Variável aleatóriaé chamada uma variável que, como resultado de cada teste, assume um valor previamente desconhecido, dependendo de causas aleatórias. As variáveis ​​aleatórias são indicadas por letras latinas maiúsculas: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Por seu tipo, as variáveis ​​aleatórias podem ser discreto E contínuo.

Variável aleatória discreta- esta é uma variável aleatória, cujos valores não podem ser mais do que contáveis, isto é, finitos ou contáveis. Contabilidade significa que os valores de uma variável aleatória podem ser enumerados.

Exemplo 1 . Vamos dar exemplos de variáveis ​​aleatórias discretas:

a) o número de acertos no alvo com $n$ tiros, aqui os valores possíveis são $0,\ 1,\ \pontos ,\ n$.

b) o número de brasões que caíram ao jogar uma moeda, aqui os valores possíveis são $0,\ 1,\\pontos,\n$.

c) o número de navios que chegaram a bordo (um conjunto contável de valores).

d) o número de chamadas que chegam à central (um conjunto contável de valores).

1. Lei da distribuição de probabilidade de uma variável aleatória discreta.

Uma variável aleatória discreta $X$ pode assumir os valores $x_1,\dots ,\ x_n$ com probabilidades $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. A correspondência entre esses valores e suas probabilidades é chamada lei de distribuição de uma variável aleatória discreta. Via de regra, essa correspondência é especificada por meio de uma tabela, na primeira linha da qual são indicados os valores $x_1,\dots ,\ x_n$, e na segunda linha as probabilidades correspondentes a esses valores são $ p_1,\pontos ,\ p_n$.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \pontos & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(array)$

Exemplo 2 . Seja a variável aleatória $X$ o número de pontos obtidos quando um dado é lançado. Essa variável aleatória $X$ pode assumir os seguintes valores $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. As probabilidades de todos esses valores são iguais a $1/6$. Então a lei de distribuição de probabilidade para a variável aleatória $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(array)$

Comente. Como os eventos $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ formam um grupo completo de eventos na lei de distribuição da variável aleatória discreta $X$, a soma das probabilidades deve ser igual a um, ou seja, $\soma( p_i)=1$.

2. Expectativa matemática de uma variável aleatória discreta.

Expectativa matemática de uma variável aleatória especifica seu valor "central". Para uma variável aleatória discreta, a esperança matemática é calculada como a soma dos produtos dos valores $x_1,\dots ,\ x_n$ e das probabilidades $p_1,\dots ,\ p_n$ correspondentes a esses valores, ou seja: $M\esquerda(X\direita)=\soma ^n_(i=1)(p_ix_i)$. Na literatura inglesa, outra notação $E\left(X\right)$ é usada.

Propriedades de expectativa$M\esquerda(X\direita)$:

1. $M\left(X\right)$ está entre o menor e o maior valor da variável aleatória $X$.
2. A expectativa matemática de uma constante é igual à própria constante, ou seja, $M\esquerda(C\direita)=C$.
3. O fator constante pode ser retirado do sinal de expectativa: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. A expectativa matemática da soma de variáveis ​​aleatórias é igual à soma de suas expectativas matemáticas: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. A expectativa matemática do produto de variáveis ​​aleatórias independentes é igual ao produto de suas expectativas matemáticas: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Exemplo 3 . Vamos encontrar a expectativa matemática da variável aleatória $X$ do exemplo $2$.

$$M\esquerda(X\direita)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\over (6))+4\cdot ((1)\over (6))+5\cdot ((1)\over (6))+6\cdot ((1 )\over (6))=3.5.$$

Podemos notar que $M\left(X\right)$ está entre o menor ($1$) e o maior ($6$) valores da variável aleatória $X$.

Exemplo 4 . Sabe-se que a esperança matemática da variável aleatória $X$ é igual a $M\left(X\right)=2$. Encontre a expectativa matemática da variável aleatória $3X+5$.

Usando as propriedades acima, obtemos $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cponto 2 +5=11$.

Exemplo 5 . Sabe-se que a esperança matemática da variável aleatória $X$ é igual a $M\left(X\right)=4$. Encontre a expectativa matemática da variável aleatória $2X-9$.

Usando as propriedades acima, obtemos $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cponto 4 -9=-1$.

3. Dispersão de uma variável aleatória discreta.

Valores possíveis de variáveis ​​aleatórias com expectativas matemáticas iguais podem se espalhar de maneira diferente em torno de seus valores médios. Por exemplo, em dois grupos de alunos, a nota média para o exame de teoria da probabilidade acabou sendo 4, mas em um grupo todos acabaram sendo bons alunos, e no outro grupo - apenas alunos C e alunos excelentes. Portanto, há a necessidade de tal característica numérica de uma variável aleatória, que mostraria a dispersão dos valores de uma variável aleatória em torno de sua expectativa matemática. Essa característica é a dispersão.

Dispersão de uma variável aleatória discreta$X$ é:

$$D\esquerda(X\direita)=\sum^n_(i=1)(p_i(\esquerda(x_i-M\esquerda(X\direita)\direita))^2).\ $$

Na literatura inglesa, a notação $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ é usada. Muitas vezes, a variação $D\left(X\right)$ é calculada pela fórmula $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ esquerda(X \direita)\direita))^2$.

Propriedades de dispersão$D\esquerda(X\direita)$:

1. A dispersão é sempre maior ou igual a zero, ou seja, $D\esquerda(X\direita)\ge 0$.
2. A dispersão de uma constante é igual a zero, ou seja, $D\esquerda(C\direita)=0$.
3. O fator constante pode ser retirado do sinal de dispersão, desde que seja elevado ao quadrado, ou seja, $D\esquerda(CX\direita)=C^2D\esquerda(X\direita)$.
4. A variância da soma das variáveis ​​aleatórias independentes é igual à soma de suas variâncias, ou seja, $D\esquerda(X+Y\direita)=D\esquerda(X\direita)+D\esquerda(Y\direita)$.
5. A variância da diferença de variáveis ​​aleatórias independentes é igual à soma de suas variâncias, ou seja, $D\esquerda(X-Y\direita)=D\esquerda(X\direita)+D\esquerda(Y\direita)$.

Exemplo 6 . Vamos calcular a variância da variável aleatória $X$ do exemplo $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3,5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3,5\right))^2+ \dots +((1)\over (6))\cdot (\left(6-3,5\right))^2=((35)\over (12))\aprox 2,92.$$

Exemplo 7 . Sabe-se que a variância da variável aleatória $X$ é igual a $D\left(X\right)=2$. Encontre a variância da variável aleatória $4X+1$.

Usando as propriedades acima, encontramos $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ esquerda(X\direita)=16\cdot 2=32$.

Exemplo 8 . Sabe-se que a variância de $X$ é igual a $D\left(X\right)=3$. Encontre a variância da variável aleatória $3-2X$.

Usando as propriedades acima, encontramos $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ esquerda(X\direita)=4\cdot 3=12$.

4. Função de distribuição de uma variável aleatória discreta.

O método de representar uma variável aleatória discreta na forma de uma série de distribuição não é o único e, mais importante, não é universal, pois uma variável aleatória contínua não pode ser especificada usando uma série de distribuição. Existe outra maneira de representar uma variável aleatória - a função de distribuição.

função de distribuição variável aleatória $X$ é uma função $F\left(x\right)$, que determina a probabilidade de que a variável aleatória $X$ assuma um valor menor que algum valor fixo $x$, ou seja, $F\left(x\ direita)$ )=P\esquerda(X< x\right)$

Propriedades da função de distribuição:

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. A probabilidade da variável aleatória $X$ assumir valores do intervalo $\left(\alpha ;\\beta \right)$ é igual à diferença entre os valores da função de distribuição nas extremidades desse intervalo : $P\esquerda(\alfa< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\esquerda(x\direita)$ - não decrescente.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \direita)=1\ )$.

Exemplo 9 . Vamos encontrar a função de distribuição $F\left(x\right)$ para a lei de distribuição da variável aleatória discreta $X$ do exemplo $2$.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(array)$

Se $x\le 1$, então obviamente $F\left(x\right)=0$ (incluindo $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Se $ 1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Se $ 2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Se $ 3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Se $ 4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Se $ 5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Se $x > 6$ então $F\esquerda(x\direita)=P\esquerda(X=1\direita)+P\esquerda(X=2\direita)+P\esquerda(X=3\direita) + P\esquerda(X=4\direita)+P\esquerda(X=5\direita)+P\esquerda(X=6\direita)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1 /6+1/6=1$.

Então $F(x)=\left\(\begin(matriz)
0,\ em\ x\le 1,\\
1/6, em \ 1< x\le 2,\\
1/3,\ at\ 2< x\le 3,\\
1/2, em \ 3< x\le 4,\\
2/3,\ at\ 4< x\le 5,\\
5/6, \ em \ 4< x\le 5,\\
1,\ para \ x > 6.
\fim(matriz)\direita.$

Definição 1

Uma variável aleatória $X$ é chamada discreta (descontínua) se o conjunto de seus valores for infinito ou finito, mas contável.

Em outras palavras, uma quantidade é chamada discreta se seus valores puderem ser enumerados.

Você pode descrever uma variável aleatória usando a lei de distribuição.

A lei de distribuição de uma variável aleatória discreta $X$ pode ser dada na forma de uma tabela, na primeira linha da qual todos os valores possíveis da variável aleatória são indicados em ordem crescente e na segunda linha as probabilidades correspondentes desses valores:

Imagem 1.

onde $p1+ p2+ ... + pn = 1$.

esta mesa é perto da distribuição de uma variável aleatória discreta.

Se o conjunto de valores possíveis de uma variável aleatória for infinito, então a série $p1+ p2+ ... + pn+ ...$ converge e sua soma é igual a $1$.

A lei de distribuição de uma variável aleatória discreta $X$ pode ser representada graficamente, para a qual é construída uma linha quebrada no sistema de coordenadas (retangular), que conecta sequencialmente pontos com coordenadas $(xi;pi), i=1,2, ... n$. A linha que foi chamada polígono de distribuição.

Figura 2.

A lei de distribuição de uma variável aleatória discreta $X$ também pode ser representada analiticamente (usando a fórmula):

$P(X=xi)= \varphi (xi),i =1,2,3 ... n$.

Ações em probabilidades discretas

Ao resolver muitos problemas da teoria da probabilidade, é necessário realizar as operações de multiplicar uma variável aleatória discreta por uma constante, adicionar duas variáveis ​​aleatórias, multiplicá-las e levá-las a uma potência. Nesses casos, é necessário seguir as seguintes regras para variáveis ​​discretas aleatórias:

Definição 3

Por multiplicação uma variável aleatória discreta $X$ a uma constante $K$ é uma variável aleatória discreta $Y=KX,$ que se deve às igualdades: $y_i=Kx_i,\ \ p\left(y_i\right)=p\left (x_i\direita)= p_i,\ \ i=\overline(1,\ n).$

Definição 4

Duas variáveis ​​aleatórias $x$ e $y$ são chamadas independente, se a lei de distribuição de um deles não depender de quais valores possíveis o segundo valor adquiriu.

Definição 5

soma duas variáveis ​​aleatórias discretas independentes $X$ e $Y$ são chamadas de variável aleatória $Z=X+Y, $ é devido às igualdades: $z_(ij)=x_i+y_j$, $P\left(z_(ij )\direita)= P\esquerda(x_i\direita)P\esquerda(y_j\direita)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$ , $P\esquerda (x_i\direita)=p_i$, $P\esquerda(y_j\direita)=p"_j$.

Definição 6

Por multiplicação duas variáveis ​​aleatórias discretas independentes $X$ e $Y$ são chamadas de variável aleatória $Z=XY, $ é devido às igualdades: $z_(ij)=x_iy_j$, $P\left(z_(ij)\right) =P\esquerda( x_i\direita)P\esquerda(y_j\direita)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$, $P\ esquerda(x_i\direita)=p_i$, $P\esquerda(y_j\direita)=p"_j$.

Levemos em conta que alguns produtos $x_(i\ \ \ \ \ )y_j$ podem ser iguais entre si. Nesse caso, a probabilidade de somar o produto é igual à soma das probabilidades correspondentes.

Por exemplo, se $x_2\ \ y_3=x_5\ \ y_7,\ $então a probabilidade de $x_2y_3$ (ou o mesmo $x_5y_7$) será igual a $p_2\cdot p"_3+p_5\cdot p"_7 .$

O acima também se aplica ao montante. Se $x_1+\ y_2=x_4+\ \ y_6,$ então a probabilidade de $x_1+\ y_2$ (ou o mesmo $x_4+\ y_6$) será $p_1\cdot p"_2+p_4\cdot p"_6.$

Sejam as variáveis ​​aleatórias $X$ e $Y$ dadas por leis de distribuição:

Figura 3

Onde $p_1+p_2+p_3=1,\ \ \ p"_1+p"_2=1.$ Então a lei de distribuição para a soma $X+Y$ será semelhante

Figura 4

E a lei de distribuição do produto $XY$ terá a forma

Figura 5

função de distribuição

Uma descrição completa de uma variável aleatória também é fornecida pela função de distribuição.

Geometricamente, a função de distribuição é explicada como a probabilidade de que a variável aleatória $X$ assuma o valor que é representado na reta real pelo ponto situado à esquerda do ponto $x$.

x; significado F(5); a probabilidade de que a variável aleatória x tomará valores do intervalo. Construa um polígono de distribuição.

1. A função de distribuição F(x) de uma variável aleatória discreta é conhecida x:

Especifique a lei de distribuição de uma variável aleatória x em forma de mesa.

1. Dada a lei da distribuição de uma variável aleatória x:

x	–28	–20	–12	–4
p	0,22	0,44	0,17	0,1	0,07

1. A probabilidade de a loja possuir certificados de qualidade para toda a gama de produtos é de 0,7. A comissão verificou a disponibilidade de certificados em quatro lojas do distrito. Faça uma lei de distribuição, calcule a expectativa matemática e a variação do número de lojas nas quais não foram encontrados certificados de qualidade durante a verificação.

1. Para determinar o tempo médio de queima de lâmpadas elétricas em um lote de 350 caixas idênticas, uma lâmpada elétrica de cada caixa foi retirada para teste. Estime abaixo a probabilidade de que o tempo médio de queima das lâmpadas elétricas selecionadas difira do tempo médio de queima de todo o lote em um valor absoluto inferior a 7 horas, se for conhecido que o desvio padrão do tempo de queima das lâmpadas elétricas em cada caixa é inferior a 9 horas.

1. Na central telefônica, ocorre uma conexão incorreta com probabilidade de 0,002. Encontre a probabilidade de que entre 500 conexões haverá:

Encontre a função de distribuição de uma variável aleatória x. Plote as funções e . Calcular a média, variância, moda e mediana de uma variável aleatória x.

1. A máquina automática faz rolos. Acredita-se que seu diâmetro seja uma variável aleatória normalmente distribuída com valor médio de 10 mm. Qual é o desvio padrão se, com uma probabilidade de 0,99, o diâmetro estiver na faixa de 9,7 mm a 10,3 mm.

Amostra A: 6 9 7 6 4 4

Amostra B: 55 72 54 53 64 53 59 48

42 46 50 63 71 56 54 59

54 44 50 43 51 52 60 43

50 70 68 59 53 58 62 49

59 51 52 47 57 71 60 46

55 58 72 47 60 65 63 63

58 56 55 51 64 54 54 63

56 44 73 41 68 54 48 52

52 50 55 49 71 67 58 46

50 51 72 63 64 48 47 55

Opção 17.

1. Das 35 peças, 7 são fora do padrão. Encontre a probabilidade de que duas peças escolhidas ao acaso sejam padrão.

1. Jogue três dados. Encontre a probabilidade de que a soma dos pontos nas faces descartadas seja um múltiplo de 9.

1. A palavra "AVENTURA" é composta de cartas, cada uma com uma letra escrita nela. As cartas são embaralhadas e retiradas uma de cada vez sem retornar. Encontre a probabilidade de que as letras retiradas na ordem de aparecimento formem uma palavra: a) AVENTURA; b) CAPTURA.

1. Uma urna contém 6 bolas pretas e 5 bolas brancas. 5 bolas são sorteadas aleatoriamente. Encontre a probabilidade de que entre eles existam:
1. 2 bolas brancas;
2. menos de 2 bolas brancas;
3. pelo menos uma bola preta.

1. A em um teste é 0,4. Encontre as probabilidades dos seguintes eventos:
1. evento A aparecerá 3 vezes em uma série de 7 tentativas independentes;
2. evento A aparecerá pelo menos 220 e não mais que 235 vezes em uma série de 400 desafios.

1. A fábrica enviou 5.000 produtos de alta qualidade para a base. A probabilidade de dano a cada produto em trânsito é de 0,002. Encontre a probabilidade de que não mais do que 3 produtos sejam danificados no caminho.

1. A primeira urna contém 4 bolas brancas e 9 pretas, e a segunda urna contém 7 bolas brancas e 3 pretas. 3 bolas são retiradas aleatoriamente da primeira urna e 4 da segunda urna. Encontre a probabilidade de que todas as bolas retiradas sejam da mesma cor.

1. Dada a lei da distribuição de uma variável aleatória x:

Calcule sua expectativa matemática e variância.

1. Há 10 lápis na caixa. 4 lápis são sorteados ao acaso. valor aleatório xé o número de lápis azuis entre os selecionados. Encontre a lei de sua distribuição, os momentos inicial e central de 2ª e 3ª ordens.

1. O departamento de controle técnico verifica 475 produtos quanto a defeitos. A probabilidade de um produto ser defeituoso é 0,05. Encontre com uma probabilidade de 0,95 os limites que conterão o número de produtos defeituosos entre os testados.

1. Na central telefônica, ocorre uma conexão incorreta com probabilidade de 0,003. Encontre a probabilidade de que entre 1000 conexões haverá:
1. pelo menos 4 conexões incorretas;
2. mais de duas conexões incorretas.

1. A variável aleatória é dada pela função densidade de distribuição:

Encontre a função de distribuição de uma variável aleatória x. Plote as funções e . Calcule a expectativa matemática, variância, moda e mediana de uma variável aleatória X.

1. A variável aleatória é dada pela função de distribuição:

1. Por amostra A resolva as seguintes tarefas:
1. fazer uma série de variações;

a média amostral;

A variância da amostra

moda e mediana;

Amostra A: 0 0 2 2 1 4

1. calcule as características numéricas da série variacional:

a média amostral;

A variância da amostra

· desvio padrão;

moda e mediana;

Amostra B: 166 154 168 169 178 182 169 159

161 150 149 173 173 156 164 169

157 148 169 149 157 171 154 152

164 157 177 155 167 169 175 166

167 150 156 162 170 167 161 158

168 164 170 172 173 157 157 162

156 150 154 163 143 170 170 168

151 174 155 163 166 173 162 182

166 163 170 173 159 149 172 176

Opção 18.

1. Entre 10 bilhetes de loteria, 2 são vencedores. Encontre a probabilidade de que um dos cinco bilhetes sorteados seja o vencedor.

1. Jogue três dados. Encontre a probabilidade de que a soma dos pontos rolados seja maior que 15.

1. A palavra "PERÍMETRO" é composta de cartões, cada um com uma letra escrita. As cartas são embaralhadas e retiradas uma de cada vez sem retornar. Encontre a probabilidade de que as letras retiradas formem uma palavra: a) PERÍMETRO; b) MEDIDOR.

1. Uma urna contém 5 bolas pretas e 7 bolas brancas. 5 bolas são sorteadas aleatoriamente. Encontre a probabilidade de que entre eles existam:
1. 4 bolas brancas;
2. menos de 2 bolas brancas;
3. pelo menos uma bola preta.

1. Probabilidade de um evento A em um teste é 0,55. Encontre as probabilidades dos seguintes eventos:
1. evento A aparecerá 3 vezes em uma série de 5 desafios;
2. evento A aparecerá pelo menos 130 e não mais que 200 vezes em uma série de 300 desafios.

1. A probabilidade de vazamento em uma lata de comida enlatada é de 0,0005. Encontre a probabilidade de que dois dos 2.000 frascos estejam vazando.

1. A primeira urna contém 4 bolas brancas e 8 pretas, e a segunda urna contém 7 bolas brancas e 4 pretas. 2 bolas são retiradas aleatoriamente da primeira urna e 3 bolas são retiradas aleatoriamente da segunda urna. Encontre a probabilidade de que todas as bolas retiradas sejam da mesma cor.

1. Entre as peças que chegam para montagem, da primeira máquina 0,1% são defeituosas, da segunda - 0,2%, da terceira - 0,25%, da quarta - 0,5%. A produtividade das máquinas está relacionada de acordo com 4:3:2:1. Uma parte tomada aleatoriamente acabou sendo padrão. Encontre a probabilidade de que o item tenha sido feito na primeira máquina.

1. Dada a lei da distribuição de uma variável aleatória x:

Calcule sua expectativa matemática e variância.

1. Um eletricista tem três lâmpadas, cada uma com defeito com probabilidade de 0,1 .. As lâmpadas são aparafusadas no soquete e a corrente é ligada. Quando a corrente é ligada, a lâmpada defeituosa queima imediatamente e é substituída por outra. Encontre a lei de distribuição, expectativa matemática e variância do número de lâmpadas testadas.

1. A probabilidade de acertar o alvo é de 0,3 para cada um dos 900 tiros independentes. Usando a desigualdade de Chebyshev, estime a probabilidade de que o alvo seja atingido pelo menos 240 vezes e no máximo 300 vezes.

1. Na central telefônica, ocorre uma conexão incorreta com probabilidade de 0,002. Encontre a probabilidade de que entre 800 conexões haverá:
1. pelo menos três conexões incorretas;
2. mais de quatro conexões incorretas.

1. A variável aleatória é dada pela função densidade de distribuição:

Encontre a função de distribuição da variável aleatória X. Construa gráficos das funções e . Calcular a média, variância, moda e mediana de uma variável aleatória X.

1. A variável aleatória é dada pela função de distribuição:

1. Por amostra A resolva as seguintes tarefas:
1. fazer uma série de variações;
2. calcular frequências relativas e acumuladas;
3. compor uma função de distribuição empírica e construir seu gráfico;
4. calcule as características numéricas da série variacional:

a média amostral;

A variância da amostra

· desvio padrão;

moda e mediana;

Amostra A: 4 7 6 3 3 4

1. Para a amostra B, resolva os seguintes problemas:
1. fazer uma série de variação agrupada;
2. construir um histograma e um polígono de frequências;
3. calcule as características numéricas da série variacional:

a média amostral;

A variância da amostra

· desvio padrão;

moda e mediana;

Amostra B: 152 161 141 155 171 160 150 157

154 164 138 172 155 152 177 160

168 157 115 128 154 149 150 141

172 154 144 177 151 128 150 147

143 164 156 145 156 170 171 142

148 153 152 170 142 153 162 128

150 146 155 154 163 142 171 138

128 158 140 160 144 150 162 151

163 157 177 127 141 160 160 142

159 147 142 122 155 144 170 177

Opção 19.

1. 16 mulheres e 5 homens trabalham no local. 3 pessoas foram selecionadas aleatoriamente de acordo com os números de pessoal. Encontre a probabilidade de que todas as pessoas selecionadas sejam homens.

2. Quatro moedas são lançadas. Encontre a probabilidade de que apenas duas moedas tenham um brasão.

3. A palavra "PSICOLOGIA" é composta de cartões, cada um com uma letra escrita. As cartas são embaralhadas e retiradas uma de cada vez sem retornar. Encontre a probabilidade de que as letras retiradas formem uma palavra: a) PSICOLOGIA; b) PESSOAL.

4. Uma urna contém 6 bolas pretas e 7 brancas. 5 bolas são sorteadas aleatoriamente. Encontre a probabilidade de que entre eles existam:

a. 3 bolas brancas;

b. menos de 3 bolas brancas;

c. pelo menos uma bola branca.

5. Probabilidade do evento A em um teste é 0,5. Encontre as probabilidades dos seguintes eventos:

a. evento A aparecerá 3 vezes em uma série de 5 tentativas independentes;

b. evento A aparecerá pelo menos 30 e não mais que 40 vezes em uma série de 50 desafios.

6. São 100 máquinas da mesma potência, operando independentemente umas das outras no mesmo modo, em que seu acionamento é ligado por 0,8 horas de trabalho. Qual é a probabilidade de que, a qualquer momento, entre 70 e 86 máquinas estejam ligadas?

7. A primeira urna contém 4 bolas brancas e 7 pretas, e a segunda urna contém 8 bolas brancas e 3 pretas. 4 bolas são retiradas aleatoriamente da primeira urna e 1 bola da segunda urna. Encontre a probabilidade de haver apenas 4 bolas pretas entre as bolas sorteadas.

8. Todos os dias, três marcas de carros são entregues à concessionária em volumes: Moskvich - 40%; "Ok" - 20%; "Volga" - 40% de todos os carros importados. Entre os carros da marca Moskvich, 0,5% possuem dispositivo antifurto, Oka - 0,01%, Volga - 0,1%. Encontre a probabilidade de que o carro levado para teste tenha um dispositivo antifurto.

9. Os números e são escolhidos aleatoriamente no segmento. Encontre a probabilidade de que esses números satisfaçam as desigualdades.

10. A lei de distribuição de uma variável aleatória é dada x:

x
p	0,1	0,2	0,3	0,4

Encontre a função de distribuição de uma variável aleatória x; significado F(2); a probabilidade de que a variável aleatória x tomará valores do intervalo. Construa um polígono de distribuição.

Nesta página, reunimos exemplos de resolução de problemas educacionais problemas em variáveis ​​aleatórias discretas. Esta é uma seção bastante extensa: diferentes leis de distribuição (binomial, geométrica, hipergeométrica, Poisson e outras), propriedades e características numéricas são estudadas, representações gráficas podem ser construídas para cada série de distribuição: um polígono (polígono) de probabilidades, uma função de distribuição .

Abaixo você encontrará exemplos de decisões sobre variáveis ​​aleatórias discretas, nas quais é necessário aplicar o conhecimento das seções anteriores da teoria da probabilidade para elaborar uma lei de distribuição e, em seguida, calcular a expectativa matemática, variância, desvio padrão, construir uma função de distribuição , responder a perguntas sobre o DSV, etc. P.

Exemplos de leis populares de distribuição de probabilidade:

Calculadoras para as características do DSV

• Cálculo da expectativa matemática, variância e desvio padrão do DSV.

Problemas resolvidos sobre DSV

Distribuições próximas da geométrica

Tarefa 1. Existem 4 semáforos no caminho do carro, cada um dos quais proíbe o movimento do carro com uma probabilidade de 0,5. Encontre o número de distribuição do número de semáforos passados ​​pelo carro antes da primeira parada. Qual é a expectativa matemática e a variância dessa variável aleatória?

Tarefa 2. O caçador atira na caça antes do primeiro acerto, mas não consegue fazer mais do que quatro tiros. Escreva a lei de distribuição para o número de erros se a probabilidade de acertar o alvo com um tiro for 0,7. Encontre a variância dessa variável aleatória.

Tarefa 3. O atirador, com 3 cartuchos, atira no alvo até o primeiro acerto. As probabilidades de acertar o primeiro, segundo e terceiro tiros são 0,6, 0,5, 0,4, respectivamente. SV $\xi$ - número de cartuchos restantes. Compile uma série de distribuição de uma variável aleatória, encontre a expectativa matemática, variância, desvio padrão do r.v., construa a função de distribuição do r.v., encontre $P(|\xi-m| \le \sigma$.

Tarefa 4. A caixa contém 7 peças padrão e 3 peças defeituosas. As peças são retiradas sequencialmente até que apareça a padrão, sem devolvê-las. $\xi$ - número de peças defeituosas recuperadas.
Elabore uma lei de distribuição para uma variável aleatória discreta $\xi$, calcule sua expectativa matemática, variância, desvio padrão, desenhe um polígono de distribuição e um gráfico da função de distribuição.

Tarefas com Eventos Independentes

Tarefa 5. 3 alunos compareceram ao reexame de teoria das probabilidades. A probabilidade de o primeiro passar no exame é de 0,8, o segundo - 0,7, o terceiro - 0,9. Encontre a série de distribuição da variável aleatória $\xi$ do número de alunos que passaram no exame, construa um gráfico da função de distribuição, encontre $M(\xi), D(\xi)$.

Tarefa 6. A probabilidade de acertar o alvo com um tiro é de 0,8 e diminui a cada tiro em 0,1. Desenhe a lei de distribuição para o número de acertos no alvo se três tiros forem disparados. Encontre a expectativa matemática, variância e S.K.O. esta variável aleatória. Plote a função de distribuição.

Tarefa 7. 4 tiros são disparados no alvo. Nesse caso, a probabilidade de acertar aumenta da seguinte forma: 0,2, 0,4, 0,6, 0,7. Encontre a lei de distribuição da variável aleatória $X$ - o número de acertos. Encontre a probabilidade de que $X \ge 1$.

Tarefa 8. Duas moedas simétricas são lançadas, o número de brasões em ambos os lados superiores das moedas é contado. Consideramos uma variável aleatória discreta $X$ - o número de brasões em ambas as moedas. Escreva a lei de distribuição da variável aleatória $X$, encontre sua expectativa matemática.

Outras tarefas e leis de distribuição de DSV

Tarefa 9. Dois jogadores de basquete fazem três arremessos para a cesta. A probabilidade de acertar para o primeiro jogador de basquete é de 0,6, para o segundo - 0,7. Seja $X$ a diferença entre o número de arremessos bem-sucedidos do primeiro e do segundo jogadores de basquete. Encontre a série de distribuição, o modo e a função de distribuição da variável aleatória $X$. Construa um polígono de distribuição e plote a função de distribuição. Calcule a expectativa matemática, variância e desvio padrão. Encontre a probabilidade do evento $(-2 \lt X \le 1)$.

Tarefa 10. O número de navios não residentes que chegam diariamente para carregamento em um determinado porto é um valor aleatório $X$, dado a seguir:
0 1 2 3 4 5
0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1
A) certifique-se de que a série de distribuição está definida,
B) encontre a função de distribuição da variável aleatória $X$,
C) se mais de três navios chegarem em um determinado dia, o porto se responsabiliza pelos custos decorrentes da necessidade de contratação de motoristas e carregadores adicionais. Qual é a probabilidade de o porto incorrer em custos adicionais?
D) encontre a expectativa matemática, variância e desvio padrão da variável aleatória $X$.

Tarefa 11. Jogue 4 dados. Encontre a expectativa matemática da soma do número de pontos que cairão em todas as faces.

Tarefa 12. Dois jogadores se revezam lançando uma moeda até a primeira aparição do brasão. O jogador cujo brasão caiu recebe 1 rublo de outro jogador. Encontre a expectativa matemática do pagamento de cada jogador.

Como é sabido, variável aleatória é chamada de variável que pode assumir determinados valores dependendo do caso. Variáveis ​​​​aleatórias são indicadas por letras maiúsculas do alfabeto latino (X, Y, Z) e seus valores - pelas letras minúsculas correspondentes (x, y, z). As variáveis ​​aleatórias são divididas em descontínuas (discretas) e contínuas.

Variável aleatória discreta é chamada de variável aleatória que leva apenas um conjunto finito ou infinito (contável) de valores com certas probabilidades diferentes de zero.

A lei de distribuição de uma variável aleatória discreta é uma função que conecta os valores de uma variável aleatória com suas probabilidades correspondentes. A lei de distribuição pode ser especificada de uma das seguintes maneiras.

1 . A lei de distribuição pode ser dada pela tabela:

onde λ>0, k = 0, 1, 2, … .

V) usando função de distribuição F(x) , que determina para cada valor x a probabilidade de que a variável aleatória X assuma um valor menor que x, ou seja, F(x) = P(X< x).

Propriedades da função F(x)

3 . A lei de distribuição pode ser definida graficamente – polígono de distribuição (polígono) (ver problema 3).

Observe que, para resolver alguns problemas, não é necessário conhecer a lei de distribuição. Em alguns casos, basta conhecer um ou mais números que refletem as características mais importantes da lei de distribuição. Pode ser um número que tem o significado de "valor médio" de uma variável aleatória ou um número que mostra o tamanho médio do desvio de uma variável aleatória de seu valor médio. Números desse tipo são chamados de características numéricas de uma variável aleatória.

Características numéricas básicas de uma variável aleatória discreta :

• Expectativa matemática (valor médio) de uma variável aleatória discreta M(X)=Σ x i p i.
  Para distribuição binomial M(X)=np, para distribuição de Poisson M(X)=λ
• Dispersão variável aleatória discreta D(X)=M2 ou D(X) = M(X 2) − 2. A diferença X–M(X) é chamada de desvio de uma variável aleatória de sua expectativa matemática.
  Para distribuição binomial D(X)=npq, para distribuição de Poisson D(X)=λ
• Desvio padrão (desvio padrão) σ(X)=√D(X).

Exemplos de resolução de problemas sobre o tema "A lei da distribuição de uma variável aleatória discreta"

Tarefa 1.

1.000 bilhetes de loteria foram emitidos: 5 deles ganharão 500 rublos, 10 ganharão 100 rublos, 20 ganharão 50 rublos e 50 ganharão 10 rublos. Determine a lei da distribuição de probabilidade da variável aleatória X - ganhos por bilhete.

Solução. De acordo com a condição do problema, são possíveis os seguintes valores da variável aleatória X: 0, 10, 50, 100 e 500.

O número de bilhetes sem ganhar é 1000 - (5+10+20+50) = 915, então P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Da mesma forma, encontramos todas as outras probabilidades: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Apresentamos a lei resultante na forma de uma tabela:

Encontre a expectativa matemática de X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Tarefa 3.

O dispositivo consiste em três elementos de operação independente. A probabilidade de falha de cada elemento em um experimento é 0,1. Desenhe uma lei de distribuição para o número de elementos com falha em um experimento, construa um polígono de distribuição. Encontre a função de distribuição F(x) e desenhe-a. Encontre a expectativa matemática, variância e desvio padrão de uma variável aleatória discreta.

Solução. 1. A variável aleatória discreta X=(número de elementos com falha em um experimento) tem os seguintes valores possíveis: x 1 =0 (nenhum dos elementos do dispositivo falhou), x 2 =1 (um elemento falhou), x 3 =2 ( dois elementos falharam ) e x 4 \u003d 3 (três elementos falharam).

As falhas dos elementos são independentes entre si, as probabilidades de falha de cada elemento são iguais entre si, portanto, é aplicável fórmula de Bernoulli . Dado que, por condição, n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, determinamos as probabilidades dos valores:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0,9 3 \u003d 0,729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0,1 * 0,9 2 \u003d 0,243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0,1 2 * 0,9 \u003d 0,027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0,1 3 \u003d 0,001;
Verifique: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Assim, a lei de distribuição binomial desejada X tem a forma:

No eixo das abcissas, traçamos os valores possíveis x i, e no eixo das ordenadas, as probabilidades correspondentes р i . Vamos construir os pontos M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Conectando esses pontos com segmentos de reta, obtemos o polígono de distribuição desejado.

3. Encontre a função de distribuição F(x) = P(X

Para x ≤ 0 temos F(x) = P(X<0) = 0;
para 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
por 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
para 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
para x > 3 será F(x) = 1, porque o evento é certo.

Gráfico da função F(x)

4. Para a distribuição binomial X:
- expectativa matemática M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- dispersão D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- desvio padrão σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.