Um ponto é um objeto abstrato que não possui características de medição: sem altura, sem comprimento, sem raio. No âmbito da tarefa, apenas a sua localização é importante

O ponto é indicado por um número ou uma letra latina maiúscula (grande). Vários pontos - números ou letras diferentes para que possam ser distinguidos

ponto A, ponto B, ponto C

A B C

ponto 1, ponto 2, ponto 3

1 2 3

Você pode desenhar três pontos "A" em um pedaço de papel e convidar a criança a desenhar uma linha através dos dois pontos "A". Mas como entender através de qual? A A A

Uma linha é um conjunto de pontos. Ela só mede o comprimento. Não tem largura ou espessura.

Indicado por letras latinas minúsculas (pequenas)

linha a, linha b, linha c

a b c

A linha poderia ser

1. fechado se seu início e fim estão no mesmo ponto,
2. aberto se seu início e fim não estiverem conectados

linhas fechadas

linhas abertas

Você saiu do apartamento, comprou pão na loja e voltou para o apartamento. Qual linha você conseguiu? Isso mesmo, fechado. Você voltou ao ponto de partida. Você saiu do apartamento, comprou pão na loja, entrou na entrada e conversou com seu vizinho. Qual linha você conseguiu? Abrir. Você não voltou ao ponto de partida. Você saiu do apartamento, comprou pão na loja. Qual linha você conseguiu? Abrir. Você não voltou ao ponto de partida.

1. auto-interseção
2. sem auto-interseções

linhas de auto-interseção

linhas sem auto-interseções

1. direto
2. linha quebrada
3. torto

linhas retas

linhas quebradas

linhas curvas

Uma linha reta é uma linha que não se curva, não tem começo nem fim, pode se estender indefinidamente em ambas as direções

Mesmo quando uma pequena seção de uma linha reta é visível, assume-se que ela continua indefinidamente em ambas as direções.

É indicado por uma letra latina minúscula (pequena). Ou duas letras latinas maiúsculas (grandes) - pontos em uma linha reta

linha reta a

uma

reta AB

BA

linhas retas podem ser

1. se cruzam se tiverem um ponto comum. Duas linhas só podem se cruzar em um ponto.
   • perpendiculares se eles se cruzam em um ângulo reto (90°).
2. paralelos, se eles não se cruzam, eles não têm um ponto comum.

linhas paralelas

linhas de interseção

linhas perpendiculares

Um raio é uma parte de uma linha reta que tem começo, mas não tem fim, pode se estender indefinidamente em apenas uma direção

O ponto de partida para o feixe de luz na imagem é o sol.

Sol

O ponto divide a linha em duas partes - dois raios A A

O feixe é indicado por uma letra latina minúscula (pequena). Ou duas letras latinas maiúsculas (grandes), onde a primeira é o ponto a partir do qual o raio começa, e a segunda é o ponto situado no raio

irradiar um

uma

viga AB

BA

As vigas coincidem se

1. localizado na mesma reta
2. começar em um ponto
3. direcionado para um lado

raios AB e AC coincidem

raios CB e CA coincidem

C B A

Um segmento é uma parte de uma linha reta que é delimitada por dois pontos, ou seja, tem um começo e um fim, o que significa que seu comprimento pode ser medido. O comprimento de um segmento é a distância entre seus pontos inicial e final.

Qualquer número de linhas pode ser desenhada através de um ponto, incluindo linhas retas.

Através de dois pontos - número ilimitado de curvas, mas apenas uma linha reta

linhas curvas que passam por dois pontos

BA

reta AB

BA

Um pedaço foi “cortado” da linha reta e um segmento permaneceu. A partir do exemplo acima, você pode ver que seu comprimento é a distância mais curta entre dois pontos. ✂ B A ✂

Um segmento é indicado por duas letras latinas maiúsculas (grandes), onde a primeira é o ponto a partir do qual o segmento começa e a segunda é o ponto a partir do qual o segmento termina

segmento AB

BA

Tarefa: onde está a linha, semi-reta, segmento, curva?

Uma linha quebrada é uma linha que consiste em segmentos sucessivamente conectados que não fazem um ângulo de 180°

Um segmento longo foi “quebrado” em vários segmentos curtos.

Os elos de uma polilinha (semelhante aos elos de uma cadeia) são os segmentos que compõem a polilinha. Links adjacentes são links em que o final de um link é o início de outro. Links adjacentes não devem estar na mesma linha reta.

Os vértices da polilinha (semelhante aos topos das montanhas) são o ponto a partir do qual a polilinha começa, os pontos nos quais os segmentos que formam a polilinha estão conectados, o ponto onde a polilinha termina.

Uma polilinha é denotada listando todos os seus vértices.

linha quebrada ABCDE

vértice da polilinha A, vértice da polilinha B, vértice da polilinha C, vértice da polilinha D, vértice da polilinha E

link da linha quebrada AB, link da linha quebrada BC, link da linha quebrada CD, link da linha quebrada DE

link AB e link BC são adjacentes

link BC e link CD são adjacentes

link CD e link DE são adjacentes

A B C D E 64 62 127 52

O comprimento de uma polilinha é a soma dos comprimentos de seus links: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

Uma tarefa: qual linha quebrada é mais longa, uma qual tem mais picos? Na primeira linha, todos os elos têm o mesmo comprimento, ou seja, 13 cm. A segunda linha tem todos os elos do mesmo comprimento, ou seja, 49 cm. A terceira linha tem todos os elos do mesmo comprimento, ou seja, 41 cm.

Um polígono é uma polilinha fechada

Os lados do polígono (eles o ajudarão a lembrar das expressões: "ir para os quatro lados", "correr em direção à casa", "de que lado da mesa você vai sentar?") são os links da linha quebrada. Lados adjacentes de um polígono são ligações adjacentes de uma linha quebrada.

Os vértices do polígono são os vértices da polilinha. Os vértices vizinhos são os pontos finais de um lado do polígono.

Um polígono é denotado listando todos os seus vértices.

polilinha fechada sem auto-intersecção, ABCDEF

polígono ABCDEF

polígono vértice A, polígono vértice B, polígono vértice C, polígono vértice D, polígono vértice E, polígono vértice F

vértice A e vértice B são adjacentes

vértice B e vértice C são adjacentes

vértice C e vértice D são adjacentes

vértice D e vértice E são adjacentes

vértice E e vértice F são adjacentes

vértice F e vértice A são adjacentes

lado do polígono AB, lado do polígono BC, lado do polígono CD, lado do polígono DE, lado do polígono EF

lado AB e lado BC são adjacentes

lado BC e lado CD são adjacentes

lado CD e lado DE são adjacentes

lado DE e lado EF são adjacentes

lado EF e lado FA são adjacentes

A B C D E F 120 60 58 122 98 141

O perímetro de um polígono é o comprimento da polilinha: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

Um polígono com três vértices é chamado de triângulo, com quatro - um quadrilátero, com cinco - um pentágono e assim por diante.

Analisaremos cada um dos tópicos e, no final, haverá testes sobre os tópicos.

Ponto em matemática

O que é um ponto em matemática? Um ponto matemático não tem dimensões e é indicado por letras latinas maiúsculas: A, B, C, D, F, etc.

Na figura, você pode ver a imagem dos pontos A, B, C, D, F, E, M, T, S.

Segmento em matemática

O que é um segmento em matemática? Nas aulas de matemática, você pode ouvir a seguinte explicação: um segmento matemático tem um comprimento e termina. Um segmento em matemática é um conjunto de todos os pontos situados em uma linha reta entre as extremidades de um segmento. As extremidades do segmento são dois pontos de fronteira.

Na figura vemos o seguinte: segmentos ,,,, e , bem como dois pontos B e S.

Linhas retas na matemática

O que é uma linha reta em matemática? Definição de uma linha reta em matemática: uma linha reta não tem extremidades e pode continuar em ambas as direções até o infinito. Uma linha reta em matemática é denotada por quaisquer dois pontos em uma linha reta. Para explicar o conceito de linha reta para um aluno, podemos dizer que uma linha reta é um segmento que não tem duas extremidades.

A figura mostra duas retas: CD e EF.

Ray na matemática

O que é um raio? Definição de um raio em matemática: Um raio é uma parte de uma linha que tem um começo e nenhum fim. O nome da viga contém duas letras, por exemplo, DC. Além disso, a primeira letra sempre indica o ponto de início do feixe, então você não pode trocar as letras.

A figura mostra as vigas: DC, KC, EF, MT, MS. Vigas KC e KD - uma viga, porque têm uma origem comum.

Reta numérica na matemática

Definição de uma reta numérica em matemática: Uma reta cujos pontos marcam números é chamada de reta numérica.

A figura mostra uma reta numérica, bem como um raio OD e ED

O curso utiliza linguagem geométrica, composto por notações e símbolos adotados no curso de matemática (em particular, no novo curso de geometria no ensino médio).

Toda a variedade de designações e símbolos, bem como as conexões entre eles, podem ser divididas em dois grupos:

grupo I - designações de figuras geométricas e relações entre elas;

grupo II designações de operações lógicas, constituindo a base sintática da linguagem geométrica.

A seguir está uma lista completa de símbolos matemáticos usados ​​neste curso. Particular atenção é dada aos símbolos que são usados ​​para designar as projeções de formas geométricas.

Grupo I

SÍMBOLOS DESIGNADOS FIGURAS GEOMÉTRICAS E RELAÇÕES ENTRE ELAS

A. Designação de formas geométricas

1. A figura geométrica é denotada - F.

2. Os pontos são indicados por letras maiúsculas do alfabeto latino ou algarismos arábicos:

A, B, C, D, ..., L, M, N, ...

1,2,3,4,...,12,13,14,...

3. As linhas arbitrariamente localizadas em relação aos planos de projeção são indicadas por letras minúsculas do alfabeto latino:

a, b, c, d, ..., l, m, n, ...

As linhas de nível são indicadas: h - horizontal; f- frontal.

A seguinte notação também é usada para linhas retas:

(AB) - linha reta que passa pelos pontos A e B;

[AB) - um raio com início no ponto A;

[AB] - um segmento de reta limitado pelos pontos A e B.

4. As superfícies são indicadas por letras minúsculas do alfabeto grego:

α, β, γ, δ,...,ζ,η,ν,...

Para enfatizar a forma como a superfície é definida, você deve especificar os elementos geométricos pelos quais ela é definida, por exemplo:

α(a || b) - o plano α é determinado pelas linhas paralelas aeb;

β(d 1 d 2 gα) - a superfície β é determinada pelas guias d 1 e d 2 , a geratriz g e o plano de paralelismo α.

5. Os ângulos são indicados:

∠ABC - ângulo com ápice no ponto B, assim como ∠α°, ∠β°, ... , ∠φ°, ...

6. Angular: o valor (medida de grau) é indicado pelo sinal, que é colocado acima do ângulo:

O valor do ângulo ABC;

O valor do ângulo φ.

Um ângulo reto é marcado com um quadrado com um ponto dentro

7. As distâncias entre figuras geométricas são indicadas por dois segmentos verticais - ||.

Por exemplo:

|AB| - distância entre os pontos A e B (comprimento do segmento AB);

|Aa| - distância do ponto A à linha a;

|Aα| - distâncias do ponto A à superfície α;

|ab| - distância entre as linhas aeb;

|αβ| distância entre as superfícies α e β.

8. Para planos de projeção são aceitas as seguintes designações: π 1 e π 2, onde π 1 é o plano de projeção horizontal;

π 2 -fryuntal plano de projeções.

Ao substituir planos de projeção ou introduzir novos planos, estes últimos denotam π 3, π 4, etc.

9. Os eixos de projeção são indicados: x, y, z, onde x é o eixo x; y é o eixo y; z - eixo aplicado.

A linha constante do diagrama de Monge é denotada por k.

10. As projeções de pontos, linhas, superfícies, qualquer figura geométrica são indicadas pelas mesmas letras (ou números) do original, com a adição de um sobrescrito correspondente ao plano de projeção em que foram obtidas:

A", B", C", D", ... , L", M", N", projeções horizontais de pontos; A", B", C", D", ... , L", M " , N", ... projeções frontais de pontos; a" , b" , c" , d" , ... , l", m" , n" , - projeções horizontais de linhas; a" ,b" , c" , d" , ... , l", m " , n" , ... projeções frontais de linhas; α", β", γ", δ",...,ζ",η",ν",... projeções horizontais de superfícies; α", β", γ", δ",...,ζ " ,η",ν",... projeções frontais de superfícies.

11. Traços de planos (superfícies) são indicados pelas mesmas letras do horizontal ou frontal, com a adição de um subscrito 0α, enfatizando que essas linhas estão no plano de projeção e pertencem ao plano (superfície) α.

Assim: h 0α - traço horizontal do plano (superfície) α;

f 0α - traçado frontal do plano (superfície) α.

12. Traços de linhas retas (linhas) são indicados por letras maiúsculas, que iniciam palavras que definem o nome (em transcrição latina) do plano de projeção que a linha atravessa, com um subscrito indicando o pertencimento à linha.

Por exemplo: H a - traço horizontal de uma linha reta (linha) a;

F a - traço frontal de uma linha reta (linha) a.

13. A sequência de pontos, linhas (de qualquer figura) é marcada com os subscritos 1,2,3,..., n:

A 1, A 2, A 3,..., A n;

a 1 , a 2 , a 3 ,..., a n ;

α1, α2, α3,...,αn;

F 1 , F 2 , F 3 ,..., F n etc.

A projeção auxiliar do ponto, obtida como resultado da transformação para obter o valor real da figura geométrica, é denotada pela mesma letra com o subscrito 0:

A 0 , B 0 , C 0 , D 0 , ...

Projeções axonométricas

14. As projeções axonométricas de pontos, linhas, superfícies são indicadas pelas mesmas letras que a natureza com a adição do sobrescrito 0:

A 0, B 0, C 0, D 0, ...

1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , ...

a 0 , b 0 , c 0 , d 0 , ...

α 0 , β 0 , γ 0 , δ 0 , ...

15. As projeções secundárias são indicadas adicionando um sobrescrito 1:

A 1 0 , B 1 0 , C 1 0 , D 1 0 , ...

1 1 0 , 2 1 0 , 3 1 0 , 4 1 0 , ...

a 1 0 , b 1 0 , c 1 0 , d 1 0 , ...

α 1 0 , β 1 0 , γ 1 0 , δ 1 0 , ...

Para facilitar a leitura dos desenhos no livro didático, foram utilizadas diversas cores no desenho do material ilustrativo, cada uma com um determinado significado semântico: linhas pretas (pontos) indicam os dados iniciais; a cor verde é usada para linhas de construções gráficas auxiliares; as linhas vermelhas (pontos) mostram os resultados das construções ou aqueles elementos geométricos aos quais deve ser dada atenção especial.

B. Símbolos que denotam relações entre figuras geométricas

não.	Designação	Contente	Exemplo de notação simbólica
1	≡	Combine	(AB) ≡ (CD) - uma linha reta que passa pelos pontos A e B, coincide com a linha que passa pelos pontos C e D
2	≅	Congruente	∠ABC≅∠MNK - ângulo ABC é congruente ao ângulo MNK
3	∼	Semelhante	ΔABS∼ΔMNK - os triângulos ABC e MNK são semelhantes
4	||	Paralelo	α||β - o plano α é paralelo ao plano β
5	⊥	Perpendicular	a⊥b - as linhas a e b são perpendiculares
6		cruzar	com d - linhas c e d se cruzam
7		Tangentes	t l - a linha t é tangente à linha l. βα - plano β tangente à superfície α
8	→	Estão exibidas	F 1 → F 2 - a figura F 1 é mapeada na figura F 2
9	S	centro de projeção. Se o centro de projeção não for um ponto adequado, sua posição é indicada por uma seta, indicando a direção de projeção	-
10	s	Direção de projeção	-
11	P	Projeção paralela	p s α Projeção paralela - projeção paralela ao plano α na direção s

B. Notação da teoria dos conjuntos

não.	Designação	Contente	Exemplo de notação simbólica	Um exemplo de notação simbólica em geometria
1	M,N	Conjuntos	-	-
2	ABC,...	Definir elementos	-	-
3	{ ... }	Compreende...	F(A,B,C,...)	Ф(A, B, C,...) - a figura Ф consiste nos pontos A, B, C, ...
4	∅	Conjunto vazio	L - ∅ - o conjunto L está vazio (não contém elementos)	-
5	∈	Pertence a, é um elemento	2∈N (onde N é o conjunto dos números naturais) - o número 2 pertence ao conjunto N	A ∈ a - o ponto A pertence à linha a (o ponto A está na linha a)
6	⊂	Inclui, contém	N⊂M - o conjunto N é uma parte (subconjunto) do conjunto M de todos os números racionais	a⊂α - a linha a pertence ao plano α (entendido no sentido: o conjunto de pontos da reta a é um subconjunto dos pontos do plano α)
7	∪	Uma associação	C \u003d A U B - conjunto C é uma união de conjuntos A e B; (1, 2. 3, 4.5) = (1.2.3)∪(4.5)	ABCD = ∪ [BC] ∪ - linha quebrada, ABCD é união dos segmentos [AB], [BC],
8	∩	Cruzamento de muitos	М=К∩L - o conjunto М é a interseção dos conjuntos К e L (contém elementos pertencentes ao conjunto K e ao conjunto L). M ∩ N = ∅- interseção dos conjuntos M e N é o conjunto vazio (os conjuntos M e N não possuem elementos comuns)	a = α ∩ β - linha a é a interseção planos α e β e ∩ b = ∅ - as linhas a e b não se cruzam (não tem pontos em comum)

SÍMBOLOS DO GRUPO II DESIGNANDO OPERAÇÕES LÓGICAS

não.	Designação	Contente	Exemplo de notação simbólica
1	∧	conjunção de frases; corresponde à união "e". A sentença (p∧q) é verdadeira se e somente se p e q são ambas verdadeiras	α∩β = ( K:K∈α∧K∈β) A interseção das superfícies α e β é um conjunto de pontos (linha), consistindo em todos aqueles e apenas aqueles pontos K que pertencem tanto à superfície α quanto à superfície β
2	∨	Disjunção de frases; corresponde à união "ou". Frase (p∨q) true quando pelo menos uma das sentenças p ou q é verdadeira (ou seja, p ou q ou ambos).	-
3	⇒	A implicação é uma consequência lógica. A frase p⇒q significa: "se p, então q"	(a||c∧b||c)⇒a||b. Se duas retas são paralelas a uma terceira, então elas são paralelas entre si.
4	⇔	A sentença (p⇔q) é entendida no sentido: "se p, então q; se q, então p"	А∈α⇔А∈l⊂α. Um ponto pertence a um plano se pertence a alguma linha pertencente a esse plano. O inverso também é verdadeiro: se um ponto pertence a alguma linha, pertencente ao plano, então também pertence ao próprio plano.
5	∀	O quantificador geral diz: para todos, para todos, para qualquer um. A expressão ∀(x)P(x) significa: "para qualquer x: propriedade P(x)"	∀(ΔABC)( = 180°) Para qualquer (para qualquer) triângulo, a soma dos valores de seus ângulos nos vértices é 180°
6	∃	O quantificador existencial lê: existe. A expressão ∃(x)P(x) significa: "existe x que tem a propriedade P(x)"	(∀α)(∃a). Para qualquer plano α, existe uma linha a não pertencente ao plano α e paralelo ao plano α
7	∃1	O quantificador de unicidade de existência, lê-se: há um único (-th, -th)... A expressão ∃1(x)(Px) significa: "há um único (apenas um) x, tendo a propriedade Rx"	(∀ A, B)(A≠B)(∃1a)(a∋A, B) Para quaisquer dois pontos diferentes A e B, existe uma única linha a, passando por esses pontos.
8	(px)	Negação da afirmação P(x)	ab(∃α )(α⊃а, b). Se as linhas aeb se cruzam, então não há plano a que as contenha
9	\	Sinal negativo	≠ - o segmento [AB] não é igual ao segmento .a? b - a reta a não é paralela à reta b

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§1. perguntas do teste
Pergunta 1. Dê exemplos de formas geométricas.
Responda. Exemplos de formas geométricas: triângulo, quadrado, círculo.

Questão 2. Nomeie as formas geométricas básicas no plano.
Responda. As principais figuras geométricas no plano são o ponto e a linha.

Questão 3. Como são definidos os pontos e as linhas?
Responda. Os pontos são indicados por letras latinas maiúsculas: A, B, C, D, .... As linhas retas são indicadas por letras latinas minúsculas: a, b, c, d, ....
Uma linha pode ser denotada por dois pontos sobre ela. Por exemplo, a linha a na figura 4 pode ser rotulada como AC e a linha b pode ser rotulada como BC.

Pergunta 4. Formule as propriedades básicas de pertinência de pontos e linhas.
Responda. Qualquer que seja a linha, existem pontos que pertencem a essa linha e pontos que não pertencem a ela.
Através de quaisquer dois pontos você pode desenhar uma linha, e apenas uma.
Pergunta 5. Explique o que é um segmento com extremidades em determinados pontos.
Responda. Um segmento é uma parte de uma linha reta que consiste em todos os pontos dessa linha reta que se encontram entre dois pontos dados dela. Esses pontos são chamados de extremidades do segmento. Um segmento é indicado indicando suas extremidades. Quando dizem ou escrevem: "segmento AB", significam um segmento com extremidades nos pontos A e B.

Pergunta 6. Formule a propriedade principal da localização de pontos em uma linha reta.
Responda. Dos três pontos em uma linha, um e apenas um está entre os outros dois.
Pergunta 7. Formule as principais propriedades dos segmentos de medição.
Responda. Cada segmento tem um certo comprimento maior que zero. O comprimento de um segmento é igual à soma dos comprimentos das partes em que ele é dividido por qualquer um de seus pontos.
Pergunta 8. Qual é a distância entre dois pontos dados?
Responda. O comprimento do segmento AB é chamado de distância entre os pontos A e B.
Pergunta 9. Quais são as propriedades de dividir um plano em dois semiplanos?
Responda. A partição de um plano em dois semiplanos tem a seguinte propriedade. Se as extremidades de qualquer segmento pertencem ao mesmo semiplano, o segmento não intercepta a linha. Se as extremidades de um segmento pertencem a diferentes semiplanos, então o segmento intercepta a linha.