Primeiro nível

Conversão de expressão. Teoria Detalhada (2019)

conversão de expressão

Muitas vezes ouvimos esta frase desagradável: "simplifique a expressão". Normalmente, neste caso, temos algum tipo de monstro como este:

“Sim, muito mais fácil”, dizemos, mas essa resposta geralmente não funciona.

Agora vou ensiná-lo a não ter medo de tais tarefas. Além disso, no final da lição, você mesmo simplificará este exemplo para um (apenas!) Número comum (sim, para o inferno com essas letras).

Mas antes de começar esta lição, você precisa ser capaz de lidar com frações e fatorar polinômios. Portanto, primeiro, se você ainda não fez isso, certifique-se de dominar os tópicos "" e "".

Ler? Se sim, então você está pronto.

Operações básicas de simplificação

Agora vamos analisar as principais técnicas que são usadas para simplificar expressões.

O mais simples deles é

1. Trazer semelhante

O que são semelhantes? Você passou por isso na 7ª série, quando as letras apareceram pela primeira vez em matemática em vez de números. Semelhantes são termos (monômios) com a mesma parte de letra. Por exemplo, na soma, os termos iguais são e.

Lembrei?

Trazer termos semelhantes significa adicionar vários termos semelhantes entre si e obter um termo.

Mas como podemos juntar as letras? - você pergunta.

Isso é muito fácil de entender se você imaginar que as letras são algum tipo de objeto. Por exemplo, a carta é uma cadeira. Então qual é a expressão? Duas cadeiras mais três cadeiras, quanto será? Isso mesmo, cadeiras: .

Agora tente esta expressão:

Para não se confundir, deixe letras diferentes denotarem objetos diferentes. Por exemplo, - esta é (como sempre) uma cadeira e - esta é uma mesa. Então:

cadeiras mesas cadeiras mesas cadeiras cadeiras mesas

Os números pelos quais as letras em tais termos são multiplicadas são chamados coeficientes. Por exemplo, no monômio o coeficiente é igual. E ele é igual.

Assim, a regra para trazer semelhante:

Exemplos:

Trazer semelhante:

Respostas:

2. (e são semelhantes, pois, portanto, esses termos têm a mesma parte da letra).

2. Fatoração

Esta é geralmente a parte mais importante na simplificação de expressões. Depois de fornecer outras semelhantes, na maioria das vezes a expressão resultante deve ser fatorada, ou seja, apresentada como um produto. Isso é especialmente importante em frações: afinal, para reduzir uma fração, o numerador e o denominador devem ser representados como um produto.

Você passou pelos métodos detalhados de fatoração de expressões no tópico "", então aqui você só precisa se lembrar do que aprendeu. Para isso, resolva alguns exemplos(a ser fatorado):

Soluções:

3. Redução da fração.

Bem, o que poderia ser melhor do que riscar parte do numerador e do denominador e jogá-los fora de sua vida?

Essa é a beleza da abreviatura.

É simples:

Se o numerador e o denominador contiverem os mesmos fatores, eles podem ser reduzidos, ou seja, removidos da fração.

Esta regra decorre da propriedade básica de uma fração:

Ou seja, a essência da operação de redução é que Dividimos o numerador e o denominador de uma fração pelo mesmo número (ou pela mesma expressão).

Para reduzir uma fração, você precisa:

1) numerador e denominador fatorar

2) se o numerador e o denominador contiverem Fatores comuns, eles podem ser excluídos.

O princípio, eu acho, é claro?

Gostaria de chamar sua atenção para um erro típico de abreviação. Embora este tópico seja simples, mas muitas pessoas fazem tudo errado, sem perceber que cortar- Isso significa dividir numerador e denominador pelo mesmo número.

Sem abreviaturas se o numerador ou denominador for a soma.

Por exemplo: você precisa simplificar.

Alguns fazem isso: o que é absolutamente errado.

Outro exemplo: reduzir.

"O mais inteligente" fará isso:.

Diga-me o que há de errado aqui? Parece: - este é um multiplicador, então você pode reduzir.

Mas não: - este é um fator de apenas um termo no numerador, mas o próprio numerador como um todo não é decomposto em fatores.

Aqui está outro exemplo: .

Essa expressão é decomposta em fatores, o que significa que você pode reduzir, ou seja, dividir o numerador e o denominador por e depois por:

Você pode dividir imediatamente por:

Para evitar tais erros, lembre-se de uma maneira fácil de determinar se uma expressão é fatorada:

A operação aritmética que é realizada por último ao calcular o valor da expressão é a "principal". Ou seja, se você substituir alguns (quaisquer) números em vez de letras e tentar calcular o valor da expressão, se a última ação for a multiplicação, teremos um produto (a expressão é decomposta em fatores). Se a última ação for adição ou subtração, isso significa que a expressão não é fatorada (e, portanto, não pode ser reduzida).

Para corrigi-lo, resolva você mesmo alguns exemplos:

Respostas:

1. Espero que você não tenha corrido imediatamente para cortar e? Ainda não bastava “reduzir” unidades assim:

O primeiro passo deve ser fatorar:

4. Adição e subtração de frações. Trazendo frações a um denominador comum.

Adicionar e subtrair frações comuns é uma operação bem conhecida: procuramos um denominador comum, multiplicamos cada fração pelo fator que falta e adicionamos / subtraímos os numeradores. Vamos lembrar:

Respostas:

1. Os denominadores e são coprimos, ou seja, não possuem fatores comuns. Portanto, o LCM desses números é igual ao seu produto. Este será o denominador comum:

2. Aqui o denominador comum é:

3. Aqui, em primeiro lugar, transformamos as frações mistas em impróprias e, a seguir - de acordo com o esquema usual:

É outra questão se as frações contêm letras, por exemplo:

Vamos começar simples:

a) Os denominadores não contêm letras

Aqui tudo é igual às frações numéricas comuns: encontramos um denominador comum, multiplicamos cada fração pelo fator que falta e adicionamos / subtraímos os numeradores:

agora no numerador você pode trazer os semelhantes, se houver, e fatorá-los:

Tente você mesmo:

b) Os denominadores contêm letras

Vamos lembrar o princípio de encontrar um denominador comum sem letras:

Em primeiro lugar, determinamos os fatores comuns;

Em seguida, escrevemos todos os fatores comuns uma vez;

e multiplicá-los por todos os outros fatores, não os comuns.

Para determinar os fatores comuns dos denominadores, primeiro os decompomos em fatores simples:

Enfatizamos os fatores comuns:

Agora escrevemos os fatores comuns uma vez e adicionamos a eles todos os fatores não comuns (não sublinhados):

Este é o denominador comum.

Voltemos às cartas. Os denominadores são dados exatamente da mesma maneira:

Decompomos os denominadores em fatores;

determinar multiplicadores comuns (idênticos);

escreva todos os fatores comuns uma vez;

Nós os multiplicamos por todos os outros fatores, não pelos comuns.

Então, em ordem:

1) decomponha os denominadores em fatores:

2) determine os fatores comuns (idênticos):

3) escreva todos os fatores comuns uma vez e multiplique-os por todos os outros fatores (não sublinhados):

Portanto, o denominador comum está aqui. A primeira fração deve ser multiplicada por, a segunda - por:

A propósito, há um truque:

Por exemplo: .

Vemos os mesmos fatores nos denominadores, só que todos com indicadores diferentes. O denominador comum será:

na medida

na medida

na medida

em grau.

Vamos complicar a tarefa:

Como fazer as frações terem o mesmo denominador?

Vamos lembrar a propriedade básica de uma fração:

Em nenhum lugar é dito que o mesmo número pode ser subtraído (ou adicionado) do numerador e do denominador de uma fração. Porque não é verdade!

Veja você mesmo: pegue qualquer fração, por exemplo, e adicione algum número ao numerador e ao denominador, por exemplo, . O que foi aprendido?

Então, outra regra inabalável:

Quando você traz frações para um denominador comum, use apenas a operação de multiplicação!

Mas o que você precisa multiplicar para obter?

Aqui e multiplicar. E multiplique por:

Expressões que não podem ser fatoradas serão chamadas de "fatores elementares". Por exemplo, é um fator elementar. - também. Mas - não: é decomposto em fatores.

E a expressão? É elementar?

Não, porque pode ser fatorado:

(você já leu sobre fatoração no tópico "").

Portanto, os fatores elementares nos quais você decompõe uma expressão com letras são análogos aos fatores simples nos quais você decompõe números. E faremos o mesmo com eles.

Vemos que ambos os denominadores têm um fator. Irá para o denominador comum no poder (lembra por quê?).

O multiplicador é elementar, e eles não o têm em comum, o que significa que a primeira fração simplesmente terá que ser multiplicada por ele:

Outro exemplo:

Decisão:

Antes de multiplicar esses denominadores em pânico, você precisa pensar em como fatorá-los? Ambos representam:

Multar! Então:

Outro exemplo:

Decisão:

Como sempre, fatoramos os denominadores. No primeiro denominador, simplesmente o colocamos fora dos colchetes; no segundo - a diferença de quadrados:

Parece que não há fatores comuns. Mas se você olhar bem, eles já são tão parecidos... E a verdade é:

Então vamos escrever:

Ou seja, ficou assim: dentro do colchete, trocamos os termos e, ao mesmo tempo, o sinal na frente da fração mudou para o oposto. Tome nota, você terá que fazer isso com frequência.

Agora trazemos para um denominador comum:

Entendi? Agora vamos verificar.

Tarefas para solução independente:

Respostas:

Aqui devemos lembrar mais uma coisa - a diferença de cubos:

Observe que o denominador da segunda fração não contém a fórmula "quadrado da soma"! O quadrado da soma ficaria assim:

A é o chamado quadrado incompleto da soma: o segundo termo é o produto do primeiro e do último, e não seu produto dobrado. O quadrado incompleto da soma é um dos fatores na expansão da diferença de cubos:

E se já houver três frações?

Sim, o mesmo! Em primeiro lugar, garantiremos que o número máximo de fatores nos denominadores seja o mesmo:

Preste atenção: se você mudar os sinais dentro de um colchete, o sinal na frente da fração muda para o oposto. Quando mudamos os sinais no segundo colchete, o sinal na frente da fração é invertido novamente. Como resultado, ele (o sinal na frente da fração) não mudou.

Escrevemos o primeiro denominador por completo no denominador comum e depois adicionamos a ele todos os fatores que ainda não foram escritos, do segundo e depois do terceiro (e assim por diante, se houver mais frações). Ou seja, fica assim:

Hmm ... Com frações, está claro o que fazer. Mas e os dois?

É simples: você sabe somar frações, certo? Portanto, você precisa garantir que o duque se torne uma fração! Lembre-se: uma fração é uma operação de divisão (o numerador é dividido pelo denominador, caso você tenha esquecido de repente). E não há nada mais fácil do que dividir um número por. Nesse caso, o número em si não mudará, mas se transformará em uma fração:

Exatamente o que é necessário!

5. Multiplicação e divisão de frações.

Bem, a parte mais difícil já passou. E à nossa frente está o mais simples, mas ao mesmo tempo o mais importante:

Procedimento

Qual é o procedimento para calcular uma expressão numérica? Lembre-se, considerando o valor de tal expressão:

você contou?

Deve funcionar.

Então, eu te lembro.

O primeiro passo é calcular o grau.

A segunda é a multiplicação e divisão. Se houver várias multiplicações e divisões ao mesmo tempo, você pode fazê-las em qualquer ordem.

E, finalmente, realizamos adição e subtração. Novamente, em qualquer ordem.

Mas: a expressão entre parênteses é avaliada fora de ordem!

Se vários parênteses forem multiplicados ou divididos entre si, primeiro avaliamos a expressão em cada um dos colchetes e depois os multiplicamos ou dividimos.

E se houver outros parênteses dentro dos colchetes? Bem, vamos pensar: alguma expressão está escrita entre colchetes. Qual é a primeira coisa a fazer ao avaliar uma expressão? Isso mesmo, calcule parênteses. Bem, descobrimos: primeiro calculamos os colchetes internos, depois todo o resto.

Assim, a ordem das ações para a expressão acima é a seguinte (a ação atual está destacada em vermelho, ou seja, a ação que estou realizando agora):

Ok, é tudo simples.

Mas isso não é o mesmo que uma expressão com letras, é?

Não, é o mesmo! Somente em vez de operações aritméticas é necessário fazer operações algébricas, ou seja, as operações descritas na seção anterior: trazendo semelhante, adição de frações, redução de frações e assim por diante. A única diferença será a ação de fatorar polinômios (geralmente usamos quando trabalhamos com frações). Na maioria das vezes, para fatoração, você precisa usar i ou simplesmente retirar o fator comum dos colchetes.

Normalmente, nosso objetivo é representar uma expressão como um produto ou quociente.

Por exemplo:

Vamos simplificar a expressão.

1) Primeiro simplificamos a expressão entre parênteses. Aí temos a diferença de frações, e nosso objetivo é representá-la como um produto ou quociente. Assim, trazemos as frações a um denominador comum e somamos:

É impossível simplificar ainda mais essa expressão, todos os fatores aqui são elementares (você ainda se lembra do que isso significa?).

2) Obtemos:

Multiplicação de frações: o que poderia ser mais fácil.

3) Agora você pode encurtar:

É isso. Nada complicado, certo?

Outro exemplo:

Simplifique a expressão.

Primeiro, tente resolver você mesmo e só então veja a solução.

Em primeiro lugar, vamos definir o procedimento. Primeiro, vamos adicionar as frações entre colchetes, em vez de duas frações, uma acabará. Então faremos a divisão de frações. Bem, somamos o resultado com a última fração. Vou numerar esquematicamente as etapas:

Agora vou mostrar todo o processo, tingindo a ação atual de vermelho:

Por fim, darei duas dicas úteis:

1. Se houver semelhantes, devem ser trazidos imediatamente. Em qualquer momento que tenhamos semelhantes, é aconselhável trazê-los imediatamente.

2. O mesmo vale para frações redutoras: assim que surgir uma oportunidade de reduzir, ela deve ser aproveitada. A exceção são as frações que você adiciona ou subtrai: se elas agora têm os mesmos denominadores, a redução deve ser deixada para depois.

Aqui estão algumas tarefas para você resolver sozinho:

E prometeu logo no início:

Soluções (breve):

Se você lidou com pelo menos os três primeiros exemplos, considere, domine o tópico.

Agora vamos aprender!

CONVERSÃO DE EXPRESSÕES. RESUMO E FÓRMULA BÁSICA

Operações básicas de simplificação:

• trazendo semelhante: para adicionar (reduzir) termos semelhantes, você precisa adicionar seus coeficientes e atribuir a parte da letra.
• Fatoração: tirando o fator comum dos parênteses, aplicando, etc.
• redução de fração: o numerador e o denominador de uma fração podem ser multiplicados ou divididos pelo mesmo número diferente de zero, a partir do qual o valor da fração não muda.
  1) numerador e denominador fatorar
  2) se houver fatores comuns no numerador e no denominador, eles podem ser riscados.

  IMPORTANTE: apenas multiplicadores podem ser reduzidos!

• Adição e subtração de frações:
  ;
• Multiplicação e divisão de frações:
  ;

EU. Expressões nas quais números, sinais de operações aritméticas e colchetes podem ser usados ​​junto com letras são chamadas de expressões algébricas.

Exemplos de expressões algébricas:

2m-n; 3 · (2a+b); 0,24x; 0.3a-b · (4a + 2b); a 2 - 2ab;

Como uma letra em uma expressão algébrica pode ser substituída por alguns números diferentes, a letra é chamada de variável e a própria expressão algébrica é chamada de expressão com variável.

II. Se em uma expressão algébrica as letras (variáveis) forem substituídas por seus valores e as ações especificadas forem executadas, o número resultante será chamado de valor da expressão algébrica.

Exemplos. Encontre o valor de uma expressão:

1) a + 2b -c para a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| em x = -8; y=-5; z = 6.

Decisão.

1) a + 2b -c para a = -2; b = 10; c = -3,5. Em vez de variáveis, substituímos seus valores. Nós temos:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| em x = -8; y=-5; z = 6. Substituímos os valores especificados. Lembre-se de que o módulo de um número negativo é igual ao seu número oposto e o módulo de um número positivo é igual ao próprio número. Nós temos:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Os valores de uma letra (variável) para os quais a expressão algébrica faz sentido são chamados de valores válidos da letra (variável).

Exemplos. Em quais valores da variável a expressão não faz sentido?

Decisão. Sabemos que é impossível dividir por zero, portanto, cada uma dessas expressões não fará sentido com o valor da letra (variável) que zera o denominador da fração!

No exemplo 1), este é o valor a = 0. De fato, se em vez de a substituirmos 0, o número 6 precisará ser dividido por 0, mas isso não pode ser feito. Resposta: a expressão 1) não faz sentido quando a = 0.

No exemplo 2) o denominador x - 4 = 0 em x = 4, portanto, este valor x = 4 e não pode ser tomado. Resposta: a expressão 2) não faz sentido para x = 4.

No exemplo 3) o denominador é x + 2 = 0 para x = -2. Resposta: a expressão 3) não faz sentido em x = -2.

No exemplo 4) o denominador é 5 -|x| = 0 para |x| = 5. E como |5| = 5 e |-5| \u003d 5, então você não pode pegar x \u003d 5 e x \u003d -5. Resposta: a expressão 4) não faz sentido para x = -5 e para x = 5.
4. Duas expressões são ditas identicamente iguais se, para quaisquer valores admissíveis das variáveis, os valores correspondentes dessas expressões forem iguais.

Exemplo: 5 (a - b) e 5a - 5b são idênticos, pois a igualdade 5 (a - b) = 5a - 5b será verdadeira para quaisquer valores de a e b. A igualdade 5 (a - b) = 5a - 5b é uma identidade.

Identidade é uma igualdade válida para todos os valores admissíveis das variáveis ​​nela incluídas. Exemplos de identidades já conhecidas por você são, por exemplo, as propriedades de adição e multiplicação, a propriedade de distribuição.

A substituição de uma expressão por outra, identicamente igual a ela, é chamada de transformação idêntica ou simplesmente transformação de uma expressão. Transformações idênticas de expressões com variáveis ​​são realizadas com base nas propriedades de operações em números.

Exemplos.

a) converta a expressão para identicamente igual usando a propriedade distributiva da multiplicação:

1) 10 (1,2x + 2,3a); 2) 1,5 (a-2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

Decisão. Lembre-se da propriedade distributiva (lei) da multiplicação:

(a+b) c=a c+b c(lei distributiva da multiplicação em relação à adição: para multiplicar a soma de dois números por um terceiro número, você pode multiplicar cada termo por esse número e somar os resultados).
(a-b) c=a c-b c(lei distributiva da multiplicação em relação à subtração: para multiplicar a diferença de dois números por um terceiro número, você pode multiplicar por esse número reduzido e subtraído separadamente e subtrair o segundo do primeiro resultado).

1) 10 (1,2x + 2,3y) \u003d 10 1,2x + 10 2,3y \u003d 12x + 23y.

2) 1,5 (a -2b + 4c) = 1,5a -3b + 6c.

3) a (6m -2n + k) = 6h -2an +ak.

b) transforme a expressão em identicamente igual usando as propriedades comutativas e associativas (leis) da adição:

4) x + 4,5 + 2x + 6,5; 5) (3a + 2,1) + 7,8; 6) 5,4s -3 -2,5 -2,3s.

Decisão. Aplicamos as leis (propriedades) da adição:

a+b=b+a(deslocamento: a soma não muda com o rearranjo dos termos).
(a+b)+c=a+(b+c)(associativo: para adicionar um terceiro número à soma de dois termos, você pode adicionar a soma do segundo e do terceiro ao primeiro número).

4) x + 4,5 + 2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.

5) (3a + 2,1) + 7,8 = 3a + (2,1 + 7,8) = 3a + 9,9.

6) 6) 5,4s -3 -2,5 -2,3s = (5,4s -2,3s) + (-3 -2,5) = 3,1s -5,5.

no) transforme a expressão em identicamente igual usando as propriedades comutativas e associativas (leis) da multiplicação:

7) 4 · x · (-2,5); 8) -3,5 · 2 anos · (-1); 9) 3a · (-3) · 2s.

Decisão. Vamos aplicar as leis (propriedades) da multiplicação:

a b = b a(deslocamento: permutação de fatores não altera o produto).
(a b) c=a (b c)(combinativo: para multiplicar o produto de dois números por um terceiro número, você pode multiplicar o primeiro número pelo produto do segundo e do terceiro).

7) 4 · x · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x.

8) -3,5 · 2 anos · (-1) = 7 anos.

9) 3a · (-3) · 2s = -18as.

Se uma expressão algébrica é dada como uma fração redutível, então, usando a regra de redução de fração, ela pode ser simplificada, ou seja, substitua identicamente igual a ele por uma expressão mais simples.

Exemplos. Simplifique usando redução de fração.

Decisão. Reduzir uma fração significa dividir seu numerador e denominador pelo mesmo número (expressão) diferente de zero. Fracção 10) será reduzida em 3b; fração 11) reduzir em uma e fração 12) reduz em 7n. Nós temos:

Expressões algébricas são usadas para formular fórmulas.

Uma fórmula é uma expressão algébrica escrita como uma igualdade que expressa a relação entre duas ou mais variáveis. Exemplo: a fórmula do caminho que você conhece s=vt(s é a distância percorrida, v é a velocidade, t é o tempo). Lembre-se de outras fórmulas que você conhece.

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Muitas vezes, em tarefas, é necessário dar uma resposta simplificada. Embora as respostas simplificadas e não simplistas estejam corretas, seu instrutor pode diminuir sua nota se você não simplificar sua resposta. Além disso, uma expressão matemática simplificada é muito mais fácil de trabalhar. Portanto, é muito importante aprender a simplificar expressões.

Degraus

Ordem correta das operações matemáticas

1. Lembre-se da ordem correta de fazer operações matemáticas. Ao simplificar uma expressão matemática, uma certa ordem deve ser seguida, pois algumas operações matemáticas têm precedência sobre outras e devem ser feitas primeiro (na verdade, não seguir a ordem correta das operações levará a um resultado errado). Lembre-se da seguinte ordem de operações matemáticas: expressão entre colchetes, exponenciação, multiplicação, divisão, adição, subtração.

   • Observe que conhecer a ordem correta das operações permitirá simplificar a maioria das expressões mais simples, mas para simplificar um polinômio (uma expressão com uma variável) você precisa conhecer truques especiais (consulte a próxima seção).

2. Comece resolvendo a expressão entre parênteses. Em matemática, os parênteses indicam que a expressão incluída deve ser avaliada primeiro. Portanto, ao simplificar qualquer expressão matemática, comece resolvendo a expressão entre colchetes (não importa quais operações você precisa realizar dentro dos colchetes). Mas lembre-se que ao trabalhar com uma expressão entre colchetes, você deve seguir a ordem das operações, ou seja, os termos entre colchetes são primeiro multiplicados, divididos, adicionados, subtraídos e assim por diante.

   • Por exemplo, vamos simplificar a expressão 2x + 4(5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2). Aqui começamos com as expressões entre parênteses: 5 + 2 = 7 e 3 + 4/2 = 3 + 2 = 5.
     • A expressão no segundo par de colchetes é simplificada para 5 porque 4/2 deve ser dividido primeiro (de acordo com a ordem correta das operações). Se você não seguir esta ordem, obterá a resposta errada: 3 + 4 = 7 e 7 ÷ 2 = 7/2.
   • Se houver outro par de parênteses dentro dos parênteses, inicie a simplificação resolvendo a expressão nos parênteses internos e, em seguida, prossiga para resolver a expressão nos parênteses externos.

3. Eleve a uma potência. Depois de resolver as expressões entre parênteses, prossiga para elevar a uma potência (lembre-se que uma potência tem um expoente e uma base). Eleve a expressão (ou número) correspondente a uma potência e substitua o resultado na expressão dada a você.

   • Em nosso exemplo, a única expressão (número) na potência é 3 2: 3 2 = 9. Na expressão dada a você, substitua 9 em vez de 3 2 e você obterá: 2x + 4(7) + 9 - 5 .

4. Multiplicar. Lembre-se que a operação de multiplicação pode ser denotada pelos seguintes símbolos: "x", "∙" ou "*". Mas se não houver símbolos entre um número e uma variável (por exemplo, 2x) ou entre um número e um número entre parênteses (por exemplo, 4(7)), então esta também é uma operação de multiplicação.

   • No nosso exemplo, existem duas operações de multiplicação: 2x (duas vezes x) e 4(7) (quatro vezes sete). Não sabemos o valor de x, então deixaremos a expressão 2x como está. 4(7) \u003d 4 x 7 \u003d 28. Agora você pode reescrever a expressão dada a você assim: 2x + 28 + 9 - 5.

5. Dividir. Lembre-se que a operação de divisão pode ser denotada pelos seguintes símbolos: "/", "÷" ou "-" (você pode ver o último símbolo em frações). Por exemplo, 3/4 é três dividido por quatro.

   • No nosso exemplo, não há mais divisão porque você já dividiu 4 por 2 (4/2) ao resolver a expressão entre parênteses. Portanto, você pode passar para a próxima etapa. Lembre-se de que a maioria das expressões não possui todas as operações matemáticas de uma só vez (apenas algumas delas).

6. Dobre. Ao adicionar termos de uma expressão, você pode começar com o termo mais externo (à esquerda) ou pode adicionar primeiro os termos que se somam facilmente. Por exemplo, na expressão 49 + 29 + 51 +71, primeiro é mais fácil somar 49 + 51 = 100, depois 29 + 71 = 100 e, finalmente, 100 + 100 = 200. É muito mais difícil somar assim : 49 + 29 = 78; 78 + 51 = 129; 129 + 71 = 200.

   • Em nosso exemplo 2x + 28 + 9 + 5, existem duas operações de adição. Vamos começar com o termo mais extremo (à esquerda): 2x + 28; você não pode somar 2x e 28 porque não sabe o valor de x. Portanto, adicione 28 + 9 = 37. Agora a expressão pode ser reescrita da seguinte forma: 2x + 37 - 5.

7. Subtrair. Esta é a última operação na ordem correta das operações matemáticas. Nesta fase, você também pode adicionar números negativos, ou pode fazê-lo na fase de adição de membros - isso não afetará o resultado final de forma alguma.

   • Em nosso exemplo 2x + 37 - 5, há apenas uma operação de subtração: 37 - 5 = 32.

8. Nesta fase, tendo feito todas as operações matemáticas, você deve obter uma expressão simplificada. Mas se a expressão fornecida a você contiver uma ou mais variáveis, lembre-se de que o membro com a variável permanecerá como está. Resolver (em vez de simplificar) uma expressão com uma variável envolve encontrar o valor dessa variável. Às vezes, as expressões com uma variável podem ser simplificadas usando métodos especiais (consulte a próxima seção).

   • Em nosso exemplo, a resposta final é 2x + 32. Você não pode somar dois termos até saber o valor de x. Depois de saber o valor da variável, você pode facilmente simplificar esse binômio.

   Simplificando Expressões Complexas

   1. Adição de membros semelhantes. Lembre-se que você só pode subtrair e somar termos semelhantes, ou seja, termos com a mesma variável e o mesmo expoente. Por exemplo, você pode somar 7x e 5x, mas não pode somar 7x e 5x 2 (porque os expoentes são diferentes aqui).

      • Essa regra também se aplica a membros com várias variáveis. Por exemplo, você pode adicionar 2xy 2 e -3xy 2 , mas não pode adicionar 2xy 2 e -3x 2 y ou 2xy 2 e -3y 2 .
      • Considere um exemplo: x 2 + 3x + 6 - 8x. Aqui os termos semelhantes são 3x e 8x, então eles podem ser somados. A expressão simplificada fica assim: x 2 - 5x + 6.

   2. Simplifique o número. Nessa fração, tanto o numerador quanto o denominador contêm números (sem uma variável). Uma fração numérica é simplificada de várias maneiras. Primeiro, basta dividir o denominador pelo numerador. Em segundo lugar, fatorize o numerador e o denominador e cancele os mesmos fatores (porque quando você divide um número por ele mesmo, obtém 1). Em outras palavras, se o numerador e o denominador tiverem o mesmo fator, você pode descartá-lo e obter uma fração simplificada.

      • Por exemplo, considere a fração 36/60. Usando uma calculadora, divida 36 por 60 e obtenha 0,6. Mas você pode simplificar essa fração de outra maneira, fatorando o numerador e o denominador: 36/60 = (6x6)/(6x10) = (6/6)*(6/10). Desde 6/6 \u003d 1, então a fração simplificada: 1 x 6/10 \u003d 6/10. Mas essa fração também pode ser simplificada: 6/10 \u003d (2x3) / (2 * 5) \u003d (2/2) * (3/5) \u003d 3/5.

   3. Se a fração contiver uma variável, você pode reduzir os mesmos fatores com a variável. Fatore o numerador e o denominador e cancele os mesmos fatores mesmo que contenham uma variável (lembre-se que aqui os mesmos fatores podem ou não conter uma variável).

      • Considere um exemplo: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x). Esta expressão pode ser reescrita (fatorada) como: (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x). Como o termo 3x está no numerador e no denominador, ele pode ser reduzido para fornecer uma expressão simplificada: (x + 1)/(5 - x). Considere outro exemplo: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
      • Observe que você não pode cancelar nenhum termo - apenas os mesmos fatores que estão presentes no numerador e no denominador são cancelados. Por exemplo, na expressão (x(x + 2))/x, a variável (multiplicador) "x" está tanto no numerador quanto no denominador, então "x" pode ser reduzido e obter uma expressão simplificada: (x + 2) / 1 \u003d x + 2. No entanto, na expressão (x + 2)/x, a variável "x" não pode ser reduzida (porque no numerador "x" não é um fator).

   4. Abra parênteses. Para fazer isso, multiplique o termo fora do colchete por cada termo entre colchetes. Às vezes, simplificar uma expressão complexa ajuda. Isso se aplica a membros que são números primos e membros que contêm uma variável.

      • Por exemplo, 3(x 2 + 8) = 3x 2 + 24 e 3x(x 2 + 8) = 3x 3 + 24x.
      • Observe que em expressões fracionárias, os parênteses não precisam ser abertos se o numerador e o denominador contiverem o mesmo fator. Por exemplo, na expressão (3(x 2 + 8)) / 3x, você não precisa expandir os colchetes, pois aqui você pode reduzir o fator 3 e obter uma expressão simplificada (x 2 + 8) / x. Essa expressão é mais fácil de trabalhar; se você expandisse os colchetes, obteria a seguinte expressão complexa: (3x 3 + 24x)/3x.

   5. Fatorize os polinômios. Usando este método, você pode simplificar algumas expressões e polinômios. A fatoração é o oposto da expansão de parênteses, ou seja, uma expressão é escrita como um produto de duas expressões, cada uma das quais está entre parênteses. Em alguns casos, a fatoração permite encurtar a mesma expressão. Em casos especiais (geralmente com equações quadráticas), a fatoração permitirá que você resolva a equação.

      • Considere a expressão x 2 - 5x + 6. Ela é decomposta em fatores: (x - 3) (x - 2). Assim, se, por exemplo, uma expressão for dada (x 2 - 5x + 6)/(2(x - 2)), então você pode reescrevê-la como (x - 3)(x - 2)/(2(x - 2)), reduza a expressão (x - 2) e obtenha uma expressão simplificada (x - 3) / 2.
      • A fatoração de polinômios é usada para resolver (encontrar raízes) equações (uma equação é um polinômio igual a 0). Por exemplo, considere a equação x 2 - 5x + 6 \u003d 0. Fatorando-a em fatores, você obtém (x - 3) (x - 2) \u003d 0. Como qualquer expressão multiplicada por 0 é 0, podemos escrevê-la assim: x - 3 = 0 e x - 2 = 0. Assim, x = 3 e x = 2, ou seja, você encontrou duas raízes da equação dada a você.

Simplificar expressões algébricas é uma das chaves para aprender álgebra e uma habilidade extremamente útil para todos os matemáticos. A simplificação permite reduzir uma expressão complexa ou longa a uma expressão simples e fácil de trabalhar. As habilidades básicas de simplificação são boas mesmo para aqueles que não são entusiastas da matemática. Seguindo algumas regras simples, muitos dos tipos mais comuns de expressões algébricas podem ser simplificados sem nenhum conhecimento matemático especial.

Degraus

Definições importantes

1. Membros semelhantes. São membros com uma variável da mesma ordem, membros com as mesmas variáveis ​​ou membros livres (membros que não contêm uma variável). Em outras palavras, termos semelhantes incluem uma variável na mesma extensão, incluem várias variáveis ​​idênticas ou não incluem nenhuma variável. A ordem dos termos na expressão não importa.

   • Por exemplo, 3x 2 e 4x 2 são termos semelhantes porque contêm a variável "x" de segunda ordem (na segunda potência). No entanto, x e x 2 não são membros semelhantes, pois contêm a variável "x" de ordens diferentes (primeira e segunda). Da mesma forma, -3yx e 5xz não são membros semelhantes porque contêm variáveis ​​diferentes.

2. Fatoração. Isso é encontrar esses números, cujo produto leva ao número original. Qualquer número original pode ter vários fatores. Por exemplo, o número 12 pode ser decomposto nas seguintes séries de fatores: 1 × 12, 2 × 6 e 3 × 4, então podemos dizer que os números 1, 2, 3, 4, 6 e 12 são fatores do número 12. Os fatores são os mesmos que os divisores, ou seja, os números pelos quais o número original é divisível.

   • Por exemplo, se você quiser fatorar o número 20, escreva assim: 4 × 5.
   • Observe que, ao fatorar, a variável é levada em consideração. Por exemplo, 20x = 4(5x).
   • Números primos não podem ser fatorados porque são divisíveis apenas por eles mesmos e por 1.

3. Lembre-se e siga a ordem das operações para evitar erros.

   • Parênteses
   • Grau
   • Multiplicação
   • Divisão
   • Adição
   • Subtração

   Casting Like Members

   1. Escreva a expressão. As expressões algébricas mais simples (que não contêm frações, raízes e assim por diante) podem ser resolvidas (simplificadas) em apenas alguns passos.

      • Por exemplo, simplifique a expressão 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. Defina membros semelhantes (membros com uma variável da mesma ordem, membros com as mesmas variáveis ​​ou membros livres).

      • Encontre termos semelhantes nesta expressão. Os termos 2x e 4x contêm uma variável da mesma ordem (primeiro). Além disso, 1 e -3 são membros gratuitos (não contêm uma variável). Assim, nesta expressão, os termos 2x e 4x são semelhantes e os membros 1 e -3 também são semelhantes.

   3. Dê termos semelhantes. Isso significa adicioná-los ou subtraí-los e simplificar a expressão.

      • 2x+4x= 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. Reescreva a expressão levando em consideração os membros fornecidos. Você obterá uma expressão simples com menos termos. A nova expressão é igual à original.

      • No nosso exemplo: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, ou seja, a expressão original é simplificada e mais fácil de trabalhar.

   5. Observe a ordem em que as operações são executadas ao converter termos semelhantes. Em nosso exemplo, foi fácil trazer termos semelhantes. No entanto, no caso de expressões complexas em que os membros estão entre colchetes e frações e raízes estão presentes, não é tão fácil trazer tais termos. Nestes casos, siga a ordem das operações.

      • Por exemplo, considere a expressão 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Aqui seria um erro definir imediatamente 3x e 2x como termos semelhantes e citá-los, porque primeiro você precisa expandir os parênteses. Portanto, execute as operações em sua ordem.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Agora, quando a expressão contém apenas operações de adição e subtração, você pode converter termos semelhantes.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12 x + 3

   Colocando o multiplicador entre parênteses

   1. Encontre o máximo divisor comum (mdc) de todos os coeficientes da expressão. GCD é o maior número pelo qual todos os coeficientes da expressão são divisíveis.

      • Por exemplo, considere a equação 9x 2 + 27x - 3. Nesse caso, mdc=3, pois qualquer coeficiente dessa expressão é divisível por 3.

   2. Divida cada termo da expressão por mdc. Os termos resultantes conterão coeficientes menores do que na expressão original.

      • Em nosso exemplo, divida cada termo da expressão por 3.
        • 9x2/3=3x2
        • 27x/3=9x
        • -3/3 = -1
        • Acontece que a expressão 3x2 + 9x-1. Não é igual à expressão original.

   3. Escreva a expressão original igual ao produto de mdc vezes a expressão resultante. Ou seja, coloque a expressão resultante entre colchetes e coloque o GCD fora dos colchetes.

      • No nosso exemplo: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x 2 + 9x - 1)

   4. Simplificando expressões fracionárias tirando o multiplicador dos colchetes. Por que tirar o multiplicador dos colchetes, como foi feito antes? Em seguida, aprender a simplificar expressões complexas, como expressões fracionárias. Nesse caso, colocar o fator fora dos colchetes pode ajudar a eliminar a fração (do denominador).

      • Por exemplo, considere a expressão fracionária (9x 2 + 27x - 3)/3. Use parênteses para simplificar esta expressão.
        • Fatore o fator 3 (como você fez antes): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • Observe que tanto o numerador quanto o denominador agora têm o número 3. Isso pode ser reduzido e você obtém a expressão: (3x 2 + 9x - 1) / 1
        • Como qualquer fração que tenha o número 1 no denominador é igual ao numerador, a expressão fracionária original é simplificada para: 3x2 + 9x-1.

   Técnicas de Simplificação Adicionais

4. Considere um exemplo simples: √(90). O número 90 pode ser decomposto nos seguintes fatores: 9 e 10, e de 9, tire a raiz quadrada (3) e tire 3 de baixo da raiz.
   • √(90)
   • √(9×10)
   • √(9)×√(10)
   • 3×√(10)
   • 3√(10)

5. Simplificando expressões com potências. Em algumas expressões, há operações de multiplicação ou divisão de termos com grau. No caso de multiplicação de termos com uma base, seus graus são somados; no caso de divisão de termos de mesma base, seus graus são subtraídos.

   • Por exemplo, considere a expressão 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15). No caso da multiplicação, some os expoentes e, no caso da divisão, subtraia-os.
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15)
     • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48x7+x2
   • A seguir está uma explicação da regra para multiplicar e dividir termos com um grau.
     • Multiplicar termos com potências é equivalente a multiplicar termos por eles mesmos. Por exemplo, como x 3 = x × x × x e x 5 = x × x × x × x × x, então x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x) ou x 8 .
     • Da mesma forma, dividir os termos com potências é equivalente a dividir os termos por eles mesmos. x 5 /x 3 \u003d (x × x × x × x × x) / (x × x × x). Como os termos semelhantes que estão no numerador e no denominador podem ser reduzidos, o produto de dois "x", ou x 2, permanece no numerador.

• Esteja sempre atento aos sinais (mais ou menos) antes dos termos de uma expressão, pois muitas pessoas têm dificuldade em escolher o sinal certo.
• Peça ajuda se necessário!
• Simplificar expressões algébricas não é fácil, mas se você colocar as mãos nisso, poderá usar essa habilidade por toda a vida.

Uma expressão algébrica em cujo registro, juntamente com as operações de adição, subtração e multiplicação, também usa a divisão em expressões literais, é chamada de expressão algébrica fracionária. Tais são, por exemplo, as expressões

Chamamos de fração algébrica uma expressão algébrica que tem a forma de um quociente da divisão de duas expressões algébricas inteiras (por exemplo, monômios ou polinômios). Tais são, por exemplo, as expressões

a terceira das expressões).

As transformações de identidade de expressões algébricas fracionárias são, na maioria das vezes, destinadas a representá-las como uma fração algébrica. Para encontrar um denominador comum, a fatoração dos denominadores de frações - termos é usada para encontrar seu mínimo múltiplo comum. Ao reduzir frações algébricas, a identidade estrita das expressões pode ser violada: é necessário excluir os valores das quantidades nas quais o fator pelo qual a redução é feita desaparece.

Vamos dar exemplos de transformações idênticas de expressões algébricas fracionárias.

Exemplo 1: simplificar uma expressão

Todos os termos podem ser reduzidos a um denominador comum (é conveniente mudar o sinal no denominador do último termo e o sinal na frente dele):

Nossa expressão é igual a um para todos os valores exceto esses valores, não está definido e a redução de fração é ilegal).

Exemplo 2. Representar a expressão como uma fração algébrica

Decisão. A expressão pode ser tomada como um denominador comum. Encontramos sucessivamente:

exercícios

1. Encontre os valores das expressões algébricas para os valores especificados dos parâmetros:

2. Fatorize.