Integral curvilínea de 1º tipo para manequins. MA

Mínimo teórico

Integrais curvilíneas e de superfície ocorrem frequentemente na física. Eles vêm em duas variedades, a primeira das quais é discutida aqui. este
o tipo de integrais é construído de acordo com o esquema geral, segundo o qual são introduzidas integrais definidas, duplas e triplas. Recordemos brevemente este esquema.
Existe algum objeto sobre o qual a integração é realizada (unidimensional, bidimensional ou tridimensional). Este objeto é quebrado em pequenas partes,
um ponto é selecionado em cada uma das partes. Em cada um desses pontos, o valor do integrando é calculado e multiplicado pela medida da parte que
o ponto dado pertence (o comprimento do segmento, a área ou volume da área parcial). Então todos esses produtos são somados, e o limite
transição para particionar um objeto em partes infinitamente pequenas. O limite resultante é chamado de integral.

1. Definição de uma integral curvilínea do primeiro tipo

Considere uma função definida em uma curva. A curva é considerada retificável. Lembre-se do que isso significa, grosso modo,
que uma polilinha pode ser inscrita em uma curva com links arbitrariamente pequenos, e no limite de um número infinitamente grande de links, o comprimento da polilinha deve permanecer
final. A curva é dividida em arcos parciais de comprimento e um ponto é selecionado em cada um dos arcos. O trabalho está sendo compilado
soma sobre todos os arcos parciais . Em seguida, a passagem ao limite é realizada com a tendência do comprimento do maior
de arcos parciais a zero. O limite é uma integral curvilínea do primeiro tipo
.
Uma característica importante desta integral, que decorre diretamente de sua definição, é a independência da direção de integração, ou seja,
.

2. Definição de uma integral de superfície de primeira espécie

Considere uma função definida em uma superfície lisa ou lisa por partes. A superfície é dividida em regiões parciais
com áreas , um ponto é selecionado em cada uma dessas áreas. Um trabalho está sendo compilado , a soma
sobre todas as áreas parciais . Então a passagem ao limite é realizada com a tendência do diâmetro da maior de todas as parciais
áreas a zero. O limite é uma integral de superfície do primeiro tipo
.

3. Cálculo de uma integral curvilínea do primeiro tipo

O método para calcular a integral curvilínea do primeiro tipo já pode ser visto a partir de sua notação formal, mas na verdade decorre diretamente de
definições. A integral é reduzida a uma definida, apenas é necessário escrever a diferencial do arco da curva ao longo da qual a integração é realizada.
Vamos começar com um caso simples de integração ao longo de uma curva plana dada por uma equação explícita . Neste caso, o diferencial do arco
.
Então, no integrando, a variável é alterada e a integral assume a forma
,
onde o segmento corresponde à mudança na variável ao longo da parte da curva sobre a qual a integração é realizada.

Muitas vezes, a curva é definida parametricamente, ou seja, tipo equações. Então o diferencial do arco
.
Esta fórmula é muito fácil de justificar. Basicamente, é o teorema de Pitágoras. O diferencial do arco é na verdade o comprimento de uma parte infinitesimal da curva.
Se a curva é suave, então sua parte infinitesimal pode ser considerada retilínea. Para uma linha reta, a relação
.
Para que seja realizado para um pequeno arco da curva, deve-se passar de incrementos finitos para diferenciais:
.
Se a curva for dada parametricamente, então os diferenciais são simplesmente calculados:
etc.
Assim, após alterar as variáveis ​​no integrando, a integral curvilínea é calculada da seguinte forma:
,
onde a parte da curva ao longo da qual a integração é realizada corresponde ao segmento da mudança no parâmetro .

A situação é um pouco mais complicada quando a curva é especificada em coordenadas curvilíneas. Esta questão é geralmente discutida no âmbito do diferencial
geometria. Vamos dar uma fórmula para calcular a integral ao longo da curva dada em coordenadas polares pela equação:
.
Vamos também dar uma justificativa para o diferencial do arco em coordenadas polares. Discussão detalhada da grade do sistema de coordenadas polares
cm. . Vamos selecionar um pequeno arco da curva localizado em relação às linhas de coordenadas como mostrado na Fig. 1. Devido à pequenez de todos
arcos novamente, você pode aplicar o teorema de Pitágoras e escrever:
.
A partir daqui segue a expressão desejada para o diferencial do arco.

De um ponto de vista puramente teórico, é bastante fácil entender que a integral curvilínea do primeiro tipo deve ser reduzida ao seu caso especial -
uma determinada integral. De fato, fazendo uma mudança ditada pela parametrização da curva ao longo da qual a integral é calculada, estabelecemos
mapeamento um-para-um entre uma parte de uma dada curva e um segmento de mudança de parâmetro. E esta é a redução à integral
ao longo de uma linha reta que coincide com o eixo de coordenadas - uma integral definida.

4. Cálculo da integral de superfície do primeiro tipo

Após o ponto anterior, deve ficar claro que uma das principais partes do cálculo de uma integral de superfície do primeiro tipo é escrever um elemento de superfície,
sobre o qual a integração é executada. Novamente, vamos começar com o caso simples de uma superfície dada por uma equação explícita. Então
.
Uma mudança é feita no integrando, e a integral de superfície é reduzida à integral dupla:
,
onde é a região do plano em que uma parte da superfície é projetada sobre a qual a integração é realizada.

No entanto, muitas vezes é impossível especificar uma superfície por uma equação explícita, e então ela é especificada parametricamente, ou seja, equações da forma
.
O elemento de superfície neste caso é escrito mais complicado:
.
A integral de superfície é escrita da maneira correspondente:
,
onde é o intervalo de parâmetros correspondente à parte da superfície sobre a qual a integração é realizada.

5. O significado físico das integrais curvilíneas e de superfície do primeiro tipo

As integrais em discussão têm um significado físico muito simples e claro. Seja alguma curva cuja densidade linear não seja
constante e é uma função do ponto . Vamos encontrar a massa desta curva. Vamos quebrar a curva em muitos pequenos elementos,
dentro do qual sua densidade pode ser considerada aproximadamente constante. Se o comprimento de um pequeno pedaço da curva é , então sua massa
, onde é qualquer ponto da parte selecionada da curva (qualquer, desde que a densidade esteja dentro de
desta peça é considerada aproximadamente constante). Assim, a massa de toda a curva é obtida pela soma das massas de suas partes individuais:
.
Para que a igualdade se torne exata, deve-se ir ao limite de dividir a curva em partes infinitamente pequenas, mas esta é a integral curvilínea do primeiro tipo.

Da mesma forma, a questão da carga total da curva é resolvida se a densidade linear de carga for conhecida .

Essas considerações são facilmente transferidas para o caso de uma superfície de carga desigual com uma densidade de carga superficial . Então
a carga superficial é uma integral de superfície do primeiro tipo
.

Observação. Uma fórmula complicada para um elemento de superfície dada parametricamente é inconveniente para memorização. Outra expressão é obtida em geometria diferencial,
ele usa o chamado. a primeira forma quadrática da superfície.

Exemplos de cálculo de integrais curvilíneas do primeiro tipo

Exemplo 1 Integral ao longo de uma linha.
Calcular Integral

ao longo do segmento de linha que passa pelos pontos e .

Primeiro, escrevemos a equação da linha reta ao longo da qual a integração é realizada: . Vamos encontrar uma expressão para:
.
Calculamos a integral:

Exemplo 2 Integral ao longo de uma curva no plano.
Calcular Integral

ao longo do arco de uma parábola de um ponto a outro.

Os pontos dados e nos permitem expressar a variável da equação da parábola: .

Calculamos a integral:
.

No entanto, foi possível realizar os cálculos de outra forma, utilizando o fato de que a curva é dada por uma equação que se resolve em relação à variável .
Se tomarmos uma variável como parâmetro, isso levará a uma pequena mudança na expressão para o diferencial do arco:
.
Assim, a integral mudará um pouco:
.
Esta integral é facilmente calculada subsumindo a variável sob o diferencial. O resultado é a mesma integral do primeiro método de cálculo.

Exemplo 3 Integral ao longo de uma curva no plano (usando parametrização).
Calcular Integral

ao longo da metade superior da circunferência .

Você pode, é claro, expressar uma das variáveis ​​da equação do círculo e, em seguida, realizar o restante dos cálculos da maneira padrão. Mas você também pode usar
especificação de curva paramétrica. Como você sabe, um círculo pode ser definido por equações. Semicírculo superior
corresponde a alterar o parâmetro dentro de . Calcule o diferencial do arco:
.
Nesse caminho,

Exemplo 4 Integral ao longo de uma curva em um plano dado em coordenadas polares.
Calcular Integral

ao longo do lobo direito da lemniscata .


O desenho acima mostra uma lemniscata. A integração deve ser realizada ao longo de seu lobo direito. Vamos encontrar o diferencial do arco para a curva :
.
O próximo passo é determinar os limites de integração sobre o ângulo polar. É claro que a desigualdade deve ser mantida e, portanto,
.
Calculamos a integral:

Exemplo 5 Integral ao longo de uma curva no espaço.
Calcular Integral

ao longo da volta da hélice correspondente aos limites de mudança de parâmetro

O problema da massa da curva. Seja em cada ponto de uma curva L: (AB) de um material liso por partes, sua densidade seja dada. Determine a massa da curva.

Procedemos da mesma forma que fizemos ao determinar a massa de uma região plana (integral dupla) e de um corpo espacial (integral tripla).

1. Organize a divisão da região-arco L em elementos - arcos elementares para que esses elementos não tenham pontos interiores comuns e
(condição A )

2. Marcamos os elementos da partição “pontos marcados” M i e calculamos os valores da função neles

3. Construa a soma integral
, Onde - comprimento do arco (geralmente são introduzidas as mesmas designações para o arco e seu comprimento). Este é um valor aproximado para a massa da curva. A simplificação é que assumimos que a densidade do arco é constante em cada elemento e pegamos um número finito de elementos.

Passando ao limite sob a condição
(condição B ), obtemos uma integral curvilínea do primeiro tipo como o limite das somas integrais:

.

Teorema da existência 10 .

Deixe a função
é contínua em um arco suave por partes L 11 . Então a integral curvilínea do primeiro tipo existe como o limite das somas integrais.

Comente. Este limite não depende

    método de escolha de uma partição, desde que a condição A

    seleção de "pontos marcados" nos elementos de partição,

    método para refinar a partição, desde que a condição B seja satisfeita

Propriedades de uma integral curvilínea de primeira espécie.

1. Linearidade a) propriedade de superposição

b) propriedade de homogeneidade
.

Prova. Vamos escrever as somas integrais para as integrais do lado esquerdo das igualdades. Como o número de termos na soma integral é finito, vamos passar para as somas integrais para os lados direitos das igualdades. Então passamos ao limite, de acordo com o teorema da passagem ao limite em igualdade, obtemos o resultado desejado.

2. Aditividade. Se um
, então
=
+

Prova. Vamos escolher uma partição do domínio L de modo que nenhum dos elementos da partição (inicialmente e quando a partição for refinada) contenha os elementos L 1 e os elementos L 2 ao mesmo tempo. Isso pode ser feito pelo teorema de existência (observação sobre o teorema). Além disso, a prova é realizada em termos de somas integrais, como na Seção 1.

3.
.Aqui - comprimento do arco .

4. Se em um arco a desigualdade é satisfeita, então

Prova. Vamos escrever a desigualdade para as somas integrais e passar para o limite.

Observe que, em particular, é possível

5. Teorema da estimativa.

Se houver constantes
, algo

Prova. Integrando a desigualdade
(propriedade 4), obtemos
. Por constantes da propriedade 1
pode ser retirado sob as integrais. Usando a propriedade 3, obtemos o resultado desejado.

6. Teorema médio(o valor da integral).

Há um ponto
, o que

Prova. Já que a função
é contínua em um conjunto limitado fechado , então seu ínfimo existe
e borda superior
. A desigualdade é cumprida. Dividindo ambos os lados por L, temos
. Mas o número
entre os limites inferior e superior da função. Já que a função
é contínua em um conjunto limitado fechado L, então em algum ponto
a função deve ter esse valor. Consequentemente,
.

Uma curva AB dada por equações paramétricas é chamada de suave se as funções e têm derivadas contínuas no segmento e, além disso, se essas derivadas não existem em um número finito de pontos no segmento ou desaparecem simultaneamente, então a curva é chamada de suave por partes. . Seja AB uma curva plana, lisa ou lisa por partes. Seja f(M) uma função definida em uma curva AB ou em algum domínio D contendo esta curva. Consideremos a divisão da curva AB em partes por pontos (Fig. 1). Escolhemos um ponto arbitrário Mk em cada um dos arcos A^At+i e compomos a soma onde Alt é o comprimento do arco e chamamos de soma integral para a função f(M) sobre o comprimento do arco da curva . Seja D / o maior dos comprimentos de arcos parciais, ou seja, Propriedades de integrais curvilíneas de 1º tipo para curvas espaciais Integrais curvilíneas de 2º tipo Cálculo de uma integral curvilínea Se para , a soma integral (I) tem um limite finito, que não depende do método de particionamento da curva AB em partes, ou da escolha de pontos em cada um dos arcos da partição, então esse limite é chamado de integral curvilínea do tipo \ -th da função f (M) ao longo da curva AB (integral sobre o comprimento do arco da curva) e é denotada pelo símbolo Neste caso, a função / (M) é chamada integrável ao longo da curva ABU, a curva AB é chamada de contorno de integração, A é o ponto inicial, B são os pontos finais da integração. Assim, por definição, Exemplo 1. Seja uma massa com densidade linear variável J(M) distribuída ao longo de alguma curva suave L. Encontre a massa m da curva L. (2) Vamos dividir a curva L em n partes arbitrárias) e calcular aproximadamente a massa de cada parte, supondo que a densidade em cada uma das partes seja constante e igual à densidade em algum ponto de seus pontos, por exemplo, no ponto extremo esquerdo /(Af*). Então a soma ksho onde D/d é o comprimento da parte Dz-th, será um valor aproximado da massa m. É claro que o erro será quanto menor, quanto mais fina for a divisão da curva L. limite à medida que obtemos o valor exato da massa de toda a curva L, ou seja, Mas o limite à direita é uma integral curvilínea do primeiro tipo. Assim, 1.1. Existência de uma Integral Curvilínea de 1º Grau Tomemos como parâmetro na curva AB o comprimento do arco I, contado a partir do ponto inicial A (Fig. 2). Então a curva AB pode ser descrita pelas equações (3) onde L é o comprimento da curva AB. As equações (3) são chamadas de equações naturais da curva AB. Passando para as equações naturais, a função f(x) y) dada na curva AB será reduzida a uma função da variável I: / (x(1)) y(1)). Denotando pelo valor do parâmetro I, correspondente ao ponto Mku, reescrevemos a soma integral (I) na forma Assim, (5) Teorema 1. Se a função f(M) é contínua ao longo de uma curva suave AB, então existe uma integral curvilínea (porque nestas condições existe uma integral definida à direita em igualdade (5). 1.2. Propriedades das integrais curvilíneas do 1º tipo 1. Segue da forma da soma integral (1) que i.e. o valor de uma integral curvilínea do primeiro tipo não depende da direção da integração. 2. Linearidade. Se para cada uma das funções /() existe uma integral curvilínea ao longo da curva ABt, então para a função a/, onde a e /3 são constantes, existe também uma integral curvilínea ao longo da curva AB> e 3. Aditividade . Se a curva AB consiste em duas partes e para a função /(M) existe uma integral curvilínea sobre ABU, então existem integrais e 4. Se 0 na curva AB, então 5. Se a função é integrável na curva AB , então a função || também é integrável em A B e, além disso, b. Fórmula do valor médio. Se a função / é contínua ao longo da curva AB, então nesta curva existe um ponto Mc tal que onde L é o comprimento da curva AB. 1.3. Cálculo de uma Integral Curvilínea de 1º Grau Seja a curva AB dada por equações paramétricas, onde o ponto A corresponde ao valor t = to, e o ponto B corresponde ao valor. Vamos supor que as funções) são contínuas junto com suas derivadas e a desigualdade se mantém Então o diferencial do arco da curva é calculado pela fórmula B - o valor de x = 6, então, tomando x como parâmetro, temos obter 1,4. Integrais Curvilíneas de 1º Tipo para Curvas Espaciais A definição de uma integral curvilínea de 1º tipo formulada acima para uma curva plana pode ser literalmente transferida para o caso em que a função f(M) é dada ao longo de alguma curva espacial AB. Seja a curva AB dada por equações paramétricas Propriedades de integrais curvilíneas de 1º tipo para curvas espaciais Integrais curvilíneas de 2º tipo integral onde L é o contorno de um triângulo com vértices em um ponto * (Fig. 3). Pela propriedade da aditividade, temos Vamos calcular cada uma das integrais separadamente. Como no segmento OA temos: , então no segmento AH temos, de onde e então Fig. Finalmente, Portanto, Observação. Ao calcular as integrais, usamos a propriedade 1, segundo a qual. Integrais Curvilíneas do Segundo Tipo Seja AB uma curva orientada suave ou por partes no plano xOy e seja uma função vetorial definida em algum domínio D contendo a curva AB. Dividimos a curva AB em partes por pontos cujas coordenadas denotamos respectivamente por (Fig. 4). Em cada um dos arcos elementares AkAk+\ tomamos um ponto arbitrário e fazemos a soma. Seja D/ o comprimento do maior dos arcos. Definição. Se para , a soma (1) tem um limite finito, que não depende nem do método de divisão da curva AB nem da escolha dos pontos rjk) em arcos elementares, então esse limite é chamado de integral curvilínea da 2- cidade da função vetorial ao longo da curva AB e é denotada pelo símbolo Assim por definição Teorema 2. Se as funções são contínuas em algum domínio D contendo a curva AB, então existe a integral curvilínea da 2-cidade. Let Ser o vetor raio do ponto M(x, y). Então o integrando na fórmula (2) também pode ser representado como o produto escalar dos vetores F(M) e dr. Assim, a integral do 2º tipo de uma função vetorial ao longo da curva AB pode ser escrita brevemente como segue: 2.1. Cálculo de uma Integral Curvilínea de 2º Grau Seja a curva AB dada por equações paramétricas, onde as funções são contínuas junto com as derivadas no segmento, e uma mudança no parâmetro t de t0 para t \ corresponde ao movimento de um ponto ao longo da curva AB do ponto A ao ponto B. Se em alguma região D, contendo a curva AB, as funções são contínuas, então a integral curvilínea do 2º tipo é reduzida à seguinte integral definida: Assim, o cálculo da integral curvilínea de 2ª espécie também pode ser reduzida ao cálculo de uma integral definida. O) Exemplo 1. Calcule a integral ao longo de um segmento de linha reta conectando os pontos 2) ao longo de uma parábola conectando as mesmas linhas finas) A equação do parâmetro de linha, de onde So 2) A equação da linha AB: Portanto, portanto A O exemplo considerado unge que o valor da integral curvilínea do 2º tipo, em geral, depende da forma do caminho de integração. 2.2. Propriedades de uma Integral Curvilínea a do Segundo Tipo 1. Linearidade. Se existem Propriedades de integrais curvilíneas de 1º tipo para curvas espaciais Integrais curvilíneas de 2º tipo Cálculo de uma integral curvilínea Propriedades Relação entre então para qualquer real a e /5 existe uma integral onde 2. Additenost. Se a curva AB é dividida nas partes AC e SB e existe a integral curvilínea, então as integrais também existem. 2.3. Conexão entre integrais curvilíneas de 1º e 2º tipo Considere uma integral curvilínea de 2º tipo para a qual a curva AB está orientada) (Fig. 6). Então dr ou onde r = m(1) é o vetor unitário da tangente à curva AB no ponto M(1). Então Note que a última integral nesta fórmula é uma integral curvilínea do primeiro tipo. Quando a orientação da curva AB muda, o vetor unitário da tangente r é substituído pelo vetor oposto (-r), o que acarreta uma mudança no sinal de seu integrando e, portanto, no sinal da própria integral.

Aula 5 Integrais curvilíneas de 1º e 2º tipo, suas propriedades..

O problema da massa da curva. Integral curvilínea de 1ª espécie.

O problema da massa da curva. Seja em cada ponto da curva L: (AB) do material liso por partes, sua densidade seja dada. Determine a massa da curva.

Procedemos da mesma forma que fizemos ao determinar a massa de uma região plana (integral dupla) e de um corpo espacial (integral tripla).

1. Organize a partição da região do arco L em elementos - arcos elementares para que esses elementos não tenham pontos interiores comuns e ( condição A )

3. Vamos construir a soma integral , onde é o comprimento do arco (geralmente as mesmas designações são introduzidas para o arco e seu comprimento). Este é um valor aproximado para a massa da curva. A simplificação é que assumimos que a densidade do arco é constante em cada elemento e pegamos um número finito de elementos.

Passando ao limite sob a condição (condição B ), obtemos uma integral curvilínea do primeiro tipo como o limite das somas integrais:

.

O teorema da existência.

Seja a função contínua em um arco suave L por partes. Então existe uma integral curvilínea do primeiro tipo como o limite das somas integrais.

Comente. Este limite não depende

Propriedades de uma integral curvilínea de primeira espécie.

1. Linearidade
a) propriedade de superposição

b) propriedade de homogeneidade .

Prova. Vamos escrever as somas integrais para as integrais do lado esquerdo das igualdades. Como o número de termos na soma integral é finito, vamos passar para as somas integrais para os lados direitos das igualdades. Então passamos ao limite, de acordo com o teorema da passagem ao limite em igualdade, obtemos o resultado desejado.

2. Aditividade.
Se um , então = +

3. .Aqui está o comprimento do arco.

4. Se a desigualdade for satisfeita no arco, então

Prova. Vamos escrever a desigualdade para as somas integrais e passar para o limite.

Observe que, em particular, é possível

5. Teorema da estimativa.

Se existem constantes tais que , então

Prova. Integrando a desigualdade (propriedade 4), obtemos . Pela propriedade 1, as constantes podem ser retiradas das integrais. Usando a propriedade 3, obtemos o resultado desejado.

6. Teorema médio(o valor da integral).

Há um ponto , o que

Prova. Como a função é contínua em um conjunto limitado fechado, então seu mínimo existe e borda superior . A desigualdade é cumprida. Dividindo ambos os lados por L, temos . Mas o número entre os limites inferior e superior da função. Como a função é contínua em um conjunto limitado fechado L, a função deve assumir esse valor em algum ponto. Consequentemente, .

Cálculo de uma integral curvilínea de primeira espécie.

Parametrizamos o arco L: AB x = x(t), y = y(t), z = z (t). Deixe t 0 corresponder ao ponto A, e t 1 corresponder ao ponto B. Então a integral curvilínea do primeiro tipo se reduz a uma integral definida ( - a fórmula conhecida desde o 1º semestre para o cálculo do diferencial do comprimento do arco):

Exemplo. Calcule a massa de uma espira de uma hélice homogênea (densidade igual a k): .

Integral curvilínea de 2ª espécie.

O problema do trabalho da força.

Quanto trabalho a força realiza?F(M) ao mover o pontoMem um arcoAB?

Se o arco AB fosse um segmento de linha reta, e a força fosse constante em magnitude e direção quando o ponto M se move ao longo do arco AB, então o trabalho poderia ser calculado pela fórmula , onde é o ângulo entre os vetores. No caso geral, esta fórmula pode ser usada para construir uma soma integral, assumindo que a força é constante em um elemento de arco de comprimento suficientemente pequeno. Em vez do comprimento de um pequeno elemento do arco, você pode tomar o comprimento da corda que o subtende, pois essas quantidades são quantidades infinitesimais equivalentes sob a condição (primeiro semestre).

1. Organize a partição da região-arco AB em elementos - arcos elementares para que esses elementos não tenham pontos interiores comuns e ( condição A )

2. Marcamos os elementos da partição “pontos marcados” M i e calculamos os valores da função neles

3. Construa a soma integral , onde é o vetor direcionado ao longo da corda que subtende o -arco .

4. Passando ao limite sob a condição (condição B ), obtemos uma integral curvilínea de segundo tipo como o limite das somas integrais (e o trabalho da força):

. Muitas vezes referido

O teorema da existência.

Seja a função vetorial contínua em um arco suave por partes L. Então existe uma integral curvilínea do segundo tipo como o limite das somas integrais.

.

Comente. Este limite não depende

Um método para escolher uma partição, desde que a condição A seja satisfeita

Selecionando "pontos marcados" nos elementos de partição,

Um método para refinar a partição, desde que a condição B seja satisfeita

Propriedades de uma integral curvilínea de 2ª espécie.

1. Linearidade
a) propriedade de superposição

b) propriedade de homogeneidade .

Prova. Vamos escrever as somas integrais para as integrais do lado esquerdo das igualdades. Como o número de termos na soma integral é finito, usando a propriedade do produto escalar, passamos para as somas integrais para os lados direitos das igualdades. Então passamos ao limite, de acordo com o teorema da passagem ao limite em igualdade, obtemos o resultado desejado.

2. Aditividade.
Se um , então = + .

Prova. Vamos escolher uma partição do domínio L de modo que nenhum dos elementos da partição (inicialmente e quando a partição for refinada) contenha os elementos L 1 e os elementos L 2 ao mesmo tempo. Isso pode ser feito pelo teorema de existência (observação sobre o teorema). Além disso, a prova é realizada em termos de somas integrais, como na Seção 1.

3. Orientabilidade.

= -

Prova. A integral de arco –L, ou seja na direção negativa de contornar o arco, há um limite de somas integrais, nos termos do qual existe (). Tirando o "menos" do produto escalar e da soma de um número finito de termos, passando ao limite, obtemos o resultado desejado.

Para o caso em que a área de integração é um segmento de alguma curva situada em um plano. A notação geral da integral curvilínea é a seguinte:

Onde f(x, y) é uma função de duas variáveis, e eu- curva, por segmento AB em que ocorre a integração. Se o integrando é igual a um, então a integral curvilínea é igual ao comprimento do arco AB .

Como sempre no cálculo integral, a integral curvilínea é entendida como o limite das somas integrais de algumas partes muito pequenas de algo muito grande. O que é resumido no caso de integrais curvilíneas?

Seja um segmento no plano AB alguma curva eu, e a função de duas variáveis f(x, y) definido nos pontos da curva eu. Vamos realizar o seguinte algoritmo com este segmento da curva.

  1. Curva dividida AB na parte com pontos (figuras abaixo).
  2. Em cada parte, escolha livremente um ponto M.
  3. Encontre o valor da função nos pontos selecionados.
  4. Multiplique os valores da função por
    • o comprimento das peças no caso integral curvilínea de primeira espécie ;
    • projeções de peças no eixo de coordenadas no caso integral curvilínea de segunda espécie .
  5. Encontre a soma de todos os produtos.
  6. Encontre o limite da soma integral encontrada sob a condição de que o comprimento da parte mais longa da curva tenda a zero.

Se este limite existe, então este limite da soma integral e é chamado de integral curvilínea da função f(x, y) ao longo da curva AB .


primeiro tipo

Caso integral curvilíneo
segundo tipo

Vamos introduzir a seguinte notação.

Meu ( ζ eu ; η eu)- um ponto com coordenadas selecionadas em cada seção.

feu ( ζ eu ; η eu)- valor da função f(x, y) no ponto escolhido.

Δ seu- comprimento de uma parte de um segmento da curva (no caso de uma integral curvilínea do primeiro tipo).

Δ xeu- projeção de uma parte do segmento de curva no eixo Boi(no caso de uma integral curvilínea do segundo tipo).

d= maxΔ s eué o comprimento da parte mais longa do segmento de curva.

Integrais curvilíneas do primeiro tipo

Com base no que foi dito acima sobre o limite das somas integrais, a integral curvilínea do primeiro tipo é escrita da seguinte forma:

.

A integral curvilínea do primeiro tipo tem todas as propriedades que integral definida. No entanto, há uma diferença importante. Para uma integral definida, quando os limites de integração são trocados, o sinal muda para o oposto:

No caso de uma integral curvilínea do primeiro tipo, não importa qual dos pontos da curva AB (UMA ou B) considere o início do segmento, e qual final, ou seja,

.

Integrais curvilíneas do segundo tipo

Com base no que foi dito sobre o limite das somas integrais, a integral curvilínea do segundo tipo é escrita da seguinte forma:

.

No caso de uma integral curvilínea de segundo tipo, quando o início e o fim de um segmento da curva são invertidos, o sinal da integral muda:

.

Ao compilar a soma integral de uma integral curvilínea de segundo tipo, os valores da função feu ( ζ eu ; η eu) também pode ser multiplicado pela projeção das partes do segmento de curva no eixo Oi. Então obtemos a integral

.

Na prática, costuma-se usar a união de integrais curvilíneas de segundo tipo, ou seja, duas funções f = P(x, y) e f = Q(x, y) e integrais

,

e a soma dessas integrais

chamado integral curvilínea geral do segundo tipo .

Cálculo de integrais curvilíneas de primeiro tipo

O cálculo de integrais curvilíneas do primeiro tipo é reduzido ao cálculo de integrais definidas. Vamos considerar dois casos.

Seja dada uma curva no plano y = y(x) e um segmento de curva AB corresponde a mudar a variável x a partir de uma antes da b. Então nos pontos da curva o integrando f(x, y) = f(x, y(x)) ("y" deve ser expresso através de "x"), e o diferencial do arco e a integral curvilínea pode ser calculada pela fórmula

.

Se a integral for mais fácil de integrar y, então da equação da curva é necessário expressar x = x(y) ("x" a "y"), onde e a integral é calculada pela fórmula

.

Exemplo 1

Onde AB- segmento de linha entre pontos UMA(1; -1) e B(2; 1) .

Solução. Componha a equação de uma reta AB, usando a fórmula (a equação de uma linha reta que passa por dois pontos dados UMA(x1 ; y 1 ) e B(x2 ; y 2 ) ):

Da equação de uma reta expressamos y Através dos x :

Então e agora podemos calcular a integral, já que temos apenas "x" sobrando:

Seja uma curva dada no espaço

Então, nos pontos da curva, a função deve ser expressa em termos do parâmetro t() e o diferencial do arco , então a integral curvilínea pode ser calculada pela fórmula

Da mesma forma, se uma curva é dada no plano

,

então a integral curvilínea é calculada pela fórmula

.

Exemplo 2 Calcular Integral Curvilínea

Onde eu- parte da linha do círculo

localizado no primeiro octante.

Solução. Esta curva é um quarto da linha do círculo, localizada no plano z= 3. Corresponde aos valores dos parâmetros. Porque

então o diferencial do arco

Vamos expressar o integrando em termos do parâmetro t :

Agora que temos tudo expresso através de um parâmetro t, podemos reduzir o cálculo desta integral curvilínea a uma integral definida:

Cálculo de integrais curvilíneas do segundo tipo

Assim como no caso das integrais curvilíneas do primeiro tipo, o cálculo das integrais do segundo tipo se reduz ao cálculo das integrais definidas.

A curva é dada em coordenadas retangulares cartesianas

Seja uma curva em um plano dada pela equação da função "y", expressa por "x": y = y(x) e o arco da curva AB corresponde a mudança x a partir de uma antes da b. Em seguida, substituímos a expressão "y" por "x" no integrando e determinamos a diferencial dessa expressão "y" em relação a "x": . Agora, quando tudo é expresso por "x", a integral curvilínea do segundo tipo é calculada como uma integral definida:

Da mesma forma, uma integral curvilínea do segundo tipo é calculada quando a curva é dada pela equação da função "x", expressa por "y": x = x(y) , . Neste caso, a fórmula para calcular a integral é a seguinte:

Exemplo 3 Calcular Integral Curvilínea

, E se

a) eu- segmento de reta OA, Onde O(0; 0) , UMA(1; −1) ;

b) eu- arco de uma parábola y = x² de O(0; 0) a UMA(1; −1) .

a) Calcule a integral curvilínea sobre um segmento de reta (azul na figura). Vamos escrever a equação de uma linha reta e expressar "Y" a "X":

.

Nós temos dy = dx. Resolvemos esta integral curvilínea:

b) se eu- arco de uma parábola y = x², obtemos dy = 2xdx. Calculamos a integral:

No exemplo que acabamos de resolver, obtivemos o mesmo resultado em dois casos. E isso não é uma coincidência, mas o resultado de um padrão, pois essa integral satisfaz as condições do teorema a seguir.

Teorema. Se as funções P(x,y) , Q(x,y) e suas derivadas parciais , - contínuas na região D funções e nos pontos desta região, as derivadas parciais são iguais, então a integral curvilínea não depende do caminho de integração ao longo da linha eu localizado na área D .

A curva é dada na forma paramétrica

Seja uma curva dada no espaço

.

e nos integrandos substituímos

expressões dessas funções através de um parâmetro t. Obtemos a fórmula para calcular a integral curvilínea:

Exemplo 4 Calcular Integral Curvilínea

,

E se eu- parte de uma elipse

atendendo a condição y ≥ 0 .

Solução. Esta curva é a parte da elipse que está no plano z= 2. Corresponde ao valor do parâmetro.

podemos representar a integral curvilínea como uma integral definida e calculá-la:

Dada uma integral curvilínea e eu- uma linha fechada, essa integral é chamada de integral sobre um contorno fechado e é mais fácil calculá-la usando fórmula de verde .

Mais exemplos de cálculo de integrais curvilíneas

Exemplo 5 Calcular Integral Curvilínea

Onde eu- um segmento de linha entre os pontos de sua interseção com os eixos coordenados.

Solução. Vamos determinar os pontos de intersecção da linha reta com os eixos coordenados. Substituindo a reta na equação y= 0 , obtemos , . Substituindo x= 0 , obtemos , . Assim, o ponto de intersecção com o eixo Boi - UMA(2; 0) , com eixo Oi - B(0; −3) .

Da equação de uma reta expressamos y :

.

, .

Agora podemos representar a integral curvilínea como uma integral definida e começar a calculá-la:

No integrando, selecionamos o fator , tiramos do sinal de integral. No integrando resultante, usamos trazendo sob o signo do diferencial e finalmente chegamos.

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