Eixo x limitado, gráfico de uma função integrável e segmentos de linha x=a\,\! e x=b\,\!, Onde uma\,\! e b\,\!- limites de integração (ver figura).

A necessidade de aplicar a integração numérica pode, na maioria das vezes, ser causada pela ausência de representação em e, portanto, pela impossibilidade de calcular analiticamente o valor de uma determinada integral sobre . Também é possível que a forma da primitiva seja tão complexa que seja mais rápido calcular o valor da integral numericamente.

Caso unidimensional

A ideia principal da maioria dos métodos de integração numérica é substituir o integrando por um mais simples, cuja integral pode ser facilmente calculada analiticamente. Neste caso, para estimar o valor da integral, fórmulas da forma

I \approx \sum_(i=1)^(n) w_i\, f(x_i),

Onde n\,\!é o número de pontos em que o valor do integrando é calculado. pontos XI\,\! são chamados de nós de método, números w_i\,\!- pesos dos nós. Quando o integrando é substituído por um polinômio de zero, primeiro e segundo grau, obtêm-se os métodos , e (Simpson), respectivamente. Muitas vezes, as fórmulas para estimar o valor da integral são chamadas de fórmulas de quadratura.

Método Retângulo

Método Retânguloé obtido substituindo o integrando por uma constante. Como constante, você pode tomar o valor da função em qualquer ponto do segmento \deixei\,\!. Os valores de função mais usados ​​estão no meio de um segmento e em suas extremidades. As modificações correspondentes são chamadas de métodos retângulos médios, retângulos esquerdos e retângulos certos. A fórmula para o cálculo aproximado do valor de uma integral definida pelo método dos retângulos é

I \approx f(x) (b-a),

Onde x=\frac(\esquerda(a+b\direita))(2), uma\,\! ou b\,\!, respectivamente.

Método trapezoidal

Se traçarmos uma linha reta passando pelas extremidades do segmento de integração, obtemos método trapezoidal. A partir de considerações geométricas, é fácil obter

I \approx \frac(f(a)+f(b))(2) (b-a).

Método da parábola

Usando três pontos do segmento de integração, podemos substituir o integrando por uma parábola. Normalmente, as extremidades do segmento e seu ponto médio são usados ​​como pontos. Neste caso, a fórmula é muito simples

I \approx \frac(b-a)(6)\left(f(a)+4f\left(\frac(a+b)(2)\right)+f(b)\right).

Aumentando a precisão

A aproximação de uma função por um polinômio em todo o intervalo de integração, como regra, leva a um grande erro na estimativa do valor da integral.

Para reduzir o erro, o segmento de integração é dividido em partes e um método numérico é usado para avaliar a integral em cada uma delas.

Como o número de partições tende ao infinito, a estimativa da integral tende ao seu valor verdadeiro para qualquer método numérico.

Os métodos acima permitem um procedimento simples de reduzir pela metade a etapa, enquanto em cada etapa é necessário calcular os valores da função apenas nos nós recém-adicionados. Para estimar o erro de cálculo, é usado.

Método de Gauss

Os métodos descritos acima usam pontos de segmento de reta fixa (pontos finais e pontos médios) e são baixos (1, 1 e 3, respectivamente). Se pudermos escolher os pontos nos quais calculamos os valores da função f(x)\,\!, então é possível, com o mesmo número de cálculos do integrando, obter métodos de maior ordem de precisão. Portanto, para dois (como no método trapézio) cálculos dos valores do integrando, você pode obter um método não mais de 1ª, mas de 3ª ordem de precisão:

I \approx \frac(b-a)(2)\left(f\left(\frac(a+b)(2) - \frac(b-a)(2\sqrt(3)) \right)+f\left( \frac(a+b)(2) + \frac(b-a)(2\sqrt(3)) \right) \right).

Em geral, usando n\,\! pontos, você pode obter um método com uma ordem de precisão 2n-1\,\!. Os valores dos nós do método Gaussiano por n\,\! pontos são as raízes do polinômio de Legendre de grau n\,\!.

Os valores dos nós do método gaussiano e seus pesos são fornecidos nos livros de referência de funções especiais. O mais conhecido é o método gaussiano dos cinco pontos.

Método de Gauss-Kronrod

A desvantagem do método de Gauss é que ele não possui uma maneira fácil (do ponto de vista computacional) de estimar o erro do valor obtido da integral. A utilização da regra de Runge requer o cálculo do integrando aproximadamente no mesmo número de pontos, sem dar praticamente nenhum ganho de precisão, ao contrário de métodos simples, onde a precisão aumenta várias vezes a cada nova partição. Kronrod propôs o seguinte método para estimar o valor da integral

I \approx \sum_(i=1)^(n) a_i\, f(x_i) + \sum_(i=1)^(n+1) b_i\, f(y_i),

Onde XI\,\!- Nós do método de Gauss por n\,\! pontos, e 3n+2\,\! parâmetros a_i\,\!, bi\,\!, y_i\,\! são escolhidos de tal forma que a ordem de precisão do método é igual a 3n+1\,\!.

Então, para estimar o erro, pode-se usar a fórmula empírica

\Delta = \left(200 |I - I_G|\right)^(1.5),

Onde I_G\,\!- o valor da integral, estimado pelo método de Gauss de acordo com n\,\! pontos. Bibliotecas [

programação de fórmulas de integração numérica

Introdução

1. Métodos de integração numérica

2. Fórmulas de quadratura

3. Seleção automática da etapa de integração

Conclusão

Lista bibliográfica

Introdução

O objetivo do resumo é o estudo e análise comparativa de métodos para integração numérica de funções; implementação desses métodos na forma de programas de máquina em linguagem de alto nível e solução prática de problemas de integração numérica em um computador.

Ao resolver problemas de engenharia, muitas vezes torna-se necessário calcular os valores de uma determinada integral da forma

. (1)

Se a função é contínua no intervalo [ uma , b] e sua primitiva pode ser determinada através de uma função conhecida, então tal integral é calculada usando a fórmula de Newton-Leibniz:

.

Em problemas de engenharia, raramente é possível obter o valor da integral de forma analítica. Além disso, a função f (x) pode ser dado, por exemplo, por uma tabela de dados experimentais. Portanto, na prática, para calcular uma integral definida, são usados ​​métodos especiais, baseados no aparato de interpolação.

A ideia por trás desses métodos é a seguinte. Em vez de calcular a integral usando a fórmula (1), os valores da função são calculados primeiro f (XI) = eu em alguns nós XI Î[ uma , b]. Então o polinômio de interpolação é escolhido P (x) passando pelos pontos obtidos ( XI , eu), que é usado no cálculo do valor aproximado da integral (1):

.

Ao implementar essa abordagem, as fórmulas de integração numérica assumem a seguinte forma geral:

, (2) - nós de interpolação, Eu são alguns coeficientes, R– termo residual que caracteriza o erro da fórmula. Observe que as fórmulas da forma (2) são chamadas de fórmulas de quadratura.

O significado geométrico da integração numérica é calcular a área de um trapézio curvilíneo delimitado pelo gráfico da função f (X), um eixo de abcissas e duas retas x = a e x = b. Um cálculo aproximado da área leva à rejeição do termo residual nas fórmulas de quadratura R caracterizando o erro do método, que é adicionalmente sobreposto pelo erro computacional.

1. Métodos de integração numérica

Na pesquisa aplicada, muitas vezes torna-se necessário calcular o valor de uma integral definida

Como se sabe do curso de matemática, o cálculo analítico da integral não pode ser realizado em todos os casos. E mesmo no caso em que é possível encontrar a forma analítica dessa integral, o procedimento de cálculo fornece um resultado aproximado, então surge o problema do valor aproximado dessa integral.

A essência do cálculo aproximado consiste em duas operações: 1. na escolha de um número finito em vez de n; 2. na seleção de pontos

na seção correspondente.

Dependendo da escolha

obtemos várias fórmulas para calcular a integral: Fórmulas para retângulos esquerdo e direito (5), (6) (5) (6)

Fórmula do trapézio:

Fórmula de Simpson

b, a - extremidades do segmento considerado.

Para comparar os resultados do cálculo pelas fórmulas de integração numérica acima, calculamos a seguinte integral de 3 maneiras, dividindo o segmento em 6 segmentos iguais: h=

Pela fórmula dos retângulos da esquerda:

Pela fórmula do trapézio:

Pela fórmula de Simpson:

E o resultado obtido analiticamente é igual a

=1

Portanto, podemos concluir que o método numérico de integração segundo a fórmula de Simpson é mais preciso, mas é usado no caso geral ao dividir o segmento sendo separado em um número par de intervalos.

2. Fórmulas de quadratura

Fórmulas retangulares são as fórmulas de quadratura mais simples. Vamos dividir o intervalo de integração [ a, b] no P comprimento de partes iguais

. Observe que o valor hé chamado de etapa de integração. Em pontos de divisão X 0 = um ,X 1 = a + h , ..., xn = b anote as ordenadas y 0 ,y 1 ,…,s n torto f (x), ou seja, calcular eu = f (XI), x i = a+ ih = x i -1 + h (eu =). Em cada segmento de comprimento h construir um retângulo com lados h e eu, Onde eu =, ou seja pelos valores das ordenadas calculadas nas extremidades esquerdas dos segmentos. Então a área do trapézio curvilíneo, que determina o valor da integral (1), pode ser representada aproximadamente como a soma das áreas dos retângulos (Fig. 1). A partir daqui, obtemos a fórmula dos retângulos:
. (3)

Se, ao calcular a soma integral, tomarmos os valores da função f (x) não à esquerda, mas nas extremidades direitas dos segmentos de comprimento h, que é mostrado na fig. 1 com uma linha pontilhada, então obtemos a segunda versão da fórmula do retângulo:

. (4)

A terceira variante da fórmula dos retângulos pode ser obtida usando os valores da função f (x) calculado no ponto médio de cada segmento de comprimento h(Figura 2):

. (5)

As fórmulas (3), (4) e (4) são chamadas de fórmulas dos retângulos esquerdo, direito e central, respectivamente.

Fórmula de Simpson. Dividimos o intervalo de integração em 2 n comprimento de partes iguais

. Em cada segmento [ XI , xi+2] o integrando f (X) é substituído por uma parábola que passa pelos pontos ( XI , eu), (XI +1 , eu +1), (XI +2 , eu+2). Então o valor aproximado da integral é determinado pela fórmula de Simpson: . (7)

Ao calcular em um computador, a seguinte fórmula é mais conveniente:

O método de Simpson é um dos métodos de integração numérica mais conhecidos e usados, fornece valores exatos da integral ao integrar polinômios até a terceira ordem inclusive.

Fórmula de Newton. O valor aproximado da integral de acordo com a fórmula de Newton é calculado da seguinte forma:

onde o número de segmentos da partição é um múltiplo de três, ou seja, é 3 n. Ao desenvolver programas de computador, é mais conveniente usar a fórmula equivalente:

O método de Newton fornece valores exatos da integral ao integrar polinômios até a quarta ordem inclusive.

3. Seleção automática da etapa de integração

Como resultado do cálculo pelas fórmulas (3) - (8), obtém-se um valor aproximado da integral, que pode diferir do exato em uma certa quantidade, chamado de erro de integração. O erro é determinado pela fórmula do resto R, diferente para cada um dos métodos de integração. Se for necessário calcular o valor da integral com um erro que não exceda e, é necessário escolher tal etapa de integração h para satisfazer a desigualdade R (h) £e. Na prática, a seleção automática de valores é usada h, que garante a obtenção do erro especificado. Primeiro calcule o valor da integral EU (n), dividindo o intervalo de integração em P seções, então o número de seções é dobrado e a integral é calculada EU (2n). O processo de cálculo continua até que a condição se torne verdadeira.

Integração numérica

As principais questões discutidas na palestra:

2. Fórmulas de quadratura de Newton-Cotes

3. Fórmulas de retângulos

4. Fórmula trapezoidal

5. Fórmula de Simpson

6. Fórmulas de quadratura de Gauss

7. Método de Monte Carlo

1. Apresentação do problema de integração numérica

É necessário calcular uma integral definida da forma , e a função pode ser dada tanto na forma de uma fórmula quanto na forma de uma tabela.

Fórmulas de quadratura de Newton-Cotes

,
Onde - Coeficientes de Cotes.
Essas fórmulas fornecem diferentes representações para um número diferente n de segmentos de partição no mesmo segmento de integração.

Fórmulas retangulares

Seja necessário calcular a integral.
Se o segmento de integração for grande o suficiente, você precisará dividi-lo em segmentos menores de igual comprimento, onde n é o número de segmentos, e substituindo o trapézio curvilíneo por um retângulo em cada um dos segmentos, calcule as áreas desses retângulos. Em seguida, as áreas resultantes devem ser somadas, e esse valor será tomado como o valor aproximado da integral desejada.
Quanto à construção de retângulos, eles podem ser construídos de diferentes maneiras: você pode desenhar uma perpendicular à interseção com a curva f (x) da extremidade direita de cada segmento (Fig. 1), você pode - da extremidade esquerda (Figura 2)

Arroz. 1

Arroz. 2

Dependendo disso, as fórmulas de cálculo são um pouco diferentes e são chamadas de fórmulas de retângulos com ordenadas à direita ou à esquerda, respectivamente:

(fórmula dos retângulos "certos")

(fórmula dos retângulos "esquerdos")
Há também uma fórmula para retângulos "do meio": , para a qual a construção de retângulos é realizada pelos pontos médios de cada um dos segmentos da partição:

· Fórmula trapezoidal

· Fórmula de Simpson

Substituindo em cada segmento da partição uma parte da curva y = f(x) sobre uma curva parabólica, calculando as áreas das figuras resultantes e somando-as, obtemos a fórmula de Simpson:

·

· Fórmulas de quadratura de Gauss

Tradicionalmente, ao obter fórmulas gaussianas de quadratura na integral original, é realizada uma mudança de variável, traduzindo a integral sobre o segmento em integral sobre o segmento [-1; 1]:

.
Então .
Usaremos a interpolação linear do integrando.
Se em vez do segmento [-1; 1] para tomar os nós móveis t1, t2 como nós de interpolação, então você precisa escolher esses valores para que a área do trapézio seja limitada de cima pela linha reta que passa pelos pontos A1 (t1, φ(t1) ) e A2 (t2, φ(t2)) era igual à integral de qualquer polinômio de algum grau mais alto.
Assumindo que este é um polinômio de terceiro grau, calculamos t1, t2, que acabam sendo iguais a e , diferindo apenas na numeração dos valores.
Além disso, quebrando o segmento de integração em n partes, aplicando a ideia descrita acima a cada uma delas, podemos obter a fórmula de Gauss:

Integração numérica

Integração numérica(nome histórico: (numérico) quadratura ) - cálculo do valor de uma integral definida (geralmente aproximada). A integração numérica é entendida como um conjunto de métodos numéricos para encontrar o valor de uma determinada integral.

A integração numérica é aplicada quando:

Nesses dois casos, é impossível calcular a integral usando a fórmula de Newton-Leibniz. Também é possível que a forma da primitiva seja tão complexa que seja mais rápido calcular o valor da integral numericamente.

Caso unidimensional

A ideia principal da maioria dos métodos de integração numérica é substituir o integrando por um mais simples, cuja integral pode ser facilmente calculada analiticamente. Neste caso, para estimar o valor da integral, fórmulas da forma

onde é o número de pontos em que o valor do integrando é calculado. Os pontos são chamados de nós do método, os números são os pesos dos nós. Quando o integrando é substituído por um polinômio de zero, primeiro e segundo grau, obtêm-se os métodos dos retângulos, trapézios e parábolas (Simpson), respectivamente. Muitas vezes, as fórmulas para estimar o valor da integral são chamadas de fórmulas de quadratura.

Um caso especial é o método para construir fórmulas de quadratura integral para malhas uniformes, conhecidas como Fórmulas de Cotes. O método é nomeado após Roger Coates. A ideia principal do método é substituir o integrando por algum tipo de polinômio de interpolação. Depois de fazer a integral, podemos escrever

onde os números são chamados Coeficientes de Cotes e são calculados como integrais dos polinômios correspondentes no polinômio de interpolação original para o integrando com o valor da função no nó ( é o passo da grade; é o número de nós da grade e o índice do nó é ). O termo é o erro do método, que pode ser encontrado de diferentes maneiras. Para ímpar, o erro pode ser encontrado integrando o erro do polinômio de interpolação do integrando.

Casos especiais de fórmulas de Cotes são: fórmulas retangulares (n=0), fórmulas trapezoidais (n=1), fórmula de Simpson (n=2), fórmula de Newton (n=3), etc.

Método Retângulo

Seja necessário determinar o valor da integral da função no intervalo . Este segmento é dividido por pontos em segmentos iguais de comprimento Denote pelo valor da função nos pontos Em seguida, fazemos as somas Cada uma das somas é uma soma integral de on e portanto expressa aproximadamente a integral

Se a função dada é positiva e crescente, então esta fórmula expressa a área de uma figura escalonada composta de retângulos "entrada", também chamada de fórmula de retângulos esquerdos, e a fórmula

expressa a área de uma figura escalonada que consiste em retângulos "de saída", também chamada de fórmula de retângulos retos. Quanto menor o comprimento dos segmentos em que o segmento é dividido, mais preciso será o valor calculado por esta fórmula da integral desejada.

Obviamente, vale a pena contar com maior precisão se tomarmos o ponto no meio da lacuna como ponto de referência para encontrar a altura. Como resultado, obtemos a fórmula para os retângulos do meio:

Dada a maior precisão a priori da última fórmula com o mesmo volume e natureza dos cálculos, ela é chamada de fórmula dos retângulos

Método trapezoidal

Se a função em cada um dos segmentos parciais é aproximada por uma linha reta que passa pelos valores finais, então obtemos o método do trapézio.

A área do trapézio em cada segmento:

Erro de aproximação em cada segmento:

Onde

A fórmula completa para trapézios no caso de dividir todo o intervalo de integração em segmentos do mesmo comprimento:

Onde

Erro de fórmula trapezoidal:

Onde

Método da parábola (método de Simpson)

Usando três pontos do segmento de integração, podemos substituir o integrando por uma parábola. Normalmente, as extremidades do segmento e seu ponto médio são usados ​​como pontos. Neste caso, a fórmula é muito simples

.

Se dividirmos o intervalo de integração em partes iguais, teremos

Aumentando a precisão

A aproximação de uma função por um polinômio em todo o intervalo de integração, como regra, leva a um grande erro na estimativa do valor da integral.

Para reduzir o erro, o segmento de integração é dividido em partes e um método numérico é usado para avaliar a integral em cada uma delas.

Como o número de partições tende ao infinito, a estimativa da integral tende ao seu valor verdadeiro para funções analíticas para qualquer método numérico.

Os métodos acima permitem um procedimento simples de reduzir pela metade a etapa, enquanto em cada etapa é necessário calcular os valores da função apenas nos nós recém-adicionados. Para estimar o erro de cálculo, é utilizada a regra Runge.

Método de Gauss

Os métodos descritos acima usam pontos de segmento fixos (extremidades e meio) e têm uma baixa ordem de precisão (1 - métodos retângulo direito e esquerdo, 2 - métodos retângulo médio e trapézio, 3 - método parábola (Simpson)). Se pudermos escolher os pontos em que calculamos os valores da função, podemos obter métodos de maior ordem de precisão com o mesmo número de cálculos do integrando. Assim, para dois (como no método trapézio) cálculos dos valores do integrando, você pode obter um método não mais de 2º, mas de 3ª ordem de precisão:

.

Em geral, usando pontos, você pode obter um método com uma ordem de precisão. Os valores dos nós do método de Gauss por pontos são as raízes do polinômio de Legendre de grau.

Os valores dos nós do método gaussiano e seus pesos são fornecidos nos livros de referência de funções especiais. O mais conhecido é o método gaussiano dos cinco pontos.

Método de Gauss-Kronrod

A desvantagem do método de Gauss é que ele não possui uma maneira fácil (do ponto de vista computacional) de estimar o erro do valor obtido da integral. O uso da regra de Runge requer o cálculo do integrando aproximadamente no mesmo número de pontos, enquanto praticamente não dá ganho de precisão, em contraste com métodos simples, onde a precisão aumenta várias vezes a cada nova partição. Kronrod propôs o seguinte método para estimar o valor da integral

,

onde são os nós do método de Gauss por pontos, e os parâmetros , , são escolhidos de tal forma que a ordem de precisão do método seja igual a .

Então, para estimar o erro, você pode usar a fórmula empírica:

,

onde é o valor aproximado da integral obtida pelo método de Gauss sobre pontos. As bibliotecas gsl e SLATEC para cálculo de integrais definidas contêm rotinas usando o método de Gauss-Kronrod para 15, 21, 31, 41, 51 e 61 pontos. A biblioteca usa o método de Gauss-Kronrod para 15 pontos.

método Chebyshev

Integração sob limites infinitos

Para integrar sobre limites infinitos, você precisa introduzir uma grade não uniforme, cujos passos aumentam à medida que você vai para o infinito, ou você pode fazer essa mudança de variáveis ​​na integral, após o que os limites serão finitos. Pode-se proceder de maneira semelhante se a função for singular nas extremidades do intervalo de integração

Métodos de Monte Carlo

Figura 3 Integração numérica de uma função pelo método de Monte Carlo

Para determinar a área sob o gráfico da função, você pode usar o seguinte algoritmo estocástico:

Para um pequeno número de dimensões de uma função integrável, o desempenho da integração de Monte Carlo é muito menor do que o desempenho dos métodos determinísticos. No entanto, em alguns casos, quando a função é especificada implicitamente, mas é necessário determinar a área especificada na forma de desigualdades complexas, o método estocástico pode ser mais preferível.

Métodos Runge-Kutta

método spline

Caso multivariado

Em pequenas dimensões, pode-se também aplicar fórmulas de quadratura baseadas em polinômios de interpolação. No entanto, em dimensões maiores, esses métodos tornam-se inaceitáveis ​​devido ao rápido aumento do número de pontos da grade e/ou da fronteira complexa da região. Neste caso, aplica-se o método de Monte Carlo. Pontos aleatórios são gerados em nossa área e os valores das funções neles são calculados em média. Você também pode usar uma abordagem mista - divida a área em várias partes, em cada uma das quais (ou apenas naquelas em que a integral não pode ser calculada devido a um limite complexo) aplique o método de Monte Carlo.

Literatura

1. Kahaner D., Moler K., Nash S. Métodos numéricos e software (traduzido do inglês). M.: Mir, 2001, 575 p.