Un algoritm simplu pentru găsirea extremelor...

• Găsirea derivatei funcției
• Echivalăm această derivată cu zero
• Găsim valorile variabilei expresiei rezultate (valorile variabilei la care derivata este convertită la zero)
• Folosind aceste valori, împărțim linia de coordonate în intervale (nu uitați de punctele de întrerupere, care, de asemenea, trebuie trasate pe linie), toate aceste puncte sunt numite puncte „suspecte” pentru extremum
• Calculăm care dintre aceste intervale derivata va fi pozitivă și care va fi negativă. Pentru a face acest lucru, trebuie să înlocuiți valoarea din interval în derivată.

Dintre punctele suspecte pentru un extremum, este necesar să găsiți . Pentru a face acest lucru, ne uităm la intervalele noastre pe linia de coordonate. Dacă, la trecerea printr-un punct, semnul derivatei se schimbă de la plus la minus, atunci acest punct va fi maxim, iar dacă de la minus la plus, atunci minim.

Pentru a găsi cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții, trebuie să calculați valoarea funcției la capetele segmentului și la punctele extreme. Apoi selectați valoarea cea mai mare și cea mai mică.

Să ne uităm la un exemplu
Găsim derivata și o echivalăm cu zero:

Graficăm valorile obținute ale variabilelor pe linia de coordonate și calculăm semnul derivatei pe fiecare dintre intervale. Ei bine, de exemplu, pentru primul să luăm-2 , atunci derivata va fi egală-0,24 , pentru al doilea vom lua0 , atunci derivata va fi2 , iar pentru al treilea luăm2 , atunci derivata va fi-0,24. Punem jos semnele potrivite.

Vedem că la trecerea prin punctul -1, derivata își schimbă semnul din minus în plus, adică acesta va fi punctul minim, iar la trecerea prin 1, se va schimba semnul din plus în minus, respectiv, acesta va fi punct maxim.

1°

1°. Determinarea extremului unei funcții.

Conceptele de maxim, minim și extremum ale unei funcții a două variabile sunt similare cu conceptele corespunzătoare ale unei funcții a unei variabile independente.

Lasă funcția z =f (X ; y) definite într-o anumită zonă D punct N (x 0 ;y 0) D.

Punct (x 0 ;y 0) numit un punct maxim funcții z= f (X ;y), dacă există o astfel de -vecinătate a punctului (x 0 ;y 0), că pentru fiecare punct (X y), diferit de (x 0 ;y 0) din acest cartier se menține inegalitatea f (X ;y)< f (x 0 ;y 0).În figura 12: N 1 - punct maxim, a N 2 - punctul minim al funcției z =f (X ;y).

Punctul este determinat în mod similar minim funcții: pentru toate punctele (x 0 ;y 0), diferit de (x 0 ;y 0), din d -vecinatatea unui punct (x 0 ;y 0) inegalitatea este valabilă: f (x 0 ;y 0) >f (x 0 ;y 0).

Extremul unei funcții de trei sau mai multe variabile este determinat în mod similar.

Se numește valoarea funcției în punctul maxim (minim). maxim (minimum) funcții.

Maximul și minimul unei funcții este numit extrema.

Rețineți că, în virtutea definiției, punctul extremum al funcției se află în domeniul funcției; maxim si minim au local caracter (local): valoarea unei funcții într-un punct (x 0 ;y 0) este comparată cu valorile sale în puncte suficient de apropiate de (x 0 ;y 0).În zonă D o funcție poate avea mai multe extreme sau niciuna.

2°. Condiții necesare pentru un extremum.

Să luăm în considerare condițiile existenței unui extremum al unei funcții.

Egalități geometrice f"y (x 0 ;y 0)= 0 și f"y (x 0 ;y 0) = 0 înseamnă că în punctul extremum al funcției z = f (X ; y) plan tangent la suprafața care reprezintă funcția f (X ; y), paralel cu planul Oh hooîntrucât ecuaţia planului tangent este z =z 0.

Cometariu. O funcție poate avea un extremum în punctele în care cel puțin una dintre derivatele parțiale nu există. De exemplu, funcția are un maxim la punct DESPRE(0;0), dar nu are derivate parțiale în acest moment.

Punctul în care derivatele parțiale de ordinul întâi ale funcției z = f (X ;y) sunt egale cu zero, adică f"X = 0, f" y = 0, numit punct staționar funcții z.

Sunt numite punctele staționare și punctele în care cel puțin o derivată parțială nu există puncte critice.

În punctele critice, funcția poate avea sau nu un extremum. Egalitatea derivatelor parțiale la zero este o condiție necesară, dar nu suficientă pentru existența unui extremum. Luați în considerare, de exemplu, funcția z = hu. Pentru aceasta, punctul 0(0; 0) este critic (se transformă în zero). Cu toate acestea, funcția extremum este z = xy nu are, deoarece într-o vecinătate suficient de mică a punctului O(0;0) există puncte pentru care z> 0 (puncte din sferturile 1 și 3) și z< 0 (punctele din trimestrul II și IV).

Astfel, pentru a găsi extremele unei funcții într-o zonă dată, este necesar să se supună fiecare punct critic al funcției unor cercetări suplimentare.

Punctele staționare se găsesc prin rezolvarea sistemului de ecuații

fx (x, y) = 0, f"y (x, y) = 0

(condiţiile necesare pentru un extremum).

Sistemul (1) este echivalent cu o ecuație df(x, y)=0.În general, la punctul extremum P(a, b) funcții f(x, y) sau df(x, y)=0, sau df(a, b) nu exista.

3°. Condiții suficiente pentru un extremum. Lăsa P(a; b)- punctul staționar al funcției f(X y), adică . df(a, b) = 0. Apoi:

si daca d2f (a, b)< 0 la , atunci f(a, b) Există maxim funcții f (X y);

b) dacă d2f (a, b) > 0 la , atunci f(a, b)Există minim funcții f (X y);

c) dacă d2f (a, b) schimba semnul, atunci f (a, b) nu este un extremum al funcției f (X y).

Condiţiile date sunt echivalente cu următoarele: lit Și . Hai să compunem discriminant Δ=AC -B².

1) dacă Δ > 0, atunci funcția are un extrem în punct P(a;b) anume maximul daca A<0 (sau CU<0 ), iar minimul dacă A>0(sau С>0);

2) dacă Δ< 0, то экстремума в точке P(a; b) Nu;

3) dacă Δ =0, atunci se pune problema prezenței unui extremum al funcției în punct P(a; b) rămâne deschisă (sunt necesare cercetări suplimentare).

4°. Cazul unei funcţii a mai multor variabile. Pentru o funcție de trei sau mai multe variabile, condițiile necesare pentru existența unui extremum sunt similare condițiilor (1), iar condițiile suficiente sunt similare condițiilor a), b), c) 3°.

Exemplu. Examinați funcția extremum z=x³+3xy²-15x-12y.

Soluţie. Să găsim derivate parțiale și să creăm un sistem de ecuații (1):

Rezolvând sistemul, obținem patru puncte staționare:

Să găsim derivatele de ordinul 2

și creează un discriminant Δ=AC - B² pentru fiecare punct staționar.

1) Pentru punct: , Δ=AC-B2=36-144<0 . Aceasta înseamnă că nu există un extremum în acest punct.

2) Pentru punctul P2: A=12, B=6, C=12; A=144-36>0, A>0. La punctul P2 funcția are un minim. Acest minim este egal cu valoarea funcției la x=2, y=1: ​​​​zmin=8+6-30-12=-28.

3) Pentru punct: A=-6, B=-12, C=-6; Δ = 36-144<0 . Nu există extremă.

4) Pentru punctul P 4: A=-12, B=-6, C=-12; A=144-36>0. La punctul P4 functia are un maxim egal cu Zmax=-8-6+30+12=28.

5°. Extremum condiționat. În cel mai simplu caz extremul condiționat funcții f(X y) este maximul sau minimul acestei funcții, realizat cu condiția ca argumentele acesteia să fie legate prin ecuație φ(x,y)=0 (ecuația conexiunii). Pentru a găsi extremul condiționat al unei funcții f(X y) în prezenţa unei relaţii φ(x,y) = 0, constituie așa-numitele Funcția Lagrange

F (X,y )=f (X,y)+λφ (X,y),

unde λ este un factor constant nedefinit și se caută extremul obișnuit al acestei funcții auxiliare. Condițiile necesare pentru un extremum sunt reduse la un sistem de trei ecuații

cu trei necunoscute x, y, λ, din care se pot determina, în general, aceste necunoscute.

Problema existenței și naturii extremumului condiționat este rezolvată pe baza studierii semnului celei de-a doua diferențe a funcției Lagrange.

pentru sistemul de valori testat x, y, λ, obtinut din (2) cu conditia ca dxȘi dу corelate prin ecuație

.

Și anume, funcția f(X y) are un maxim condiționat dacă d²F< 0 și un minim condiționat dacă d²F>0. În special, dacă discriminantul Δ pentru funcție F(x,y) este pozitivă într-un punct staționar, atunci în acest punct există un maxim condiționat al funcției f(X y), Dacă A< 0 (sau CU< 0), și un minim condiționat dacă A > O(sau С>0).

În mod similar, extremul condiționat al unei funcții de trei sau mai multe variabile se găsește în prezența uneia sau mai multor ecuații de conexiune (al căror număr, totuși, trebuie să fie mai mic decât numărul de variabile). Aici trebuie să introducem atât de mulți factori nesiguri în funcția Lagrange câte ecuații de cuplare există.

Exemplu. Găsiți extremul funcției z =6-4x -3y cu condiţia ca variabilele XȘi la satisface ecuația x²+y²=1.

Soluţie. Din punct de vedere geometric, problema se rezumă la găsirea celor mai mari și mai mici valori ale aplicației z avion z=6 - 4x - Zu pentru punctele de intersecție a acestuia cu cilindrul x2+y2=1.

Compuneți funcția Lagrange F(x,y)=6 -4x -3y+λ(x2+y2 -1).

Avem . Condițiile necesare dau sistemul de ecuații

rezolvarea pe care o găsim:

.

,

d²F =2λ (dx²+dy²).

Dacă și , atunci d²F >0, și, prin urmare, în acest moment funcția are un minim condiționat. Dacă și apoi d²F<0, și, prin urmare, în acest moment funcția are un maxim condiționat.

Prin urmare,

6°. Cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții.

Lasă funcția z =f (X ; y) definit și continuu într-un domeniu închis mărginit . Apoi ajunge în unele puncte cel mai mare al tău M si cel mai putin T valori (așa-numitele extremum global). Aceste valori sunt obținute prin funcție în punctele situate în interiorul regiunii , sau în puncte situate la limita regiunii.

Valorile funcției și punctele maxime și minime

Cea mai mare valoare a funcției

Cea mai mică valoare a funcției

După cum a spus nașul: „Nimic personal”. Doar derivate!

Sarcina 12 din statistici este considerată destul de dificilă și totul pentru că băieții nu au citit acest articol (glumă). În cele mai multe cazuri, nepăsarea este de vină.

12 sarcina este de două tipuri:

1. Găsiți punctul înalt/jos (solicitat să găsească valorile „x”).
2. Găsiți cea mai mare/cea mai mică valoare a unei caracteristici (se solicită să găsească valorile „y”).

Cum se procedează în aceste cazuri?

Găsiți punctul maxim/minim

1. Echivalează-l cu zero.
2. „X” găsit sau găsit va fi punctele minime sau maxime.
3. Determinați semnele utilizând metoda intervalului și selectați ce punct este necesar în sarcină.

Sarcini de examinare unificată de stat:

Găsiți punctul maxim al funcției

• Luăm derivata:

Așa este, mai întâi funcția crește, apoi scade - acesta este punctul maxim!
Răspuns: −15

Găsiți punctul minim al funcției

• Să transformăm și să luăm derivata:

• Grozav! Mai întâi funcția scade, apoi crește - acesta este punctul minim!

Răspuns: −2

Găsiți cea mai mare/mai mică valoare a unei funcții

1. Luați derivata funcției propuse.
   
2. Echivalează-l cu zero.
   
3. „x” găsit va fi punctul minim sau maxim.
   
4. Determinați semnele utilizând metoda intervalului și selectați ce punct este necesar în sarcină.
5. În astfel de sarcini, un decalaj este întotdeauna specificat: X-urile găsite la pasul 3 trebuie incluse în acest decalaj.
6. Înlocuiți punctul maxim sau minim rezultat în ecuația originală și obținem cea mai mare sau cea mai mică valoare a funcției.

Sarcini de examinare unificată de stat:

Aflați cea mai mare valoare a funcției pe intervalul [−4; −1]

Răspuns: −6

Găsiți cea mai mare valoare a funcției de pe segment

• Cea mai mare valoare a funcției este „11” în punctul maxim (pe acest segment) „0”.

Raspuns: 11

Concluzii:

1. 70% dintre greșeli sunt că băieții nu-și amintesc la ce ca răspuns cea mai mare/mai mică valoare a funcției trebuie scrisă „y”, și pe scrieți punctul maxim/minim „x”.
2. Nu există o soluție pentru derivată atunci când găsiți valorile unei funcții? Nicio problemă, înlocuiți punctele extreme ale decalajului!
3. Răspunsul poate fi întotdeauna scris ca număr sau zecimal. Nu? Apoi regândește exemplul.
4. În majoritatea sarcinilor, vom obține un punct și lenea noastră de a verifica maximul sau minimul va fi justificată. Avem un punct - poți scrie înapoi în siguranță.
5. Si aici Nu ar trebui să faceți acest lucru atunci când căutați valoarea unei funcții! Verificați dacă acesta este punctul potrivit, altfel valorile extreme ale decalajului pot fi mai mari sau mai mici.

Din acest articol, cititorul va afla despre ce este un extremum de valoare funcțională, precum și despre caracteristicile utilizării sale în practică. Studierea unui astfel de concept este extrem de importantă pentru înțelegerea fundamentelor matematicii superioare. Acest subiect este fundamental pentru un studiu mai profund al cursului.

In contact cu

Ce este un extremum?

În cursul școlar, sunt date multe definiții ale conceptului „extremum”. Acest articol are scopul de a oferi cea mai profundă și mai clară înțelegere a termenului pentru cei care nu cunosc problema. Deci, termenul este înțeles în ce măsură intervalul funcțional capătă o valoare minimă sau maximă pe o anumită mulțime.

Un extremum este atât valoarea minimă a unei funcții, cât și valoarea maximă în același timp. Există un punct minim și un punct maxim, adică valorile extreme ale argumentului de pe grafic. Principalele științe care folosesc acest concept sunt:

• statistici;
• controlul mașinii;
• econometrie.

Punctele extreme joacă un rol important în determinarea succesiunii unei anumite funcții. Sistemul de coordonate din grafic arată cel mai bine schimbarea poziției extreme în funcție de schimbarea funcționalității.

Extreme ale funcției derivate

Există, de asemenea, un astfel de fenomen ca „derivat”. Este necesar să se determine punctul extremum. Este important să nu confundați punctele minime sau maxime cu cele mai mari și cele mai mici valori. Acestea sunt concepte diferite, deși pot părea similare.

Valoarea funcției este factorul principal în determinarea modului de găsire a punctului maxim. Derivata nu se formează din valori, ci exclusiv din poziția sa extremă într-una sau alta ordine.

Derivata în sine este determinată pe baza acestor puncte extreme, și nu pe cea mai mare sau mai mică valoare. În școlile rusești, linia dintre aceste două concepte nu este clar trasată, ceea ce afectează înțelegerea acestui subiect în general.

Să considerăm acum un astfel de concept drept „extremul acut”. Astăzi, există o valoare minimă acută și o valoare maximă acută. Definiția este dată în conformitate cu clasificarea rusă a punctelor critice ale unei funcții. Conceptul de punct extremum este baza pentru găsirea punctelor critice pe un grafic.

Pentru a defini un astfel de concept, ei recurg la utilizarea teoremei lui Fermat. Este cel mai important în studiul punctelor extreme și oferă o idee clară a existenței lor într-o formă sau alta. Pentru a asigura extremitatea, este important să se creeze anumite condiții pentru o scădere sau creștere pe grafic.

Pentru a răspunde cu exactitate la întrebarea „cum să găsiți punctul maxim”, trebuie să urmați aceste instrucțiuni:

1. Găsirea domeniului exact de definiție pe grafic.
2. Căutați derivata unei funcții și punctul extremum.
3. Rezolvați inegalitățile standard pentru domeniul în care se găsește argumentul.
4. Să fie capabil să demonstreze în ce funcții este definit și continuu un punct dintr-un grafic.

Atenţie! Căutarea punctului critic al unei funcții este posibilă numai dacă există o derivată de cel puțin ordinul doi, care este asigurată de o proporție mare a prezenței unui punct extremum.

Condiție necesară pentru extremul unei funcții

Pentru ca un extremum să existe, este important să existe atât puncte minime, cât și maxime. Dacă această regulă este respectată doar parțial, atunci condiția existenței unui extremum este încălcată.

Fiecare funcție în orice poziție trebuie diferențiată pentru a-și identifica noile semnificații. Este important de înțeles că cazul unui punct care merge la zero nu este principiul principal pentru găsirea unui punct diferențiabil.

Un extremum acut, precum și un minim al unei funcții, este un aspect extrem de important al rezolvării unei probleme matematice folosind valori extreme. Pentru a înțelege mai bine această componentă, este important să vă referiți la valorile tabelare pentru specificarea funcționalității.

Cercetare completă a sensului

Trasarea unui grafic de valori

1. Determinarea punctelor de creștere și scădere a valorilor. 2. Găsirea punctelor de rupere, a extremului și a intersecției cu axele de coordonate. 3. Procesul de determinare a schimbărilor de poziție pe diagramă. 4. Determinarea indicatorului și direcției convexității și convexității, ținând cont de prezența asimptotelor. 5. Realizarea unui tabel rezumativ al cercetării din punctul de vedere al determinării coordonatelor acestuia. 6. Constatarea intervalelor de crestere si scadere a punctelor extreme si acute. 7. Determinarea convexității și concavității curbei. 8. Trasarea unui grafic ținând cont de cercetare vă permite să găsiți minimul sau maximul.

Elementul principal atunci când este necesar să se lucreze cu puncte extreme este construcția precisă a graficului său. Profesorii școlii nu acordă adesea maximă atenție unui aspect atât de important, care este o încălcare gravă a procesului educațional. Construirea unui grafic are loc numai pe baza rezultatelor studierii datelor funcționale, identificând extremele acute, precum și punctele din grafic. Extremele ascuțite ale funcției derivate sunt afișate pe un grafic de valori exacte, folosind o procedură standard pentru determinarea asimptotelor. Punctele maxime și minime ale funcției sunt însoțite de construcții grafice mai complexe. Acest lucru se datorează unei nevoi mai profunde de a rezolva problema extremului acut. De asemenea, este necesar să se găsească derivata unei funcții complexe și simple, deoarece acesta este unul dintre cele mai importante concepte în problema extremumului.

Extremul funcționalului

Pentru a găsi valoarea de mai sus, trebuie să respectați următoarele reguli:

• determinați condiția necesară pentru o relație extremă;
• luați în considerare starea suficientă a punctelor extreme de pe grafic;
• efectuați calculul extremului acut.

Sunt folosite și concepte precum minim slab și minim puternic. Acest lucru trebuie luat în considerare la determinarea extremului și calculul precis al acestuia. În același timp, funcționalitatea acută este căutarea și crearea tuturor condițiilor necesare pentru a lucra cu graficul unei funcții.

Punctul extremum al unei funcții este punctul din domeniul de definire al funcției la care valoarea funcției capătă o valoare minimă sau maximă. Valorile funcției în aceste puncte se numesc extreme (minim și maxim) ale funcției.

Definiție. Punct X1 domeniul functional f(X) se numește punctul maxim al funcției , dacă valoarea funcției în acest punct este mai mare decât valorile funcției în puncte suficient de apropiate de ea, situate la dreapta și la stânga acesteia (adică inegalitatea f(X0 ) > f(X 0 + Δ X) X1 maxim.

Definiție. Punct X2 domeniul functional f(X) se numește punctul minim al funcției, dacă valoarea funcției în acest punct este mai mică decât valorile funcției în puncte suficient de apropiate de ea, situate la dreapta și la stânga acesteia (adică inegalitatea f(X0 ) < f(X 0 + Δ X) ). În acest caz spunem că funcția are la punctul X2 minim.

Să spunem ideea X1 - punctul maxim al functiei f(X). Apoi în intervalul până la X1 funcția crește, prin urmare derivata funcției este mai mare decât zero ( f "(X) > 0 ), iar în intervalul de după X1 funcția scade, prin urmare, derivata unei functii mai putin de zero ( f "(X) < 0 ). Тогда в точке X1

Să presupunem, de asemenea, că ideea X2 - punctul minim al funcției f(X). Apoi în intervalul până la X2 funcția este în scădere, iar derivata funcției este mai mică decât zero ( f "(X) < 0 ), а в интервале после X2 funcția este în creștere, iar derivata funcției este mai mare decât zero ( f "(X) > 0 ). În acest caz și la punct X2 derivata functiei este zero sau nu exista.

Teorema lui Fermat (un semn necesar al existenței unui extremum al unei funcții). Dacă punctul X0 - punctul extremum al funcției f(X) atunci în acest moment derivata funcției este egală cu zero ( f "(X) = 0 ) sau nu există.

Definiție. Sunt numite punctele în care derivata unei funcții este zero sau nu există puncte critice .

Exemplul 1. Să luăm în considerare o funcție.

La punctul X= 0 derivata functiei este zero, deci punctul X= 0 este punctul critic. Cu toate acestea, după cum se poate vedea pe graficul funcției, aceasta crește în întregul domeniu de definiție, deci punctul X= 0 nu este punctul extrem al acestei funcții.

Astfel, condițiile ca derivata unei funcții într-un punct să fie egală cu zero sau să nu existe sunt condiții necesare pentru un extremum, dar nu suficiente, deoarece pot fi date și alte exemple de funcții pentru care aceste condiții sunt îndeplinite, dar funcția nu are un extremum în punctul corespunzător. De aceea trebuie să existe suficiente dovezi, care permit să se judece dacă există un extremum într-un anumit punct critic și care - un maxim sau un minim.

Teoremă (primul semn suficient al existenței unui extremum al unei funcții). Punct critic X0 f(X) , dacă derivata funcției își schimbă semnul la trecerea prin acest punct, iar dacă semnul se schimbă de la „plus” la „minus”, atunci punctul maxim, iar dacă de la „minus” la „plus”, atunci punctul minim .

Dacă aproape de punct X0 , la stânga și la dreapta acesteia, derivata își păstrează semnul, asta înseamnă că funcția fie doar scade, fie crește doar într-o anumită vecinătate a punctului X0 . În acest caz, la punctul X0 nu există extremum.

Asa de, pentru a determina punctele extreme ale funcției, trebuie să faceți următoarele :

1. Aflați derivata funcției.
2. Echivalează derivata cu zero și determină punctele critice.
3. Mental sau pe hârtie, marcați punctele critice pe dreapta numerică și determinați semnele derivatei funcției în intervalele rezultate. Dacă semnul derivatei se schimbă de la „plus” la „minus”, atunci punctul critic este punctul maxim, iar dacă de la „minus” la „plus”, atunci punctul minim.
4. Calculați valoarea funcției la punctele extreme.

Exemplul 2. Găsiți extremele funcției .

Soluţie. Să găsim derivata funcției:

Să echivalăm derivata cu zero pentru a găsi punctele critice:

.

Deoarece pentru orice valoare a lui „x” numitorul nu este egal cu zero, echivalăm numărătorul cu zero:

Am un punct critic X= 3 . Să determinăm semnul derivatei în intervalele delimitate de acest punct:

în intervalul de la minus infinit la 3 - un semn minus, adică funcția scade,

în intervalul de la 3 la plus infinit există un semn plus, adică funcția crește.

Adică punct X= 3 este punctul minim.

Să găsim valoarea funcției în punctul minim:

Astfel, punctul extremum al funcției se găsește: (3; 0), și este punctul minim.

Teoremă (al doilea semn suficient al existenței unui extremum al unei funcții). Punct critic X0 este punctul extremum al funcției f(X) dacă derivata a doua a funcției în acest punct nu este egală cu zero ( f ""(X) ≠ 0 ), iar dacă derivata a doua este mai mare decât zero ( f ""(X) > 0 ), atunci punctul maxim și dacă derivata a doua este mai mică decât zero ( f ""(X) < 0 ), то точкой минимума.

Notă 1. Dacă la punct X0 Dacă ambele derivate prima și a doua dispar, atunci în acest moment este imposibil să se judece prezența unui extremum pe baza celui de-al doilea criteriu suficient. În acest caz, trebuie să utilizați primul criteriu suficient pentru extremul unei funcții.

Observația 2. Al doilea criteriu suficient pentru extremul unei funcții nu este aplicabil chiar și atunci când derivata întâi nu există într-un punct staționar (atunci nici derivata a doua nu există). În acest caz, trebuie să utilizați și primul semn suficient al unui extremum al unei funcții.

Natura locală a extremelor funcției

Din definițiile de mai sus rezultă că extremul unei funcții este de natură locală - este cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției în comparație cu valorile apropiate.

Să presupunem că vă uitați la câștigurile dvs. pe o perioadă de un an. Dacă în mai ați câștigat 45.000 de ruble, iar în aprilie 42.000 de ruble și în iunie 39.000 de ruble, atunci câștigurile din mai sunt maximul funcției de câștig în comparație cu valorile din apropiere. Dar în octombrie ai câștigat 71.000 de ruble, în septembrie 75.000 de ruble și în noiembrie 74.000 de ruble, deci câștigurile din octombrie sunt minimul funcției de câștig în comparație cu valorile din apropiere. Și puteți observa cu ușurință că maximul dintre valorile lunilor aprilie-mai-iunie este mai mic decât cel minim din septembrie-octombrie-noiembrie.

În general, pe un interval o funcție poate avea mai multe extreme și se poate dovedi că un anumit minim al funcției este mai mare decât orice maxim. Deci, pentru funcția prezentată în figura de mai sus, .

Adică, nu trebuie să credem că maximul și minimul unei funcții sunt, respectiv, valorile sale cele mai mari și cele mai mici pe întregul segment luat în considerare. În punctul maxim, funcția are cea mai mare valoare doar în comparație cu acele valori pe care le are în toate punctele suficient de aproape de punctul maxim, iar în punctul minim are cea mai mică valoare doar în comparație cu acele valori. că are în toate punctele suficient de aproape de punctul minim.

Prin urmare, putem rafina conceptul de mai sus de puncte extreme ale unei funcții și numim punctele minime puncte minime locale, iar punctele maxime - puncte maxime locale.

Căutăm împreună extremele funcției

Exemplul 3.

Soluție: Funcția este definită și continuă pe întreaga linie numerică. Derivatul său există și pe întreaga linie numerică. Prin urmare, în acest caz, punctele critice sunt doar cele în care, i.e. , de unde și . Puncte critice și împărțiți întregul domeniu al funcției în trei intervale de monotonitate: . Selectăm câte un punct de control în fiecare dintre ele și găsim semnul derivatei în acest punct.

Pentru interval, punctul de control poate fi: găsi. Luând un punct în interval, obținem, și luând un punct în interval, avem. Deci, în intervalele și , și în intervalul . Conform primului semn suficient al unui extremum, nu există un extrem în punct (deoarece derivata își păstrează semnul în intervalul ), iar funcția are un minim în punct (deoarece derivata își schimbă semnul din minus în plus când trece). prin acest punct). Să găsim valorile corespunzătoare ale funcției: , a . În interval funcția scade, deoarece în acest interval , iar în interval crește, deoarece în acest interval .

Pentru a clarifica construcția graficului, găsim punctele de intersecție ale acestuia cu axele de coordonate. Când obținem o ecuație ale cărei rădăcini sunt și , adică se găsesc două puncte (0; 0) și (4; 0) ale graficului funcției. Folosind toate informațiile primite, construim un grafic (vezi începutul exemplului).

Pentru autoverificare în timpul calculelor, puteți utiliza calculator derivat online .

Exemplul 4 Găsiți extremele funcției și construiți graficul acesteia.

Domeniul de definire al unei funcții este întreaga dreaptă numerică, cu excepția punctului, i.e. .

Pentru a scurta studiul, puteți folosi faptul că această funcție este uniformă, deoarece . Prin urmare, graficul său este simetric față de axă Oi iar studiul poate fi efectuat numai pentru interval.

Găsirea derivatei și punctele critice ale funcției:

1) ;

2) ,

dar funcția suferă o discontinuitate în acest punct, deci nu poate fi un punct extremum.

Astfel, funcția dată are două puncte critice: și . Ținând cont de paritatea funcției, vom verifica doar punctul folosind al doilea criteriu suficient pentru un extremum. Pentru a face acest lucru, găsim derivata a doua și determinați-i semnul la: obținem . Deoarece și , este punctul minim al funcției, și .

Pentru a obține o imagine mai completă a graficului unei funcții, să aflăm comportamentul acesteia la granițele domeniului de definiție:

(aici simbolul indică dorința X la zero din dreapta și X rămâne pozitiv; în mod similar înseamnă aspirație X la zero de la stânga și X rămâne negativ). Astfel, dacă , atunci . În continuare, găsim

,

acestea. daca atunci .

Graficul unei funcții nu are puncte de intersecție cu axele. Imaginea este la începutul exemplului.

Pentru autoverificare în timpul calculelor, puteți utiliza calculator derivat online .

Continuăm să căutăm împreună extremele funcției

Exemplul 8. Găsiți extremele funcției.

Soluţie. Să găsim domeniul de definire al funcției. Deoarece inegalitatea trebuie satisfăcută, obținem din .

Să găsim prima derivată a funcției.