NUMERE REALE II
§ 46 Adunarea numerelor reale
Până acum nu putem decât să adunăm numere raționale între ele. După cum știm,
Dar nu știm încă ce semnificație are suma a două numere, dintre care cel puțin unul este irațional. Acum trebuie să definim ce se înțelege prin sumă α + β două numere reale arbitrare α Și β .
De exemplu, luați în considerare numerele 1/3 și √2. Să le imaginăm sub formă de fracții zecimale nesfârșite
1 / 3 = 0,33333...;
√2 =1,41421... .
Mai întâi, adăugăm aproximările zecimale corespunzătoare acestor numere cu un dezavantaj. Aceste aproximări, după cum sa menționat la sfârșitul paragrafului anterior, sunt raţional numere. Și știm deja cum să adăugăm astfel de numere:
0+1 = 1
0,3+1,4= 1,7
0,33+1,41 = 1,74
0,333 + 1,414 = 1,747
0,3333 + 1,4142= 1,7475
0,33333 + 1,41421 = 1,74754
.................................................................
Apoi adăugăm aproximările zecimale corespunzătoare acestor numere cu exces:
1 +2 = 3
0,4+ 1,5 = 1,9
0,34+ 1,42= 1,76
0,334 + 1,415 = 1,749
0,3334 + 1,4143=1,7477
0,33334+ 1,41422= 1,74756
..........................................................
Se poate dovedi* că există un număr real unic γ , care este mai mare decât toate sumele aproximărilor zecimale ale numerelor 1 / 3 și √2 cu un dezavantaj, dar mai mică decât toate sumele aproximărilor zecimale ale acestor numere cu un exces:
* O dovadă riguroasă a acestui fapt depășește domeniul de aplicare al programului nostru și, prin urmare, nu este oferită aici.
1 < γ < 3
1,7 < γ < 1,9
1,74 < γ < 1,76
1,747 < γ < 1,749
1,7475 < γ < 1,7477
1,74754 < γ < 1,74756
Prin definiție acest număr γ și este luată ca sumă a numerelor 1 / 3 și √2:
γ = 1 / 3 + √2
Este evident că γ = 1,7475....
Suma oricăror alte numere reale pozitive, dintre care cel puțin unul este irațional, poate fi determinată în mod similar. Esența problemei nu se va schimba chiar dacă unul dintre termeni, și poate ambii, sunt negativi.
Asa de, dacă numerele α Și β sunt raționale, atunci suma lor se găsește prin regula adunării numerelor raționale(vezi § 36).
Dacă cel puțin unul dintre ele este irațional, atunci suma α + β este un număr real care este mai mare decât toate sumele aproximărilor zecimale corespunzătoare acestor numere cu o deficiență, dar mai mică decât toate sumele aproximărilor zecimale corespunzătoare acestor numere cu un exces.
Acțiunea de adăugare astfel definită este supusă următoarelor două legi:
1) legea comutativă:
α + β = β + α
2) dreptul asociativ:
(α + β ) + γ = α + (β + γ ).
Nu vom demonstra acest lucru. Elevii pot face acest lucru singuri. Notăm doar că în demonstrație va trebui să folosim un fapt deja cunoscut nouă: adunarea numerelor raționale este supusă legilor comutative și asociative (vezi § 36).
Exerciții
327. Prezentați aceste sume sub formă de fracții zecimale, indicând cel puțin trei cifre corecte după cea ocupată:
a) √2 +√3; d) √2 + (-√3) g) 3/4 + (-√5);
b) √2 + 5/8; e) (- 1/3) + √5 h) 1/3 + √2 + √3.
c) (-√2) + √3; e) 11 / 9 + (- √5);
328. Găsiți primele câteva aproximări zecimale (cu deficit și exces) pentru numerele reale:
a) 1 / 2 + √7 b) √3 + √7 c) √3 + (-√7 )
329. Pe baza definiției sumei numerelor reale, demonstrați că pentru orice număr α
α + (- α ) = 0.
330. Suma a două fracții neperiodice infinite este întotdeauna o fracție neperiodică? Explicați răspunsul cu exemple.
Definiție
Set de numere reale este unirea mulțimilor de numere raționale și iraționale. Scrisoare R este denumirea ansamblului luat în considerare. O multime de R este reprezentată de un interval de forma (- ∞ ; + ∞).
cometariu
Este de remarcat faptul că orice număr rațional poate lua întotdeauna forma unei fracții periodice zecimale infinite, orice număr irațional al unei fracții neperiodice zecimale infinite, pe baza celor de mai sus, rezultă că mulțimea care include periodice finite și infinite și neperiodice. -fractiile zecimale periodice apartin multimii R.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Modelul geometric al numerelor reale
Linia de coordonate reprezintă direct modelul geometric al mulțimii R. În consecință, fiecare punct de pe linia de coordonate poate fi întotdeauna asociat cu un număr real.
Compararea numerelor reale
Compararea numerelor reale se poate face folosind fie un model geometric, fie ele pot fi comparate analitic. Să luăm în considerare ambele metode de comparație. Există două numere situate în ordine aleatorie pe linia de coordonate. Determinarea care este mai mare este destul de simplă. Numărul mai mare este întotdeauna la dreapta celuilalt.
Este posibil să se determine analitic care număr este mai mare sau mai mic decât un anumit număr; pentru a face acest lucru, este suficient să găsiți diferența acestor numere și apoi să o comparați cu zero. Dacă diferența rezultată are semn pozitiv, atunci primul număr (redus cu diferență) va fi mai mare decât al doilea număr (scăzut din diferență); dacă diferența are semn negativ, atunci primul număr (redus cu diferență) va fi mai mic decât al doilea număr (scăzut din diferență).
Mai jos ne uităm la exemple care demonstrează ambele metode de comparare:
Exemplul 1
Comparați numerele f r a c 185 și 4.
Soluţie
Pentru a compara aceste numere, să găsim diferența dintre aceste numere.
f r a c 185 - 4 = f r a c 185 - f r a c 205 = - f r a c 25 pentru a calcula această diferență, trebuie să reduceți aceste numere la un numitor comun, folosind regula reducerii la un numitor comun. După ce am efectuat această operație, vedem că numitorul din acest exemplu este egal cu 5. După aceasta, bazându-ne pe regula de scădere a fracțiilor cu același numitor, scădem numărătorul celei de-a doua fracții din numărătorul primei fracții și lăsați numitorul același. Vă rugăm să rețineți că diferența dintre numerele date este negativă, ceea ce înseamnă că primul număr (redus) este mai mic decât al doilea (scăzut), adică f r a c 185< 4 .
Exemplul 2
Comparați numerele f r a c 185 și 4 folosind o dreaptă de coordonate.
Soluţie
Pentru a compara aceste numere, trebuie să determinați locația geometrică a punctelor acestor numere pe linia de coordonate. Acestea. numerele reale care sunt comparate vor corespunde anumitor coordonate de pe linia de coordonate și anume numerele f r a c 185 și 4. Mai întâi, să convertim fracția improprie frac185 într-un număr mixt, adică Să selectăm întreaga parte, prin urmare, obținem 3 f r a c 35 .
Apoi, pe linia de coordonate, marcați punctele ale căror coordonate vor fi egale cu 3 f r a c 35 și 4. f r a c 185 conține 3 numere întregi, ceea ce înseamnă că acest număr este situat la stânga lui 4. După cum se știe deja, numărul mai mic se află la stânga, pe baza acestuia se ajunge la concluzia că f r a c 185< 4 .
Putem concluziona că, indiferent de aspectul comparației numerelor reale, toate operațiile aritmetice, și anume adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea, pot fi implementate. Cu toate acestea, înainte de a efectua operații cu numere reale, ar trebui să țineți cont de semnele originale ale acestor numere, adică. determinați dacă fiecare număr este pozitiv sau negativ.
Adunarea numerelor reale
Pentru a adăuga două numere reale cu aceleași semne, trebuie mai întâi să adăugați modulele acestora și apoi să prefixați suma cu semnul lor comun. De exemplu:
(+ 8) + (+ 2) = + 10 ; (- 5) + (- 4) = - 9 .
Pentru a adăuga două numere reale cu semne diferite, trebuie mai întâi să acordați atenție semnului numărului; dacă semnul unuia dintre numere este negativ, atunci acest număr trebuie scăzut din celălalt, dacă este pozitiv, adăugat celuilalt. Apoi, trebuie să adăugați sau să scădeți aceste numere și să puneți semnul modulului mai mare. De exemplu
(+ 2) + (- 7) = - 5 ; (+ 10) + (- 4) = + 6 .
Scăderea numerelor reale
Scăderea numerelor reale poate fi reprezentată ca adunare: a - b = a + (- b), adică pentru a scădea numărul b din numărul a, este suficient să adăugați la minuend numărul opus scăderii.
De exemplu: (+ 5) - (- 7) = (+ 3) + (+ 7) = 12 ; (+ 6) - (+ 4) = (+ 6) + (- 4) = + 2.
Înmulțirea numerelor reale
Pentru a înmulți (împărți) două numere reale, trebuie să înmulțiți (împărțiți) modulele lor. Și apoi puneți un semn în fața rezultatului conform regulii semnelor din tabelul de mai jos.
Când înmulțiți și împărțiți numerele reale, este indicat să rețineți proverbul: „Prietenul prietenului meu este prietenul meu, dușmanul dușmanului meu este prietenul meu, prietenul dușmanului meu este dușmanul meu, dușmanul prietenului meu este prietenul meu. dusman."
De exemplu:
(+ 2) (+ 7) = + 14 ; (- 2) (+ 6) = - 12 ; (- 2) (- 8) = 16 ;
Proprietățile operațiilor aritmetice pe numere reale (legile de bază ale algebrei)
În algebră există așa-numitele legi fundamentale ale algebrei. Ele sunt aproape întotdeauna acceptate ca adevărate (nu luăm în considerare cazuri de falsitate a acestor legi) și sunt formulate sub forma următoarelor proprietăți-identități:
- a + b = b + a ;
- (a + b) + c = a + (b + c) ;
- a + 0 = a ;
- a + (- a) = 0;
- a b = b a ;
- (a b) c = a (b c) ;
- a (b + c) = a b + a c ;
- a · 1 = a ;
- a · 0 = 0 ;
- a · 1 a = 1 , (a ≠ 0) .
Proprietățile 1 și 5 exprimă legea comutativă (comutativitatea) adunării și, respectiv, înmulțirii;
Proprietățile 2 și 6 exprima legea combinarii (asociativitatea);
Proprietatea 7 - legea distributivă (distributivitatea) a înmulțirii relativ la adunare;
Proprietățile 3 și 8 indicați prezența unui element neutru pentru adunare și, respectiv, înmulțire;
Proprietățile 4 și 10 – pentru prezența unui element neutralizant, respectiv.
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
Dacă numărul α nu poate fi reprezentat ca o fracție ireductibilă $$\frac(p)(q)$$, atunci se numește irațional.
Un număr irațional se scrie ca o fracție zecimală neperiodică infinită.
Să demonstrăm cu un exemplu faptul existenței numerelor iraționale.
Exemplul 1.4.1. Demonstrați că nu există un număr rațional al cărui pătrat este 2.
Soluţie. Să presupunem că există o fracție ireductibilă $$\frac(p)(q)$$ astfel încât $$(\frac(p)(q))^(2)=2$$
sau $$p^(2)=2q^(2)$$. Rezultă că $$p^(2)$$ este un multiplu al lui 2 și, prin urmare, p este un multiplu al lui 2. În caz contrar, dacă p nu este divizibil cu 2, i.e. $$p=2k-1$$, apoi $$p^(2)=(2k-1)^(2)=4k^(2)-4k+1$$ nu este de asemenea divizibil cu 2. Prin urmare, $ $ p=2k$$ $$\Săgeată dreapta$$ $$p^(2)=4k^(2)$$ $$\Săgeată dreapta$$ $$4k^(2)=2q^(2)$$ $$ \ Săgeată la dreapta$$ $$q^(2)=2k^(2)$$.
Deoarece $$q^(2)$$ este un multiplu al lui 2, atunci q este, de asemenea, un multiplu al lui 2, i.e. $$q=2m$$.
Deci, numerele p și q au un factor comun - numărul 2, ceea ce înseamnă că fracția $$\frac(p)(q)$$ este reductibilă.
Această contradicție înseamnă că presupunerea făcută este incorectă, dovedind astfel afirmația.
Mulțimea numerelor raționale și iraționale se numește mulțime de numere reale.
În mulţimea numerelor reale se introduc axiomatic operaţiile de adunare şi înmulţire: oricare două numere reale a şi b sunt asociate cu numărul $$a+b$$ şi produsul $$a\cdot b$$.
În plus, în acest set sunt introduse relațiile „mai mult decât”, „mai puțin decât” și egalități:
$$a>b$$ dacă și numai dacă a - b este un număr pozitiv;
$$a
Să enumerăm principalele proprietăți ale inegalităților numerice.
1. Dacă $$a>b$$ și $$b>c$$ $$\Rightarrow$$ $$a>c$$.
2. Dacă $$a>b$$ și $$c>0$$ $$\Rightarrow$$ $$ac>bc$$.
3. Dacă $$a>b$$ și $$c<0$$ $$\Rightarrow$$ $$ac
5. Dacă a, b, c, d sunt numere pozitive astfel încât $$a>b$$ și $$c>d$$ $$\Rightarrow$$ $$ac>bd$$.
Consecinţă. Dacă a și b sunt numere pozitive și $$a>b$$ $$\Rightarrow$$ $$a^(2)>b^(2)$$.
6. Dacă $$a>b$$ și $$c>d$$ $$\Săgeată la dreapta$$ $$a+c>b+d$$.
7. Dacă $$a>0$$, $$b>0$$ și $$a>b$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac(1)(a)<\frac{1}{b}$$.
Interpretarea geometrică a numerelor reale.
Să luăm o linie dreaptă l, vezi fig. 1.4.1 și fixați punctul O pe acesta - originea.
Punctul O împarte linia în două părți - raze. O rază îndreptată spre dreapta va fi numită rază pozitivă, iar o rază îndreptată spre stânga va fi numită rază negativă. Pe linie dreaptă marchem un segment luat ca unitate de lungime, adică. intra in scara.
Orez. 1.4.1. Interpretarea geometrică a numerelor reale.
O linie dreaptă cu o origine aleasă, direcție pozitivă și scară se numește linie numerică.
Fiecărui punct de pe linia numerică i se poate atribui un număr real conform următoarei reguli:
– să atribuim zero punctului O;
– fiecărui punct N de pe o rază pozitivă atribuim un număr pozitiv a, unde a este lungimea segmentului ON;
– fiecărui punct M de pe o rază negativă atribuim un număr negativ b, unde $$b=-\left | OM \right |$$ (lungimea segmentului OM, luată cu semnul minus).
Astfel, se stabilește o corespondență unu-la-unu între mulțimea tuturor punctelor de pe dreapta numerică și mulțimea numerelor reale, i.e. :
1) fiecare punct de pe dreapta numerică este asociat cu un singur număr real;
2) numere diferite sunt atribuite punctelor diferite;
3) nu există un singur număr real care să nu corespundă cu niciun punct de pe dreapta numerelor.
Exemplul 1.4.2. Pe linia numerică, marcați punctele corespunzătoare numerelor:
1) $$1\frac(5)(7)$$ 2) $$\sqrt(2)$$ 3) $$\sqrt(3)$$
Soluţie. 1) Pentru a marca numărul fracționar $$\frac(12)(7)$$, trebuie să construiți un punct corespunzător lui $$\frac(12)(7)$$.
Pentru a face acest lucru, trebuie să împărțiți un segment de lungime 1 în 7 părți egale. Așa rezolvăm această problemă.
Tragem o rază arbitrară din t.O și trasăm 7 segmente egale pe această rază. Primim
segmentul OA, iar din punctul A trasăm o linie dreaptă până la intersecția cu 1.
Orez. 1.4.2. Împărțirea unui segment de unitate în 7 părți egale.
Liniile drepte trasate paralel cu linia dreaptă A1 prin capetele segmentelor scoase deoparte împart un segment de lungime unitară în 7 părți egale (Fig. 1.4.2). Aceasta face posibilă construirea unui punct reprezentând numărul $$1\frac(5)(7)$$ (Fig. 1.4.3).
Orez. 1.4.3. Punctul de pe axa numerelor corespunzător numărului $$1\frac(5)(7)$$.
2) Numărul $$\sqrt(2)$$ poate fi obținut după cum urmează. Să construim un triunghi dreptunghic cu catete unitare. Atunci lungimea ipotenuzei este $$\sqrt(2)$$; Tragem acest segment din O pe linia numerică (Fig. 1.4.4).
3) Pentru a construi un punct distant de punctul aflat la o distanta de $$\sqrt(3)$$ (la dreapta), este necesar sa construim un triunghi dreptunghic cu catete de lungime 1 si $$\sqrt(2) $$. Atunci ipotenuza sa are lungimea $$\sqrt(2)$$, ceea ce vă permite să indicați punctul dorit pe axa numerelor.
Pentru numerele reale, este definit conceptul de modul (sau valoare absolută).
Orez. 1.4.4. Punctul de pe axa numerelor corespunzător numărului $$\sqrt(2)$$.
Modulul unui număr real a este:
– acest număr în sine, dacă A- număr pozitiv;
– zero dacă A– zero;
– -A, Dacă A- un număr negativ.
Valoarea absolută a unui număr A notat cu $$\left | a \dreapta |$$.
Definiția modulului (sau a valorii absolute) poate fi scrisă ca
| $$\stânga | a \right |=\left\(\begin(matrix)a, a\geq0\\-a, a<0\end{matrix}\right.$$ | (1.4.1) |
Geometric, modulul unui număr a înseamnă distanța de pe linia numerică de la originea O până la punctul corespunzător numărului. A.
Să notăm câteva proprietăți ale modulului.
1. Pentru orice număr A egalitatea $$\left | a \right |=\stânga | -a \dreapta |$$.
2. Pentru orice numere AȘi b egalitățile sunt valabile
$$\stânga | ab \right |=\stânga | a \right |\cdot \left | b \dreapta |$$; $$\stânga | \frac(a)(b) \right |=\frac(\left | a \right |)(\left | b \right |)$$ $$(b\neq 0)$$; $$\stânga | a \right |^(2)=a^(2)$$.
3. Pentru orice număr A inegalitatea $$\left | a \dreapta |\geq 0$$.
4. Pentru orice număr A inegalitatea $$-\left | a \right |\leq a\leq \left | a \dreapta |$$.
5. Pentru orice numere AȘi b inegalitatea este adevărată
$$\stânga | a+b \right |\leq \left | a \dreapta |+\stânga | b \dreapta |$$
Luați în considerare următoarele seturi de numere.
Dacă $$a
2) intervalul (a; b) este mulțimea tuturor numerelor reale α
, pentru fiecare dintre acestea fiind adevărate următoarele: $$a<\alpha
În mod similar, puteți introduce o jumătate de interval.
În unele cazuri, ei vorbesc despre „intervale”, adică fie o rază, un segment, un interval sau o jumătate de interval.
O multime de R toate numerele reale se notează după cum urmează: $$(-\infty; \infty)$$.
Pentru orice număr real a se introduce conceptul de grad cu exponent natural n, și anume
$$a^(n)=\underbrace (a\cdot a\cdot a\cdot a...a)$$, $$n\geq 2$$ și $$a^(1)=a$$.
Lăsa A este orice număr diferit de zero, apoi prin definiție $$a^(0)=1$$.
Gradul zero de zero este nedefinit.
Lăsa A– orice număr diferit de zero, m– orice număr întreg. Atunci numărul $$a^(m)$$ este determinat de regula:
$$a^(m)=\left\(\begin(matrix)a, m=1;\\\underbrace(a\cdot a\cdot a\cdot a...a), m\în N, m \geq2;\\1, m=0;\\\frac(1)(a^(n)), m=-n, n\în N\end(matrice)\right.$$
în care a m se numește putere cu exponent întreg.
Înainte de a defini conceptul de grad cu exponent rațional, introducem conceptul de rădăcină aritmetică.
Rădăcina aritmetică a unui grad n (n ∈ N, n > 2) număr nenegativ A numit număr nenegativ b astfel încât bn=a. Număr b este notat cu $$b\sqrt[n](a)$$.
Proprietățile rădăcinilor aritmetice ( a > 0, b > 0, n, m, k- numere întregi.)
| 1. $$\sqrt[n](ab)=\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[n](b)$$ | 5. $$\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$$ |
| 2. $$(a)^(\frac(k)(n))=\sqrt[n](a^(k))$$ | 6. $$\sqrt[n](a^(m))=\sqrt(a^(mk))$$ |
| 3. $$(\sqrt[n](a))^(k)=\sqrt[n](a^(k))$$ | 7. $$\sqrt(a^(2))=\left | a \dreapta |$$ |
| 4. $$\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt[n](a))(\sqrt[n](b)) (b\neq 0)$$ | 8. $$\sqrt(a^(2n))=\left | a \dreapta |$$ |
Lăsa A< 0
, A n– număr natural mai mare decât 1. Dacă n este un număr par, apoi egalitatea bn=a eșuează pentru orice valoare validă b. Aceasta înseamnă că în domeniul numerelor reale este imposibil să se determine rădăcina pare a unui număr negativ. Dacă n este un număr impar, atunci există un singur număr real b astfel încât bn=a. Acest număr se notează √n a și se numește rădăcina impară a unui număr negativ.
Folosind definiția ridicării la o putere întreagă și definiția unei rădăcini aritmetice, dăm definiția unei puteri cu un exponent rațional.
Lăsa A este un număr pozitiv și $$r=\frac(p)(q)$$ este un număr rațional și q- numar natural.
Număr pozitiv
$$b=\sqrt[q](a^(p))$$
se numește putere a lui a cu exponentul r și se notează ca
$$b=a^(r)$$ sau $$a^(\frac(p)(q))=\sqrt[q](a^(r))$$, aici $$q\în N $$, $$q\geq2$$.
Să luăm în considerare proprietățile de bază ale unui grad cu exponent rațional.
Lăsa AȘi b– orice numere pozitive, r 1 și r 2 – orice numere raționale. Atunci următoarele proprietăți sunt adevărate:
| 1. $$(ab)^(r_(1))=a^(r_(1))\cdot b^(r_(1))$$ | |
| 2. $$(\frac(a)(b))^(r_(1))=\frac(a^(r_(1)))(b^(r_(1)))$$ | |
| 3. $$a^(r_(1))\cdot a^(r_(2))=a^(r_(1)+r_(2))$$ | |
| 4. $$\frac(a^(r_(1)))(a^(r_(2)))=a^(r_(1)-r_(2))$$ | |
| 5. $$(a^(r_(1)))^(r_(2))=a^(r_(1)r_(2))$$ | (1.4.2) |
| 6. $$a^(0)=1$$ | |
| 7. Dacă $$a>1$$ și $$r_(1)>0\Rightarrow a^(r_(1))> 1$$ | |
| 8. Dacă $$0< a< 1$$ и $$r_{1}>0\Săgeată la dreapta 0< a^{r_{1}}< 1$$ | |
| 9. Dacă $$a>1$$ și $$r_(1)>r_(2)\Rightarrow a^(r_(1))> a^(r_(2))$$ | |
| 10. Dacă $$0< a< 1$$ и $$r_{1}>r_(2)\Rightarrow a^(r_(1))> a^(r_(2))$$ |
Conceptul de putere a unui număr pozitiv este generalizat la orice exponent real α
.
Determinarea puterii unui număr pozitiv a cu exponenți reali α
.
1. Dacă $$\alpha > 0$$ și
1) $$\alpha=m$$, $$m\în N \Rightarrow a^(\alpha)=\left\(\begin(matrix)a, m=1\\\underbrace(a\cdot a\ cdot a\cdot a....a), m\geq 2\end(matrix)\right.$$
2) $$\alpha=\frac(p)(q)$$, unde pȘi q- numere naturale $$\Rightarrow a^(\alpha)=\sqrt[q](a^(p))$$
3) α este un număr irațional, atunci
a) dacă a > 1, atunci a α- un număr mai mare decât a r i și mai mic decât a r k, Unde r i α
cu un dezavantaj r k- orice aproximare raţională a unui număr α
in abundenta;
b) dacă 0< A< 1, то a α- un număr mai mare decât a r k si mai putin de a r i;
c) dacă A= 1, apoi a α = 1.
2. Dacă $$\alpha=0$$, atunci a α = 1.
3. Dacă $$\alpha<0$$, то $$a^{\alpha}=\frac{1}{a^{\left | \alpha \right |}}$$.
Număr a α numit grad, numărul a este baza gradului, numărul α
– exponent.
O putere a unui număr pozitiv cu un exponent real are aceleași proprietăți ca și o putere cu un exponent rațional.
Exemplul 1.4.3. Calculați $$\sqrt(81)\cdot\sqrt(\frac(16)(6))$$.
Soluţie. Să folosim proprietatea rădăcinilor:
$$\sqrt(81)\cdot\sqrt(\frac(16)(6))=\sqrt(\frac(81\cdot16)(6))=\sqrt(\frac(3^(4)\cdot2) ^(4))(3\cdot2))=\sqrt(3^(3)\cdot2^(3))=6$$
Răspuns. 6.
Exemplul 1.4.4. Calculați $$6.25^(1.5)-2.25^(1.5)$$
| 1) 4 | 2) 8 | 3) 8,25 | 4) 12,25 |
1. Conceptul de număr irațional. Fracții zecimale neperiodice infinite. Mulțimea numerelor reale.
2. Operatii aritmetice pe numere reale. Legile adunării și înmulțirii.
3. Extinderea numerelor reale pozitive la mulțimea numerelor reale. Proprietățile mulțimii numerelor reale.
4. Numere aproximative.Reguli de rotunjire a numerelor reale și operații cu numere aproximative. Calcule folosind un microcalculator.
5. Principalele concluzii
Numere reale
Una dintre sursele apariției fracțiilor zecimale este împărțirea numerelor naturale, alta este măsurarea cantităților. Să aflăm, de exemplu, cum se pot obține fracții zecimale la măsurarea lungimii unui segment.
Lăsa X- un segment a cărui lungime trebuie măsurată, e- un singur segment. Lungimea segmentului X notat cu litera X, și lungimea segmentului e- scrisoare E. Lasă segmentul X cuprinde n segmente egale e₁ și segment X₁, care este mai scurt decât segmentul e(Fig. 130), i.e. n ∙E < X < (n + 1) ∙E. Numerele nȘi n+ 1 sunt valori aproximative ale lungimii segmentului X pe unitate de lungime E cu o deficiență și un exces cu o precizie de 1.
Pentru a obține un răspuns cu o mai mare acuratețe, luați segmentul e₁ - o zecime din segmentul e și o vom plasa în segment X₁. În acest caz, două cazuri sunt posibile.
1) Segmentul e₁ se încadrează în segment X₁ exact n o singura data. Apoi lungimea n segment X exprimat ca o fracție zecimală finală: X = (n+n₁\10) ∙E= n, n₁∙E. De exemplu, X= 3,4∙E.
2) Segment X₁ se dovedește a fi format din n segmente egale e₁, iar segmentul X₂, care este mai scurt decât segmentul e₁. Apoi n,n₁∙E < X < n,n₁n₁′∙ E, Unde n,n₁ și n,n₁n₁′ - valori aproximative ale lungimii segmentului X cu o deficiență și un exces cu o precizie de 0,1.
Este clar că în al doilea caz procesul de măsurare a lungimii unui segment X puteți continua luând un nou segment de unitate e₂ - sutime de segment e.
În practică, acest proces de măsurare a lungimii unui segment se va termina la un moment dat. Și apoi rezultatul măsurării lungimii segmentului va fi fie un număr natural, fie o fracție zecimală finită. Dacă ne imaginăm acest proces de măsurare a lungimii unui segment în mod ideal (cum se întâmplă în matematică), atunci sunt posibile două rezultate:
1) La pasul k, procesul de măsurare se va încheia. Apoi lungimea segmentelor va fi exprimată ca o fracție zecimală finită a formei n,n₁… n k.
2) Procesul descris de măsurare a lungimii unui segment X continuă la nesfârșit. Apoi un raport despre acesta poate fi reprezentat prin simbol n,n₁… n k..., care se numește fracție zecimală infinită.
Cum poți fi sigur că al doilea rezultat este posibil? Pentru a face acest lucru, este suficient să măsurați lungimea unui astfel de segment pentru care se știe că lungimea sa este exprimată, de exemplu, prin numărul rațional 5. Dacă s-ar dovedi că, în urma măsurării lungimii unui astfel de segment, se obține o fracție zecimală finită, atunci aceasta ar însemna că numărul 5 poate fi reprezentat ca o fracție zecimală finită, ceea ce este imposibil: 5 = 5,666.. ..
Deci, atunci când se măsoară lungimile segmentelor, pot fi obținute fracții zecimale nesfârșite. Dar aceste fracții sunt întotdeauna periodice? Răspunsul la această întrebare este negativ: există segmente ale căror lungimi nu pot fi exprimate ca o fracție periodică infinită (adică un număr rațional pozitiv) cu unitatea de lungime aleasă. Aceasta a fost o descoperire majoră în matematică, din care a rezultat că numerele raționale nu sunt suficiente pentru a măsura lungimile segmentelor.
Teorema. Dacă unitatea de lungime este lungimea laturii unui pătrat, atunci lungimea diagonalei acelui pătrat nu poate fi exprimată ca număr rațional pozitiv.
Dovada. Fie ca lungimea laturii pătratului să fie exprimată prin numărul 1. Să presupunem opusul a ceea ce trebuie demonstrat, adică că lungimea diagonalei AC a pătratului ABCB este exprimată prin fracția ireductibilă. Apoi, conform teoremei lui Pitagora, egalitatea ar fi valabilă
1²+ 1² = . De aici rezultă că m² = 2n². Aceasta înseamnă că m² este un număr par, apoi numărul m este par (pătratul unui număr impar nu poate fi par). Deci, m = 2p. Înlocuind numărul m în egalitatea m² = 2n² cu 2р, obținem că 4р² = 2n², adică. 2р² = n². Rezultă că n² este par, prin urmare n este un număr par. Astfel, numerele m și n sunt pare, ceea ce înseamnă că fracția poate fi redusă cu 2, ceea ce contrazice presupunerea că este ireductibilă. Contradicția stabilită demonstrează că dacă unitatea de lungime este lungimea laturii unui pătrat, atunci lungimea diagonalei acestui pătrat nu poate fi exprimată ca număr rațional.
Din teorema dovedită rezultă că există segmente ale căror lungimi nu pot fi exprimate ca număr pozitiv (cu unitatea de lungime aleasă), sau, cu alte cuvinte, scrise sub forma unei fracții periodice infinite. Aceasta înseamnă că fracțiile zecimale infinite obținute la măsurarea lungimii segmentelor pot fi neperiodice.
Se crede că fracțiile zecimale neperiodice infinite sunt o reprezentare a unor numere noi - irațional pozitiv numere. Deoarece conceptele de număr și notația acestuia sunt adesea identificate, ei spun că fracțiile zecimale neperiodice infinite sunt numere iraționale pozitive.
Am ajuns la conceptul de număr irațional pozitiv prin procesul de măsurare a lungimii segmentelor. Dar numerele iraționale pot fi obținute și prin luarea rădăcinilor unor numere raționale. Deci √2, √7, √24 sunt numere iraționale. Log 5, sin 31, numerele π =3,14... sunt și ele iraționale. e= 2,7828... și altele.
Mulțimea numerelor iraționale pozitive se notează cu simbolul J+.
Unirea a două seturi de numere: numere raționale pozitive și numere iraționale pozitive se numește mulțime de numere reale pozitive și se notează cu simbolul R+. Astfel, Q+ ∪ J + = R+. Folosind cercuri Euler, aceste seturi sunt descrise în Figura 131.
Orice număr real pozitiv poate fi reprezentat printr-o fracție zecimală infinită - periodică (dacă este rațional) sau neperiodic (dacă este irațional).
Operațiile pe numere reale pozitive se reduc la operații pe numere raționale pozitive.
Adunarea și înmulțirea numerelor reale pozitive are proprietățile comutativității și asociativității, iar înmulțirea este distributivă în raport cu adunarea și scăderea.
Folosind numere reale pozitive, puteți exprima rezultatul măsurării oricărei mărimi scalare: lungime, suprafață, masă etc. Dar, în practică, este adesea necesar să se exprime într-un număr nu rezultatul măsurării unei cantități, ci schimbarea acesteia. Mai mult, schimbarea sa poate avea loc în diferite moduri - poate crește, scădea sau rămâne neschimbată. Prin urmare, pentru a exprima o modificare a cantității, pe lângă numerele reale pozitive, sunt necesare și alte numere, iar pentru aceasta este necesară extinderea mulțimii R+ prin adăugarea acesteia a numărului 0 (zero) și a numerelor negative.
Unirea mulțimii numerelor reale pozitive cu mulțimea numerelor reale negative și zero este mulțimea R a tuturor numerelor reale.
Compararea numerelor reale și operațiile asupra acestora se realizează după regulile cunoscute nouă de la cursul de matematică din școală.
Exerciții
1. Descrieți procesul de măsurare a lungimii unui segment dacă este raportat ca o fracție:
a) 3,46; b) 3,(7); c) 3.2(6).
2. A șaptea parte a unui segment de unitate se încadrează în segment de 13 ori. Lungimea acestui segment va fi reprezentată ca o fracție finită sau infinită? Periodic sau neperiodic?
3. Dată o mulțime: (7; 8; √8; 35,91; -12,5; -√37; 0; 0,123; 4136).
Poate fi împărțit în două clase: rațional și irațional?
4. Se știe că orice număr poate fi reprezentat printr-un punct pe o dreaptă de coordonate. Punctele cu coordonate raționale epuizează întreaga linie de coordonate? Dar punctele cu coordonate reale?
99. Principalele concluzii § 19
Când am studiat materialul din această secțiune, am clarificat multe concepte cunoscute de la cursul de matematică din școală, legându-le cu măsurarea lungimii unui segment. Acestea sunt concepte precum:
fracție (regulată și improprie);
fracții egale;
fracție ireductibilă;
număr rațional pozitiv;
egalitatea numerelor raționale pozitive;
fracție mixtă;
fracție zecimală periodică infinită;
fracție zecimală neperiodică infinită;
număr irațional;
numar real.
Am aflat că relația de egalitate a fracțiilor este o relație de echivalență și am profitat de aceasta definind conceptul de număr rațional pozitiv. Am aflat, de asemenea, cum adunarea și înmulțirea numerelor raționale pozitive sunt legate de măsurarea lungimii segmentelor și am obținut formule pentru a afla suma și produsul lor.
Definiția relației „mai puțin decât” pe mulțimea Q+ a făcut posibilă denumirea proprietăților sale principale: este ordonată, densă și nu are un număr cel mai mic sau cel mai mare.
Am demonstrat că mulţimea Q+ de numere raţionale pozitive satisface toate condiţiile care îi permit să fie considerată o extensie a mulţimii N de numere naturale.
Prin introducerea fracțiilor zecimale, am demonstrat că orice număr rațional pozitiv poate fi reprezentat printr-o fracție zecimală periodică infinită.
Fracțiile neperiodice infinite sunt considerate a fi înregistrări ale numerelor iraționale.
Dacă combinăm mulțimile numerelor pozitive raționale și iraționale, obținem mulțimea numerelor reale pozitive: Q+ ∪ J + = R+.
Dacă adunăm numere reale negative și zero la numere reale pozitive, obținem mulțimea R a tuturor numerelor reale.
Repetarea liceului
Integral
Derivat
Volumele corpurilor
Corpuri de rotație
Metoda coordonatelor în spațiu
Sistem de coordonate dreptunghiular. Relația dintre coordonatele vectoriale și coordonatele punctului. Cele mai simple probleme de coordonate. Produsul punctual al vectorilor.
Conceptul de cilindru. Suprafața unui cilindru. Conceptul de con.
Suprafața unui con. Sferă și minge. Zona unei sfere. Poziția relativă a sferei și a planului.
Conceptul de volum. Volumul unui paralelipiped dreptunghiular. Volumul unei prisme drepte sau al unui cilindru. Volumul unei piramide și al unui con. Volumul mingii.
Secțiunea III. Începuturile analizei matematice
Derivat. Derivată a unei funcții de putere. Reguli de diferențiere. Derivate ale unor funcţii elementare. Sensul geometric al derivatului.
Aplicarea derivatei la studiul funcţiilor Funcția de creștere și scădere. Extreme ale funcției. Aplicarea derivatei la trasarea graficelor. Cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției.
Antiderivat. Reguli pentru găsirea antiderivatelor. Aria unui trapez curbat și integrală. Calculul integralelor. Calcularea suprafețelor folosind integrale.
Sarcini educaționale și de formare pentru examene
Secţiunea I. Algebră
Numărul este o abstractizare folosită pentru cuantificarea obiectelor. Numerele au apărut în societatea primitivă în legătură cu nevoia oamenilor de a număra obiectele. De-a lungul timpului, pe măsură ce știința s-a dezvoltat, numărul s-a transformat în cel mai important concept matematic.
Pentru a rezolva probleme și a demonstra diverse teoreme, este extrem de important să înțelegem ce tipuri de numere există. Tipurile de bază de numere includ: numere naturale, numere întregi, numere raționale, numere reale.
Numerele naturale sunt numere obținute prin numărarea naturală a obiectelor, sau mai degrabă prin numerotarea lor („primul”, „al doilea”, „al treilea”...). Setul de numere naturale este notat cu litera latină N (poate fi amintit pe baza cuvântului englezesc natural). Putem spune că N =(1,2,3,....)
Suplimentând numerele naturale cu zero și numere negative (ᴛ.ᴇ. numere opuse numerelor naturale), mulțimea numerelor naturale se extinde la mulțimea numerelor întregi.
Numerele întregi sunt numere din mulțime (0, 1, -1, 2, -2, ....). Această mulțime este formată din trei părți - numere naturale, numere întregi negative (opusul numerelor naturale) și numărul 0 (zero). Numerele întregi sunt notate cu litera latină Z. Putem spune că Z=(1,2,3,....). Numerele raționale sunt numere reprezentabile ca o fracție, unde m este un număr întreg și n este un număr natural.
Există numere raționale care nu pot fi scrise ca o fracție zecimală finală, de exemplu. Dacă, de exemplu, încercați să scrieți un număr ca fracție zecimală folosind binecunoscutul algoritm de împărțire a colțurilor, veți obține o fracție zecimală infinită. Se numește o fracție zecimală infinită periodic, repetând numărul 3 – ea perioadă. O fracție periodică se scrie pe scurt după cum urmează: 0,(3); citește: „Zero întreg și trei în punct”.
În general, o fracție periodică este o fracție zecimală infinită în care, pornind de la o anumită zecimală, se repetă aceeași cifră sau mai multe cifre - perioada fracției.
De exemplu, o fracție zecimală periodică cu o perioadă de 56; citește „23 întregi, 14 sutimi și 56 în perioada”.
Deci, fiecare număr rațional poate fi reprezentat ca o fracție zecimală periodică infinită.
Este adevărat și invers: fiecare fracție zecimală periodică infinită este un număr rațional, deoarece poate fi reprezentată ca o fracție, unde este un număr întreg și este un număr natural.
Numerele reale (reale) - numerele ϶ᴛᴏ, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ sunt folosite pentru a măsura cantități continue. Mulțimea numerelor reale se notează cu litera latină R. Numerele reale includ numerele raționale și numerele iraționale. Numerele iraționale sunt numere care se obțin ca urmare a efectuării diferitelor operații cu numere raționale (de exemplu, extragerea rădăcinilor, calcularea logaritmilor), dar nu sunt raționale. Exemple de numere iraționale sunt ϶ᴛᴏ.
Pe linia numerică poate fi afișat orice număr real:
Pentru mulțimile de numere enumerate mai sus, următoarea afirmație este adevărată: mulțimea numerelor naturale este inclusă în mulțimea numerelor întregi, mulțimea numerelor întregi este inclusă în mulțimea numerelor raționale și mulțimea numerelor raționale este inclusă în set de numere reale. Această afirmație poate fi ilustrată folosind cercurile lui Euler.
Exerciții pentru rezolvare independentă
