Unul dintre cele mai dificile subiecte pentru studenți este rezolvarea ecuațiilor care conțin o variabilă sub semnul modulului. Să vedem pentru început cu ce are legătură? De ce, de exemplu, majoritatea copiilor fac clic pe ecuații pătratice, dar cu un concept atât de departe de cel mai complex, cum ar fi un modul are atât de multe probleme?

În opinia mea, toate aceste dificultăți sunt asociate cu lipsa unor reguli clar formulate pentru rezolvarea ecuațiilor cu un modul. Deci, atunci când rezolvă o ecuație pătratică, elevul știe sigur că trebuie să aplice mai întâi formula discriminantă și apoi formulele pentru rădăcinile ecuației pătratice. Dar ce se întâmplă dacă un modul este întâlnit în ecuație? Vom încerca să descriem clar planul de acțiune necesar în cazul în care ecuația conține o necunoscută sub semnul modulului. Dam mai multe exemple pentru fiecare caz.

Dar mai întâi, să ne amintim definirea modulului. Deci, modulul numărului A numărul însuși se numește dacă A nenegativ şi -A dacă numărul A mai putin de zero. O poti scrie asa:

|a| = a dacă a ≥ 0 și |a| = -a dacă a< 0

Vorbind despre semnificația geometrică a modulului, trebuie amintit că fiecare număr real corespunde unui anumit punct de pe axa numerelor - este să coordona. Deci, modulul sau valoarea absolută a unui număr este distanța de la acest punct până la originea axei numerice. Distanța este întotdeauna dată ca număr pozitiv. Astfel, modulul oricărui număr negativ este un număr pozitiv. Apropo, chiar și în această etapă, mulți studenți încep să se încurce. Orice număr poate fi în modul, dar rezultatul aplicării modulului este întotdeauna un număr pozitiv.

Acum să trecem la rezolvarea ecuațiilor.

1. Se consideră o ecuație de forma |x| = c, unde c este un număr real. Această ecuație poate fi rezolvată folosind definiția modulului.

Împărțim toate numerele reale în trei grupuri: cele care sunt mai mari decât zero, cele care sunt mai mici decât zero, iar al treilea grup este numărul 0. Scriem soluția sub forma unei diagrame:

(±c dacă c > 0

Dacă |x| = c, atunci x = (0 dacă c = 0

(fără rădăcini dacă cu< 0

1) |x| = 5, deoarece 5 > 0, atunci x = ±5;

2) |x| = -5, deoarece -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, atunci x = 0.

2. O ecuație de forma |f(x)| = b, unde b > 0. Pentru a rezolva această ecuație, este necesar să scăpăm de modul. O facem astfel: f(x) = b sau f(x) = -b. Acum este necesar să rezolvăm separat fiecare dintre ecuațiile obținute. Dacă în ecuația inițială b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, deoarece 4 > 0, atunci

x + 2 = 4 sau x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, deoarece 11 > 0, atunci

x 2 - 5 = 11 sau x 2 - 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 fără rădăcini

3) |x 2 – 5x| = -8 , deoarece -opt< 0, то уравнение не имеет корней.

3. O ecuație de forma |f(x)| = g(x). După semnificația modulului, o astfel de ecuație va avea soluții dacă latura sa dreaptă este mai mare sau egală cu zero, adică. g(x) ≥ 0. Atunci avem:

f(x) = g(x) sau f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x - 10. Această ecuație va avea rădăcini dacă 5x - 10 ≥ 0. Aici începe soluția unor astfel de ecuații.

1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0

2. Soluție:

2x - 1 = 5x - 10 sau 2x - 1 = -(5x - 10)

3. Combinați O.D.Z. iar soluția, obținem:

Rădăcina x \u003d 11/7 nu se potrivește conform O.D.Z., este mai mică de 2, iar x \u003d 3 satisface această condiție.

Răspuns: x = 3

2) |x – 1| \u003d 1 - x 2.

1. O.D.Z. 1 - x 2 ≥ 0. Să rezolvăm această inegalitate folosind metoda intervalului:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Soluție:

x - 1 \u003d 1 - x 2 sau x - 1 \u003d - (1 - x 2)

x 2 + x - 2 = 0 x 2 - x = 0

x = -2 sau x = 1 x = 0 sau x = 1

3. Combinați soluția și O.D.Z.:

Doar rădăcinile x = 1 și x = 0 sunt potrivite.

Răspuns: x = 0, x = 1.

4. O ecuație de forma |f(x)| = |g(x)|. O astfel de ecuație este echivalentă cu următoarele două ecuații f(x) = g(x) sau f(x) = -g(x).

1) |x 2 - 5x + 7| = |2x – 5|. Această ecuație este echivalentă cu următoarele două:

x 2 - 5x + 7 = 2x - 5 sau x 2 - 5x +7 = -2x + 5

x 2 - 7x + 12 = 0 x 2 - 3x + 2 = 0

x = 3 sau x = 4 x = 2 sau x = 1

Răspuns: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Ecuații rezolvate prin metoda substituției (schimbarea variabilei). Această metodă de soluție este cel mai ușor de explicat cu un exemplu specific. Deci, să fie dată o ecuație pătratică cu un modul:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. Prin proprietatea modulului x 2 = |x| 2, deci ecuația poate fi rescrisă după cum urmează:

|x| 2–6|x| + 5 = 0. Să facem schimbarea |x| = t ≥ 0, atunci vom avea:

t 2 - 6t + 5 \u003d 0. Rezolvând această ecuație, obținem că t \u003d 1 sau t \u003d 5. Să revenim la înlocuire:

|x| = 1 sau |x| = 5

x = ±1 x = ±5

Răspuns: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Să ne uităm la un alt exemplu:

x 2 + |x| – 2 = 0. Prin proprietatea modulului x 2 = |x| 2, deci

|x| 2 + |x| – 2 = 0. Să facem schimbarea |x| = t ≥ 0, atunci:

t 2 + t - 2 \u003d 0. Rezolvând această ecuație, obținem t \u003d -2 sau t \u003d 1. Să revenim la înlocuire:

|x| = -2 sau |x| = 1

Fără rădăcini x = ± 1

Răspuns: x = -1, x = 1.

6. Un alt tip de ecuații sunt ecuațiile cu un modul „complex”. Astfel de ecuații includ ecuații care au „module într-un modul”. Ecuațiile de acest tip pot fi rezolvate folosind proprietățile modulului.

1) |3 – |x|| = 4. Vom acţiona la fel ca în ecuaţiile de al doilea tip. pentru că 4 > 0, atunci obținem două ecuații:

3 – |x| = 4 sau 3 – |x| = -4.

Acum să exprimăm modulul x în fiecare ecuație, apoi |x| = -1 sau |x| = 7.

Rezolvăm fiecare dintre ecuațiile rezultate. Nu există rădăcini în prima ecuație, pentru că -unu< 0, а во втором x = ±7.

Răspuns x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Rezolvăm această ecuație într-un mod similar:

3 + |x + 1| = 5 sau 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 sau x + 1 = -2. Nu există rădăcini.

Răspuns: x = -3, x = 1.

Există, de asemenea, o metodă universală pentru rezolvarea ecuațiilor cu un modul. Aceasta este metoda de spațiere. Dar o vom lua în considerare în continuare.

site-ul, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

Un modul este unul dintre acele lucruri despre care toată lumea pare să fi auzit, dar în realitate nimeni nu le înțelege cu adevărat. Prin urmare, astăzi va exista o mare lecție dedicată rezolvării ecuațiilor cu module.

Vă spun imediat: lecția va fi simplă. În general, modulele sunt în general un subiect relativ simplu. „Da, desigur, este ușor! Îmi face creierul să explodeze!” - vor spune mulți studenți, dar toate aceste rupturi de creier se datorează faptului că majoritatea oamenilor nu au cunoștințe în cap, ci un fel de porcărie. Și scopul acestei lecții este de a transforma prostiile în cunoștințe. :)

Un pic de teorie

Deci să mergem. Să începem cu cel mai important: ce este un modul? Permiteți-mi să vă reamintesc că modulul unui număr este pur și simplu același număr, dar luat fără semnul minus. Adică, de exemplu, $\left| -5 \right|=5$. Sau $\left| -129,5\right|=129,5$.

Este atât de simplu? Da, simplu. Care este atunci modulul unui număr pozitiv? Aici este și mai simplu: modulul unui număr pozitiv este egal cu acest număr însuși: $\left| 5\right|=5$; $\stânga| 129,5 \right|=129,5$ etc.

Se dovedește un lucru curios: numere diferite pot avea același modul. De exemplu: $\left| -5 \right|=\stânga| 5\right|=5$; $\stânga| -129,5 \right|=\left| 129,5 \right|=129,5 $. Este ușor de văzut ce fel de numere sunt acestea, în care modulele sunt aceleași: aceste numere sunt opuse. Astfel, observăm pentru noi înșine că modulele numerelor opuse sunt egale:

\[\stanga| -a \right|=\stânga| a\dreapta|\]

Un alt fapt important: modulul nu este niciodată negativ. Orice număr luăm - chiar și pozitiv, chiar negativ - modulul său se dovedește întotdeauna a fi pozitiv (sau în cazuri extreme, zero). De aceea, modulul este adesea numit valoarea absolută a unui număr.

În plus, dacă combinăm definiția modulului pentru un număr pozitiv și negativ, atunci obținem o definiție globală a modulului pentru toate numerele. Și anume: modulul unui număr este egal cu acest număr însuși, dacă numărul este pozitiv (sau zero), sau egal cu numărul opus, dacă numărul este negativ. Puteți scrie asta ca o formulă:

Există și un modul de zero, dar este întotdeauna egal cu zero. De asemenea, zero este singurul număr care nu are un opus.

Astfel, dacă luăm în considerare funcția $y=\left| x \right|$ și încercați să-i desenați graficul, veți obține un astfel de „daw”:

Exemplu de soluție pentru graficul modulului și ecuația

Din această imagine puteți vedea imediat acel $\left| -m \right|=\stânga| m \right|$, iar graficul modulului nu scade niciodată sub axa x. Dar asta nu este tot: linia roșie marchează linia dreaptă $y=a$, care, cu $a$ pozitiv, ne dă două rădăcini deodată: $((x)_(1))$ și $((x) _(2)) $, dar despre asta vom vorbi mai târziu. :)

Pe lângă o definiție pur algebrică, există una geometrică. Să presupunem că există două puncte pe dreapta numerică: $((x)_(1))$ și $((x)_(2))$. În acest caz, expresia $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ este doar distanța dintre punctele specificate. Sau, dacă doriți, lungimea segmentului care leagă aceste puncte:

Modulul este distanța dintre punctele de pe dreapta numerică

De asemenea, din această definiție rezultă că modulul este întotdeauna nenegativ. Dar destule definiții și teorie - să trecem la ecuații reale. :)

Formula de bază

Bine, ne-am dat seama de definiție. Dar nu a devenit mai ușor. Cum să rezolvi ecuațiile care conțin acest modul?

Calm, doar calm. Să începem cu cele mai simple lucruri. Luați în considerare ceva de genul acesta:

\[\stanga| x\dreapta|=3\]

Deci modulo$x$ este 3. Cu ce ​​poate fi egal $x$? Ei bine, judecând după definiție, $x=3$ ne va potrivi foarte bine. Într-adevăr:

\[\stanga| 3\dreapta|=3\]

Mai sunt si alte numere? Cap pare să sugereze că există. De exemplu, $x=-3$ — $\left| -3 \right|=3$, adică egalitatea cerută este îndeplinită.

Deci, poate dacă căutăm, gândim, vom găsi mai multe numere? Dar întrerupe-te: nu mai există numere. Ecuația $\left| x \right|=3$ are doar două rădăcini: $x=3$ și $x=-3$.

Acum să complicăm puțin sarcina. Fie ca, în locul variabilei $x$, funcția $f\left(x \right)$ să atârnă sub semnul modulului, iar în dreapta, în loc de triplu, punem un număr arbitrar $a$. Obtinem ecuatia:

\[\stanga| f\stânga(x\dreapta) \dreapta|=a\]

Ei bine, cum te decizi? Permiteți-mi să vă reamintesc: $f\left(x \right)$ este o funcție arbitrară, $a$ este orice număr. Acestea. oricare! De exemplu:

\[\stanga| 2x+1 \dreapta|=5\]

\[\stanga| 10x-5 \dreapta|=-65\]

Să ne uităm la a doua ecuație. Poți spune imediat despre el: nu are rădăcini. De ce? Așa este: pentru că necesită ca modulul să fie egal cu un număr negativ, ceea ce nu se întâmplă niciodată, deoarece știm deja că modulul este întotdeauna un număr pozitiv sau, în cazuri extreme, zero.

Dar cu prima ecuație, totul este mai distractiv. Există două opțiuni: fie există o expresie pozitivă sub semnul modulului și apoi $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, sau această expresie este încă negativă, caz în care $\left| 2x+1 \right|=-\left(2x+1 \right)=-2x-1$. În primul caz, ecuația noastră va fi rescrisă astfel:

\[\stanga| 2x+1 \right|=5\Rightarrow 2x+1=5\]

Și dintr-o dată se dovedește că expresia submodulului $2x+1$ este într-adevăr pozitivă - este egală cu numărul 5. Adică, putem rezolva în siguranță această ecuație - rădăcina rezultată va fi o parte din răspuns:

Cei care sunt deosebit de neîncrezători pot încerca să înlocuiască rădăcina găsită în ecuația originală și să se asigure că va exista într-adevăr un număr pozitiv sub modul.

Acum să ne uităm la cazul unei expresii submodulului negativ:

\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(align) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \Săgeată la dreapta 2x+1=-5\]

Hopa! Din nou, totul este clar: am presupus că $2x+1 \lt 0$ și, ca rezultat, am obținut că $2x+1=-5$ - într-adevăr, această expresie este mai mică decât zero. Rezolvăm ecuația rezultată, în timp ce știm deja cu siguranță că rădăcina găsită ne va potrivi:

În total, am primit din nou două răspunsuri: $x=2$ și $x=3$. Da, cantitatea de calcule s-a dovedit a fi puțin mai mare decât în ​​ecuația foarte simplă $\left| x \right|=3$, dar în principiu nimic nu s-a schimbat. Deci poate că există un fel de algoritm universal?

Da, un astfel de algoritm există. Și acum o vom analiza.

A scăpa de semnul modulului

Să ne dăm ecuația $\left| f\left(x \right) \right|=a$ și $a\ge 0$ (altfel, așa cum știm deja, nu există rădăcini). Apoi puteți scăpa de semnul modulo conform următoarei reguli:

\[\stanga| f\left(x \right) \right|=a\Rightarrow f\left(x \right)=\pm a\]

Astfel, ecuația noastră cu modulul se împarte în două, dar fără modul. Asta e toată tehnologia! Să încercăm să rezolvăm câteva ecuații. Să începem cu asta

\[\stanga| 5x+4 \right|=10\Rightarrow 5x+4=\pm 10\]

Vom lua în considerare separat când există un zece cu un plus în dreapta și separat când este cu un minus. Avem:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Rightarrow 5x=-14\Rightarrow x=-\frac(14)(5)=-2,8. \\\end(align)\]

Asta e tot! Avem două rădăcini: $x=1.2$ și $x=-2.8$. Întreaga soluție a luat literalmente două rânduri.

Ok, fără îndoială, hai să ne uităm la ceva mai serios:

\[\stanga| 7-5x \right|=13\]

Din nou, deschideți modulul cu un plus și un minus:

\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Rightarrow -5x=-20\Rightarrow x=4. \\\end(align)\]

Din nou câteva rânduri - și răspunsul este gata! După cum am spus, nu este nimic complicat în module. Trebuie doar să vă amintiți câteva reguli. Prin urmare, mergem mai departe și continuăm cu sarcini cu adevărat mai dificile.

Carcasa din partea dreapta variabila

Acum luați în considerare această ecuație:

\[\stanga| 3x-2 \right|=2x\]

Această ecuație este fundamental diferită de toate precedentele. Cum? Și faptul că expresia $2x$ se află în dreapta semnului egal - și nu putem ști dinainte dacă este pozitivă sau negativă.

Cum să fii în acest caz? În primul rând, trebuie să înțelegem asta odată pentru totdeauna dacă partea dreaptă a ecuației este negativă, atunci ecuația nu va avea rădăcini- știm deja că modulul nu poate fi egal cu un număr negativ.

Și în al doilea rând, dacă partea dreaptă este încă pozitivă (sau egală cu zero), atunci puteți proceda exact în același mod ca înainte: deschideți modulul separat cu semnul plus și separat cu semnul minus.

Astfel, formulăm o regulă pentru funcțiile arbitrare $f\left(x \right)$ și $g\left(x \right)$ :

\[\stanga| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightarrow \left\( \begin(align)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right) ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(align) \right.\]

În ceea ce privește ecuația noastră, obținem:

\[\stanga| 3x-2 \right|=2x\Rightarrow \left\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Ei bine, ne putem ocupa cumva de cerința $2x\ge 0$. În cele din urmă, putem înlocui prostește rădăcinile pe care le obținem din prima ecuație și putem verifica dacă inegalitatea este valabilă sau nu.

Deci, să rezolvăm ecuația în sine:

\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Rightarrow 3x=0\Rightarrow x=0. \\\end(align)\]

Ei bine, care dintre aceste două rădăcini satisface cerința $2x\ge 0$? Da, ambele! Prin urmare, răspunsul va fi două numere: $x=(4)/(3)\;$ și $x=0$. asta e solutia. :)

Bănuiesc că unul dintre elevi a început deja să se plictisească? Ei bine, luați în considerare o ecuație și mai complexă:

\[\stanga| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\]

Deși pare rău, de fapt este aceeași ecuație de forma „modulus equals function”:

\[\stanga| f\stanga(x \dreapta) \dreapta|=g\stanga(x \dreapta)\]

Și se rezolvă în același mod:

\[\stanga| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\Rightarrow \left\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \right), \\& x-((x) )^(3))\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Ne vom ocupa de inegalitatea mai târziu - este cumva prea vicios (de fapt simplu, dar nu o vom rezolva). Deocamdată, să aruncăm o privire la ecuațiile rezultate. Luați în considerare primul caz - acesta este momentul în care modulul este extins cu un semn plus:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

Ei bine, iată că trebuie să adunați totul din stânga, să aduceți altele similare și să vedeți ce se întâmplă. Și iată ce se întâmplă:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\end(align)\]

Punând factorul comun $((x)^(2))$ din paranteză, obținem o ecuație foarte simplă:

\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\end(aliniere) \dreapta.\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1,5.\]

Aici am folosit o proprietate importantă a produsului, de dragul căreia am factorizat polinomul original: produsul este egal cu zero atunci când cel puțin unul dintre factori este egal cu zero.

Acum, în același mod, ne vom ocupa de a doua ecuație, care se obține prin extinderea modulului cu semnul minus:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\left(-3x+2 \right)=0. \\\end(align)\]

Din nou, același lucru: produsul este zero atunci când cel puțin unul dintre factori este zero. Avem:

\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(align) \right.\]

Ei bine, avem trei rădăcini: $x=0$, $x=1.5$ și $x=(2)/(3)\;$. Ei bine, ce va intra în răspunsul final din acest set? Pentru a face acest lucru, amintiți-vă că avem o constrângere suplimentară de inegalitate:

Cum să ținem cont de această cerință? Să înlocuim doar rădăcinile găsite și să verificăm dacă inegalitatea este valabilă pentru acești $x$ sau nu. Avem:

\[\begin(align)& x=0\Rightarrow x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\Rightarrow x-((x)^(3))=1,5-(((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Rightarrow x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\end(align)\]

Astfel, rădăcina $x=1,5$ nu ni se potrivește. Și doar două rădăcini vor merge ca răspuns:

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

După cum puteți vedea, chiar și în acest caz nu a fost nimic dificil - ecuațiile cu module sunt întotdeauna rezolvate conform algoritmului. Trebuie doar să înțelegeți bine polinoamele și inegalitățile. Prin urmare, trecem la sarcini mai complexe - vor exista deja nu unul, ci două module.

Ecuații cu două module

Până acum, am studiat doar cele mai simple ecuații - a existat un singur modul și altceva. Am trimis acest „altceva” unei alte părți a inegalității, departe de modul, astfel încât în ​​final totul să fie redus la o ecuație de genul $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ sau chiar mai simplu $\left| f\left(x \right) \right|=a$.

Dar grădinița s-a terminat - este timpul să ne gândim la ceva mai serios. Să începem cu ecuații ca aceasta:

\[\stanga| f\left(x \right) \right|=\left| g\stanga(x \dreapta) \dreapta|\]

Aceasta este o ecuație de forma „modulul este egal cu modulul”. Un punct fundamental important este absența altor termeni și factori: doar un modul în stânga, încă un modul în dreapta - și nimic mai mult.

S-ar crede acum că astfel de ecuații sunt mai greu de rezolvat decât ceea ce am studiat până acum. Dar nu: aceste ecuații se rezolvă și mai ușor. Iată formula:

\[\stanga| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\Rightarrow f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]

Tot! Pur și simplu echivalăm expresiile submodulelor prefixând una dintre ele cu un semn plus sau minus. Și apoi rezolvăm cele două ecuații rezultate - și rădăcinile sunt gata! Fără restricții suplimentare, fără inegalități etc. Totul este foarte simplu.

Să încercăm să rezolvăm această problemă:

\[\stanga| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \dreapta|\]

Primar Watson! Deschiderea modulelor:

\[\stanga| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \right|\Rightarrow 2x+3=\pm \left(2x-7 \right)\]

Să luăm în considerare fiecare caz separat:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\left(2x-7 \right)\Rightarrow 2x+3=-2x+7. \\\end(align)\]

Prima ecuație nu are rădăcini. Pentru că când este $3=-7$? Pentru ce valori de $x$? „Ce dracu este $x$? Esti drogat? Nu există $x$ deloc”, spuneți. Și vei avea dreptate. Am obținut o egalitate care nu depinde de variabila $x$ și, în același timp, egalitatea în sine este incorectă. De aceea nu există rădăcini.

Cu a doua ecuație, totul este puțin mai interesant, dar și foarte, foarte simplu:

După cum puteți vedea, totul a fost decis literalmente în câteva rânduri - nu ne așteptam la nimic altceva de la o ecuație liniară. :)

Ca urmare, răspunsul final este: $x=1$.

Ei bine, cum? Dificil? Desigur că nu. Să încercăm altceva:

\[\stanga| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \dreapta|\]

Din nou avem o ecuație ca $\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|$. Prin urmare, îl rescriem imediat, dezvăluind semnul modulului:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \right)\]

Poate că cineva va întreba acum: „Hei, ce fel de prostii? De ce este plus-minus pe partea dreaptă și nu pe partea stângă? Calmează-te, o să explic totul. Într-adevăr, într-un sens bun, ar fi trebuit să ne rescriem ecuația după cum urmează:

Apoi trebuie să deschideți parantezele, să mutați toți termenii într-o direcție din semnul egal (deoarece ecuația, evident, va fi pătrată în ambele cazuri) și apoi să găsiți rădăcinile. Dar trebuie să recunoașteți: când „plus-minus” este în fața a trei termeni (mai ales când unul dintre acești termeni este o expresie pătrată), pare cumva mai complicat decât situația când „plus-minus” este doar în fața a doi. termeni.

Dar nimic nu ne împiedică să rescriem ecuația originală după cum urmează:

\[\stanga| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \right|\Rightarrow \left| ((x)^(2))-3x+2 \right|=\left| x-1 \dreapta|\]

Ce s-a întâmplat? Da, nimic special: doar am schimbat partea stângă și cea dreaptă. Un fleac, care până la urmă ne va simplifica puțin viața. :)

În general, rezolvăm această ecuație, luând în considerare opțiunile cu plus și minus:

\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Rightarrow ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\left(x-1 \right)\Rightarrow ((x)^(2))-2x+1=0. \\\end(align)\]

Prima ecuație are rădăcini $x=3$ și $x=1$. Al doilea este, în general, un pătrat exact:

\[((x)^(2))-2x+1=((\left(x-1 \right))^(2))\]

Prin urmare, are o singură rădăcină: $x=1$. Dar am primit deja această rădăcină mai devreme. Astfel, doar două numere vor intra în răspunsul final:

\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]

Misiune indeplinita! Poți să-l iei de pe raft și să mănânci o plăcintă. Sunt 2, media ta. :)

Notă importantă. Prezența acelorași rădăcini pentru diferite versiuni ale extinderii modulului înseamnă că polinoamele originale sunt descompuse în factori, iar printre acești factori va fi neapărat unul comun. Într-adevăr:

\[\begin(align)&\left| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \right|; \\&\stânga| x-1 \right|=\left| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\end(align)\]

Una dintre proprietățile modulului: $\left| a\cdot b \right|=\left| a \right|\cdot \left| b \right|$ (adică modulul produsului este egal cu produsul modulelor), deci ecuația originală poate fi rescrisă ca

\[\stanga| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \dreapta|\]

După cum puteți vedea, avem într-adevăr un factor comun. Acum, dacă colectați toate modulele pe o singură parte, atunci puteți scoate acest multiplicator din paranteză:

\[\begin(align)&\left| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \dreapta|; \\&\stânga| x-1 \right|-\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|=0; \\&\stânga| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\end(align)\]

Ei bine, acum ne amintim că produsul este egal cu zero atunci când cel puțin unul dintre factori este egal cu zero:

\[\left[ \begin(align)& \left| x-1 \right|=0, \\& \left| x-2 \right|=1. \\\end(aliniere) \dreapta.\]

Astfel, ecuația originală cu două module a fost redusă la cele mai simple două ecuații despre care am vorbit chiar la începutul lecției. Astfel de ecuații pot fi rezolvate în doar câteva rânduri. :)

Această remarcă poate părea inutil de complicată și inaplicabilă în practică. Cu toate acestea, în realitate, puteți întâlni sarcini mult mai complexe decât cele pe care le analizăm astăzi. În ele, modulele pot fi combinate cu polinoame, rădăcini aritmetice, logaritmi etc. Și în astfel de situații, capacitatea de a scădea gradul general al ecuației prin scoaterea ceva din paranteză poate fi foarte, foarte utilă. :)

Acum aș vrea să analizez o altă ecuație, care la prima vedere poate părea nebunească. Mulți studenți se „lipesc” de el - chiar și cei care cred că au o bună înțelegere a modulelor.

Cu toate acestea, această ecuație este chiar mai ușor de rezolvat decât ceea ce am considerat mai devreme. Și dacă înțelegeți de ce, veți obține un alt truc pentru rezolvarea rapidă a ecuațiilor cu module.

Deci ecuația este:

\[\stanga| x-((x)^(3)) \dreapta|+\stânga| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\]

Nu, aceasta nu este o greșeală de tipar: este un plus între module. Și trebuie să aflăm pentru care $x$ suma a două module este egală cu zero. :)

Care este problema? Și problema este că fiecare modul este un număr pozitiv sau, în cazuri extreme, zero. Ce se întâmplă când adunăm două numere pozitive? Evident, din nou un număr pozitiv:

\[\begin(align)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(align)\]

Ultima linie vă poate oferi o idee: singurul caz în care suma modulelor este zero este dacă fiecare modul este egal cu zero:

\[\stanga| x-((x)^(3)) \dreapta|+\stânga| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\Rightarrow \left\( \begin(align)& \left| x-((x)^(3)) \right|=0, \\& \left|((x)^(2))+x-2 \right|=0. \\\end(align) \right.\]

Când este modulul egal cu zero? Doar într-un caz - când expresia submodulului este egală cu zero:

\[((x)^(2))+x-2=0\Rightarrow \left(x+2 \right)\left(x-1 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\\end(align) \right.\]

Astfel, avem trei puncte la care primul modul este setat la zero: 0, 1 și −1; precum și două puncte în care al doilea modul este pus la zero: −2 și 1. Totuși, avem nevoie ca ambele module să fie puse la zero în același timp, așa că dintre numerele găsite, trebuie să le alegem pe cele care sunt incluse în ambele mulțimi. Evident, există un singur astfel de număr: $x=1$ - acesta va fi răspunsul final.

metoda de divizare

Ei bine, am acoperit deja o grămadă de sarcini și am învățat o mulțime de trucuri. Crezi că asta este? Dar nu! Acum vom lua în considerare tehnica finală - și, în același timp, cea mai importantă. Vom vorbi despre împărțirea ecuațiilor cu un modul. Ce se va discuta? Să ne întoarcem puțin și să luăm în considerare o ecuație simplă. De exemplu, aceasta:

\[\stanga| 3x-5\right|=5-3x\]

În principiu, știm deja cum să rezolvăm o astfel de ecuație, deoarece este un standard $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. Dar să încercăm să privim această ecuație dintr-un unghi ușor diferit. Mai precis, luați în considerare expresia de sub semnul modulului. Permiteți-mi să vă reamintesc că modulul oricărui număr poate fi egal cu numărul în sine sau poate fi opus acestui număr:

\[\stanga| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]

De fapt, această ambiguitate este întreaga problemă: deoarece numărul de sub modul se modifică (depinde de variabilă), nu ne este clar dacă este pozitiv sau negativ.

Dar ce se întâmplă dacă inițial solicităm ca acest număr să fie pozitiv? De exemplu, să cerem că $3x-5 \gt 0$ - în acest caz, suntem garantați să obținem un număr pozitiv sub semnul modulului și putem scăpa complet de acest modul:

Astfel, ecuația noastră se va transforma într-una liniară, care se rezolvă ușor:

Adevărat, toate aceste considerații au sens numai în condiția $3x-5 \gt 0$ - noi înșine am introdus această cerință pentru a dezvălui fără ambiguitate modulul. Deci, să înlocuim $x=\frac(5)(3)$ găsit în această condiție și să verificăm:

Se pare că pentru valoarea specificată de $x$, cerința noastră nu este îndeplinită, deoarece expresia sa dovedit a fi egală cu zero și trebuie să fie strict mai mare decât zero. Trist. :(

Dar este în regulă! La urma urmei, există o altă opțiune $3x-5 \lt 0$. Mai mult: există și cazul $3x-5=0$ - trebuie luat în considerare și acest lucru, altfel soluția va fi incompletă. Deci, luați în considerare cazul $3x-5 \lt 0$:

Este evident că modulul se va deschide cu semnul minus. Dar atunci apare o situație ciudată: aceeași expresie va ieși atât în ​​stânga, cât și în dreapta în ecuația originală:

Mă întreb pentru ce astfel de $x$ va fi expresia $5-3x$ egală cu expresia $5-3x$? Din astfel de ecuații, chiar și Căpitanul s-ar îneca evident cu salivă, dar știm că această ecuație este o identitate, adică. este valabil pentru orice valoare a variabilei!

Și asta înseamnă că orice $x$ ne va potrivi. Cu toate acestea, avem o limitare:

Cu alte cuvinte, răspunsul nu va fi un singur număr, ci un întreg interval:

În cele din urmă, mai rămâne un caz de luat în considerare: $3x-5=0$. Totul este simplu aici: va fi zero sub modul, iar modulul lui zero este, de asemenea, egal cu zero (acest lucru decurge direct din definiție):

Dar apoi ecuația originală $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ va fi rescris astfel:

Am obținut deja această rădăcină mai sus când am luat în considerare cazul $3x-5 \gt 0$. Mai mult, această rădăcină este o soluție a ecuației $3x-5=0$ - aceasta este restricția pe care noi înșine am introdus-o pentru a anula modulul. :)

Astfel, pe lângă interval, vom fi mulțumiți și de numărul care se află la sfârșitul acestui interval:

Combinarea rădăcinilor în ecuații cu modul

Răspuns final total: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$. Nu este foarte obișnuit să vezi o astfel de prostie în răspunsul la o ecuație destul de simplă (în esență liniară) cu modul Ei bine, obișnuiește-te cu asta: complexitatea modulului constă în faptul că răspunsurile în astfel de ecuații pot fi complet imprevizibile.

Mult mai important este altceva: tocmai am demontat un algoritm universal pentru rezolvarea unei ecuații cu un modul! Și acest algoritm constă din următorii pași:

1. Echivalați fiecare modul din ecuație cu zero. Să obținem câteva ecuații;
2. Rezolvați toate aceste ecuații și marcați rădăcinile pe dreapta numerică. Drept urmare, linia dreaptă va fi împărțită în mai multe intervale, pe fiecare dintre acestea toate modulele sunt extinse în mod unic;
3. Rezolvați ecuația inițială pentru fiecare interval și combinați răspunsurile.

Asta e tot! Rămâne o singură întrebare: ce să faci cu rădăcinile în sine, obținute la primul pas? Să presupunem că avem două rădăcini: $x=1$ și $x=5$. Ei vor sparge linia numerică în 3 bucăți:

Împărțirea unei linii numerice în intervale folosind puncte

Deci care sunt intervalele? Este clar că sunt trei dintre ele:

1. Cel mai din stânga: $x \lt 1$ - unitatea în sine nu este inclusă în interval;
2. Central: $1\le x \lt 5$ - aici unul este inclus în interval, dar cinci nu este inclus;
3. Cea din dreapta: $x\ge 5$ — cele cinci sunt incluse doar aici!

Cred că ai înțeles deja modelul. Fiecare interval include capătul din stânga și nu include capătul din dreapta.

La prima vedere, o astfel de înregistrare poate părea incomodă, ilogică și, în general, un fel de nebunie. Dar credeți-mă: după puțină practică, veți descoperi că aceasta este cea mai fiabilă abordare și, în același timp, nu interferează cu dezvăluirea fără ambiguitate a modulelor. Este mai bine să folosiți o astfel de schemă decât să vă gândiți de fiecare dată: dați capătul din stânga/dreapta intervalului curent sau „aruncați-l” celui următor.

În acest articol, vom analiza în detaliu valoarea absolută a unui număr. Vom da diverse definiții ale modulului unui număr, vom introduce notația și vom oferi ilustrații grafice. În acest caz, luăm în considerare diverse exemple de găsire a modulului unui număr prin definiție. După aceea, enumerăm și justificăm principalele proprietăți ale modulului. La sfârșitul articolului, vom vorbi despre modul în care este determinat și găsit modulul unui număr complex.

Navigare în pagină.

Modulul numărului - definiție, notație și exemple

Mai întâi vă prezentăm desemnarea modulului. Modulul numărului a se va scrie ca , adică în stânga și în dreapta numărului vom pune linii verticale care formează semnul modulului. Să dăm câteva exemple. De exemplu, modulo -7 poate fi scris ca ; modulul 4.125 este scris ca , iar modulul este scris ca .

Următoarea definiție a modulului se referă la, și prin urmare, la, și la numere întregi și la numere raționale și iraționale, în ceea ce privește părțile constitutive ale mulțimii numerelor reale. Vom vorbi despre modulul unui număr complex în.

Definiție.

Modulul de a este fie numărul a însuși, dacă a este un număr pozitiv, fie numărul −a, opusul numărului a, dacă a este un număr negativ, fie 0, dacă a=0 .

Definiția vocală a modulului unui număr este adesea scrisă în forma următoare , această notație înseamnă că dacă a>0 , dacă a=0 și dacă a<0 .

Înregistrarea poate fi reprezentată într-o formă mai compactă . Această notație înseamnă că dacă (a este mai mare sau egal cu 0) și dacă a<0 .

Există și un record . Aici, cazul când a=0 ar trebui explicat separat. În acest caz, avem , dar −0=0 , deoarece zero este considerat un număr care este opus lui însuși.

Să aducem exemple de găsire a modulului unui număr cu o definitie data. De exemplu, să găsim module cu numerele 15 și . Să începem cu găsirea. Deoarece numărul 15 este pozitiv, modulul său este, prin definiție, egal cu acest număr însuși, adică . Care este modulul unui număr? Deoarece este un număr negativ, atunci modulul său este egal cu numărul opus numărului, adică numărul . În acest fel, .

În încheierea acestui paragraf, dăm o concluzie, care este foarte convenabilă de aplicat în practică atunci când găsim modulul unui număr. Din definirea modulului unui număr rezultă că modulul unui număr este egal cu numărul de sub semnul modulului, indiferent de semnul acestuia, iar din exemplele discutate mai sus, acest lucru este foarte clar vizibil. Declarația vocală explică de ce se numește și modulul unui număr valoarea absolută a numărului. Deci modulul unui număr și valoarea absolută a unui număr sunt unul și același.

Modulul unui număr ca distanță

Geometric, modulul unui număr poate fi interpretat ca distanţă. Să aducem determinarea modulului unui număr în termeni de distanță.

Definiție.

Modulul de a este distanța de la origine pe linia de coordonate până la punctul corespunzător numărului a.

Această definiție este în concordanță cu definiția modulului unui număr dată în primul paragraf. Să explicăm acest punct. Distanța de la origine până la punctul corespunzător unui număr pozitiv este egală cu acest număr. Zero corespunde punctului de referință, prin urmare distanța de la punctul de referință la punctul cu coordonata 0 este egală cu zero (nu este nevoie de nici un singur segment și nici un segment care să constituie o fracțiune dintr-un singur segment pentru a ajunge de la punctul O la punctul cu coordonata 0). Distanța de la origine la un punct cu coordonată negativă este egală cu numărul opus coordonatei punctului dat, deoarece este egală cu distanța de la origine până la punctul a cărui coordonată este numărul opus.

De exemplu, modulul numărului 9 este 9, deoarece distanța de la origine până la punctul cu coordonata 9 este nouă. Să luăm un alt exemplu. Punctul cu coordonata −3,25 se află la o distanță de 3,25 de punctul O, deci .

Definiția sonoră a modulului unui număr este un caz special de definire a modulului diferenței a două numere.

Definiție.

Modulul de diferență a două numere a și b este egală cu distanța dintre punctele dreptei de coordonate cu coordonatele a și b .

Adică, dacă sunt date puncte de pe linia de coordonate A(a) și B(b), atunci distanța de la punctul A la punctul B este egală cu modulul diferenței dintre numerele a și b. Dacă luăm punctul O (punctul de referință) drept punct B, atunci vom obține definiția modulului numărului dat la începutul acestui paragraf.

Determinarea modulului unui număr prin rădăcina pătrată aritmetică

Uneori găsit determinarea modulului prin rădăcina pătrată aritmetică.

De exemplu, să calculăm modulele numerelor -30 și pe baza acestei definiții. Avem . În mod similar, calculăm modulul de două treimi: .

Definiția modulului unui număr în termeni de rădăcină pătrată aritmetică este, de asemenea, în concordanță cu definiția dată în primul paragraf al acestui articol. Să o arătăm. Fie a un număr pozitiv, iar −a negativ. Apoi și , dacă a=0 , atunci .

Proprietățile modulului

Modulul are o serie de rezultate caracteristice - proprietățile modulului. Acum vom prezenta principalele și cele mai frecvent utilizate dintre ele. La fundamentarea acestor proprietăți, ne vom baza pe definiția modulului unui număr în termeni de distanță.

Să începem cu cea mai evidentă proprietate a modulului − modulul unui număr nu poate fi un număr negativ. În formă literală, această proprietate are forma pentru orice număr a . Această proprietate este foarte ușor de justificat: modulul unui număr este distanța, iar distanța nu poate fi exprimată ca număr negativ.

Să trecem la următoarea proprietate a modulului. Modulul unui număr este egal cu zero dacă și numai dacă acest număr este zero. Modulul lui zero este zero prin definiție. Zero corespunde originii, niciun alt punct de pe linia de coordonate nu corespunde cu zero, deoarece fiecare număr real este asociat cu un singur punct de pe linia de coordonate. Din același motiv, orice număr altul decât zero corespunde unui alt punct decât originea. Și distanța de la origine până la orice alt punct decât punctul O nu este egală cu zero, deoarece distanța dintre două puncte este egală cu zero dacă și numai dacă aceste puncte coincid. Raționamentul de mai sus demonstrează că numai modulul lui zero este egal cu zero.

Mergi mai departe. Numerele opuse au module egale, adică pentru orice număr a . Într-adevăr, două puncte de pe linia de coordonate, ale căror coordonate sunt numere opuse, sunt la aceeași distanță de origine, ceea ce înseamnă că modulele numerelor opuse sunt egale.

Următoarea proprietate a modulului este: modulul produsului a două numere este egal cu produsul modulelor acestor numere, acesta este, . Prin definiție, modulul produsului numerelor a și b este fie a b dacă , fie −(a b) dacă . Din regulile înmulțirii numerelor reale rezultă că produsul modulelor numerelor a și b este egal fie cu a b , , fie cu −(a b) , dacă , ceea ce demonstrează proprietatea considerată.

Modulul coeficientului de împărțire a lui a la b este egal cu câtul de împărțire a modulului lui a la modulul lui b, acesta este, . Să justificăm această proprietate a modulului. Deoarece coeficientul este egal cu produsul, atunci . În virtutea proprietății anterioare, avem . Rămâne doar să folosiți egalitatea , care este valabilă datorită definiției modulului numărului.

Următoarea proprietate a modulului este scrisă ca o inegalitate: , a , b și c sunt numere reale arbitrare. Inegalitatea scrisă nu este altceva decât inegalitatea triunghiulară. Pentru a clarifica acest lucru, să luăm punctele A(a), B(b) , C(c) de pe dreapta de coordonate și să considerăm triunghiul degenerat ABC, ale cărui vârfuri se află pe aceeași dreaptă. Prin definiție, modulul diferenței este egal cu lungimea segmentului AB, - lungimea segmentului AC și - lungimea segmentului CB. Deoarece lungimea oricărei laturi a unui triunghi nu depășește suma lungimilor celorlalte două laturi, inegalitatea , prin urmare, este valabilă și inegalitatea.

Inegalitatea tocmai dovedită este mult mai comună în formă . Inegalitatea scrisă este de obicei considerată ca o proprietate separată a modulului cu formularea: „ Modulul sumei a două numere nu depășește suma modulelor acestor numere". Dar inegalitatea rezultă direct din inegalitatea , dacă punem −b în loc de b în ea și luăm c=0 .

Modulul numărului complex

Să dăm determinarea modulului unui număr complex. Să ni se dea număr complex, scris sub formă algebrică , unde x și y sunt niște numere reale, reprezentând, respectiv, părțile reale și imaginare ale unui număr complex dat z, și este o unitate imaginară.

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a solicitărilor din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de interes public.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivel de companie

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Valoarea absolută a unui număr A este distanța de la origine la punct DAR(A).

Pentru a înțelege această definiție, înlocuim o variabilă A orice număr, de exemplu 3 și încercați să-l citiți din nou:

Valoarea absolută a unui număr 3 este distanța de la origine la punct DAR(3 ).

Devine clar că modulul nu este altceva decât distanța obișnuită. Să încercăm să vedem distanța de la origine la punctul A( 3 )

Distanța de la originea coordonatelor până la punctul A( 3 ) este egal cu 3 (trei unități sau trei pași).

Modulul unui număr este indicat prin două linii verticale, de exemplu:

Modulul numărului 3 se notează după cum urmează: |3|

Modulul numărului 4 se notează după cum urmează: |4|

Modulul numărului 5 se notează după cum urmează: |5|

Am căutat modulul numărului 3 și am aflat că este egal cu 3. Așa că scriem:

Se citește ca: „Modulul lui trei este de trei”

Acum să încercăm să găsim modulul numărului -3. Din nou, ne întoarcem la definiție și înlocuim numărul -3 în ea. Doar în loc de un punct A utilizați un punct nou B. Punct A am folosit deja în primul exemplu.

Modulul numărului este 3 numiți distanța de la origine la punct B(—3 ).

Distanța de la un punct la altul nu poate fi negativă. Prin urmare, modulul oricărui număr negativ, fiind o distanță, nu va fi nici negativ. Modulul numărului -3 va fi numărul 3. Distanța de la origine până la punctul B(-3) este, de asemenea, egală cu trei unități:

Se citește ca: „Modulul unui număr minus trei este trei”

Modulul numărului 0 este 0, deoarece punctul cu coordonata 0 coincide cu originea, adică. distanta de la origine la punct O(0) este egal cu zero:

„Modulul lui zero este zero”

Tragem concluzii:

• Modulul unui număr nu poate fi negativ;
• Pentru un număr pozitiv și zero, modulul este egal cu numărul în sine, iar pentru unul negativ, cu numărul opus;
• Numerele opuse au module egale.

Numerele opuse

Se numesc numerele care diferă doar prin semne opus. De exemplu, numerele -2 și 2 sunt opuse. Ele diferă doar prin semne. Numărul -2 are un semn minus, iar 2 are un semn plus, dar nu îl vedem, deoarece plus, așa cum am spus mai devreme, în mod tradițional nu este scris.

Mai multe exemple de numere opuse:

Numerele opuse au module egale. De exemplu, să găsim module pentru −2 și 2

Figura arată că distanța de la origine la puncte A(−2)și B(2) egal cu doi pasi.

Ți-a plăcut lecția?
Alăturați-vă noului nostru grup Vkontakte și începeți să primiți notificări despre noile lecții