritmo de rotação em torno do eixo de projeção frontal

3.3. O método de mudar os planos de projeção. Solução das principais tarefas

Não importa como o desenho seja convertido, as principais tarefas da conversão podem ser reduzidas ao seguinte:

1. Uma transformação na qual uma linha reta genérica se torna uma linha reta nivelada.

2. Uma transformação em que a linha de nível se torna uma linha de projeção.

3. Uma transformação na qual um plano genérico se torna um plano de projeção.

4. Uma transformação na qual o plano de projeção se torna um plano de nível.

Vamos considerar a solução das principais tarefas de converter um desenho alterando os planos de projeção.

Para que uma linha de posição geral seja uma linha de nível, é necessário introduzir um novo plano de projeção П4 que seja paralelo a ela. Vamos substituir, por exemplo, o plano P2 pelo plano P4 (figura 3.8).

O plano P4 está localizado paralelo à projeção insubstituível do segmento de reta A1 B1. A projeção resultante do segmento de linha A4 B4 é uma linha de nível, portanto, essa projeção é o tamanho natural do segmento. A solução deste problema permite determinar o ângulo de inclinação do segmento de reta AB em relação ao plano de projeção horizontal -α.

Figura 3.8 - Transformação de uma linha de posição geral em uma linha de nível

Para que uma linha reta de nível se torne uma projeção (isto é, para ser projetada em qualquer plano de projeção por um ponto), o novo plano de projeção deve ser perpendicular a ela.

A perpendicularidade no desenho complexo é preservada apenas para a linha de nível. Portanto, um novo plano de projeção P4 é escolhido perpendicular à projeção correspondente da linha de nível, ou seja, ao tamanho natural do segmento AB (Figura 3.9).

Figura 3.9 - Convertendo um nível direto em um de projeção

Para que um plano em posição geral seja projetivo, é necessário que o novo sistema de planos de projeção seja perpendicular a ele. Um plano será perpendicular a um determinado plano se for perpendicular a qualquer linha de nível desse plano. Portanto, para escolher a posição do novo plano P4, é necessário decidir qual dos planos de projeção será substituído. Por exemplo, vamos substituir o plano P2 pelo plano P4 (Figura 3.10). No plano de projeção horizontal, o horizontal é projetado sem distorção.

a projeção guarda-chuva da horizontal h1, então construímos o plano P4 perpendicular a ela.

No plano P4, o triângulo ABC ocupa uma posição saliente

Figura 3.10 - Transformação de um plano de posição geral em um plano de projeção

Para que o plano dado seja um plano nivelado, é necessário colocar o plano P4 paralelo a ele (Figura 3.11).

Figura 3.11 - Transformação do plano de projeção em plano de nível

Para converter um plano de posição geral em plano de nível, é necessário realizar duas transformações: primeiro, transformar o plano de posição geral em plano de projeção e, em seguida, introduzindo mais um plano П5, transformar o plano de projeção em plano de nível avião.

3.4 Método de rotação em torno do eixo de projeção. Solução das principais tarefas

Tarefa 1. Transforme uma linha de posição geral em uma linha de nível

Para resolver o problema, é necessário escolher a posição do eixo de rotação. Escolhamos, por exemplo, uma linha que se projeta horizontalmente como eixo de rotação. Neste caso, a rotação será realizada no plano de projeção horizontal. O ângulo de rotação da linha reta é determinado pela condição do problema: a linha reta deve ser girada para a posição da linha de nível, neste caso, para a posição da linha de nível frontal (Figura 3.12).

Figura 3.12 - Transformação de uma linha de posição geral em uma linha de nível por rotação

Tarefa 2. Transforme a linha de nível em uma linha de projeção.

Ao realizar uma rotação, você deve selecionar a posição do eixo de rotação. Neste caso, um eixo que se projeta horizontalmente deve ser escolhido como eixo de rotação e o ângulo de rotação da linha reta deve ser determinado. O ângulo de rotação é determinado pela condição do problema (Figura 3.13).

Figura 3.13 - Transformação da linha de nível em linha saliente pelo método de rotação

Tarefa 3. Transforme o plano de posição geral em uma projeção

A solução do problema começa com a escolha do eixo de rotação. Escolhamos, por exemplo, uma linha que se projeta horizontalmente como eixo de rotação. Neste caso, a rotação deve ser realizada no plano de projeção horizontal. O ângulo de rotação do plano do triângulo em torno do eixo que se projeta horizontalmente definirá a projeção horizontal da horizontal situada no plano dado (Figura 3.14).

Figura 3.14 - Transformação de um plano de posição geral em projetivo pelo método de rotação

Tarefa 4. Converta o plano de projeção em um plano de nível.

Vamos escolher a posição do eixo de rotação. Neste caso, você deve selecionar um eixo de rotação que se projete horizontalmente. O ângulo de rotação do objeto determina a rotação do plano especificado para a posição do plano frontal do nível (Figura 3.15).

Figura 3.15 - Transformação do plano de projeção em plano de nível pelo método de rotação

3.5 Método de movimento plano-paralelo

O método de movimento plano-paralelo consiste em que os planos de projeção permanecem inalterados, e o objeto é girado em torno do eixo de projeção até tomar uma determinada posição em relação aos planos de projeção e ser movido. Dependendo das condições das tarefas, o objeto deve ser transformado para que fique posicionado perpendicularmente ou paralelo aos planos de projeção.

Tarefa 1. Transforme um plano genérico em um plano de nível.

Figura 3.16 - Método de movimento plano-paralelo

Perguntas para autocontrole no tópico 3:

1. Qual é a essência do método de mudar os planos de projeção?

2. Uma linha genérica pode ser transformada em uma linha de nível usando uma única transformação?

3. Como é escolhida a direção de projeção para transformar um plano genérico em um plano de projeção?

4. Qual é a diferença entre o método de mudança de planos de projeção e o método de movimento plano-paralelo?

5. Quantas vezes uma linha em posição geral deve mudar sua posição em relação aos planos de projeção П 1 , P2 para se tornar uma linha reta de projeção frontal?

6. Qual é a essência do método de rotação em torno da linha de projeção?

4 POLIHEDA

4.1 Informações gerais sobre poliedros. Especificando poliedros em um multidesenho

Os poliedros, representando as formas geométricas mais simples, são fundamentais no projeto de estruturas de engenharia. As formas poliédricas são amplamente utilizadas no projeto de peças e mecanismos de máquinas em tecnologia, bem como em várias estruturas arquitetônicas.

De maior interesse prático são prismas, pirâmides e poliedros uniformes convexos, cujas faces são polígonos regulares e iguais - sólidos de Platão (tetraedro - 4, octaedro - 8, icosaedro - 20 triângulos regulares; hexaedro (cubo - 6 retângulos regulares); dodecaedro - 12 pentágonos regulares). Um poliedro é chamado de convexo se estiver localizado em um lado do plano de qualquer uma de suas faces.

Um poliedro é um corpo delimitado por polígonos planos. Esses polígonos são chamados bordas (Figura 4.1).

Figura 4.1 - Exemplos de poliedros

A totalidade de todas as faces de um poliedro é chamada de sua superfície

As faces se cruzam ao longo de linhas retas chamadas arestas. As arestas se cruzam em pontos chamados vértices.

Desenhos de poliedros devem ser reversíveis. Isso pode ser alcançado se forem atendidas certas condições para a localização das bordas do poliedro nas projeções.

No desenho, os poliedros são representados como projeções de seus vértices e arestas. Na Figura 4.2, um prisma tetraédrico reto ABCDKLMN e uma pirâmide triédrica SABC são dados. Um prisma é chamado reto se suas faces laterais e arestas são perpendiculares à base. Um prisma reto é dito regular se sua base for um polígono regular.

Figura 4.2 - Especificando poliedros no gráfico

4.2 Intersecção de poliedros por um plano e uma linha reta

A linha de interseção do poliedro com o plano é um polígono plano (Figura 4.3).

Figura 4.3 - Intersecção de um poliedro por um plano

A linha de corte de um poliedro por um plano pode ser construída de duas maneiras.

Primeira maneira. Encontre os vértices do polígono desejado como resultado da interseção das arestas do poliedro com o plano de corte.

A segunda maneira. Encontre os lados do polígono desejado como resultado da interseção das faces do poliedro com o plano de corte.

No primeiro caso, deve-se resolver repetidamente o problema de construir um ponto de interseção de uma reta com um plano, no segundo caso, de construir uma reta de interseção de dois planos. Nos casos em que o plano ou superfície de corte está em uma determinada posição, a tarefa é bastante simplificada, pois em um dos planos de projeção a projeção da linha de corte coincidirá ou com a projeção do plano de corte (Figura 4.4), ou com a projeção degenerada da superfície do poliedro (Figura 4.5).

Para construir uma linha de interseção de uma pirâmide triédrica com um plano de projeção frontal, é necessário encontrar os pontos de interseção de cada aresta da pirâmide SABC com o plano de projeção frontal ∑. Como resultado da construção, obtemos o triângulo DFE. Se uma superfície genérica é interceptada por um plano de projeção frontal, então a projeção frontal da linha de seção (triângulo) coincidirá com a projeção frontal do plano de corte ∑2. As projeções frontais dos vértices da linha de corte (D2 , F2 , E2 ) são definidas como resultado da interseção de cada aresta da pirâmide com o plano de corte. Ao projetar os pontos que definem a linha de corte no plano horizontal de projeções sobre as projeções das arestas correspondentes, obtemos a projeção horizontal da linha de corte desejada (D1, F1, E1).

Figura 4.4 - Intersecção da pirâmide pelo plano de projeção

Para construir uma seção de um prisma reto ABCD por um plano genérico Q(a||b), você precisa construir os lados do polígono desejado

KLMN como resultado da intersecção das faces do poliedro com o plano Q(a||b) (Figura 4.5). Para isso, desenhamos um plano de corte auxiliar Θ através da projeção da face B1 C1. Este plano cruzará o plano dado Q(a||b) ao longo de uma linha reta que passa pelos pontos 11 , 21 . Construímos a projeção da linha de seção de dois planos no plano frontal das projeções (12, 22) e encontramos os pontos de interseção desse segmento com as arestas B e C - L e M. Da mesma forma, construímos a linha de interseção de a face AD ​​com o plano Q - o segmento KN. No plano frontal de projeções, conectamos as projeções dos segmentos do polígono K2 L2 M2 N2, levando em consideração a visibilidade das faces

– a projeção do segmento é visível se a face estiver visível na projeção dada, não visível – se a projeção da face não estiver visível. Além disso, é necessário estabelecer a visibilidade mútua das bordas do prisma e do plano de corte.

Figura 4.5 - Intersecção do prisma de projeção por um plano de posição geral

Considere a construção de uma seção de uma pirâmide em posição geral por um plano em posição geral (Figura 4.6).

Figura 4.6 - Intersecção da pirâmide por um plano em posição geral

Para construir a reta de interseção, definiremos os vértices da seção como resultado da interseção de cada aresta da pirâmide com o plano de posição geral ∑(a||b). Para encontrar o ponto de interseção da aresta SA com o plano ∑(a||b), é necessário incluir a aresta no plano secante Q e encontrar a linha de interseção dos dois planos Q e ∑ - o segmento 12 22 ; 11 21 . O vértice K é construído como resultado das interseções das projeções correspondentes das projeções da aresta SA e do segmento 1,2. Os vértices L e N são encontrados de acordo com o mesmo algoritmo que os resultados das interseções das arestas SB e SC com o plano ∑(a||b).

Tarefas de definição pontos de interseção de um poliedro com uma linha reta resolvido com base no método de planos de corte auxiliares. Neste caso, uma das projeções de uma dada reta está contida em um plano secante saliente. Encontre a linha de interseção do auxiliar

plano de corte com um poliedro. As projeções dos pontos de interseção de uma reta com um poliedro são encontradas como resultado da interseção da reta de seção construída com outra projeção de uma determinada reta e a posterior determinação de sua posição em ambos os planos de projeção. Encontre os pontos de interseção da pirâmide com uma linha reta em posição geral (Figura 4.7).

Figura 4.7 - A interseção de uma linha reta com uma pirâmide

Vamos concluir, por exemplo, a projeção frontal da reta dada l 2 no plano Q2 que se projeta frontalmente e construir uma linha de seção da pirâmide por este plano. Construímos os pontos de interseção da pirâmide com a linha l como resultado da interseção do triângulo da seção primeiro com a projeção horizontal da linha l 1 - K1 e L1, e depois obtemos suas projeções frontais (K2, L2).

Vamos determinar a visibilidade mútua da linha l (l 1 ,l 2 ) com a pirâmide SABC. As tarefas de determinar os pontos de interseção de poliedros com linhas são simplificadas se um dos elementos estiver em uma posição específica.

Por exemplo, ao determinar os pontos de interseção de uma reta em posição geral com um prisma em projeção, o problema se reduz a determinar os pontos de interseção de uma reta com projeções degeneradas das faces do prisma (Figura 4.8).

Figura 4.8 - A interseção de uma linha reta com um prisma reto

Ao encontrar os pontos de interseção da pirâmide com a linha projetada, as projeções horizontais dos pontos de interseção (K1, N1) são determinadas na projeção degenerada da linha reta e, em seguida, suas projeções frontais (K2, N2) são alinhadas e sua visibilidade mútua é estabelecida (Figura 4.9).

Figura 4.9 - A intersecção da pirâmide com a linha saliente

4.3 Construção de empreendimentos de poliedros

Se as superfícies recebem as propriedades de flexibilidade e inextensibilidade, algumas delas podem ser combinadas com o plano sem a formação de dobras e quebras, ou seja, para obter um desenvolvimento superficial.

Um desenvolvimento de um poliedro é uma figura plana obtida pela combinação de todas as faces de um poliedro com um plano em uma determinada ordem.

Para construir um desenvolvimento de um prisma ou pirâmide, é necessário determinar o tamanho real de suas arestas e bases, e então construir um desenvolvimento de superfícies (Figuras 4.10 e 4.11).

A construção do desenvolvimento da pirâmide se reduz à construção repetida do tamanho natural dos triângulos que limitam sua superfície.

Vamos construir um desenvolvimento completo de uma pirâmide triédrica (Figura 4.10). Para fazer isso, determinamos o tamanho real de cada aresta usando o método do triângulo retângulo. A borda SC é a linha de frente do nível, portanto sua projeção S2 C2 é natural. A base da pirâmide é um plano horizontal, de modo que a projeção horizontal do triângulo ABC é um valor natural.

Figura 4.10 - Desenvolvimento da pirâmide

A construção de varreduras de prismas inclinados se reduz à construção dos valores naturais das faces do poliedro. Essas compilações podem ser feitas das seguintes maneiras:

1. O método de seção normal, no qual a largura de cada face é determinada usando um plano de corte perpendicular às arestas do prisma;

2. O método de rolagem, que se baseia na combinação sequencial de todas as faces do prisma com o plano, girando em torno da linha de nível;

3. Um método de triangulação baseado na divisão de losangos por diagonais em triângulos e na determinação dos valores naturais dos lados dos triângulos.

Detenhamo-nos com mais detalhes na consideração da essência do método da seção normal. Vamos definir a posição do prisma de forma que suas bordas fiquem, por exemplo, na posição das frentes (Figura 4.11).

Figura 4.11 - Varredura de um prisma usando o método de seção normal

Vamos cruzar o prisma dado com um plano auxiliar perpendicular às arestas do prisma, ou seja, determine a largura de cada face do prisma. Vamos determinar o valor natural desta seção normal e construir um desenvolvimento da superfície do prisma. A construção do empreendimento inicia-se com a construção de uma linha horizontal, na qual separamos os segmentos que determinam a largura de cada face ao longo de sua seção normal.

Através dos pontos que determinam os comprimentos dos segmentos, traçamos linhas perpendiculares a eles, nas quais traçamos os comprimentos dos segmentos das nervuras entre a linha de seção e as bases do prisma.

O desenvolvimento da superfície lateral do prisma é obtido após conectar as extremidades dos segmentos construídos com linhas retas. Para construir uma varredura completa do prisma, é necessário completar os valores naturais das bases do prisma.

4.4 Intersecção mútua de poliedros

O resultado da intersecção de dois poliedros é uma linha fechada poligonal espacial que corre ao longo da superfície lateral de ambos os poliedros.

Suas ligações são definidas como o resultado da intersecção das faces de um poliedro com as faces de outro, e os vértices são definidos como os pontos de intersecção das arestas de cada poliedro com as faces de outro. Assim, o problema de construir uma linha de intersecção mútua de dois poliedros pode ser reduzido a resolver o problema da intersecção de dois planos, ou à intersecção de uma linha com um plano.

A linha de interseção de poliedros pode se dividir em dois ou mais ramos, que podem ser tanto linhas poligonais espaciais fechadas quanto polígonos planos. A linha de interseção pode estar dentro da parte comum das projeções de ambas as superfícies de interseção.

Vamos construir uma linha de interseção do prisma KLMN com a pirâmide SABC.

Para construir uma linha de interseção, primeiro encontramos os pontos de interseção, por exemplo, as arestas de um prisma com as faces de uma pirâmide (Figura 4.12). Pode-se ver no desenho que as arestas M, N, L estão fora da área de sobreposição dos dois poliedros, portanto, não se cruzam com a pirâmide. A aresta K está localizada na área de superposição das projeções das duas faces da pirâmide CSA e CSB (determinadas pelas projeções horizontais das faces C1 S1 A1 e C1 S1 B1 e a aresta K1 ), assim determinamos os pontos de intersecção da aresta K com essas faces.

Figura 4.12 - Encontrando os pontos de interseção das arestas do prisma com as faces da pirâmide

Para construção, usaremos linhas auxiliares (S1 11 , S1 21 ), que desenhamos nas faces CSB e CSA através das projeções dos pontos de interseção da aresta K com as faces - pontos 3 e 4 (primeiro determinamos suas projeções 31 e 41). Construamos as projeções frontais dos pontos 3 e 4 na interseção das projeções da aresta K2 com as projeções das linhas auxiliares S2 12 , S2 22 .

Encontramos os pontos de intersecção das arestas da pirâmide com as faces do prisma. Começaremos a construir esses pontos a partir do plano horizontal de projeções, pois o prisma ocupa uma posição de projeção horizontal. A projeção da aresta S1 A1 intercepta duas faces do prisma K1 L1 e L1 N1 nos pontos 51 e 61 . Vamos projetar esses pontos no plano frontal das projeções na projeção da aresta S2 B2 e construir as projeções 52 e 62 .

Argumentando da mesma forma, construímos projeções dos pontos de interseção das arestas SA e SC com as faces do prisma KL, KN e KM (7,8, 9, 10) (Figura 4.13) .

Figura 4.13 - Encontrando os pontos de interseção das arestas da pirâmide com as faces do prisma

Conecte sucessivamente as projeções dos pontos de interseção por segmentos de retas que pertencem simultaneamente às faces do prisma e da pirâmide. Por exemplo, as projeções dos pontos 7-5-4-9-3-7 são conectadas sequencialmente, conectando os segmentos da linha de interseção de dois poliedros na área de entrada e os pontos 8, 6 e 10 na área de saída de dois poliedros.

A última etapa da construção é determinar a visibilidade das seções da linha de interseção construída. A projeção do segmento de linha de interseção é considerada visível se o segmento estiver nas projeções visíveis da face da pirâmide e da face do prisma. Se pelo menos uma das projeções das faces não for visível, a projeção da seção considerada da linha de interseção não será visível. Vamos conectar seções da linha de interseção e traçar o desenho, levando em consideração a visibilidade das faces (Figura 4.14).

Figura 4.14 - Intersecção mútua de poliedros

Perguntas para autocontrole no tópico 4:

1. O que é um poliedro?

2. O que define a superfície de um poliedro em um desenho complexo?

3. Que métodos são usados ​​para construir uma seção de um poliedro por um plano?

4. Como são construídos os pontos de entrada e saída quando um poliedro intercepta uma linha reta?

5. Qual é a essência do método da seção normal ao construir uma varredura de um prisma?

6. Que método é usado para construir uma varredura de pirâmide?

5 CURVAS E SUPERFÍCIES

5.1 Linhas curvas

As linhas curvas são usadas no projeto de várias superfícies, na teoria de máquinas e mecanismos, na modelagem e marcação de negócios, na construção de diagramas de estado de sistemas multicomponentes.

Uma linha curva é um conjunto de posições sucessivas de um ponto em movimento no espaço.

Linhas curvas, todos os pontos dos quais pertencem ao mesmo plano, são chamadas planas, por exemplo, uma linha reta, um círculo, uma elipse, uma parábola, uma hipérbole, uma senóide, gráficos de funções de uma variável, gráficos de equações com duas incógnitas, outras linhas curvas - espacial, por exemplo, linhas helicoidais.

Cada curva inclui elementos geométricos que compõem seu determinante, ou seja, um conjunto de condições independentes que determinam exclusivamente essa curva.

Existem as seguintes maneiras de definir curvas:

1. Analítica - a curva é dada por uma equação matemática;

2. Gráfico - a curva é definida apenas graficamente;

3. Tabular - a curva é especificada pelas coordenadas de uma série sucessiva de seus pontos.

Qualquer linha curva pode ser obtida movendo um ponto no espaço, como resultado da intersecção de superfícies curvas por um plano e como resultado da intersecção mútua de superfícies, das quais pelo menos uma é uma curva.

Os pontos de uma linha curva plana são divididos em ordinários (ponto tangente A) e especiais (ponto de inflexão B - no ponto de inflexão, a curvatura muda de sinal - de

de um lado deste ponto, a curva é convexa, do outro, côncava; cúspides C - cúspides do 1º tipo (o ponto F da ciclóide refere-se às cúspides do 1º tipo), D - cúspides do 2º tipo; o ponto E é um ponto duplo do estrofoide, neste ponto a curva tem duas tangentes diferentes m1 e m2) (Figura 5.1).

Figura 5.1 - Pontos comuns e singulares da curva

As linhas curvas regulares são divididas em algébricas (círculo, parábola) e transcendentais (sinusóides).

Ao estudar uma linha curva plana, muitas vezes torna-se necessário determinar sua ordem. A ordem de uma linha curva plana é determinada pelo maior número de pontos de sua interseção com uma linha reta, ou o grau de sua equação. A linha de primeira ordem é uma linha reta. Linhas curvas de segunda ordem - uma elipse (sua forma particular é um círculo), uma parábola, uma hipérbole.

Um círculo é uma curva fechada, cujos pontos estão todos à mesma distância de algum ponto O situado neste plano, chamado centro. Equação do círculo: x 2 +y 2 =R 2 .

Uma elipse é um conjunto de todos os pontos em um plano, a soma das distâncias a dois pontos dados F1 e F2, chamados focos, é um valor constante (2a). Equação da elipse: x 2 / a 2 + y 2 / b 2 =1.

Figura 5.2 - Linhas de segunda ordem: círculo e elipse

A parábola é definida pela equação y 2 = 2px . Uma parábola tem um ponto impróprio, tem um eixo de simetria.

A hipérbole é definida pela equação x2 /a2 – y2 /b2 =1. Uma hipérbole tem um centro e dois eixos de simetria e tem dois pontos impróprios.

Figura 5.3 - Retas de segunda ordem: parábola e hipérbole

Das linhas curvas espaciais, as linhas helicoidais cilíndricas e cônicas são de maior interesse prático.

Hélice cilíndrica - esta é uma linha descrita por um ponto com movimento uniforme ao longo de uma linha reta, com rotação uniforme de sua rotação em torno de um eixo paralelo a ela.

Figura 5.4 - Hélice

A altura até a qual o ponto A sobe em uma revolução completa é chamada passo de hélice.

A projeção frontal de uma linha helicoidal cilíndrica é uma senóide, a projeção horizontal é um círculo.

5.2 Formação de superfícies curvas

Uma superfície curva é um conjunto de posições sucessivas de uma determinada linha que se move no espaço de acordo com uma determinada lei.

As superfícies podem ser definidas em um desenho das seguintes maneiras:

1. Cinemática - a superfície é considerada como um conjunto contínuo de posições de uma linha que se move no espaço de acordo com uma determinada lei.

A linha em movimento é chamada de geratriz da superfície, e a linha

ao longo do qual a geratriz se move é chamado de guia (Figura 5.5).

Figura 5.5 - Modo cinemático de definição de superfícies

2. Wireframe - se for impossível descrever matematicamente, a superfície é definida por uma rede suficientemente densa de linhas pertencentes a essas superfícies. O esqueleto da superfície pode consistir em curvas tridimensionais ou famílias de seções planas (figura 5.6).

Figura 5.6 - Definindo a superfície com uma moldura

3. Analítico - a superfície é considerada como um conjunto bidimensional contínuo de pontos. As coordenadas dos pontos deste conjunto satisfazem alguma equação F(x,y,z) = 0.

4. Um determinante é um conjunto de condições necessárias e suficientes para uma atribuição única de uma superfície. Qualificador de superfície

consiste em partes geométricas e algorítmicas D = [G] Λ [A] . Por exemplo, a superfície de um cilindro de revolução pode ser definida girando uma linha reta a em torno de um eixo fixo i usando o determinante: D = Λ [A]. A parte geométrica do determinante é representada pelas projeções frontais do eixo e da geratriz. Na parte algorítmica, deve-se escrever a “superfície de revolução” (Figura 5.7).

Figura 5.7 - Definindo a superfície com um determinante

5. Contorno - o limite da parte visível da superfície no plano de projeção correspondente. Este método é o mais visual na resolução de problemas de geometria descritiva. Por exemplo, a superfície de um cilindro circular reto pode ser representada por projeções de seus contornos horizontal e frontal (Figura 5.8).

Figura 5.8 - Definindo uma superfície com um esboço

Uma grande variedade de superfícies, várias formas de sua formação, a complexidade das características geométricas dificultam as tentativas de classificar as superfícies.

Todas as superfícies curvas, dependendo do tipo de geradores, são divididas em superfícies regradas, nas quais a geratriz é uma linha reta, e não regradas, nas quais a geratriz é uma curva.

Superfícies regradas separadas, se forem dadas as propriedades físicas de flexibilidade e inextensibilidade, podem ser expandidas para coincidir com o plano sem rugas ou quebras. Tais superfícies são chamadas implantável. As superfícies regradas que não atendem aos requisitos especificados, bem como as superfícies não regradas, são chamadas não implantável.

5.3 Superfícies: rotações, regradas, helicoidais, cíclicas

5.3.1 Superfícies de revolução

Uma superfície de revolução é uma superfície descrita por uma geratriz curva (ou linha reta) quando gira em torno de um eixo fixo.

Cada ponto do gerador descreve durante sua rotação um círculo centrado no eixo. Esses círculos são chamados de paralelos. O paralelo do maior raio é chamado de equador, o menor - a garganta (Figura 5.9).

As curvas obtidas na seção do corpo de revolução por planos que passam pelo eixo são chamadas de meridianos. O meridiano paralelo ao plano de projeção frontal é chamado de principal.

Figura 5.9 - Superfície de rotação

As superfícies formadas pela rotação de uma linha reta incluem as seguintes superfícies:

1. Cilindro de rotação - é formado pela rotação de uma linha reta em torno do eixo i paralelo a ele.

2. Cone de rotação - formado pela rotação de uma linha reta em torno do eixo i que se cruza com ele.

3. Um hiperbolóide de revolução de uma folha é obtido pela rotação de uma linha reta em torno do eixo i que se cruza com ele.

Um hiperbolóide de revolução também pode ser obtido girando uma hipérbole em torno de seu eixo imaginário.

As superfícies nomeadas também são superfícies regradas (Figura 5.10).

Figura 5.10 - Superfícies de revolução: cilindro, cone, hiperbolóide

As superfícies de revolução formadas pela rotação de um círculo incluem:

1. Esfera - uma superfície formada pela rotação de um círculo em torno de seu diâmetro;

2. Torus - uma superfície formada pela rotação de um círculo em torno de um eixo situado no plano desse círculo, mas não passando pelo seu centro;

3. Anel - uma superfície formada pela rotação de um círculo em torno de um eixo situado fora do círculo.

O toro é uma superfície de quarta ordem.

Qualquer superfície é considerada dada se for possível determinar a posição de qualquer ponto em sua superfície. Para construir pontos na superfície

a esfera ou toro, é necessário utilizar os paralelos e meridianos dessas superfícies (Figura 5.11).

Figura 5.11 - Superfícies de revolução: esfera, toro, anel

As superfícies de revolução formadas pela rotação de uma elipse, parábola e hipérbole são chamadas respectivamente: elipsóide de revolução, parabolóide de revolução, hiperbolóide de revolução de uma folha (Figura 5.12).

Figura 5.12 - Superfícies de revolução: elipsóide, parabolóide, hiperbolóide

5.3.2 Superfícies regidas

A superfície formada pelo movimento de uma linha reta é chamada de regrada.

Uma superfície regrada formada pelo movimento de uma geratriz retilínea que passa constantemente por algum ponto S e em todos os casos intercepta alguma curva guia é chamada de cônica.

Uma superfície regrada formada pelo movimento de uma geratriz paralela a uma certa direção e cruzando uma guia é chamada de superfície cilíndrica.

Superfícies regradas incluem superfície com cúspide- é formado pelo deslocamento de uma reta ao longo de uma determinada curva espacial, e a geratriz da reta permanece em cada ponto tangente à guia curvilínea (Figura 5.13).

Figura 5.13 - Superfícies regradas: cônica, cilíndrica, superfície com borda de retorno

5.3.3 Superfícies helicoidais

A superfície helicoidal é formada pelo movimento helicoidal de alguma linha geradora (Figura 5.14).

Superfícies helicoidais com geração de linhas retas são chamadas de helicóides.

Um helicóide é chamado reto se a linha reta geradora faz um ângulo reto com o eixo z da superfície. Em outros casos, o helicóide é chamado de oblíquo ou oblíquo.

Figura 5.14 - Helicóides retos e oblíquos

5.3.4 Superfícies cíclicas

Uma superfície é chamada cíclica se for descrita por um círculo de raio constante ou variável durante seu movimento arbitrário.

Um exemplo de superfície cíclica pode ser qualquer superfície de revolução. Além disso, incluem superfícies de canal e tubulares.

A superfície do canal é formada movendo um círculo de raio variável ao longo de uma guia curva.

Uma superfície tubular é formada movendo um círculo de raio constante ao longo de uma guia curva (Figura 5.15).

Figura 5.15 - Superfícies cíclicas: canal e tubular

5.4 Problemas posicionais generalizados

5.4.1 Intersecção de superfícies curvas por um plano

Quando uma superfície curva é interceptada por um plano, no caso geral, uma curva plana (elipse, círculo) é obtida. Ao cruzar superfícies regradas com um plano, também podem ser obtidas linhas retas, em um caso particular, se o plano secante for direcionado ao longo dos geradores ou passar por um ponto (cilindro ou cone).

Para construir uma linha de interseção de uma superfície curva por um plano, é usado o método de planos de corte auxiliares. O plano auxiliar é escolhido de modo que intercepte o plano dado ao longo de uma linha reta e a superfície ao longo de uma linha graficamente simples (círculo ou linha reta). Os pontos de interseção dessas linhas serão os pontos desejados pertencentes à superfície e ao plano de corte.

A construção das projeções da linha da seção da superfície pelo plano é bastante simplificada se o plano de corte ocupar a posição de projeção

zhenie. Neste caso, uma das projeções da linha de corte já está no desenho: coincide com a projeção do plano. A tarefa se reduz apenas a construir outra projeção dessa linha.

Considere a construção de uma linha de seção de um cilindro por um plano de projeção (Figura 5.16).

Figura 5.16 - Intersecção do cilindro pelo plano de projeção

O cilindro é interceptado pelo plano Σ ao longo de uma elipse. Como o cilindro ocupa uma posição de projeção horizontal, a elipse degenera no plano de projeção horizontal em um círculo que coincide com o contorno horizontal do cilindro. Como o plano de corte ∑ ocupa uma posição de projeção frontal, a projeção frontal da elipse degenera em um segmento de linha reta 12 22 .

Considere a construção de uma linha de seção de um cilindro circular reto por um plano em posição geral (Figura 5.17).

Algoritmo de construção:

1. Analise a condição do problema. Como o cilindro ocupa uma posição de projeção horizontal, a projeção horizontal da elipse da seção degenera em um círculo e a projeção frontal é projetada em uma elipse.

Os pontos de vista A e B são pontos que dividem a projeção frontal da elipse de corte em partes visíveis e invisíveis. As projeções A2 e B2 são determinadas usando o plano secante auxiliar Q (o plano frontal nivelado) traçado através das projeções A1 e B1.

Pontos próximos e distantes C e D são determinados usando planos de corte do nível frontal desenhados através das projeções C1 e D1 e cruzando o cilindro ao longo dos geradores próximos e distantes, e o plano dado - ao longo das frentes correspondentes. As projeções dos pontos C2 e D2 são encontradas na interseção das projeções correspondentes das linhas.

Figura 5.17 - Intersecção do cilindro por um plano de posição geral

Os pontos mais altos e mais baixos da seção K e L estão na linha de inclinação traçada através do eixo do cilindro perpendicular à horizontal de um determinado plano. O segmento KL determina a posição do eixo maior da elipse.

Eixo menor da elipse MN está localizado perpendicular ao eixo maior, perpendicular a ele e passa pelo eixo do cilindro.

3. Determine a posição dos pontos aleatórios. Passe planos secantes auxiliares do nível frontal e determine a posição das projeções de pontos aleatórios nos planos horizontal e frontal das projeções.

4. Defina a visibilidade da elipse no plano de projeção frontal. Defina nas projeções a visibilidade mútua do cilindro e do plano de corte.

NO como resultado da intersecção de um cone circular reto por planos, podem ser obtidas linhas, cuja natureza pode ser prevista dependendo da localização do cone e do plano secante. Essas linhas podem ser: um círculo, uma elipse, uma parábola, uma hipérbole e, se o plano de corte passar pelo topo do cone, um par de linhas retas (Figura 5.18).

Vamos construir uma linha de corte de um cone circular reto por um plano de projeção (Figura 5.19).

Algoritmo de construção:

1. Analise a condição do problema.

O plano de corte está em posição de projeção frontal, portanto, a projeção frontal da elipse de corte degenera na projeção frontal em um segmento de reta AB.

2. Determine a posição dos pontos de referência: os pontos superior e inferior da seção A e B determinam a posição do eixo maior da elipse. A posição dos pontos próximos e distantes (C e D) é determinada no eixo menor da elipse, que é perpendicular ao eixo maior e está localizado no meio do segmento AB.

3. Determine a posição dos pontos aleatórios: K,L e M,N. Para sua construção, são utilizados planos de corte auxiliares do nível, que

centeio cruza a superfície do cone ao longo dos círculos dos raios correspondentes e o plano - ao longo das linhas retas que se projetam frontalmente.

Figura 5. 18 - Seções cônicas (cônicas)

Figura 5.19 - Intersecção de um cone por um plano de projeção frontal

5.4.2 Intersecção de uma superfície curva com uma linha reta

O resultado da interseção de uma superfície curva com uma linha reta é um par de pontos.

Um par de pontos de interseção de uma linha reta com uma superfície curva é chamado condicionalmente de pontos de entrada e saída. Para construir esses pontos, é utilizado o método de planos de corte auxiliares.

Algoritmo de construção:

1. Qualquer projeção de uma determinada linha reta está contida em um plano de corte. (Geralmente, os planos de projeção são escolhidos como plano auxiliar.)

2. Construir projeções da seção de linha da superfície por um plano.

3. Determine os pontos de interseção da linha resultante com uma determinada linha reta

4. Determine a visibilidade mútua de uma linha reta e uma superfície. Considere vários casos de construção de pontos de interseção de curvas

superfícies retas.

A resolução de problemas é simplificada se um dos elementos (uma linha ou uma superfície) estiver em uma determinada posição (Figura 5.20). Neste caso, em uma das projeções, é determinada a posição das projeções dos pontos de interseção da linha reta com a superfície curva.

Encerrando a projeção frontal da reta dada no plano secante saliente na seção do cilindro, obtemos uma elipse, que se projeta sobre o plano horizontal de projeção na forma de um círculo coincidente com o contorno horizontal da superfície do cilindro . Os pontos de interseção do cilindro saliente com a reta são determinados no plano de projeção horizontal na interseção do contorno horizontal do cilindro com a projeção da reta. A visibilidade mútua de uma linha reta e um cilindro é estabelecida.

Ao encontrar os pontos de intersecção de uma linha de posição particular com a superfície de um cone em posição geral, pode-se utilizar a construção de geradores pertencentes à superfície do cone. Construa os pontos de interseção de M e N e estabeleça a visibilidade mútua da linha e do cone.

Figura 5.20 - Casos particulares de intersecção de superfícies com retas

Considere o caso geral da interseção de uma superfície curva com uma reta em posição geral usando o exemplo da interseção de um cone com uma reta (Figura 5.21). Vamos resolver este problema de duas maneiras.

No primeiro caso, a projeção frontal da reta AB está contida em um plano que passa pelo topo do cone (plano ABS). Este plano cruzará o cone ao longo das linhas S1 e S2. Para construir essas linhas, encontra-se a linha DC da interseção do plano ABS com o plano da base do cone e os pontos 1 e 2 de sua interseção com o círculo da base do cone. Os pontos de interseção K e N da linha AB com a superfície do cone são encontrados como resultado da intersecção da linha CD com as linhas S1 e S2. Determine a visibilidade mútua de uma linha reta e um cone.

No segundo caso, a linha AB está contida em um plano que se projeta frontalmente que intercepta o cone em uma elipse. Os pontos de interseção K e N são encontrados como resultado da interseção da elipse construída com uma linha reta

AB e determine a visibilidade mútua de uma linha reta e um plano de corte.

A primeira maneira de resolver o problema é a mais racional.

Figura 5.21 - Intersecção de um cone com uma linha reta em posição geral

Para resolver o problema de determinar os pontos de interseção de uma esfera com uma linha reta em posição geral (Figura 5.22), é mais racional usar o método de mudança de planos de projeção. Neste caso, por exemplo, conclui-se uma projeção horizontal de uma dada reta AB em um plano que se projeta horizontalmente. Na seção da esfera por este plano, obtém-se um círculo, que é projetado no plano P4 sem distorção na forma de um círculo,

e o segmento de linha A4 B4 - em seu tamanho natural. Os pontos de interseção C e D são determinados na interseção do círculo e da linha reta no plano P4 e, em seguida, suas projeções nos planos P1 e P2 são determinadas. Defina a visibilidade das projeções de uma linha reta e uma esfera de acordo com a visibilidade da linha de corte construída.

Figura 5.22 - Intersecção de uma esfera com uma linha reta em posição geral

5.4.3 Métodos para construção de linhas de interseção de superfícies curvas

Duas superfícies curvas se cruzam no caso geral ao longo de uma linha curva espacial (Figura 5.23).

Figura 5.23 - Intersecção mútua de superfícies curvas

A linha de interseção de duas superfícies curvas é construída em seus pontos individuais. Esses pontos são determinados com a ajuda de superfícies intermediárias auxiliares. Cruzando as superfícies dadas com alguma superfície auxiliar, obtém-se linhas de seção, na interseção das quais se encontram pontos que pertencem simultaneamente a ambas as superfícies e, portanto, à linha de seção desejada.

Planos ou esferas são mais frequentemente escolhidos como superfícies intermediárias. O uso dessas superfícies é determinado pelo tipo e localização das superfícies especificadas.

5.4.3.1 Método do plano de corte auxiliar

O método dos planos de corte auxiliares é usado quando ambas as superfícies podem ser intersectadas ao longo de linhas graficamente simples (círculos ou linhas retas) por um determinado conjunto de planos de projeção ou planos de nível (Figura 5.24).

Figura 5.24 - Intersecção de um cone e um cilindro

Considere a aplicação do método dos planos de corte auxiliares do nível no exemplo do problema de construção de uma linha de interseção de um cilindro e um cone (Figura 5.25).

Figura 5.25 - Método do plano de corte: interseção de um cilindro e um cone

Vamos iniciar a construção definindo os pontos de referência (pontos superior, inferior, direito e esquerdo da seção e pontos de visibilidade). Como a superfície do cilindro circular está em posição de projeção frontal, esses pontos estão no contorno frontal da superfície - o círculo no qual o cilindro é projetado.

A própria linha de corte no plano frontal das projeções coincidirá com o contorno frontal do cilindro e é determinada pela área de superposição das projeções das duas superfícies.

A construção das projeções dos pontos superior e inferior da seção terá início com a definição de suas projeções frontais 12 e 22 . Vamos construí-los nas montanhas

o plano guarda-chuva de projeções sobre as projeções do meridiano principal e encontre as projeções horizontais dos pontos 11 e 21 .

Para construir projeções horizontais dos pontos mais à direita e mais à esquerda da seção, usaremos o método de corte de planos de nível. Escolhemos a posição do plano auxiliar de forma que ele intercepte simultaneamente ambas as superfícies ao longo de linhas graficamente simples - ao longo de círculos ou linhas retas. Um plano de corte auxiliar - um plano horizontal nivelado - será traçado através das projeções frontais dos pontos 3 e 4. Neste caso, a superfície de um cilindro circular será cortada por ele em linhas retas, e a superfície de um cone circular - num círculo. As projeções horizontais dos pontos 31 e 41 serão obtidas na interseção das projeções horizontais das linhas de corte.

Os pontos 3 e 4 são ao mesmo tempo os pontos de vista para a projeção horizontal da linha de corte, ou seja, delimitar essa projeção em partes visíveis e invisíveis.

Todos os outros pontos pertencentes à linha de corte serão auxiliares e sua escolha é aleatória. O número de pontos aleatórios é determinado pela precisão da construção: quanto mais pontos houver, mais precisa será a solução.

Detenhamo-nos na construção de um par de pontos aleatórios 5 e 6. Para isso, no plano frontal de projeções, selecionamos um par de pontos concorrentes e usamos o plano secante auxiliar do nível horizontal para determinar suas projeções horizontais.

Conectando as projeções de pontos construídas com uma linha curva suave, obtemos uma projeção horizontal da linha de seção de duas superfícies. Neste caso, no plano de projeção horizontal, levaremos em consideração a posição dos pontos de visibilidade. A seção da linha de seção acima dos pontos 3 e 4,

será visível e abaixo deles - invisível. A projeção frontal desta linha coincide com o contorno frontal da superfície cilíndrica e, sendo simétrica, será visível.

Assim, para construir uma linha de intersecção de superfícies, é necessário:

1. Determine quais superfícies se cruzam e se existe uma projeção da linha de interseção na condição do problema.

2. Determine a posição dos pontos de ancoragem.

3. Selecione a posição dos planos de corte auxiliares.

4. Encontre a posição do restante dos pontos de referência e aleatórios usando os planos de corte selecionados.

5. Desenhe projeções da linha de corte desejada.

6. Defina visibilidade.

Para construir uma linha de interseção de superfícies que não possuem um plano comum de simetria, use o método dos planos secantes (Figura 5.26). Para determinar a posição dos pontos 1 e 2, através do eixo de simetria do cone traçamos o plano de nível frontal Σ, que intercepta o cone - ao longo do meridiano principal, e a esfera - ao longo da circunferência. As projeções frontais dos pontos 12 e 22 são determinadas e, em seguida, as projeções 11, 21.

A posição dos pontos mais altos e mais baixos (3 e 4) é determinada usando o plano secante Q, passando pelos centros do cone e da esfera e sendo o plano de simetria das duas superfícies. Para determinar as projeções dos pontos 32, 42 e 31, 41, foi utilizado o método de rotação das seções obtidas (meridianos de ambas as superfícies) em torno do eixo que passa pelo eixo de simetria do cone.

Figura 5.26 - Intersecção de um cone e uma esfera - o método de corte de planos

Os pontos de vista para o plano horizontal de projeções (5.6) são determinados usando o plano Θ traçado pelo equador da esfera.

A posição dos pontos aleatórios é determinada usando planos de corte do nível horizontal.

Os pontos de vista para o plano de projeção frontal estarão no meridiano principal da esfera. Se desenharmos um plano de corte através do meridiano principal da esfera, na seção da esfera haverá um círculo e na seção do cone - uma hipérbole. Vamos determinar a posição aproximada desses

pontos depois de construir uma linha de seção comum de superfícies.

Conectamos as projeções dos pontos construídos, levando em consideração a visibilidade nos planos de projeção correspondentes.

5.4.3.2 Método das esferas de corte auxiliares

A utilização do método das esferas secantes auxiliares baseia-se numa propriedade inerente às superfícies de revolução. Consiste em dois

quaisquer superfícies coaxiais de revolução se cruzam ao longo de círculos que passam pelos pontos de interseção dos meridianos das superfícies.

Nesse caso, os planos dos círculos da seção são perpendiculares ao eixo de rotação e os centros dos círculos pertencem a esse eixo. Portanto, se os eixos das superfícies de revolução são paralelos ao plano de projeções, então neste plano os círculos da seção são projetados em segmentos de linhas retas perpendiculares às projeções dos eixos das superfícies de revolução, e no outro plano - na forma de círculos.

Como superfície secante auxiliar de revolução, é conveniente usar uma superfície esférica, cujo centro deve pertencer ao eixo da superfície de revolução (Figura 5.27).

Figura 5.27 - Propriedade das esferas de corte

NO Dependendo da posição relativa das superfícies, existem duas opções possíveis para resolver problemas usando o método das esferas secantes:

1. Os eixos de ambas as superfícies são paralelos ao plano de projeção.

2. Superfícies de interseção têm um plano de símbolo comum

NO no primeiro caso, utiliza-se o método das esferas secantes concêntricas (Figura 5.28), no segundo caso, das esferas secantes excêntricas.

Figura 5.28 - Método das esferas concêntricas secantes: interseção de cones

Detenhamo-nos com mais detalhes no uso do método das esferas secantes concêntricas para resolver o problema de construir uma linha de interseção de dois cones (Figura 5.29).

A construção da linha de interseção começa com a determinação da posição das projeções dos pontos de referência. As projeções dos pontos 12, 22 e 32, 42 são os pontos mais altos e mais baixos na área de entrada das superfícies do cone e na área de sua saída. Suas projeções horizontais 11, 21, 31, 41 são obtidas projetando-se sobre o eixo de simetria no plano de projeção horizontal.

Para obter os pontos restantes da linha de interseção de superfícies, é utilizado o método das esferas concêntricas secantes. O centro das esferas secantes é escolhido no plano de projeção frontal na interseção dos eixos de simetria das superfícies. A construção começa com a determinação do raio mínimo da esfera secante - o valor da maior das duas perpendiculares, baixado do centro das esferas para as superfícies geratrizes dos cones.

Figura 5.29 - Método de corte concêntrico das esferas

Vamos construir os pontos pertencentes à linha de interseção das superfícies como resultado da interseção de duas cordas (círculos espaciais ao longo dos quais a esfera auxiliar intercepta os cones).

Vamos construir pontos aleatórios pertencentes à linha de interseção - pontos 5 e 6, usando uma esfera secante, cujo raio é escolhido no intervalo: maior que o mínimo e menor que o máximo (do centro à projeção do ponto 22) .

Conectamos as projeções da linha de corte, levando em consideração sua visibilidade nas projeções correspondentes.

Considere usar o método de planos de corte excêntricos para resolver o problema de determinar a interseção de um cone e uma esfera que possuem um plano de simetria comum (Figura 5.30).

Figura 5.30 - Cone e esfera coaxiais

Começamos a construção da linha de interseção determinando a posição dos pontos superior e inferior da seção (12, 22) na interseção dos contornos frontais das superfícies e determinando suas projeções horizontais 11 e 21 (Figura 5.31). Os pontos restantes são determinados usando esferas secantes desenhadas a partir de um ou diferentes centros situados no eixo de simetria do cone.

Figura 5.31 - Intersecção de um cone e uma esfera - o caminho das esferas

Pares de pontos 3.4 e 5.6 são determinados primeiro no plano frontal de projeções na interseção de cordas das seções correspondentes da esfera auxiliar das superfícies dadas. Então eles constroem suas projeções horizontais. A visibilidade da linha de interseção é determinada no plano horizontal de projeções, utilizando um plano de corte que passa pelo equador da esfera. No plano de projeção frontal, a linha de corte, sendo simétrica, projeta-se em uma curva suave visível.

O método das esferas excêntricas secantes é usado na construção da linha de interseção de um toro aberto e um cone truncado (Figura 5.32). Os pontos superior e inferior da seção A e B estão no plano do meridiano principal de ambas as superfícies e, portanto, são determinados por suas projeções frontais na interseção dos contornos das superfícies. Em seguida, são construídas suas projeções horizontais A1 e B1.

Figura 5.32 - Método das esferas excêntricas: interseção de um toro e um cone

Os pontos restantes são construídos usando esferas secantes que cruzam a superfície do anel ao longo de seus círculos meridionais. Para encontrar os centros das esferas secantes, são desenhados planos secantes que passam pelo centro do anel. Uma tangente é traçada através do ponto de interseção deste plano e o eixo do toro até cruzar com o eixo do cone - este ponto será o centro da esfera secante comum ao toro e ao cone. As projeções dos pontos C2 e D2 são determinadas na interseção de cordas (círculos espaciais) nas superfícies do toro e do cone. A posição dos geradores é determinada e as projeções C1 e D1 são construídas nas projeções correspondentes dos geradores do toro.

Os pontos de vista para a projeção horizontal da linha de corte são determinados no eixo de simetria do cone truncado no plano frontal das projeções (o plano horizontal de nível é desenhado) e as projeções horizontais dos pontos de vista (L1 e N1) são determinadas . No plano de projeção frontal, a linha é projetada como uma curva visível.

5.5 Linhas e planos tangentes às superfícies

Uma linha reta situada no mesmo plano de uma curva pode intersectá-la em dois ou mais pontos. Tal linha é chamada de secante. Se a secante for movida de modo que o comprimento do arco AB entre os dois pontos de interseção se aproxime de zero, então na posição limite a secante tomará a posição t e será chamada de tangente (Figura 5.33).

A tangente indica a direção do movimento ao longo da curva em cada ponto tangente.

Um plano tangente a uma superfície tem um ponto em comum com essa superfície, uma linha reta ou uma linha curva plana. Um plano pode tocar uma superfície em um lugar e intersectá-la em outro. A linha de contato pode ser simultaneamente a linha de interseção da superfície com o plano.

Figura 5.33 - Tangente à curva

Em geral, o plano tangente à superfície é um conjunto de linhas retas tangentes a quaisquer curvas pertencentes a

pressionando a superfície e passando por um determinado ponto dessa superfície.

Para definir um plano tangente a qualquer superfície, basta desenhar curvas pertencentes à superfície através de um ponto dado na superfície e construir uma linha tangente a cada uma delas passando por um ponto. Essas linhas retas definirão o plano tangente. O plano tangente à superfície é a posição limite do plano secante.

Uma linha reta que passa pelo ponto tangente e perpendicular ao plano tangente é chamada de normal à superfície nesse ponto. A normal da superfície em um dado ponto determina a direção do plano tangente à superfície naquele ponto (Figura 5.34).

Não é possível construir um plano tangente em todos os pontos da superfície. Em alguns pontos, o plano tangente não pode ser definido ou não é único. Tais pontos são chamados pontos especiais de superfícies, por exemplo, pontos da borda do retorno da superfície do tronco, o vértice da superfície cônica, pontos da superfície de revolução, onde o meridiano e o eixo não se cruzam em ângulos retos, etc

Figura 5.34 - Plano tangente

A tarefa de construir planos tangentes que passam por um determinado ponto da superfície é reduzida ao seguinte:

1. Quaisquer duas secantes são desenhadas através de um ponto em uma superfície curva

aviões.

2. Encontre as linhas de seção da superfície por esses planos.

3. Construa tangentes em um determinado ponto para as linhas de seção.

Duas tangentes definem o plano desejado. Ao escolher planos de corte, eles tendem a obter o tipo mais simples de seção - uma linha reta ou um círculo.

Considere o caso da construção de um plano tangente ao ponto A, que pertence à superfície do cone de revolução (Figura 5.35).

Para construir duas seções necessárias, um plano de corte é desenhado através de um determinado ponto A e o topo do cone. Este plano cruzará a superfície do cone ao longo da geratriz que serve como linha de tangência e, portanto, é uma das linhas retas que definem o plano tangente. A segunda linha reta m, tangente à circunferência da seção do cone por um plano horizontal de nível traçado através do ponto A. A tangente também pode ser traçada à circunferência da base do cone.

Figura 5.35 - Plano tangente à superfície do cone

5.6 Desenvolvimentos de superfície

Um desenvolvimento de superfície é uma figura plana formada pela combinação de uma superfície com um plano.

Das propriedades geométricas dos elementos de superfície que são preservados durante o desdobramento, pode-se notar que a linha de superfície passa para a linha desdobrada e que os comprimentos das linhas, os valores dos ângulos planos e as áreas delimitadas por linhas fechadas permanecem inalterados.

Nem todas as superfícies podem ser exatamente aplanadas. Portanto, as superfícies são divididas em desenvolvíveis e não desenvolvíveis. Superfícies desenvolvíveis incluem superfícies pautadas: cilindros, cones e torsos, uma vez que os geradores adjacentes são paralelos ou se cruzam, ou seja, formar um plano.

Para construir uma varredura de um cilindro circular reto, você precisa construir um retângulo com uma base 2πR, onde R é o raio do círculo de base. A altura do retângulo é igual à altura do cilindro (Figura 5.36).

2. Que linhas são obtidas quando os planos interceptam um cilindro de revolução?

3. Que curvas são obtidas quando os planos interceptam o cone de revolução?

4. Quais são os pontos extremos da linha de seção curva?

5. Em que casos é recomendado usar o método de planos de corte auxiliares ou o método de esferas de corte auxiliares para construir uma linha de interseção de duas superfícies curvas?

6 COMPUTAÇÃO GRÁFICA

6.1 Computação gráfica e seu lugar no design assistido por computador

A computação gráfica estuda os métodos e meios de criação e processamento de imagens usando sistemas de software e hardware.

A computação gráfica inclui um complexo de várias ferramentas de software usadas para formar, converter e enviar informações visuais para dispositivos de exibição (displays, plotters gráficos).

Entre os hardwares estão dispositivos especializados e dispositivos de uso geral.

A primeira são entradas como caneta de luz, tablets digitais e meios de saída - plotters(Figura 6.1).

Figura 6.1 - Dispositivos especializados

Ao segundo - Dispositivos de entrada- manipuladores "mouse" e "joystick", e dispositivos de saída-displays gráficos de bitmap, impressoras, teclados(Figura 6.2).

O software é focado nos seguintes principais tipos de gráficos: empresarial, ilustrativo, científico, design (para CAD), cartográfico (CAD de arquitetura e gestão do território), artes plásticas e publicidade.

Computação gráfica desenvolvida de acordo com o desenvolvimento geral da tecnologia e software de computador. Inicialmente, foram criados programas para exibir gráficos como parte de pacotes de aplicativos como parte de linguagens de alto nível. Por exemplo, o pacote GRAFOR foi criado como parte dos pacotes de aplicativos de linguagem FORTRAN.

Figura 6.2 - Dispositivos de uso geral

NO além disso, a criação de programas gráficos destacou-se como uma direção independente de software.

NO Dependendo do método de formação da imagem, a computação gráfica é dividida em:

∙ gráficos raster;

∙ gráficos vetoriais;

∙ gráficos fractais.

O elemento de imagem em editores de raster é um ponto. Um ponto pode ter vários parâmetros: coordenadas, cor, tom, transparência. A imagem é feita por sistematização de pontos. Nesse caso, há um indicador de resolução da imagem - o número de pontos por unidade de área da imagem. As ferramentas gráficas de engenharia modernas permitem que você crie imagens com uma resolução de 2540 dpi (pontos por polegada) ou mais. Cada ponto requer endereçamento para armazenamento em mídia. Uma quantidade significativa de dados sendo processados, bem como os dados necessários para salvar imagens, é uma desvantagem significativa dos gráficos raster.

Uma desvantagem comum dos editores de raster é que, quando a imagem é ampliada, os pontos aumentam de acordo, portanto, quando a imagem é ampliada, sua resolução e, como resultado, a precisão são perdidas; incapacidade de trabalhar com elementos (imagens ampliadas) - pixelização.

Como o elemento imagem é um ponto, a reta já exigirá a sistematização de pontos. A partir disso podemos concluir que a criação de objetos bidimensionais e tridimensionais complica significativamente a descrição da imagem, aumentando a quantidade de dados processados ​​e armazenados.

Os editores raster incluem Paint, Adobe Photoshop, etc. Eles são projetados para criar imagens como desenhos artísticos, ilustrações, gráficos (Figura 6.3).

Figura 6.3 - Exemplos de uso de gráficos raster

Em gráficos vetoriais, o elemento básico é a linha. A linha é descrita matematicamente como um único objeto e, portanto, a quantidade de dados para exibir um objeto em gráficos vetoriais é significativamente menor do que em gráficos raster.

Todos os editores gráficos considerados são os editores mais simples, por exemplo, Paint, ou uma ampla variedade de editores.

Três blocos principais: um simulador, um bloco de cálculo e um sistema especialista - realizam todos os principais procedimentos que podem ser necessários durante o trabalho de projeto.

O bloco de cálculo pode executar qualquer programa do pacote de aplicativos, que contém todos os programas necessários usados ​​pelos desenvolvedores. A chamada de um determinado programa é realizada a pedido do simulador ou sistema inteligente, ou o próprio construtor.

Base de dados

Bloco de formação de tarefas

Do utilizador

Figura 6.5 - Diagrama típico do CAD B Bloco de formação de tarefas o designer apresenta a técnica

o resumo do projeto, que especifica todos os objetivos a serem alcançados no projeto e todas as restrições que não podem ser violadas.

Unidade para preparação de documentação técnica permite ao designer preparar os documentos necessários para as duas últimas etapas de criação de novos produtos.

Sistemas específicos podem se desviar desse esquema típico.

Considere exemplos específicos de editores gráficos CAD e de engenharia e sistemas CAD/CAM/CAE

6.3 Funcionalidade dos Módulos de Modelagem 2D-3D

O sistema gráfico AutoCAD é o padrão de fato em sistemas gráficos de engenharia. As versões mais recentes do AutoCAD são aplicativos modernos do Windows de 32 bits para engenheiros e usuários de CAD. O AutoCAD oferece um ambiente de trabalho eficiente e, portanto, permite que os projetistas se concentrem mais nos projetos e gastem menos tempo inserindo parâmetros a partir do teclado.

Recursos como o Multiple Design Environment, AutoCAD DesignCenter, suporte ao Intellimouse e outros oferecem suporte a um ambiente de trabalho natural, intuitivo e eficiente.

SOLIDCAM é um produto da CADTECH Ltda. - poderoso

uma ferramenta para obter programas de controle para máquinas CNC no processamento de peças contendo

superfície ou geometria sólida. O SOLIDCAM fornece fresamento de 2,5 e 3 eixos com garantia

cansada ausência de "rebaixos", transformando

corpos de revolução, visualização do processo de corte com imitação de remoção de material.

Figura 6.6 - Usando o programa SOLIDCAM em produção

O sistema bCAD foi desenvolvido para uma ampla gama de aplicações, portanto sua funcionalidade é bastante versátil (Figura 6.7).

O sistema bCAD foi concebido e desenvolvido como uma estação de trabalho de designer universal, que permite realizar uma ampla gama de trabalhos no modo "end-to-end" - desde um desenho a um modelo tridimensional ou, inversamente, de um representação tridimensional para projeções planas. Ao mesmo tempo, é possível produzir documentação técnica de acordo com os requisitos das normas, obter imagens realistas e preparar dados para sistemas de liquidação.

Figura 6.7 - Janela do sistema bCAD

As imagens raster preparadas em bCAD podem ser escritas nos formatos GIF, TGA, BMP, JPG, TIFF ou PCX e usadas em pacotes de publicação ou ilustração.

Recentemente, ao desenvolver documentação de projeto no processo educacional de universidades técnicas, o sistema KOMPAS-3D desenvolvido pela empresa russa ASCON é amplamente utilizado.

O editor de desenho e design KOMPAS-3D contém ferramentas de desenho suficientes para fazer desenhos de qualquer complexidade com suporte total para os padrões russos. A interface simples e compreensível deste programa é combinada com sucesso com a flexibilidade de um sistema profissional ao construir, selecionar, excluir objetos de desenho, digitar de acordo com GOST, definir dimensões de todos os tipos, tolerâncias de forma e localização de superfícies, posições, bases, etc. .

O KOMPAS-3D foi projetado especificamente para o ambiente operacional MS Windows e faz pleno uso de todos os seus recursos e benefícios, proporcionando ao usuário a máxima eficiência e comodidade no trabalho.

Os seguintes objetos gráficos são suportados no KOMPAS-3D.

Objetos geométricos:						segmento de linha reta
	arco circular,				polígono,		linha quebrada,
curva de bezier,		curva NURBS,		incubação,		curva equidistante,
macronutriente.
		tamanho linear,			tamanho do ângulo,		tamanho radial
	tamanho diametral,			tamanho da altura.
Designações especiais e tecnológicas:							multilinha

inscrição de texto, designação de base, tolerância de forma e localização,

Objetos de desenho de desenho: requisitos técnicos, inscrição principal (carimbo), designação de rugosidade de superfícies não especificadas.

Os principais documentos do sistema KOMPAS-3D são:

desenho, fragmento, documento de texto, especificação, montagem e detalhe.

A principal tarefa resolvida com a ajuda de qualquer sistema de desenho é a criação e liberação de várias documentações gráficas (Figura 6.10).

Figura 6.10 - Fragmento do desenho de detalhe no KOMPAS-3D

A maneira mais simples e compreensível de construir é apontar diretamente para o campo de entrada com o cursor. Por exemplo, ao criar um segmento, seu ponto inicial é fixado sequencialmente e, em seguida, o ponto final.

Outra maneira é especificar os valores exatos das coordenadas para mover para o ponto desejado e depois corrigi-lo. Para exibir e inserir coordenadas, campos especiais X e Y são fornecidos, exibidos no lado direito da Barra de Status Atual.

E, finalmente, a Barra de Parâmetros do Objeto permite implementar as mais amplas possibilidades de gerenciamento de objetos de desenho.

Você pode mover objetos de desenho ou fragmentos com o mouse ou usando comandos de menu.

Os métodos básicos de trabalho são: mover objetos com o mouse; copiar objetos com o mouse; remoção simples de objetos gráficos; edição de pontos característicos de objetos; edição de parâmetros do objeto.

O sistema KOMPAS-3D é capaz de gerar modelos tridimensionais de uma peça para transferir geometria para vários parâmetros de projeto ou para pacotes para desenvolvimento de programas de controle para equipamentos CNC, bem como para criar documentação de projeto para as peças desenvolvidas (Figura 6.11 ).

Figura 6.11 Exemplo de trabalho no KOMPAS-3D

As principais tarefas que o KOMPAS-3D resolve são a formação de um modelo tridimensional de uma peça para transferir a geometria para vários pacotes de cálculo ou para pacotes de desenvolvimento de programas de controle para

ruding CNC, bem como a criação de documentação de projeto para as peças desenvolvidas.

O procedimento geralmente aceito para modelagem de um corpo rígido é a execução sequencial de operações booleanas (união, subtração e interseção) em elementos sólidos (esferas, prismas, cilindros, cones, pirâmides, etc.). Um exemplo de tais operações é mostrado na Figura 6.12.

Figura 6.12 - Um exemplo de execução de operações booleanas

Operações booleanas em elementos sólidos: a) cilindro; b) combinação de um cilindro e um prisma; c) subtração de prismas; d) subtração do cilindro.

No KOMPAS-3D, para definir a forma dos elementos volumétricos, é realizado esse movimento de uma figura plana no espaço, cujo traço determina a forma do elemento (por exemplo, a rotação de um arco circular em torno de um eixo forma um esfera ou um toro, um deslocamento de polígono - um prisma, etc.). Formação de elementos volumétricos: a) um prisma, b) um toro, c) um elemento cinemático (Figura 6.12).

Figura 6.12 - Formação dos elementos volumétricos

Uma figura plana, com base na qual um corpo é formado, é chamada de esboço, e o movimento de modelagem de um esboço é chamado de operação.

Perguntas para autocontrole no tópico 6:

1. O que inclui o termo "computação gráfica"?

2. O que pertence ao hardware de gráficos de computador?

3. Liste os principais tipos de gráficos.

4. De acordo com o método de formação da imagem, a computação gráfica é dividida em ……….. Qual é a diferença?

5. Qual é o elemento básico dos gráficos fractais?

6. Qual é o elemento básico dos gráficos vetoriais?

7. Quais são os elementos de um sistema CAD típico?

8. Sistemas gráficos de engenharia de nomes conhecidos por você.

9. Quais operações são usadas para modelar um corpo rígido?

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