OCULȚI DEJA ACESTE GRĂBILE! 🙂

Înmulțirea și împărțirea fracțiilor.

Atenţie!
Există suplimentare
material în secțiunea specială 555.
Pentru cei puternici „nu foarte. »
Și pentru cei care „foarte chiar. "")

Această operație este mult mai frumoasă decât adunarea-scăderea! Pentru că e mai ușor. Vă reamintesc: pentru a înmulți o fracție cu o fracție, trebuie să înmulțiți numărătorii (acesta va fi numărătorul rezultatului) și numitorii (acesta va fi numitorul). Acesta este:

Totul este extrem de simplu. Și vă rog să nu căutați un numitor comun! Nu am nevoie aici...

Pentru a împărți o fracție la o fracție, trebuie să răsturnați al doilea(acest lucru este important!) fracționați și înmulțiți-le, adică:

Dacă înmulțirea sau împărțirea cu numere întregi și fracții este prinsă, este în regulă. Ca și în cazul adunării, facem o fracție dintr-un număr întreg cu o unitate la numitor - și mergeți! De exemplu:

În liceu, de multe ori ai de-a face cu fracții cu trei etaje (sau chiar cu patru etaje!). De exemplu:

Cum să aduceți această fracție într-o formă decentă? Da, foarte usor! Folosește împărțirea prin două puncte:

Dar nu uitați de ordinea de împărțire! Spre deosebire de multiplicare, acest lucru este foarte important aici! Desigur, nu vom confunda 4:2 sau 2:4. Dar într-o fracțiune de trei etaje este ușor să greșești. Vă rugăm să rețineți, de exemplu:

În primul caz (expresie din stânga):

În a doua (expresie din dreapta):

Simte diferenta? 4 și 1/9!

Care este ordinea împărțirii? Sau paranteze sau (ca aici) lungimea liniuțelor orizontale. Dezvoltați un ochi. Și dacă nu există paranteze sau liniuțe, cum ar fi:

apoi împărțiți-înmulțiți în ordine, de la stânga la dreapta!

Și un alt truc foarte simplu și important. În acțiuni cu diplome, îți va veni la îndemână! Să împărțim unitatea la orice fracție, de exemplu, la 13/15:

Lovitura s-a răsturnat! Și se întâmplă mereu. Când împărțiți 1 la orice fracție, rezultatul este aceeași fracție, doar inversată.

Sunt toate acțiunile cu fracții. Lucrul este destul de simplu, dar dă erori mai mult decât suficiente. Luați notă de sfaturile practice și vor fi mai puține dintre ele (greșeli)!

1. Cel mai important lucru atunci când lucrați cu expresii fracționale este acuratețea și atenția! Acestea nu sunt cuvinte comune, nu sunt urări de bine! Aceasta este o nevoie gravă! Faceți toate calculele la examen ca o sarcină cu drepturi depline, cu concentrare și claritate. Este mai bine să scrii două rânduri în plus într-o ciornă decât să dai peste cap când calculezi.

2. În exemple cu diferite tipuri de fracții - mergeți la fracții obișnuite.

3. Reducem toate fracțiile până la oprire.

4. Reducem expresiile fracționale cu mai multe niveluri la cele obișnuite folosind împărțirea prin două puncte (urmăm ordinea împărțirii!).

Iată sarcinile pe care trebuie să le îndepliniți. Răspunsurile sunt date după toate sarcinile. Folosiți materialele acestui subiect și sfaturi practice. Estimați câte exemple puteți rezolva corect. Prima dată! Fără calculator! Și trageți concluziile corecte.

Amintiți-vă răspunsul corect obtinut din a doua (mai ales a treia) timp - nu conteaza! Așa este viața aspră.

Asa de, rezolva in modul examen ! Apropo, aceasta este pregătirea pentru examen. Rezolvăm un exemplu, verificăm, rezolvăm următoarele. Am decis totul - am verificat din nou de la primul până la ultimul. Numai după uita-te la raspunsuri.

Caut răspunsuri care se potrivesc cu ale tale. Le-am notat în mod deliberat într-o mizerie, departe de ispită, ca să zic așa. Iată-le, răspunsurile, separate prin punct și virgulă.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Și acum tragem concluzii. Dacă totul a funcționat - fericit pentru tine! Calculele elementare cu fracții nu sunt problema ta! Poți să faci lucruri mai serioase. Dacă nu.

Deci ai una dintre cele două probleme. Sau ambele deodată.) Lipsa de cunoaștere și (sau) neatenție. Dar. Acest rezolvabil Probleme.

În Secțiunea Specială 555 „Fracțiuni” sunt analizate toate aceste exemple (și nu numai!). Cu explicații detaliate despre ce, de ce și cum. O astfel de analiză ajută foarte mult cu lipsa de cunoștințe și abilități!

Da, iar la a doua problemă există ceva acolo.) Sfaturi destul de practice, cum să devii mai atent. Da Da! Sfaturi care se pot aplica fiecare.

Pe lângă cunoștințe și atenție, pentru succes este nevoie de un anumit automatism. De unde să-l iei? Aud un oftat greu... Da, doar în practică, nicăieri altundeva.

Puteți merge pe site-ul 321start.ru pentru antrenament. Acolo, în opțiunea „Încercați”, există 10 exemple pe care să le folosească toată lumea. Cu verificare instantanee. Pentru utilizatorii înregistrați - 34 de exemple de la simplu la sever. Este doar pentru fracții.

Daca va place acest site.

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Aici poți exersa rezolvarea exemplelor și poți afla nivelul tău. Testare cu verificare instantanee. Învață cu interes!

Și aici vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Regula 1

Pentru a înmulți o fracție cu un număr natural, trebuie să-i înmulțiți numărătorul cu acest număr și să lăsați numitorul neschimbat.

Regula 2

Pentru a înmulți o fracție cu o fracție:

1. găsiți produsul numărătorilor și produsul numitorilor acestor fracții

2. Scrieți primul produs ca numărător, iar al doilea ca numitor.

Regula 3

Pentru a înmulți numere mixte, trebuie să le scrieți ca fracții improprii și apoi să utilizați regula pentru înmulțirea fracțiilor.

Regula 4

Pentru a împărți o fracție la alta, trebuie să înmulțiți dividendul cu reciproca divizorului.

Exemplul 1

calculati

Exemplul 2

calculati

Exemplul 3

calculati

Exemplul 4

calculati

Matematica. Alte materiale

Ridicarea unui număr la o putere rațională. (

Ridicarea unui număr la o putere naturală. (

Metoda intervalului generalizat pentru rezolvarea inegalităților algebrice (Autor Kolchanov A.V.)

Metoda de înlocuire a factorilor în rezolvarea inegalităților algebrice (Autor Kolchanov A.V.)

Semne de divizibilitate (Lungu Alena)

Testează-te la subiectul „Înmulțirea și împărțirea fracțiilor obișnuite”

Înmulțirea fracțiilor

Vom lua în considerare înmulțirea fracțiilor obișnuite în mai multe moduri posibile.

Înmulțirea unei fracții cu o fracție

Acesta este cel mai simplu caz, în care trebuie să utilizați următoarele reguli de multiplicare a fracțiilor.

La înmulțiți o fracție cu o fracție, necesar:

înmulțiți numărătorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua fracții și scrieți produsul lor în numărătorul noii fracții;

înmulțiți numitorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua fracții și scrieți produsul lor în numitorul noii fracții;

Înainte de a înmulți numărătorii și numitorii, verificați dacă fracțiile pot fi reduse. Reducerea fracțiilor în calcule vă va facilita foarte mult calculele.

Înmulțirea unei fracții cu un număr natural

Pentru a fracționa înmulțiți cu un număr natural trebuie să înmulțiți numărătorul fracției cu acest număr și să lăsați numitorul fracției neschimbat.

Dacă rezultatul înmulțirii este o fracție necorespunzătoare, nu uitați să o transformați într-un număr mixt, adică selectați întreaga parte.

Înmulțirea numerelor mixte

Pentru a înmulți numere mixte, trebuie mai întâi să le convertiți în fracții improprii și apoi să înmulțiți conform regulii de înmulțire a fracțiilor obișnuite.

O altă modalitate de a înmulți o fracție cu un număr natural

Uneori, în calcule este mai convenabil să folosiți o metodă diferită de înmulțire a unei fracții obișnuite cu un număr.

Pentru a înmulți o fracție cu un număr natural, trebuie să împărțiți numitorul fracției la acest număr și să lăsați numărătorul același.

După cum se poate vedea din exemplu, este mai convenabil să folosiți această versiune a regulii dacă numitorul fracției este divizibil fără rest cu un număr natural.

Împărțirea unei fracții cu un număr

Care este cel mai rapid mod de a împărți o fracție la un număr? Să analizăm teoria, să tragem o concluzie și să folosim exemple pentru a vedea cum se poate face împărțirea unei fracții cu un număr conform unei noi reguli scurte.

De obicei, împărțirea unei fracții cu un număr se face după regula împărțirii fracțiilor. Primul număr (fracție) se înmulțește cu reciproca celui de-al doilea. Deoarece al doilea număr este un număr întreg, reciproca sa este o fracție, al cărei numărător este egal cu unu, iar numitorul este numărul dat. Schematic, împărțirea unei fracții la un număr natural arată astfel:

De aici tragem concluzia:

Pentru a împărți o fracție la un număr, înmulțiți numitorul cu acel număr și lăsați numărătorul același. Regula poate fi formulată și mai pe scurt:

Când împărțiți o fracție la un număr, numărul merge la numitor.

Împărțiți o fracție la un număr:

Pentru a împărți o fracție la un număr, rescriem numărătorul neschimbat și înmulțim numitorul cu acest număr. Reducem 6 și 3 cu 3.

Când împărțim o fracție la un număr, rescriem numărătorul și înmulțim numitorul cu acel număr. Reducem 16 și 24 cu 8.

Când împărțim o fracție la un număr, numărul merge la numitor, așa că lăsăm numărătorul același și înmulțim numitorul cu divizorul. Reducem 21 și 35 cu 7.

Înmulțirea și împărțirea fracțiilor

Ultima dată am învățat cum să adunăm și să scădem fracții (vezi lecția „Adunarea și scăderea fracțiilor”). Cel mai dificil moment în acele acțiuni a fost aducerea fracțiilor la un numitor comun.

Acum este timpul să ne ocupăm de înmulțire și împărțire. Vestea bună este că aceste operații sunt chiar mai ușoare decât adunarea și scăderea. Pentru început, luați în considerare cel mai simplu caz, când există două fracții pozitive fără o parte întreagă distinsă.

Pentru a înmulți două fracții, trebuie să le înmulțiți separat numărătorii și numitorii. Primul număr va fi numărătorul noii fracții, iar al doilea va fi numitorul.

Pentru a împărți două fracții, trebuie să înmulțiți prima fracție cu a doua „inversată”.

Din definiție rezultă că împărțirea fracțiilor se reduce la înmulțire. Pentru a inversa o fracție, trebuie doar să schimbați numărătorul și numitorul. Prin urmare, întreaga lecție o vom lua în considerare în principal înmulțirea.

Ca rezultat al înmulțirii, o fracție redusă poate apărea (și adesea apare) - desigur, trebuie redusă. Dacă, după toate reducerile, fracția sa dovedit a fi incorectă, întreaga parte ar trebui să fie distinsă în ea. Dar ceea ce nu se va întâmpla exact cu înmulțirea este reducerea la un numitor comun: fără metode încrucișate, factori maximi și cei mai puțini multipli comuni.

O sarcină. Aflați valoarea expresiei:

Prin definiție avem:

Înmulțirea fracțiilor cu o parte întreagă și fracții negative

Dacă există o parte întreagă în fracții, acestea trebuie convertite în unele necorespunzătoare - și abia apoi înmulțite conform schemelor prezentate mai sus.

Dacă există un minus la numărătorul unei fracții, la numitor sau în fața acesteia, acesta poate fi scos din limitele înmulțirii sau eliminat complet conform următoarelor reguli:

1. Plus ori minus dă minus;
2. Două negative fac o afirmație.

Până acum, aceste reguli au fost întâlnite doar la adunarea și scăderea fracțiilor negative, când era necesar să scăpăm de întreaga parte. Pentru un produs, acestea pot fi generalizate pentru a „arde” mai multe minusuri simultan:

3. Trimitem minusurile în perechi până dispar complet. Într-un caz extrem, poate supraviețui un minus - cel care nu a găsit o potrivire;
4. Dacă nu mai există minusuri, operațiunea este finalizată - puteți începe să înmulțiți. Dacă ultimul minus nu este tăiat, deoarece nu a găsit o pereche, îl scoatem din limitele înmulțirii. Obțineți o fracție negativă.

Traducem toate fracțiile în fracții improprii și apoi scoatem minusurile din afara limitelor înmulțirii. Ceea ce rămâne se înmulțește după regulile obișnuite. Primim:

Permiteți-mi să vă reamintesc încă o dată că minusul care vine înaintea unei fracții cu o parte întreagă evidențiată se referă în mod specific la întreaga fracție, și nu doar la partea sa întreagă (acest lucru se aplică ultimelor două exemple).

De asemenea, acordați atenție numerelor negative: atunci când sunt înmulțite, acestea sunt cuprinse între paranteze. Acest lucru se face pentru a separa minusurile de semnele de înmulțire și pentru a face întreaga notație mai precisă.

Reducerea fracțiilor din mers

Înmulțirea este o operație foarte laborioasă. Numerele de aici sunt destul de mari și, pentru a simplifica sarcina, puteți încerca să reduceți și mai mult fracția înainte de înmulțire. Într-adevăr, în esență, numărătorii și numitorii fracțiilor sunt factori obișnuiți și, prin urmare, ei pot fi redusi folosind proprietatea de bază a unei fracții. Aruncă o privire la exemple:

În toate exemplele, numerele care au fost reduse și ce a mai rămas din ele sunt marcate cu roșu.

Vă rugăm să rețineți: în primul caz, multiplicatorii s-au redus complet. Unitățile au rămas la locul lor, ceea ce, în general, poate fi omis. În al doilea exemplu, nu a fost posibil să se realizeze o reducere completă, dar suma totală a calculelor a scăzut în continuare.

Cu toate acestea, în niciun caz nu utilizați această tehnică atunci când adăugați și scădeți fracții! Da, uneori există numere similare pe care doriți doar să le reduceți. Aici, uite:

Nu poți face asta!

Eroarea apare din cauza faptului că atunci când se adună o fracție, suma apare la numărătorul unei fracții, și nu produsul numerelor. Prin urmare, este imposibil să se aplice proprietatea principală a unei fracții, deoarece această proprietate se ocupă în mod specific de înmulțirea numerelor.

Pur și simplu nu există alt motiv pentru a reduce fracțiile, așa că soluția corectă la problema anterioară arată astfel:

După cum puteți vedea, răspunsul corect s-a dovedit a nu fi atât de frumos. În general, fii atent.

Împărțirea fracțiilor.

Împărțirea unei fracții cu un număr natural.

Exemple de împărțire a unei fracții la un număr natural

Împărțirea unui număr natural cu o fracție.

Exemple de împărțire a unui număr natural la o fracție

Împărțirea fracțiilor ordinare.

Exemple de împărțire a fracțiilor ordinare

Împărțirea numerelor mixte.

Pentru a împărți un număr mixt la altul, aveți nevoie de:
• converti fracțiile mixte în improprii;
• înmulțiți prima fracție cu reciproca celei de-a doua;
• reduceți fracția rezultată;
• Dacă obțineți o fracție improprie, transformați fracția improprie într-una mixtă.

Exemple de împărțire a numerelor mixte

1 1 2: 2 2 3 = 1 2 + 1 2: 2 3 + 2 3 = 3 2: 8 3 = 3 2 3 8 = 3 3 2 8 = 9 16

2 1 7: 3 5 = 2 7 + 1 7: 3 5 = 15 7: 3 5 = 15 7 5 3 = 15 5 7 3 = 5 5 7 = 25 7 = 7 3 + 4 7 = 3 4 7

Orice comentarii obscene vor fi eliminate, iar autorii lor vor fi trecuți pe lista neagră!

Bine ați venit la OnlineMSchool.
Numele meu este Dovzhik Mikhail Viktorovich. Sunt proprietarul și autorul acestui site, am scris tot materialul teoretic, precum și exerciții online dezvoltate și calculatoare pe care le puteți folosi pentru a studia matematica.

Fracții. Înmulțirea și împărțirea fracțiilor.

Înmulțirea unei fracții cu o fracție.

Pentru a înmulți fracțiile obișnuite, este necesar să înmulțim numărătorul cu numărătorul (se obține numărătorul produsului) și numitorul cu numitorul (se obține numitorul produsului).

Formula de multiplicare a fracțiilor:





Înainte de a continua cu înmulțirea numărătorilor și numitorilor, este necesar să se verifice posibilitatea reducerii fracției. Dacă reușiți să reduceți fracția, atunci vă va fi mai ușor să continuați să faceți calcule.

Notă! Nu e nevoie să cauți un numitor comun!!

Împărțirea unei fracții ordinare cu o fracție.

Împărțirea unei fracții obișnuite cu o fracție este următoarea: întoarceți a doua fracție (adică schimbați numărătorul și numitorul pe alocuri) și după aceea fracțiile sunt înmulțite.

Formula de împărțire a fracțiilor obișnuite:





Înmulțirea unei fracții cu un număr natural.

Notă! La înmulțirea unei fracții cu un număr natural, numărătorul fracției este înmulțit cu numărul nostru natural, iar numitorul fracției rămâne același. Dacă rezultatul produsului este o fracție necorespunzătoare, atunci asigurați-vă că selectați întreaga parte transformând fracția necorespunzătoare într-una mixtă.



Împărțirea fracțiilor care implică un număr natural.

Nu este atât de înfricoșător pe cât pare. Ca și în cazul adunării, convertim un număr întreg într-o fracție cu o unitate la numitor. De exemplu:



Înmulțirea fracțiilor mixte.

Reguli pentru înmulțirea fracțiilor (mixte):

• converti fracțiile mixte în improprii;
• înmulțiți numărătorii și numitorii fracțiilor;
• reducem fracția;
• dacă obținem o fracție improprie, atunci convertim fracția improprie într-una mixtă.

Notă! Pentru a înmulți o fracție mixtă cu o altă fracție mixtă, trebuie mai întâi să le aduceți sub formă de fracții improprii și apoi să înmulțiți conform regulii de înmulțire a fracțiilor obișnuite.



A doua modalitate de a înmulți o fracție cu un număr natural.

Este mai convenabil să folosiți a doua metodă de înmulțire a unei fracții obișnuite cu un număr.

Notă! Pentru a înmulți o fracție cu un număr natural, este necesar să împărțiți numitorul fracției la acest număr și să lăsați numărătorul neschimbat.



Din exemplul de mai sus, este clar că această opțiune este mai convenabilă de utilizat atunci când numitorul unei fracții este împărțit fără rest la un număr natural.

Fracții pe mai multe niveluri.

În liceu se găsesc adesea fracții cu trei etaje (sau mai multe). Exemplu:

Pentru a aduce o astfel de fracție la forma sa obișnuită, se utilizează împărțirea prin 2 puncte:



Notă! La împărțirea fracțiilor, ordinea împărțirii este foarte importantă. Fii atent, este ușor să te încurci aici.

Notă, de exemplu:

Când împărțiți unul la orice fracție, rezultatul va fi aceeași fracție, doar inversată:

Sfaturi practice pentru înmulțirea și împărțirea fracțiilor:

1. Cel mai important lucru în lucrul cu expresii fracționate este acuratețea și atenția. Faceți toate calculele cu atenție și precizie, concentrat și clar. Este mai bine să notezi câteva rânduri în plus într-o ciornă decât să te încurci în calculele din cap.

2. În sarcinile cu diferite tipuri de fracții, mergeți la tipul de fracții obișnuite.

3. Reducem toate fracțiile până când nu se mai poate reduce.

4. Aducem expresii fracționale cu mai multe niveluri în expresii obișnuite, folosind împărțirea prin 2 puncte.

• Sub-și nu până la- Cântec reelaborat „Spring Tango” (Vine vremea - sosesc păsările din sud) - muzică. Valery Milyaev Am auzit greșit, am înțeles greșit, nu am ajuns din urmă, în sensul că nu am ghicit, am scris toate verbele cu nu separat, nu știam despre prefixul nedo-. S-a întâmplat, […]
• Pagina negăsită În cea de-a treia lectură finală a fost adoptat un pachet de documente ale Guvernului care prevede crearea regiunilor administrative speciale (SAR). Datorită ieșirii din Uniunea Europeană, Regatul Unit nu va fi inclus în zona europeană de TVA și […]
• Comitetul mixt de anchetă va apărea în toamnă
• Un brevet de algoritm Cum arată un brevet de algoritm Cum este pregătit un brevet de algoritm Pregătirea descrierilor tehnice ale metodelor de stocare, procesare și transmitere a semnalelor și/sau a datelor în mod specific în scopuri de brevetare nu este de obicei deosebit de dificilă și […]
• CE ESTE IMPORTANT DE ȘTIUT DESPRE NOUL PROIECT PRIVIND PENSII 12 decembrie 1993 CONSTITUȚIA FEDERATIEI RUSĂ (sub rezerva modificărilor aduse de Legile Federației Ruse privind modificările la Constituția Federației Ruse din 30 decembrie 2008 N 6- FKZ, din 30 decembrie 2008 N 7-FKZ, […]
• Chastushkas despre pensionare pentru o femeie sunt cool pentru un erou al zilei bărbații pentru eroul zilei pentru un bărbat - în cor pentru eroul zilei pentru o femeie - inițierea în pensionari femeile sunt comice Concursurile pentru pensionari vor fi interesante Gazdă : Dragi prieteni! Un moment de atentie! Senzaţie! Doar […]

La gimnaziu și liceu, elevii au studiat tema „Fracțiuni”. Cu toate acestea, acest concept este mult mai larg decât este dat în procesul de învățare. Astăzi, conceptul de fracție este întâlnit destul de des și nu toată lumea poate calcula orice expresie, de exemplu, înmulțirea fracțiilor.

Ce este o fracție?

S-a întâmplat din punct de vedere istoric să apară numerele fracționale din cauza necesității de a măsura. După cum arată practica, există adesea exemple pentru a determina lungimea unui segment, volumul unui dreptunghi dreptunghiular.

Inițial, studenților li se face cunoștință cu un astfel de concept, ca atare. De exemplu, dacă împărțiți un pepene verde în 8 părți, atunci fiecare va primi o opteme dintr-un pepene verde. Această parte din opt se numește cotă.

O acțiune egală cu ½ din orice valoare se numește jumătate; ⅓ - a treia; ¼ - un sfert. Intrările precum 5/8, 4/5, 2/4 se numesc fracții comune. O fracție obișnuită este împărțită în numărător și numitor. Între ele este o linie fracțională sau linie fracțională. O bară fracțională poate fi desenată fie ca o linie orizontală, fie ca o linie înclinată. În acest caz, reprezintă semnul diviziunii.

Numitorul reprezintă câte părți egale este împărțită valoarea obiectului; iar numărătorul este câte părți egale sunt luate. Numătorul este scris deasupra barei fracționale, numitorul sub ea.

Cel mai convenabil este să afișați fracțiile obișnuite pe o rază de coordonate. Dacă un singur segment este împărțit în 4 părți egale, fiecare parte este desemnată cu o literă latină, atunci, ca rezultat, puteți obține un ajutor vizual excelent. Deci, punctul A arată o cotă egală cu 1/4 din întregul segment de unitate, iar punctul B marchează 2/8 din acest segment.

Varietăți de fracții

Fracțiile sunt numere comune, zecimale și mixte. În plus, fracțiile pot fi împărțite în adecvate și improprii. Această clasificare este mai potrivită pentru fracțiile obișnuite.

O fracție proprie este un număr al cărui numărător este mai mic decât numitorul. În consecință, o fracție improprie este un număr al cărui numărător este mai mare decât numitorul. Al doilea fel este de obicei scris ca un număr mixt. O astfel de expresie constă dintr-o parte întreagă și o parte fracțională. De exemplu, 1½. 1 - parte întreagă, ½ - fracțional. Cu toate acestea, dacă trebuie să efectuați unele manipulări cu expresia (împărțirea sau înmulțirea fracțiilor, reducerea sau conversia acestora), numărul mixt este convertit într-o fracție improprie.

O expresie fracțională corectă este întotdeauna mai mică decât unu, iar una incorectă este întotdeauna mai mare sau egală cu 1.

În ceea ce privește această expresie, ei înțeleg o înregistrare în care este reprezentat orice număr, al cărui numitor al expresiei fracționale poate fi exprimat printr-unul cu mai multe zerouri. Dacă fracția este corectă, atunci partea întreagă din notația zecimală va fi zero.

Pentru a scrie o zecimală, trebuie să scrieți mai întâi partea întreagă, să o separați de fracționar cu o virgulă și apoi să scrieți expresia fracțională. Trebuie reținut că după virgulă numărătorul trebuie să conțină atâtea caractere numerice câte zerouri sunt în numitor.

Exemplu. Reprezentați fracția 7 21 / 1000 în notație zecimală.

Algoritm pentru conversia unei fracții improprie într-un număr mixt și invers

Este incorect să scrieți o fracție necorespunzătoare în răspunsul la problemă, așa că trebuie convertită într-un număr mixt:

• împărțiți numărătorul la numitorul existent;
• într-un exemplu specific, un coeficient incomplet este un număr întreg;
• iar restul este numărătorul părții fracționale, numitorul rămânând neschimbat.

Exemplu. Transformă fracția improprie în număr mixt: 47 / 5 .

Decizie. 47: 5. Coeficientul incomplet este 9, restul = 2. Prin urmare, 47 / 5 = 9 2 / 5.

Uneori trebuie să reprezentați un număr mixt ca o fracție improprie. Apoi, trebuie să utilizați următorul algoritm:

• partea întreagă se înmulțește cu numitorul expresiei fracționale;
• produsul rezultat se adaugă la numărător;
• rezultatul se scrie la numărător, numitorul rămâne neschimbat.

Exemplu. Exprimă numărul în formă mixtă ca o fracție improprie: 9 8 / 10 .

Decizie. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 este numărătorul.

Răspuns: 98 / 10.

Înmulțirea fracțiilor ordinare

Puteți efectua diverse operații algebrice pe fracții obișnuite. Pentru a înmulți două numere, trebuie să înmulțiți numărătorul cu numărătorul și numitorul cu numitorul. Mai mult, înmulțirea fracțiilor cu numitori diferiți nu diferă de produsul numerelor fracționale cu aceiași numitori.

Se întâmplă că, după găsirea rezultatului, trebuie să reduceți fracția. Este imperativ să simplificați cât mai mult posibil expresia rezultată. Desigur, nu se poate spune că o fracție improprie din răspuns este o greșeală, dar este și dificil să o numim răspunsul corect.

Exemplu. Aflați produsul a două fracții ordinare: ½ și 20/18.

După cum se poate observa din exemplu, după găsirea produsului, se obține o notație fracțională reductibilă. Atât numărătorul, cât și numitorul în acest caz sunt divizibili cu 4, iar rezultatul este răspunsul 5 / 9.

Înmulțirea fracțiilor zecimale

Produsul fracțiilor zecimale este destul de diferit de produsul fracțiilor obișnuite în principiu. Deci, înmulțirea fracțiilor este după cum urmează:

• două fracții zecimale trebuie să fie scrise una sub alta, astfel încât cifrele din dreapta să fie una sub cealaltă;
• trebuie să înmulțiți numerele scrise, în ciuda virgulelor, adică ca numere naturale;
• numărați numărul de cifre după virgulă din fiecare dintre numere;
• în rezultatul obținut după înmulțire, trebuie să numărați câte caractere digitale din dreapta sunt conținute în suma în ambii factori după virgulă zecimală și să puneți un semn de separare;
• dacă există mai puține cifre în produs, atunci trebuie să fie scrise atât de multe zerouri în fața lor pentru a acoperi acest număr, puneți o virgulă și atribuiți o parte întreagă egală cu zero.

Exemplu. Calculați produsul a două zecimale: 2,25 și 3,6.

Decizie.

Înmulțirea fracțiilor mixte

Pentru a calcula produsul a două fracții mixte, trebuie să utilizați regula pentru înmulțirea fracțiilor:

• converti numere mixte în fracții improprii;
• găsiți produsul numărătorilor;
• găsiți produsul numitorilor;
• notează rezultatul;
• simplificați cât mai mult expresia.

Exemplu. Aflați produsul dintre 4½ și 6 2 / 5.

Înmulțirea unui număr cu o fracție (fracții cu un număr)

Pe lângă găsirea produsului a două fracții, numere mixte, există sarcini în care trebuie să înmulțiți cu o fracție.

Deci, pentru a găsi produsul dintre o fracție zecimală și un număr natural, aveți nevoie de:

• scrieți numărul sub fracție, astfel încât cifrele din dreapta să fie una deasupra celeilalte;
• găsiți lucrarea, în ciuda virgulei;
• în rezultatul obținut, separă partea întreagă de partea fracțională folosind o virgulă, numărând la dreapta numărul de caractere care se află după punctul zecimal din fracție.

Pentru a înmulți o fracție obișnuită cu un număr, ar trebui să găsiți produsul dintre numărător și factorul natural. Dacă răspunsul este o fracție reductibilă, ar trebui convertit.

Exemplu. Calculați produsul dintre 5 / 8 și 12.

Decizie. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Răspuns: 7 1 / 2.

După cum puteți vedea din exemplul anterior, a fost necesar să reduceți rezultatul rezultat și să convertiți expresia fracțională incorectă într-un număr mixt.

De asemenea, înmulțirea fracțiilor se aplică și pentru găsirea produsului dintre un număr în formă mixtă și un factor natural. Pentru a înmulți aceste două numere, ar trebui să înmulțiți partea întreagă a factorului mixt cu numărul, să înmulțiți numărătorul cu aceeași valoare și să lăsați numitorul neschimbat. Dacă este necesar, trebuie să simplificați rezultatul cât mai mult posibil.

Exemplu. Aflați produsul lui 9 5 / 6 și 9.

Decizie. 9 5 / 6 x 9 \u003d 9 x 9 + (5 x 9) / 6 \u003d 81 + 45 / 6 \u003d 81 + 7 3 / 6 \u003d 88 1 / 2.

Răspuns: 88 1 / 2.

Înmulțirea cu factori 10, 100, 1000 sau 0,1; 0,01; 0,001

Din paragraful precedent rezultă următoarea regulă. Pentru a înmulți o fracție zecimală cu 10, 100, 1000, 10000 etc., trebuie să mutați virgula la dreapta cu atâtea caractere cifre câte zerouri sunt în multiplicatorul după unu.

Exemplul 1. Aflați produsul dintre 0,065 și 1000.

Decizie. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Răspuns: 65.

Exemplul 2. Aflați produsul dintre 3,9 și 1000.

Decizie. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Răspuns: 3900.

Dacă trebuie să înmulțiți un număr natural și 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 etc., ar trebui să mutați virgula la stânga în produsul rezultat cu atâtea caractere cifre câte zerouri sunt înaintea unu. Dacă este necesar, în fața unui număr natural se scrie un număr suficient de zerouri.

Exemplul 1. Aflați produsul dintre 56 și 0,01.

Decizie. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Răspuns: 0,56.

Exemplul 2. Aflați produsul dintre 4 și 0,001.

Decizie. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Răspuns: 0,004.

Deci, găsirea produsului diferitelor fracții nu ar trebui să provoace dificultăți, cu excepția, poate, la calculul rezultatului; În acest caz, pur și simplu nu puteți face fără un calculator.

§ 87. Adunarea fracţiilor.

Adunarea fracțiilor are multe asemănări cu adunarea numerelor întregi. Adunarea fracțiilor este o acțiune constând în faptul că mai multe numere (termeni) date sunt combinate într-un singur număr (suma), care conține toate unitățile și fracțiile de unități de termeni.

Vom analiza pe rând trei cazuri:

1. Adunarea fracțiilor cu aceiași numitori.
2. Adunarea fracțiilor cu numitori diferiți.
3. Adunarea numerelor mixte.

1. Adunarea fracțiilor cu aceiași numitori.

Luați în considerare un exemplu: 1 / 5 + 2 / 5 .

Luați segmentul AB (Fig. 17), luați-l ca unitate și împărțiți-l în 5 părți egale, apoi partea AC a acestui segment va fi egală cu 1/5 din segmentul AB și partea aceluiași segment CD va fi egal cu 2/5 AB.

Din desen se vede că dacă luăm segmentul AD, atunci acesta va fi egal cu 3/5 AB; dar segmentul AD este tocmai suma segmentelor AC și CD. Deci, putem scrie:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Având în vedere acești termeni și suma rezultată, vedem că numărătorul sumei a fost obținut prin adunarea numărătorilor termenilor, iar numitorul a rămas neschimbat.

De aici obținem următoarea regulă: Pentru a adăuga fracții cu aceiași numitori, trebuie să adăugați numărătorii lor și să lăsați același numitor.

Luați în considerare un exemplu:

2. Adunarea fracțiilor cu numitori diferiți.

Să adunăm fracții: 3/4 + 3/8 Mai întâi trebuie reduse la cel mai mic numitor comun:

Legătura intermediară 6/8 + 3/8 nu ar fi putut fi scrisă; am scris-o aici pentru o mai mare claritate.

Astfel, pentru a adăuga fracții cu numitori diferiți, trebuie mai întâi să le aduceți la cel mai mic numitor comun, să adăugați numărătorii lor și să semnați numitorul comun.

Luați în considerare un exemplu (vom scrie factori suplimentari peste fracțiile corespunzătoare):

3. Adunarea numerelor mixte.

Să adunăm numerele: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.

Să aducem mai întâi părțile fracționale ale numerelor noastre la un numitor comun și să le rescriem din nou:

Acum adăugați părțile întregi și fracționale în succesiune:

§ 88. Scăderea fracțiilor.

Scăderea fracțiilor este definită în același mod ca și scăderea numerelor întregi. Aceasta este o acțiune prin care, dată fiind suma a doi termeni și unul dintre ei, se găsește un alt termen. Să luăm în considerare trei cazuri pe rând:

1. Scăderea fracțiilor cu aceiași numitori.
2. Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți.
3. Scăderea numerelor mixte.

1. Scăderea fracțiilor cu aceiași numitori.

Luați în considerare un exemplu:

13 / 15 - 4 / 15

Să luăm segmentul AB (Fig. 18), să-l luăm ca unitate și să-l împărțim în 15 părți egale; atunci partea AC a acestui segment va fi 1/15 din AB, iar partea AD a aceluiași segment va corespunde cu 13/15 AB. Să lăsăm deoparte un alt segment ED, egal cu 4/15 AB.

Trebuie să scădem 4/15 din 13/15. În desen, aceasta înseamnă că segmentul ED trebuie scăzut din segmentul AD. Ca urmare, va rămâne segmentul AE, care este 9/15 din segmentul AB. Deci putem scrie:

Exemplul pe care l-am făcut arată că numărătorul diferenței a fost obținut prin scăderea numărătorilor, iar numitorul a rămas același.

Prin urmare, pentru a scădea fracții cu aceiași numitori, trebuie să scădeți numărătorul scăderii din numărătorul minuendului și să lăsați același numitor.

2. Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți.

Exemplu. 3/4 - 5/8

Mai întâi, să reducem aceste fracții la cel mai mic numitor comun:

Linkul intermediar 6 / 8 - 5 / 8 este scris aici pentru claritate, dar poate fi omis în viitor.

Astfel, pentru a scădea o fracție dintr-o fracție, trebuie mai întâi să le aduceți la cel mai mic numitor comun, apoi să scădeți numărătorul scăderii din numărătorul minuendului și să semnați numitorul comun sub diferența lor.

Luați în considerare un exemplu:

3. Scăderea numerelor mixte.

Exemplu. 10 3 / 4 - 7 2 / 3 .

Să aducem părțile fracționale ale minuendului și ale subtraendului la cel mai mic numitor comun:

Am scăzut un întreg dintr-un întreg și o fracțiune dintr-o fracție. Dar există cazuri când partea fracționară a subtraendului este mai mare decât partea fracționară a minuendului. În astfel de cazuri, trebuie să luați o unitate din partea întreagă a redusului, să o împărțiți în acele părți în care este exprimată partea fracțională și să adăugați la partea fracțională a redusului. Și apoi scăderea va fi efectuată în același mod ca în exemplul anterior:

§ 89. Înmulțirea fracțiilor.

Când studiem înmulțirea fracțiilor, vom lua în considerare următoarele întrebări:

1. Înmulțirea unei fracții cu un număr întreg.
2. Găsirea unei fracții dintr-un număr dat.
3. Înmulțirea unui număr întreg cu o fracție.
4. Înmulțirea unei fracții cu o fracție.
5. Înmulțirea numerelor mixte.
6. Conceptul de interes.
7. Găsirea procentelor unui număr dat. Să le luăm în considerare secvenţial.

1. Înmulțirea unei fracții cu un număr întreg.

Înmulțirea unei fracții cu un număr întreg are același sens ca și înmulțirea unui număr întreg cu un număr întreg. Înmulțirea unei fracții (multiplicand) cu un întreg (multiplicator) înseamnă alcătuirea sumei de termeni identici, în care fiecare termen este egal cu multiplicandul, iar numărul de termeni este egal cu multiplicatorul.

Deci, dacă trebuie să înmulțiți 1/9 cu 7, atunci acest lucru se poate face astfel:

Am obținut cu ușurință rezultatul, deoarece acțiunea s-a redus la adunarea fracțiilor cu aceiași numitori. Prin urmare,

Luarea în considerare a acestei acțiuni arată că înmulțirea unei fracții cu un întreg este echivalentă cu creșterea acestei fracții de câte ori există unități în întreg. Și întrucât creșterea fracției se realizează fie prin creșterea numărătorului acesteia

sau prin scăderea numitorului acestuia , atunci putem fie să înmulțim numărătorul cu întregul, fie să împărțim numitorul cu acesta, dacă o astfel de împărțire este posibilă.

De aici obținem regula:

Pentru a înmulți o fracție cu un număr întreg, trebuie să înmulțiți numărătorul cu acest număr întreg și să lăsați numitorul același sau, dacă este posibil, să împărțiți numitorul la acest număr, lăsând numărătorul neschimbat.

La înmulțire, sunt posibile abrevieri, de exemplu:

2. Găsirea unei fracții dintr-un număr dat. Există multe probleme în care trebuie să găsiți sau să calculați o parte dintr-un anumit număr. Diferența dintre aceste sarcini și altele este că ele dau numărul unor obiecte sau unități de măsură și trebuie să găsiți o parte din acest număr, care este indicată și aici printr-o anumită fracție. Pentru a facilita înțelegerea, vom da mai întâi exemple de astfel de probleme și apoi vom introduce metoda de rezolvare a acestora.

Sarcina 1. Am avut 60 de ruble; 1/3 din acești bani i-am cheltuit pe achiziția de cărți. Cât au costat cărțile?

Sarcina 2. Trenul trebuie să parcurgă distanța dintre orașele A și B, egală cu 300 km. A parcurs deja 2/3 din acea distanta. Cati kilometri este asta?

Sarcina 3.În sat sunt 400 de case, 3/4 din cărămidă, restul sunt din lemn. Câte case de cărămidă sunt?

Iată câteva dintre numeroasele probleme cu care trebuie să ne confruntăm pentru a găsi o fracțiune dintr-un număr dat. Ele sunt de obicei numite probleme pentru găsirea unei fracțiuni dintr-un număr dat.

Rezolvarea problemei 1. De la 60 de ruble. Am cheltuit 1/3 pe cărți; Deci, pentru a afla costul cărților, trebuie să împărțiți numărul 60 la 3:

Rezolvarea problemei 2. Semnificația problemei este că trebuie să găsiți 2 / 3 din 300 km. Calculați prima 1/3 din 300; acest lucru se realizează prin împărțirea a 300 km la 3:

300: 3 = 100 (adică 1/3 din 300).

Pentru a găsi două treimi din 300, trebuie să dublați coeficientul rezultat, adică să înmulțiți cu 2:

100 x 2 = 200 (adică 2/3 din 300).

Rezolvarea problemei 3. Aici trebuie să determinați numărul de case din cărămidă, care sunt 3/4 din 400. Să găsim mai întâi 1/4 din 400,

400: 4 = 100 (adică 1/4 din 400).

Pentru a calcula trei sferturi din 400, coeficientul rezultat trebuie triplat, adică înmulțit cu 3:

100 x 3 = 300 (adică 3/4 din 400).

Pe baza soluționării acestor probleme, putem deriva următoarea regulă:

Pentru a găsi valoarea unei fracții dintr-un număr dat, trebuie să împărțiți acest număr la numitorul fracției și să înmulțiți câtul rezultat cu numărătorul său.

3. Înmulțirea unui număr întreg cu o fracție.

Anterior (§ 26) s-a stabilit că înmulțirea numerelor întregi trebuie înțeleasă ca adunarea unor termeni identici (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). În acest paragraf (paragraful 1) s-a stabilit că înmulțirea unei fracții cu un întreg înseamnă găsirea sumei termenilor identici egală cu această fracție.

În ambele cazuri, înmulțirea a constat în găsirea sumei termenilor identici.

Acum trecem la înmulțirea unui număr întreg cu o fracție. Aici ne vom întâlni, de exemplu, cu o astfel de înmulțire: 9 2 / 3. Este destul de evident că definiția anterioară a înmulțirii nu se aplică în acest caz. Acest lucru este evident din faptul că nu putem înlocui o astfel de înmulțire prin adăugarea de numere egale.

Din această cauză, va trebui să dăm o nouă definiție a înmulțirii, adică, cu alte cuvinte, să răspundem la întrebarea ce ar trebui înțeles prin înmulțire cu o fracție, cum trebuie înțeleasă această acțiune.

Sensul înmulțirii unui număr întreg cu o fracție este clar din următoarea definiție: a înmulți un întreg (multiplicator) cu o fracție (multiplicator) înseamnă a găsi această fracție a multiplicatorului.

Și anume, înmulțirea a 9 cu 2/3 înseamnă a găsi 2/3 din nouă unități. În paragraful anterior au fost rezolvate astfel de probleme; deci este ușor să ne dăm seama că ajungem cu 6.

Dar acum apare o întrebare interesantă și importantă: de ce acțiuni atât de aparent diferite, cum ar fi găsirea sumei numerelor egale și găsirea fracției dintr-un număr, sunt numite același cuvânt „înmulțire” în aritmetică?

Acest lucru se întâmplă deoarece acțiunea anterioară (repetarea numărului cu termeni de mai multe ori) și acțiunea nouă (găsirea fracției dintr-un număr) dau un răspuns la întrebări omogene. Aceasta înseamnă că pornim aici de la considerațiile că întrebările sau sarcinile omogene sunt rezolvate printr-o singură acțiune.

Pentru a înțelege acest lucru, luați în considerare următoarea problemă: „1 m de pânză costă 50 de ruble. Cât vor costa 4 m dintr-o astfel de pânză?

Această problemă se rezolvă prin înmulțirea numărului de ruble (50) cu numărul de metri (4), adică 50 x 4 = 200 (ruble).

Să luăm aceeași problemă, dar în ea cantitatea de pânză va fi exprimată ca număr fracționar: „1 m de pânză costă 50 de ruble. Cât vor costa 3/4 m dintr-o astfel de pânză?

Această problemă trebuie rezolvată și prin înmulțirea numărului de ruble (50) cu numărul de metri (3/4).

De asemenea, puteți schimba numerele din el de mai multe ori fără a schimba sensul problemei, de exemplu, luați 9/10 m sau 2 3/10 m etc.

Întrucât aceste probleme au același conținut și diferă doar în cifre, numim acțiunile folosite în rezolvarea lor același cuvânt - înmulțire.

Cum se înmulțește un număr întreg cu o fracție?

Să luăm numerele întâlnite în ultima problemă:

Conform definiției, trebuie să găsim 3 / 4 din 50. Mai întâi găsim 1 / 4 din 50 și apoi 3 / 4.

1/4 din 50 este 50/4;

3/4 din 50 este .

Prin urmare.

Luați în considerare un alt exemplu: 12 5 / 8 = ?

1/8 din 12 este 12/8,

5/8 din numărul 12 este .

Prin urmare,

De aici obținem regula:

Pentru a înmulți un număr întreg cu o fracție, trebuie să înmulțiți numărul întreg cu numărătorul fracției și să faceți din acest produs numărătorul și să semnați numitorul fracției date ca numitor.

Scriem această regulă folosind litere:

Pentru a face această regulă perfect clară, trebuie amintit că o fracție poate fi considerată ca un coeficient. Prin urmare, este util să comparați regula găsită cu regula pentru înmulțirea unui număr cu un coeficient, care a fost stabilită în § 38

Trebuie reținut că înainte de a efectua înmulțirea, ar trebui să faceți (dacă este posibil) tăieturi, de exemplu:

4. Înmulțirea unei fracții cu o fracție.Înmulțirea unei fracții cu o fracție are aceeași semnificație ca și înmulțirea unui număr întreg cu o fracție, adică atunci când înmulți o fracție cu o fracție, trebuie să găsiți fracția în multiplicatorul din prima fracție (multiplicatorul).

Și anume, înmulțirea a 3/4 cu 1/2 (jumătate) înseamnă a găsi jumătate din 3/4.

Cum se înmulțește o fracție cu o fracție?

Să luăm un exemplu: de 3/4 ori 5/7. Aceasta înseamnă că trebuie să găsiți 5/7 din 3/4. Găsiți primul 1/7 din 3/4 și apoi 5/7

1/7 din 3/4 ar fi exprimat astfel:

5 / 7 numerele 3 / 4 vor fi exprimate astfel:

Prin urmare,

Un alt exemplu: de 5/8 ori 4/9.

1/9 din 5/8 este ,

4/9 numerele 5/8 sunt .

Prin urmare,

Din aceste exemple se poate deduce următoarea regulă:

Pentru a înmulți o fracție cu o fracție, trebuie să înmulțiți numărătorul cu numărătorul și numitorul cu numitorul și faceți din primul produs numărătorul și al doilea produs numitorul produsului.

Această regulă poate fi scrisă în general după cum urmează:

La înmulțire, este necesar să se facă (dacă este posibil) reduceri. Luați în considerare exemple:

5. Înmulțirea numerelor mixte. Deoarece numerele mixte pot fi înlocuite cu ușurință cu fracții improprii, această circumstanță este de obicei folosită la înmulțirea numerelor mixte. Aceasta înseamnă că în acele cazuri în care multiplicatorul sau multiplicatorul sau ambii factori sunt exprimați ca numere mixte, atunci aceștia sunt înlocuiți cu fracții improprii. Înmulțiți, de exemplu, numere mixte: 2 1/2 și 3 1/5. Transformăm fiecare dintre ele într-o fracție improprie și apoi vom înmulți fracțiile rezultate după regula înmulțirii unei fracții cu o fracție:

Regulă. Pentru a înmulți numere mixte, trebuie mai întâi să le convertiți în fracții improprii și apoi să înmulțiți conform regulii de înmulțire a unei fracții cu o fracție.

Notă. Dacă unul dintre factori este un număr întreg, atunci înmulțirea poate fi efectuată pe baza legii distribuției după cum urmează:

6. Conceptul de interes. La rezolvarea problemelor și la efectuarea diferitelor calcule practice, folosim tot felul de fracții. Dar trebuie reținut că multe cantități admit nu oricare, ci subdiviziuni naturale pentru ele. De exemplu, puteți lua o sutime (1/100) dintr-o rublă, va fi un ban, două sutimi sunt 2 copeici, trei sutimi sunt 3 copeici. Puteți lua 1/10 din rublă, va fi „10 copeici sau un ban. Puteți lua un sfert din rublă, adică 25 de copeici, jumătate de rublă, adică 50 de copeici (cincizeci de copeici). Dar practic nu Nu luați, de exemplu, 2/7 ruble, deoarece rubla nu este împărțită în șapte.

Unitatea de măsură pentru greutate, adică kilogramul, permite, în primul rând, subdiviziuni zecimale, de exemplu, 1/10 kg sau 100 g. Și astfel de fracții de kilogram ca 1/6, 1/11, 1/ 13 sunt mai puțin frecvente.

În general, măsurile noastre (metrice) sunt zecimale și permit subdiviziuni zecimale.

Cu toate acestea, trebuie remarcat faptul că este extrem de util și convenabil într-o mare varietate de cazuri să folosiți aceeași metodă (uniformă) de subdivizare a cantităților. Mulți ani de experiență au arătat că o astfel de împărțire bine justificată este diviziunea „sutimelor”. Să luăm în considerare câteva exemple legate de cele mai diverse domenii ale practicii umane.

1. Prețul cărților a scăzut cu 12/100 din prețul anterior.

Exemplu. Prețul anterior al cărții este de 10 ruble. Ea a scăzut cu 1 rublă. 20 cop.

2. Băncile de economii plătesc în cursul anului deponenților 2/100 din suma care este investită în economii.

Exemplu. 500 de ruble sunt puse în casierie, venitul din această sumă pentru anul este de 10 ruble.

3. Numărul absolvenților unei școli a fost de 5/100 din numărul total de elevi.

EXEMPLU La școală au studiat doar 1.200 de elevi, dintre care 60 au absolvit școala.

Sutimea unui număr se numește procent..

Cuvântul „procent” este împrumutat din limba latină, iar rădăcina lui „cent” înseamnă o sută. Împreună cu prepoziția (pro centum), acest cuvânt înseamnă „pentru o sută”. Sensul acestei expresii rezultă din faptul că inițial în Roma antică dobânda era banii pe care debitorul îi plătea împrumutătorului „pentru fiecare sută”. Cuvântul „cent” se aude în cuvinte atât de familiare: centner (o sută de kilograme), centimetru (se spune centimetru).

De exemplu, în loc să spunem că fabrica a produs 1/100 din toate produsele produse de ea în cursul lunii trecute, vom spune acest lucru: fabrica a produs un procent din rebuturi în ultima lună. În loc să spunem: fabrica a produs cu 4/100 de produse mai multe decât planul stabilit, vom spune: uzina a depășit planul cu 4 la sută.

Exemplele de mai sus pot fi exprimate diferit:

1. Prețul cărților a scăzut cu 12 la sută față de prețul anterior.

2. Băncile de economii plătesc deponenților 2 la sută pe an din suma investită în economii.

3. Numărul absolvenților unei școli a fost de 5 la sută din numărul tuturor elevilor din școală.

Pentru a scurta litera, se obișnuiește să scrieți semnul% în locul cuvântului „procent”.

Totuși, trebuie reținut că semnul % nu este de obicei scris în calcule, el poate fi scris în enunțul problemei și în rezultatul final. Când efectuați calcule, trebuie să scrieți o fracție cu numitorul 100 în loc de un număr întreg cu această pictogramă.

Trebuie să puteți înlocui un număr întreg cu pictograma specificată cu o fracție cu numitorul 100:

Dimpotrivă, trebuie să vă obișnuiți să scrieți un număr întreg cu pictograma indicată în loc de o fracție cu numitorul 100:

7. Găsirea procentelor unui număr dat.

Sarcina 1.Școala a primit 200 de metri cubi. m lemn de foc, cu lemn de foc de mesteacan 30%. Cât lemn de mesteacăn era acolo?

Semnificația acestei probleme este că lemnul de foc de mesteacăn era doar o parte din lemnul de foc care a fost livrat școlii, iar această parte este exprimată ca o fracțiune de 30 / 100. Deci, ne confruntăm cu sarcina de a găsi o fracțiune dintr-un număr. Pentru a o rezolva, trebuie să înmulțim 200 cu 30 / 100 (sarcinile pentru găsirea fracției dintr-un număr se rezolvă prin înmulțirea unui număr cu o fracție.).

Deci 30% din 200 este egal cu 60.

Fracția 30 / 100 întâlnită în această problemă poate fi redusă cu 10. Ar fi posibil să se efectueze această reducere de la bun început; soluția problemei nu s-ar schimba.

Sarcina 2.În tabără erau 300 de copii de diferite vârste. Copiii de 11 ani au fost 21%, copiii de 12 ani au fost 61% și, în final, cei de 13 ani au fost 18%. Câți copii de fiecare vârstă erau în tabără?

În această problemă, trebuie să efectuați trei calcule, adică să găsiți succesiv numărul de copii de 11 ani, apoi de 12 ani și, în final, de 13 ani.

Deci, aici va fi necesar să găsiți o fracție dintr-un număr de trei ori. S-o facem:

1) Câți copii aveau 11 ani?

2) Câți copii aveau 12 ani?

3) Câți copii aveau 13 ani?

După rezolvarea problemei, este util să adăugați numerele găsite; suma lor ar trebui să fie 300:

63 + 183 + 54 = 300

De asemenea, ar trebui să acordați atenție faptului că suma procentelor date în starea problemei este 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Acest lucru sugerează că numărul total de copii din tabără a fost considerat 100%.

3 a da cha 3. Muncitorul primea 1.200 de ruble pe lună. Dintre aceștia, a cheltuit 65% pe mâncare, 6% pe un apartament și încălzire, 4% pe gaz, electricitate și radio, 10% pe nevoi culturale și 15% a economisit. Câți bani au fost cheltuiți pentru nevoile indicate în sarcină?

Pentru a rezolva această problemă, trebuie să găsiți de 5 ori o fracțiune din numărul 1200. Să o facem.

1) Câți bani se cheltuiesc pe mâncare? Sarcina spune că această cheltuială reprezintă 65% din toate câștigurile, adică 65/100 din numărul 1.200. Să facem calculul:

2) Câți bani s-au plătit pentru un apartament cu încălzire? Argumentând ca și precedentul, ajungem la următorul calcul:

3) Câți bani ați plătit pentru gaz, electricitate și radio?

4) Câți bani se cheltuiesc pentru nevoi culturale?

5) Câți bani a economisit muncitorul?

Pentru verificare, este util să adăugați numerele găsite în aceste 5 întrebări. Suma ar trebui să fie de 1.200 de ruble. Toate câștigurile sunt luate ca 100%, ceea ce este ușor de verificat prin adunarea procentelor indicate în declarația problemei.

Am rezolvat trei probleme. În ciuda faptului că aceste sarcini erau despre lucruri diferite (livrarea de lemn de foc pentru școală, numărul de copii de diferite vârste, cheltuielile muncitorului), acestea au fost rezolvate în același mod. Acest lucru s-a întâmplat deoarece în toate sarcinile a fost necesar să se găsească câteva procente din numerele date.

§ 90. Împărțirea fracțiilor.

Când studiem împărțirea fracțiilor, vom lua în considerare următoarele întrebări:

1. Împărțiți un număr întreg la un număr întreg.
2. Împărțirea unei fracții cu un număr întreg
3. Împărțirea unui număr întreg cu o fracție.
4. Împărțirea unei fracții cu o fracție.
5. Împărțirea numerelor mixte.
6. Aflarea unui număr având în vedere fracția sa.
7. Găsirea unui număr după procentajul său.

Să le luăm în considerare secvenţial.

1. Împărțiți un număr întreg la un număr întreg.

După cum s-a indicat în secțiunea numere întregi, împărțirea este acțiunea constând în faptul că, dat fiind produsul a doi factori (dividend) și unul dintre acești factori (divizor), se găsește un alt factor.

Împărțirea unui număr întreg la un număr întreg am considerat-o în departamentul numerelor întregi. Am întâlnit acolo două cazuri de împărțire: împărțirea fără rest, sau „în întregime” (150: 10 = 15), și împărțirea cu rest (100: 9 = 11 și 1 în rest). Putem spune, așadar, că în domeniul numerelor întregi, împărțirea exactă nu este întotdeauna posibilă, deoarece dividendul nu este întotdeauna produsul dintre divizor și întreg. După introducerea înmulțirii cu o fracție, putem considera ca posibil orice caz de împărțire a numerelor întregi (se exclude doar împărțirea cu zero).

De exemplu, împărțirea lui 7 la 12 înseamnă a găsi un număr al cărui produs înmulțit cu 12 ar fi 7. Acest număr este fracția 7/12 deoarece 7/12 12 = 7. Un alt exemplu: 14: 25 = 14/25 deoarece 14/25 25 = 14.

Astfel, pentru a împărți un număr întreg la un număr întreg, trebuie să faceți o fracție, al cărei numărător este egal cu dividendul, iar numitorul este divizorul.

2. Împărțirea unei fracții cu un număr întreg.

Împărțiți fracția 6 / 7 la 3. Conform definiției împărțirii dată mai sus, avem aici produsul (6 / 7) și unul dintre factorii (3); este necesar să se găsească un astfel de al doilea factor care, atunci când este înmulțit cu 3, ar da produsul dat 6 / 7. Evident, ar trebui să fie de trei ori mai mic decât acest produs. Aceasta înseamnă că sarcina stabilită în fața noastră a fost să reducem fracția 6/7 de 3 ori.

Știm deja că reducerea unei fracții se poate face fie prin scăderea numărătorului, fie prin creșterea numitorului. Prin urmare, puteți scrie:

În acest caz, numărătorul 6 este divizibil cu 3, deci numărătorul trebuie redus de 3 ori.

Să luăm un alt exemplu: 5 / 8 împărțit la 2. Aici numărătorul 5 nu este divizibil cu 2, ceea ce înseamnă că numitorul va trebui înmulțit cu acest număr:

Pe baza acestui fapt, putem enunța regula: Pentru a împărți o fracție cu un întreg, trebuie să împărțiți numărătorul fracției la acel număr întreg(dacă este posibil), lăsând același numitor, sau înmulțiți numitorul fracției cu acest număr, rămânând același numărător.

3. Împărțirea unui număr întreg cu o fracție.

Să fie necesar să se împartă 5 la 1 / 2, adică să se găsească un număr care, după înmulțirea cu 1 / 2, va da produsul 5. Evident, acest număr trebuie să fie mai mare decât 5, deoarece 1 / 2 este o fracție proprie, iar la înmulțirea unui număr cu o fracție proprie, produsul trebuie să fie mai mic decât multiplicandul. Pentru a fi mai clar, să scriem acțiunile noastre după cum urmează: 5: 1 / 2 = X , deci x 1 / 2 \u003d 5.

Trebuie să găsim un astfel de număr X , care, înmulțit cu 1/2, ar da 5. Deoarece înmulțirea unui anumit număr cu 1/2 înseamnă găsirea a 1/2 din acest număr, atunci, prin urmare, 1/2 din numărul necunoscut X este 5 și numărul întreg X de două ori mai mult, adică 5 2 \u003d 10.

Deci 5: 1 / 2 = 5 2 = 10

Sa verificam:

Să luăm în considerare încă un exemplu. Să fie necesar să se împartă 6 la 2/3. Să încercăm mai întâi să găsim rezultatul dorit folosind desenul (Fig. 19).

Fig.19

Desenați un segment AB, egal cu 6 din unele unități, și împărțiți fiecare unitate în 3 părți egale. În fiecare unitate, trei treimi (3 / 3) din întregul segment AB este de 6 ori mai mare, adică. e. 18/3. Conectam cu ajutorul unor paranteze mici 18 segmente obtinute din 2; Vor fi doar 9 segmente. Aceasta înseamnă că fracția 2/3 este conținută în b unități de 9 ori, sau, cu alte cuvinte, fracția 2/3 este de 9 ori mai mică decât 6 unități întregi. Prin urmare,

Cum să obțineți acest rezultat fără un desen folosind doar calcule? Vom argumenta după cum urmează: este necesar să împărțim 6 la 2 / 3, adică este necesar să răspundem la întrebarea, de câte ori 2 / 3 este conținut în 6. Să aflăm mai întâi: de câte ori este 1 / 3 cuprinse în 6? Într-o unitate întreagă - 3 treimi și în 6 unități - de 6 ori mai mult, adică 18 treimi; pentru a găsi acest număr, trebuie să înmulțim 6 cu 3. Prin urmare, 1/3 este conținut în b unități de 18 ori, iar 2/3 este conținut în b unități nu de 18 ori, ci jumătate din câte ori, adică 18: 2 = 9 Prin urmare, la împărțirea 6 la 2/3 am făcut următoarele:

De aici obținem regula împărțirii unui număr întreg la o fracție. Pentru a împărți un număr întreg cu o fracție, trebuie să înmulțiți acest număr întreg cu numitorul fracției date și, făcând din acest produs numărător, să îl împărțiți la numărătorul fracției date.

Scriem regula folosind litere:

Pentru a face această regulă perfect clară, trebuie amintit că o fracție poate fi considerată ca un coeficient. Prin urmare, este util să comparați regula găsită cu regula împărțirii unui număr la un coeficient, care a fost stabilită în § 38. Rețineți că aceeași formulă a fost obținută acolo.

La împărțire, sunt posibile abrevieri, de exemplu:

4. Împărțirea unei fracții cu o fracție.

Să fie necesar să se împartă 3/4 la 3/8. Ce va desemna numărul care va fi obținut în urma împărțirii? Va răspunde la întrebarea de câte ori este conținută fracția 3/8 în fracția 3/4. Pentru a înțelege această problemă, să facem un desen (Fig. 20).

Luați segmentul AB, luați-l ca unitate, împărțiți-l în 4 părți egale și marcați 3 astfel de părți. Segmentul AC va fi egal cu 3/4 din segmentul AB. Să împărțim acum fiecare dintre cele patru segmente inițiale în jumătate, apoi segmentul AB va fi împărțit în 8 părți egale și fiecare astfel de părți va fi egală cu 1/8 din segmentul AB. Conectăm 3 astfel de segmente cu arce, apoi fiecare dintre segmentele AD și DC va fi egal cu 3/8 din segmentul AB. Desenul arată că segmentul egal cu 3/8 este cuprins în segmentul egal cu 3/4 exact de 2 ori; Deci rezultatul împărțirii poate fi scris astfel:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Să luăm în considerare încă un exemplu. Să fie necesar să se împartă 15/16 la 3/32:

Putem raționa astfel: trebuie să găsim un număr care, după ce a fost înmulțit cu 3/32, va da un produs egal cu 15/16. Să scriem calculele astfel:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 număr necunoscut X alcătuiesc 15/16

1/32 număr necunoscut X este ,

32 / 32 de numere X machiaj .

Prin urmare,

Astfel, pentru a împărți o fracție la o fracție, trebuie să înmulțiți numărătorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua și să înmulțiți numitorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua și să faceți din primul produs numărătorul și al doilea numitorul.

Să scriem regula folosind litere:

La împărțire, sunt posibile abrevieri, de exemplu:

5. Împărțirea numerelor mixte.

La împărțirea numerelor mixte, acestea trebuie mai întâi convertite în fracții improprii, iar apoi fracțiile rezultate trebuie împărțite conform regulilor de împărțire a numerelor fracționale. Luați în considerare un exemplu:

Convertiți numere mixte în fracții improprii:

Acum să împărțim:

Astfel, pentru a împărți numerele mixte, trebuie să le convertiți în fracții improprii și apoi să împărțiți conform regulii de împărțire a fracțiilor.

6. Aflarea unui număr având în vedere fracția sa.

Printre diversele sarcini pe fracții, există uneori acelea în care este dată valoarea unei fracții dintr-un număr necunoscut și este necesar să se găsească acest număr. Acest tip de problemă va fi invers cu problema găsirii unei fracțiuni dintr-un număr dat; acolo a fost dat un număr și a fost necesar să se găsească o fracție din acest număr, aici este dată o fracțiune dintr-un număr și este necesar să se găsească acest număr în sine. Această idee va deveni și mai clară dacă ne întoarcem la rezolvarea acestui tip de problemă.

Sarcina 1.În prima zi, geamurile au vitrat 50 de ferestre, adică 1/3 din toate ferestrele casei construite. Câte ferestre sunt în casa asta?

Decizie. Problema spune că 50 de ferestre vitrate alcătuiesc 1/3 din toate ferestrele casei, ceea ce înseamnă că sunt de 3 ori mai multe ferestre în total, adică.

Casa avea 150 de ferestre.

Sarcina 2. Magazinul a vândut 1.500 kg de făină, ceea ce reprezintă 3/8 din stocul total de făină din magazin. Care a fost rezerva inițială de făină a magazinului?

Decizie. Din starea problemei se vede că cele 1.500 kg de făină vândute constituie 3/8 din stocul total; aceasta înseamnă că 1/8 din acest stoc va fi de 3 ori mai puțin, adică, pentru a-l calcula, trebuie să reduceți 1500 de 3 ori:

1.500: 3 = 500 (adică 1/8 din stoc).

Evident, întregul stoc va fi de 8 ori mai mare. Prin urmare,

500 8 \u003d 4.000 (kg).

Aprovizionarea inițială de făină în magazin a fost de 4.000 kg.

Din luarea în considerare a acestei probleme se poate deduce următoarea regulă.

Pentru a găsi un număr cu o valoare dată a fracției sale, este suficient să împărțiți această valoare la numărătorul fracției și să înmulțiți rezultatul cu numitorul fracției.

Am rezolvat două probleme la găsirea unui număr dat fiind fracția sa. Astfel de probleme, așa cum se vede mai ales din ultima, se rezolvă prin două acțiuni: împărțirea (când se găsește o parte) și înmulțirea (când se găsește întregul număr).

Totuși, după ce am studiat împărțirea fracțiilor, problemele de mai sus pot fi rezolvate într-o singură acțiune și anume: împărțirea cu o fracție.

De exemplu, ultima sarcină poate fi rezolvată într-o singură acțiune ca aceasta:

În viitor, vom rezolva problema găsirii unui număr după fracția sa într-o singură acțiune - împărțire.

7. Găsirea unui număr după procentajul său.

În aceste sarcini, va trebui să găsiți un număr, cunoscând câteva procente din acest număr.

Sarcina 1. La începutul acestui an, am primit 60 de ruble de la banca de economii. venit din suma pe care am pus-o în economii acum un an. Cati bani am pus in banca de economii? (Casele oferă deponenților 2% din venit pe an.)

Sensul problemei este că o anumită sumă de bani a fost pusă de mine într-o casă de economii și a stat acolo timp de un an. După un an, am primit 60 de ruble de la ea. venit, care este 2/100 din banii pe care i-am pus. Câți bani am depus?

Prin urmare, cunoscând partea acestor bani, exprimată în două moduri (în ruble și în fracții), trebuie să găsim întreaga sumă, încă necunoscută. Aceasta este o problemă obișnuită de a găsi un număr având în vedere fracția sa. Următoarele sarcini sunt rezolvate pe divizie:

Deci, 3.000 de ruble au fost puse în banca de economii.

Sarcina 2.În două săptămâni, pescarii au îndeplinit planul lunar cu 64%, având pregătite 512 tone de pește. Care era planul lor?

Din starea problemei, se știe că pescarii au finalizat o parte din plan. Această parte este egală cu 512 tone, ceea ce reprezintă 64% din plan. Câte tone de pește trebuie recoltate conform planului, nu știm. Rezolvarea problemei va consta în găsirea acestui număr.

Astfel de sarcini sunt rezolvate prin împărțirea:

Deci, conform planului, trebuie să pregătiți 800 de tone de pește.

Sarcina 3. Trenul a mers de la Riga la Moscova. Când a depășit cel de-al 276-lea kilometru, unul dintre pasageri l-a întrebat pe conductorul care trecea cât de mult din călătorie au parcurs deja. La aceasta dirijorul a răspuns: „Am acoperit deja 30% din întreaga călătorie”. Care este distanța de la Riga la Moscova?

Din starea problemei se poate observa că 30% din călătoria de la Riga la Moscova este de 276 km. Trebuie să găsim întreaga distanță dintre aceste orașe, adică, pentru această parte, găsim întregul:

§ 91. Numerele reciproce. Înlocuirea împărțirii cu înmulțirea.

Luați fracția 2/3 și rearanjați numărătorul în locul numitorului, obținem 3/2. Avem o fracțiune, reciproca acesteia.

Pentru a obține o fracție reciprocă a uneia date, trebuie să puneți numărătorul acesteia în locul numitorului și numitorul în locul numărătorului. În acest fel, putem obține o fracție care este reciproca oricărei fracții. De exemplu:

3/4, invers 4/3; 5/6, invers 6/5

Două fracții care au proprietatea că numărătorul primei este numitorul celei de-a doua și numitorul primei este numărătorul celei de-a doua sunt numite reciproc invers.

Acum să ne gândim la ce fracție va fi reciproca lui 1/2. Evident, va fi 2 / 1, sau doar 2. Căutând reciproca acesteia, avem un număr întreg. Și acest caz nu este izolat; dimpotrivă, pentru toate fracțiile cu numărător de 1 (un), reciprocele vor fi numere întregi, de exemplu:

1 / 3, invers 3; 1/5, invers 5

Deoarece la găsirea reciprocelor ne-am întâlnit și cu numere întregi, în viitor nu vom vorbi despre reciproce, ci despre reciproce.

Să ne dăm seama cum să scriem reciproca unui număr întreg. Pentru fracții, acest lucru se rezolvă simplu: trebuie să puneți numitorul în locul numărătorului. În același mod, puteți obține reciproca unui număr întreg, deoarece orice număr întreg poate avea un numitor de 1. Prin urmare, reciproca lui 7 va fi 1 / 7, deoarece 7 \u003d 7 / 1; pentru numărul 10 inversul este 1 / 10 deoarece 10 = 10 / 1

Această idee poate fi exprimată în alt mod: reciproca unui număr dat se obține prin împărțirea unuia la numărul dat. Această afirmație este valabilă nu numai pentru numere întregi, ci și pentru fracții. Într-adevăr, dacă doriți să scrieți un număr care este reciproca fracției 5 / 9, atunci putem lua 1 și îl împărțim la 5 / 9, adică.

Acum să subliniem unul proprietate numere reciproc reciproce, care ne vor fi utile: produsul numerelor reciproc reciproce este egal cu unu.Într-adevăr:

Folosind această proprietate, putem găsi reciproce în felul următor. Să găsim reciproca lui 8.

Să o notăm cu litera X , apoi 8 X = 1, prin urmare X = 1 / 8 . Să găsim un alt număr, inversul lui 7/12, notăm-l printr-o literă X , apoi 7/12 X = 1, prin urmare X = 1:7 / 12 sau X = 12 / 7 .

Am introdus aici conceptul de numere reciproce pentru a completa puțin informațiile despre împărțirea fracțiilor.

Când împărțim numărul 6 la 3/5, facem următoarele:

Acordați o atenție deosebită expresiei și comparați-o cu cea dată: .

Dacă luăm expresia separat, fără legătură cu cea anterioară, atunci este imposibil să rezolvăm problema de unde provine: de la împărțirea a 6 la 3/5 sau de la înmulțirea a 6 cu 5/3. În ambele cazuri, rezultatul este același. Deci putem spune că împărțirea unui număr la altul poate fi înlocuită prin înmulțirea dividendului cu reciproca divizorului.

Exemplele pe care le oferim mai jos confirmă pe deplin această concluzie.

Înmulțirea fracțiilor ordinare

Luați în considerare un exemplu.

Să fie $\frac(1)(3)$ parte dintr-un măr pe farfurie. Trebuie să găsim partea $\frac(1)(2)$ a acesteia. Partea necesară este rezultatul înmulțirii fracțiilor $\frac(1)(3)$ și $\frac(1)(2)$. Rezultatul înmulțirii a două fracții comune este o fracție comună.

Înmulțirea a două fracții comune

Regula pentru înmulțirea fracțiilor ordinare:

Rezultatul înmulțirii unei fracții cu o fracție este o fracție al cărei numărător este egal cu produsul numărătorilor fracțiilor înmulțite, iar numitorul este egal cu produsul numitorilor:

Exemplul 1

Înmulțiți fracțiile ordinare $\frac(3)(7)$ și $\frac(5)(11)$.

Decizie.

Să folosim regula înmulțirii fracțiilor ordinare:

\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]

Răspuns:$\frac(15)(77)$

Dacă în urma înmulțirii fracțiilor se obține o fracție anulabilă sau improprie, atunci este necesară simplificarea acesteia.

Exemplul 2

Înmulțiți fracțiile $\frac(3)(8)$ și $\frac(1)(9)$.

Decizie.

Folosim regula pentru înmulțirea fracțiilor obișnuite:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]

Ca rezultat, am obținut o fracție reductibilă (pe baza împărțirii cu $3$. Împărțiți numărătorul și numitorul fracției la $3$, obținem:

\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]

Soluție scurtă:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]

Răspuns:$\frac(1)(24).$

Când înmulțiți fracții, puteți reduce numărătorii și numitorii pentru a găsi produsul lor. În acest caz, numărătorul și numitorul fracției se descompun în factori simpli, după care se reduc factorii care se repetă și se găsește rezultatul.

Exemplul 3

Calculați produsul fracțiilor $\frac(6)(75)$ și $\frac(15)(24)$.

Decizie.

Să folosim formula pentru înmulțirea fracțiilor obișnuite:

\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]

Evident, numărătorul și numitorul conțin numere care pot fi reduse în perechi cu numerele $2$, $3$ și $5$. Descompunem numărătorul și numitorul în factori simpli și facem reducerea:

\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]

Răspuns:$\frac(1)(20).$

La înmulțirea fracțiilor se poate aplica legea comutativă:

Înmulțirea unei fracții cu un număr natural

Regula pentru înmulțirea unei fracții obișnuite cu un număr natural:

Rezultatul înmulțirii unei fracții cu un număr natural este o fracție în care numărătorul este egal cu produsul numărătorului fracției înmulțite cu numărul natural, iar numitorul este egal cu numitorul fracției înmulțite:

unde $\frac(a)(b)$ este o fracție comună, $n$ este un număr natural.

Exemplul 4

Înmulțiți fracția $\frac(3)(17)$ cu $4$.

Decizie.

Să folosim regula înmulțirii unei fracții obișnuite cu un număr natural:

\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]

Răspuns:$\frac(12)(17).$

Nu uitați să verificați rezultatul înmulțirii pentru contractibilitatea unei fracții sau pentru o fracție improprie.

Exemplul 5

Înmulțiți fracția $\frac(7)(15)$ cu $3$.

Decizie.

Să folosim formula pentru înmulțirea unei fracții cu un număr natural:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]

Prin criteriul împărțirii la numărul $3$), se poate determina că fracția rezultată poate fi redusă:

\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]

Rezultatul este o fracție improprie. Să luăm toată partea:

\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]

Soluție scurtă:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (cinci)\]

De asemenea, a fost posibilă reducerea fracțiilor prin înlocuirea numerelor din numărător și numitor cu expansiunile lor în factori primi. În acest caz, soluția ar putea fi scrisă după cum urmează:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]

Răspuns:$1\frac(2)(5).$

Când înmulțiți o fracție cu un număr natural, puteți folosi legea comutativă:

Împărțirea fracțiilor ordinare

Operația de împărțire este inversul înmulțirii, iar rezultatul ei este o fracție prin care trebuie să înmulți o fracție cunoscută pentru a obține un produs cunoscut al două fracții.

Împărțirea a două fracții comune

Regula de împărțire a fracțiilor ordinare: Evident, numărătorul și numitorul fracției rezultate pot fi descompuse în factori simpli și reduc:

\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]

Ca rezultat, am obținut o fracție improprie, din care selectăm partea întreagă:

\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]

Răspuns:$1\frac(5)(9).$

Ultima dată am învățat cum să adunăm și să scădem fracții (vezi lecția „Adunarea și scăderea fracțiilor”). Cel mai dificil moment în acele acțiuni a fost aducerea fracțiilor la un numitor comun.

Acum este timpul să ne ocupăm de înmulțire și împărțire. Vestea bună este că aceste operații sunt chiar mai ușoare decât adunarea și scăderea. Pentru început, luați în considerare cel mai simplu caz, când există două fracții pozitive fără o parte întreagă distinsă.

Pentru a înmulți două fracții, trebuie să le înmulțiți separat numărătorii și numitorii. Primul număr va fi numărătorul noii fracții, iar al doilea va fi numitorul.

Pentru a împărți două fracții, trebuie să înmulțiți prima fracție cu a doua „inversată”.

Desemnare:

Din definiție rezultă că împărțirea fracțiilor se reduce la înmulțire. Pentru a inversa o fracție, trebuie doar să schimbați numărătorul și numitorul. Prin urmare, întreaga lecție o vom lua în considerare în principal înmulțirea.

Ca rezultat al înmulțirii, o fracție redusă poate apărea (și adesea apare) - desigur, trebuie redusă. Dacă, după toate reducerile, fracția sa dovedit a fi incorectă, întreaga parte ar trebui să fie distinsă în ea. Dar ceea ce nu se va întâmpla exact cu înmulțirea este reducerea la un numitor comun: fără metode încrucișate, factori maximi și cei mai puțini multipli comuni.

Prin definiție avem:

Înmulțirea fracțiilor cu o parte întreagă și fracții negative

Dacă există o parte întreagă în fracții, acestea trebuie convertite în unele necorespunzătoare - și abia apoi înmulțite conform schemelor prezentate mai sus.

Dacă există un minus la numărătorul unei fracții, la numitor sau în fața acesteia, acesta poate fi scos din limitele înmulțirii sau eliminat complet conform următoarelor reguli:

1. Plus ori minus dă minus;
2. Două negative fac o afirmație.

Până acum, aceste reguli au fost întâlnite doar la adunarea și scăderea fracțiilor negative, când era necesar să scăpăm de întreaga parte. Pentru un produs, acestea pot fi generalizate pentru a „arde” mai multe minusuri simultan:

1. Trimitem minusurile în perechi până dispar complet. Într-un caz extrem, poate supraviețui un minus - cel care nu a găsit o potrivire;
2. Dacă nu mai există minusuri, operațiunea este finalizată - puteți începe să înmulțiți. Dacă ultimul minus nu este tăiat, deoarece nu a găsit o pereche, îl scoatem din limitele înmulțirii. Obțineți o fracție negativă.

O sarcină. Aflați valoarea expresiei:

Traducem toate fracțiile în fracții improprii și apoi scoatem minusurile din afara limitelor înmulțirii. Ceea ce rămâne se înmulțește după regulile obișnuite. Primim:

Permiteți-mi să vă reamintesc încă o dată că minusul care vine înaintea unei fracții cu o parte întreagă evidențiată se referă în mod specific la întreaga fracție, și nu doar la partea sa întreagă (acest lucru se aplică ultimelor două exemple).

De asemenea, acordați atenție numerelor negative: atunci când sunt înmulțite, acestea sunt cuprinse între paranteze. Acest lucru se face pentru a separa minusurile de semnele de înmulțire și pentru a face întreaga notație mai precisă.

Reducerea fracțiilor din mers

Înmulțirea este o operație foarte laborioasă. Numerele de aici sunt destul de mari și, pentru a simplifica sarcina, puteți încerca să reduceți și mai mult fracția înainte de înmulțire. Într-adevăr, în esență, numărătorii și numitorii fracțiilor sunt factori obișnuiți și, prin urmare, ei pot fi redusi folosind proprietatea de bază a unei fracții. Aruncă o privire la exemple:

O sarcină. Aflați valoarea expresiei:

Prin definiție avem:

În toate exemplele, numerele care au fost reduse și ce a mai rămas din ele sunt marcate cu roșu.

Vă rugăm să rețineți: în primul caz, multiplicatorii s-au redus complet. Unitățile au rămas la locul lor, ceea ce, în general, poate fi omis. În al doilea exemplu, nu a fost posibil să se realizeze o reducere completă, dar suma totală a calculelor a scăzut în continuare.

Cu toate acestea, în niciun caz nu utilizați această tehnică atunci când adăugați și scădeți fracții! Da, uneori există numere similare pe care doriți doar să le reduceți. Aici, uite:

Nu poți face asta!

Eroarea apare din cauza faptului că atunci când se adună o fracție, suma apare la numărătorul unei fracții, și nu produsul numerelor. Prin urmare, este imposibil să se aplice proprietatea principală a unei fracții, deoarece această proprietate se ocupă în mod specific de înmulțirea numerelor.

Pur și simplu nu există alt motiv pentru a reduce fracțiile, așa că soluția corectă la problema anterioară arată astfel:

Solutia corecta:

După cum puteți vedea, răspunsul corect s-a dovedit a nu fi atât de frumos. În general, fii atent.