Luați în considerare un trapez curbiliniu delimitat de axa Ox, o curbă y \u003d f (x) și două linii drepte: x \u003d a și x \u003d b (Fig. 85). Luați o valoare arbitrară a lui x (numai că nu a și nu b). Să-i dăm un increment h = dx și să considerăm o bandă delimitată de drepte AB și CD, de axa Ox și de un arc BD aparținând curbei luate în considerare. Această bandă va fi numită bandă elementară. Aria unei benzi elementare diferă de aria dreptunghiului ACQB printr-un triunghi curbiliniu BQD, iar aria acestuia din urmă este mai mică decât aria dreptunghiului BQDM cu laturile BQ = =h= dx) QD=Ay și aria egală cu hAy = Ay dx. Pe măsură ce latura h scade, scade și latura Du și, simultan cu h, tinde spre zero. Prin urmare, aria BQDM este infinitezimală de ordinul doi. Aria benzii elementare este incrementul ariei, iar aria dreptunghiului ACQB, egală cu AB-AC==/(x) dx> este diferența de suprafață. Prin urmare, găsim zona în sine prin integrarea diferenţialului acesteia. În limitele figurii luate în considerare, variabila independentă l: se modifică de la a la b, deci aria necesară 5 va fi egală cu 5= \f (x) dx. (I) Exemplul 1. Calculați aria delimitată de parabola y - 1 -x *, liniile drepte X \u003d - Fj-, x \u003d 1 și axa O * (Fig. 86). la Fig. 87. Fig. 86. 1 Aici f(x) = 1 - l?, limitele de integrare a = - și t = 1, deci 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Exemplul 2. Calculați aria delimitată de sinusoida y = sinXy, axa Ox și linia dreaptă (Fig. 87). Aplicând formula (I), obținem L 2 S \u003d J sinxdx \u003d [-cos x] Q \u003d 0 - (-1) \u003d lf Exemplul 3. Calculați aria delimitată de arcul sinusoidei ^y \ u003d sin jc închis între două puncte de intersecție adiacente cu axa Ox (de exemplu, între origine și punctul cu abscisa i). Rețineți că, din considerente geometrice, este clar că această zonă va fi de două ori mai mare decât aria exemplului anterior. Totuși, să facem calculele: i 5= | s \ nxdx \u003d [ - cosx) * - - cos i- (- cos 0) \u003d 1 + 1 \u003d 2. o Într-adevăr, ipoteza noastră s-a dovedit a fi corectă. Exemplul 4. Calculați aria delimitată de sinusoid și de axa ^ Ox pe o perioadă (Fig. 88). Judecățile preliminare cu cifra ras sugerează că aria se va dovedi a fi de patru ori mai mare decât în ​​pr. 2. Cu toate acestea, după efectuarea calculelor, obținem „i G, * i S - \ sin x dx \u003d [- cos x ] 0 = = - cos 2n - (-cos 0) \u003d - 1 + 1 \u003d 0. Acest rezultat necesită clarificare. Pentru a clarifica esența problemei, calculăm, de asemenea, aria delimitată de aceeași sinusoidă y \u003d sin l: și axa Ox variind de la l la 2n. Aplicând formula (I), obținem Astfel, vedem că această zonă s-a dovedit a fi negativă. Comparând-o cu aria calculată în Ex. 3, constatăm că valorile lor absolute sunt aceleași, dar semnele sunt diferite. Dacă aplicăm proprietatea V (vezi cap. XI, § 4), atunci obținem întâmplător. Întotdeauna aria de sub axa x, cu condiția ca variabila independentă să se schimbe de la stânga la dreapta, se obține prin calcul folosind integrale negative. În acest curs, vom lua în considerare întotdeauna zonele nesemnate. Prin urmare, răspunsul din exemplul tocmai analizat va fi următorul: aria necesară este egală cu 2 + |-2| = 4. Exemplul 5. Să calculăm aria BAB prezentată în Fig. 89. Această zonă este limitată de axa Ox, parabola y = - xr și dreapta y - = -x + \. Aria unui trapez curbiliniu Zona căutată OAB este formată din două părți: OAM și MAB. Deoarece punctul A este punctul de intersecție al parabolei și al dreptei, vom găsi coordonatele acesteia prin rezolvarea sistemului de ecuații 3 2 Y \u003d mx. (ne trebuie doar să găsim abscisa punctului A). Rezolvând sistemul, găsim l; =~. Prin urmare, aria trebuie calculată în părți, primul pl. OAM, apoi pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 Y 2. QAM-^x (baza unui trapez curbiliniu) în n părți egale; această partiție este fezabilă cu ajutorul punctelor x 1 , x 2 , ... x k , ... x n-1 . Să tragem linii prin aceste puncte paralele cu axa y. Apoi, trapezul curbiliniu dat va fi împărțit în n părți, în coloane înguste. Aria întregului trapez este egală cu suma ariilor coloanelor.

Luați în considerare separat coloana k-a, adică trapez curbiliniu, a cărui bază este un segment. Să-l înlocuim cu un dreptunghi cu aceeași bază și înălțime egală cu f(x k) (vezi figura). Aria dreptunghiului este \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), unde \(\Delta x_k \) este lungimea segmentului; este firesc să considerăm produsul compilat ca o valoare aproximativă a ariei coloanei k-a.

Dacă procedăm acum la fel cu toate celelalte coloane, atunci ajungem la următorul rezultat: aria S a unui trapez curbiliniu dat este aproximativ egală cu aria S n a unei figuri în trepte formată din n dreptunghiuri (vezi figura):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Aici, de dragul uniformității notației, considerăm că a \u003d x 0, b \u003d x n; \(\Delta x_0 \) - lungimea segmentului , \(\Delta x_1 \) - lungimea segmentului , etc; în timp ce, după cum am convenit mai sus, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

Deci, \(S \approx S_n \), iar această egalitate aproximativă este cu atât mai precisă, cu atât n este mai mare.
Prin definiție, se presupune că aria dorită a trapezului curbiliniu este egală cu limita secvenței (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Sarcina 2(despre mutarea unui punct)
Un punct material se deplasează în linie dreaptă. Dependența vitezei de timp este exprimată prin formula v = v(t). Aflați deplasarea unui punct în intervalul de timp [a; b].
Decizie. Dacă mișcarea ar fi uniformă, atunci problema s-ar rezolva foarte simplu: s = vt, i.e. s = v(b-a). Pentru mișcarea neuniformă, trebuie să folosiți aceleași idei pe care s-a bazat soluția problemei anterioare.
1) Împărțiți intervalul de timp [a; b] în n părți egale.
2) Luați în considerare un interval de timp și presupuneți că în acest interval de timp viteza a fost constantă, cum ar fi la momentul t k . Deci, presupunem că v = v(t k).
3) Găsiți valoarea aproximativă a deplasării punctului pe intervalul de timp, această valoare aproximativă va fi notată cu s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Aflați valoarea aproximativă a deplasării s:
\(s \aprox S_n \) unde
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Deplasarea necesară este egală cu limita secvenței (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Să rezumam. Soluțiile diferitelor probleme au fost reduse la același model matematic. Multe probleme din diverse domenii ale științei și tehnologiei duc la același model în procesul de soluționare. Deci, acest model matematic ar trebui studiat special.

Conceptul de integrală definită

Să dăm o descriere matematică a modelului care a fost construit în cele trei probleme luate în considerare pentru funcția y = f(x), care este continuă (dar nu neapărat nenegativă, așa cum sa presupus în problemele luate în considerare) pe segmentul [ A; b]:
1) împărțiți segmentul [a; b] în n părți egale;
2) suma $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) calculați $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

În cursul analizei matematice, s-a dovedit că această limită există în cazul unei funcții continue (sau continue pe bucăți). El este sunat o integrală definită a funcției y = f(x) peste segmentul [a; b]și se notează astfel:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Numerele a și b se numesc limite de integrare (inferioară și respectiv superioară).

Să revenim la sarcinile discutate mai sus. Definiția zonei dată în problema 1 poate fi acum rescrisă după cum urmează:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
aici S este aria trapezului curbiliniu prezentat în figura de mai sus. Acesta este ce sensul geometric al integralei definite.

Definiția deplasării s a unui punct care se deplasează în linie dreaptă cu viteza v = v(t) pe intervalul de timp de la t = a la t = b, dată în problema 2, poate fi rescrisă astfel:

Formula Newton - Leibniz

Pentru început, să răspundem la întrebarea: care este relația dintre o integrală definită și o antiderivată?

Răspunsul poate fi găsit în problema 2. Pe de o parte, deplasarea s a unui punct care se deplasează de-a lungul unei drepte cu viteza v = v(t) pe un interval de timp de la t = a la t = b și se calculează prin formula
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

Pe de alta parte, coordonata punctului in miscare este antiderivata pentru viteza - sa o notam s(t); deci deplasarea s este exprimată prin formula s = s(b) - s(a). Ca rezultat, obținem:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
unde s(t) este antiderivată pentru v(t).

Următoarea teoremă a fost demonstrată în cursul analizei matematice.
Teorema. Dacă funcția y = f(x) este continuă pe segmentul [a; b], apoi formula
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
unde F(x) este antiderivată pentru f(x).

Această formulă este de obicei numită formula Newton-Leibnizîn onoarea fizicianului englez Isaac Newton (1643-1727) și a filozofului german Gottfried Leibniz (1646-1716), care l-au primit independent unul de celălalt și aproape simultan.

În practică, în loc să scrie F(b) - F(a), ei folosesc notația \(\left. F(x)\right|_a^b \) (uneori se numește dubla substitutie) și, în consecință, rescrieți formula Newton-Leibniz în această formă:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)

Calculând o integrală definită, găsiți mai întâi antiderivată și apoi efectuați o dublă substituție.

Pe baza formulei Newton-Leibniz, se pot obține două proprietăți ale unei integrale definite.

Proprietatea 1. Integrala sumei funcțiilor este egală cu suma integralelor:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Proprietatea 2. Factorul constant poate fi scos din semnul integral:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Calcularea ariilor figurilor plane folosind o integrală definită

Folosind integrala, puteți calcula aria nu numai a trapezelor curbilinie, ci și a figurilor plane de tip mai complex, cum ar fi cea prezentată în figură. Figura P este mărginită de drepte x = a, x = b și grafice ale funcțiilor continue y = f(x), y = g(x), iar pe segmentul [a; b] inegalitatea \(g(x) \leq f(x) \) este valabilă. Pentru a calcula aria S a unei astfel de figuri, vom proceda după cum urmează:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Deci, aria S a figurii mărginită de liniile drepte x = a, x = b și graficele funcțiilor y = f(x), y = g(x), continuă pe segment și astfel încât pentru orice x din segmentul [a; b] inegalitatea \(g(x) \leq f(x) \) este satisfăcută, se calculează prin formula
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Tabel de integrale nedefinite (antiderivate) ale unor funcții

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) )x+C $$

Inapoi inainte

Atenţie! Previzualizarea slide-ului are doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte întreaga amploare a prezentării. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Cuvinte cheie: trapez integral, curbiliniu, zonă de figuri delimitată de crini

Echipamente: tabla alba, calculator, proiector multimedia

Tipul de lecție: lecție-prelecție

Obiectivele lecției:

• educational: să formeze o cultură a muncii mentale, să creeze o situație de succes pentru fiecare elev, să formeze o motivație pozitivă pentru învățare; dezvolta capacitatea de a vorbi și de a asculta pe ceilalți.
• în curs de dezvoltare: formarea independenței gândirii elevului în aplicarea cunoștințelor în diverse situații, capacitatea de a analiza și de a trage concluzii, dezvoltarea logicii, dezvoltarea capacității de a pune corect întrebări și de a găsi răspunsuri la acestea. Îmbunătățirea formării abilităților de calcul, de calcul, dezvoltarea gândirii elevilor în cursul îndeplinirii sarcinilor propuse, dezvoltarea unei culturi algoritmice.
• educational: pentru a forma concepte despre un trapez curbiliniu, despre o integrală, pentru a stăpâni abilitățile de calcul a ariilor figurilor plate

Metoda de predare: explicative și ilustrative.

În timpul orelor

În clasele anterioare, am învățat cum să calculăm ariile figurilor ale căror limite sunt linii întrerupte. În matematică, există metode care vă permit să calculați aria figurilor delimitate de curbe. Astfel de cifre sunt numite trapeze curbilinii, iar aria lor este calculată folosind antiderivate.

trapez curbiliniu ( slide 1)

Un trapez curbiliniu este o figură delimitată de graficul funcției, ( w.m.), Drept x = ași x = b si abscisa

Diferite tipuri de trapezi curbilinii ( slide 2)

Luăm în considerare diferite tipuri de trapeze curbilinie și observăm: una dintre drepte este degenerată într-un punct, rolul funcției de limitare este jucat de linie.

Aria unui trapez curbiliniu (diapozitivul 3)

Fixați capătul din stânga al intervalului A, si drept X ne vom schimba, adică deplasăm peretele drept al trapezului curbiliniu și obținem o figură în schimbare. Aria unui trapez curbiliniu variabil delimitat de graficul funcției este antiderivată F pentru functie f

Iar pe segmentul [ A; b] aria trapezului curbiliniu format de funcție f, este egal cu incrementul antiderivatei acestei funcții:

Exercitiul 1:

Găsiți aria unui trapez curbiliniu mărginit de graficul unei funcții: f(x) = x 2 si direct y=0, x=1, x=2.

Decizie: ( conform algoritmului slide 3)

Desenați un grafic al funcției și al dreptelor

Găsiți una dintre antiderivatele funcției f(x) = x 2 :

Slide Self-Verificare

Integral

Se consideră un trapez curbiliniu dat de funcție f pe segmentul [ A; b]. Să împărțim acest segment în mai multe părți. Aria întregului trapez va fi împărțită în suma ariilor trapezelor curbilinii mai mici. ( slide 5). Fiecare astfel de trapez poate fi considerat aproximativ dreptunghi. Suma ariilor acestor dreptunghiuri oferă o idee aproximativă a întregii zone a trapezului curbiliniu. Cu cât rupem segmentul mai mic [ A; b], cu atât calculăm mai precis aria.

Scriem aceste considerații sub formă de formule.

Împărțiți segmentul [ A; b] în n părți cu puncte x 0 \u003d a, x1, ..., xn \u003d b. Lungime k- al notează prin xk = xk - xk-1. Să rezumam

Din punct de vedere geometric, această sumă este aria figurii umbrite în figură ( sh.m.)

Sumele de formă se numesc sume integrale pentru funcție f. (sch.m.)

Sumele integrale dau o valoare aproximativă a ariei. Valoarea exactă se obține prin trecerea la limită. Imaginează-ți că rafinăm partiția segmentului [ A; b] astfel încât lungimile tuturor segmentelor mici tind spre zero. Apoi aria figurii compuse se va apropia de aria trapezului curbiliniu. Putem spune că aria unui trapez curbiliniu este egală cu limita sumelor integrale, Sk.t. (sch.m.) sau integral, adică

Definiție:

integrală a funcției f(x) din A inainte de b se numește limita sumelor integrale

= (sch.m.)

formula Newton-Leibniz.

Amintiți-vă că limita sumelor integrale este egală cu aria unui trapez curbiliniu, deci putem scrie:

Sk.t. = (sch.m.)

Pe de altă parte, aria unui trapez curbiliniu este calculată prin formula

S la t. (sch.m.)

Comparând aceste formule, obținem:

= (sch.m.)

Această egalitate se numește formula Newton-Leibniz.

Pentru comoditatea calculelor, formula este scrisă astfel:

= = (sch.m.)

Sarcini: (sch.m.)

1. Calculați integrala folosind formula Newton-Leibniz: ( verificați diapozitivul 5)

2. Compilați integralele conform desenului ( verificați diapozitivul 6)

3. Găsiți aria unei figuri mărginite de linii: y \u003d x 3, y \u003d 0, x \u003d 1, x \u003d 2. ( Slide 7)

Găsirea ariilor figurilor plane ( slide 8)

Cum să găsiți aria figurilor care nu sunt trapeze curbilinii?

Să fie date două funcții, ale căror grafice le vedeți pe diapozitiv . (sch.m.) Găsiți aria figurii umbrite . (sch.m.). Figura în cauză este un trapez curbiliniu? Și cum puteți găsi zona sa, folosind proprietatea de aditivitate a zonei? Luați în considerare două trapeze curbilinie și scădeți aria celuilalt din aria unuia dintre ele ( w.m.)

Să facem un algoritm pentru găsirea zonei din animația de pe diapozitiv:

1. Funcții grafice
2. Proiectați punctele de intersecție ale graficelor pe axa x
3. Umbriți figura obținută prin încrucișarea graficelor
4. Găsiți trapeze curbilinie a căror intersecție sau unire este figura dată.
5. Calculați aria fiecăruia
6. Găsiți diferența sau suma suprafețelor

Sarcină orală: Cum să obțineți zona unei figuri umbrite (spuneți folosind animație, slide 8 și 9)

Teme pentru acasă: Elaborați rezumatul, nr. 353 (a), nr. 364 (a).

Bibliografie

1. Algebra și începutul analizei: un manual pentru clasele 9-11 ale școlii de seară (în schimburi) / ed. G.D. Glaser. - M: Iluminismul, 1983.
2. Bashmakov M.I. Algebra și începutul analizei: un manual pentru clasele 10-11 de gimnaziu / Bashmakov M.I. - M: Iluminismul, 1991.
3. Bashmakov M.I. Matematică: un manual pentru instituțiile care încep. și avg. prof. educație / M.I. Bashmakov. - M: Academia, 2010.
4. Kolmogorov A.N. Algebra și începutul analizei: un manual pentru 10-11 celule. instituţii de învăţământ / A.N. Kolmogorov. - M: Iluminismul, 2010.
5. Ostrovsky S.L. Cum se face o prezentare pentru lecție? / S.L. Ostrovsky. – M.: Primul septembrie 2010.

Lucrări terminate

ACESTE LUCRĂRI

Multe au rămas deja în urmă și acum ești absolvent, dacă, bineînțeles, îți scrii teza la timp. Dar viața este așa ceva încât abia acum îți devine clar că, după ce ai încetat să mai fii student, vei pierde toate bucuriile studențești, multe dintre care nu le-ai încercat, amânând totul și amânând pentru mai târziu. Și acum, în loc să te atingă din urmă, îți schimbi teza? Există o ieșire grozavă: descărcați teza de care aveți nevoie de pe site-ul nostru - și veți avea instantaneu mult timp liber!
Lucrările de diplomă au fost susținute cu succes în principalele universități din Republica Kazahstan.
Costul lucrării de la 20 000 tenge

LUCRĂRI DE CURS

Proiectul de curs este prima lucrare practică serioasă. Pregătirea pentru dezvoltarea proiectelor de absolvire începe odată cu scrierea unei lucrări. Dacă un student învață să enunțe corect conținutul subiectului într-un proiect de curs și să îl redacteze corect, atunci în viitor nu va avea probleme nici cu redactarea rapoartelor, nici cu alcătuirea tezelor, nici cu îndeplinirea altor sarcini practice. Pentru a-i ajuta pe elevi în redactarea acestui tip de lucrare a studenților și pentru a clarifica întrebările care apar în cursul pregătirii sale, de fapt, a fost creată această secțiune de informare.
Costul lucrării de la 2 500 tenge

TEZE DE MAESTRO

În prezent, în instituțiile de învățământ superior din Kazahstan și țările CSI, etapa de învățământ profesional superior, care urmează după diplomă de licență - master, este foarte frecventă. În magistratură, studenții studiază cu scopul de a obține o diplomă de master, care este recunoscută în majoritatea țărilor lumii mai mult decât o diplomă de licență, și este recunoscută și de angajatorii străini. Rezultatul pregătirii în magistratură este susținerea unei lucrări de master.
Vă vom oferi material analitic și textual la zi, prețul include 2 articole științifice și un rezumat.
Costul lucrării de la 35 000 tenge

RAPOARTE DE PRACTICĂ

După finalizarea oricărui tip de practică studentească (educațional, industrial, universitar) este necesar un raport. Acest document va fi o confirmare a muncii practice a studentului și baza pentru formarea evaluării pentru practică. De obicei, pentru a întocmi un raport de stagiu, trebuie să colectați și să analizați informații despre întreprindere, să luați în considerare structura și programul de lucru al organizației în care are loc stagiul, să întocmiți un plan calendaristic și să vă descrieți activitățile practice.
Vă vom ajuta să scrieți un raport despre stagiu, ținând cont de specificul activităților unei anumite întreprinderi.

Exemplul 1 . Calculați aria figurii mărginite de linii: x + 2y - 4 = 0, y = 0, x = -3 și x = 2

Să construim o figură (vezi fig.) Construim o linie dreaptă x + 2y - 4 \u003d 0 de-a lungul a două puncte A (4; 0) și B (0; 2). Exprimând y în termeni de x, obținem y \u003d -0,5x + 2. Conform formulei (1), unde f (x) \u003d -0,5x + 2, a \u003d -3, b \u003d 2, vom găsi

S \u003d \u003d [-0,25 \u003d 11,25 mp. unitati

Exemplul 2 Calculați aria figurii mărginite de linii: x - 2y + 4 \u003d 0, x + y - 5 \u003d 0 și y \u003d 0.

Decizie. Să construim o figură.

Să construim o dreaptă x - 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A (-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).

Să construim o dreaptă x + y - 5 = 0: y = 0, x = 5, С(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).

Aflați punctul de intersecție al dreptelor rezolvând sistemul de ecuații:

x = 2, y = 3; M(2; 3).

Pentru a calcula aria necesară, împărțim triunghiul AMC în două triunghiuri AMN și NMC, deoarece atunci când x se schimbă de la A la N, aria este limitată de o linie dreaptă, iar când x se schimbă de la N la C, este o linie dreaptă.

Pentru triunghiul AMN avem: ; y \u003d 0,5x + 2, adică f (x) \u003d 0,5x + 2, a \u003d - 4, b \u003d 2.

Pentru triunghiul NMC avem: y = - x + 5, adică f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Calculând aria fiecărui triunghi și adunând rezultatele, găsim:

mp unitati

mp unitati

9 + 4, 5 = 13,5 mp. unitati Verificați: = 0,5AC = 0,5 sq. unitati

Exemplul 3 Calculați aria unei figuri mărginite de drepte: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

LA acest caz este necesar să se calculeze aria unui trapez curbiliniu mărginit de o parabolă y = x 2 , linii drepte x \u003d 2 și x \u003d 3 și axa Ox (a se vedea fig.) Conform formulei (1), găsim aria unui trapez curbiliniu

= = 6kv. unitati

Exemplul 4 Calculați aria unei figuri mărginite de drepte: y \u003d - x 2 + 4 și y = 0

Să construim o figură. Zona dorită este închisă între parabola y \u003d - x 2 + 4 și axa Oh.

Aflați punctele de intersecție ale parabolei cu axa x. Presupunând y \u003d 0, găsim x \u003d Deoarece această cifră este simetrică față de axa Oy, calculăm aria figurii situate în dreapta axei Oy și dublăm rezultatul: \u003d + 4x] pătrat. unitati 2 = 2 mp. unitati

Exemplul 5 Calculați aria unei figuri delimitate de drepte: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Aici este necesar să se calculeze aria trapezului curbiliniu delimitată de ramura superioară a parabolei y 2 \u003d x, axa Ox și liniile drepte x \u003d 1x \u003d 4 (a se vedea fig.)

Conform formulei (1), unde f(x) = a = 1 și b = 4, avem = (= unități sq.

Exemplul 6 . Calculați aria figurii mărginite de drepte: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

Zona dorită este limitată de o sinusoidă cu jumătate de undă și de axa Ox (vezi Fig.).

Avem - cosx \u003d - cos \u003d 1 + 1 \u003d 2 metri pătrați. unitati

Exemplul 7 Calculați aria figurii delimitată de linii: y \u003d - 6x, y \u003d 0 și x \u003d 4.

Figura este situată sub axa Ox (vezi Fig.).

Prin urmare, aria sa este găsită prin formula (3)

= =

Exemplul 8 Calculați aria figurii delimitată de liniile: y \u003d și x \u003d 2. Vom construi curba y \u003d de puncte (a se vedea figura). Astfel, aria figurii se găsește prin formula (4)

Exemplul 9 .

X 2 + y 2 = r 2 .

Aici trebuie să calculați aria delimitată de cercul x 2 + y 2 = r 2 , adică aria unui cerc de rază r centrat la origine. Să găsim a patra parte a acestei zone, luând limitele integrării de la 0

dor; noi avem: 1 = = [

Prin urmare, 1 =

Exemplul 10 Calculați aria figurii mărginite de linii: y \u003d x 2 și y = 2x

Această cifră este limitată de parabola y \u003d x 2 și linie dreaptă y \u003d 2x (vezi Fig.) Pentru a determina punctele de intersecție ale dreptelor date, rezolvăm sistemul de ecuații: x 2 – 2x = 0 x = 0 și x = 2

Folosind formula (5) pentru a găsi aria, obținem

= }