Trabalho 22 solução das equações exponenciais mais simples. Palestra: "Métodos para resolução de equações exponenciais"

Primeiro nível

equações exponenciais. Guia Completo (2019)

Olá! Hoje vamos discutir com você como resolver equações que podem ser tanto elementares (e espero que depois de ler este artigo, quase todas o sejam para você), quanto aquelas que geralmente recebem "reabastecimento". Aparentemente, para adormecer completamente. Mas tentarei fazer o possível para que agora você não tenha problemas ao se deparar com esse tipo de equação. Não vou mais fazer rodeios, mas vou revelar imediatamente um segredinho: hoje vamos estudar equações exponenciais.

Antes de proceder à análise das formas de resolvê-los, delinearei imediatamente para você um círculo de perguntas (bem pequeno) que você deve repetir antes de se apressar para invadir este tópico. Então, para melhores resultados, por favor repetir:

propriedades e
Solução e Equações

Repetido? Maravilhoso! Então não será difícil para você perceber que a raiz da equação é um número. Tem certeza de que entendeu como eu fiz isso? Verdade? Então continuamos. Agora me responda a pergunta, o que é igual à terceira potência? Você está absolutamente correto: . Oito é que potência de dois? Isso mesmo - o terceiro! Porque. Bem, agora vamos tentar resolver o seguinte problema: Deixe-me multiplicar o número por ele mesmo uma vez e obter o resultado. A questão é, quantas vezes eu multipliquei por ele mesmo? Claro, você pode verificar isso diretamente:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( alinhar)

Então você pode concluir que multipliquei vezes por si só. De que outra forma isso pode ser verificado? E veja como: diretamente pela definição do grau: . Mas, você deve admitir, se eu perguntasse quantas vezes dois devem ser multiplicados por si mesmo para obter, digamos, você me diria: não vou me enganar e multiplicar por mim mesmo até ficar com a cara roxa. E ele estaria absolutamente certo. Porque como você pode anote todas as ações brevemente(e a brevidade é irmã do talento)

onde - este é o próprio "vezes" quando você multiplica por si mesmo.

Acho que você sabe (e se não sabe, com urgência, com muita urgência repita os graus!) que então meu problema vai ser escrito na forma:

Como você pode razoavelmente concluir que:

Então, calmamente, escrevi o mais simples equação exponencial:

E até achou raiz. Você não acha que tudo é bastante trivial? Isso é exatamente o que eu penso também. Aqui está outro exemplo para você:

Mas o que fazer? Afinal, não pode ser escrito como um grau de um número (razoável). Não vamos nos desesperar e observar que ambos os números são perfeitamente expressos em termos da potência do mesmo número. O que? Certo: . Então a equação original é transformada na forma:

De onde, como você já entendeu, . Não vamos mais puxar e anotar definição:

No nosso caso com você: .

Essas equações são resolvidas reduzindo-as à forma:

com subsequente solução da equação

Na verdade, fizemos isso no exemplo anterior: conseguimos isso. E resolvemos a equação mais simples com você.

Parece não ser nada complicado, certo? Vamos praticar o mais simples primeiro. exemplos:

Vemos novamente que os lados direito e esquerdo da equação devem ser representados como uma potência de um número. É verdade que isso já foi feito à esquerda, mas à direita há um número. Mas tudo bem, afinal, e minha equação se transforma milagrosamente nisso:

O que eu tinha que fazer aqui? Que regra? Regra de Poder para Poder que diz:

E se:

Antes de responder a esta pergunta, vamos preencher a seguinte tabela com você:

Não é difícil percebermos que quanto menor, menor o valor, mas mesmo assim todos esses valores são maiores que zero. E SEMPRE SERÁ ASSIM!!! A mesma propriedade é verdadeira PARA QUALQUER BASE COM QUALQUER ÍNDICE!! (para qualquer e). Então o que podemos concluir sobre a equação? E aqui está um: é não tem raízes! Assim como qualquer equação não tem raízes. Agora vamos praticar e Vamos resolver alguns exemplos simples:

Vamos checar:

1. Nada é exigido de você aqui, exceto conhecer as propriedades dos poderes (que, aliás, pedi que repetisse!) Via de regra, tudo leva à menor base: , . Então a equação original será equivalente ao seguinte: Tudo o que preciso é usar as propriedades das potências: ao multiplicar números com a mesma base, os expoentes são adicionados e, ao dividir, eles são subtraídos. Então eu vou obter: Bem, agora com a consciência tranquila vou passar da equação exponencial para a linear: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(alinhar)

2. No segundo exemplo, você precisa ter mais cuidado: o problema é que do lado esquerdo não conseguiremos representar o mesmo número como uma potência. Neste caso, às vezes é útil representam números como um produto de potências com bases diferentes, mas os mesmos expoentes:

O lado esquerdo da equação assumirá a forma: O que isso nos deu? E aqui está o que: Números com bases diferentes, mas com o mesmo expoente, podem ser multiplicados.Nesse caso, as bases são multiplicadas, mas o expoente não muda:

Aplicado à minha situação, isso dará:

\begin(alinhar)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400, \\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400, \\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(alinhar)

Nada mal, certo?

3. Não gosto quando tenho dois termos de um lado da equação e nenhum do outro (às vezes, é claro, isso se justifica, mas não é o caso agora). Mova o termo negativo para a direita:

Agora, como antes, escreverei tudo pelas potências do triplo:

Eu adiciono as potências à esquerda e obtenho uma equação equivalente

Você pode facilmente encontrar sua raiz:

4. Como no exemplo três, o termo com menos - um lugar no lado direito!

À esquerda, quase tudo está bem comigo, menos o quê? Sim, o “grau errado” do duque me incomoda. Mas posso corrigir isso facilmente escrevendo: . Eureka - à esquerda, todas as bases são diferentes, mas todos os graus são iguais! Multiplicamo-nos rapidamente!

Aqui, novamente, tudo está claro: (se você não entendeu como magicamente consegui a última igualdade, faça uma pausa por um minuto, faça uma pausa e leia as propriedades do grau novamente com muito cuidado. Quem disse que você pode pular o grau com um expoente negativo? Bem, aqui estou quase igual a ninguém). Agora vou conseguir:

\begin(alinhar)
& ((2)^(4\esquerda((x) -9 \direita)))=((2)^(-1)) \\
&4((x) -9)=-1 \\
&x=\frac(35)(4). \\
\end(alinhar)

Aqui estão as tarefas para você praticar, para as quais darei apenas as respostas (mas de forma “mista”). Resolva-os, verifique e continuaremos nossa pesquisa!

Preparar? Respostas como estes:

qualquer número

Ok, ok, eu estava brincando! Aqui estão os esboços das soluções (algumas são bastante breves!)

Você não acha que não é coincidência que uma fração à esquerda seja uma outra "invertida"? Seria um pecado não usar isso:

Esta regra é muito usada ao resolver equações exponenciais, lembre-se bem!

Então a equação original se torna:

Resolvendo esta equação quadrática, você obterá as seguintes raízes:

2. Outra solução: dividir ambas as partes da equação pela expressão à esquerda (ou à direita). Vou dividir pelo que está à direita, então terei:

Onde porque?!)

3. Não quero nem me repetir, tudo já foi “mastigado” tanto.

4. equivalente a uma equação quadrática, as raízes

5. Você precisa usar a fórmula dada na primeira tarefa, então você obterá isso:

A equação se transformou em uma identidade trivial, o que é verdade para qualquer um. Então a resposta é qualquer número real.

Bem, aqui está você e praticou para decidir as equações exponenciais mais simples. Agora, quero dar alguns exemplos de vida que o ajudarão a entender por que eles são necessários em princípio. Aqui darei dois exemplos. Um deles é bastante cotidiano, mas o outro é mais de interesse científico do que prático.

Exemplo 1 (mercantil) Deixe você ter rublos, mas deseja transformá-los em rublos. O banco oferece a você esse dinheiro a uma taxa de juros anual com uma capitalização mensal de juros (acumulação mensal). A questão é: por quantos meses você precisa abrir um depósito para receber o valor final desejado? Uma tarefa bastante mundana, não é? No entanto, sua solução está ligada à construção da equação exponencial correspondente: Let - o valor inicial, - o valor final, - a taxa de juros do período, - o número de períodos. Então:

No nosso caso (se a taxa for anual, é calculada por mês). Por que é dividido em? Se você não sabe a resposta para esta pergunta, lembre-se do tópico ""! Obtemos então a seguinte equação:

Essa equação exponencial já pode ser resolvida apenas com uma calculadora (sua aparência sugere isso, e isso requer conhecimento dos logaritmos, que conheceremos um pouco mais adiante), o que farei: ... Assim, para receber um milhão, precisamos fazer uma contribuição por um mês (não muito rápido, né?).

Exemplo 2 (bastante científico). Apesar de seu, algum "isolamento", recomendo que você preste atenção nele: ele regularmente "escorrega no exame !! (a tarefa é retirada da versão “real”) Durante o decaimento de um isótopo radioativo, sua massa diminui de acordo com a lei, onde (mg) é a massa inicial do isótopo, (min.) é o tempo decorrido desde o momento inicial, (min.) é a meia-vida. No momento inicial, a massa do isótopo é mg. Sua meia-vida é min. Em quantos minutos a massa do isótopo será igual a mg? Tudo bem: apenas pegamos e substituímos todos os dados na fórmula que nos é proposta:

Vamos dividir as duas partes por "na esperança" de que à esquerda tenhamos algo digerível:

Bem, temos muita sorte! Fica à esquerda, então vamos passar para a equação equivalente:

Onde min.

Como você pode ver, as equações exponenciais têm uma aplicação muito real na prática. Agora, quero discutir com você outra maneira (simples) de resolver equações exponenciais, que se baseia em tirar o fator comum dos colchetes e depois agrupar os termos. Não tenha medo das minhas palavras, você já encontrou esse método na 7ª série quando estudou polinômios. Por exemplo, se você precisa fatorizar a expressão:

Vamos agrupar: o primeiro e o terceiro termos, assim como o segundo e o quarto. É claro que o primeiro e o terceiro são a diferença dos quadrados:

e o segundo e o quarto têm um fator comum de três:

Então a expressão original é equivalente a isto:

Onde tirar o fator comum não é mais difícil:

Consequentemente,

É assim que agiremos ao resolver equações exponenciais: procure “comunalidade” entre os termos e tire-o dos colchetes, e então - aconteça o que acontecer, acredito que teremos sorte =)) Por exemplo:

À direita está longe da potência de sete (eu verifiquei!) E à esquerda - um pouco melhor, você pode, é claro, “cortar” o fator a do primeiro termo e do segundo, e então lidar com o que recebestes, mas façamos mais prudentemente convosco. Não quero lidar com as frações que são inevitavelmente produzidas pela "seleção", então não deveria ser melhor aguentar? Então não terei frações: como dizem, os dois lobos estão cheios e as ovelhas estão seguras:

Conte a expressão entre parênteses. Magicamente, magicamente, acontece que (surpreendentemente, embora o que mais podemos esperar?).

Então reduzimos ambos os lados da equação por este fator. Obtemos: onde.

Aqui está um exemplo mais complicado (um pouco, na verdade):

Aqui está o problema! Não temos um terreno comum aqui! Não está totalmente claro o que fazer agora. E vamos fazer o que pudermos: primeiro, vamos mover os “quatros” em uma direção e os “cinco” na outra:

Agora vamos tirar o "comum" à esquerda e à direita:

E agora? Qual é o benefício de um agrupamento tão estúpido? À primeira vista, não é visível, mas vamos olhar mais fundo:

Bem, agora vamos fazer com que à esquerda tenhamos apenas a expressão c, e à direita - todo o resto. Como podemos fazer isso? E aqui está como: Divida ambos os lados da equação primeiro por (assim nos livramos do expoente à direita) e depois divida ambos os lados por (assim nos livramos do fator numérico à esquerda). Finalmente obtemos:

Incrível! À esquerda, temos uma expressão e à direita - apenas. Então concluímos imediatamente que

Aqui está outro exemplo para reforçar:

Darei sua breve solução (sem realmente me preocupar em explicar), tente descobrir todas as "sutilezas" da solução você mesmo.

Agora a consolidação final do material coberto. Tente resolver os seguintes problemas por conta própria. Darei apenas breves recomendações e dicas para resolvê-los:

Vamos tirar o fator comum dos parênteses:
Representamos a primeira expressão na forma: , divida ambas as partes por e obtenha
, então a equação original é convertida para a forma: Bem, agora uma dica - procure onde você e eu já resolvemos esta equação!
Imagine como, como, ah, bem, então divida ambas as partes por, para obter a equação exponencial mais simples.
Tire-o dos parênteses.
Tire-o dos parênteses.

EQUAÇÕES EXPOSICIONAIS. NÍVEL MÉDIO

Presumo que depois de ler o primeiro artigo, que dizia o que são equações exponenciais e como resolvê-las, você domina o mínimo de conhecimento necessário para resolver os exemplos mais simples.

Agora vou analisar outro método para resolver equações exponenciais, isso é

"método de introdução de uma nova variável" (ou substituição). Ele resolve a maioria dos problemas "difíceis", no tópico de equações exponenciais (e não apenas equações). Este método é um dos mais utilizados na prática. Primeiramente, recomendo que você se familiarize com o tema.

Como você já entendeu pelo nome, a essência desse método é introduzir tal mudança de variável que sua equação exponencial se transformará milagrosamente em uma que você já pode resolver facilmente. Tudo o que resta para você depois de resolver essa “equação simplificada” é fazer uma “substituição reversa”: ou seja, retornar do substituído ao substituído. Vamos ilustrar o que acabamos de dizer com um exemplo bem simples:

Exemplo 1:

Essa equação é resolvida por uma "substituição simples", como os matemáticos a chamam depreciativamente. De fato, a substituição aqui é a mais óbvia. Só precisa ser visto que

Então a equação original se torna:

Se imaginarmos adicionalmente como, fica bem claro o que precisa ser substituído: claro, . O que então se torna a equação original? E aqui está o que:

Você pode facilmente encontrar suas raízes por conta própria:. O que devemos fazer agora? É hora de retornar à variável original. O que eu esqueci de incluir? A saber: ao substituir um determinado grau por uma nova variável (ou seja, ao substituir um tipo), estarei interessado em apenas raízes positivas! Você mesmo pode responder facilmente por quê. Portanto, não estamos interessados em você, mas a segunda raiz é bastante adequada para nós:

Então onde.

Responda:

Como você pode ver, no exemplo anterior, a substituição estava pedindo nossas mãos. Infelizmente, nem sempre é esse o caso. No entanto, não vamos direto ao triste, mas pratique em mais um exemplo com uma substituição bastante simples

Exemplo 2

É claro que muito provavelmente será necessário substituir (esta é a menor das potências incluídas em nossa equação), porém, antes de introduzir uma substituição, nossa equação precisa estar “preparada” para isso, a saber: , . Então você pode substituir, como resultado obterei a seguinte expressão:

Oh horror: uma equação cúbica com fórmulas absolutamente terríveis para sua solução (bem, falando em termos gerais). Mas não vamos nos desesperar imediatamente, mas pensar no que devemos fazer. Vou sugerir trapaça: sabemos que para obter uma resposta "bonita" precisamos obter alguma potência de três (por que isso, hein?). E vamos tentar adivinhar pelo menos uma raiz da nossa equação (vou começar a adivinhar pelas potências de três).

Primeiro palpite. Não é uma raiz. Ai e ah...

.
O lado esquerdo é igual.
Parte direita: !
Há! Achou a primeira raiz. Agora as coisas vão ficar mais fáceis!

Você conhece o esquema de divisão "canto"? Claro que você sabe, você o usa quando divide um número por outro. Mas poucas pessoas sabem que o mesmo pode ser feito com polinômios. Existe um teorema maravilhoso:

Aplicável à minha situação, ele me diz o que é divisível sem resto por. Como é feita a divisão? É assim que:

Eu vejo qual monômio devo multiplicar para obter Clear, então:

Eu subtraio a expressão resultante de, obtenho:

Agora, o que eu preciso multiplicar para obter? É claro que, então eu vou conseguir:

e subtraia novamente a expressão resultante da restante:

Bem, o último passo, eu multiplico e subtraio da expressão restante:

Viva, a divisão acabou! O que acumulamos em particular? Por si próprio: .

Então obtivemos a seguinte expansão do polinômio original:

Vamos resolver a segunda equação:

Tem raízes:

Então a equação original:

tem três raízes:

Obviamente, descartamos a última raiz, pois ela é menor que zero. E as duas primeiras após a substituição reversa nos darão duas raízes:

Responda: ..

Com este exemplo, não queria assustá-lo de forma alguma, mas me propus a mostrar que, embora tivéssemos uma substituição bastante simples, ela levava a uma equação bastante complexa, cuja solução exigia algumas habilidades especiais de nós. Bem, ninguém está imune a isso. Mas a mudança neste caso foi bastante óbvia.

Aqui está um exemplo com uma substituição um pouco menos óbvia:

Não está nada claro o que devemos fazer: o problema é que em nossa equação existem duas bases diferentes e uma base não pode ser obtida da outra elevando-a a nenhuma potência (razoável, naturalmente). No entanto, o que vemos? Ambas as bases diferem apenas em sinal, e seu produto é a diferença de quadrados igual a um:

Definição:

Assim, os números que são bases em nosso exemplo são conjugados.

Nesse caso, a jogada inteligente seria multiplique ambos os lados da equação pelo número conjugado.

Por exemplo, em seguida, o lado esquerdo da equação ficará igual e o lado direito. Se fizermos uma substituição, nossa equação original com você ficará assim:

suas raízes, então, mas lembrando disso, nós entendemos isso.

Responda: , .

Como regra, o método de substituição é suficiente para resolver a maioria das equações exponenciais "escola". As seguintes tarefas são retiradas do USE C1 (aumento do nível de dificuldade). Você já é alfabetizado o suficiente para resolver esses exemplos por conta própria. Darei apenas a substituição necessária.

Resolva a equação:
Encontre as raízes da equação:
Resolva a equação: . Encontre todas as raízes desta equação que pertencem ao segmento:

Agora, para algumas explicações e respostas rápidas:

Aqui basta observar que e. Então a equação original será equivalente a esta: Esta equação é resolvida substituindo Faça você mesmo os seguintes cálculos. No final, sua tarefa será reduzida a resolver a trigonométrica mais simples (dependendo do seno ou cosseno). Discutiremos a solução de tais exemplos em outras seções.
Aqui você pode até fazer sem substituição: basta mover o subtraendo para a direita e representar ambas as bases por meio de potências de dois: e então ir imediatamente para a equação quadrática.
A terceira equação também é resolvida de maneira bastante padrão: imagine como. Então, substituindo, obtemos uma equação quadrática: então,
Você já sabe o que é um logaritmo? Não? Então leia o tópico com urgência!

A primeira raiz, obviamente, não pertence ao segmento, e a segunda é incompreensível! Mas vamos descobrir muito em breve! Desde então (esta é uma propriedade do logaritmo!) Vamos comparar:

Subtraia de ambas as partes, então obtemos:

O lado esquerdo pode ser representado como:

multiplique ambos os lados por:

pode ser multiplicado por, então

Então vamos comparar:

desde então:

Então a segunda raiz pertence ao intervalo desejado

Responda:

Como você vê, a seleção das raízes de equações exponenciais requer um conhecimento bastante profundo das propriedades dos logaritmos, portanto, aconselho você a ter o máximo de cuidado ao resolver equações exponenciais. Como você sabe, na matemática tudo está interligado! Como meu professor de matemática costumava dizer: "Você não pode ler matemática como história da noite para o dia."

Via de regra, todos a dificuldade na resolução dos problemas C1 está justamente na seleção das raízes da equação. Vamos praticar com outro exemplo:

É claro que a equação em si é resolvida de maneira bastante simples. Feita a substituição, reduzimos nossa equação original para o seguinte:

Vamos ver a primeira raiz primeiro. Compare e: desde então. (propriedade da função logarítmica, at). Então fica claro que a primeira raiz também não pertence ao nosso intervalo. Agora a segunda raiz: . É claro que (já que a função é crescente). Resta comparar e

desde então, ao mesmo tempo. Assim, posso "dirigir uma estaca" entre e. Este pino é um número. A primeira expressão é menor que e a segunda é maior que. Então a segunda expressão é maior que a primeira e a raiz pertence ao intervalo.

Responda: .

Em conclusão, vejamos outro exemplo de uma equação em que a substituição não é padrão:

Vamos começar imediatamente com o que você pode fazer e o que - em princípio, você pode, mas é melhor não fazer. É possível - representar tudo através das potências de três, dois e seis. Onde isso leva? Sim, e não levará a nada: uma miscelânea de graus, alguns dos quais serão bastante difíceis de se livrar. O que então é necessário? Observemos que a E o que isso nos dará? E o fato de podermos reduzir a solução deste exemplo à solução de uma equação exponencial bastante simples! Primeiro, vamos reescrever nossa equação como:

Agora dividimos ambos os lados da equação resultante em:

Eureca! Agora podemos substituir, temos:

Bem, agora é sua vez de resolver problemas para demonstração, e farei apenas breves comentários para que você não se perca! Boa sorte!

1. O mais difícil! Ver um substituto aqui é oh, que feio! No entanto, este exemplo pode ser completamente resolvido usando seleção de um quadrado completo. Para resolvê-lo, basta observar que:

Então aqui está o seu substituto:

(Observe que aqui, com a nossa substituição, não podemos descartar a raiz negativa!!! E por que, o que você acha?)

Agora, para resolver o exemplo, você deve resolver duas equações:

Ambos são resolvidos pela "substituição padrão" (mas a segunda em um exemplo!)

2. Observe isso e faça uma substituição.

3. Expanda o número em fatores coprimos e simplifique a expressão resultante.

4. Divida o numerador e o denominador da fração por (ou se preferir) e faça a substituição ou.

5. Observe que os números e são conjugados.

EQUAÇÕES EXPOSICIONAIS. NÍVEL AVANÇADO

Além disso, vamos olhar para outra maneira - solução de equações exponenciais pelo método do logaritmo. Não posso dizer que a solução de equações exponenciais por esse método seja muito popular, mas apenas em alguns casos pode nos levar à solução correta de nossa equação. Especialmente frequentemente é usado para resolver os chamados " equações mistas': isto é, aqueles onde existem funções de diferentes tipos.

Por exemplo, uma equação como:

no caso geral, só pode ser resolvido tomando o logaritmo de ambas as partes (por exemplo, por base), em que a equação original passa a ser a seguinte:

Vamos considerar o seguinte exemplo:

É claro que estamos interessados apenas no ODZ da função logarítmica. No entanto, isso decorre não apenas do ODZ do logaritmo, mas por outro motivo. Acho que não será difícil para você adivinhar qual.

Vamos levar o logaritmo de ambos os lados da nossa equação para a base:

Como você pode ver, calcular o logaritmo de nossa equação original rapidamente nos levou à resposta correta (e bonita!). Vamos praticar com outro exemplo:

Aqui também não há nada com que se preocupar: pegamos o logaritmo de ambos os lados da equação em termos da base e obtemos:

Vamos fazer uma substituição:

No entanto, perdemos algo! Você notou onde eu errei? Afinal, então:

que não satisfaz o requisito (pense de onde veio!)

Responda:

Tente escrever a solução das equações exponenciais abaixo:

Agora verifique sua solução com isto:

1. Logaritmamos ambas as partes na base, dado que:

(a segunda raiz não nos convém devido à substituição)

2. Logaritmo para a base:

Vamos transformar a expressão resultante para a seguinte forma:

EQUAÇÕES EXPOSICIONAIS. BREVE DESCRIÇÃO E FÓRMULA BÁSICA

equação exponencial

Tipo de equação:

chamado a equação exponencial mais simples.

Propriedades de grau

Abordagens de solução

Redução à mesma base
Redução ao mesmo expoente
Substituição de variável
Simplifique a expressão e aplique uma das opções acima.

Primeiro nível

equações exponenciais. Guia Completo (2019)

propriedades e
Solução e Equações

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( alinhar)

onde - este é o próprio "vezes" quando você multiplica por si mesmo.

Acho que você sabe (e se não sabe, com urgência, com muita urgência repita os graus!) que então meu problema vai ser escrito na forma:

Como você pode razoavelmente concluir que:

Então, calmamente, escrevi o mais simples equação exponencial:

E até achou raiz. Você não acha que tudo é bastante trivial? Isso é exatamente o que eu penso também. Aqui está outro exemplo para você:

De onde, como você já entendeu, . Não vamos mais puxar e anotar definição:

No nosso caso com você: .

Essas equações são resolvidas reduzindo-as à forma:

com subsequente solução da equação

Na verdade, fizemos isso no exemplo anterior: conseguimos isso. E resolvemos a equação mais simples com você.

Parece não ser nada complicado, certo? Vamos praticar o mais simples primeiro. exemplos:

O que eu tinha que fazer aqui? Que regra? Regra de Poder para Poder que diz:

E se:

Antes de responder a esta pergunta, vamos preencher a seguinte tabela com você:

Vamos checar:

Aplicado à minha situação, isso dará:

\begin(alinhar)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400, \\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400, \\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(alinhar)

Nada mal, certo?

3. Não gosto quando tenho dois termos de um lado da equação e nenhum do outro (às vezes, é claro, isso se justifica, mas não é o caso agora). Mova o termo negativo para a direita:

Agora, como antes, escreverei tudo pelas potências do triplo:

Eu adiciono as potências à esquerda e obtenho uma equação equivalente

Você pode facilmente encontrar sua raiz:

4. Como no exemplo três, o termo com menos - um lugar no lado direito!

\begin(alinhar)
& ((2)^(4\esquerda((x) -9 \direita)))=((2)^(-1)) \\
&4((x) -9)=-1 \\
&x=\frac(35)(4). \\
\end(alinhar)

Aqui estão as tarefas para você praticar, para as quais darei apenas as respostas (mas de forma “mista”). Resolva-os, verifique e continuaremos nossa pesquisa!

Preparar? Respostas como estes:

qualquer número

Ok, ok, eu estava brincando! Aqui estão os esboços das soluções (algumas são bastante breves!)

Você não acha que não é coincidência que uma fração à esquerda seja uma outra "invertida"? Seria um pecado não usar isso:

Esta regra é muito usada ao resolver equações exponenciais, lembre-se bem!

Então a equação original se torna:

Resolvendo esta equação quadrática, você obterá as seguintes raízes:

2. Outra solução: dividir ambas as partes da equação pela expressão à esquerda (ou à direita). Vou dividir pelo que está à direita, então terei:

Onde porque?!)

3. Não quero nem me repetir, tudo já foi “mastigado” tanto.

4. equivalente a uma equação quadrática, as raízes

5. Você precisa usar a fórmula dada na primeira tarefa, então você obterá isso:

A equação se transformou em uma identidade trivial, o que é verdade para qualquer um. Então a resposta é qualquer número real.

No nosso caso (se a taxa for anual, é calculada por mês). Por que é dividido em? Se você não sabe a resposta para esta pergunta, lembre-se do tópico ""! Obtemos então a seguinte equação:

Vamos dividir as duas partes por "na esperança" de que à esquerda tenhamos algo digerível:

Bem, temos muita sorte! Fica à esquerda, então vamos passar para a equação equivalente:

Onde min.

Vamos agrupar: o primeiro e o terceiro termos, assim como o segundo e o quarto. É claro que o primeiro e o terceiro são a diferença dos quadrados:

e o segundo e o quarto têm um fator comum de três:

Então a expressão original é equivalente a isto:

Onde tirar o fator comum não é mais difícil:

Consequentemente,

Conte a expressão entre parênteses. Magicamente, magicamente, acontece que (surpreendentemente, embora o que mais podemos esperar?).

Então reduzimos ambos os lados da equação por este fator. Obtemos: onde.

Aqui está um exemplo mais complicado (um pouco, na verdade):

Agora vamos tirar o "comum" à esquerda e à direita:

E agora? Qual é o benefício de um agrupamento tão estúpido? À primeira vista, não é visível, mas vamos olhar mais fundo:

Incrível! À esquerda, temos uma expressão e à direita - apenas. Então concluímos imediatamente que

Aqui está outro exemplo para reforçar:

Darei sua breve solução (sem realmente me preocupar em explicar), tente descobrir todas as "sutilezas" da solução você mesmo.

Agora a consolidação final do material coberto. Tente resolver os seguintes problemas por conta própria. Darei apenas breves recomendações e dicas para resolvê-los:

Vamos tirar o fator comum dos parênteses:
Representamos a primeira expressão na forma: , divida ambas as partes por e obtenha
, então a equação original é convertida para a forma: Bem, agora uma dica - procure onde você e eu já resolvemos esta equação!
Imagine como, como, ah, bem, então divida ambas as partes por, para obter a equação exponencial mais simples.
Tire-o dos parênteses.
Tire-o dos parênteses.

EQUAÇÕES EXPOSICIONAIS. NÍVEL MÉDIO

Agora vou analisar outro método para resolver equações exponenciais, isso é

Exemplo 1:

Essa equação é resolvida por uma "substituição simples", como os matemáticos a chamam depreciativamente. De fato, a substituição aqui é a mais óbvia. Só precisa ser visto que

Então a equação original se torna:

Se imaginarmos adicionalmente como, fica bem claro o que precisa ser substituído: claro, . O que então se torna a equação original? E aqui está o que:

Então onde.

Responda:

Exemplo 2

Primeiro palpite. Não é uma raiz. Ai e ah...

.
O lado esquerdo é igual.
Parte direita: !
Há! Achou a primeira raiz. Agora as coisas vão ficar mais fáceis!

Aplicável à minha situação, ele me diz o que é divisível sem resto por. Como é feita a divisão? É assim que:

Eu vejo qual monômio devo multiplicar para obter Clear, então:

Eu subtraio a expressão resultante de, obtenho:

Agora, o que eu preciso multiplicar para obter? É claro que, então eu vou conseguir:

e subtraia novamente a expressão resultante da restante:

Bem, o último passo, eu multiplico e subtraio da expressão restante:

Viva, a divisão acabou! O que acumulamos em particular? Por si próprio: .

Então obtivemos a seguinte expansão do polinômio original:

Vamos resolver a segunda equação:

Tem raízes:

Então a equação original:

tem três raízes:

Obviamente, descartamos a última raiz, pois ela é menor que zero. E as duas primeiras após a substituição reversa nos darão duas raízes:

Responda: ..

Aqui está um exemplo com uma substituição um pouco menos óbvia:

Definição:

Assim, os números que são bases em nosso exemplo são conjugados.

Nesse caso, a jogada inteligente seria multiplique ambos os lados da equação pelo número conjugado.

Por exemplo, em seguida, o lado esquerdo da equação ficará igual e o lado direito. Se fizermos uma substituição, nossa equação original com você ficará assim:

suas raízes, então, mas lembrando disso, nós entendemos isso.

Responda: , .

Resolva a equação:
Encontre as raízes da equação:
Resolva a equação: . Encontre todas as raízes desta equação que pertencem ao segmento:

Agora, para algumas explicações e respostas rápidas:

Aqui basta observar que e. Então a equação original será equivalente a esta: Esta equação é resolvida substituindo Faça você mesmo os seguintes cálculos. No final, sua tarefa será reduzida a resolver a trigonométrica mais simples (dependendo do seno ou cosseno). Discutiremos a solução de tais exemplos em outras seções.
Aqui você pode até fazer sem substituição: basta mover o subtraendo para a direita e representar ambas as bases por meio de potências de dois: e então ir imediatamente para a equação quadrática.
A terceira equação também é resolvida de maneira bastante padrão: imagine como. Então, substituindo, obtemos uma equação quadrática: então,
Você já sabe o que é um logaritmo? Não? Então leia o tópico com urgência!

A primeira raiz, obviamente, não pertence ao segmento, e a segunda é incompreensível! Mas vamos descobrir muito em breve! Desde então (esta é uma propriedade do logaritmo!) Vamos comparar:

Subtraia de ambas as partes, então obtemos:

O lado esquerdo pode ser representado como:

multiplique ambos os lados por:

pode ser multiplicado por, então

Então vamos comparar:

desde então:

Então a segunda raiz pertence ao intervalo desejado

Responda:

Via de regra, todos a dificuldade na resolução dos problemas C1 está justamente na seleção das raízes da equação. Vamos praticar com outro exemplo:

É claro que a equação em si é resolvida de maneira bastante simples. Feita a substituição, reduzimos nossa equação original para o seguinte:

Responda: .

Em conclusão, vejamos outro exemplo de uma equação em que a substituição não é padrão:

Agora dividimos ambos os lados da equação resultante em:

Eureca! Agora podemos substituir, temos:

Bem, agora é sua vez de resolver problemas para demonstração, e farei apenas breves comentários para que você não se perca! Boa sorte!

1. O mais difícil! Ver um substituto aqui é oh, que feio! No entanto, este exemplo pode ser completamente resolvido usando seleção de um quadrado completo. Para resolvê-lo, basta observar que:

Então aqui está o seu substituto:

(Observe que aqui, com a nossa substituição, não podemos descartar a raiz negativa!!! E por que, o que você acha?)

Agora, para resolver o exemplo, você deve resolver duas equações:

Ambos são resolvidos pela "substituição padrão" (mas a segunda em um exemplo!)

2. Observe isso e faça uma substituição.

3. Expanda o número em fatores coprimos e simplifique a expressão resultante.

4. Divida o numerador e o denominador da fração por (ou se preferir) e faça a substituição ou.

5. Observe que os números e são conjugados.

EQUAÇÕES EXPOSICIONAIS. NÍVEL AVANÇADO

Por exemplo, uma equação como:

no caso geral, só pode ser resolvido tomando o logaritmo de ambas as partes (por exemplo, por base), em que a equação original passa a ser a seguinte:

Vamos considerar o seguinte exemplo:

Vamos levar o logaritmo de ambos os lados da nossa equação para a base:

Como você pode ver, calcular o logaritmo de nossa equação original rapidamente nos levou à resposta correta (e bonita!). Vamos praticar com outro exemplo:

Aqui também não há nada com que se preocupar: pegamos o logaritmo de ambos os lados da equação em termos da base e obtemos:

Vamos fazer uma substituição:

No entanto, perdemos algo! Você notou onde eu errei? Afinal, então:

que não satisfaz o requisito (pense de onde veio!)

Responda:

Tente escrever a solução das equações exponenciais abaixo:

Agora verifique sua solução com isto:

1. Logaritmamos ambas as partes na base, dado que:

(a segunda raiz não nos convém devido à substituição)

2. Logaritmo para a base:

Vamos transformar a expressão resultante para a seguinte forma:

EQUAÇÕES EXPOSICIONAIS. BREVE DESCRIÇÃO E FÓRMULA BÁSICA

equação exponencial

Tipo de equação:

chamado a equação exponencial mais simples.

Propriedades de grau

Abordagens de solução

Redução à mesma base
Redução ao mesmo expoente
Substituição de variável
Simplifique a expressão e aplique uma das opções acima.

Esta lição destina-se àqueles que estão apenas começando a aprender equações exponenciais. Como sempre, vamos começar com uma definição e exemplos simples.

Se você está lendo esta lição, suspeito que já tenha pelo menos uma compreensão mínima das equações mais simples - linear e quadrada: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ etc. Ser capaz de resolver tais construções é absolutamente necessário para não “travar” no tópico que será discutido agora.

Então, equações exponenciais. Deixe-me dar alguns exemplos:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Alguns deles podem parecer mais complicados para você, alguns deles, ao contrário, são simples demais. Mas todos eles estão unidos por uma característica importante: eles contêm uma função exponencial $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Assim, introduzimos a definição:

Uma equação exponencial é qualquer equação que contém uma função exponencial, ou seja, uma expressão da forma $((a)^(x))$. Além da função especificada, essas equações podem conter quaisquer outras construções algébricas - polinômios, raízes, trigonometria, logaritmos, etc.

OK então. Entendi a definição. Agora a pergunta é: como resolver toda essa porcaria? A resposta é simples e complexa ao mesmo tempo.

Vamos começar com a boa notícia: pela minha experiência com muitos alunos, posso dizer que, para a maioria deles, as equações exponenciais são muito mais fáceis do que os mesmos logaritmos e, mais ainda, a trigonometria.

Mas também há más notícias: às vezes os compiladores de problemas para todos os tipos de livros didáticos e exames são visitados por "inspiração", e seu cérebro inflamado por drogas começa a produzir equações tão brutais que se torna problemático não apenas para os alunos resolvê-los - até mesmo muitos professores ficam presos em tais problemas.

No entanto, não vamos falar de coisas tristes. E vamos voltar àquelas três equações que foram dadas logo no início da história. Vamos tentar resolver cada um deles.

Primeira equação: $((2)^(x))=4$. Bem, a que potência o número 2 deve ser elevado para obter o número 4? Talvez o segundo? Afinal, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — e obtivemos a igualdade numérica correta, ou seja, de fato $ x = 2 $. Bom, obrigado cap, mas essa equação foi tão simples que até meu gato conseguiu resolver. :)

Vejamos a seguinte equação:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Mas aqui é um pouco mais difícil. Muitos alunos sabem que $((5)^(2))=25$ é a tabuada. Alguns também suspeitam que $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ é essencialmente a definição de expoentes negativos (semelhante à fórmula $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

Finalmente, apenas alguns poucos adivinham que esses fatos podem ser combinados e a saída é o seguinte resultado:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Assim, nossa equação original será reescrita da seguinte forma:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

E agora isso já está completamente resolvido! No lado esquerdo da equação há uma função exponencial, no lado direito da equação há uma função exponencial, não há nada além deles em nenhum outro lugar. Portanto, é possível “descartar” as bases e igualar estupidamente os indicadores:

Temos a equação linear mais simples que qualquer aluno pode resolver em apenas algumas linhas. Ok, em quatro linhas:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Se você não entender o que aconteceu nas últimas quatro linhas, não deixe de voltar ao tópico “equações lineares” e repita. Porque sem uma assimilação clara deste tópico, é muito cedo para você assumir equações exponenciais.

\[((9)^(x))=-3\]

Bem, como você decide? Primeiro pensamento: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, então a equação original pode ser reescrita assim:

\[((\esquerda(((3)^(2)) \direita))^(x))=-3\]

Então lembramos que ao elevar um grau a uma potência, os indicadores são multiplicados:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

E para tal decisão, obtemos um empate honestamente merecido. Pois nós, com a equanimidade de um Pokémon, enviamos o sinal de menos na frente do três à potência deste mesmo três. E você não pode fazer isso. E é por isso. Dê uma olhada nos diferentes poderes do triplo:

\[\begin(matriz) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matriz)\]

Ao compilar este tablet, não perverti assim que o fiz: considerei graus positivos, negativos e até fracionários ... bem, onde está pelo menos um número negativo aqui? Ele não está! E não pode ser, porque a função exponencial $y=((a)^(x))$, primeiramente, sempre leva apenas valores positivos (não importa o quanto você multiplique um ou divida por dois, ainda assim será um número positivo), e em segundo lugar, a base de tal função, o número $a$, é por definição um número positivo!

Bem, como então resolver a equação $((9)^(x))=-3$? Não, não há raízes. E, nesse sentido, as equações exponenciais são muito semelhantes às quadráticas - também pode não haver raízes. Mas se nas equações quadráticas o número de raízes é determinado pelo discriminante (o discriminante é positivo - 2 raízes, negativo - sem raízes), então nas equações exponenciais tudo depende do que está à direita do sinal de igual.

Assim, formulamos a principal conclusão: a equação exponencial mais simples da forma $((a)^(x))=b$ tem raiz se e somente se $b>0$. Conhecendo esse simples fato, você pode determinar facilmente se a equação proposta a você tem raízes ou não. Aqueles. vale a pena resolvê-lo ou anotar imediatamente que não há raízes.

Esse conhecimento nos ajudará muitas vezes quando tivermos que resolver problemas mais complexos. Enquanto isso, chega de letras - é hora de estudar o algoritmo básico para resolver equações exponenciais.

Como resolver equações exponenciais

Então, vamos formular o problema. É necessário resolver a equação exponencial:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

De acordo com o algoritmo "ingênuo" que usamos anteriormente, é necessário representar o número $b$ como uma potência do número $a$:

Além disso, se no lugar da variável $x$ houver alguma expressão, obteremos uma nova equação, que já pode ser resolvida. Por exemplo:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Seta para a direita ((3)^(-x))=((3)^(4))\Seta para a direita -x=4\Seta para a direita x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Seta para a direita ((5)^(2x))=((5)^(3))\Seta para a direita 2x=3\Seta para a direita x=\frac(3)( 2). \\\fim(alinhar)\]

E, curiosamente, esse esquema funciona em cerca de 90% dos casos. E os outros 10% então? Os 10% restantes são equações exponenciais ligeiramente "esquizofrênicas" da forma:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

A que potência você precisa elevar 2 para obter 3? Em primeiro? Mas não: $((2)^(1))=2$ não é suficiente. No segundo? Nenhum dos dois: $((2)^(2))=4$ é demais. O que então?

Alunos experientes provavelmente já adivinharam: nesses casos, quando é impossível resolver "lindamente", a "artilharia pesada" está ligada ao caso - logaritmos. Deixe-me lembrá-lo de que, usando logaritmos, qualquer número positivo pode ser representado como uma potência de qualquer outro número positivo (com exceção de um):

Lembra dessa fórmula? Quando falo de logaritmos aos meus alunos, sempre aviso: esta fórmula (é também a identidade logarítmica básica ou, se preferir, a definição do logaritmo) vai assombrá-lo por muito tempo e “emergir” da maneira mais lugares inesperados. Bem, ela veio à tona. Vejamos nossa equação e esta fórmula:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

Se assumirmos que $a=3$ é o nosso número original à direita e $b=2$ é a própria base da função exponencial à qual queremos reduzir o lado direito, obtemos o seguinte:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Seta para a direita ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Seta para a direita x=( (\log )_(2))3. \\\fim(alinhar)\]

Recebemos uma resposta um pouco estranha: $x=((\log )_(2))3$. Em alguma outra tarefa, com tal resposta, muitos duvidariam e começariam a checar novamente sua solução: e se houvesse um erro em algum lugar? Apresso-me em agradá-lo: não há erro aqui, e logaritmos nas raízes de equações exponenciais são uma situação bastante típica. Entao, se acostume com isso. :)

Agora resolvemos por analogia as duas equações restantes:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Seta para a direita ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Seta para a direita 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\fim(alinhar)\]

Isso é tudo! A propósito, a última resposta pode ser escrita de forma diferente:

Fomos nós que introduzimos o multiplicador no argumento do logaritmo. Mas ninguém nos impede de adicionar este fator à base:

Além disso, todas as três opções estão corretas - são apenas formas diferentes de escrever o mesmo número. Qual escolher e anotar nessa decisão é com você.

Assim, aprendemos a resolver quaisquer equações exponenciais da forma $((a)^(x))=b$, onde os números $a$ e $b$ são estritamente positivos. No entanto, a dura realidade do nosso mundo é que essas tarefas simples o encontrarão muito, muito raramente. Mais frequentemente, você encontrará algo assim:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\fim(alinhar)\]

Bem, como você decide? Isso pode ser resolvido? E se sim, como?

Nada de pânico. Todas essas equações são rápida e simplesmente reduzidas àquelas fórmulas simples que já consideramos. Você só precisa saber se lembrar de alguns truques do curso de álgebra. E, claro, não há regras para trabalhar com diplomas aqui. Vou falar sobre tudo isso agora. :)

Transformação de equações exponenciais

A primeira coisa a lembrar é que qualquer equação exponencial, por mais complexa que seja, de uma forma ou de outra deve ser reduzida às equações mais simples - aquelas mesmas que já consideramos e que sabemos resolver. Em outras palavras, o esquema para resolver qualquer equação exponencial se parece com isso:

Escreva a equação original. Por exemplo: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
Faça alguma merda estúpida. Ou até mesmo alguma porcaria chamada "transforme a equação";
Na saída, obtenha as expressões mais simples como $((4)^(x))=4$ ou algo assim. Além disso, uma equação inicial pode fornecer várias dessas expressões ao mesmo tempo.

Com o primeiro ponto, tudo fica claro - até meu gato pode escrever a equação em uma folha. Parece que também com o terceiro ponto é mais ou menos claro - já resolvemos um monte dessas equações acima.

Mas e o segundo ponto? Quais são as transformações? O que converter para quê? E como?

Bem, vamos descobrir. Em primeiro lugar, gostaria de salientar o seguinte. Todas as equações exponenciais são divididas em dois tipos:

A equação é composta por funções exponenciais com a mesma base. Exemplo: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
A fórmula contém funções exponenciais com bases diferentes. Exemplos: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ e $((100)^(x-1) )\cponto ((2,7)^(1-x))=0,09$.

Vamos começar com as equações do primeiro tipo - elas são as mais fáceis de resolver. E em sua solução seremos ajudados por uma técnica como a seleção de expressões estáveis.

Destacando uma expressão estável

Vamos olhar para esta equação novamente:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

O que vemos? Os quatro são elevados a diferentes graus. Mas todas essas potências são somas simples da variável $x$ com outros números. Portanto, é necessário lembrar as regras para trabalhar com diplomas:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(y))). \\\fim(alinhar)\]

Simplificando, a adição de expoentes pode ser convertida em um produto de potências, e a subtração é facilmente convertida em divisão. Vamos tentar aplicar essas fórmulas às potências da nossa equação:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\fim(alinhar)\]

Reescrevemos a equação original levando em consideração esse fato e, em seguida, coletamos todos os termos à esquerda:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -onze; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\fim(alinhar)\]

Os primeiros quatro termos contêm o elemento $((4)^(x))$ — vamos tirá-lo do colchete:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\fim(alinhar)\]

Resta dividir ambas as partes da equação pela fração $-\frac(11)(4)$, ou seja, essencialmente multiplique pela fração invertida - $-\frac(4)(11)$. Nós temos:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\fim(alinhar)\]

Isso é tudo! Reduzimos a equação original à mais simples e obtivemos a resposta final.

Ao mesmo tempo, no processo de resolução, descobrimos (e até tiramos do colchete) o fator comum $((4)^(x))$ - esta é a expressão estável. Ela pode ser designada como uma nova variável ou você pode simplesmente expressá-la com precisão e obter uma resposta. Em qualquer caso, o princípio-chave da solução é o seguinte:

Encontre na equação original uma expressão estável contendo uma variável que seja facilmente distinguida de todas as funções exponenciais.

A boa notícia é que quase todas as equações exponenciais admitem uma expressão tão estável.

Mas também há más notícias: essas expressões podem ser muito complicadas e pode ser bastante difícil distingui-las. Vejamos então outro problema:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Talvez alguém agora tenha uma pergunta: “Paxá, você está chapado? Aqui estão diferentes bases - 5 e 0,2. Mas vamos tentar converter uma potência com base 0,2. Por exemplo, vamos nos livrar da fração decimal, trazendo-a para o usual:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10 ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

Como você pode ver, o número 5 ainda apareceu, embora no denominador. Ao mesmo tempo, o indicador foi reescrito como negativo. E agora nos lembramos de uma das regras mais importantes para trabalhar com diplomas:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Aqui, claro, trapaceei um pouco. Porque para um entendimento completo, a fórmula para se livrar dos indicadores negativos teve que ser escrita da seguinte forma:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ direita))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Por outro lado, nada nos impediu de trabalhar apenas com uma fração:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ direita))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

Mas, nesse caso, você precisa conseguir elevar um degrau a outro degrau (lembro: nesse caso, os indicadores são somados). Mas não precisei “inverter” as frações - talvez para alguém seja mais fácil. :)

Em qualquer caso, a equação exponencial original será reescrita como:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\fim(alinhar)\]

Acontece que a equação original é ainda mais fácil de resolver do que a considerada anteriormente: aqui você nem precisa destacar uma expressão estável - tudo foi reduzido por si só. Resta apenas lembrar que $1=((5)^(0))$, de onde obtemos:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\fim(alinhar)\]

Essa é toda a solução! Obtivemos a resposta final: $x=-2$. Ao mesmo tempo, gostaria de observar um truque que simplificou muito todos os cálculos para nós:

Em equações exponenciais, certifique-se de se livrar das frações decimais, traduza-as em ordinárias. Isso permitirá que você veja as mesmas bases dos graus e simplifique bastante a solução.

Agora vamos passar para equações mais complexas nas quais existem diferentes bases, que geralmente não são redutíveis umas às outras usando potências.

Usando a propriedade do expoente

Deixe-me lembrá-lo de que temos mais duas equações particularmente duras:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\fim(alinhar)\]

A principal dificuldade aqui é que não está claro o que e a que base liderar. Onde estão as expressões fixas? Onde estão os motivos comuns? Não há nada disso.

Mas vamos tentar ir por outro caminho. Se não houver bases idênticas prontas, você pode tentar encontrá-las fatorando as bases disponíveis.

Vamos começar com a primeira equação:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cponto ((3)^(3x)). \\\fim(alinhar)\]

Afinal, você pode fazer o contrário - componha o número 21 dos números 7 e 3. É especialmente fácil fazer isso à esquerda, pois os indicadores de ambos os graus são os mesmos:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\&x=3. \\\fim(alinhar)\]

Isso é tudo! Você tirou o expoente do produto e imediatamente obteve uma bela equação que pode ser resolvida em algumas linhas.

Agora vamos lidar com a segunda equação. Aqui tudo é muito mais complicado:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

Nesse caso, as frações acabaram sendo irredutíveis, mas se algo puder ser reduzido, certifique-se de reduzi-lo. Isso geralmente resultará em fundamentos interessantes com os quais você já pode trabalhar.

Infelizmente não conseguimos nada. Mas vemos que os expoentes à esquerda no produto são opostos:

Deixe-me lembrá-lo: para se livrar do sinal de menos no expoente, basta “inverter” a fração. Então, vamos reescrever a equação original:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\esquerda(100\cdot \frac(10)(27) \direita))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\esquerda(\frac(1000)(27) \direita))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\fim(alinhar)\]

Na segunda linha, apenas colocamos entre colchetes o total do produto de acordo com a regra $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right ))^ (x))$, e neste último eles simplesmente multiplicaram o número 100 por uma fração.

Agora observe que os números à esquerda (na base) e à direita são um pouco semelhantes. Como? Sim, obviamente: são potências do mesmo número! Nós temos:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \right))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \à direita))^(2)). \\\fim(alinhar)\]

Assim, nossa equação será reescrita da seguinte forma:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3 )(10) \direita))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

Ao mesmo tempo, à direita, você também pode obter um diploma com a mesma base, para o qual basta apenas “inverter” a fração:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Finalmente, nossa equação terá a forma:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\fim(alinhar)\]

Essa é a solução completa. Sua ideia principal se resume ao fato de que, mesmo com motivos diferentes, tentamos por bem ou por mal reduzir esses motivos a um mesmo. Nisto somos auxiliados pelas transformações elementares de equações e pelas regras para trabalhar com potências.

Mas quais regras e quando usar? Como entender que em uma equação você precisa dividir os dois lados por alguma coisa, e em outra - decompor a base da função exponencial em fatores?

A resposta a esta pergunta virá com a experiência. Experimente primeiro equações simples e depois complique gradualmente as tarefas - e muito em breve suas habilidades serão suficientes para resolver qualquer equação exponencial do mesmo USE ou qualquer trabalho independente / de teste.

E para te ajudar nessa difícil tarefa, sugiro baixar um conjunto de equações no meu site para uma solução independente. Todas as equações têm respostas, então você sempre pode verificar por si mesmo.

Na fase de preparação para o teste final, os alunos do ensino médio precisam aprimorar seus conhecimentos sobre o tema "Equações exponenciais". A experiência dos últimos anos indica que tais tarefas causam certas dificuldades para os alunos. Portanto, os alunos do ensino médio, independentemente do seu nível de preparação, precisam dominar cuidadosamente a teoria, memorizar as fórmulas e compreender o princípio de resolução de tais equações. Tendo aprendido a lidar com este tipo de tarefas, os graduados poderão contar com pontuações altas ao passar no exame de matemática.

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O portal educacional Shkolkovo convida os alunos a usar nossa base de conhecimento. Estamos implementando um método completamente novo de preparação para o teste final. Estudando em nosso site, você poderá identificar lacunas de conhecimento e se atentar justamente para as tarefas que mais trazem dificuldades.

Os professores de "Shkolkovo" coletaram, sistematizaram e apresentaram todo o material necessário para a aprovação no exame da forma mais simples e acessível.

As principais definições e fórmulas são apresentadas na seção "Referencial Teórico".

Para uma melhor assimilação do material, recomendamos que você pratique as tarefas. Revise cuidadosamente os exemplos de equações exponenciais com soluções apresentadas nesta página para entender o algoritmo de cálculo. Depois disso, prossiga com as tarefas da seção "Catálogos". Você pode começar com as tarefas mais fáceis ou ir direto para a resolução de equações exponenciais complexas com várias incógnitas ou . O banco de dados de exercícios em nosso site é constantemente complementado e atualizado.

Esses exemplos com indicadores que lhe causaram dificuldades podem ser adicionados aos "Favoritos". Assim, você pode encontrá-los rapidamente e discutir a solução com o professor.

Para passar no exame com sucesso, estude no portal Shkolkovo todos os dias!

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equações exponenciais. Guia Completo (2019)

EQUAÇÕES EXPOSICIONAIS. NÍVEL MÉDIO

EQUAÇÕES EXPOSICIONAIS. NÍVEL AVANÇADO

EQUAÇÕES EXPOSICIONAIS. BREVE DESCRIÇÃO E FÓRMULA BÁSICA

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Como resolver equações exponenciais

Transformação de equações exponenciais

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Usando a propriedade do expoente

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