Acesta este un astfel de corp, a cărui suprafață constă dintr-un număr finit de poligoane plate. Poliedrul se numește convex, dacă se află pe o parte a planului fiecăruia dintre poligoanele plane de pe suprafața sa. Se numește partea comună a unui astfel de plan și suprafața unui poligon convex margine.
Figura de mai jos prezintă un poliedru neconvex în stânga; în figura din dreapta - convex.

Fețele unui poliedru convex sunt poligoane convexe plate. Laturile fețelor se numesc marginile poliedrului, iar vârfurile fețelor - vârfurile poliedrului.

Prismă

prismă se numește poliedru, care constă din două poligoane plate situate în planuri diferite și combinate prin translație paralelă și toate segmentele care leagă punctele corespunzătoare acestor poligoane (vezi figura). Poligoanele sunt numite baze de prisme, și segmentele care leagă vârfurile corespunzătoare - marginile laterale ale prismei.

Denumiri: .
Suprafața laterală a prismei este formată din paralelograme. Fiecare dintre ele are două laturi care sunt laturile corespunzătoare ale bazei, iar celelalte două sunt nervuri laterale adiacente. Bazele prismei sunt egale și se află în planuri paralele. Marginile laterale ale prismei sunt paralele și egale. Înălțimea prismei numită distanța dintre planele bazelor sale.
Se numește un segment care leagă două vârfuri ale unei prisme care nu aparțin aceleiași fețe diagonala prismei. (În figură - înălțime și diagonale.)
Secțiuni diagonale- sunt secțiuni ale prismei prin planuri care trec prin două margini laterale care nu aparțin aceleiași fețe (vezi figuri).

Prisma se numește Drept dacă marginile sale laterale sunt perpendiculare pe baze. În caz contrar, se numește prisma oblic.
Fețele laterale ale unei prisme drepte sunt dreptunghiuri, înălțimea unei prisme drepte este egală cu marginea laterală, secțiunile diagonale sunt dreptunghiuri.
Suprafata laterala prisma se numește suma ariilor fețelor laterale. Suprafața completă a prismei egală cu suma suprafeţei laterale şi a ariilor bazelor.
Teorema 1. Suprafața laterală a unei prisme drepte este egală cu produsul dintre perimetrul bazei și înălțimea, adică lungimea muchiei laterale.
Secțiunea perpendiculară a unei prisme vom numi secțiunea un plan perpendicular pe marginea laterală a prismei (ceea ce înseamnă că acest plan este perpendicular pe toate marginile laterale ale prismei).
Teorema 2. Suprafața laterală a unei prisme înclinate este egală cu produsul dintre lungimea muchiei laterale și perimetrul secțiunii perpendiculare.
Figura prezintă o secțiune perpendiculară.
S b = H ⋅ P principal;
S n = S b + 2 S principal
S b = l ⋅ P ter;
S n = S b + 2 S principal

Evident, această teoremă este adevărată și în cazul unei prisme drepte, deoarece atunci secțiunea perpendiculară va fi o secțiune a unui plan paralel cu planurile bazelor prismei.
Rețineți că, dacă un anumit poligon este o secțiune perpendiculară a unei prisme, atunci unghiurile sale interioare sunt unghiurile liniare ale unghiurilor diedrice dintre fețele laterale corespunzătoare.
În cazul unei prisme drepte, unghiurile liniare ale unghiurilor diedrice dintre fețele laterale sunt direct colțurile bazei.
Exemplu
Figura prezintă o prismă dreaptă.

- unghiul liniar al unghiului diedric dintre feţele şi .
Prisma se numește corect, Dacă:
se bazează pe un poligon regulat;
prisma este dreaptă.

Paralelipiped

Un paralelipiped este o prismă, care se bazează pe un paralelogram.
Toate fețele unui paralelipiped sunt paralelograme.
Se numesc fețele unui paralelipiped care nu au vârfuri comune opus.
Teorema 1. Fețele opuse ale unui paralelipiped sunt paralele și pare.
Paralepipedul rămâne paralelipiped în toate cazurile când considerăm ca bază oricare dintre fețele sale (vezi figura).
Teorema 2. Diagonalele paralelipipedului se intersectează într-un punct, iar punctul de intersecție se împarte la jumătate.
De aici rezultă că punctul de intersecție al diagonalelor paralelipipedului este centrul său de simetrie.
Vă rugăm să rețineți: un paralelipiped drept are patru diagonale care sunt egale în perechi între ele.
Pe imagine; .
Aceasta rezultă din proprietățile oblicului, deci - perpendiculare egale pe planul bazei ABCD.

Dacă două diagonale ale unui paralelipiped drept provin din vârfuri învecinate, atunci cea mai mare dintre ele este cea care se proiectează în diagonala mai mare a bazei, adică diagonala paralelogramului care se află opus unghiului obtuz. Prin urmare, dacă în figura de mai sus luăm în considerare unghiul ABC contondent, hai să luăm, .
Un paralelipiped drept a cărui bază este un dreptunghi se numește paralelipiped dreptunghiular(Vezi poza).

Toate fețele unui cuboid sunt dreptunghiuri care pot fi împărțite în trei perechi egale. O față arbitrară a unui paralelipiped dreptunghiular poate fi considerată baza sa. Având în vedere că în proiecția paralelă un paralelogram arbitrar poate fi reprezentat printr-un paralelogram arbitrar, imaginea unui paralelipiped dreptunghiular nu diferă în niciun fel de imaginea oricărui paralelipiped drept.
Lungimile muchiilor neparalele se numesc dimensiuni liniare(măsurători) unui paralelipiped dreptunghic.
Teorema 3. Într-un paralelipiped dreptunghiular, toate diagonalele sunt egale. Pătratul unei diagonale este egal cu suma pătratelor celor trei dimensiuni ale acesteia.
Toate unghiurile diedrice ale unui cuboid sunt unghiuri drepte.
Un paralelipiped dreptunghiular are trei perechi de secțiuni diagonale egale. Fiecare dintre aceste secțiuni este un dreptunghi (vezi figurile).

Fiecare pereche de secțiuni se intersectează de-a lungul unei linii drepte care trece prin punctele de intersecție ale diagonalelor fețelor opuse. Segmentele dintre aceste puncte sunt paralele și egale cu una dintre marginile cuboidului.
Un triunghi dreptunghic, care este format din diagonala unui paralelipiped dreptunghic, diagonala feței laterale și latura bazei (vezi figura). De exemplu, .

Un paralelipiped dreptunghiular are un centru de simetrie - acesta este punctul de intersecție al diagonalelor sale.
Are, de asemenea, trei planuri de simetrie care trec prin centrul de simetrie paralel cu fețele.
Un paralelipiped dreptunghic în care toate muchiile sunt egale se numește cub.
Planul oricărei secțiuni diagonale a unui cub este planul său de simetrie. Astfel, cubul are nouă planuri de simetrie.
În figură, luați în considerare poziția relativă a unor elemente ale unui paralelipiped drept:

- unghiul dintre diagonala feței laterale și planul bazei ( - perpendicular, - înclinat, CD- proiecție).
- unghiul dintre diagonala paralelipipedului drept și planul bazei ( - perpendicular, - oblic, AC- proiecție).
- unghiul de înclinare a diagonalei față de fața laterală ( ANUNȚ- perpendicular, - oblic, - proiecție).
Fie un paralelipiped drept (vezi figura), unde ABCD- romb. Desenăm secțiunea sa printr-un plan care trece prin diagonala bazei BD si de sus.

În secțiune obținem un triunghi isoscel.
- unghiul liniar al unghiului diedric dintre planurile de bază și de secțiune. prin proprietatea diagonalelor unui romb, - perpendicular, - oblic, ASA DE- proiecție. Conform teoremei a trei perpendiculare: .

Piramidă

Piramidă numit poliedru, care constă dintr-un poligon plat - baza piramidei, un punct care nu se află în planul bazei - vârful piramidei și toate segmentele care leagă vârful piramidei cu punctele bazei . Segmentele care leagă vârful piramidei cu vârfurile bazei sunt numite coaste laterale.
înălțimea piramidei- o perpendiculară coborâtă din vârful piramidei spre planul bazei.
Piramida se numește n-cărbune dacă baza sa este n-gon. Piramida triunghiulară se mai numește tetraedru. Fața laterală a piramidei- triunghi. Unul dintre vârfurile sale este vârful piramidei, iar partea opusă este partea bazei piramidei.
Pe imagine ASA DE este înălțimea piramidei. Apoi - unghiul dintre marginea laterală și planul bazei ( ASA DE- perpendicular, SA- înclinat, OA- proiecție).

De la baza înălțimii piramidei (puncte ÎN) trageți o perpendiculară pe latura bazei (de exemplu, AE). Baza acestei perpendiculare (punctul F) se conectează cu vârful piramidei (punctul S). Conform teoremei a trei perpendiculare: . ( ASA DE- perpendicular, SP- înclinat, DE- proiecție, prin construcție.) Prin urmare, - unghiul liniar al unghiului diedric dintre planul feţei laterale ASEși planul de bază.
Pentru a rezolva problemele piramidale, este foarte important să aflați unde se află baza înălțimii sale.
1. Dacă este îndeplinită cel puțin una dintre următoarele condiții:
toate marginile laterale ale piramidei sunt egale;
toate nervurile laterale sunt înclinate față de planul de bază la același unghi;
toate marginile laterale formează aceleași unghiuri cu înălțimea piramidei;
toate marginile laterale sunt echidistante de baza înălțimii, apoi baza înălțimii piramidei este centrul cercului circumscris bazei piramidei.
Coastă laterală l, înălțime H si raza R circumscrise în jurul bazei cercului formează un triunghi dreptunghic:

În acest caz, suprafața laterală poate fi găsită prin formula , unde l- lungimea marginii laterale, , ... - unghiuri plate în partea de sus.
2. Dacă este îndeplinită cel puțin una dintre următoarele condiții:
toate fețele laterale sunt înclinate față de planul de bază la același unghi;
toate fețele laterale au aceeași înălțime;
înălțimile fețelor laterale formează aceleași unghiuri cu înălțimea piramidei;
fețele laterale sunt echidistante de baza înălțimii, apoi baza înălțimii se află în centrul cercului înscris în baza piramidei.
Pe imagine - dreptunghiular, - raza cercului înscris în ABCDEF;

- înălțimea piramidei, SP- inaltimea fetei laterale;
- unghiul liniar al unghiului diedric dintre faţa laterală şi planul bazei;
DESPRE- centrul cercului înscris în bază, adică punctul de intersecție al bisectoarelor ABCDEF.
În acest caz .
3. Dacă marginea laterală este perpendiculară pe planul bazei, atunci această margine este înălțimea piramidei (vezi figurile).

În acest caz Și - unghiurile de înclinare ale nervurilor laterale SBȘi SC respectiv la planul de bază. este unghiul liniar al unghiului diedric dintre fețele laterale SACȘi SBA.
4. Dacă fața laterală este perpendiculară pe planul bazei (vezi figura), atunci înălțimea piramidei va fi înălțimea acestei fețe (conform teoremei „Dacă o dreaptă situată într-unul din cele două plane perpendiculare este perpendiculară pe linia de intersecție a acestora, atunci este perpendiculară pe al doilea plan”).
5. Dacă două fețe laterale sunt perpendiculare pe planul bazei, atunci înălțimea piramidei este marginea lor laterală comună.

Distanțe de la baza înălțimii piramidei

Distanța de la baza înălțimii piramidei până la marginea laterală este perpendiculara coborâtă din punct DESPRE pe această margine (vezi figura). Vă rugăm să rețineți: , dar în figură nu trebuie să fie drepte: unghiurile nu sunt păstrate în timpul proiectării paralele.
DE- distanta de la baza inaltimii pana la marginea laterala SE;
PE- distanta de la baza inaltimii pana la fata laterala ASB(Vezi mai jos pentru mai multe despre această distanță.)

, unde este unghiul dintre margine SEși planul de bază.

Distanța de la baza înălțimii până la fața laterală

Fie , apoi prin teorema a trei perpendiculare. Prin urmare, AB perpendicular pe plan S.O.K.. Prin urmare, dacă , atunci PE perpendicular pe plan ASB.
.
Piramida se numește corect, dacă baza sa este un poligon regulat și baza înălțimii sale este aceeași cu centrul poligonului. axă o piramidă regulată se numește linie dreaptă care conține înălțimea ei. Marginile laterale ale unei piramide regulate sunt egale, fețele laterale sunt triunghiuri isoscele egale. Înălțimea feței laterale desenată din vârful piramidei se numește apotema. Este bisectoarea și mediana feței laterale, deoarece este un triunghi isoscel.
Teorema. Suprafața laterală a unei piramide regulate este egală cu produsul dintre pіvperimetrul bazei și apotema.
; ,
Unde R- perimetrul bazei, A- partea de bază l- lungimea apotema.
Piramidă triunghiulară regulată
La baza unei piramide triunghiulare regulate se află un triunghi echilateral, care este reprezentat printr-un triunghi arbitrar (vezi figura).

Centrul este punctul de intersecție al bisectoarelor sale, care sunt atât înălțimi, cât și mediane. Medianele în proiecție paralelă sunt reprezentate de mediane. Prin urmare, construim două mediane ale bazei. Punctul de intersecție a acestora este baza înălțimii piramidei. Înfățișăm înălțimea și apoi conectăm vârful piramidei cu vârfurile bazei. Primim coaste laterale.
În figură: - unghiul de înclinare a nervurii laterale față de planul bazei (același pentru toate nervurile); - unghiul de înclinare a feței laterale față de planul bazei (același pentru toate fețele).
Lăsa .
Apoi ; ; ;
; ; .
Prin urmare, .
; .
Planul secțiunii axiale ASD este planul de simetrie al unei piramide triunghiulare regulate.
Acest plan este perpendicular pe planul bazei și pe planul feței BSC.
De asemenea, este interesant de observat că marginile de încrucișare ale piramidei ( SAȘi î.Hr, SBȘi AC, SCȘi AB) sunt perpendiculare. Daca atunci PE este distanța de la baza înălțimii nu numai la anatema, ci și la fața laterală BSC.
.
Piramidă patruunghiulară obișnuită
La baza unei piramide patruunghiulare regulate se află un pătrat, care este reprezentat printr-un paralelogram arbitrar. Centrul său este punctul de intersecție al diagonalelor. Acest punct este baza înălțimii piramidei.
Lasă latura pătratului A(Vezi poza).
Apoi ;
;
;
;
.

Notă: , , adică .
Designul paralel păstrează paralelismul.
; .
Distanța de la baza înălțimii la fața laterală:
; .

Piramidă hexagonală obișnuită
În inima unei piramide hexagonale regulate se află un hexagon regulat (vezi figura). Centrul său este punctul de intersecție al diagonalelor. Acest punct este baza înălțimii piramidei.
Apoi ;
Lăsați partea unui hexagon obișnuit A.
;
;

.
; .

Piramida trunchiată
Piramida tăiată se numeste poliedru, care va ramane daca o piramida cu acelasi varf este separata de piramida printr-un plan paralel cu baza.
Teorema. Un plan care este paralel cu baza piramidei și o intersectează întrerupe o piramidă similară.
Vă rugăm să rețineți: pentru a reprezenta corect piramida tăiată, trebuie să începeți cu imaginea piramidei complete originale (vezi figura).

Bazele unei piramide trunchiate sunt poligoane similare. Fețe laterale - trapeze. - înălțimea trunchiului piramidei, - înălțimea feței laterale, - unghiul de înclinare a marginii laterale față de planul bazei (oricare), - unghiul de înclinare a feței laterale față de planul inferior baza.
Piramida trunchiată corectă- aceasta este o piramidă trunchiată, care a fost scoasă dintr-o piramidă obișnuită.
Nervele sale laterale sunt egale și înclinate față de planul bazei la același unghi. Fețele sale laterale sunt egale cu trapezul echilateral și sunt înclinate față de planul bazei inferioare la același unghi. Înălțimile fețelor laterale ale piramidei se numesc apoteme.
Suprafața laterală a unei piramide trunchiate obișnuite este egală cu produsul dintre jumătate din suma perimetrelor bazelor și apotema.
, Unde P n și P- perimetrele bazelor respective, l- apotema.
Cifrele prezintă cifre care pot fi foarte utile de luat în considerare atunci când rezolvați probleme pe o piramidă trunchiată.
;
.

;


- un trapez dreptunghiular.
- inaltimea trunchiului piramidei.
- înălțimea marginii laterale.

În cazul în care piramida trunchiată este regulată, segmentele ODși sunt razele cercului circumscris și DEși - razele cercului înscris pentru baza inferioară și respectiv superioară.

Poliedre regulate

Un poliedru convex se numește corect, dacă fețele sale sunt poliedre regulate cu același număr de laturi și același număr de muchii coincid la fiecare vârf al poliedrului.
Există cinci tipuri de poliedre convexe regulate: tetraedru regulat, cub, octaedru, dodecaedru, icosaedru.
1. Un tetraedru regulat are fețe - triunghiuri regulate; sunt trei muchii la fiecare vârf. Un tetraedru este o piramidă triunghiulară, ale cărei margini sunt egale.
2. Toate fețele unui cub sunt pătrate; sunt trei muchii la fiecare vârf. Un cub este un paralelipiped dreptunghiular cu margini egale.
3. Fețele octaedrului sunt triunghiuri regulate. Fiecare dintre vârfurile sale are patru muchii.
4. În dodecaedru, fețele sunt p "yatikutniks regulate. Trei muchii coincid la fiecare dintre vârfurile sale.
5. În fața icosaedrului - triunghiuri regulate. Fiecare dintre vârfurile sale are cinci muchii.
Figurile prezintă exemple de poliedre regulate cu nume.

Instituția Municipală de Învățământ

Gimnaziul nr 26

Geometrie

Principalele tipuri de poliedre și proprietățile lor

Efectuat:

elev de clasa a IX-a

Baisakova Lyazzat

Profesor:

Sysoeva Elena Alekseevna

Celiabinsk

Introducere

Până acum, în cursul geometriei, am fost angajați în planimetrie - am studiat proprietățile figurilor geometrice plate, adică figurile care sunt complet situate într-un plan. Dar majoritatea obiectelor din jurul nostru nu sunt complet plate, ele sunt situate în spațiu. Secțiunea de geometrie care studiază proprietățile figurilor din spațiu se numește stereometrie ( din altă greacă. στερεός, „stereos” - „solid, spațial” și μετρέω - „măsur”).

Principalele figuri din spațiu sunt punct , DreptȘi avion. Alături de aceste figuri simple, stereometria ia în considerare corpurile geometrice și suprafețele lor. Când studiați corpurile geometrice, utilizați imaginile din desen.

Figura 1 Figura 2

Figura 1 prezintă o piramidă, figura 2 - un cub. Aceste corpuri geometrice se numesc poliedre. Luați în considerare câteva tipuri și proprietăți ale poliedrelor.

suprafață cu mai multe fațete. Poliedru

O suprafață poliedrică este o unire a unui număr finit de poligoane plane, astfel încât fiecare parte a oricăruia dintre poligoane este în același timp o latură a altui (dar numai unul) poligon, numit adiacent primului poligon.

Din oricare dintre poligoane care alcătuiesc o suprafață poliedrică, se poate ajunge la oricare altul deplasându-se de-a lungul poligoanelor adiacente.

Poligoanele care alcătuiesc o suprafață poliedrică se numesc fețele acesteia; laturile poligoanelor se numesc muchii, iar vârfurile sunt vârfurile suprafeței poliedrice.

Figura 1 prezintă uniuni de poligoane care îndeplinesc cerințele specificate și sunt suprafețe poliedrice. Figura 2 prezintă figuri care nu sunt suprafețe poliedrice.

Suprafața poliedrică împarte spațiul în două părți - zona interioară a suprafeței poliedrice și zona exterioară. Dintre cele două regiuni exterioare, va exista una în care este posibil să se deseneze linii drepte care aparțin în întregime regiunii.

5 Unirea unei suprafețe poliedrice și interiorul acesteia se numește poliedru. În acest caz, suprafața poliedrică și regiunea sa interioară se numesc, respectiv, suprafața și regiunea interioară a poliedrului. Fețele, muchiile și vârfurile suprafeței unui poliedr se numesc, respectiv, fețele, muchiile și vârfurile poliedrului.

Piramidă

Un poliedru, una dintre fețele căruia este un poliedru arbitrar, iar fețele rămase sunt triunghiuri având un vârf comun, se numește piramidă.

Poligonul se numește baza piramidei, iar fețele rămase (triunghiuri) se numesc fețele laterale ale piramidei.

Sunt triunghiulare, patrulatere, pentagonale etc. piramide în funcție de tipul de poligon aflat la baza piramidei.

O piramidă triunghiulară se mai numește și tetraedru. Figura 1 prezintă o piramidă pătraunghiulară SABCD cu baza ABCD și fețele laterale SAB, SBC, SCD, SAD.

Laturile fețelor piramidei se numesc margini ale piramidei. Nerfurile care aparțin bazei piramidei se numesc nervuri de bază, iar toate celelalte coaste se numesc nervuri laterale. Vârful comun al tuturor triunghiurilor (fețelor laterale) se numește vârful piramidei (în Fig. 1 punctul S este vârful piramidei, segmentele SA, SB, SC, SD sunt marginile laterale, segmentele AB, BC). , CD, AD sunt marginile bazei).

Înălțimea piramidei este segmentul perpendicularei trasat de la vârful piramidei S până la planul bazei (capetele acestui segment sunt vârful piramidei și baza perpendicularei). În Fig.1 SO - înălțimea piramidei.

Piramida corectă. O piramidă se numește regulată dacă baza piramidei este un poligon regulat, iar proiecția ortogonală a vârfului pe planul bazei coincide cu centrul poligonului situat la baza piramidei.

Toate marginile laterale ale unei piramide obișnuite sunt egale între ele; toate fețele laterale sunt triunghiuri isoscele egale.

Înălțimea feței laterale a unei piramide obișnuite, trasă din vârful ei, se numește apotema acestei piramide. În figura 2, SN este o apotema. Toate apotemele unei piramide obișnuite sunt egale între ele.

Prismă

Un poliedru ale cărui două fețe sunt egale n-gonuri situate în planuri paralele, iar restul n fețe - paralelograme, numite n- prismă de cărbune.

prismă piramidală poliedrică paralelipiped

Câțiva egali n-gonii se numesc bazele prismei. Fețele rămase ale prismei se numesc fețele sale laterale, iar unirea lor se numește suprafața laterală a prismei. Figura 1 prezintă o prismă pentagonală.

Laturile fețelor prismei se numesc nervuri, iar capetele nervurilor sunt numite vârfuri ale prismei. Marginile care nu aparțin bazei prismei se numesc margini laterale.

O prismă ale cărei margini laterale sunt perpendiculare pe planurile bazelor se numește prismă dreaptă. În caz contrar, prisma se numește oblică.

Segmentul perpendicular pe planurile bazelor prismei, ale cărui capete aparțin acestor plane, se numește înălțimea prismei.

O prismă dreaptă a cărei bază este un poligon regulat se numește prismă regulată.

Paralelipiped

Un paralelipiped este un hexaedru ale cărui fețe opuse sunt paralele pe perechi. Paralelipiped are 8 vârfuri, 12 muchii; fețele sale sunt paralelograme egale în perechi.

Paralelipiped se numește drept dacă marginile sale laterale sunt perpendiculare pe planul bazei (în acest caz, 4 fețe laterale sunt dreptunghiuri); dreptunghiular, dacă paralelipiped o linie dreaptă și un dreptunghi servesc drept bază (prin urmare, 6 fețe sunt dreptunghiuri);

Paralelipiped, ale căror fețe sunt pătrate, se numește cub.

Volum Paralelipiped este egal cu produsul dintre suprafața bazei sale și înălțimea acesteia.

volumul corpului

Fiecare poliedru are un volum care poate fi măsurat folosind unitatea de volum aleasă. Un cub este luat ca unitate de măsură a volumelor, a cărui margine este egală cu unitatea de măsură a segmentelor. Se numește un cub cu muchia de 1 cm centimetru cub. Definit în mod similar metru cubȘi milimetru cub, etc.

În procesul de măsurare a volumelor cu unitatea de măsură selectată, volumul corpului este exprimat ca un număr pozitiv, care arată câte unități de măsură de volume și părțile sale se încadrează în acest corp. Numărul care exprimă volumul corpului depinde de alegerea unității de măsură pentru volume. Prin urmare, unitatea de măsură a volumelor este indicată după acest număr.

Principalele proprietăți ale volumelor:

1. Corpurile egale au volume egale.

2. Dacă corpul este compus din mai multe corpuri, atunci volumul său este egal cu suma volumelor acestor corpuri.

Pentru a afla volumele corpurilor, într-un număr de cazuri este convenabil să folosiți o teoremă numită Principiul Cavalieri .

Principiul lui Cavalieri este următorul: dacă la intersecția a două corpuri cu orice plan paralel cu un plan dat se obțin secțiuni de arie egală, atunci volumele corpurilor sunt egale între ele.

Concluzie

Deci, poliedre studiază o secțiune de geometrie numită stereometrie. Poliedrele vin în diferite tipuri (piramidă, prismă etc.) și au proprietăți diferite. De asemenea, trebuie remarcat faptul că poliedrele, spre deosebire de figurile plate, au volum și sunt situate în spațiu.

Majoritatea obiectelor din jurul nostru sunt în spațiu, iar studiul poliedrelor ne ajută să ne facem o idee despre realitatea din jurul nostru în ceea ce privește geometria.

Bibliografie

1. Geometrie. Manual pentru clasele 7-9.

3. Wikipedia

Poliedru- un corp a cărui suprafață este formată dintr-un număr finit de poligoane, numite fețele poliedrului. Laturile si varfurile acestor poligoane se numesc, respectiv, muchiile si varfurile poliedrului Dupa numarul de fete se disting 4-edre, 5-edre etc. Un segment care leagă două vârfuri care nu aparțin aceleiași fețe se numește diagonala poliedrului.

Istoria descoperirii poliedrului are rădăcinile din cele mai vechi timpuri. Prima mențiune despre poliedre este cunoscută încă din trei mii de ani î.Hr. în Egipt și Babilon.

Un poliedru este o figură spațială (corp spațial). Din punct de vedere vizual, un corp trebuie imaginat ca o parte a spațiului ocupată de un corp fizic și delimitată de o suprafață. Poliedrele sunt studiate în secțiunea de geometrie solidă. O ramură a geometriei care studiază poziția, forma, mărimea și proprietățile figurilor spațiale. Cuvântul „stereometrie” provine din cuvintele grecești „στερεοσ” – volumetric, spațial și „μετρεο” – măsură.

Exemple de poliedre sunt:

cub- un poliedru, a cărui suprafață este formată din șase pătrate.Un cub (hexaedru obișnuit) are toate fețele - pătrate; trei muchii converg la fiecare vârf. Cubul este un paralelipiped dreptunghiular cu margini egale.Un caz special al unui paralelipiped și al unei prisme. Cubul are 12 muchii, 6 fețe, 8 vârfuri.

Paralelipiped- un poliedru a cărui suprafață este formată din șase paralelograme.Fețele unui paralelipiped care nu au vârfuri comune se numesc opuse. Un paralelipiped are fețe opuse care sunt paralele și egale. Diagonala unui paralelipiped, ca un poliedru, în general, este un segment care leagă vârfurile unui paralelipiped care nu se află pe una dintre fețele sale.

cuboid- un paralelipiped ale cărui fețe sunt dreptunghiuri Lungimile muchiilor unui paralelipiped dreptunghiular care ies dintr-un vârf se numesc măsurători sau dimensiuni liniare. Un cuboid are trei dimensiuni.

Paralepipedul drept- acesta este un paralelipiped, care are 4 fețe laterale dreptunghiuri.

Cutie inclinata este un paralelipiped ale cărui fețe laterale nu sunt perpendiculare pe baze.

Prismă- un poliedru a cărui suprafață este formată din două poligoane egale, numite bazele prismei, și paralelograme care au laturi comune cu fiecare dintre baze.Poligoanele se numesc bazele prismei, iar segmentele care leagă vârfurile corespunzătoare sunt latura. marginile prismei.Bazele prismei sunt egale și se află în planuri paralele. Marginile laterale ale prismei sunt egale și paralele. Suprafața unei prisme este formată din două baze și o suprafață laterală Suprafața laterală a oricărei prisme este formată din paralelograme, fiecare dintre ele având două laturi ale laturilor corespunzătoare ale bazelor, iar celelalte două sunt margini laterale adiacente. prisma este oricare dintre perpendicularele trase dintr-un punct al unei baze pe planul celeilalte baze a prismei.

prismă dreaptă- se numeste daca muchiile sale sunt perpendiculare pe planurile bazelor. În caz contrar, prisma se numește oblică.Fețele laterale sunt dreptunghiuri.Marginea laterală a unei prisme drepte este înălțimea acesteia.

Prisma corectă- o prismă dreaptă ale cărei baze sunt poligoane regulate.

Piramidă- un poliedru, a cărui suprafață este formată dintr-un poligon, numit baza piramidei, și triunghiuri care au un vârf comun. Segmentele care leagă vârful piramidei cu vârfurile bazei se numesc margini laterale. Suprafața piramidei este formată dintr-o bază și fețe laterale. Fiecare față laterală este un triunghi. Unul dintre vârfurile sale este vârful piramidei, iar partea opusă este partea bazei piramidei. Înălțimea piramidei se numește perpendiculară trasă din vârful piramidei la planul bazei.O piramidă se numește n-gonală dacă baza ei este un n-gon. O piramidă triunghiulară se mai numește și tetraedru.

Piramida corectă- o piramidă, la baza căreia se află un poligon regulat și toate marginile laterale sunt egale. Axa unei piramide regulate este o linie dreaptă care conține înălțimea acesteia. Fețele laterale ale unei piramide regulate sunt triunghiuri isoscele egale. Înălțimea feței laterale a unei piramide obișnuite, trasă de la vârful ei până la marginea bazei, se numește apotema.

Solidele lui Platon- un poliedru, ale cărui fețe sunt poligoane regulate și egale, se numește regulat. Unghiurile de la vârfurile unui astfel de poliedru sunt egale între ele.

Există cinci tipuri de poliedre regulate. Aceste poliedre și proprietățile lor au fost descrise în urmă cu mai bine de două mii de ani de către filozoful grec antic Platon, ceea ce explică numele lor comun.

Fiecărui poliedru regulat îi corespunde un alt poliedru regulat cu numărul de fețe egal cu numărul de vârfuri ale poliedrului dat. Numărul de muchii pentru ambele poliedre este același. Acestea includ:

Tetraedru (foc) este un tetraedru regulat. Este delimitat de patru triunghiuri echilaterale (aceasta este o piramidă triunghiulară regulată) Un tetraedru are 4 fețe, 4 vârfuri și 6 muchii.

Un tetraedru obișnuit are fețe - triunghiuri regulate; trei muchii converg la fiecare vârf.Un tetraedru regulat este unul dintre cele cinci poliedre regulate.

Octaedru (aer)- octaedru regulat. Este format din opt triunghiuri echilaterale și egale, conectate prin patru la fiecare vârf. Fețele octaedrului au triunghiuri regulate, dar spre deosebire de tetraedru, patru muchii converg la fiecare dintre vârfurile sale.Un octaedru regulat este dual cu un cub. Este o trunchiere completă a tetraedrului. Un octaedru regulat este o piramidă dublă pătrată în oricare dintre cele trei direcții ortogonale. Este, de asemenea, o antiprismă triunghiulară în oricare dintre cele patru direcții Octaedrul este o versiune tridimensională a hiperoctaedrului mai general.

Hexaedru (pământ)- hexagonul corect. Este un cub format din șase pătrate egale.

Dodecaedru- un dodecaedru regulat, format din douăsprezece pentagoane regulate și egale, conectate prin trei în apropierea fiecărui vârf. Dodecaedrul are 12 fețe (pentagonale), 30 de muchii și 20 de vârfuri (3 muchii converg în fiecare).

Icosaedru (apa)- constă din 20 de triunghiuri echilaterale și egale legate prin cinci în apropierea fiecărui vârf. Numărul de muchii este 30, numărul de vârfuri este 12. Icosaedrul are 59 de stelări.

Poliedrele sunt fie convexe, fie neconvexe. Un poliedru se numește convex dacă este situat pe o parte a planului fiecăreia dintre fețele sale. Tetraedrul, paralelipipedul și octaedrul sunt poliedre convexe.Este clar că toate fețele unui poliedru convex sunt poligoane convexe. Se poate dovedi cu ușurință că într-un poliedru convex suma tuturor unghiurilor plane la fiecare dintre vârfurile sale este mai mică de 360°.

Pentru un poliedru convex, teorema lui Euler B + G − P = 2 este adevărată, unde B este numărul de vârfuri ale poliedrului, G este numărul de fețe, P este numărul de muchii.

Un poliedru convex, ale cărui vârfuri se află în două plane paralele, se numește prismatoid. O prismă, o piramidă și o piramidă trunchiată sunt cazuri speciale de prismatoid. Toate fețele laterale ale unui prismatoid sunt triunghiuri sau patrulatere, iar fețele patrulatere sunt trapeze sau paralelograme.

Poliedrul este, de asemenea, împărțit în regulat și neregulat. Un poliedru se numește regulat dacă fețele sale sunt poligoane regulate (adică acelea în care toate laturile și unghiurile sunt egale) și toate unghiurile poliedrice de la vârfuri sunt egale. Poliedrele regulate sunt cunoscute din cele mai vechi timpuri.În mare măsură, poliedrele regulate au fost studiate de grecii antici.Euclid a oferit o descriere matematică completă a poliedrelor regulate în ultima carte a XIII-a a Începuturilor. De asemenea este si poliedre semiregulate- în cazul general, acestea sunt diverse poliedre convexe, care, deși nu sunt regulate, au unele dintre trăsăturile lor, de exemplu: toate fețele sunt egale, sau toate fețele sunt poligoane regulate sau există anumite simetrii spațiale. Definiția poate varia și include diferite tipuri de poliedre, dar în primul rând aceasta include solidele arhimediene.

poliedru stelar ( Un corp stelat este un poliedru neconvex ale cărui fețe se intersectează. Ca și în cazul poliedrelor nestelate, fețele sunt conectate în perechi la muchii (în acest caz, liniile de intersecție interne nu sunt considerate muchii).Forma în stea a unui poliedru este un poliedru obținut prin extinderea fețelor unui poliedru dat prin muchii până la următoarea intersecție cu alte fețe de-a lungul noilor muchii.

Poliedre stelare regulate sunt poliedre stelate ale căror fețe sunt poligoane regulate sau stelate identice (congruente). Spre deosebire de cele cinci poliedre regulate clasice (solide platonice), aceste poliedre nu sunt solide convexe.

În 1811, Augustin Lou Cauchy a stabilit că există doar 4 corpuri stelare regulate (se numesc corpuri Kepler-Poinsot), care nu sunt compuși ai corpurilor platoniciene și stelate. Acestea includ micul dodecaedru stelat și marele dodecaedru stelat descoperit de Johannes Kepler în 1619 și marele dodecaedru și marele icosaedru descoperit în 1809 de Louis Poinsot. Poliedrele stelate regulate rămase sunt fie compuși ai solidelor platonice, fie compuși ai solidelor Kepler-Poinsot.

Poliedre stele semiregulate sunt poliedre stelate ale căror fețe sunt poligoane regulate sau stelate, dar nu neapărat identice. În acest caz, structura tuturor vârfurilor trebuie să fie aceeași (condiția de omogenitate). G. Coxeter, M. Longuet-Higgins și J. Miller au enumerat în 1954 53 de astfel de corpuri și au prezentat o ipoteză cu privire la caracterul complet al listei lor. Abia mult mai târziu, în 1969, Sopov S.P. a reușit să demonstreze că lista poliedrelor prezentate de aceștia este într-adevăr completă.

Multe forme de poliedre stelate sunt sugerate de natura însăși. De exemplu, fulgii de zăpadă sunt proiecții plate ale poliedrelor stelate. Unele molecule au structurile corecte ale figurilor tridimensionale.

Proprietățile poliedrelor:

Proprietatea 1. Într-un poliedru convex, toate fețele sunt poligoane convexe.

Proprietatea 2. Un poliedru convex poate fi compus din piramide cu un vârf comun, ale căror baze formează suprafața poliedrului.

Proprietatea 3. Un poliedru convex se află pe o parte a planului fiecăreia dintre fețele sale.

Proprietatea 4. În orice poliedru convex există o față cu numărul de muchii mai mic sau egal cu cinci.

Nu toate tipurile de poliedre enumerate sunt studiate și aplicate în școala elementară. Cel mai adesea, elevii de la lecțiile de matematică se familiarizează cu un cub, un poligon, o piramidă, un cilindru, un paralelipiped. Un exemplu de autori de manuale este Istomina A.I. Gradul 3, Dorofeev G.V., Mirakova T.N., Buka T.B. Clasa 3, Demidova T.E., Kozlova S.A., Tonkikh A.P. Clasa 3; încep și ei, se cunosc în clasa a II-a, acesta este un exemplu de manuale Dorofeev G.V., Mirakova T.N. Clasa 2

Astfel, am luat în considerare conceptele de poliedru și proprietățile acestuia. A enumerat tipurile de poliedre. Ne-am familiarizat cu istoria descoperirii poliedrului. S-a stabilit că poliedrele sunt de mare importanță în natură și pentru oameni. Deci, de exemplu, poliedrele sunt folosite în construcții.

Unghiuri triedrice și poliedrice:
Un unghi triedric este o formă
format din trei planuri delimitate de trei raze emanate din
un punct și nu minți într-unul
avioane.
Luați în considerare un apartament
poligon și un punct în exterior
planul acestui poligon.
Să tragem raze din acest punct,
trecând prin culmi
poligon. Vom obține o cifră
care se numește cu mai multe fațete
unghi.

Un unghi triedric este o parte a spațiului
delimitat de trei colturi plate cu un comun
vârf
Și
in perechi
uzual
petreceri,
Nu
culcat în același plan. Top comun Despre acestea
colțuri
numit
vârf
triedru
unghi.
Laturile colțurilor se numesc margini, colțuri plate
la vârful unui unghi triedric se numesc ei
chipuri. Fiecare dintre cele trei perechi de fețe ale unui unghi triedric
formează un unghi diedru

Proprietățile de bază ale unghiului triedric
1. Fiecare unghi plan al unui unghi triedric este mai mic decât suma
celelalte două colțuri plate ale sale.
+ > ; + > ; + >
α, β, γ - unghiuri plate,
A, B, C - unghiuri diedrice compuse din plane
unghiurile β și γ, α și γ, α și β.
2. Suma unghiurilor plane ale unui unghi triedric este mai mică decât
360 de grade
3. Teorema cosinusului întâi
pentru un unghi triedric
4. A doua teoremă a cosinusului pentru un unghi triedric

,
5. Teorema sinusului
Un unghi poliedric al cărui interior este
situate pe o parte a planului fiecăruia
fețele sale se numesc poliedric convex
unghi. În caz contrar, unghiul poliedric
se numește neconvex.

Un poliedru este un corp, o suprafață
care constă dintr-un număr finit
poligoane plate.

Elemente poliedrice
Fețele unui poliedru sunt
poligoane care
formă.
Marginile unui poliedru sunt laturile
poligoane.
Vârfurile poliedrului sunt
vârfurile poligoanelor.
Diagonala unui poliedru este
segment de linie care leagă 2 vârfuri
neaparținând aceluiași chip.

Poliedre
convex
neconvex

Poliedrul se numește convex,
daca este pe o parte
planul fiecărui poligon de pe el
suprafete.

UNGHURI POLIDEDRICE CONVEXE

Un unghi poliedric se numește convex dacă este convex
figura, adică, împreună cu oricare dintre punctele sale, conține în întregime și
linia care le leagă.
Figura prezintă exemple
convex
Și
neconvex
colţuri poliedrice.
Teorema. Suma tuturor unghiurilor plane ale unui unghi poliedric convex este mai mică de 360°.

POLITOPI CONVEXI

Un poliedru unghiular se numește convex dacă este o figură convexă,
adică, împreună cu oricare dintre punctele sale, conține în întregime legătura
segmentul lor.
Cubul, paralelipipedul, prisma triunghiulară și piramida sunt convexe
poliedre.
Figura prezintă exemple de piramidă convexă și neconvexă.

PROPRIETATE 1

Proprietatea 1. Într-un poliedru convex, toate fețele sunt
poligoane convexe.
Într-adevăr, fie F o față a poliedrului
M, iar punctele A, B aparțin feței F. Din condiția de convexitate
poliedrul M, rezultă că segmentul AB este în întregime cuprins
în poliedrul M. Întrucât acest segment se află în plan
poligonul F, acesta va fi cuprins în întregime în acesta
poligon, adică F este un poligon convex.

PROPRIETATE 2

Proprietatea 2. Orice poliedru convex poate fi compus din
piramide cu un vârf comun, ale căror baze formează o suprafață
poliedru.
Într-adevăr, fie M un poliedru convex. Hai să luăm câteva
un punct interior S al poliedrului M, adică un punct al acestuia care nu este
nu aparține nici unei fețe a poliedrului M. Legăm punctul S cu
vârfurile poliedrului M ca segmente. Rețineți că datorită convexității
poliedrul M, toate aceste segmente sunt cuprinse în M. Se consideră piramide cu
vârful S ale cărui baze sunt feţele poliedrului M. Acestea
piramidele sunt cuprinse în întregime în M și împreună formează poliedrul M.

Poliedre regulate

Dacă feţele poliedrului sunt
poligoane regulate cu unu și
același număr de laturi și la fiecare vârf
poliedrul converge cu același număr
muchii, apoi un poliedru convex
numit corect.

Numele poliedrelor

venit din Grecia antică,
ele indică numărul de fețe:
chip „edră”;
"tetra" 4;
"hexa" 6;
"octa" 8;
„ikosa” 20;
dodeca 12.

tetraedru regulat

Orez. 1
Format din patru
echilateral
triunghiuri. Fiecare
vârful ei este
top de trei
triunghiuri.
Prin urmare, suma
colțuri plate la
fiecare vârf este egal cu
180º.

Octaedru regulat
Orez. 2
Format din opt
echilateral
triunghiuri. Fiecare
vârful octaedrului
este vârful
patru triunghiuri.
Prin urmare, suma
colțuri plate la
fiecare vârf la 240º.

Icosaedru regulat
Orez. 3
Format din douăzeci
echilateral
triunghiuri. Fiecare
vârf de icosaedru
este primii cinci
triunghiuri.
Prin urmare, suma
colțuri plate la
fiecare vârf este egal cu
300º.

Cub (hexaedru)

Orez.
4
Format din șase
pătrate. Fiecare
partea de sus a cubului este
vârful a trei pătrate.
Prin urmare, suma
colțuri plate pentru fiecare
sus este 270º.

Dodecaedru regulat
Orez. 5
Format din doisprezece
corect
pentagoane. Fiecare
vârful dodecaedrului
este vârful celor trei
corect
pentagoane.
Prin urmare, suma
colțuri plate la
fiecare vârf este egal cu
324º.

Tabelul nr. 1
Corect
poliedru
Număr
chipuri
culmi
coaste
Tetraedru
4
4
6
cub
6
8
12
Octaedru
8
6
12
Dodecaedru
12
20
30
icosaedru
20
12
30

Formula lui Euler
Suma numărului de fețe și vârfuri ale oricăror
poliedru
este egal cu numărul de muchii plus 2.
G+W=R+2
Numărul de fețe plus numărul de vârfuri minus numărul
coaste
în orice poliedru este 2.
H+W R=2

Tabelul numărul 2
Număr
Corect
poliedru
Tetraedru
feţe şi
culmi
(G+V)
coaste
(R)
4+4=8
6
"tetra" 4;
cub
6 + 8 = 14
12
"hexa"
6;
Octaedru
8 + 6 = 14
12
"octa"
Dodecaedru
12 + 20 = 32
30
dodeca"
12.
30
"ikosa"
20
icosaedru
20 + 12 = 32
8

Dualitatea poliedrelor regulate

Formă hexaedru (cub) și octaedru
pereche dublă de poliedre. Număr
fețele unui poliedru este egală cu numărul
vârfurile celuilalt și invers.

Luați orice cub și luați în considerare un poliedru cu
vârfuri în centrul fețelor sale. Ce usor
asigurați-vă că obținem un octaedru.

Centrele fețelor octaedrului servesc drept vârfuri ale cubului.

Poliedre în natură, chimie și biologie
Cristalele unor substanțe cunoscute nouă sunt sub formă de poliedre regulate.
Cristal
pirită-
natural
model
dodecaedru.
cristale
gătit
trec sărurile
formă de cub.
Monocristal
antimoniu
Cristal
aluminosulfat
(prisma)
potasiu alaun sodiu - tetraedru.
are forma
octaedru.
Într-o moleculă
metanul are
formă
corect
tetraedru.
Icosaedrul a fost în centrul atenției biologilor în disputele lor cu privire la formă
virusuri. Virusul nu poate fi perfect rotund, așa cum se credea anterior. La
pentru a-i stabili forma, au luat diverse poliedre, au îndreptat lumina spre ei
în aceleaşi unghiuri ca fluxul de atomi către virus. S-a dovedit că doar unul
poliedrul dă exact aceeași umbră – icosaedrul.
În procesul de diviziune a ouălor, se formează mai întâi un tetraedru de patru celule, apoi
octaedrul, cubul și în final structura dodecaedrică-icosaedrică a gastrulei. Și, în sfârșit
poate cel mai important lucru – structura ADN-ului codului genetic al vieţii – reprezintă
o măturare în patru dimensiuni (de-a lungul axei timpului) a unui dodecaedru rotativ!

Poliedre în art
„Portretul Monna Lisa”
Compoziția desenului se bazează pe aur
triunghiuri care sunt părți
pentagon stelat regulat.
gravura "Melancolie"
În prim-planul tabloului
dodecaedru înfățișat.
„Ultima Cina”
Hristos cu ucenicii Săi este înfățișat în
fundalul unui uriaș dodecaedru transparent.

Poliedre în arhitectură
Muzeele de fructe
Muzeul de fructe din Yamanashi a fost creat cu ajutorul lui
Modelare 3D.
piramide
farul alexandrin
Turnul Spasskaya
Kremlinul.
Turnul Spasskaya cu patru niveluri cu Biserica Mântuitorului
Nu este făcută manual - intrarea principală în Kremlinul din Kazan.
Ridicat în secolul al XVI-lea de către arhitecții din Pskov Ivan
Shiryayem și Postnik Yakovlev, poreclit
„Barma”. Cele patru niveluri ale turnului sunt
cub, poliedre și piramidă.