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Aula e apresentação sobre o tema: "Solução das equações trigonométricas mais simples"

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O que vamos estudar:
1. O que são equações trigonométricas?

3. Dois métodos principais de resolução de equações trigonométricas.
4. Equações trigonométricas homogéneas.
5. Exemplos.

O que são equações trigonométricas?

Pessoal, já estudamos o arco seno, arco cosseno, arco tangente e arco tangente. Agora vamos ver as equações trigonométricas em geral.

Equações trigonométricas - equações em que a variável está contida sob o sinal da função trigonométrica.

Repetimos a forma de resolver as equações trigonométricas mais simples:

1) Se |а|≤ 1, então a equação cos(x) = a tem solução:

X= ± arcos(a) + 2πk

2) Se |а|≤ 1, então a equação sin(x) = a tem solução:

3) Se |a| > 1, então a equação sin(x) = ae cos(x) = a não tem solução 4) A equação tg(x)=a tem solução: x=arctg(a)+ πk

5) A equação ctg(x)=a tem solução: x=arcctg(a)+ πk

Para todas as fórmulas, k é um número inteiro

As equações trigonométricas mais simples têm a forma: Т(kx+m)=a, T- qualquer função trigonométrica.

Exemplo.

Resolva as equações: a) sin(3x)= √3/2

Solução:

A) Vamos denotar 3x=t, então vamos reescrever nossa equação na forma:

A solução desta equação será: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

Da tabela de valores obtemos: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Vamos voltar para nossa variável: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Então x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Resposta: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, onde n é um número inteiro. (-1)^n - menos um elevado a n.

Mais exemplos de equações trigonométricas.

Resolva as equações: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Solução:

A) Desta vez iremos direto ao cálculo das raízes da equação logo de cara:

X/5= ± arcos(1) + 2πk. Então x/5= πk => x=5πk

Resposta: x=5πk, onde k é um número inteiro.

B) Escrevemos na forma: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Sabemos que: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Resposta: x=2π/9 + πk/3, onde k é um número inteiro.

Resolva as equações: cos(4x)= √2/2. E encontre todas as raízes do segmento.

Solução:

Vamos resolver nossa equação na forma geral: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Agora vamos ver que raízes caem no nosso segmento. For k For k=0, x= π/16, estamos no segmento dado .
Com k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, eles acertam novamente.
Para k=2, x= π/16+ π=17π/16, mas aqui não acertamos, o que significa que também não acertaremos para k grande.

Resposta: x= π/16, x= 9π/16

Dois métodos principais de solução.

Consideramos as equações trigonométricas mais simples, mas existem outras mais complexas. Para resolvê-los, são utilizados o método de introdução de uma nova variável e o método de fatoração. Vejamos exemplos.

Vamos resolver a equação:

Solução:
Para resolver nossa equação, usamos o método de introdução de uma nova variável, denotada: t=tg(x).

Como resultado da substituição, obtemos: t 2 + 2t -1 = 0

Encontre as raízes da equação quadrática: t=-1 e t=1/3

Então tg(x)=-1 e tg(x)=1/3, temos a equação trigonométrica mais simples, vamos encontrar suas raízes.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Resposta: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Exemplo de resolução de uma equação

Resolva equações: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Solução:

Vamos usar a identidade: sen 2(x) + cos 2(x)=1

Nossa equação se torna: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Vamos introduzir a substituição t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

A solução para nossa equação quadrática são as raízes: t=2 e t=-1/2

Então cos(x)=2 e cos(x)=-1/2.

Porque cosseno não pode assumir valores maiores que um, então cos(x)=2 não tem raízes.

Para cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Resposta: x= ±2π/3 + 2πk

Equações trigonométricas homogêneas.

Definição: Uma equação da forma a sen(x)+b cos(x) é chamada de equações trigonométricas homogêneas de primeiro grau.

Equações da forma

equações trigonométricas homogéneas do segundo grau.

Para resolver uma equação trigonométrica homogênea de primeiro grau, dividimos por cos(x): É impossível dividir por cosseno se for igual a zero, vamos garantir que não seja assim:
Deixe cos(x)=0, então asin(x)+0=0 => sin(x)=0, mas seno e cosseno não são iguais a zero ao mesmo tempo, temos uma contradição, então podemos dividir com segurança por zero.

Resolva a equação:
Exemplo: cos 2 (x) + sen(x) cos(x) = 0

Solução:

Retire o fator comum: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Então precisamos resolver duas equações:

cos(x)=0 e cos(x)+sen(x)=0

Cos(x)=0 para x= π/2 + πk;

Considere a equação cos(x)+sin(x)=0 Divida nossa equação por cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Resposta: x= π/2 + πk e x= -π/4+πk

Como resolver equações trigonométricas homogêneas do segundo grau?
Pessoal, sigam essas regras sempre!

1. Veja a que é igual o coeficiente a, se a \u003d 0 então nossa equação assumirá a forma cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), cujo exemplo de solução está no anterior deslizar

2. Se a≠0, então você precisa dividir ambas as partes da equação pelo cosseno ao quadrado, obtemos:

Fazemos a mudança de variável t=tg(x) obtemos a equação:

Resolva o Exemplo #:3

Resolva a equação:
Solução:

Divida ambos os lados da equação pelo quadrado do cosseno:

Fazemos uma mudança de variável t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Encontre as raízes da equação quadrática: t=-3 e t=1

Então: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Resposta: x=-arctg(3) + πk e x= π/4+ πk

Resolva o Exemplo #:4

Resolva a equação:

Solução:
Vamos transformar nossa expressão:

Podemos resolver tais equações: x= - π/4 + 2πk e x=5π/4 + 2πk

Resposta: x= - π/4 + 2πk e x=5π/4 + 2πk

Resolva o Exemplo #:5

Resolva a equação:

Solução:
Vamos transformar nossa expressão:

Introduzimos a substituição tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

A solução para nossa equação quadrática serão as raízes: t=-2 e t=1/2

Então obtemos: tg(2x)=-2 e tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Resposta: x=-arctg(2)/2 + πk/2 e x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Tarefas para solução independente.

1) Resolva a equação

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0.5x) = -1.7

2) Resolva as equações: sin(3x)= √3/2. E encontre todas as raízes no segmento [π/2; π].

3) Resolva a equação: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Resolva a equação: 3 sen 2 (x) + √3 sen (x) cos(x) = 0

5) Resolva a equação: 3sin 2 (3x) + 10 sen(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Resolva a equação: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

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Certa vez, testemunhei uma conversa entre dois candidatos:

– Quando você precisa adicionar 2πn e quando - πn? Eu não consigo me lembrar!

- E eu tenho o mesmo problema.

Eu queria dizer a eles: “Não é necessário memorizar, mas entender!”

Este artigo é dirigido principalmente a alunos do ensino médio e, espero, os ajudará no "entendimento" para resolver as equações trigonométricas mais simples:

Círculo numérico

Juntamente com o conceito de linha numérica, existe também o conceito de círculo numérico. Como sabemos, em um sistema de coordenadas retangulares, um círculo com centro no ponto (0; 0) e raio 1 é chamado de círculo unitário. Imagine uma linha numérica com um fio fino e enrole-a em torno deste círculo: o ponto de referência (ponto 0), prenda-a ao ponto "direito" do círculo unitário, enrole o semi-eixo positivo no sentido anti-horário e o semi-eixo negativo na direção ( Figura 1). Tal círculo unitário é chamado de círculo numérico.

Propriedades do círculo numérico

• Todo número real está em um ponto do círculo numérico.
• Existem infinitos números reais em cada ponto do círculo numérico. Como o comprimento do círculo unitário é 2π, a diferença entre quaisquer dois números em um ponto do círculo é igual a um dos números ±2π; ±4π; ±6π; …

Vamos concluir: conhecendo um dos números do ponto A, podemos encontrar todos os números do ponto A.

Vamos desenhar o diâmetro AC (Fig. 2). Como x_0 é um dos números do ponto A, então os números x_0±π ; x_0±3π; x_0±5π; … e somente eles serão os números do ponto C. Vamos escolher um desses números, digamos, x_0+π, e com ele anotar todos os números do ponto C: x_C=x_0+π+2πk ,k∈ Z. Observe que os números nos pontos A e C podem ser combinados em uma fórmula: x_(A ; C)=x_0+πk ,k∈Z (para k = 0; ±2; ±4; ... obtemos os números de ponto A, e para k = ±1, ±3, ±5, … são os números do ponto C).

Vamos concluir: conhecendo um dos números em um dos pontos A ou C do diâmetro AC, podemos encontrar todos os números nesses pontos.

• Dois números opostos estão localizados em pontos do círculo que são simétricos em relação ao eixo das abcissas.

Vamos desenhar uma corda vertical AB (Fig. 2). Como os pontos A e B são simétricos em relação ao eixo Ox, o número -x_0 está localizado no ponto B e, portanto, todos os números do ponto B são dados pela fórmula: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z. Escrevemos os números nos pontos A e B com uma fórmula: x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z. Vamos concluir: conhecendo um dos números em um dos pontos A ou B da corda vertical AB, podemos encontrar todos os números nesses pontos. Considere a corda horizontal AD e encontre os números do ponto D (Fig. 2). Como BD é o diâmetro e o número -x_0 pertence ao ponto B, então -x_0 + π é um dos números do ponto D e, portanto, todos os números desse ponto são dados pela fórmula x_D=-x_0+π+2πk ,k∈Z. Os números nos pontos A e D podem ser escritos usando uma fórmula: x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk ,k∈Z . (para k= 0; ±2; ±4; ... obtemos os números do ponto A, e para k = ±1; ±3; ±5; ... - os números do ponto D).

Vamos concluir: conhecendo um dos números em um dos pontos A ou D da corda horizontal AD, podemos encontrar todos os números nesses pontos.

Dezesseis pontos principais do círculo numérico

Na prática, a solução da maioria das equações trigonométricas mais simples está associada a dezesseis pontos do círculo (Fig. 3). O que são esses pontos? Pontos vermelhos, azuis e verdes dividem o círculo em 12 partes iguais. Como o comprimento do semicírculo é π, o comprimento do arco A1A2 é π/2, o comprimento do arco A1B1 é π/6 e o ​​comprimento do arco A1C1 é π/3.

Agora podemos especificar um número nos pontos:

π/3 em С1 e

Os vértices do quadrado laranja são os pontos médios dos arcos de cada quarto, de modo que o comprimento do arco A1D1 é igual a π/4 e, portanto, π/4 é um dos números do ponto D1. Usando as propriedades do círculo numérico, podemos anotar todos os números em todos os pontos marcados do nosso círculo usando fórmulas. A figura também mostra as coordenadas desses pontos (omitimos a descrição de sua aquisição).

Tendo aprendido o que foi dito acima, agora temos preparação suficiente para resolver casos especiais (para nove valores do número a) as equações mais simples.

Resolver Equações

1)sinx=1⁄(2).

– O que é exigido de nós?

– Encontre todos os números x cujo seno é 1/2.

Lembre-se da definição de seno: sinx - a ordenada do ponto do círculo numérico, no qual o número x está localizado. No círculo temos dois pontos cuja ordenada é igual a 1/2. Estas são as extremidades da corda horizontal B1B2. Isso significa que o requisito “resolva a equação senx=1⁄2” é equivalente ao requisito “encontre todos os números no ponto B1 e todos os números no ponto B2”.

2)senx=-√3⁄2 .

Precisamos encontrar todos os números nos pontos C4 e C3.

3) senx=1. No círculo temos apenas um ponto com ordenada 1 - ponto A2 e, portanto, precisamos encontrar apenas todos os números deste ponto.

Resposta: x=π/2+2πk , k∈Z .

4)senx=-1 .

Apenas o ponto A_4 tem ordenada -1. Todos os números deste ponto serão os cavalos da equação.

Resposta: x=-π/2+2πk , k∈Z .

5) senx=0 .

No círculo temos dois pontos com ordenada 0 - pontos A1 e A3. Você pode especificar os números em cada um dos pontos separadamente, mas como esses pontos são diametralmente opostos, é melhor combiná-los em uma fórmula: x=πk ,k∈Z .

Resposta: x=πk ,k∈Z .

6)cosx=√2⁄2 .

Lembre-se da definição de cosseno: cosx - abscissa do ponto do círculo numérico no qual o número x está localizado. No círculo temos dois pontos com abscissa √2⁄2 - as extremidades da corda horizontal D1D4. Precisamos encontrar todos os números nesses pontos. Nós os anotamos combinando-os em uma fórmula.

Resposta: x=±π/4+2πk , k∈Z .

7) cosx=-1⁄2 .

Precisamos encontrar os números nos pontos C_2 e C_3 .

Resposta: x=±2π/3+2πk , k∈Z .

10) cosx=0 .

Apenas os pontos A2 e A4 têm abscissa 0, o que significa que todos os números em cada um desses pontos serão soluções para a equação.
.

As soluções da equação do sistema são os números nos pontos B_3 e B_4 Desigualdade cosx<0 удовлетворяют только числа b_3
Resposta: x=-5π/6+2πk , k∈Z .

Observe que para qualquer valor admissível de x, o segundo fator é positivo e, portanto, a equação é equivalente ao sistema

As soluções da equação do sistema são o número de pontos D_2 e D_3 . Os números do ponto D_2 não satisfazem a desigualdade senx≤0,5, mas os números do ponto D_3 sim.

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