VIII aula: Tópico 3. Áreas de figuras. Teorema de Pitágoras.

1. O conceito de área. Números iguais.

Se o comprimento é uma característica numérica de uma linha, então a área é uma característica numérica de uma figura fechada. Apesar de estarmos bem familiarizados com o conceito de área da vida cotidiana, não é fácil dar uma definição estrita desse conceito. Acontece que a área de uma figura fechada pode ser chamada de qualquer quantidade não negativa que tenha o seguinte propriedades para medir as áreas das figuras:

Figuras iguais têm áreas iguais. Se esta figura fechada for dividida em várias figuras fechadas, a área da figura será igual à soma das áreas de suas figuras constituintes (a figura na Figura 1 é dividida em n figuras; neste caso, a área da figura, onde Si- quadrado euª figura).

Em princípio, pode-se chegar a um conjunto de quantidades que tenham as propriedades formuladas e, portanto, caracterizam a área da figura. Mas o mais familiar e conveniente é o valor que caracteriza a área de um quadrado como o quadrado de seu lado. Vamos chamar esse "arranjo" de terceira propriedade de medir as áreas das figuras:

A área de um quadrado é igual ao quadrado de seu lado (Figura 2).

Com essa definição, a área das figuras é medida em unidades quadradas ( cm 2, km 2, ha=100m 2).

figuras com áreas iguais são chamados igual em tamanho .

Comente: Figuras iguais têm áreas iguais, ou seja, figuras iguais são iguais em tamanho. Mas figuras de tamanhos iguais estão longe de ser sempre iguais (por exemplo, a Figura 3 mostra um quadrado e um triângulo isósceles formados por triângulos retângulos iguais (a propósito, tais figuras chamado igualmente composto ); é claro que o quadrado e o triângulo são iguais em tamanho, mas não iguais, pois não são sobrepostos).

Em seguida, derivamos fórmulas para calcular as áreas de todos os principais tipos de polígonos (incluindo a conhecida fórmula para encontrar a área de um retângulo), com base nas propriedades formuladas para medir as áreas das figuras.

2. Área de um retângulo. A área de um paralelogramo.

Fórmula para calcular a área de um retângulo: A área de um retângulo é igual ao produto de seus dois lados adjacentes (Figura 4).

Dado:

ABCD- retângulo;

DE ANÚNCIOS=uma, AB=b.

Provar: SABC=uma× b.

Prova:

1. Alongue o lado AB para um segmento PA=uma, e o lado DE ANÚNCIOS- para um segmento DV=b. Vamos construir um paralelogramo APRV(Figura 4). Desde R UMA=90°, APRV- retângulo. Em que PA=uma+b=AV, Þ APRVé um quadrado com um lado ( uma+b).

2. Denote BCÇ R.V.=T, CDÇ Relações Públicas=Q. Então BCQP- um quadrado com um lado uma, CDVT- um quadrado com um lado b, CQRT- um retângulo com lados uma e b.

Fórmula para calcular a área de um paralelogramo: A área de um paralelogramo é igual ao produto de sua altura e base (Figura 5).

Comente: A base de um paralelogramo é chamada de lado para o qual a altura é desenhada; é claro que qualquer lado do paralelogramo pode servir como base.

Dado:

ABCD– p/g;

BH^DE ANÚNCIOS, HÎ DE ANÚNCIOS.

Provar: SABC=DE ANÚNCIOS× BH.

Prova:

1. Conduza à base DE ANÚNCIOS altura FC(Figura 5).

2. BCïê HF, BHïê FC, Þ BCFH- p / g por definição. R H=90°, Þ BCFH- retângulo.

3. BCFH– p/g, Þ por propriedade p/g BH=FC, Þ D BAH=D CDF ao longo da hipotenusa e perna ( AB=CD de acordo com St. p/g, BH=FC).

4. SABC=SABCF+S D CDF=SABCF+S D BAH=SBCFH=BH× BC=BH× DE ANÚNCIOS. #

3. Área de um triângulo.

Fórmula para calcular a área de um triângulo: A área de um triângulo é igual à metade do produto de sua altura e base (Figura 6).

Comente: A base do triângulo em este caso nomeie o lado para o qual a altura é desenhada. Qualquer um dos três lados de um triângulo pode servir como base.

Dado:

BD^CA, DÎ CA.

Provar: .

Prova:

1. Complete D abc antes de p/a ABKC passando pelo topo B direto BKïê CA, e pela parte superior C- direto CKïê AB(Figura 6).

2. D abc=D KCB em três lados ( BC- em geral, AB=KC e CA=KB de acordo com St. p/g), Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image014_34.gif" width="107" height="36">).

Corolário 2: Se considerarmos p/y D abc com altura AH puxado para a hipotenusa BC, então . Nesse caminho, em p/a D-ke a altura desenhada para a hipotenusa é igual à razão do produto de seus catetos para a hipotenusa . Essa proporção é frequentemente usada na resolução de problemas.

4. Consequências da fórmula para encontrar a área de um triângulo: a razão das áreas de triângulos com alturas ou bases iguais; triângulos iguais em figuras; propriedade das áreas dos triângulos formados pelas diagonais de um quadrilátero convexo.

Da fórmula para calcular a área de um triângulo, seguem dois corolários de maneira elementar:

1. A razão entre as áreas de triângulos com alturas iguais é igual à razão de suas bases (na Figura 8 ).

2. A razão entre as áreas dos triângulos de bases iguais é igual à razão de suas alturas (na Figura 9 ).

Comente: Ao resolver problemas, triângulos com uma altura comum são muito comuns. Neste caso, via de regra, suas bases estão na mesma linha reta, e o vértice oposto às bases é comum (por exemplo, na Figura 10 S 1:S 2:S 3=uma:b:c). Você deve aprender a ver a altura total de tais triângulos.

Além disso, fatos úteis seguem a fórmula para calcular a área de um triângulo, permitindo que você encontre triângulos de áreas iguais nas figuras:

1. A mediana de um triângulo arbitrário o divide em dois triângulos de mesma área (na figura 11 em D ABM e D ACM altura AH- geral, e as bases BM e CM igual por definição da mediana; segue que D ABM e D ACM são iguais).

2. As diagonais de um paralelogramo o dividem em quatro triângulos de mesma área. (na Figura 12 AOé a mediana do triângulo ABD pela propriedade das diagonais p/g, z devido aos triângulos St. anteriores ABO e ALVOROÇO são iguais; Porque BOé a mediana do triângulo abc, triângulos ABO e BCO são iguais; Porque COé a mediana do triângulo BCD, triângulos BCO e DCO são iguais; portanto, S D ALVOROÇO=S D ABO=S D BCO=S D DCO).

3. As diagonais de um trapézio o dividem em quatro triângulos; dois deles, adjacentes aos lados, são iguais (Figura 13).

Dado:

ABCD- trapézio;

BCïê DE ANÚNCIOS; CAÇ BD=O.

Provar: S D ABO=S D DCO.

Prova:

1. Vamos desenhar alturas namorado e CH(Figura 13). Então D ABD e D ACD base DE ANÚNCIOS- geral, e alturas namorado e CH são iguais; º S D ABD=S D ACD.

2. S D ABO=S D ABD ‑ S D AOD=S D ACD ‑ S D AOD=S D DCO. #

Se você desenhar as diagonais de um quadrilátero convexo (Figura 14), quatro triângulos são formados, cujas áreas são conectadas por uma razão muito fácil de lembrar. A derivação dessa relação depende apenas da fórmula para calcular a área de um triângulo; entretanto, raramente é encontrado na literatura. Sendo útil na resolução de problemas, a relação que será formulada e provada a seguir merece atenção redobrada:

A propriedade das áreas dos triângulos formados pelas diagonais de um quadrilátero convexo: Se as diagonais de um quadrilátero convexo ABCD cruzar em um ponto O, então (Figura 14).

ABCD- quadrilátero convexo;

https://pandia.ru/text/78/214/images/image025_28.gif" largura="149" altura="20">.

Prova:

1. namorado– altura total D AOB e D COB; Þ S D AOB:S D COB=AO:CO.

2. D.H.– altura total D AOD e D BACALHAU; Þ S D AOD:S D BACALHAU=AO:CO.

5. A razão das áreas de triângulos com um ângulo igual.

O teorema da razão entre as áreas dos triângulos com ângulos iguais: As áreas dos triângulos que têm um ângulo igual são relacionadas como os produtos dos lados que envolvem esses ângulos (Figura 15).

Dado:

D abc, D UMA 1B 1C 1;

Ð BAC=Ð B 1UMA 1C 1.

Provar:

.

Prova:

1. Separe na viga AB segmento de linha AB 2=UMA 1B 1, e na viga CA- segmento de linha CA 2=UMA 1C 1 (Figura 15). Então D AB 2C 2=D UMA 1B 1C 1 em dois lados e o ângulo entre eles ( AB 2=UMA 1B 1 e CA 2=UMA 1C 1 por construção, e Р B 2CA 2=Р B 1UMA 1C 1 por condição). Significa, .

2. Ligue os pontos C e B 2.

3. CH– altura total D AB 2C e D abc, Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image033_22.gif" width="81" height="43 src=">.

6. Propriedade da bissetriz de um triângulo.

Usando os teoremas sobre a razão das áreas de triângulos com ângulos iguais e sobre a razão das áreas de triângulos com alturas iguais, simplesmente provamos um fato extremamente útil na resolução de problemas que não está diretamente relacionado às áreas das figuras:

Propriedade da bissetriz de um triângulo: A bissetriz de um triângulo divide o lado para o qual é desenhado em segmentos proporcionais aos lados adjacentes a eles.

Dado:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image036_22.gif" largura="61" altura="37">.

Prova:

1..gif" largura="72 altura=40" altura="40">.

3. Dos pontos 1 e 2 temos: , Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image041_19.gif" width="61" height="37">. #

Comente: Como os membros extremos ou médios podem ser trocados na proporção certa, é mais conveniente lembrar a propriedade da bissetriz de um triângulo da seguinte forma (Figura 16):.

7. Área de um trapézio.

A fórmula para calcular a área de um trapézio: A área de um trapézio é igual ao produto de sua altura pela metade da soma das bases.

Dado:

ABCD- trapézio;

BCïê DE ANÚNCIOS;

BH- altura.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image044_21.gif" largura="127" altura="36">.

Prova:

1. Desenhe uma diagonal BD e altura D.F.(Figura 17). BHDF– retângulo, Þ BH = D.F..

Consequência: A razão das áreas dos trapézios com alturas iguais é igual à razão de suas linhas médias (ou a razão das somas das bases).

8. Área de um quadrilátero com diagonais mutuamente perpendiculares.

A fórmula para calcular a área de um quadrilátero com diagonais mutuamente perpendiculares: A área de um quadrilátero com diagonais mutuamente perpendiculares é igual à metade do produto de suas diagonais.

ABCD- quadrilátero;

CA^BD.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image049_20.gif" width="104" height="36">.

Prova:

1. Denota CAÇ BD=O. Porque o CA^BD, AO- altura D ABD, uma CO- altura D CDB(Figuras 18a e 18b para os casos de quadriláteros convexos e não convexos, respectivamente).

2.
(os sinais "+" ou "-" correspondem aos casos de quadriláteros convexos e não convexos, respectivamente). #

O teorema de Pitágoras desempenha um papel extremamente importante na resolução de uma ampla variedade de problemas; ele permite que você encontre o lado desconhecido de um triângulo retângulo dados seus dois lados conhecidos. Existem muitas provas do teorema de Pitágoras. Aqui está o mais simples deles, baseado em fórmulas para calcular as áreas de um quadrado e um triângulo:

Teorema de Pitágoras: Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

Dado:

D abc- p/a;

Ð UMA=90°.

Provar:

BC 2=AB 2+CA 2.

Prova:

1. Denota CA=uma, AB=b. Vamos colocá-lo no feixe AB segmento de linha PA=uma, e na viga CA- segmento de linha cv=b(Figura 19). Vamos passar pelo ponto P direto Relações Públicasïê AV, e pelo ponto V- direto RVïê PA. Então APRV- p / g por definição. Ao mesmo tempo, uma vez que Р UMA=90°, APRV- retângulo. E desde AV=uma+b=PA, APRV- um quadrado com um lado uma+b, e SAPRV=(uma+b)2. Vamos dividir o lado Relações Públicas ponto Q em segmentos QP=b e QR=uma, e o lado R.V.- ponto T em segmentos RT=b e televisão=uma.

2.D abc=D PQB=D RTQ=D ATV em duas pernas, Þ Ð ACB=Ð PBQ=Ð RQT=Ð VTC, BC=QB=QT=CT, e https://pandia.ru/text/78/214/images/image055_17.gif" width="115" height="36">.

3. Porque BC=QB=QT=CT, CBQT- losango. Ao mesmo tempo, R. QBC\u003d 180 ° - (Р abc+Ð PBQ)=180°-(Р abc+Ð ACB)=Ð BAC=90°; º CBQTé um quadrado e SCBQT=BC 2.

quatro. . Então, BC 2=AB 2+CA 2. #

O teorema de Pitágoras inverso é um sinal de um triângulo retângulo, ou seja, permite verificar se o triângulo é retângulo por três lados conhecidos do triângulo.

Teorema de Pitágoras inverso: Se o quadrado de um lado de um triângulo é igual à soma dos quadrados de seus outros dois lados, então esse triângulo é retângulo e seu lado maior é a hipotenusa.

Dado:

BC 2=AB 2+CA 2.

Provar: D abc- p/a;

Ð UMA=90°.

Prova:

1. Vamos construir um ângulo reto UMA 1 e reserve os segmentos nas laterais UMA 1B 1=AB e UMA 1C 1=CA(Figura 20). No recebido p/y D UMA 1B 1C 1 pelo teorema de Pitágoras B 1C 12=UMA 1B 12+UMA 1C 12=AB 2+CA 2; mas por condição AB 2+CA 2=BC 2; º B 1C 12=BC 2, Y B 1C 1=BC.

2.D abc=D UMA 1B 1C 1 em três lados ( UMA 1B 1=AB e UMA 1C 1=CA pela construção, B 1C 1=BC do item 1), Þ Ð UMA=Ð UMA 1=90°, Þ D abc-p/a. #

Triângulos retângulos cujos lados são inteiros são chamados Triângulos pitagóricos , e as triplas dos números naturais correspondentes são trigêmeos pitagóricos . É útil lembrar os triplos pitagóricos (o maior desses números é igual à soma dos quadrados dos outros dois). Aqui estão alguns triplos pitagóricos:

3, 4, 5;

5, 12, 13;

8, 15, 17;

7, 24, 25;

20, 21, 29;

12, 35, 37;

9, 40, 41.

Um triângulo retângulo com lados 3, 4, 5 foi usado no Egito para construir ângulos retos e, portanto, tal triângulo chamado egípcio .

10. Fórmula de Heron.

A fórmula de Heron permite encontrar a área de um triângulo arbitrário por seus três lados conhecidos e é indispensável para resolver muitos problemas.

Fórmula da garça: Área de um triângulo com lados uma, b e cé calculado pela seguinte fórmula: , onde é o meio-perímetro do triângulo.

Dado:

BC=uma; CA=b; AB=c.). Então .

4. Substitua a expressão resultante para a altura na fórmula para calcular a área de um triângulo: . #

1. Corte reto A parte de uma linha reta limitada por dois pontos. Um segmento é uma parte de uma linha reta que é limitada por dois pontos (as extremidades do segmento). Um segmento tem um começo e um fim. O segmento é indicado ou segmento AB.

pontos UMA e B chamado as extremidades do segmento. Todos os outros pontos são chamados pontos internos segmento.

A distância entre as extremidades de um segmento é chamada comprimento e denotar |AB|.

Todos os pontos de um segmento estão na mesma linha reta que passa por suas extremidades.

2. Após dois dados pontos que estão no mesmo plano, você pode desenhar uma linha reta. É possível traçar uma linha reta passando por dois pontos quaisquer e, além disso, apenas um

3. Se duas retas se cruzam, então elas têm um ponto, e se as retas são paralelas, então nenhuma! Duas retas se cruzam, ou seja, elas têm apenas um ponto comum. Determinação do ponto de intersecção das linhas: O ponto onde duas linhas se cruzam é ​​chamado de ponto de interseção dessas linhas.

4. O que é uma viga e o que é um semiplano? um raio é uma parte de uma linha reta que tem um começo, mas não tem fim e tem uma direção

Se você desenhar uma linha e marcar um ponto O nela, ela dividirá a linha em duas partes, cada uma das quais é chamada de raio que emana do ponto O (esses raios são chamados de adicionais). O ponto O é chamado de início do feixe. feixe uma parte de uma linha é chamada, consistindo em todos os pontos que estão em um lado de um ponto fixo de uma linha, e este ponto em si, chamado o início do raio . Diferentes raios da mesma linha com uma origem comum são chamados adicional . Axioma. A linha reta divide o plano em dois semiplanos. Aqueles. Qualquer linha divide um plano em duas partes, cada uma das quais é chamada de semiplano, e a própria linha é chamada de limite de cada um desses semiplanos.

5. Ângulo para trásacontece que parte do plano limitada por dois raios. Os próprios raios são chamados de lados do ângulo, e o ponto comum de onde os raios saem é chamado de vértice do ângulo. Ângulo é uma figura geométrica queformado por dois raios vindos do mesmo ponto. O vértice de um ângulo é o ponto de onde os raios emanam. O lado do ângulo é um desses raios 6. Dois raios complementares entre si formam um ângulo desenvolvido. Os lados desse ângulo juntos formam uma linha reta na qual se encontra o vértice do ângulo desdobrado. (Diferentes raios da mesma linha com uma origem comum são chamados adicional ) . Ângulo expandido -é um ângulo cujos lados estão na mesma linha reta. Por exemplo AOV.

7. O que significam as palavras "um raio divide um ângulo em dois ângulos"? quando um raio divide um ângulo em dois ângulos, a medida em graus de todo o ângulo é igual à soma das medidas em graus desses ângulos. Ray OS divide o ângulo AOB pela metade.

8. Que figuras são chamadas iguais?

Formas que combinam quando sobrepostas são chamadas EQUAL. Duas figuras geométricas são chamadas iguais se podem ser combinadas quando sobrepostas

9. explique como comparar dois segmentose como comparar 2 ângulos. Você sobrepõe um segmento no outro para que o final do primeiro fique alinhado com o final do segundo, se as outras duas extremidades não estiverem alinhadas, os segmentos não serão iguais, se estiverem alinhados, serão iguais. Para comparar 2 segmentos, você precisa comparar seus comprimentos, para comparar 2 ângulos, você precisa comparar sua medida de grau, Dois ângulos são ditos iguais se eles podem ser superpostos. Para estabelecer se dois ângulos não expandidos são iguais ou não, é necessário combinar o lado de um ângulo com o lado do segundo para que os outros dois lados fiquem do mesmo lado dos lados combinados.Coloque um canto sobre o outro canto de forma que seus vértices coincidam de um lado, e os outros dois fiquem do mesmo lado dos lados alinhados. Se o segundo lado de um ângulo estiver alinhado com o segundo lado de outro ângulo, esses ângulos serão iguais. (Simponha os cantos de modo que o lado de um fique alinhado com o lado do outro e os outros dois fiquem do mesmo lado dos lados alinhados. Se os outros dois lados estiverem alinhados, os ângulos estarão completamente alinhados, o que significa são iguais.)

10. Que ponto é chamado de ponto médio do segmento? O ponto médio de um segmento é o ponto que divide o segmento dado em duas partes iguais. O ponto que divide um segmento ao meio é chamado de ponto médio do segmento.

11. bissetriz(do latim bi- “duplo” e sectio “cortar”) um ângulo é um raio que emerge do topo do ângulo e passa por sua região interna, que forma dois ângulos iguais com seus lados. Ou um raio que emana do vértice de um ângulo e o divide em dois ângulos iguais é chamado bissetriz do ângulo.

12. Como é a medição dos segmentos. Medir um segmento proporcional a um significa descobrir quantas vezes ele contém uma unidade ou alguma fração de uma unidade. Medição de distânciaé realizado comparando-o com um determinado segmento tomado como unidade. Você pode medir o comprimento do segmento usando uma régua ou fita métrica. É necessário sobrepor um segmento ao outro, que tomamos como unidade de medida, para que suas extremidades fiquem alinhadas.

? 13. Como se relacionam os comprimentos dos segmentos AB e CD se: a) os segmentos AB e CD são iguais; b) o segmento AB é menor que o segmento CD?

A) os comprimentos dos segmentos AB e CD são iguais. B) o comprimento do segmento AB é menor que o comprimento do segmento CD.

14. O ponto C divide o segmento AB em dois segmentos. Como os comprimentos dos segmentos AB, AC e CB estão relacionados? O comprimento do segmento AB é igual à soma dos comprimentos dos segmentos CA eCB. Para encontrar o comprimento do segmento AB, some os comprimentos dos segmentos AC e CB.

15. O que é um diploma? O que mostra a medida em grau de um ângulo?? Os ângulos são medidos em unidades diferentes. Pode ser graus, radianos. Na maioria das vezes, os ângulos são medidos em graus. (Este grau não deve ser confundido com uma medida de temperatura, onde a palavra "grau" também é usada). A medida de ângulos baseia-se na comparação com um ângulo tomado como unidade de medida. Normalmente, um grau é tomado como unidade de medida para ângulos - um ângulo igual a 1/180 de um ângulo desenvolvido. Grau é uma unidade de ângulos planos em geometria. (Como unidade de medida de ângulos geométricos, um grau é tomado - parte de um ângulo desenvolvido.) .

Medida em grau de um ângulo mostra quantas vezes um grau e suas partes - um minuto e um segundo - se encaixam em um determinado ângulo , ou seja, uma medida de grau - um valor que reflete o número de graus, minutos e segundos entre os lados do ângulo.

16. Que parte de um grau é chamada de minuto e que parte é chamada de segundo? 1/60 de grau é chamado de minuto e 1/60 de minuto é chamado de segundo. Minutos são indicados pelo sinal "′" e segundos - pelo sinal "″"

? 17. Como se relacionam as medidas em graus de dois ângulos se: a) esses ângulos são iguais; b) um ângulo é menor que o outro? a) a medida em graus dos ângulos é a mesma. b) A medida em graus de um ângulo é menor que a medida em graus do segundo ângulo.

18. O raio OC divide o ângulo AOB em dois ângulos. Como as medidas em graus dos ângulos AOB, AOC e COB estão relacionadas? Quando um raio divide um ângulo em dois ângulos, a medida em graus do ângulo inteiro é igual à soma das medidas em graus desses ângulos. Medida em graus de um ângulo AOB é igual à soma das medidas de grau de suas partes AOC e COB.

Para trás para a frente

Atenção! A visualização do slide é apenas para fins informativos e pode não representar toda a extensão da apresentação. Se você estiver interessado neste trabalho, faça o download da versão completa.

Lições objetivas: Repita o tópico "Área de um paralelogramo". Derive a fórmula para a área de um triângulo, introduza o conceito de figuras de tamanhos iguais. Resolvendo problemas no tópico "Áreas de figuras de tamanhos iguais".

Durante as aulas

I. Repetição.

1) Por via oral de acordo com o desenho acabado Deduza a fórmula para a área de um paralelogramo.

2) Qual é a relação entre os lados do paralelogramo e as alturas lançadas sobre eles?

(de acordo com o desenho acabado)

a relação é inversamente proporcional.

3) Encontre a segunda altura (de acordo com o desenho acabado)

4) Encontre a área do paralelogramo de acordo com o desenho acabado.

Solução:

5) Compare as áreas dos paralelogramos S1, S2, S3. (Eles têm áreas iguais, todos têm base a e altura h).

Definição: Figuras com áreas iguais são chamadas iguais.

II. Solução de problemas.

1) Prove que qualquer reta que passa pelo ponto de intersecção das diagonais a divide em 2 partes iguais.

Solução:

2) No paralelogramo ABCD CF e alturas CE. Prove que AD ∙ CF = AB ∙ CE.

3) Dado um trapézio de bases a e 4a. É possível traçar linhas retas através de um de seus vértices, dividindo o trapézio em 5 triângulos de mesma área?

Solução: Posso. Todos os triângulos são iguais.

4) Prove que, se pegarmos o ponto A no lado do paralelogramo e o conectarmos aos vértices, a área do triângulo resultante ABC é igual à metade da área do paralelogramo.

Solução:

5) O bolo tem a forma de um paralelogramo. Kid e Carlson dividem assim: Kid aponta para um ponto na superfície do bolo, e Carlson corta o bolo em 2 pedaços ao longo de uma linha reta passando por este ponto e pega um dos pedaços para si. Todo mundo quer um pedaço maior. Onde o Kid deve acabar?

Solução: No ponto de intersecção das diagonais.

6) Na diagonal do retângulo, foi escolhido um ponto e traçadas linhas retas através dele, paralelas aos lados do retângulo. Em lados opostos formaram 2 retângulos. Compare suas áreas.

Solução:

III. Estudando o tópico "Área de um triângulo"

comece com uma tarefa:

"Encontre a área de um triângulo cuja base é a e a altura é h."

Os caras, usando o conceito de figuras de tamanhos iguais, provam o teorema.

Vamos construir um triângulo para um paralelogramo.

A área de um triângulo é metade da área de um paralelogramo.

Exercício: Desenhe triângulos iguais.

Um modelo é usado (3 triângulos coloridos são recortados em papel e colados nas bases).

Exercício número 474. "Compare as áreas dos dois triângulos em que o triângulo dado é dividido por sua mediana."

Os triângulos têm as mesmas bases a e a mesma altura h. Triângulos têm a mesma área

Conclusão: Figuras com áreas iguais são chamadas iguais.

Perguntas para a turma:

1. Figuras iguais são do mesmo tamanho?
2. Formule a afirmação oposta. É verdade?
3. É verdade:
   a) Os triângulos equiláteros são iguais em área?
   b) Triângulos equiláteros de lados iguais são iguais?
   c) Quadrados de lados iguais são iguais?
   d) Prove que os paralelogramos formados pela interseção de duas tiras de mesma largura em diferentes ângulos de inclinação entre si são iguais. Encontre o paralelogramo da menor área formada pela interseção de duas tiras de mesma largura. (Mostrar no modelo: listras de largura igual)

4. Passo à frente!

Escrito no quadro tarefas opcionais:

1. "Corte o triângulo com duas linhas retas para que você possa dobrar as peças em um retângulo."

Solução:

2. "Corte o retângulo em uma linha reta em 2 partes, das quais você pode fazer um triângulo retângulo."

Solução:

3) Uma diagonal é desenhada em um retângulo. Em um dos triângulos resultantes, uma mediana é desenhada. Encontre as razões entre as áreas das figuras .

Solução:

Responda:

3. Das tarefas da Olimpíada:

“No quadrilátero ABCD, o ponto E é o ponto médio de AB, conectado ao vértice D, e F é o ponto médio de CD, ao vértice B. Prove que a área do quadrilátero EBFD é 2 vezes menor que a área do quadrilátero ABCD.

Solução: desenhe uma diagonal BD.

Exercício número 475.

“Desenhe o triângulo ABC. Pelo vértice B, desenhe 2 linhas retas para que dividam este triângulo em 3 triângulos com áreas iguais.

Use o teorema de Thales (divida AC em 3 partes iguais).

V. Tarefa do dia.

Para ela, peguei a parte da extrema direita do quadro, na qual escrevo a tarefa de hoje. As crianças podem ou não decidir. Não vamos resolver este problema na aula de hoje. É só que quem estiver interessado neles pode anular, resolvê-lo em casa ou durante um intervalo. Normalmente, já no recreio, muitos caras começam a resolver o problema, se decidem, mostram a solução, e eu arrumo em uma mesa especial. Na próxima lição, definitivamente voltaremos a esse problema, dedicando uma pequena parte da lição para resolvê-lo (e um novo problema pode ser escrito no quadro).

“Um paralelogramo é cortado em um paralelogramo. Divida o resto em 2 figuras de tamanhos iguais.

Solução: A secante AB passa pelo ponto de intersecção das diagonais dos paralelogramos O e O1.

Problemas adicionais (de problemas da Olimpíada):

1) “No trapézio ABCD (AD || BC), os vértices A e B estão ligados ao ponto M, o ponto médio do lado CD. A área do triângulo ABM é m. Encontre a área do trapézio ABCD.

Solução:

Os triângulos ABM e AMK são figuras iguais, porque AM é a mediana.
S ∆ABK = 2m, ∆BCM = ∆MDK, S ABCD = S ∆ABK = 2m.

Resposta: SABCD = 2m.

2) "No trapézio ABCD (AD || BC), as diagonais se cruzam no ponto O. Prove que os triângulos AOB e COD são áreas iguais."

Solução:

S ∆BCD = S ∆ABC , Porque eles têm uma base comum BC e a mesma altura.

3) O lado AB de um triângulo arbitrário ABC é estendido além do vértice B de modo que BP = AB, o lado AC é estendido além do vértice A de modo que AM = CA, o lado BC é estendido além do vértice C de modo que KS = BC. Quantas vezes a área do triângulo RMK é maior que a área do triângulo ABC?

Solução:

Em um triângulo MVS: MA = AC, então a área do triângulo BAM é igual à área do triângulo ABC. Em um triângulo posto de trabalho: BP = AB, então a área do triângulo BAM é igual à área do triângulo ABP. Em um triângulo ARS: AB = BP, então a área do triângulo BAC é igual à área do triângulo BPC. Em um triângulo VRK: BC \u003d SC, portanto, a área do triângulo VRS é igual à área do triângulo RKS. Em um triângulo AVK: BC = SC, então a área do triângulo BAC é igual à área do triângulo ASC. No triângulo MSC: MA = AC, então a área do triângulo KAM é igual à área do triângulo ASC. Obtemos 7 triângulos iguais. Significa,

Resposta: A área do triângulo MRK é 7 vezes a área do triângulo ABC.

4) Paralelogramos ligados.

2 paralelogramos estão localizados como mostrado na figura: eles têm um vértice comum e mais um vértice para cada um dos paralelogramos está nos lados do outro paralelogramo. Prove que as áreas dos paralelogramos são iguais.

Solução:

e , significa,

Lista de literatura usada:

1. Livro didático "Geometria 7-9" (autores L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev (Moscou, "Enlightenment", 2003).
2. Problemas olímpicos de anos diferentes, em particular do livro "Os melhores problemas das olimpíadas matemáticas" (compilado por A.A. Korznyakov, Perm, "Knizhny Mir", 1996).
3. Uma seleção de tarefas acumuladas ao longo de muitos anos de trabalho.

Ao calcular as áreas dos polígonos, é usado um truque simples chamado método de particionamento. Considere os polígonos e mostrados na Fig. 1, que mostra como quebrar esses polígonos no mesmo número de partes respectivamente iguais (partes iguais são marcadas com os mesmos números). Sobre polígonos e diga que eles são igualmente compostos. Em geral, os polígonos são chamados igualmente compostos se, tendo cortado o polígono em um número finito de partes de uma certa maneira, é possível, organizando essas partes de maneira diferente, fazer delas um polígono. É fácil ver que o seguinte teorema é verdadeiro: polígonos de igual tamanho têm a mesma área, ou, como dizem, são de mesma área. Por exemplo, um paralelogramo é equidistante de um retângulo (Fig. 2) e, portanto, conhecendo a fórmula da área de um retângulo, descobrimos que a área de um paralelogramo é igual ao produto dos comprimentos de seu lado e a altura correspondente.

Este exemplo ilustra o método de particionamento, que consiste no fato de que, para calcular a área de um polígono, tenta-se dividi-lo em um número finito de partes de tal forma que a partir dessas partes seja possível formar um polígono mais simples, cuja área já conhecemos. Por exemplo, um triângulo é equidistante de um paralelogramo de mesma base e metade da altura (Fig. 3); a partir disso, a fórmula para a área de um triângulo é facilmente derivada. Este método de cálculo das áreas dos polígonos era conhecido por Euclides, que viveu há mais de 2.000 anos.

É notável que o teorema inverso também é verdadeiro para o teorema acima: se dois polígonos são iguais em tamanho, então eles são de igual composição. Este teorema, provado na primeira metade do século XIX. pelo matemático húngaro F. Bolyai e pelo oficial e matemático alemão P. Gervin, pode ser explicado da seguinte forma: se houver um pão de gengibre na forma de um polígono e uma caixa poligonal de forma completamente diferente, mas da mesma área, então você pode cortar o pão de gengibre em um número finito de pedaços de tal forma que eles consigam colocar nesta caixa.

Em conexão com o teorema de Bolyai-Gervin, surge a questão de impor restrições adicionais ao número ou arranjo de partes que compõem polígonos de área igual. Por exemplo, vamos imaginar um avião como uma folha de papel colorido com um lado vermelho e o outro branco. Se dois polígonos vermelhos de tamanhos iguais forem cortados desse papel, surge a questão de saber se um deles pode ser cortado em pedaços dos quais será possível adicionar um polígono vermelho igual ao segundo. As peças podem ser deslocadas sem girá-las para o lado branco errado. A resposta a esta questão também é afirmativa.

Uma variante deste problema foi proposta em uma das Olimpíadas de Matemática de Moscou na seguinte forma cômica. O excêntrico confeiteiro assou o bolo (e o bolo, ao contrário do pão de gengibre, tem creme na parte de cima) em forma de triângulo escaleno. Eles também fizeram uma caixa para o bolo, mas devido a um descuido, eles a colaram incorretamente, de modo que o bolo e a caixa ficaram simétricos entre si (Fig. 4). É necessário (se possível economicamente) cortar o bolo em pedaços que possam ser colocados nesta caixa. Claro, partes do bolo não podem ser colocadas em creme.

Um resultado interessante relacionado à imposição de requisitos adicionais no arranjo das partes foi obtido em 1952 pelos matemáticos suíços G. Hadwiger e P. Glur: a equiconstituinte de dois polígonos de igual área pode ser estabelecida usando partições nas quais as partes correspondentes tenham lados paralelos. À primeira vista, isso parece até implausível: é difícil acreditar que dois triângulos iguais girados um em relação ao outro por um ângulo arbitrário (Fig. 5) possam sempre ser divididos em partes iguais com lados correspondentemente paralelos. No entanto, existe uma tal partição desses triângulos que as partes em que um triângulo é dividido são obtidas das partes correspondentes do segundo triângulo por translações paralelas ou simetrias centrais. O mesmo vale para quaisquer dois polígonos de mesma área. No entanto, as transferências paralelas de peças por si só não podem ser dispensadas. Por exemplo, não importa como cortamos um paralelogramo em partes, é impossível fazer um triângulo com essas partes por meio de translações paralelas.

O interesse por essas questões foi despertado pelo famoso relatório "Mathematical Problems", que foi lido pelo destacado matemático D. Hilbert no II Congresso Internacional de Matemáticos, realizado na virada dos séculos XIX e XX. Dos vinte e três problemas apresentados por Hilbert, a maioria está relacionada a novos ramos da matemática em rápido desenvolvimento. E apenas um problema - o terceiro - está ligado às questões da geometria escolar. Hilbert chama a atenção para o fato de que, ao calcular o volume de uma pirâmide triangular, desde a época de Euclides, é usada uma passagem bastante complicada para o limite (ver Limite) (e agora - integração), enquanto ao calcular a área de um triângulo, dispensamos uma passagem semelhante ao limite. A essência do problema de Hilbert é justificar o uso dessa passagem "supérflua" (em comparação com a planimetria) até o limite, ou seja, provar que sem ela a teoria dos volumes dos poliedros não pode ser construída. Em 1900, M. Dehn resolveu o terceiro problema de Hilbert provando que um tetraedro regular e um cubo de igual tamanho não são de igual tamanho. Hilbert previu que essa questão poderia levar à criação de uma teoria matematicamente interessante e rica da equiconsistência de polígonos e poliedros. A previsão de Hilbert se concretizou de forma brilhante; o belo edifício da teoria moderna da composição igual é um monumento digno para o cientista.