Știm acum că viteza instantanee de modificare a funcției N(Z) la Z = +2 este -0,1079968336. Aceasta înseamnă sus/jos de-a lungul perioadei, deci când Z = +2, curba N(Z) crește cu -0,1079968336. Această situație este prezentată în Figura 3-13.

Măsura sensibilității „absolute” poate fi numită rata de modificare a unei funcții. Măsura sensibilității unei funcții la un punct dat ("viteza instantanee") se numește derivată.

Putem măsura gradul de sensibilitate absolută a variabilei y la modificările variabilei x dacă definim raportul Ay/Ax. Dezavantajul unei astfel de definiții a sensibilității este că depinde nu numai de punctul „inițial” XQ, față de care se ia în considerare modificarea argumentului, ci și de însăși valoarea intervalului Dx, pe baza căruia se determină viteza. . Pentru a elimina acest neajuns, se introduce conceptul de derivată (rata de schimbare a unei funcții într-un punct). La determinarea ratei de schimbare a unei funcții într-un punct, punctele XQ și xj sunt aduse împreună, tinzând intervalul Dx la zero. Rata de variație a funcției f (x) în punctul XQ și se numește derivată a funcției f (x) în punctul x. Semnificația geometrică a ratei de schimbare a funcției în punctul XQ este că aceasta este determinată de unghiul de înclinare al tangentei la graficul funcției în punctul XQ. Derivata este tangenta pantei tangentei la graficul funcției.

Dacă derivata y este considerată ca rata de modificare a funcției /, atunci valoarea y /y este rata de modificare a acesteia. Prin urmare, derivata logaritmică (In y)

Derivată în direcție - caracterizează viteza de schimbare a funcției z - f (x, y) în punctul MO (ZhO, UO) în direcția

Rata de modificare a funcției relativă 124,188

Până acum, am luat în considerare prima derivată a funcției , care vă permite să găsiți rata de schimbare a funcției. Pentru a determina dacă rata de schimbare este constantă, trebuie luată derivata a doua a funcției. Acesta este notat ca

Aici și mai jos, primul înseamnă diferențiere, astfel încât h este rata de modificare a funcției h în raport cu creșterea ofertei în exces).

O măsură a sensibilității „absolute” - rata de modificare a unei funcții (medie (raportul modificărilor) sau marginală (derivată))

Creștere de valoare, argument, funcție. Rata de schimbare a funcției

Rata de modificare a funcției pe interval (rata medie).

Dezavantajul unei astfel de definiții a vitezei este că această viteză depinde nu numai de punctul x0, față de care se ia în considerare modificarea argumentului, ci și de mărimea modificării argumentului în sine, adică. asupra valorii intervalului Dx, pe care se determină viteza. Pentru a elimina acest neajuns, se introduce conceptul de viteză de schimbare a unei funcții într-un punct (viteza instantanee).

Rata de schimbare a unei funcții într-un punct (rata instantanee).

Pentru a determina rata de schimbare a funcției în punctul J Q, punctele x și x0 sunt reunite, tinzând intervalul Ax spre zero. Modificarea funcției continue va tinde, de asemenea, spre zero. În acest caz, raportul dintre modificarea funcției care tinde spre zero și modificarea argumentului care tinde către zero dă rata de modificare a funcției în punctul x0 (viteza instantanee), mai precis, pe un interval relativ mic. pana la punct xd.

Această rată de modificare a funcției Dx) în punctul x0 este numită derivată a funcției Dx) în punctul xa.

Desigur, pentru a caracteriza rata de modificare a valorii lui y, s-ar putea folosi un indicator mai simplu, să zicem, derivata lui y față de L. Elasticitatea de substituție o este preferată datorită faptului că are un mare avantaj - este constantă pentru majoritatea funcțiilor de producție utilizate în practică, adică nu numai că nu se schimbă atunci când se deplasează de-a lungul unei izocuante, dar nici nu depinde de alegerea izocuantei.

Actualitatea controlului înseamnă că controlul eficient trebuie să fie oportun. Actualitatea sa constă în măsurabilitatea intervalului de timp al măsurătorilor și evaluărilor indicatorilor controlați, procesul activităților specifice ale organizației în ansamblu. Valoarea fizică a unui astfel de interval (frecvența măsurătorilor) este determinată de intervalul de timp al procesului măsurat (planului), ținând cont de rata de modificare a indicatorilor controlați și de costurile implementării operațiunilor de control. Cea mai importantă sarcină a funcției de control rămâne eliminarea abaterilor înainte ca acestea să conducă organizația într-o situație critică.

Pentru un sistem omogen la TV = 0, M = 0 5 dispare, de asemenea, astfel încât partea dreaptă a expresiei (6.20) este egală cu rata de modificare a funcției de bunăstare totală asociată cu eterogenitatea.

Sensul mecanic al derivatului. Pentru o funcție y = f(x) care se modifică cu timpul x, derivata y = f(xo] este rata de schimbare a lui y la momentul XQ.

Rata (rata) relativă de modificare a funcției y = f(x) este determinată de derivata logaritmică

Variabilele x înseamnă mărimea diferenței dintre cerere și ofertă pentru tipul corespunzător de mijloace de producție x = s - p. Funcția x(f) este diferențiabilă continuu în timp. Variabilele x" înseamnă rata de modificare a diferenței dintre cerere și ofertă. Traiectoria x (t) înseamnă dependența ratei de modificare a cererii și ofertei de mărimea diferenței dintre cerere și ofertă, care la rândul său depinde în timp, spațiul stărilor (spațiul fazelor) în cazul nostru este bidimensional, adică are forma unui plan de fază.

Astfel de proprietăți ale mărimii a explică faptul că rata de modificare a ratei marginale de substituție y este caracterizată pe baza ei și nu cu ajutorul oricărui alt indicator, de exemplu, derivata lui y față de x>. Mai mult, pentru un număr semnificativ de funcții, elasticitatea substituției este constantă nu numai de-a lungul izoclinelor, ci și de-a lungul izocuanților. Deci, pentru funcția de producție (2.20), folosind faptul că, conform izocli-

Există multe trucuri care pot fi trase la ritmuri de schimbare pe termen scurt. Acest model folosește o singură perioadă

Mulți vor fi surprinși de locația neașteptată a acestui articol în cursul autorului meu despre derivata unei funcții a unei variabile și aplicațiile acesteia. La urma urmei, așa cum a fost de la școală: un manual standard, în primul rând, oferă o definiție a unei derivate, semnificația sa geometrică, mecanică. În continuare, elevii găsesc derivate ale funcțiilor prin definiție și, de fapt, abia atunci se perfecționează tehnica de diferențiere folosind tabele derivate.

Dar, din punctul meu de vedere, următoarea abordare este mai pragmatică: în primul rând, este indicat să ÎNȚELEGI BINE limita funcției și, în special, infinitezimale. Adevărul este că

definiţia derivatei se bazează pe conceptul de limită , care este slab luat în considerare în cursul școlii. De aceea, o parte semnificativă a tinerilor consumatori de cunoștințe de granit pătrund slab în însăși esența derivatului. Astfel, dacă nu sunteți bine versat în calcul diferențial sau creierul înțelept a scăpat cu succes de acest bagaj de-a lungul anilor, vă rugăm să începeți cu limitele funcției . În același timp, stăpânește / amintește-ți decizia lor.

Același sens practic sugerează că este mai întâi profitabil

învață să găsești derivate, inclusiv derivate ale funcțiilor complexe . Teoria este o teorie, dar, după cum se spune, întotdeauna vrei să diferențiezi. În acest sens, este mai bine să elaborați lecțiile de bază enumerate și poate să deveniți maestru de diferențiere fără să-şi dea seama măcar de esenţa acţiunilor lor.

Recomand să începeți materialele de pe această pagină după ce ați citit articolul. Cele mai simple probleme cu o derivată, unde, în special, se consideră problema tangentei la graficul unei funcții. Dar poate fi amânat. Faptul este că multe aplicații ale derivatului nu necesită înțelegerea acestuia și nu este surprinzător că lecția teoretică a apărut destul de târziu - când trebuia să explic găsirea intervalelor de creștere/scădere și extremums funcții. Mai mult, a fost în subiect destul de mult timp " Funcții și grafice”, până când m-am hotărât să-l pun mai devreme.

Prin urmare, dragi ceainice, nu vă grăbiți să absorbiți esența derivatului, precum animalele flămânde, pentru că saturația va fi lipsită de gust și incompletă.

Conceptul de creștere, scădere, maxim, minim al unei funcții

Multe tutoriale duc la conceptul de derivat cu ajutorul unor probleme practice și am venit și cu un exemplu interesant. Imaginați-vă că trebuie să călătorim într-un oraș la care se poate ajunge în diferite moduri. Renunțăm imediat la căile curbe și întortocheate și vom lua în considerare doar liniile drepte. Cu toate acestea, direcțiile în linie dreaptă sunt și ele diferite: puteți ajunge în oraș pe o autostradă plată. Sau pe o autostradă deluroasă - în sus și în jos, în sus și în jos. Un alt drum merge doar în sus, iar altul merge în jos tot timpul. Căutătorii de senzații tari vor alege un traseu prin defileu cu o stâncă abruptă și o urcare abruptă.

Dar oricare ar fi preferințele dvs., este de dorit să cunoașteți zona, sau cel puțin să aveți o hartă topografică a acesteia. Dacă nu există astfel de informații? La urma urmei, puteți alege, de exemplu, o potecă plată, dar, ca rezultat, dați peste o pârtie de schi cu finlandezi amuzanți. Nu faptul că navigatorul și chiar

imaginea din satelit va oferi date fiabile. Prin urmare, ar fi bine să se oficializeze relieful căii prin intermediul matematicii.

Luați în considerare un drum (vedere laterală):

Pentru orice eventualitate, vă reamintesc un fapt elementar: călătoria are loc de la stânga la dreapta. Pentru simplitate, presupunem că funcția este continuă pe secțiunea luată în considerare.

Care sunt caracteristicile acestui grafic?

La intervale funcția este în creștere, adică fiecare valoare ulterioară a acesteia este mai mare decât cea anterioară. În linii mari, graficul merge de jos în sus (urcăm dealul). Și pe interval, funcția scade - fiecare valoare următoare este mai mică decât cea anterioară, iar graficul nostru merge de sus în jos (coborăm panta).

Să fim atenți și la punctele speciale. În punctul noi

ajungem la maxim , adică există o astfel de secțiune a drumului pe care valoarea va fi cea mai mare (mai mare). În același punct, se atinge un minim și există un astfel de cartier în care valoarea este cea mai mică (cea mai mică).

Terminologia și definițiile mai riguroase vor fi luate în considerare în lecție. despre extremele funcției, dar deocamdată să studiem încă o caracteristică importantă: pe intervale funcția crește, dar crește la viteze diferite. Și primul lucru care vă atrage atenția este că graficul intervalului se ridică mult mai misto decât pe interval. Este posibil să măsurați abruptul drumului folosind instrumente matematice?

Rata de schimbare a funcției

Ideea este aceasta: ia ceva valoare

(citiți „delta x”) , pe care o vom numiincrement de argument, și să începem să „încercăm” în diferite puncte ale drumului nostru:

1) Să ne uităm la punctul cel mai din stânga: ocolind distanța , urcăm panta la o înălțime (linia verde). Se numește cantitatea creșterea funcției, iar în acest caz această creștere este pozitivă (diferența de valori de-a lungul axei este mai mare decât

zero). Să facem raportul, care va fi măsura abruptului drumului nostru. Evident, acesta este un număr foarte specific și, din moment ce ambele creșteri sunt pozitive, atunci.

Atenţie! Desemnarea este un SINGUR simbol, adică nu puteți „smulge” „delta” din „x” și luați în considerare aceste litere separat. Desigur, comentariul se aplică și simbolului de increment al funcției.

Să explorăm natura fracției rezultate mai semnificative. Lăsa

initial suntem la o inaltime de 20 de metri (in punctul negru din stanga). După ce am depășit distanța de metri (linia roșie din stânga), ne vom afla la o înălțime de 60 de metri. Apoi, incrementul funcției va fi

metri (linia verde) si:. Asa de

Astfel, pe fiecare metru din acest tronson de drum creste inaltimea o medie de 4 metri... ai uitat echipamentul de alpinism? =) Cu alte cuvinte, raportul construit caracterizează RATA MEDIA DE MODIFICARE (în acest caz, creșterea) funcției.

Notă: valorile numerice ale exemplului în cauză corespund proporțiilor desenului doar aproximativ.

2) Acum să mergem la aceeași distanță de la punctul negru din dreapta. Aici creșterea este mai blândă, deci creșterea

(linia magenta) este relativ mic, iar raportul

comparativ cu cazul precedent va fi foarte modest. Relativ vorbind, metri și rata de creștere a funcției

este . Adică aici pentru fiecare metru de potecă există în medie o jumătate de metru de urcare.

3) O mică aventură pe versantul muntelui. Să ne uităm la punctul negru de sus situat pe axa y. Să presupunem că acesta este un semn de 50 de metri. Depășim din nou distanța, în urma căreia ne aflăm mai jos - la nivelul de 30 de metri. Deoarece mișcarea a fost efectuată de sus în jos (în direcția „opusă” axei), finala creșterea funcției (înălțimea) va fi negativă:metri (linie maro în desen). Și în acest caz vorbim de viteză

functie descendenta: , adică pentru fiecare metru de potecă

În această zonă, înălțimea scade în medie cu 2 metri. Ai grijă de haine la punctul al cincilea.

Acum să ne punem întrebarea: care este cea mai bună valoare a „standardului de măsurare” de utilizat? Este clar că 10 metri este foarte dur. O duzină bună de umflături pot încăpea cu ușurință pe ele. De ce există denivelări, poate exista un defileu adânc dedesubt, iar după câțiva metri - cealaltă parte cu o ascensiune abruptă. Astfel, cu un zece metri nu vom obține o caracterizare inteligibilă a unor astfel de secțiuni ale căii prin

relatii .

Din discuția de mai sus rezultă următoarea concluzie: cu atât valoarea este mai mică, cu atât mai precis vom descrie relieful drumului. Mai mult, corect

masa 2

tabelul 1

Conceptul de limită a unei variabile. Derivată de funcție. Tabelul derivatelor. Reguli de diferențiere

Modalități de a seta funcții. Tipuri de funcții elementare

A specifica o funcție înseamnă a specifica o regulă sau o lege conform căreia o anumită valoare a unui argument X se determină valoarea corespunzătoare a funcției la.

Considera modalități de a defini o funcție .

1. Metoda analitica - setarea unei funcții folosind formule. De exemplu, dizolvarea substanțelor medicinale din tablete în prepararea soluțiilor respectă ecuația m \u003d m 0 e - kt, Unde m0și m- respectiv, initiala si ramasa pana la momentul dizolvarii t cantitatea de medicament din tabletă, k- o valoare pozitivă constantă.

2. Mod grafic - aceasta este o sarcină a unei funcții sub forma unui grafic. De exemplu, folosind un electrocardiograf pe hârtie sau pe ecranul unui monitor de computer, se înregistrează valoarea diferenței de biopotențial care apare în timpul lucrului inimii. Uîn funcţie de timp t: U = f(t).

3. Mod tabular este o atribuire a funcției folosind un tabel. Acest mod de setare a funcției este folosit în experimente și observații. De exemplu, prin măsurarea temperaturii corpului pacientului la anumite intervale, este posibil să se întocmească un tabel cu valorile temperaturii corpului Tîn funcţie de timp t. Pe baza datelor tabelare, uneori este posibil să se aproximeze corespondența dintre un argument și o funcție printr-o formulă. Astfel de formule se numesc empirice, i.e. dobandite din experienta.

La matematică se distinge elementar și complex funcții. Iată principalele tipuri de funcții elementare:

1. Funcția de alimentare – y = f(x) = x n, Unde X- argument n- orice număr real ( 1, 2, - 2, etc.).

2. funcţie exponenţială – y = f(x) = a x, Unde A este un număr pozitiv constant, altul decât unu ( a > 0, a ≠ 0), de exemplu:

y=10x(a=10);

y = e x ; y \u003d e -x (a \u003d e ≈ 2,718 ...)

Evidențiem ultimele două funcții, ele sunt numite funcții exponențiale sau expozantiși descrie o varietate de procese fizice, biofizice, chimice și sociale. Și y = e x - exponent în creștere, y=e-x este un exponent descrescător.

3.Funcția logaritmică cu orice motiv A: y = log x, Unde y este puterea la care trebuie ridicată baza funcției a pentru a obține un număr dat x, adică a y \u003d x.

Dacă baza a = 10, apoi y numit logaritmul zecimal al lui xși notat y = log x; dacă a=e, apoi y numit logaritmul natural al lui xși notat y \u003d 1n x.

Amintește-ți câteva regulile logaritmului :

Să fie date două numere Ași b, apoi:

· lg (a b) = lg a + lg b;

· lg = lg a - lg b;

· lg ab = b lg a;

Nu se va schimba nimic la înlocuirea unui personaj lg pe ln.

De asemenea, este util să ne amintim că lg 10 = 1, ln e = 1, lg 1 = ln 1 = 0.

4. Funcții trigonometrice: y=sinx, y=cosx, y=tgx si etc.

Iată graficele unor funcții elementare (vezi Fig. 1):

O valoare variabilă se poate modifica astfel încât în ​​procesul de creștere sau scădere se apropie de o valoare constantă finită, care este limita ei.

Prin definitie limita variabilei x este valoarea constantă A, de care variabila x se apropie în procesul de modificare a acesteia astfel încât modulul diferenței dintre x și A, adică. | x - A |, tinde spre zero.

Notare limită: x → A sau lim x = A(aici → este un semn al tranziției limită, lim din latină limitat, tradus în rusă - limită). Luați în considerare un exemplu elementar:

x: 0,9; 0,99; 0,999; 0,9999…→ 1, A = 1(lim x = 1), deoarece

| x - A |: 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001…→ 0.

Să introducem conceptele increment de argument și increment de funcție.

Dacă variabila Xîşi schimbă valoarea din x 1 inainte de x 2, apoi diferența x 2 - x 1 \u003d Δx se numește increment al argumentului și Δx(a se citi delta X) este un singur simbol de increment. Modificarea funcției corespunzătoare y 2 - y 1 \u003d Δy se numește increment de funcție. Să o arătăm pe graficul funcției y = f(x)(Fig. 2). Geometric, incrementul argumentului este reprezentat de incrementul abscisei punctului curbei, iar incrementul funcției este incrementul ordonatei acestui punct.

Derivata unei funcții date y \u003d f (x) față de argumentul x este limita raportului dintre incrementul funcției Δy și incrementul argumentului Δx, când acesta din urmă tinde spre zero (Δx → 0 ).

Derivata unei functii este notata (a se citi " la accident vascular cerebral") sau , sau dy/dx(citește „de y prin de X"). Deci derivata funcției y = f(x) este egal cu:

(4)

Regula pentru găsirea derivatei unei funcții y = f(x) prin argumentare X conținute în definiția acestei valori: trebuie să specificați incrementul argumentului Δх, găsiți incrementul funcției Δy, faceți un raport și găsiți limita acestui raport când Δх→ 0.

Procesul de găsire a derivatei se numește diferențiere a funcției. Aceasta este ramura matematicii superioare numită „Calcul diferențial”.

Tabelul derivatelor funcțiilor elementare de bază obținute prin regula de mai sus este redat mai jos.

Nu. p / p	Tipuri de funcții	Derivată de funcție
	Constant y=c	y" = 0
	Funcția de putere y = x n (n poate fi pozitiv, negativ, întreg, fracțional)	y" = nx n-1
	Functie exponentiala y = a x (a > 0; a ≠ 1) y = e x y \u003d e -x, y \u003d e -kx (k \u003d const)	y" = a x log a y" = e x y" \u003d - e -x, y" \u003d -k e -kx
	funcţie logaritmică y = log a x (a > 0; a ≠ 1) y = log x	y" = y" =
	Funcții trigonometrice: y = sin x y = cos x y = tg x y = ctg x	y" = cos x y" = - sin x y" = y" =

Dacă expresia a cărei derivată trebuie găsită este suma, diferența, produsul sau câtul mai multor funcții, de exemplu, tu, v , z, atunci se folosesc următoarele reguli de diferențiere (Tabelul 2).

Iată câteva exemple de calculare a instrumentelor derivate folosind tabelele 1 și 2.

1. (x + sin x)" = (x)" + (sin x)" = 1 + cos x;

2. (x sin x)" = (x)" sin x + x (sin x)" = sin x + x cos x;

4. (5tgx)" = 5(tgx)" = .

Sensul fizic al derivatului este că determină viteza (rata) de schimbare a funcției.

Luați în considerare un exemplu de mișcare rectilinie. Viteza corpului este egală cu raportul traseului ∆S trecut de corp în timp Δt, la acest interval de timp v = . Dacă mișcarea este neuniformă, atunci raportul este viteza medie pe această secțiune a traseului, iar viteza corespunzătoare fiecărui moment dat de timp se numește viteza instantanee si este definita ca limita a raportului la Δt→0, adică

Rezumând rezultatul obținut, se poate argumenta că derivata funcției f(x) cu timpul t este viteza instantanee de modificare a funcției. Conceptul de viteză instantanee se referă nu numai la mișcările mecanice, ci și la orice procese care se dezvoltă în timp. Puteți găsi rata de contracție sau relaxare a mușchiului, rata de cristalizare a soluției, rata de întărire a materialului de umplutură, rata de răspândire a unei boli epidemice etc.

Valoarea accelerației instantanee în toate aceste procese este egală cu derivata în timp a funcției viteză:

. (5)

În mecanică, derivata a doua a căii în raport cu timpul.

Conceptul de derivată, ca mărime care caracterizează rata de modificare a unei funcții, este utilizat pentru diferite dependențe. De exemplu, trebuie să aflați cât de repede se schimbă temperatura de-a lungul unei tije metalice dacă unul dintre capete este încălzit. În acest caz, temperatura este o funcție a coordonatei X, adică T = f(x)și caracterizează viteza de schimbare a temperaturii în spațiu.

Derivata unei functii f(x) fata de coordonata x se numeste gradient această funcție(se folosește adesea abrevierea grad din lat. gradient). Gradienții diferitelor variabile sunt mărimi vectoriale, întotdeauna direcționate în direcţia creşterii valorii variabilelor .

Rețineți că gradienții multor cantități sunt una dintre cauzele principale ale proceselor metabolice care au loc în sistemele biologice. Acestea sunt, de exemplu, gradient de concentrație, gradient de potențial electrochimic (μ este litera greacă „mu”), gradient de potențial electric.

La mic Δx se poate scrie:

. (6)

Ideea este aceasta: ia ceva valoare (citiți „delta x”) , pe care o vom numi increment de argument, și să începem să „încercăm” în diferite puncte ale drumului nostru:

1) Să ne uităm la punctul cel mai din stânga: ocolind distanța , urcăm panta la o înălțime (linia verde). Valoarea este numită creșterea funcției, iar în acest caz această creștere este pozitivă (diferența de valori de-a lungul axei este mai mare decât zero). Să facem raportul, care va fi măsura abruptului drumului nostru. Evident, este un număr foarte specific și, deoarece ambele incremente sunt pozitive, atunci .

Atenţie! Desemnare suntețiUNUsimbol, adică nu puteți „smulge” „delta” din „x” și luați în considerare aceste litere separat. Desigur, comentariul se aplică și simbolului de increment al funcției.

Să explorăm natura fracției rezultate mai semnificative. Să presupunem că inițial ne aflăm la o înălțime de 20 de metri (în punctul negru din stânga). După ce am depășit distanța de metri (linia roșie din stânga), ne vom afla la o înălțime de 60 de metri. Apoi, incrementul funcției va fi metri (linia verde) si: . În acest fel, pe fiecare metru acest tronson de drum creste inaltimeain medie cu 4 metri…ți-ai uitat echipamentul de alpinism? =) Cu alte cuvinte, raportul construit caracterizează RATA MEDIA DE MODIFICARE (în acest caz, creșterea) funcției.

Notă : Valorile numerice ale exemplului în cauză corespund proporțiilor desenului doar aproximativ.

2) Acum să mergem la aceeași distanță de la punctul negru din dreapta. Aici creșterea este mai blândă, astfel încât creșterea (linia purpurie) este relativ mică, iar raportul față de cazul precedent va fi destul de modest. Relativ vorbind, metri și rata de creștere a funcției este . Adică aici pentru fiecare metru de drum care există in medie jumătate de metru în sus.

3) O mică aventură pe versantul muntelui. Să ne uităm la punctul negru de sus situat pe axa y. Să presupunem că acesta este un semn de 50 de metri. Depășim din nou distanța, în urma căreia ne aflăm mai jos - la nivelul de 30 de metri. De când s-a făcut mișcarea de sus în jos(în sensul „opus” axei), apoi finala creșterea funcției (înălțimea) va fi negativă: metri (linie maro în desen). Și în acest caz vorbim despre rata de dezintegrare caracteristici: , adică pentru fiecare metru al traseului acestui tronson, înălțimea scade in medie cu 2 metri. Ai grijă de haine la punctul al cincilea.

Acum să ne punem întrebarea: care este cea mai bună valoare a „standardului de măsurare” de utilizat? Este clar că 10 metri este foarte dur. O duzină bună de denivelări pot încăpea cu ușurință pe ele. De ce există denivelări, poate exista un defileu adânc dedesubt, iar după câțiva metri - cealaltă parte cu o ascensiune abruptă. Astfel, cu unul de zece metri, nu vom obține o caracteristică inteligibilă a unor astfel de secțiuni ale traseului prin raport.

Din discuția de mai sus rezultă următoarea concluzie: cu atât valoarea este mai mică, cu atât mai precis vom descrie relieful drumului. În plus, următoarele fapte sunt adevărate:

– Pentru orice puncte de ridicare puteți alege o valoare (deși una foarte mică) care se încadrează în limitele uneia sau altei creșteri. Și aceasta înseamnă că creșterea corespunzătoare a înălțimii va fi garantată a fi pozitivă, iar inegalitatea va indica corect creșterea funcției în fiecare punct al acestor intervale.

- La fel, pentru orice punct de pantă, există o valoare care se va potrivi complet pe această pantă. Prin urmare, creșterea corespunzătoare a înălțimii este negativă fără ambiguitate, iar inegalitatea va arăta corect scăderea funcției în fiecare punct al intervalului dat.

– De interes deosebit este cazul când rata de modificare a funcției este zero: . În primul rând, un increment de înălțime zero () este un semn al unei căi uniforme. Și în al doilea rând, există și alte situații curioase, exemple pe care le vedeți în figură. Imaginați-vă că soarta ne-a dus chiar în vârful unui deal cu vulturi înălțători sau pe fundul unei râpe cu broaște croncănitoare. Dacă faceți un pas mic în orice direcție, atunci modificarea înălțimii va fi neglijabilă și putem spune că rata de modificare a funcției este de fapt zero. Același model este observat în puncte.

Astfel, ne-am apropiat de o oportunitate uimitoare de a caracteriza perfect cu exactitate rata de schimbare a unei funcții. La urma urmei, analiza matematică ne permite să direcționăm incrementul argumentului la zero: adică să-l facem infinitezimal.

Ca urmare, apare o altă întrebare logică: este posibil să găsiți drumul și programul acestuia altă funcție, care ne-ar spune despre toate platile, urcușurile, coborârile, vârfurile, zonele joase, precum și ritmul de creștere/scădere în fiecare punct al potecii?

Ce este un derivat? Definiția unui derivat.
Semnificația geometrică a derivatei și diferențialei

Vă rugăm să citiți cu atenție și nu prea repede - materialul este simplu și accesibil tuturor! E în regulă dacă pe alocuri ceva pare nu foarte clar, poți oricând să revii la articol mai târziu. Voi spune mai multe, este util să studiem teoria de mai multe ori pentru a înțelege calitativ toate punctele (sfatul este relevant mai ales pentru studenții „tehnici”, pentru care matematica superioară joacă un rol semnificativ în procesul de învățământ).

Urmând exemplul poveștilor de continuitatea functiei, „promovarea” temei începe cu studiul fenomenului la un singur punct, și abia apoi se extinde la intervale numerice.

1.1 Câteva probleme de fizică 3

2. Derivat

2.1 Rata de schimbare a funcției 6

2.2 Funcția derivată 7

2.3 Derivată a unei funcții de putere 8

2.4 Semnificația geometrică a derivatei 10

2.5 Diferențierea funcțiilor

2.5.1 Diferențierea rezultatelor operațiilor aritmetice 12

2.5.2 Diferențierea funcțiilor complexe și inverse 13

2.6 Derivate ale funcțiilor definite parametric 15

3. Diferenţial

3.1 Diferenţial şi semnificaţia sa geometrică 18

3.2 Proprietăți diferențiale 21

4. Concluzie

4.1 Anexa 1. 26

4.2 Anexa 2. 29

5. Lista literaturii folosite 32

1. Introducere

1.1 Câteva probleme de fizică. Luați în considerare fenomene fizice simple: mișcarea rectilinie și distribuția liniară a masei. Pentru studierea acestora se introduce viteza de mișcare și respectiv densitatea.

Să analizăm un astfel de fenomen precum viteza de mișcare și conceptele conexe.

Lăsați corpul să se miște în linie dreaptă și știm distanța , trecut de corp pentru fiecare timp dat , adică știm distanța în funcție de timp:

Ecuația
numit ecuația mișcăriiși linia pe care o definește în sistemul de osii
- programul de mișcare.

Luați în considerare mișcarea corpului în intervalul de timp
dintr-un moment dat pana in momentul de fata
. În timp, corpul a parcurs un drum, iar în timp, un drum
. Deci, în unități de timp, a parcurs o distanță

.

Dacă mișcarea este uniformă, atunci există o funcție liniară:

În acest caz
, și relația
arată câte unități de cale sunt pe unitatea de timp; în același timp, rămâne constantă, indiferent de ce moment în timp este luat, nu în ce interval de timp este luat . Este o atitudine permanentă numit viteza uniforma.

Dar dacă mișcarea este neuniformă, atunci raportul depinde

din , iar din . Se numește viteza medie de mișcare în intervalul de timp de la la și notat cu :

In acest interval de timp, cu aceeasi distanta parcursa, miscarea se poate produce in cele mai diverse moduri; grafic, acest lucru este ilustrat de faptul că între două puncte din plan (puncte
în fig. 1) puteți desena o varietate de linii
- grafice ale mișcărilor într-un interval de timp dat, iar toate aceste diferite mișcări corespund aceleiași viteze medii.

În special, între puncte trece printr-o linie dreaptă
, care este graficul uniformei din interval
circulaţie. Deci viteza medie arată cât de repede trebuie să vă mișcați uniform pentru a trece în același interval de timp aceeasi distanta
.

Lăsând la fel , hai sa scadem. Viteza medie calculată pentru intervalul modificat
, situat în interiorul intervalului dat, poate fi, desigur, diferit de în; pe tot parcursul intervalului . De aici rezultă că viteza medie nu poate fi considerată ca o caracteristică satisfăcătoare a mișcării: ea (viteza medie) depinde de intervalul pentru care se face calculul. Pe baza faptului că viteza medie în interval ar trebui considerată cu cât caracterizează mai bine mișcarea, cu atât mai puțin , Să o facem să meargă la zero. Dacă în același timp există o limită a vitezei medii, atunci aceasta este considerată viteza de mișcare în acest moment .

Definiție. viteză mișcarea rectilinie la un moment dat de timp se numește limita vitezei medii corespunzătoare intervalului , atunci când tinde spre zero:

Exemplu. Să scriem legea căderii libere:

.

Pentru rata medie de scădere în intervalul de timp, avem

si pentru viteza momentului

.

Aceasta arată că viteza căderii libere este proporțională cu timpul de mișcare (cădere).

2. Derivat

Rata de modificare a funcției. Funcția derivată. Derivată a unei funcții de putere.

2.1 Rata de modificare a funcției. Fiecare dintre cele patru concepte speciale: viteza de mișcare, densitate, capacitate termică,

viteza unei reacții chimice, în ciuda diferenței semnificative în sensul lor fizic, este, din punct de vedere matematic, așa cum este ușor de observat, aceeași caracteristică funcţiei corespunzătoare. Toate acestea sunt tipuri particulare ale așa-numitei rate de schimbare a unei funcții, definite, precum și conceptele speciale enumerate, cu ajutorul conceptului de limită.

Să analizăm așadar în termeni generali problema ratei de modificare a funcției
, făcând abstracție de sensul fizic al variabilelor
.

Lasă mai întâi
- funcție liniară:

.

Dacă variabila independentă primește o creștere
, apoi functia primește o creștere aici
. Atitudine
rămâne constantă, independent de ce funcție este luată în considerare și nici de care este luată .

Această relație se numește rata de schimbare funcție liniară. Dar dacă funcţia nu este liniară, atunci relația

depinde si de , iar din . Acest raport doar „în medie” caracterizează funcția atunci când variabila independentă se schimbă de la dată la
; este egală cu viteza unei astfel de funcții liniare, care, dată are aceeași creștere
.

Definiție.Atitudine numitviteza medie modificări ale funcției în interval
.

Este clar că cu cât intervalul considerat este mai mic, cu atât viteza medie caracterizează mai bine modificarea funcției, așa că forțăm tind spre zero. Dacă, în același timp, există o limită a vitezei medii, atunci se ia ca măsură, rata de modificare a funcției pentru un anumit , și se numește rata de schimbare a funcției.

Definiție. Rata de schimbare a funcției înpunct dat se numește limita ratei medii de modificare a funcției în interval când mergi la zero:

2.2 Funcția derivată. Rata de schimbare a funcției

determinat de următoarea secvență de acțiuni:

1) prin increment , atribuite acestei valori , găsiți incrementul corespunzător al funcției

;

2) se întocmește o relație;

3) găsiți limita acestui raport (dacă există)

cu o tendinţă arbitrară spre zero.

După cum sa menționat deja, dacă această funcție nu liniară

apoi relația depinde si de , iar din . Limita acestui raport depinde numai de valoarea selectată. și este deci o funcție a . Dacă funcţia liniară, atunci limita considerată nu depinde de , adică va fi o valoare constantă.

Această limită se numește derivata unei functii sau pur și simplu derivată de funcție si este marcat astfel:
.Citiți: „ef accident vascular cerebral din » sau „ef prim din”.

Definiție. derivat a acestei funcții se numește limita raportului dintre creșterea funcției și creșterea variabilei independente cu o aspirație arbitrară, această creștere la zero:

.

Valoarea derivatei unei funcții în orice punct dat de obicei notate
.

Folosind definiția introdusă a derivatei, putem spune că:

1) Viteza mișcării rectilinie este derivata a

funcții pe (derivată a căii în raport cu timpul).

2.3 Derivată a unei funcții de putere.

Să găsim derivate ale unor funcții simple.

Lăsa
. Avem

,

adică derivat
este o valoare constantă egală cu 1. Acest lucru este evident, deoarece - o funcție liniară și viteza de schimbare este constantă.

În cazul în care un
, apoi

Lăsa
, apoi

Este ușor de observat un model în expresiile pentru derivatele unei funcții de putere
la
. Să demonstrăm că, în general, derivata lui pentru orice exponent întreg pozitiv este egal cu
.

.

Expresia din numărător este transformată prin formula binomială Newton :

În partea dreaptă a ultimei egalități se află suma termenilor, dintre care primul nu depinde de , iar restul tind la zero împreună cu . De aceea

.

Deci, o funcție de putere cu un întreg pozitiv are o derivată egală cu:

.

La
formulele derivate mai sus decurg din formula generală găsită.

Acest rezultat este valabil pentru orice indicator, de exemplu:

.

Considerăm acum separat derivata constantei

.

Deoarece această funcție nu se modifică cu o modificare a variabilei independente, atunci
. Prin urmare,

,

t. e. derivata constantei este zero.

2.4 Sensul geometric al derivatei.

Derivată de funcție are o semnificație geometrică foarte simplă și clară, care este strâns legată de conceptul de tangentă la o dreaptă.

Definiție. Tangentă
la linie
la punctul ei
(Fig. 2). se numește poziția limită a dreptei care trece prin punct, si inca un punct
linii atunci când acest punct tinde să se îmbine cu punctul dat.

.Tutorial

Există o medie vitezăschimbărifuncțiiîn direcția dreptei. 1 se numește derivată funcțiiîn direcția și este indicată. Deci - (1) - vitezăschimbărifuncții la punctul...

Limita și continuitatea unei funcții

Studiu

Sensul fizic al derivatului. Derivatul caracterizează vitezăschimbări o mărime fizică relativă la... . La ce valoare a argumentului sunt egale vitezăschimbărifuncțiiși Decizia. , si si. Folosind sensul fizic al derivatului...

Conceptul de funcție a unei variabile și metode de specificare a funcțiilor

Document

Caracterizarea conceptului de calcul diferenţial vitezăschimbărifuncții; P. este funcţie, definită pentru fiecare x ... derivată continuă (calcul diferențial de caracterizare vitezăschimbărifuncțiiîn acest moment). Apoi și...

§ 5 Derivate parţiale ale funcţiilor complexe diferenţiale ale funcţiilor complexe 1 Derivate parţiale ale unei funcţii complexe

Document

Ea există și este finită) va fi vitezăschimbărifuncțiiîntr-un punct în direcția vectorului. Lui ... și denotă sau. Pe lângă amploare vitezăschimbărifuncții, vă permite să determinați natura schimbărifuncțiiîntr-un punct în direcția vectorului...