Cursul video „Obțineți A” include toate subiectele necesare pentru a promova cu succes Examenul de stat unificat la matematică cu 60-65 de puncte. Complet toate sarcinile 1-13 ale Examenului de stat Profil unificat la matematică. De asemenea, potrivit pentru promovarea examenului de stat unificat de bază la matematică. Dacă vrei să promovezi examenul de stat unificat cu 90-100 de puncte, trebuie să rezolvi partea 1 în 30 de minute și fără greșeli!

Curs de pregătire pentru Examenul Unificat de Stat pentru clasele 10-11, precum și pentru profesori. Tot ce aveți nevoie pentru a rezolva partea 1 a examenului de stat unificat la matematică (primele 12 probleme) și problema 13 (trigonometrie). Și asta înseamnă mai mult de 70 de puncte la examenul de stat unificat și nici un student cu 100 de puncte, nici un student la științe umaniste nu se pot descurca fără ele.

Toată teoria necesară. Soluții rapide, capcane și secrete ale examenului de stat unificat. Au fost analizate toate sarcinile curente ale părții 1 din Banca de activități FIPI. Cursul respectă pe deplin cerințele Examenului de stat unificat 2018.

Cursul conține 5 subiecte mari, câte 2,5 ore fiecare. Fiecare subiect este dat de la zero, simplu și clar.

Sute de sarcini de examen de stat unificat. Probleme cu cuvinte și teoria probabilității. Algoritmi simpli și ușor de reținut pentru rezolvarea problemelor. Geometrie. Teorie, material de referință, analiza tuturor tipurilor de sarcini de examinare unificată de stat. Stereometrie. Soluții complicate, cheat sheets utile, dezvoltarea imaginației spațiale. Trigonometrie de la zero la problema 13. Înțelegerea în loc de înghesuială. Explicații clare ale conceptelor complexe. Algebră. Rădăcini, puteri și logaritmi, funcție și derivată. O bază pentru rezolvarea problemelor complexe din partea 2 a examenului de stat unificat.

Dovada:

• Triunghiul dat ABC.
• Prin vârful B trasăm o dreaptă DK paralelă cu baza AC.
• \angle CBK= \angle C ca interior încrucișat cu paralel DK și AC și secant BC.
• \angle DBA = \angle A interior încrucișat cu DK \parallel AC și secanta AB. Unghiul DBK este inversat și egal cu
• \angle DBK = \angle DBA + \angle B + \angle CBK
• Deoarece unghiul desfășurat este egal cu 180 ^\circ , iar \angle CBK = \angle C și \angle DBA = \angle A , obținem 180 ^\circ = \angle A + \angle B + \angle C.

Teorema este demonstrată

Corolare din teorema privind suma unghiurilor unui triunghi:

1. Suma unghiurilor ascuțite ale unui triunghi dreptunghic este egală cu 90°.
2. Într-un triunghi dreptunghic isoscel, fiecare unghi ascuțit este egal cu 45°.
3. Într-un triunghi echilateral, fiecare unghi este egal 60°.
4. În orice triunghi, fie toate unghiurile sunt acute, fie două unghiuri sunt acute, iar al treilea este obtuz sau drept.
5. Un unghi exterior al unui triunghi este egal cu suma a două unghiuri interioare care nu sunt adiacente acestuia.

Teorema unghiului exterior al triunghiului

Un unghi exterior al unui triunghi este egal cu suma celor două unghiuri rămase ale triunghiului care nu sunt adiacente acestui unghi exterior

Dovada:

• Dat un triunghi ABC, unde BCD este unghiul exterior.
• \angle BAC + \angle ABC +\angle BCA = 180^0
• Din egalităţi unghiul \angle BCD + \angle BCA = 180^0
• Primim \angle BCD = \angle BAC+\angle ABC.

Informații preliminare

În primul rând, să ne uităm direct la conceptul de triunghi.

Definiția 1

Vom numi un triunghi o figură geometrică care este formată din trei puncte legate între ele prin segmente (Fig. 1).

Definiția 2

În cadrul Definiției 1, vom numi punctele vârfurile triunghiului.

Definiția 3

În cadrul Definiției 1, segmentele vor fi numite laturile triunghiului.

Evident, orice triunghi va avea 3 vârfuri, precum și trei laturi.

Teorema despre suma unghiurilor dintr-un triunghi

Să introducem și să demonstrăm una dintre principalele teoreme legate de triunghiuri și anume teorema despre suma unghiurilor dintr-un triunghi.

Teorema 1

Suma unghiurilor din orice triunghi arbitrar este $180^\circ$.

Dovada.

Luați în considerare triunghiul $EGF$. Să demonstrăm că suma unghiurilor din acest triunghi este egală cu $180^\circ$. Să facem o construcție suplimentară: trageți linia dreaptă $XY||EG$ (Fig. 2)

Deoarece dreptele $XY$ și $EG$ sunt paralele, atunci $∠E=∠XFE$ se află transversal la secanta $FE$ și $∠G=∠YFG$ se află transversal la secanta $FG$

Unghiul $XFY$ va fi inversat și, prin urmare, este egal cu $180^\circ$.

$∠XFY=∠XFE+∠F+∠YFG=180^\circ$

Prin urmare

$∠E+∠F+∠G=180^\circ$

Teorema a fost demonstrată.

Teorema unghiului exterior al triunghiului

O altă teoremă asupra sumei unghiurilor pentru un triunghi poate fi considerată teorema unghiului extern. Mai întâi, să introducem acest concept.

Definiția 4

Vom numi un unghi extern al unui triunghi un unghi care este adiacent oricărui unghi al triunghiului (Fig. 3).

Să considerăm acum teorema direct.

Teorema 2

Un unghi exterior al unui triunghi este egal cu suma a două unghiuri ale triunghiului care nu sunt adiacente acestuia.

Dovada.

Considerăm un triunghi arbitrar $EFG$. Să aibă un unghi extern al triunghiului $FGQ$ (Fig. 3).

Prin teorema 1, vom avea că $∠E+∠F+∠G=180^\circ$, prin urmare,

$∠G=180^\circ-(∠E+∠F)$

Deoarece unghiul $FGQ$ este extern, atunci este adiacent unghiului $∠G$

$∠FGQ=180^\circ-∠G=180^\circ-180^\circ+(∠E+∠F)=∠E+∠F$

Teorema a fost demonstrată.

Exemple de sarcini

Exemplul 1

Aflați toate unghiurile unui triunghi dacă este echilateral.

Deoarece toate laturile unui triunghi echilateral sunt egale, vom avea că toate unghiurile din el sunt, de asemenea, egale între ele. Să notăm măsurile gradului lor cu $α$.

Apoi, prin teorema 1 obținem

$α+α+α=180^\circ$

Răspuns: toate unghiurile sunt egale cu $60^\circ$.

Exemplul 2

Aflați toate unghiurile unui triunghi isoscel dacă unul dintre unghiurile sale este egal cu $100^\circ$.

Să introducem următoarea notație pentru unghiurile dintr-un triunghi isoscel:

Deoarece nu ne este dat în condiția exact cu ce este egal $100^\circ$, atunci sunt posibile două cazuri:

Un unghi egal cu $100^\circ$ este unghiul de la baza triunghiului.

Folosind teorema unghiurilor de la baza unui triunghi isoscel, obținem

$∠2=∠3=100^\circ$

Dar atunci numai suma lor va fi mai mare de $180^\circ$, ceea ce contrazice condițiile teoremei 1. Aceasta înseamnă că acest caz nu apare.

Un unghi egal cu $100^\circ$ este unghiul dintre laturile egale, adică

În continuare de ieri:

Să ne jucăm cu un mozaic bazat pe un basm cu geometrie:

Au fost odată triunghiuri. Atât de asemănătoare încât sunt doar copii unul ale celuilalt.
Stăteau cumva unul lângă altul într-o linie dreaptă. Și din moment ce erau toți de aceeași înălțime -
atunci vârfurile lor erau la același nivel, sub domnitor:



Triunghiurilor le plăcea să se prăbușească și să stea pe cap. Au urcat pe rândul de sus și au stat la colț ca niște acrobați.
Și știm deja - când stau cu vârfurile exact în linie,
atunci tălpile lor urmează și o riglă - pentru că dacă cineva are aceeași înălțime, atunci are și ei aceeași înălțime cu susul în jos!



Erau la fel în toate - aceeași înălțime și aceleași tălpi,
iar toboganele laterale - unul mai abrupt, celălalt mai plat - au aceeași lungime
si au aceeasi panta. Ei bine, doar gemeni! (numai în haine diferite, fiecare cu propria sa bucată din puzzle).



- Unde triunghiurile au laturile identice? Unde sunt colturile la fel?

Triunghiurile s-au ridicat pe cap, au stat acolo și au decis să alunece și să se întindă în rândul de jos.
Au alunecat și au alunecat pe un deal; dar diapozitivele lor sunt aceleași!
Deci se potrivesc exact între triunghiurile inferioare, fără goluri, și nimeni nu a împins pe nimeni deoparte.



Ne-am uitat în jurul triunghiurilor și am observat o caracteristică interesantă.
Oriunde unghiurile lor se unesc, toate cele trei unghiuri se vor întâlni cu siguranță:
cel mai mare este „unghiul capului”, cel mai ascuțit unghi și al treilea, cel mai mare unghi mediu.
Au legat chiar și panglici colorate, astfel încât să fie imediat evident care era care.

Și s-a dovedit că cele trei unghiuri ale triunghiului, dacă le combini -
alcătuiește un unghi mare, un „colț deschis” - ca coperta unei cărți deschise,

______________________O ___________________

se numește unghi rotit.

Orice triunghi este ca un pașaport: trei unghiuri împreună sunt egale cu unghiul desfășurat.
Cineva iti bate la usa: - toc-cioc, sunt un triunghi, lasă-mă să petrec noaptea!
Și tu îi spui... Arată-mi suma unghiurilor în formă extinsă!
Și este imediat clar dacă acesta este un triunghi real sau un impostor.
Verificare eșuată - Întoarce-te cu o sută optzeci de grade și du-te acasă!



Când se spune „întoarce 180°” înseamnă să te întorci înapoi și
mergi in sens invers.

Același lucru în expresii mai familiare, fără „a fost odată ca niciodată”:



Să realizăm o translație paralelă a triunghiului ABC de-a lungul axei OX
a vector AB egală cu lungimea bazei AB.
Linia DF care trece prin vârfurile C și C 1 ale triunghiurilor
paralel cu axa OX, datorită faptului că perpendicular pe axa OX
segmentele h și h 1 (înălțimile triunghiurilor egale) sunt egale.
Astfel, baza triunghiului A 2 B 2 C 2 este paralelă cu baza AB
și egal cu acesta în lungime (deoarece vârful C 1 este deplasat față de C cu cantitatea AB).
Triunghiurile A 2 B 2 C 2 și ABC sunt egale pe trei laturi.
Prin urmare, unghiurile ∠A 1 ∠B ∠C 2 care formează un unghi drept sunt egale cu unghiurile triunghiului ABC.
=> Suma unghiurilor unui triunghi este 180°

Cu mișcări - „traduceri”, așa-numita dovadă este mai scurtă și mai clară,
chiar și un copil poate înțelege piesele mozaicului.

Dar școala tradițională:



pe baza egalității unghiurilor interioare încrucișate tăiate pe linii paralele



valoros prin faptul că oferă o idee despre motivul pentru care este așa,
De ce suma unghiurilor unui triunghi este egală cu unghiul invers?

Pentru că altfel liniile paralele nu ar avea proprietățile familiare lumii noastre.

Teoremele funcționează în ambele sensuri. Din axioma dreptelor paralele rezultă
egalitatea unghiurilor transversale și verticale, iar din ele - suma unghiurilor unui triunghi.

Dar și opusul este adevărat: atâta timp cât unghiurile unui triunghi sunt de 180°, există drepte paralele.
(astfel încât printr-un punct care nu se află pe o dreaptă se poate trage o linie unică || a celei date).
Dacă într-o zi apare în lume un triunghi a cărui sumă de unghiuri nu este egală cu unghiul desfășurat -
atunci cele paralele vor înceta să mai fie paralele, întreaga lume va fi îndoită și înclinată.

Dacă dungi cu modele triunghiulare sunt plasate una deasupra celeilalte -
puteți acoperi întregul câmp cu un model care se repetă, ca o podea cu gresie:




puteți urmări diferite forme pe o astfel de grilă - hexagoane, romburi,
stea poligoane și obțineți o varietate de parchete






Placarea unui avion cu parchet nu este doar un joc distractiv, ci și o problemă matematică relevantă:



________________________________________ _______________________-------__________ ________________________________________ ______________
/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\=/\__||_/ \__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\

Deoarece fiecare patrulater este dreptunghi, pătrat, romb etc.,
poate fi compus din două triunghiuri,
respectiv, suma unghiurilor unui patrulater: 180° + 180° = 360°


Triunghiuri isoscele identice sunt pliate în pătrate în moduri diferite.
Un pătrat mic din 2 părți. Media de 4. Și cel mai mare dintre cele 8.
Câte figuri sunt în desen, formate din 6 triunghiuri?