Formule de bază și metode de integrare. Regula de integrare a sumei sau diferențelor. Scoaterea constantei din semnul integral. Metoda de înlocuire variabilă. Formula de integrare pe părți. Un exemplu de rezolvare a problemei.

Cele patru metode principale de integrare sunt enumerate mai jos.

1) Regula de integrare a sumei sau diferențelor.
.
Aici și mai jos, u, v, w sunt funcții ale variabilei de integrare x .

2) Scoaterea constantei din semnul integral.
Fie c o constantă independentă de x. Apoi poate fi scos din semnul integral.

3) Metoda de înlocuire variabilă.
Luați în considerare integrala nedefinită.
Dacă este posibil să alegeți o astfel de funcție φ (X) de la x, deci
,
atunci, după modificarea variabilei t = φ(x) , avem
.

4) Formula de integrare pe părți.
,
unde u și v sunt funcții ale variabilei de integrare.

Scopul final al calculării integralelor nedefinite este, prin transformări, de a aduce integrala dată la cele mai simple integrale, care sunt numite integrale tabulare. Integralele de tabel sunt exprimate în termeni de funcții elementare folosind formule binecunoscute.
Vezi Tabelul integralelor >>>

Exemplu

Calculați integrală nedefinită

Decizie

Rețineți că integrandul este suma și diferența a trei termeni:
, și .
Aplicam metoda 1 .

Mai mult, observăm că integralele noilor integrale sunt înmulțite cu constantele 5, 4, și 2 , respectiv. Aplicam metoda 2 .

În tabelul de integrale găsim formula
.
Setarea n = 2 , găsim prima integrală.

Să rescriem integrala a doua în formă
.
Observăm că. Apoi

Să folosim a treia metodă. Facem schimbarea variabilei t = φ (x) = log x.
.
În tabelul de integrale găsim formula

Întrucât variabila de integrare poate fi notată cu orice literă, atunci

Să rescriem integrala a treia în formă
.
Aplicam formula de integrare pe parti.
Lăsa .
Apoi
;
;

;
;
.

Pe aceasta pagina veti gasi:

1. De fapt, tabelul de antiderivate - poate fi descărcat în format PDF și tipărit;

2. Video despre cum se utilizează acest tabel;

3. O grămadă de exemple de calculare a antiderivatei din diverse manuale și teste.

În videoclipul în sine, vom analiza o mulțime de sarcini în care este necesar să se calculeze funcții antiderivate, adesea destul de complexe, dar cel mai important, nu sunt legea puterii. Toate funcțiile rezumate în tabelul propus mai sus trebuie cunoscute pe de rost, ca și derivatele. Fără ele, studiul suplimentar al integralelor și aplicarea lor pentru a rezolva probleme practice este imposibil.

Astăzi continuăm să ne ocupăm de primitivi și trecem la un subiect puțin mai complex. Dacă data trecută am considerat antiderivate doar din funcții de putere și structuri puțin mai complexe, astăzi vom analiza trigonometria și multe altele.

După cum am spus în ultima lecție, antiderivatele, spre deosebire de derivatele, nu sunt niciodată rezolvate „gol” folosind reguli standard. Mai mult, vestea proastă este că, spre deosebire de derivat, este posibil ca antiderivatul să nu fie luat în considerare deloc. Dacă scriem o funcție complet aleatoare și încercăm să-i găsim derivata, atunci vom reuși cu o probabilitate foarte mare, dar antiderivata nu va fi aproape niciodată calculată în acest caz. Dar există o veste bună: există o clasă destul de mare de funcții numite funcții elementare, ale căror antiderivate sunt foarte ușor de calculat. Și toate celelalte construcții mai complexe care se dau la diverse control, independente și examene, de fapt, sunt alcătuite din aceste funcții elementare prin adunare, scădere și alte acțiuni simple. Antiderivatele unor astfel de funcții au fost mult timp calculate și rezumate în tabele speciale. Cu astfel de funcții și tabele vom lucra astăzi.

Dar vom începe, ca întotdeauna, cu o repetare: amintiți-vă ce este un antiderivat, de ce sunt infinite și cum să le determinați. forma generala. Pentru a face acest lucru, am luat două sarcini simple.

Rezolvarea de exemple simple

Exemplul #1

Rețineți imediat că $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ și prezența lui $\text( )\!\!\pi\!\! \ text( )$ ne sugerează imediat că antiderivata necesară a funcției este legată de trigonometrie. Și, într-adevăr, dacă ne uităm la tabel, aflăm că $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ nu este altceva decât $\text(arctg)x$. Deci hai sa scriem:

Pentru a găsi, trebuie să scrieți următoarele:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]

Exemplul #2

Aici vorbim și despre funcții trigonometrice. Dacă ne uităm la tabel, atunci, într-adevăr, se va dovedi astfel:

Trebuie să găsim dintre întregul set de antiderivate pe cel care trece prin punctul specificat:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

Să o scriem în sfârșit:

Este atat de simplu. Singura problemă este că, pentru a număra antiderivatele funcțiilor simple, trebuie să înveți tabelul cu antiderivate. Cu toate acestea, după ce ați învățat tabelul derivatelor pentru dvs., cred că aceasta nu va fi o problemă.

Rezolvarea problemelor care conțin o funcție exponențială

Să începem prin a scrie următoarele formule:

\[((e)^(x))\la ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\la \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

Să vedem cum funcționează toate acestea în practică.

Exemplul #1

Dacă ne uităm la conținutul parantezelor, vom observa că în tabelul cu antiderivate nu există o astfel de expresie ca $((e)^(x))$ să fie într-un pătrat, deci acest pătrat trebuie deschis. Pentru a face acest lucru, folosim formulele de înmulțire abreviate:

Să găsim antiderivată pentru fiecare dintre termeni:

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\la \frac(((\left(((e))) (2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\la \frac(((\left(((e) )^(-2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

Și acum colectăm toți termenii într-o singură expresie și obținem o antiderivată comună:

Exemplul #2

De data aceasta, exponentul este deja mai mare, așa că formula de înmulțire prescurtată va fi destul de complicată. Să extindem parantezele:

Acum să încercăm să luăm antiderivatul formulei noastre din această construcție:

După cum puteți vedea, nu există nimic complicat și supranatural în antiderivatele funcției exponențiale. Toate acestea sunt calculate prin tabele, totuși, elevii atenți vor observa cu siguranță că antiderivata $((e)^(2x))$ este mult mai aproape de doar $((e)^(x))$ decât de $((a). )^(x ))$. Deci, poate există o regulă mai specială care permite, cunoscând antiderivatul $((e)^(x))$, să găsească $((e)^(2x))$? Da, există o astfel de regulă. Și, în plus, este o parte integrantă a lucrului cu tabelul de antiderivate. O vom analiza acum folosind aceleași expresii cu care tocmai am lucrat ca exemplu.

Reguli pentru lucrul cu tabelul de antiderivate

Să rescriem funcția noastră:

În cazul precedent, am folosit următoarea formulă pentru a rezolva:

\[((a)^(x))\la \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]

Dar acum să o facem puțin diferit: amintiți-vă pe ce bază $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. După cum sa spus deja, deoarece derivata lui $((e)^(x))$ nu este altceva decât $((e)^(x))$, deci antiderivata sa va fi egală cu același $((e) ^( x))$. Dar problema este că avem $((e)^(2x))$ și $((e)^(-2x))$. Acum să încercăm să găsim derivata $((e)^(2x))$:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

Să rescriem construcția noastră din nou:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\prime ))\]

Și asta înseamnă că atunci când găsim antiderivată $((e)^(2x))$, obținem următoarele:

\[((e)^(2x))\la \frac(((e)^(2x)))(2)\]

După cum puteți vedea, am obținut același rezultat ca înainte, dar nu am folosit formula pentru a găsi $((a)^(x))$. Acum poate părea stupid: de ce să complici calculele când există o formulă standard? Cu toate acestea, în expresii ceva mai complexe, veți vedea că această tehnică este foarte eficientă, adică. folosind derivate pentru a găsi antiderivate.

Să găsim, ca o încălzire, antiderivata lui $((e)^(2x))$ într-un mod similar:

\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\prime ))\]

La calcul, construcția noastră se va scrie după cum urmează:

\[((e)^(-2x))\la -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\la -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

Am obținut exact același rezultat, dar am mers pe altă direcție. Este așa, care acum ni se pare puțin mai complicat, în viitor va fi mai eficient pentru calcularea unor antiderivate mai complexe și utilizarea tabelelor.

Notă! Acesta este un punct foarte important: antiderivatele, ca și derivatele, pot fi numărate în multe moduri diferite. Cu toate acestea, dacă toate calculele și calculele sunt egale, atunci răspunsul va fi același. Doar ne-am asigurat de acest lucru în exemplul $((e)^(-2x))$ - pe de o parte, am calculat această antiderivată „pe tot parcursul”, folosind definiția și calculând-o cu ajutorul transformărilor, pe pe de altă parte, ne-am amintit că $ ((e)^(-2x))$ poate fi reprezentat ca $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ și apoi utilizați antiderivată pentru funcția $( (a)^(x))$. Cu toate acestea, după toate transformările, rezultatul este același cu cel așteptat.

Și acum că înțelegem toate acestea, este timpul să trecem la ceva mai substanțial. Acum vom analiza două construcții simple, totuși, tehnica care va fi stabilită la rezolvarea acestora este un instrument mai puternic și mai util decât o simplă „curgere” între antiderivatele vecine din tabel.

Rezolvarea problemelor: găsiți antiderivată a unei funcții

Exemplul #1

Dați suma care este în numărători, descompuneți în trei fracții separate:

Aceasta este o tranziție destul de naturală și de înțeles - majoritatea studenților nu au probleme cu ea. Să ne rescriem expresia după cum urmează:

Acum să ne amintim această formulă:

În cazul nostru, vom obține următoarele:

Pentru a scăpa de toate aceste fracții cu trei etaje, vă sugerez să faceți următoarele:

Exemplul #2

Spre deosebire de fracția anterioară, numitorul nu este produsul, ci suma. În acest caz, nu ne mai putem împărți fracția la suma mai multor fracții simple, dar trebuie să încercăm cumva să ne asigurăm că numărătorul conține aproximativ aceeași expresie ca și numitorul. În acest caz, este destul de ușor de făcut:

O astfel de notație, care în limbajul matematicii se numește „adăugarea zero”, ne va permite să împărțim din nou fracția în două bucăți:

Acum să găsim ceea ce căutăm:

Astea sunt toate calculele. În ciuda complexității aparente mai mari decât în ​​problema anterioară, cantitatea de calcule s-a dovedit a fi și mai mică.

Nuanțe ale soluției

Și aici se află principala dificultate a lucrului cu primitive tabelare, acest lucru este vizibil în special în a doua sarcină. Cert este că pentru a selecta unele elemente care se numără ușor prin tabel, trebuie să știm exact ce căutăm și tocmai în căutarea acestor elemente constă întregul calcul al antiderivatelor.

Cu alte cuvinte, nu este suficient doar să memorezi tabelul de antiderivate - trebuie să poți vedea ceva care nu este încă acolo, ci ce a vrut să spună autorul și compilatorul acestei probleme. De aceea mulți matematicieni, profesori și profesori susțin constant: „Ce înseamnă luarea de antiderivate sau integrare - este doar un instrument sau este o adevărată artă?” De fapt, după părerea mea personală, integrarea nu este deloc o artă - nu este nimic sublim în ea, este doar practică și practică din nou. Și ca să exersăm, să rezolvăm încă trei exemple mai serioase.

Practicați integrarea în practică

Sarcina 1

Să scriem următoarele formule:

\[((x)^(n))\la \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\la \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\la \text(arctg)x\]

Să scriem următoarele:

Sarcina #2

Să-l rescriem după cum urmează:

Antiderivatul total va fi egal cu:

Sarcina #3

Complexitatea acestei sarcini constă în faptul că, spre deosebire de funcțiile anterioare, nu există o variabilă $x$ mai sus, i.e. nu ne este clar ce sa adaugam, sa scadem pentru a obtine macar ceva asemanator cu ce este mai jos. Cu toate acestea, de fapt, această expresie este considerată a fi chiar mai simplă decât orice expresie din constructele anterioare, deoarece această funcție poate fi rescrisă după cum urmează:

Vă puteți întreba acum: de ce sunt aceste funcții egale? Sa verificam:

Să rescriem din nou:

Să ne schimbăm puțin expresia:

Și când le explic toate astea studenților mei, aproape întotdeauna apare aceeași problemă: cu prima funcție totul este mai mult sau mai puțin clar, cu a doua poți să-ți dai seama și cu noroc sau practică, dar ce fel de conștiință alternativă faci trebuie să aveți pentru a rezolva al treilea exemplu? De fapt, nu te speria. Tehnica pe care am folosit-o la calcularea ultimului antiderivat se numește „descompunerea unei funcții în cea mai simplă”, iar aceasta este o tehnică foarte serioasă, iar o lecție video separată îi va fi dedicată.

Intre timp imi propun sa revenim la ceea ce tocmai am studiat, si anume la functii exponentiale si sa complicam oarecum sarcinile cu continutul lor.

Probleme mai complexe pentru rezolvarea funcțiilor exponențiale antiderivate

Sarcina 1

Rețineți următoarele:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]

Pentru a găsi antiderivata acestei expresii, utilizați pur și simplu formula standard $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

În cazul nostru, primitivul va fi astfel:

Desigur, pe fondul construcției pe care tocmai am rezolvat-o, aceasta pare mai simplă.

Sarcina #2

Din nou, este ușor de observat că această funcție este ușor de împărțit în doi termeni separați - două fracții separate. Să rescriem:

Rămâne să găsim antiderivatul fiecăruia dintre acești termeni conform formulei de mai sus:

În ciuda complexității aparente mai mari a funcțiilor exponențiale în comparație cu funcțiile de putere, cantitatea totală de calcule și calcule s-a dovedit a fi mult mai simplă.

Desigur, pentru elevii cunoscători, ceea ce tocmai ne-am ocupat (mai ales pe fundalul a ceea ce ne-am ocupat înainte) poate părea expresii elementare. Cu toate acestea, alegând aceste două sarcini pentru tutorialul video de astăzi, nu mi-am propus să vă spun un alt truc complex și fantezist - tot ce voiam să vă arăt este că nu trebuie să vă fie frică să folosiți trucuri standard de algebră pentru a transforma funcțiile originale. .

Folosind tehnica „secretă”.

În concluzie, aș dori să analizez o altă tehnică interesantă, care, pe de o parte, depășește ceea ce am analizat în principal astăzi, dar, pe de altă parte, este, în primul rând, deloc complicată, i.e. chiar și studenții începători îl pot stăpâni și, în al doilea rând, se găsește destul de des în toate tipurile de control și muncă independentă, adică. cunoașterea lui va fi foarte utilă pe lângă cunoașterea tabelului antiderivatelor.

Sarcina 1

Evident, avem ceva foarte asemănător cu o funcție de putere. Cum ar trebui să procedăm în acest caz? Să ne gândim: $x-5$ diferă de $x$ nu atât de mult - doar adăugat $-5$. Hai sa o scriem asa:

\[((x)^(4))\la \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

Să încercăm să găsim derivata lui $((\left(x-5 \right))^(5))$:

\[((\left(((\left(x-5 \right)))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]

Asta implică:

\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right)))^(5)))(5) \ dreapta))^(\prime ))\]

Nu există o astfel de valoare în tabel, așa că acum am derivat această formulă noi înșine, folosind formula antiderivată standard pentru o funcție de putere. Să scriem răspunsul astfel:

Sarcina #2

Pentru mulți studenți care se uită la prima soluție, le poate părea că totul este foarte simplu: este suficient să înlocuiți $x$ în funcția de putere cu o expresie liniară și totul va cădea la loc. Din păcate, totul nu este atât de simplu, iar acum vom vedea asta.

Prin analogie cu prima expresie, scriem următoarele:

\[((x)^(9))\la \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]

Revenind la derivata noastră, putem scrie:

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]

\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right)))^(10)))(-30) \right))^(\prime ))\]

De aici urmează imediat:

Nuanțe ale soluției

Vă rugăm să rețineți: dacă ultima dată nu sa schimbat nimic în mod esențial, atunci în al doilea caz au apărut -30$ în loc de -10$. Care este diferența dintre $-10$ și $-30$? Evident, cu un factor de -3$. Intrebare: de unde a venit? Privind atent, puteți vedea că a fost luată ca rezultat al calculului derivatei unei funcții complexe - coeficientul care a fost la $x$ apare în antiderivată de mai jos. Aceasta este o regulă foarte importantă, pe care inițial nu am plănuit să o analizez deloc în tutorialul video de astăzi, dar fără ea, prezentarea antiderivatelor tabulare ar fi incompletă.

Deci hai să o facem din nou. Să fie funcția noastră principală de putere:

\[((x)^(n))\la \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Și acum, în loc de $x$, să înlocuim expresia $kx+b$. Ce se va întâmpla atunci? Trebuie să găsim următoarele:

\[((\left(kx+b \right))^(n))\la \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1) \dreapta)\cdot k)\]

Pe ce bază afirmăm acest lucru? Foarte simplu. Să găsim derivata construcției scrise mai sus:

\[((\left(\frac(((\left(kx+b\right)))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]

Aceasta este aceeași expresie care a fost inițial. Astfel, această formulă este, de asemenea, corectă și poate fi folosită pentru a suplimenta tabelul de antiderivate, dar este mai bine să vă amintiți doar întregul tabel.

Concluzii din „secretul: recepția:

• Ambele funcții pe care tocmai le-am luat în considerare, de fapt, pot fi reduse la antiderivatele indicate în tabel prin deschiderea gradelor, dar dacă putem face față mai mult sau mai puțin cumva gradului al patrulea, atunci nu aș face deloc gradul al nouălea. îndrăznit să dezvăluie.
• Dacă am descoperi gradele, atunci am obține un astfel de volum de calcule încât o sarcină simplă ne-ar lua un timp inadecvat.
• De aceea, astfel de sarcini, în interiorul cărora există expresii liniare, nu trebuie rezolvate „gol”. De îndată ce întâlniți un antiderivat, care diferă de cel din tabel doar prin prezența expresiei $kx+b$ în interior, amintiți-vă imediat formula scrisă mai sus, înlocuiți-o în antiderivatul dvs. tabelar și totul va ieși mult. mai rapid și mai ușor.

Desigur, din cauza complexității și seriozității acestei tehnici, vom reveni în mod repetat la luarea în considerare a acesteia în tutorialele video viitoare, dar pentru astăzi am de toate. Sper că această lecție îi va ajuta cu adevărat pe acei studenți care doresc să înțeleagă antiderivatele și integrarea.

Funcția antiderivată și integrală nedefinită

Faptul 1. Integrarea este opusul diferențierii și anume refacerea unei funcții din derivata cunoscută a acestei funcții. Funcția restabilită în acest fel F(X) se numește primitiv pentru functie f(X).

Definiție 1. Funcție F(X f(X) pe un anumit interval X, dacă pentru toate valorile X din acest interval egalitatea F "(X)=f(X), adică această funcție f(X) este derivata funcției antiderivative F(X). .

De exemplu, funcția F(X) = păcat X este antiderivată pentru funcție f(X) = cos X pe întreaga dreaptă numerică, deoarece pentru orice valoare a lui x (păcat X)" = (cos X) .

Definiție 2. Integrală nedefinită a unei funcții f(X) este colecția tuturor antiderivatelor sale. Aceasta folosește notația

∫

f(X)dx

,

unde este semnul ∫ se numește semn integral, funcție f(X) este un integrand și f(X)dx este integrantul.

Astfel, dacă F(X) este un antiderivat pentru f(X) , apoi

∫

f(X)dx = F(X) +C

Unde C - constantă arbitrară (constant).

Pentru a înțelege semnificația mulțimii de antiderivate ale unei funcții ca integrală nedefinită, este potrivită următoarea analogie. Să fie o ușă (o ușă tradițională de lemn). Funcția sa este „a fi o ușă”. Din ce este făcută ușa? Dintr-un copac. Aceasta înseamnă că mulțimea de antiderivate ale integrandului „a fi o ușă”, adică integrala sa nedefinită, este funcția „a fi un arbore + C”, unde C este o constantă, care în acest context poate desemna, pt. de exemplu, o specie de copac. La fel cum o uşă este făcută din lemn cu unele unelte, derivata unei funcţii este „facut” din funcţia antiderivată cu formula pe care am învățat-o studiind derivata .

Apoi tabelul de funcții ale obiectelor comune și primitivele lor corespunzătoare ("a fi o ușă" - "a fi un copac", "a fi o lingură" - "a fi un metal", etc.) este similar cu tabelul de integrale nedefinite de bază, care vor fi date mai jos. Tabelul de integrale nedefinite enumeră funcțiile comune, indicând antiderivatele din care sunt „alcătuite” aceste funcții. Ca parte a sarcinilor de găsire a integralei nedefinite, sunt date astfel de integranți care pot fi integrați direct fără eforturi deosebite, adică conform tabelului de integrale nedefinite. În problemele mai complexe, integrandul trebuie mai întâi transformat, astfel încât integralele tabelare să poată fi utilizate.

Faptul 2. Restabilind o funcție ca antiderivată, trebuie să luăm în considerare o constantă (constant) arbitrară Cși pentru a nu scrie o listă de antiderivate cu diferite constante de la 1 la infinit, trebuie să scrieți un set de antiderivate cu o constantă arbitrară C, astfel: 5 X³+C. Deci, o constantă arbitrară (constant) este inclusă în expresia antiderivatei, deoarece antiderivatul poate fi o funcție, de exemplu, 5 X³+4 sau 5 X³+3 și la diferențierea 4 sau 3 sau orice altă constantă dispare.

Punem problema de integrare: pentru o functie data f(X) găsiți o astfel de funcție F(X), al cărui derivat este egal cu f(X).

Exemplul 1 Aflați mulțimea de antiderivate ale unei funcții

Decizie. Pentru această funcție, antiderivată este funcția

Funcţie F(X) se numește antiderivată pentru funcție f(X) dacă derivata F(X) este egal cu f(X), sau, ceea ce este același lucru, diferența F(X) este egal cu f(X) dx, adică

(2)

Prin urmare, funcția este antiderivată pentru funcția . Cu toate acestea, nu este singurul antiderivat pentru . Sunt și funcții

Unde Cu este o constantă arbitrară. Acest lucru poate fi verificat prin diferențiere.

Astfel, dacă există o singură antiderivată pentru o funcție, atunci pentru aceasta există un set infinit de antiderivate care diferă printr-un sumand constant. Toate antiderivatele pentru o funcție sunt scrise în forma de mai sus. Aceasta rezultă din următoarea teoremă.

Teoremă (enunțul formal al faptului 2).În cazul în care un F(X) este antiderivată pentru funcție f(X) pe un anumit interval X, apoi orice alt antiderivat pentru f(X) pe același interval poate fi reprezentat ca F(X) + C, Unde Cu este o constantă arbitrară.

În exemplul următor, ne întoarcem deja la tabelul de integrale, care va fi dat în paragraful 3, după proprietățile integralei nedefinite. Facem acest lucru înainte de a ne familiariza cu întregul tabel, astfel încât esența celor de mai sus să fie clară. Și după tabel și proprietăți, le vom folosi în întregime la integrare.

Exemplul 2 Găsiți seturi de antiderivate:

Decizie. Găsim seturi de funcții antiderivate din care aceste funcții sunt „facute”. Când menționăm formule din tabelul integralelor, deocamdată, acceptați doar că există astfel de formule și vom studia tabelul integralelor nedefinite în întregime puțin mai departe.

1) Aplicând formula (7) din tabelul de integrale pentru n= 3, obținem

2) Folosind formula (10) din tabelul de integrale pentru n= 1/3, avem

3) Din moment ce

apoi conform formulei (7) la n= -1/4 găsi

Sub semnul integral, ei nu scriu funcția în sine f, și produsul său prin diferenţial dx. Acest lucru se face în primul rând pentru a indica ce variabilă este căutată antiderivatul. De exemplu,

, ;

aici în ambele cazuri integrandul este egal cu , dar integralele sale nedefinite în cazurile luate în considerare se dovedesc a fi diferite. În primul caz, această funcție este considerată ca o funcție a unei variabile X, iar în al doilea - în funcție de z .

Procesul de găsire a integralei nedefinite a unei funcții se numește integrarea acelei funcții.

Sensul geometric al integralei nedefinite

Să fie necesar să se găsească o curbă y=F(x)și știm deja că tangenta pantei tangentei în fiecare dintre punctele sale este o funcție dată f(x) abscisa acestui punct.

După semnificația geometrică a derivatei, tangentei pantei tangentei într-un punct dat al curbei y=F(x) egal cu valoarea derivatei F"(x). Deci, trebuie să găsim o astfel de funcție F(x), pentru care F"(x)=f(x). Funcția necesară în sarcină F(x) este derivat din f(x). Condiția problemei este satisfăcută nu de o curbă, ci de o familie de curbe. y=F(x)- una dintre aceste curbe și orice altă curbă pot fi obținute din aceasta prin translație paralelă de-a lungul axei Oi.

Să numim graficul funcției antiderivative de f(x) curba integrala. În cazul în care un F"(x)=f(x), apoi graficul funcției y=F(x) este o curbă integrală.

Faptul 3. Integrala nedefinită este reprezentată geometric prin familia tuturor curbelor integrale ca in poza de mai jos. Distanța fiecărei curbe de la origine este determinată de o constantă (constant) arbitrară de integrare C.

Proprietățile integralei nedefinite

Faptul 4. Teorema 1. Derivata unei integrale nedefinite este egala cu integrandul, iar diferenta sa este egala cu integrandul.

Faptul 5. Teorema 2. Integrala nedefinită a diferenţialului unei funcţii f(X) este egală cu funcția f(X) până la un termen constant , adică

(3)

Teoremele 1 și 2 arată că diferențierea și integrarea sunt operații reciproc inverse.

Faptul 6. Teorema 3. Factorul constant din integrand poate fi scos din semnul integralei nedefinite , adică

A învăța să se integreze nu este dificil. Pentru a face acest lucru, trebuie doar să înveți un anumit set de reguli, destul de mic, și să dezvolți un fel de fler. Desigur, este ușor să înveți regulile și formulele, dar este destul de greu de înțeles unde și când să aplici cutare sau cutare regulă de integrare sau diferențiere. Aceasta este, de fapt, capacitatea de integrare.

1. Antiderivat. Integrală nedefinită.

Se presupune că până la citirea acestui articol, cititorul are deja unele abilități de diferențiere (adică, găsirea derivatelor).

Definiția 1.1: O funcție se numește antiderivată dacă egalitatea este valabilă:

Comentarii:> Accentul din cuvântul „primordial” poate fi plasat în două moduri: despre fretat sau original Aștiind.

Proprietatea 1: Dacă o funcție este o antiderivată a unei funcții, atunci funcția este și o antiderivată a unei funcții.

Dovada: Să demonstrăm acest lucru din definiția unui antiderivat. Să găsim derivata funcției:

Primul termen în definiție 1.1 este egal cu , iar al doilea termen este derivata constantei, care este egală cu 0.

.

Rezuma. Să scriem începutul și sfârșitul lanțului de egalități:

Astfel, derivata funcției este egală și, prin urmare, este, prin definiție, antiderivată. Proprietatea a fost dovedită.

Definiția 1.2: Integrala nedefinită a unei funcții este întregul ansamblu de antiderivate ale acestei funcții. Se notează astfel:

.

Luați în considerare numele fiecărei părți a înregistrării în detaliu:

este notația generală pentru integrală,

este o expresie integrand (integrand), o funcție integrabilă.

este diferenţialul, iar expresia de după litera , în acest caz , va fi numită variabilă de integrare.

Comentarii: Cuvintele cheie din această definiție sunt „întregul set”. Acestea. dacă în viitor acest „plus C” nu este scris în răspuns, atunci inspectorul are tot dreptul să nu crediteze această sarcină, deoarece este necesar să se găsească întregul set de antiderivate, iar dacă C este absent, atunci se găsește doar unul.

Concluzie: Pentru a verifica dacă integrala este calculată corect, este necesar să găsim derivata rezultatului. Trebuie să se potrivească cu integrantul.
Exemplu:
Exercițiu: Calculați integrala nedefinită și verificați.

Decizie:

Modul în care se calculează această integrală nu contează în acest caz. Să presupunem că este o revelație de sus. Sarcina noastră este să arătăm că revelația nu ne-a înșelat, iar acest lucru se poate face cu ajutorul verificării.

Examinare:

La diferențierea rezultatului s-a obținut un integrand, ceea ce înseamnă că integrala a fost calculată corect.

2. Începeți. Tabelul integralelor.

Pentru integrare, nu este necesar să ne amintim de fiecare dată funcția a cărei derivată este egală cu integrandul dat (adică, folosiți definiția integralei direct). Fiecare colecție de probleme sau un manual de analiză matematică conține o listă de proprietăți ale integralelor și un tabel cu cele mai simple integrale.

Să enumeram proprietățile.

Proprietăți:
1.
Integrala diferenţialului este egală cu variabila de integrare.
2. , unde este o constantă.
Multiplicatorul constant poate fi scos din semnul integral.

3.
Integrala sumei este egală cu suma integralelor (dacă numărul de termeni este finit).
Tabel integral:

1.	10.
2.	11.
3.	12.
4.	13.
5.	14.
6.	15.
7.	16.
8.	17.
9.	18.

Cel mai adesea, sarcina este de a reduce integrala investigată la una tabelară folosind proprietăți și formule.

Exemplu:

[ Să folosim a treia proprietate a integralelor și să o scriem ca sumă a trei integrale.]

[ Să folosim a doua proprietate și să scoatem constantele din semnul de integrare.]

[ În prima integrală, folosim integrala de tabel nr. 1 (n=2), în a doua - aceeași formulă, dar n=1, iar pentru a treia integrală, puteți fie folosi aceeași integrală de tabel, dar cu n=0, sau prima proprietate.]
.
Să verificăm prin diferențiere:

Integrandul original a fost obținut, prin urmare, integrarea a fost efectuată fără erori (și nici adăugarea unei constante arbitrare C nu a fost uitată).

Integrale tabulare trebuie învățate pe de rost dintr-un motiv simplu - pentru a ști pentru ce să lupți, de exemplu. cunoaşte scopul transformării expresiei date.

Iată încă câteva exemple:
1)
2)
3)

Sarcini pentru soluție independentă:

Exercitiul 1. Calculați integrala nedefinită:

+ Afișați/ascundeți indiciu #1.

1) Folosiți a treia proprietate și prezentați această integrală ca sumă a trei integrale.

+ Afișați/ascundeți indiciu nr. 2.

+ Afișați/ascundeți indiciu nr. 3.

3) Pentru primii doi termeni, utilizați prima integrală tabelară, iar pentru a treia - a doua integrală tabelară.

+ Afișați/ascundeți soluția și răspunsul.

4) Soluție:

Răspuns: